GIOVANNI RICCI

LA DIFFERENZA DI NUMERI PRIMI CONSECUTIVI^)

SOMMARIO

1. - Introduzione.

2. - Le funzioni d(n), A(x), A2h(x), B2h(x).

3. - Tabelle e diagrammi.

4. - Alcune questioni che sorgono spontanee.

5. - Una quaterna di funzioni collegata con una funzione A (x),

6. - Prime osservazioni elementari.

7. - Conseguenze dei due teoremi di P. TCHEBYCHEFF.

8. • Il teorema di MERTENS e il ribaltamento del pennello (D, D).

9. • Il « Primzahlsatz» e le sue immediate conseguenze.

10. - L'ipotesi di RIEMANN e il successo di A. WEIL. Il teorema di

H. CRAMÉR.

11 . - La densità in un intervallo ristretto. L'intervallo (k?, {k-\-1)?).

12. - Ancora sull'abbassamento di A{x). IL successo di G. HOHEISEL.

13. - IL metodo di VIGGO BRUN e il teorema sui «numeri primi gemelli».

14. - Il sollevamento della funzione Dj^x).

15. - L'abbassamento della funzione D{x). Il successo di P. ERDÒS.

] 6. - Ritorno ai diagrammi. Il teorema di W. KNÒDEL.

17. - Un cenno su un nuovo problema.

18. - Conclusione.

1. INTRODUZIONE. - La successione dei numeri primi

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...,

che noi denoteremo con

Vii Vii VÓI Vto •••? Vni •••?

è distribuita irregolarmente nella successione dei numeri interi

(*) Si riproduce con qualche maggiore ampiezza e con qualche aggiornamento la conferenza che, sotto lo stesso titolo, venne tenuta in questo Seminario il 9 maggio 1950.

10

— 150 —

naturali: questo è un fatto a tut t i noto. In altre parole: se n(x) è il numero degli interi primi non superiori a so, la funzione monotona n {oc), che ha il diagramma costituito da tratti di invariabilità fra pn e pn+1, cresce irregolarmente.

È evidente che la irregolarità di cui parliamo viene posta meglio in evidenza (si potrebbe dire che « viene esaltata ») quando si consideri la successione delle differenze di numeri primi con­secutivi

d(n) = Pn + l — Pn cioè la successione

1 2 2 4 2 4 2 4-

ci si persuade di questo fatto dando uno sguardo a una tavola di numeri primi un po' estesa e anche riflettendo che ljd(n) è il rapporto incrementale della funzione n(x) relativo al passaggio da Pn a pn+i-

La differenza d (ri) è una funzione aritmetica di n che ha « dato filo da torcere » ai matematici che si sono proposti di descriverla, cercando di segnalarne quelle proprietà che fossero adatte a delinearne l'andamento.

Il nostro proposito è di richiamare i risultati di queste ri­cerche: un tale richiamo ci consentirà di intravedere quali fatiche può richiedere, qualche volta, la descrizione di una funzione aritmetica e quale sia l'impianto per cercare di « incastonarla >> in un complesso di funzioni tipiche ad essa connesse.

2. LE FUNZIONI d{n), A {co), A2h (x), B2h (x). - Cominciamo col porre, accanto alla funzione d (n) = pn+1—pn? un'altra funzione A {x) ad essa legata in modo ovvio: anziché riportare in ascissa l'intero n, indice di pn, riportiamo pn stesso e definiamo

A(x)=d(n) per pn^x< pn+1 .

La funzione A (OD) risulta a tratti (orizzontali) di invariabilità almeno fra un numero primo e il successivo. È noto (e fra poco, ci ritorneremo) che (1)

TI(x) ~x/logx , per #-> + oo

pn ~n log n , per n -• -|- oo

(1) La notazione f(x)~g(x) significa f(x)/g(x)->l.

— 151 —

e pertanto il passaggio da d(n) a, A (oc) porta a dilatare, sebbene irregolarmente, l'ascissa secondo un rapporto di circa I/log x. Essendo A (pn) = Vn+i — Vni ^a funzione A (x) ha il diagramma che si ottiene semplicemente costruendo sull'asse delle x e al disopra di questo, i quadrati aventi per lati gli intervalli (pny

Vn+i) e considerando i lati opposti a questi intervalli. Si trat ta di descrivere questa funzione A (x).

Può avvenire che p e p 4- 2Ji = p' (h intero > 0) siano ambedue primi (non necessariamente consecutivi): ebbene, fissato h, deno­teremo con A2h(x) il numero degli interi primi p non superiori a x tali che p e p' = p + 2h siano ambedue primi.

Può avvenire che sia pn+1 ^pn + 2h, cioè che fra pn e pn+2h si trovi (eventualmente uguale a pn + 2%) il numero primo suc­cessivo a pn: ebbene, fissato li denoteremo con B2h (x) il numero degli interi primi pn non superiori a x tali che sia pn+i^pn+2h, cioè tali che sia d (n) ^ 2h.

In simboli si pone:

A2h{x)= I 1, B2h{x) = 2 1 .

p+2h = p' pn+l^pn+2h

Per h = 1, 2, 3, ... avremo la successione delle funzioni A2h(x) e quella delle funzioni B2h (x).

Queste successioni risultano utili per lo studio di d (n). Intanto osserviamo per ^esempio che (per h = 1) in A2(x)

si compuntano le coppie p, p' = p + 2 di « numeri primi gemelli» cioè coppie di numeri primi a differenza 2. In i 4 (x) si compu­tano le coppie p, p' = p + 4 di numeri primi a differenza 4: in questo caso, eccettuato il caso ovvio 3,7 in cui è inserito il 5, ogni coppia p, p'=p + 4 è di numeri primi consecutivi. Non è più così per 7i i^3, poiché, per esempio in AQ (x) si computano anche (5, 11), (7, 13), (11, 17), ..., (97, 103), ... che non sono costituite di numeri primi consecutivi.

3. TABELLE E DIAGRAMMI. - Qui di seguito è riportata una tabella che assegna, nelle diverse colonne, ordinatamente, i valori

n, pm d(n)\ A2, Air AQ, A8ì A1Q, A12, A l 4; B2, Bé, B6, B8, Bì0.

per n da 1 a 170 e quindi pn da 2 a 101.3.

152

n Pn d(n) - 2 ^ ^ 6 ^8 ^10 A12 Au B2 B, *6 *8 *10

1 2 1 1, 1 1 1 1 2 3 2. 1 1 • • 1 1 1 2 2 2 2 2 3 5 2 2 — 1 2 — 1 2 3 3 3 3 3 4 7 4 — 2 2 — 2 2 — — 4 4 4 4 5 11 2 3 — 3 3 —• 3 — 4 5 5 5 5 6 13 4 — 3 4 3 — — — 6 6 6 6 7 17 2 4 — 5 — — 4 3 5 7 7 7 7 8 19 4 — 4 — —. 4 5 — — 8 8 8 8 9 23 6 — — 6 4 — — 4 — — 9 9 9 10 29 2 5 — — 5 — 6 5 6 9 10 10 10 11 31 6 — —. 7 — 5 7 — — — 11 11 11 12 37 4 •— 5 8 — 6 — — — 10 12 12 12 13 41 2 6 — 9 — — 8 — 7 11 13 13 13 14 43 4 — 6 — — i — — — 12 14 14 14 15 47 6 — — 10 — — 9 6 . — — 15 15 15 16 53 6 — — 11 6 — —. 7 — — 16 16 16 17 59 2 7 — — 7 — 10 8 8 13 17 17 17 18 61 6 — — 12 .—. 8 11 — — — 18 18 18 19 67 4 — 7 13 — — 12 — — 14 19 19 19 20 71 2 8 — — 8 — 13 — 9 15 20 20 20 21 73 6 — — 14 — 9 — — — . — • 21 21 21 22 79 4 — 8 — — 10 — — — 16 22 22 22 23 83 6 — — 15 — — — 9 — — 23 23 23 24 89 8 — — 9 — • 14 10 — — — 24 24 25 97 4 — 9 16 — • 11 15 — — 17 24 25 25 26 J01 2 9 — 17 10 — 16 — 10 18 25 26 26 27 103 4 — 10 18 — 12 — — — 19 26 27 27 28 107 2 10 — 19 — — — — 11 20 27 28 28 29 109 4 — 11 — — — — — 21 28 29 29 30 113 14 — — — — — — 11 — _ „ . — — — 31 127 4 — 12 — — 13 17 — — 22 29 30 30 32 131 6 — — 20 11 — — — — — 30 31 31 33 137 2 11 — — •— — 18 12 12 23 31 32 32 34 139 10 — — — — 14 19 — — — — — 33 35 149 2 12 — — 12 — — 13 13 24 32 33 34 36 151 6 — — 21 — — 20 — — — 33 34 35 37 157 6 — 22 — 15 — — — — 34 35 36 38 163 4 — 13 — — 16 — — — 25 35 36 37 39 167 6 — — 23 — — 21 14 — — 36 37 38 40 173 6 — — 24 13 __ — — — — 37 38 39 41 179 2 13 — — — — 22 15 14 26 38 39 40 42 181 10 — — — — 17 23 — — — — — 41 43 191 2 14 — 25 14 — —- — 15 27 39 40 42

153

n Vn d(n) A2 ^ 4 ^6 *8 Ao Y 1 1 2 Au B2 *4 #6 ^8 *10

44 193 4 14 26 28 40 41 43 45 197 2 15 16 16 29 41 42 44 46 199 12 — — — — — 24 — — — — — —

47 211 12 — — — — — 25 — — • — — —. —

48 223 4 — 15 27 — 18 — — — 30 42 43 45 49 227 2 16 — 28 — — 26 17 17 31 43 44 46 50 229 4 — 16 — — 19 27 — — 32 44 45 47 51 233 6 — — 29 15 — — — — — 45 46 48 52 239 2 17 — — .— — 28 — 18 33 46 47 49 53 241 10 — — • — — 20 • — • — — — — — 50 54 251 6 — — 30 — — 29 — — — 47 ,48 51 55 257 6 — • — 31 — — 30 18 — — 48 49 52 56 263 6 — — 32 16 — — 19 — — 49 50 53 57 269 2 18 — — 17 — 31 20 19 34 50 51 54 58 271 6 — — 33 — 21 32 — — — 51 52 55 59 277 4 — 17 34 — — — — — 35 52 53 56 60 281 2 19 — — — — 33 — 20 36 53 54 57 61 283 10 — — •—• — 22 — — — — — — 58 62 293 14 — — — — — — 21 •— — .—. — —

63 307 4 — 18 35 — 23 — — — 37 54 55 59 64 311 2 20 • — 36 — —• — — 21 38 55 50 CO 65 313 4 — 19 — — — — — — 39 56 57 61 66 317 14 — — — — — — 22 — —. — — —

67 331 6 — — 37 — — -— — — — 57 58 62 68 337 10 — _._ — — 24 34 — — — — — 63 69 347 2 21 — 38 — — 36 — 22 40 58 59 64 70 349 4 — 20 — — 25 — — • — - 41 59 60 65 71 353 6 — — 39 — • — — 23 — • — 60 61 6Q 72 359 8 — — — 18 — — 24 — • — •— 62 67 73 367 6 — — 40 — •— 36 — — • — 61 63 68 74 373 6 — — 41 — 26 — — — — 62 64 69 75 379 4 — 21 — — 27 — — — 42 63 65 70 76 383 6 — — 42 -— • — • — 25 — — 64 66 71 77 389 8 — — — 19 — 37 — — — — 67 72 78 397 4 — 22 — — — 38 — — 43 65 68 73 79 401 8 — — — 20 — — — — — — 69 74 80 409 10 —-' — — — 28 39 — — — — —• 75 81 419 2 22 — — — — 40 26 23 44 66 70 76 82 421 10 — — — — 29 41 — — — — — 77 83 431 2 23 — — 21 - 42 — 24 45 67 71 78 84 433 6 — — 43 — 30 — — — — 68 72 79 85 439 4 — 23 — — 31 — — — 46 69 73 80 86 443 6 — — 44 — — — 27 — . — 70 74 81

154

n Vn d(n) ^ ^4 A6 ^8 ^10 A l l Au B2 # 4 JB6 *8 Bi*

87 4 49 8 22 43 28 75 82 88 457 4 — 24 45 — 32 — — — 47 71 76 83 89 461 2 24 — 46 — — — — 25 48 72 77 84 90 463 4 — 25 49 73 78 8 5 91 467 12 44 92 479 8 — — — 23 — 45 — — — — 79 86 93 487 4 — 26 — — — 46 — — 50 74 80 87 94 491 8 — — — 24 — 47 — — — —• 81 88 95 499 4 — 27 — — 33 — — — 51 75 82 89 96 503 6 — — 47 — — — — — — 76 83 90 97 509 12 — — — — — 48 29 — — • — — —

98 521 2 25 26 52 77 84 91 99 523 18 100 541 6 — — 48 — — — — — — 78 85 92 101 547 10 — — — — 34 — — — — — — 93 102 557 6 — — 49 — — 49 30 — — 79 86 94 103 563 6 — — 50 25 — — 31 — — 80 87 95 104 569 2 26 — — 26 — — — 27 53 81 88 96 105 571 6 — — 51 — — — — — — 82 89 97 106 577 10 — — — — 35 —

• — • — — — — 98 107 587 6 — — 52 — — 50 32 — — 83 90 99 108 593 6 — — 53 27 — —. 33 — — 84 91 100 109 599 2 27 — — 28 — — 34 28 54 85 92 101

no 601 6 — — 54 — — 51 — — — 86 93 102 111 607 6 — — 55 — 36 52 — — — 87 94 103 112 613 4 — 28 56 55 88 95 104 113 617 2 28 35 29 56 89 96 105 114 619 12 — — — — — 53 — — — — — —

115 631 10 — — — — 37 54 — — — — — 106 116 641 2 29 — 57 — — 55 — 30 57 90 97 107 117 643 4 —. 29 — — 38 — — — 58 91 98 108 118 647 6 — — 58 • — •

— 56, 36 — — 92 99 109 119 653 6 — — 59 29 — — — — — 93 100 110 120 659 2 30 37 31 59 94 101 111 121 661 12 — — — — — 57 — — — — — —

122 673 4 — 30 — .—. 39 — — —• 60 95 102 112 123 677 6 — — 60 — — — 38 • — • — 96 103 113 124 683 8 — — — 30 104 114 125 691 10 — — — — 40 — — — — .—. — 115 126 701 8 — — — 31 — — — — — — 105 116 127 709 10 — — — — 41 — __ — — — — 117 128 719 8 ~ — •

— •—• 32 — — 39 — — • — • 106 118

— 155 —

n Vn d(n) A% ^ 4 ^6 ^8 ^10 Al% ^14 B2 *4 #6 ^8 *]0

129 727 6 61 58 97 107 119 130 733 6 • —

— 62 — 42 — — — 98 108 120 131 739 4 — 31 — _ — 59 — — 61 99 109 121 132 743 8 — — — 33 — — 40 — — — 110 122

133 751 6 — — 63 — 43 — — — — 100 111 123 134 757 4 — 32 — — .— 60 — — 62 101 112 124 135 761 8 — — — 34 — 61 — — — — 113 125 136 769 4 — 33 — — — — — 63 102 114 126

137 773 14 41

138 787 10 — — — — 44 — — — — — — 127 139 797 12 — — — — — 62 42 — — — ' • — —

140 809 2 31 — — — — 63 43 32 64 103 115 128 141 811 10 — — — __. 45 64 — — — — •— 129 142 821 2 32 — 64 35 — — — 33 65 104 116 130 143 823 4 — 34 65 — • — — — — 66 105 117 131 144 827 2 33 — — — — 65 — 34 67 106 118 132 145 829 10 — — — — 46 — — — — — •— 133 146 839 14 — — — — — — 44 — — — — —

147 853 4 — 35 66 — 47 — — — 68 107 119 134 148 857 2 34 — 67 — — — — 35 69 108 120 135 149 859 4 — 36 — -- — — — — 70 109 121 136 150 863 14 — — — — — — 45 — — — — —

151 877 4 — 37 68 — 48 — — — 71 110 122 137 152 881 2 35 — 69 — — — — 36 72 111 123 138 153 883 4 — 38 — — — — — — 73 112 124 139 154 887 20 155 907 4 — 39 — — — 66 — — 74 113 125 140 156 911 8 — — — 36 — — — — — — 126 141 157 919 10 — — — — 49 — — — — — — 142 158 929 8 — — — 37 — • 67 — — — — 127 143 159 937 4 — 40 — — 50 — — — 75 114 128 144 160 941 6 — — 70 — .— 68 — — — 115 129 145 161 947 6 — — 71 — — — — — — 116 130 146 162 953 14 — — — — — — 46 — — — • — —

163 967 4 — 41 — — 51 — — — 76 117 131 147 164 971 6 — — 72 — — 69 — — — 118 132 148 165 977 6 — — 73 — — — 47 — — 119 133 149 166 983 8 — — — 38 — — 48 — — — 134 150 167 991 6 —. — 74 — —

• — • — — • — • 120 135 151 168 997 12 — — — — — 70 — — — — — —

169 1009 4 — 42 — — 52 71 — — 77 121 136 152 170 1013 6 •—•

• — 75 39 122 137 153

— 156 —

Si vedano anche le figure 1 e 2:

1° La prima (fìg. 1) ci dà il diagramma di d (n) (1 ^ n ^ 170) nel quale i nodi (n, d (n)) vengono congiunti mediante una spez­zata per renderne più appariscente l'andamento. Ì3 segnato anche il diagramma della funzione log n la cui utilità verrà spiegata in seguito.

2° La seconda figura (figg. 2a, 2b) ci fornisce schematicamente i diagrammi delle funzioni

A(3B), A2{X), AA{<V), At(<D),- A8(x), A12(x), Au{x))

(quelli delle funzioni A2 (a?), A± (%), ... sono contrassegnati per comodità con 2, 4, ...): diciamo schematicamente perchè, in verità, queste sono funzioni a tratti (orizzontali) di invariabilità almeno fra un numero primo e il successivo, mentre qui il loro diagramma è sostituito da una spezzata che ne rende meglio apprezzabile l'andamento e il mutuo intrecciarsi.

È segnato anche il diagramma della funzione Ioga?. Diamo uno sguardo alla tabella e ai diagrammi: teniamo

presente che tabelle e diagrammi come questi sono utili per appoggiare la mente sulle funzioni di cui dovremo discorrere e sono eventualmente utili per suggerire attendibili proprietà; è ovvio che queste proprietà rimangono allo stato di « congettura » finche non siano dimostrate. L'Aritmetica è ricca di queste pro­prietà intravedute e poi faticosamente dedotte oppure non ancora dimostrate oppure dimostrate false. Il « banco di prova » di quelle proprietà, non soltanto è « troppo lungo », ma non si sa neppure dove « cominci » : in generale si tratta di proprietà asinto­tiche che solo la deduzione logica consente di appurare, poiché, nell'ambiente ristretto della tavola o del diagramma, una proprietà può o essere soltanto apparente o non essere ancora manifesta.

4. ALCUNE QUESTIONI CHE SORGONO SPONTANEE. - Possiamo porre le seguenti domande, tutte molte naturali:

1° Al crescere di n avverrà di trovare dei valori d (n) (magari molto rari ma) grandi quanto si vuole? E come è maggiorato l'accrescimento della funzione d (n) ?

2° Se esistono i valori di d(n) che sono « giganti » rispetto

— 157 —

120

120 130 14-0 150 160 170

FlG. 1.

ci te

J3

fu

__. 160 —

a quelli del loro intorno, come sono regolati la loro distribuzione e il loro andamento ?

3° La differenza d(n)j pur avendo un andamento irrego­lare, presenterà « in media » un valore crescente regolarmente ? E quale è questo valore 1

4° E, la stessa differenza d(n), presenterà «nella maggior parte dei valori » un andamento crescente regolarmente ?

5° L'ispezione sulle tavole mostra che fra due quadrati perfetti successivi qualunque ci sono dei numeri primi. E domandiamoci: È vero che, per qualunque intero &,! fra le2 e (&4-1)2 esiste almeno un numero primo? j

Osserviamo, di sfuggita, che se ! i

Ù2<Pn <(& + l ) 2 < p w < ( & + 2)2

è anche i

Pn+i — Pn < (7c + 2)2 — &a =4&.+ 4 < 4j/^_)_^:

e quindi perchè la risposta sia affermativa occorre intanto che sia, per ogni n

din) = Pn + l—,Pn < ±ÌPn + 4 .

Ma possiamo porre una domanda meno impegnativa e cioè:

6° È vero che, esiste un numero K > 0 abbastanza grande, tale che, per qualunque intero Jc, fra le due potenze ltK e (& + 1)K

si trova almeno un numero primo ? K può essere anche grande (ma fisso!), mentre la domanda

precedente esigeva K = 2.

7° L'ispezione sulle tavole dei numeri primi, anche molto estese, ci mostra che si trovano, anche in zone inoltrate, coppie di numeri primi gemelli (a differenza 2): per esempio

(3, 5), (5, 7), (U , 13), (17, 19), ... (10*006-427, 10'006'429);

queste coppie sono in numero finito oppure no? Questa domanda si può porre così: La funzione monotona non decrescente A2 (x)

— 161 —

rimarrà stazionaria a partire da un certo x0 in poi oppure ten­derà a + oo al crescere indefìnitivamente di x ?

Analoga domanda si può porre per le coppie di numeri primi (consecutivi oppure no) p, p' = p + 2h (li intero naturale fìsso).

Ma possiamo anche qui porre una domanda meno esigente e cioè:

8° Esiste oppure no un intero K abbastanza grande tale che per infiniti valori n" di n si abbia d(n") <K? Questa domanda si può porre così: Esiste oppure no un intero H abba­stanza grande, tale che B2H (x) -> -f- °o per x indefinitamente crescente ? Questo accadrebbe se e soltanto se esistesse almeno un numero li ^ H tale che A2h(x)-> + oo per x-+ -\- co.

A tutte queste domande e ad altre analoghe, le tabelle e i diagrammi, per quanto utili e istintivamente cordiali, non danno alcuna risposta; mentre gli studi degli analisti rispondono a molte delle questioni sopra elencate ed è nostro compito presentarne i risultati: talvolta potremo avere l'impressione che la risposta sia debole o elusiva ma essa sarà sempre precisa.

5. UNA QUATERNA DI FUNZIONI COLLEGATA CON UNA FUNZIONE A (x).

Sia A (x) una qualunque funzione di x che ci proponiamo di descrivere, e, per fissare le idee, la supporremo definita per x^i 0 e positiva per qualunque x; quando A (x) sia analiticamente complicata, le informazioni che la riguardano sono di solito for­nite attraverso alcune funzioni ad essa connesse, analiticamente semplici e intuitivamente apprezzabili (potremmo dire funzioni «standard»). A una prima descrizione ne sono veramente utili quattro; diciamole:

A(oo), A(x), D(x), D(x)

per le quali si abbia

(1) A(x) ^i A(x) (funzione minorante)

o, per lo meno, questa disuguaglianza valga per x ^ xx conve­niente: si dice A (x) funzione definitivamente minorante di A(x).

(2) A(x)^A(x) (funzione maggiorante)

— 162

FIG. 3.

o, per lo meno, questa disuguaglianza valga per x^x0 conve­niente: si dice A (co) funzione definitivamente maggiorante di A (x).

Esistono valori x' e x" di x, grandi quanto si vuole, pei quali si verifica

(3) A{x') ^JD(x')

A{x") ^D{x")

I vincoli (1), (2), (3) e (4) vengono illustrati schematicamente da questa fig. 3.

II diagramma di A (x) si trova, almeno a partire da un certo ~x in poi entro il « pennello » (zi, A) (2), mentre i vertici delle « punte alte » e quelli delle « buche profonde » si trovano rispet­tivamente al di sopra di D (x) e al disotto di D(x). Quando

(2) Per pensare {A, A) come un pennello, si immagini l'insieme dei diagrammi delle

funzioni della forma a A (x) + (1 — a) A (x) con 0 < a < 1. Per a = 0 e a = l si hanno

rispettivamente ì diagrammi estremi A (x), A (x).

— 163 —

D (x) > D(x) esistono, lontano quanto si vuole, tratti di A (x) interni al pennello (B, D); quando 1) (x) <D(x) (come nel caso della fig. 3) il diagramma A (x) taglia, in zone lontane quanto si vuole, il pennello (Z>, D).

Si può anche porre la questione dell'orarne medio e dell'orarne normale della funzione A (x): si chiamano così due funzioni mo­notone (quando esistano) M (x) e N (ce) per le quali sussistano rispettivamente le seguenti proprietà:

(5) — / A(x)dx ~ — / M(x)dx, per £-^ + oo

(6) « quasi sempre » è

(1 — «) N{x) < A(x) < (1 + e) X{x) (fi > 0)

(per spiegare con precisione: fissato e > 0 qualunque, l'insieme \ye(

x)~\ dei valori u^x pei quali

(1 - e)J\7(^) < A(u) < ( 1 +e)N(u)

ha una misura Ve (x) tale che

VE(x)/x-+l, per$-* + oo).

È evidente che quando sia accertato un ordine medio M (x) si può assumere [(1 — e) M, (1 + e) M] come pennello (Z), D)\ infatti se fosse definitivamente A (x) ^ (1 — e) M (x) non potrebbe valere la (5); lo stesso si dica per A (x)^(ì + e) M(x).

Un'osservazione analoga vale per l'ordine normale N(x). La descrizione di A (x) potrà essere migliorata con le ope­

razioni seguenti: a) abbassare A (x) o sollevare A(x): e così contrarre il

pennello (A, zi); b) abbassare D (x) o sollevare D(x): e così contrarre i pen­

nelli (zi, D) e (I), zi); questa contrazione, quando sia D(x)<D(x) ci informa del comportamento di zi (x) alla periferia del pennello (Zi, Zi); ecc.

Si consideri la famiglia di funzioni e A (x) (e reale positivo);

— 164 —

può avvenire che per ogni e > 0, esistano, grandi quanto si vuole, valori x' tali che sia A (x') > (1 — e) A (a?); allora si può porre .D (x). •= (I — e) A (x) e la funzione A (x) non è più abbassabile se si vuole sceglierla in quella famiglia cA(x): come si suol dire A (x) è « la migliore » funzione maggiorante di quella famiglia. Un'osservazione analoga vale per A (x).

Avendo da confrontare A (x) con funzioni « standard » si com­prende bene che la contrazione del pennello (A, A) si potrà spin­gere fino a ottenerne uno del tipo [(1 — e) M, (1 + e) M] a con­dizione che l'andamento di A {x) sia abbastanza regolare: in qualche caso felice si potrà assumere

A(x) = M(x) — q>(x), A (oc) = M(x) + yj{x)

con cp(x)l M(x) + 0, yj(x)/M(x)-+0.

Una interessante osservazione riguarda lo scavalcamento di B(x) e B(x): È ovvio che A (x) è una B(x) e che A (x) è una B(x); ora, se B(x)<B(x) può avvenire che A (x) sia tutta interna al pennello (A, B), oppure (D, A), o anche tutta interna al pennello (D, D); mentre, se B (x)> B{x), queste circostanze non si presentano, poiché in questo caso è garantito che A (x) taglia, lontano quanto si vuole e infinite volte, il pennello (B9B): allora questo pennello segnala, come minorante, l'ampiezza delle oscillazioni di A (x); queste oscillazioni non si smorzano a meno che non si smorzi l'ampiezza dal pennello (B, B).

Si aggiunga che la descrizione di A (x) sarebbe migliorata se, per esempio, nel sollevare B(x) si precisasse anche la « densità » decrescente degli insiemi dei punti x' pei quali A (x') > D (xf).

Per la funzione A (x), che forma l'oggetto della nostra espo­sizione, dovremo segnalare convenienti, anzi, sempre più conve­nienti funzioni A(x), A (x), B (x), B (x) che servano alla sua descrizione.

6. PRIME OSSERVAZIONI ELEMENTARI. - Poiché ogni numero primo maggiore di 2 è dispari, risulta ovviamente valida la disugua­glianza attenuata

(6.1) Pn+i~Pn= d(n)^2 , per%^2,

— 165 —

e anche l'analoga ed equivalente disuguaglianza

(6.1') A{x)^2 , per x^ 2 .

Questa è una osservazione evidente e modesta: la costante 2 può funzionare come minorante, cioè si può assumere A(%) = ' 2 . L'alzare questa minorante per sostituirla con una più favorevole [anche soltanto A (x) = K(> 2)] costituisce un problema che ha resistito agli sforzi dei matematici e li illustreremo nei n. 12 e 15 (rivediamo il n. 5, là dove si parla di abbassare..., sollevare..., contrarre...; può dar l'impressione di cose da nulla e allora prov­vediamo a cautelarci dalle impressioni). In sostanza alla domanda 8° e neppure alla meno esigente 7° (n. 4) i matematici non hanno ancora risposto.

Si vede immediatamente che d (ri) non è limitato, cioè che

(6.2) lim d(n) = + co , lim A(x) = + co ;

infatti, è ben noto che « quasi tut t i » gli interi non sono primi, cioè n (x)fx^O, e se fosse d (n) <K (fìsso) allora i numeri primi sarebbero « troppo addensati », poiché in questo caso risulterebbe evidentemente n (x) > x (1—1/K) contro la relazione limite n(x)/x-+0. Si è risposto in parte alla domanda 1° (n. 4); ma conviene aggiungere anche la seguente osservazione.

Si consideri il prodotto Pn~p1P2 ••• Vn\ 8& m^eri

Pn + 2 , Pn'+ 3 , ..., Pn + pn+i — 1

evidentemente non sono primi, perchè ognuno di essi è divisibile per uno almeno dei numeri primi p19 p2, ..., pn. Si conclude

(6.3) A(Pn+l)^pn + 1 — 2.

Non appena saremo riusciti a esprimere in qualche modo il prodotto Pn per pn, potremo precisare un confine inferiore per questi grandi valori: cioè istituire, anche se grossolana, una funzione i) (x). Ma su questo argomento torneremo nel n. se­guente e al n. 8.

l i

— 166 —

7. CONSEGUENZE DEI DUE TEOREMI DI P. TCHEBYCHEFF. - Sono ormai classici, e ottenuti con mezzi elementari, i due seguenti teoremi dovuti a P. TCHEBYCHEFF (1851, 1852) (3).

I. - Fissato £ > 0, arbitrario, esistono infiniti interi x' e infiniti interi x" pei quali

(7.1) JI(X') > ( 1 — e) x'/log co', n{x")< (1 + E)X" /logx".

I I . - Esistono due costanti positive A e B\ con 0< A< 1 <B1

per le quali è

(7.2) v— < nix) < , (per x > xfì conveniente) v Ioga? Ioga?

Tenendo conto che pn-^+co si ottiene dal teor. II . :

ìogpn ~ ìogn,

e i due teoremi, con facile modificazione possono essere espressi dalle disuguaglianze analoghe (si tenga conto che 7l(pn) = n, rj>0)

(7 .1 ' ) Pn"> (1 " n) n" l o g 9 ? " , Vn'< (1 + V) n' lOgW/

(7.2') Aì • n log ri < p n < Bt • wlogn .

Non è il caso di richiamare in questa sede la dimostrazione del teorema I; accenniamo, e soltanto brevemente, alla dimo­strazione del teorema I I che è semplice e istruttiva (4).

/2n\ Si consideri il coefficiente binomiale I \ (n^2) per il quale

valgono le limitazioni evidenti:

k=o n — h \n)

(3) Ved. P. TCHEBYCHEFF, Oeuvres, voi. I, pp. 27-48, 49-70; G. TORELLI, Sulla totalità dei numeri primi fino ad un limite assegnato, «Atti R. Acc. Se. Napoli» (2), 11, n. 1, pp. 20-30; E. LANDAU, «Handbuch der Primzahlen », Leipzig 1909, pp. 71-97.

(') Vedi per la dimostrazione in questa forma E. LANDAU, Zahlentheorie, I, Leipzig 1927, pp. 66-70.

— 167 —

in questo coefficiente binomiale i divisori primi dell' intervallo n<p < 2n figurano alla prima potenza e tutt i gli altri a un esponente r = r (n, p) tale che pr^2n; si potrebbe facilmente vedere che questa osservazione sugli esponenti di p porta a con­cludere a sinistra e a destra rispettivamnnte

n (2n) > cn/ìog n9 n {2n) — n (ri) < e" n/ìog n

e quindi, perfezionando ovviamente la seconda:

e n/log n < n (2n)< e' n/ìog n.

Il passaggio dall'intero pari 2n alla variabile continua x si compie facilmente e ne risulta il teorema II .

Una dimostrazione più complicata, ma sempre elementare, conduce al seguente risultato di J . J . SYLVESTER (5).

Esiste un numero x0 tale che per %2^x0 risulta

(1 — a) -^— < n(x) <{l + b) ^ -ìogx logie

dove a - 0,007388 e b = 0,006775. Da questo teorema segue che la differenza n (2x)—n (x)

risulta, per x ^ x0 conveniente,, superione a

2(1—a) x. (l + b)x log (2.¾) log»

e tende all'infinito per x-> +co. Questo risultato, accompagnato dall'esame suppletivo di ciò che accade per i valori di x^ x0

(un valore precisato!), si può ricavare la seguente classica pro­posizione (ammessa come postulato da J. BERTRAND):

Fra x e 2x ~— 2 (x^.2) esiste almeno un numero primo. Dunque è

(7.3) A(x) ^x — 2 .

Si può assumere A{x) =x — 2. Conduciamo la bisettrice y=--x degli assi: essa è il diagramma di una funzione maggiorante.

(5) Vedi G. TORELLI, loc. cit., p. 29.

— 168 —

Ma il teorema di TCHEBYCHEFF-SYLVESTER ci dice di più: infatti> tenuto conto ancora che n (pn) — ne log pn ~log n risulta:

( 1 - a ) T^L-<n<(l + b)T^-logpn logpn

da cui (assumendo 0 < a < a', 0 < b < b')

(I — a') pn<n log n < ( l + 6') pn.

Pensando a queste limitazioni per n e per n + 1 e facendo la differenza, si ricava subito

pn +i — pn < cpn (per n ^ n0)

e = h e = 0,015 . 1 — a

Si conclude

(7.4) A (so)< 0,015 • x, ( p e r # ^ # 0 ) .

Dunque: Za funzione A (x) = 0,015 a? è definitivamente mag­giorante. (Il suo diagramma è una retta poco inclinata; ma è sempre una re t ta! si potrà flettere verso il basso questa mag­giorante ?)

D'altronde le (7-1') che esprimono il teorema I ci dicono che Fissato e > 0 esistono infiniti interi x' e infiniti interi x" tali

che si abbia

A{x')> (1 —e) Ioga?', A(x") < (1 + e) Ioga?"

cioè si può assumere

(7.5) D{x) = (1 - e) Ioga?, D{x) = (1 + e) log x .

Infatti, se fosse definitivamente A (x) ^ (1 — e) log x, dalla uguaglianza

pn=2+ A(Pl) + ... + Aip^)

si avrebbe per ogni n, essendo K indipendente da n, la disu-

— 169 —

guaglianza

pn < K{E) + (1 —e)(logp,+ . . . + logpro_i)

= K(e) + ( l - e ) ^ìogu (1 + f}u) , (*1u-+0) ì

< K(e) + (1 - fi) n log w (1 + on) , ( a n - 0),

e questo, al crescere indefinitamente di n, va contro il teorema I [verrebbero a mancare gli infiniti n" della (7.r)]-

Analogamente si procede per la seconda in (7-5). Osserviamo che per adesso è 2) (a?) < D (#), e d'altronde il

rapporto D {x)jD (x) si può rendere prossimo a 1 quanto si vuole.

8. IL TEOREMA DI MERTENS E IL RIBALTAMENTO DEL PENNELLO (_D,

D). Fissiamo l'attenzione sulle (7.5): in questo numero ci pro­poniamo di mostrare con mezzi elementari (i quali si trovano sostanzialmente alla profondità dei teoremi di TCHEBYCHEFF) che

Fissato e > 0, esistono infiniti n' tali che

(8.1) pn>+i — Pn' > (ec —[e) logpn>

(0=0,5772... costante diEULER-MASCHERONI) e, poiché e° = l,781...,-possiamo dire:

Esistono infiniti n' tali die

2V+ i — pn> > 1,781 • log jv •

In altri termini si può assumere

(8.17) D{x) = 1,781 Ioga?.

Questa osservazione è molto interessante; infatti essa ci dice che il pennello

(8.2) (1 + e) Ioga;, 1,781 Ioga?

viene tagliato infinite volte dal diagramma di A (x) le cui oscil­lazioni hanno dunque ampiezza per lo meno dell'ordine di log x e non si smorzano neppure rispetto a questo ordine.

Cominciamo con l'osservare che il teor. I I di TCHEBYCHEFF

— 170 —

ci dà log pn ~ log n e quindi si può ricavare il valore asintotico della funzione

(8.3) ft(pn) = log{pxp2 -"Pn) = 2 ìogp ~ 2 ioga ~n\ogn

e d'altronde il teorema di MERTENS (6) (che si trova in sede elementare, circa come i teoremi di TCHEBYCHEFF) ci dà

Si tratta di stabilire che esistono tratti abbastanza ampi, costituiti di interi consecutivi tutti composti.

Siano a?!, oc2, ..., xN, N interi distinti; è evidente che, fissato p, si può dare a questo sistema di N interi una traslazione con­veniente

l i + »i, X1 + x21 ..., X1+xN (0^X 1<2?)

in guisa che almeno Njp siano divisibili per p, cioè in guisa che quelli non divisibili per p siano al più

N-N/V-N(I-^

Quando si voglia un numero almeno del sistema divisibile per p, ancora la traslazione è possibile e i rimanenti sono al più N—l. Se poi si considerano un nuovo numero p' e gli interi non divisibili per p, si può trovare una nuova traslazione X2

in guisa che, degli N numeri

X2+xXì X2+oc2, ..., X2+ooN (0 X?< pp'),

quelli non divisibili né per p né per p' siano al più

Così si può continuare con un terzo numero p", ecc.

(G) Vedi F. MERTENS, «Journ. fiir Mathem. », 78 (1874), pp. 46-62; E. LANDAU, loc. cìt. in (3), p. 140; A. E. INGHAM, The distribution of prime numbers, Cambridge Tracts, N° 30 (1932), pp. 22-24.

_ ] 7 l _

Premessa questa osservazione si considerino gli N numeri interi consecutivi

1,2,...,N

e fissiamo un numero «' > 0 piccolo quanto si vuole (lo scegliamo 0 < « ' < l / 2 ) .

Sia

e quindi, pel teor. I I [vedi (11)]

u — 1 < B , -—^- = e B log{e'N) log ^7"+log e'

e anche

(8.5) u < 2a'B j ^ (per N ^ N0)

Per l'osservazione precedente, è possibile trovare una trasla­zione

Xu+1, X u + 2 , . . . , Xu+N (0^Xu<Plp2...pu)

in guisa che fra questi interi ve ne siano al più v non divisibili per alcuno degli interi primi pv p2, ..., pu ed è (pel teorema di MERTENS)

(8.6) 0<v<N II 1 ~ ~- - . ~ — P^PU\ Pi logPu log*?

Questi v interi (quando ne siano rimasti) si sistemano con v traslazioni che li prendano in considerazione singolarmente e li rendano divisibili per pu+1, pu+2, ..., pu+v.

In definitiva si giunge al sistema

Xu+V -f- 1 j Xu+v-{-2f ... , Xu+V~{-N (0 ^ Xu+V < P1P2 "• Pu+v)

nel quale ogni intero è divisibile per uno almeno degli interi

Pi, Pi, -9 Pu+v e P 0 S t 0

XQ — P1P2 •••• Pu+v JrXUjrV

— 172 —

siamo certi che tut t i gli interi

XQ + 1, X0 + 2 , ..., X0 + N

sono composti. Sia pn il numero primo per il quale

(8.7) pn£X0'<X0+N< pn + l

allora risulta

(8.8) pn + 1 — pn > N

e d'altronde, tenendo conto ordinatamente di (8.7), (8.3) e (8,5;, si ricava:

log pB log X 0 < log ( 2 ^ 2 ...pu+v) ~ {u + v)\og{u + v)

< \2e'B. = + = ^ log [2s'B- =-, + (1 + oN)

\ logN logN/ * \ logJV ìogNJy

~(e-c + 2e'B) j Z ^ - logtf, (a*-0)

= {e-G+2e'B)N.

Assumendo e' abbastanza piccolo si ottiene

N > (ec — e) log p n

e dalla (8,8) si ricava la (8.1). Il teorema risulta così dimostrato.

9. IL « PRIMZAHLSATZ » E LE SUE IMMEDIATE CONSEGUENZE. -

I l teorema fondamentale sulla distribuzione dei numeri primi, il cosiddetto « Primzahlsatz », dovuto a J . HADAMARD e OH. DE

LA VALLEE POUSSIN (1896) (7) si enuncia semplicemente con la formula asintotica

(9.1) 7i(x)~- . per #-• + oo \ / Ioga? ' ^

(7) Vedi E. LANDAU, loc. cit. in (3), pp. 189-197; A. E. INGHAM, loc. cit. in (°), pp. 25-40. Per una esposizione che vuol dare una prospettiva sull'argomento, vedere G. RICCI, II teorema fondamentale sulla distribuzione dei numeri primi, « Il Filomate », voi. I (1948), pp. 1-14, 90-99.

— 173 —

e anche con la formula equivalente

(9.2; pn ~ n log n , per n •+ + oo.

(L'equivalenza di queste due formule si stabilisce immediata­mente osservando, come più volte abbiamo già fatto, che n(pn) = n e che log pn ~log n -> + oo). Esso ci dice che la densità ™(x)jx dei numeri primi nell'intervallo (0, x) è asintotica a 1/log oc. Esso porta anche porta come immediata conseguenza

Pn+i/Pn-+l, per 7i-*+ oo

e quindi (8)

(9.3) d(n) = pn + 1 — pn=o(pn)

cioè

(9.4) A{x)=--o{x);

dunque la maggiorante di TCHEBYCHEFF-SYLVESTER A (x) = ex [vedi (7.4)] a diagramma rettilineo può essere sostituita da un'altra il cui diagramma si flette verso il basso; per dare qualche ragguaglio su questa flessione, conviene invocare la maggiora­zione del resto della formula asintotica del « Primzahlsatz » e la vedremo fra un momento. Per adesso osserviamo che La fun­zione d (n) ammette Vordine medio

(9.5) ~(d(l) + d(2) + ... +d(w)) ~ logw . n

Infatti

(9.6) d(l) + <Z(2)+ ... + d(n) = pn+1 — 2

~(w + l ) log(w + l)

~ n log n .

Che cosa si può dire riguardo alla funzione analoga A (so)? Si osservi che

P n + l

/

n n

A(oo)dx= 2 \~A(pk)]* = 2 d2(k) fc=i &=i

o (8) Scriveremo, come ormai è di uso comune, f(x) = o (g(x)) per indicare f(x)/g(x) ->• 0 e f (x) = 0(g(x)) per indicare che \f(x)\/g(x) si mantiene limitato.

— 174 —

e poiché vale la '(9.6), questa somma di quadrati non è inferiore a quella ottenuta con n basi uguali e pertanto

l ^ ) a l H - 2 Y - n H - 2 ) ' *- i i \ n I \ n I

fn logn (1 + ??n)\2 . „ ... .,

— n n

~ pn+1 • logpn+1

Dunque Pn+1

A(x)dx >pn+1 ìogpn+i [1—o(l ) ] . 0

Immaginiamo scritta questa disuguaglianza anche per l'inter­vallo (0, pn) e osserviamo che, per pn<x<pn + 1, risulta

Pn l o g Pn ~ X lOg X ~ Pn + 1 ] ° g Pn + 1 5

allora, per il valore medio di A (x) si ricava:

X

- j A (x) dx > log x[l — o (1)] .

Ma si osservi che se non è vn+1 — pn = o{^pnlogpn), la funzione A (x) non ammette l'ordine medio della forma ft Ioga?; infatti, se per qualche e > 0 esistono infiniti indici v pei quali

Pv+i- pv >c^pv\ogpv,

risulta Pv + 1 Pv

I A(x)dx = I A(x)dx + (pv+1 — pv)2

o o

> ~kpv log pv [1 — o (1)] + e2 pv log pv

> [& + e2 - o (1)] pv log p„

> [& + c 2 - o ( l ) ] p v + i l o g p „ + i

e il coefficiente le + e2 garantisce l'asserto.

— 175 —

Introduciamo adesso il resto del « Primzahlsatz ») per consi­derare il resto è opportuno assumere come funzione di confronto la trascendente detta « integral-logaritmico » e cioè

X 1 - c X

f du T / f C du Li x = / , = hm / +

ìogu a-K)\J J logu Ò 0 1 +e

e la sua funzione inversa hi'1 x. Poiché, come si potrebbe subito verificare mediante integra­

zioni per parti, è

Lia?"*', , L i - 1 x ~ # log# , log x

il teorema fondamentale si enuncia

(9.7) n(x) ~1J\X , p n ~ L i - 1 w ,

e per il resto abbiamo il risultato classico [CH. DE LA VALLEE

POUSSIN (9)]

(9.8) n(x)= Lia? + 0 (xe-^ìofw)

essendo a > 0 costante precisata. Questo teorema ha subito molti perfezionamenti per la maggiorazione del resto [J. E. LITTLE -WOOD (1924), E". TCHUDAKOFF, E. C. TITCHMARSH (1936-1938)] e oggi si può enunciare così

,. a(x)=liix+0(x'e-Q°8x)f*) (9.9) 4

( P — i; — e (e > 0 qualunque)

Si ricava anche

(9.10) pn = L i" 1 n + 0 (n log2 n e-a**»)")

(°) CH. DE LA VALLÈE POUSSIN, «Mém. couronnés Acad. Belgique », 59 (1899-1900), N° 1.

— 176 —

Infatti, posto x = pn in (9.9) otteniamo

pn = Jji^[n+0(pne~(^pnr)];

le derivate delle due trascendenti sono:

—- Li x — - , — L i - 1 y = logx , (y = Li so) dx log x ' dy " ' v"7

e, applicando il teorema del valor medio, si ottiene

pn = L i - 1 ^ + 0{pne-(lo%vnV') • log w con

n = n + 0 ( p n e - ( l o g ^ ) , log ^ ^ log w

da cui l'asserto per una costante p! < /LI che tuttavia è ancora / = ( 4 / 7 ) - 6 .

La (9.10), scritta per p w + 1 e per pn, porge mediante la dif­ferenza fra due formule consecutive (osservando che pn ~ n log n7

log n ~ log pn)

(9.11) . d(n) = Pn + i-Vn = 0 (Pne-^VnV) ,

che si può scrivere

j \ogd{n) = ìog{pn+1 — pn) < ìogpn - {ìogpj1

( per /LI — (4/7) — e e n = % (dipendente da e).

Dunque

(9.12) A{x) <x e-^lo^x^ per x^x0.

e siamo giunti alla funzione definitivamente maggiorante

~A{x) = xe-<lo^x^.

Osserviamo cha, malgrado il notevole e pesante lavoro, la funzione A (a?), sebbene « flessa » verso il basso, è ancora defini­tivamente superiore a ogni parabola della forma y = xl~e (e > 0 piccolo quanto si vuole!).

177 —

10. L'IPOTESI DI EIEMANN E IL SUCCESSO DI A. WEIL. IL TEOREMA

DI ORAMÉR. - È ben noto che, nelle questioni aritmetiche, sostiene, di solito, una parte notevole la funzione £(«) di EIEMANN, cioè la trascendente

C(s) = 1 + Ys + j s + • - + ~ + - . (s = a + it)

e il LA VALLEE POUSSIN pervenne al suo teorema dopo aver dimo­strato che esistono le > 0 e t0 tali che

(10.1) C(s) 0 per a > 1 - ^ , t> t0 ,

e assumendo poi a < )lk. Gli ulteriori perfezionamenti furono conseguiti maggiorando somme di esponenziali e ampliando il campo (10.1). B. EIEMANN in una classica memoria (1859) colle­gava n(x) alla trascendente Li # e agli zeri della trascendente 'Q (s), e ammetteva la seguente proposizione:

Gli zeri dì £(s) appartenenti alla striscia O ^ o ^ l hanno tutti la parte reale 1/2., cioè stanno tutti sulla mediana o = 1/2.

Questa affermazione costituisce la famosa ipotesi di Eiemann ed è prodigiosamente ricca di conseguenze molto interessanti nel campo aritmetico: essa ha resistito ai tentativi che numerosi insigni analisti hanno compiuto durante gli ultimi cinquant'anni. Finalmente, dopo un singolare aggiramento della questione, svi­luppatosi ad opera di matematici della Scuola tedesca (H. HASSE,

F. K. SCHMIDT ecc.) con la considerazione delle funzioni nei cosiddetti corpi di caratteristica finita e il trasporto della que­stione stessa sotto le vedute della Geometria algebrica, A. WEIL

nel 1948 (10) ha pubblicato la dimostrazione di questa famosa ipotesi.

Da lungo tempo era noto, con H. VON KOCH (1901), (11) che Se vale Vipotesi di EIEMANN,

(10.2) n(x) = Li x-V O (}l~x log x) ;

(10) A. WEIL, Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, « Act. Scient. », 1041, Paris, Hermann, 1948, pp. 60-72.

(u) H. VON KOCH, «Acta Mathem. », 24 (1901), pp. 159-182.

•— 178 —

anzi più in generale:

Se 0 è Vestremo superiore delle parti reali degli zeri di £(s) contenuti nella striscia 0 S o 1, e quindi 1 / 2 ^ 0 ^ 1 , risulta (E. LANDAU, 1909) (12)

(10.3) n(x) = Lia? -f 0{xGlogx)

Dalla (10.2), con l'osservazione analoga a quella svolta per ricavare la (9.io) e la (9.il) dalla (9.9), otteniamo l'espressione di pn e della differenza pn + x — pn nella forma

pn = L i - 1 n -'r 0 {)fnìog5l2n)

= Li~1n + 0{Ìpnlog2pn),

(10.4) d{n)= Pn + l ~ Pn= 0 ipnìOg2 pn) .

H. ORAMÉR (13) è riuscito a perfezionare la (10.4) sostituendo, sempre nell'ipotesi di BIEMANN, log22>„ con ìogpn pervenendo a

(10.5) d(n) = pn+1 — pn = 0{)lpn\ogpn) .

A. PILTZ (1884) avanzò la congettura che per ogni e > 0 valga la limitazione

afa) =-Vn + l—Pn = °(Pn)

(cioè che si possa assumere A (x) = af) e H. ORAMÉR (1921), in questo ordine di idee, è riuscito a dimostrare che

NelVipotesi di Riemann, fissato un numero y con 0 < y ^ 1/2, il numero dei numeri primi pn^oc pei quali la differenza soddi­sfa la condizione

à{n) = pn+1~pn>pyn

è maggiorato daWespressione O (%yf) con y' = 1 —3/2 y -f e (e > 0 piccolo quanto si vuole).

Adesso si riguardi la (9.12): l'ipotesi di BIEMANN, del resto ormai dimostrata, e il teorema di H. ORAMÉR hanno portato un

(12) Vedi E. LANDAU, loc. cit. in (a), pp. 385-388. (13) H. CRAMÉR, «Arkiv f. Mat. Astr. och Fys. », 15 (1920), N° 5. (") H. CRAMÉR, «P roc . Cambr. Phil. Soc. », 20 (1921), pp. 272-280.

— 179 —

notevole progresso nell'abbassamento della maggiorante A (a?). Vale la funzione maggiorante

(10.6) ~A(x) = K]/xlogx

e questa funzione ha il diagramma << di poco più elevato » di quello della parabola y = K]/x di ordine 1/2.

Eiprendiamo l'osservazione svolta al n. 9, a proposito del­l'ordine medio di A (a?); possiamo constatare che, anche appli­cando l'ipotesi di RIEMANN e il teorema di H. CRAMÉR, non siamo in grado di affermare che l'ordine medio di A (x) sia della forma ~k log x, poiché questa affermazione richiede la condizione necessaria A (x) = o {)lxìogx) che ancora non è accertata.

11. LA DENSITÀ IN UN INTERVALLO RISTRETTO. L'INTEVALLO |~F,

(lc~\-ì)Y]. - Il « Primzahlsatz » si esprime con la formula

(11.1) jz{x) - JAx + 0 [(j{x)} ,

essendo g(x) = o (se/log x) una funzione diversa, da caso a caso, a seconda della rafi&natezza conseguita nella maggiorazione del resto [vedi la (9.8), la (9.9) e la (10.2)]; esso ci dice, come g'm abbiamo osservato al n. 9, che la densità TI (X)/X dei numeri primi nell'intervallo (0, x) è asintotica a I/log x. Adesso poniamo la questione seguente: È possibile stabilire il valore medio della densità dei numeri primi in un intervallo più. ristretto, cioè del tipo [Xj x ~\- f (x)] di ampiezza f (x) = o (x) ? E, in caso afferma­tivo, quale è questo valore medio ?

È evidente all'intuizione che il problema sarà tanto più difficile quanto più è ristretto l'intervallo, cioè quanto più è basso l'ordine di grandezza di / (x) : qui procediamo per ordini di grandezza, poiché le costanti moltiplicative eludono il « potere risolutivo » del nostro strumento. Parlando per immagini, pen­siamo la ricerca come una ispezione « al ta t to » lungo la retta sostegno dei « nodi » interi primi: il « polpastrello » di cui dispo­niamo è la formula ( l l . i ) e la sua « carenza di sensibilità » è, in certo senso, misurata dall'ordine di grandezza della funzione g (x) che entra nel termine complementare. Da questo ordine di grandezza dipenderà quello dell'ampiezza f{x) dell'intervallo per il quale ci proponiamo di determinare la densità media.

— 180 —

Premesso questo accenno intuitivo veniamo a parlare con precisione: faremo osservazioni che sono immediata conseguenza degli sviluppi elementari in serie geometrica e in serie logarit­mica e anche conseguenza dell'andamento della trascendente Li x1

e precisamente del fatto che la sua derivata è I/log x. Sia f(x) = o(x)i per il teorema dell'incremento finito abbiamo:

f(x) -Li (a?+ /(#)) = Lia? + -^-L , [x = x + Xf{x), 0 < X< 1)

Ioga?

e poiché

log a = log j x f 1 + X — ) |

= Ioga? + log 1 + 1 X

logj1+0(Jm), l \xlogx)} 7

ricaviamo

(11.2) Li (.+ /(*))= L i « + g U o ( _ g _ ) .

Adesso immaginiamo scritta la (11.1) per x + f (x) e per x, e facciamo la differenza a membro a membro; in questo modo otteniamo

(11.8) „[«+/<*)]-*(») •= j g + o y g y + o [»(*)].

Se assumiamo / (x) = o(x), il primo termine al secondo mem­bro è preponderante sul secondo; esso sarà preponderante anche sul terzo se e soltanto se g (x). log x = o [/ (OD)].

La formula (9.9), dimostrata indipendentemente dall'ipotesi di EIEMANN fornisce

g{x) = xe-^^% L = l _ 8 \

e quindi consente, per esempio, di assumere f(x) = x e-(ioga;)" con r < 4 / 7 e, poiché si può sempre pensare v<ju< 4/7, essa ci dà:

x (11.4) rc(0 + 0 6 - ( 1 0 ^ ) - r a t o ) ~ , e-V°8*)v v ' * v log a?

— 181 —

Malgrado questo esponenziale, l'intervallo « saggiato » ha un'am­piezza di ordine superiore a xx~E per ogni e > 0 (piccolo quanto si vuole !).

Adesso ammettiamo l'ipotesi di RIEMANN, la formula (10.2), conseguenza di quella ipotesi, ci fornisce

g(x) = )lx log x

e ci consente di assumere, per esempio / (x) = xe, ( 1 / 2 < 0 < 1 ) . Con questa espressione di / (co) il termine intermedio al secondo membro di (11.3) ha l'ordine

f{x) xw~x

x log2 x log2 x '

e sarà preponderante su g (x) oppure no senonchè 3/4 < 6 < 1 oppure 1/2 < 0 ^ 3/4.

Si perviene quindi al risultato

xG / 1 (11.5) n(x + xe)-~ nix) ~ - , - < 0 < 1

. I o g a ? ' \2

e quindi anche (con e > 0)

(11.6') d(n) = pn+1-pn=. 0(Vnm + s)

Più precisamente

i ° ì o ^ ' P6r 4 < 0 < 2

(11.6) n(x+xe)-n(x) = , - ^ - + J V g 7

Ioga? ,- 1 3 ( 0 (yxìogx), per - < 6 ^ - .

Constatiamo così che la « densità media » dei numeri primi nell'intervallo (co, x + x6) è ancora I/log x; per di più abbiamo maggiorato anche il resto attinente a questo valore medio. Con­viene aggiungere che, per 0 < 6 ^ 1/2, non soltanto la (9.9) ma neppure la (10.2) non ci consente alcun risultato, poiché l'affer­mazione che ne discende

nix + x6) — n(x) = 0 [ÌX log x) ,

12

— 182 —

pur essendo vera, è ovvia; infatti è evidentemente

71 (X + XG) ~~ 71 (x) < X° + 1 .

Possiamo tuttavia affermare che: Per ogni funzione

f{x) = ixlogx ' fx(x) , f1(x)-> + co

risulta

(11.7) TI[X + |/a? log x • f^x)] — 7i(x) ~ ix • /j(a?) ,

essendo fx (x) una qualunque funzione indefinitamente crescente anche lentamente quanto si vuole, per esempio f1(x) = log* x, fx (x) = log log x ecc.

Anzi, volendo sfruttare al massimo lo strumento di cui dispo­niamo e osservando l'ordine Otfxlogx) del termine comple­mentare, si vede che

È possibile scegliere una costante K abbastanza grande in guisa che la differenza

n(x+ K^x log x) —n(x)

risulti maggiore di cK ]lx log x {cK> 0 costante dipendente solo da K). Siamo così pervenuti alla (10.5) e alla (10.6) di H. CRAMÉR.

Consideriamo la domanda (vedi le 5° e 6° formulate al n. 4): È vero che esiste un numero K > 0, abbastanza grande, tale che fra le due potenze di interi successivi kK, (fc + 1)K si trovi definitivamente contenuto almeno un numero primo ?

A questa domanda fra poco risponderemo: la risposta sarà, come al solito, di carattere asintotico. Cominciamo con l'osser­vare che è

(11.8) fcv + yfty-1 < (le + l)y, (¾ > 0 , y > 1 ) .

Infatti, se a> 0 risulta

1 + ya < (1 + a)v

perchè i due membri di questa disuguaglianza, pensati, per a positivo fìsso, come funzioni di y coincidono per y = 0 e per y = \

— 183 —

e inoltre si verificano queste due circostanze: il primo membro è lineare ed ha il diagramma rettilineo, mentre il secondo mem­bro ha il diagramma concavo verso l'alto. Ponendo in questa disuguaglianza a = X/le e moltiplicando per W si ottiene la (11.8). Adesso poniamo

ler=x, y= 1/(1 — 0), ( 1 / 2 < 0 < 1 )

e questo porta

itr-i = x°, e={y-i)ir, (y>2).

La (11.7) ci dà

JCY = x < le? + yk^1 = X + yx° < (le + ly

e l'ampiezza dell'intervallo che ci interessa è per lo meno y volte quella dell'intervallo {x, x + xe). Pertanto la (11.6) ci dà:

Fissato il numero y>2, fra le due potenze W e (lc-\-ì)Y di due interi consecutivi, le e le + 1, sono compresi, per le abbastanza grande, sempre dei numeri primi il cui numero per le-*- + oo è asintoticamente almeno non inferiore a

le^1/logie.

Abbiamo risposto affermativamente alla domanda 6° (vedi n. 4), ma non a quella più esigente 5° che costituisce ancora una congettura [di L. OPPERMANN (15)]: infatti la risposta vale per l'esponente y = 2 + <5 ( ó > 0 ) sempre maggiore di 2.

Assumiamo nella (11.7) f± (x) = Kx costante abbastanza grande: avendo riguardo ai termini complementari della relazione (11.3) e ponendo x = le2 si perviene al risultato :

Esiste una costante K tale che per ogni le ^ 2 fra i due nu­meri le2 e {le-\-K log2 le)2 esiste almeno un numero primo: anzi il numero di tali numeri primi, per le abbastanza grande, ha un valore non inferiore a cKlc log le.

(È naturale: abbiamo diminuito l'esponente da 2 + ò a 2 e abbiamo dovuto necessariamente dilatare l'intervallo !).

12. ANCORA SULL'ABBASSAMENTO DELLA FUNZIONE ~À(X). IL SUCCESSO

DI G. HOHEISEL. - Il n. precedente era dedicato ai risultati otte-

(1G) L. OPPERMANN, « Overs. Dansk. Vidensk. Selsk. Forh. », 1882, pp. 169-179.

_ 184 —

nuti come conseguenza dell'ipotesi di EIEMANN, ma è doveroso e istruttivo ricordare anche quelli faticosamente raggiunti al tempo in cui l'ipotesi di EIEMANN non era dimostrata: in parti­colare vogliamo porre in rilievo che, mentre il « Primzahlsatz » col resto della forma (9.9) conduceva alla (11.4) e non consentiva neppure un intervallo nell'ordine xl~s (e > 0) (anche con e picco­lissimo !), un successo notevole venne conseguito da G. HOHEISEL

nel 1930 (16). Infatti questo autore dimostrò il teorema: Esiste una costante Q < 1 tale che

(12.1) n(x + x°)~7i{x ~xe/\ogx.

Egli si valeva sostanzialmente di due teoremi riguardanti la distribuzione degli zeri della trascendente C(s), (s = a + it), e precisamente: di un teorema di J . E. LITTLEWOOD che assicura essere £ ( s ) ^ 0 in un campo

(12.2) a > 1 ~ a l f f f ' *>*<>(> 3) , « > 0

e di un teorema di E. CARLSON, opportunamente perfezionato, che maggiora il numero degli zeri di £(«) in un campo rettan­golare 1/2 + ò o^ì, 0 <t ^T (<5> 0) e che qui non è il caso di ricordare.

11 calcolo effettivo di quella costante 0 conduceva a un numero molto prossimo a l e cioè 6=1 — (33000)"1: il risultato potrebbe sembrare singolarmente tenue, ma intanto era stata aperta la via per nuove ricerche in questa direzione. In parti­colare G. HOHEISEL aveva osservato che, se in luogo della co­stante a in (12.2) si fosse potuto sostituire una funzione a (t) con a(t) -> + oo per t-+ + oo, allora si sarebbe potuto dimostrare

3 6 = — | - e (e > 0 piccolo a piacere).

Sono venuti gli studi successivi e cioè: H. HEILBRONN (1933) (17) aumentando il valore di a riuscì a

dimostrare 6 = 249/250; nel suo studio si stabiliscono teoremi analoghi per la progressione aritmetica k x -\-l e per la funzione di MÒBIUS p (ri).

(10) G. HOHEISEL, « Sitzungsberichte Akad. », Berlin 1930, pp. 580-588. (17) H. HEILBRONN, «Math. Zeit. », 36 (1933), pp. 394-423.

— 185 —

N. TCHUDAKOFF (1936) (i8), applicando un metodo di I. VINO-

GRADOFF per la valutazione di somme di esponenziali, dimostrò

e « T + « • / \

In fine A. E. INGHAM (19) ha dimostrato che se u--{-it)=0(t?)

per /,-* + co (e costante) allora valgono (11.6) e (11.5') con l'e­sponente

(12.3) 0 = (1 + le)/(2 + 4c) + e

e in base ai noti valori di e risulta

577 ^ - 9 2 5 + ^

In questo lavoro viene citato anche un risultato non pubbli­cato sulla costante e, di E. C. TITCHMARSH che dà

48 (12.4) 0 = — + e .

Il teorema di A. E. INGHAM è interessante perchè consente anche di riattaccarsi a una classica ipotesi di LINDELOF, secondo

la quale per ogni A > 0 è £1 — + it\=0(tf). Infatti, la (12.3) ci

mostra che, in tale ipotesi, vale la (11.5) con 0 = 1 / 2 + « e quindi vale anche la (11.5') (questo risultato è prossimo a quello di H. ORAMÉR espresso dalla (10.5)).

Abbiamo così, in questo n., prospettato i risultati ottenuti per l'abbassamento della funzione A (oc), senza fare uso dell'ipo­tesi di EIEMANN: il risultato migliore è quello corrispondente al valore assegnato da (12.4), cioè

Pn+i-Pn=0(pn"), 6> 48/77.

13. IL METODO DI VIGGO BRUN E IL TEOREMA SUI NUMERI PRIMI

GEMELLI. - Consideriamo le coppie [p, p' = p + 2) di numeri primi

(1S) N. TCHUDAKOFF, « Recueil Mathém. Moscou », nouv. sèrie, 1 (43) (1936), pp. 799-814.

(10) A. E. INGHAM, « Quarterly Journ. of Math. » (Oxford series) 8 (1937), pp. 255-266.

— 186 —

gemelli

(3, 5), (5, 7), (11, 13), ..., (10-006-427, 10"006"429), ...

e (vedi al n. 4 la domanda 7°) domandiamoci: Questa classe è finita oppure no ? Ancora non è nota la risposta a questa domanda; sull'argomento VIGGO BRUN dimostrò, nel 1919, il seguente inte­ressante teorema (20):

La somma degli inversi dei numeri primi gemelli

„ / 1 1 X 1 1 1 1 1 1 \p p/ 3 5 5 7 11 13

o è somma di un numero finito di termini o è una serie conver­gente.

Per comprendere il significato della seconda alternativa dob­biamo riflettere che la serie E 1/p degli inversi dei numeri primi

P

è divergente (come lo è la serie armonica E 1/n) e pertanto i numeri primi p sono abbastanza «frequenti» da produrre questa divergenza, mentre, secondo V. BRUN, le coppie (p, p' =p + 2) sono abbastanza «rare» da produrre quella convergenza; anzi, questo autore perviene al seguente teorema (meno pronunciabile ma più significativo del precedente):

Detto B (x) il numero delle coppie (p, p'^p -\-2) di numeri primi gemelli, per le quali p ^x, risulta

B(x) = 0 {x/ìog2 x) .

Appunto da questo segue, in modo ovvio, il teorema pre­cedente.

Il metodo seguito da V. BRUN è veramente brillante: esso si riattacca al più che bimillenario « crivello di Eratostene » e sono intermediari, sostanzialmente, alcune osservazioni primordiali di Analisi combinatoria; esso sembra voler documentare l'eterna freschezza delle risorse di cui dispongono le Scienze matematiche. Questo metodo, come fra poco accenneremo, risolve il problema

(20) V. BRUN, « Comptes rendus Ac. d. Sciences», Paris 168 (1919), pp. 544-546; «Bulletin d. Se. Mathém. », 43 (1919), pp. 100-104, 124-128; «Videnskap. Skrifter I. Mat. Nat. Klasse », Kristiania 1920, n° 3.

— 187

che potrebbe dirsi dell' « onere della condotta del crivello » ed ha già reso utili servizi nel campo dell'Aritmetica. Eiflettiamo che quando si applica il crivello di Eratostene all'insieme di numeri interi 1, 2, 3, ..., N per ottenerne i numeri primi occorre operare con gli «stacci» ( ^ ) , (pa), ..., (pk) (pk^W<pk+1), poi in senso inverso con gli «stacci» (px p2), (p1p3), ..., {pk-iPk)\ poi ancora in senso diretto con gli «stacci» {PiPzPz), ... ; ecc. ecc. I numeri interi risultanti alla fine del processo sono i numeri primi pk+1,pk + 2, .-.,Pn, dove pn^N<pn + l . Il numero n~k di tali interi primi è (si vedrebbe facilmente) (21)

7i{N)—7i{ÌN) = N — E v' + 27 N

p'p' - E

iV p'p" p'

e il problema consiste nel calcolare questo numero. Osserviamo che

N

p'p"... p (0 N

p'p" ...p (i) — Q(p',p", ... ,p<0), ( O ^ 0 < 1 )

dove 6 (p% p", ..., p{l)) è la mantissa della frazione Nj{p' p" ... p{l)): sulla mantissa generica non abbiamo alcuna informazione ali'infuori di quella ovvia 0 ^ 6 < 1, e il calcolo del numero intero n (N)—TI()/N) comporta 1'« onere » di tante (troppe!) mantisse, poiché il numero delle frazioni (e quindi quello delle

mantisse) è dell'ordine 2n{N)~n^N). Questo gravame (che potrebbe pensarsi come « il noleggio del crivello ») non ci consente alcun risultato perchè l'operazione porta «in deficit». L'idea di V. BRUN

consiste nel « noleggiare gli stacci » corrispondenti soltanto ad alcune delle troppo numerose combinazioni (p', p", ..., p{l}) e scelte con legge appropriata: il risultato sarà « spurio » ma pre­senterà il vantaggio, insieme alla informazione globale precisa sulla sua « mancanza di purezza », di ridurre 1' « onere » in guisa da lasciare l'operazione in un apprezzabile «att ivo». Anzi, di più, la scelta delle combinazioni può essere fatta tanto in guisa che il computo porti a un risultato maggiorante, quanto in guisa che l'analogo computo porti a un risultato minorante.

(21) Per ogni numero reale a si denota con [a] la parte intera di « cioè il massimo intero relativo che non supera a.

— 188 —

In particolare, applicando il crivello di Eratostene con la scelta degli « stacci » al modo di VIGGO BRUN, si scopre per esempio che:

Il numero B8 (x) dei numeri interi g. x pei quali il minimo divisore primo supera xs (0 < ò < 1) soddisfa alla limitazione

logie logx

{c1(ò), c2(à) costanti dipendenti da d) e per ò < 1/5 è c1(ò)>0. Si osservi che, per ó = 1/2, risulta E8 (x) = n(x) — n (\lx) e la

parte a destra della limitazione di questo teorema fornisce la parte a destra del secondo teorema di P . TCI-IEBYCHEFF (n. 7): un risultato modesto (viene fatto di osservare !). Ma ancora non abbiamo dichiarati due pregi fondamentali del metodo di V. BRUN

e cioè: 1° il metodo non si preoccupa della « fase » in cui entra in azione lo «staccio» generico ip' p" ... p®) e quindi conduce a risultati riguardanti un qualunque intervallo (X, X -f x) validi uniformemente rispetto a X; 2° il metodo può applicarsi anche a due o più crivelli « in parallelo » comunque « sfasati ».

Applicando detto metodo alla coppia di interi x, x + 2 si ottiene il teorema sulle coppie di numeri primi gemelli enunciato al principio di questo n.

Conviene enunciare qui, accanto alla proposizione precedente e troppo primordiale, un'altra proposizione come tipo di quelle a cui si perviene col metodo suddetto.

Siano a, b interi; | , rj t £ numeri non superiori a xò(0 <ò<l). Il mimerò A (co) dei numeri interi u non superiori a x e tali che u, u + a, u -f- b n®n ammettano divisori primi inferiori ordinata­mente a £, rj, £ soddisfa alle limitazioni

T X

c^ò: a, b) • . r ^ = < A(x) < c„(d; a, b) — : 1 ' ' log £ log r] log l; y ' 2V ' ' l og ! log ?? log £

Un teorema di questo tipo non è più significativo dalla parte minorante quando è c1(à) rg 0.

Esso, per ciò che riguarda la sua parte a destra, diventa più significativo quando si abbassa il valore di c2 ( d) e, per ciò che riguarda la sua parte a sinistra diventa più significativo quando si solleva l'esponente ò che misura la potenza del me-

— 189 —

todo (l'ideale sarebbe di poter porre ò = 1/2 !) e, per un ò fissato, quando si solleva il valore di e± ( ò). Questi problemi di raffina­mento tecnico hanno costituito l'oggetto di numerose ricerche da parte di H. RADEMACHER, E. LANDAU, TH. ESTERMANN, G. RICCI,

A. BUCHSTAB, A. SELBERG (22). In ispecial modo è da segnalare l'impianto del « crivello » costruito secondo A. SELBERG; questo autore pone in modo penetrante il problema di minimo connesso alla scelta degli « stacci » e al relativo « noleggio » globale e procede a scelte vantaggiose, anche se in generale non corrispon­denti a quel minimo (23).

Per chiudere questo n. ritorniamo alle coppie di numeri primi gemelli.

Al seguito di uno studio di N. M. SHAH e B. M. WILSON

rivolto ad analizzare varie congetture riguardanti il problema di GOLDBACH e quello dei numeri primi a distanza fìssa (fra le quali quelle di J. J. SYLYESTER e di V. BRUN), G. H. HARDY e-J. E. LITTLEWOOD (24) avanzarono la congettura che il numero B(x) di tali coppie non superiori a x sia assegnato dalla relazione asintotica

B{x) ~ = - ^ - . *dove 6 = 2 JT (l — 7 — ì — ^ = 1-320... log2» ' - ' p è 3 \ {p-l)V

Su questo ritorneremo nel n. 16. Il teorema di V. BRUN assegna una maggiorazione del numero

B(x); ma il metodo stesso non consente di stabilirne un confine

(22) Vedi H. RADEMACHER, «Abhand . Math. Sem. Hamburg», 3 (1924), pp. 12-30; E. • LANDAU, Zahlentheorie, I, Leipzig 1927, pp. 71-78; « Nachrichten Ges. Wiss. » Gòt-tingen 1930, pp. 255-276; Fortschritte der addittiven Zahlentheorie, Cambridge Tracts 1937; TH. ESTERMANN, «Journal fiir Mathem. », 168 (1932), 106-116; G. RICCI, « Rend. Palermo», 57 (1933), pp. 433475; «Annali Scuola Normale Sup. Pisa» (2), 6 (1937),

pp. 71-116; H. HEILBRONN - E. LANDAU - P. SCHERK, « Casopis Matem. Fys. », 65 (1936), pp. 117-140. A. BUCHSTAB, «Ree. Mathém. » (4), 46 (1938), pp. 375-387; « Comptes rendus Ac. Soc. U.R.S.S. », 29 (1940), pp. 544-548; A. SELBERG, « Norske Vid. Selsk. Forh. », Trondhjem 19, n. 18, pp. 64-67 (1947).

Per alcuni cenni di carattere generale sul metodo di V. BRUN vedi G. RICCI, « Rend. Semin. Mat. Fis. Milano», 13 (1939), pp. 204-226 e «Atti d. Convegno matematico», Roma, novembre 1942, pp. 105-107, Roma (1945).

(23) Il lettore può vedere A. SELBERG, The general sieve-method and its place in prime number theory, « Proceedings International Congress of Mathem. », Cambridge Mass. U.S. A., Aug. 30-Sept. 6, 1950; A. M. S. Providence 1952, pp. 286-292 (pubbli­cata dopo che fu tenuta questa conferenza).

H N. M. SHAH - B. M. WILSON, «Proc. Cambridge Phil. Soc», 19 (1919), pp. 238-244; G. H. HARDY - J. E. LITTLEWOOD, ibidem, pp. 245-254.

— 190 —

inferiore; al riguardo vale per esempio la proposizione seguente: Sia Z (x; a, b) il numero delle coppie di interi u, u + 2ni

(m intero positivo) tali che u ^ x e inoltre: u è composto di al pie a fattori primi uguali o distinti, tutti

maggiori di ^ 1 / ( a + 1 ) ; u + 2m è composto di al piii b fattori primi uguali o distinti tutti maggiori di ull{b+1). Allora, esistono due costanti positive c1 = cl(m; a, b), c2(m; a, b) tati che

'V X e, =— — < Z (x: a, b) < c2 -.—5— 1 log2 x ' ' 2 log2 x

per le seguenti coppie di valori a e b:

a = 6, b = 6 (TH. ESTERMANN);

a = 5, b = 7 ; a. = 4, b = 9 ; a ----- 3, b = 15 (G. RICCI).

Per potere assicurare l'esistenza di infinite coppie (u, u+2m) occorre concedere ai due interi componenti anche pochi divisori primi, ma più di un divisore primo; pertanto non si sa se le coppie p, p' = p-\- 2 siano in numero finito oppure infinito. La funzione minorante A (x) rimane ancora la costante A {x) = 2 (vedi fìg. 3, n. 5), e riguardo ai diagrammi presentati nella fìg. 2 (n. 4) delle funzioni A2, A±, ... (e contrassegnati con 2, 4, ...) non è noto se l'ordinata resterà stazionaria a partire da un certo punto in poi, oppure se crescerà indefinitamente.

14. IL SOLLEVAMENTO DELLA FUNZIONE D (X). - Riprendiamo la questione che grosso modo può essere posta così: Di quanto almeno si trovano distanti fra loro numeri primi consecutivi scelti fra quelli che sono fra loro più lontani? Abbiamo già veduto (al n. 8), come conseguenza del teorema di F. MERTENS,

che esistono infiniti valori n' di n tali che

(8.1) Pn' + i — Pn' > {ec~ e)log?v

(0=0,5772. . . costante di EULER-MASCHERONI) e questo risultato ha portato 11 sollevamento della funzione D {x) da

(1 — e) log ^ a (ec— e) log x = (1,781... —e) log x.

In tempi relativamente recenti è stata studiata la differenza d(n) per ciò che riguarda i suoi valori « giganti » e, non essendo

— 191 —

possibile entrare in particolari, ci limitiamo a segnalare i risultati successivamente raggiunti: per semplificare la scrittura poniamo

log2 OD = log log OD, log3 OD = log log log x, ecc.

Fissato £ > 0, esistono infiniti valori n' di n pei quali sussiste la disuguaglianza (25)

d(n') = pn'+i— pn' > (2 -- e) logpn (E. J. BACKLUND)

> (4:— s)ìogpn (A. BRAUER-H.ZEITZ)

>{2ec— e) l°gP" ' l o g 3 l - n (E. WESTZYNTHIUS)

ÌOgtPn

log pn lOg., pn ._ _ .. . > 7 /i — ^ ¾ ^ P. ERDOS

(log8Pn)a

(7 > 0 conveniente)

Si è dunque riusciti ad acquistare vantaggio nell'ordine di grandezza, anche se le funzioni moltiplicatrici di log pn sono molto lentamente crescenti.

A questi risultati si è giunti con la scelta, effettuata inge­gnosamente, della traslazione X che porta l'intervallo (0, y) nel­l'intervallo (X, X+ y) nel quale si addensano interi aventi pic­coli divisori primi: trova applicazione anche il metodo di V. BRUN.

Il migliore limitato noto (quello di E . A. EANKIN) ci assicura, pertanto, la possibilità di assumere la fu azione

/1 \ log a? loglog a? i i i i D(x) = (w —e r r h — 1 xo loglogloglog x , . — V2 / (logloglog.^)2 7

come bordo superiore del «pennello» {D,D) (vedi figura 3, n. 5). Questo bordo superiore lascia al di sopra i punti rappre­

sentativi dei valori d(n) «anormalmente grandi»; il loro presen­tarsi può essere segnalato dai posti w*, che potremmo chiamare

(23) R. J. BACKLUND, «Annales Acad. Scient. Fennicae », ser. A, 32 n. 2, Helsinki (1929); A. BRAUER - H. ZEITZ, « Sitzungsber. Berliner Math. Gesel », 29, pp. 116-125; E. WESTZYNTHUIS, « Comment. Phys. - Mathem. », 5, n. 25, Helsingfors (1931); P. ERDOS, «Quarteiiy Journ. of Mathem.» (Oxford series), 6 (1935), pp. 124-128; R. A. RANKIN. «Journ. London Math. Soc. », 13 (1938), pp. 242-247.

— 192

«posti record» nei quali d(n*) ha un «valore record», cioè mag­giore di ogni altro che lo precede: vai quanto dire che d(n) <d(n*) per ogni n < n*. Consideriamo la successione costituita da tutti e soli i «posti record» n ì > n 2 > n 3 5 % * , ; la tabella e i diagrammi del n. 3 ci segnalano i primi sette di questi posti e cioè 2, 4, 9, 24, 30, 99, 154 ai quali corrispondono i numeri pri­mi 3, 7, 23, 89, 113, 523, 887 con le « differenze record » 2, 4, 6, 8,14, 18,20. La successione degli interi n* è effettivamente « molto rarefatta » e, a questo proposito, riteniamo interessante segnalare una nota di A. È. WESTERN (25*) che presenta la tabella dei «valori record» per i numeri primi non superiori ai 10 mi­lioni: tali valori sono in numero di 20 e la tabella, che porta anche alcune funzioni di confronto scelte appropriatamente (i logaritmi sono intesi in base 10), è la seguente (l'autore dice: «It is highly probable, but not certain, that my table is complete »).

A. E . WESTERN osserva che risultano avvalorate le due con­getture: 1° che sia definitivamente d{n) <}/'pn, 2° che esista c > 0 tale che d{n) > e log2 pn .

Vn d(n) d(rì)

(Log pn)2

d(n) (Log pnffr

d(n) d{n)

Pnll2

3 2 8,79 15,24 1,52 1,155"

7 4 5,60 6,09 2,46 1,512

23- 6 3,24 2,77 2,74 L251

89 8 2,10 1,51 2,60 0,848

113 14 3,32 2,32 4,29 1,317

523 18 2,44 1,48 3,76 0,787

887 20 2,30 1,34 3,66 0,672

1129 22 2,36 1,35 3,80 0,655

1327 34 3,49 1,97 5,63 0,935

9551 36 2,27 1,14 3,64 0,368 15683 44 2,50 ' 1,22 3,39 0,351

19609 52 2,82 1,36 4,39 . 0,371 31397 72 3,56 1,68 5,41 0,406 155921 86 3,19 1,40 4,33 0,218 370261 112 3,62 1,53 4,54 0,184 492113 114 3,52 1,48 4,30 0,163

1319533 118 3,14 1,27 3,46 0,102 1357201 132 3,51 1,42 3,87 0,113 2010733 148 3,73 1,48 3,93 0,104 4652353 154 3,46 1,34 3,32 0,071

(25*) A. E. WESTERN, « Journ. London Math. Soc. » 9 (1934), pp. 276-278.

— 193 —

15. L'ABBASSAMENTO DELLA FUNZIONE Z> (X). IL SUCCESSO DI

P. ERDÒS. In questo numero prendiamo in esame la questione, in certo senso, duale di quella t rat ta ta al numero precedente e cioè: di quanto al più potremo trovare distanti fra loro nu­meri primi consecutivi che sono fra loro vicini? Abbiamo già veduto in sede elementare (al n. 7, vedi la (7.5)) che, per ogni £ > 0, esistono infiniti n" tali che

d(n") = Vn"+1 — Pn" < (1 + £) l o g pn» .

e l'attesa di un miglioramento di questa disuguaglianza è stata molto lunga.

In uno studio manoscritto : Partitio Numerorwm VII di G. H. HARDY e J . E. LITTLEWOOD citato da E. A. EANKIN (26) si trova citata un risultato di quegli autori che fa appello alla « ipotesi estesa di Eiemann »•; questa ipotesi riguarda le funzioni analitiche che per o > 1 sono definite dalla serie di DIRICHLET

V ( ti ì

L{s) = L(s, %) = E ^ - , (s = a + it; %{n) carattere di n)

e, precisamente, la collocazione dei loro zeri nella striscia cri­tica O ^ a ^ 1 . Diciamo (9 l'estremo inferiore di tut t i i numeri positivi oQ tali che nessuna i-funzione di DIRICHLET L (S, %) abbia uno zero in s = a + U con à>aQ (notiamolo: nemmeno sull'asse reale), l'ipotesi estesa di Eiemann afferma che

0 = 1 / 2 .

Ebbene, in questa ipotesi, quegli autori dimostrano che per ogni o> 0, esistono infiniti n" tali che

d(n") = Pn"+i — Pn" < (2/3 + e) log pn» .

Nel 1940 lo stesso E. A. EANKIN con metodi analoghi riusciva a dimostrare il seguente teorema che perfeziona il precedente e, fra l'altro, assegna anche « una cadenza » secondo la quale

(20) R. A. RANKIN, «Proc. Cambridge Phil. Soc. », 36 (1940), pp. 255-266.

— ]94 —

almeno si deve trovare una coppia ravvicinata entro il limite segnalato.

Fissato « > 0, per N^N0(e) esiste sempre almeno una coppia di interi primi consecutivi pn„, pn»+1 soddisfacenti alle due relazioni

i N^Pn" < Pn"+l< ^N

) /1 -f 4(9 \ f d{ll") = pn» + 1 — Pn"< \ g + fi) 10g^?n"

dove 0 è Vestremo inferiore che abbiamo definito sopra (attinente alle funzioni L (s, %) del DIRICHLET).

Osserviamo che nell'ipotesi estesa di Eiemann è 0 = 1/2 e quindi risulta

d{n") = pn» + 1— pn»< (3/5 +e) log 2?«»

e quindi si può assumere

2>(o?)= (3/5 +e) log*'.

Osserviamo ancora che questo teorema è significativo soltanto per 0<1 poiché per 0 = 1 conduce a D (x) = (1+ e) log x già noto elementarmente.

Ancora nel 1940, P, ERDÒS conseguiva un vero successo nella studio di questo problema; infatti, indipendentemente dall'ipotesi di Eiemann, egli dimostrò (27).

Esiste una costante a < 1 tale che, per N abbastanza grande, fra N e 2N si trova almeno una coppia di numeri primi consecutivi

N ^pn»< pn»+i < 2N

tali che sia

d{n") = pn» + 1 — Pn" < a * log yn.> .

Pertanto si può assumere

D(x) = a • log x .

(27) P. ERDÒS, «Duke Math. Journal», 6 (1940), pp. 438-441.

— 195 —

La dimostrazione segue questa linea: il numero delle coppie di interi primi (anche non consecutivi) p, p' = p +- a è maggio­rato col teorema di V. BRUN; fra queste coppie, quelle per le quali (1 —e) log n ^ a ^ (1 +- e) log n «non sono troppe »j per e abbastanza piccolo, l'ammettere d (n) = pn+1 — pn>(l — e) log n per ogni pn compreso fra N e 2N porta all'assurdo, poiché non ci sarebbero sufficienti coppie da costituire gli ~N/ìog N interi primi che cadono nell'intervallo (N, 2N).

E. A. EANKIN (28) ha recentemente (1947) calcolato un valore possibile della costante a, e precisamente quello che risulta dalle maggiorazioni eseguite col metodo di V. BRUN secondo lo schema di A. BUCHSTAB (1938) (29); questo calcolo ha condotto al seguente risultato: Il teorema di P . Erdòs vale con a — 57/59.

Il bordo inferiore del pennello (D, D) risulta

j5(a>) = (3/5 + fi) l o g x , D(x) = (67/59)logx

secondochè si ammetta oppure no l'ipotesi estesa di Eiemann.

16. EITORNO AI DIAGRAMMI. IL TEOREMA DI W. KNÒDEL. - Eipren-diamo in esame i diagrammi del n. 3 che danno sostanzialmente l'immagine della tabella numerica. La flg. 1 presenta il diagramma della funzione d (n) per 0 < n^.110. e anche quello della funzione log n: risulta confermato dalla figura il fatto che log n sia l'or­dine medio di d (n) (vedi n. 9).

La fìg. 2 porta i diagrammi delle due funzioni ^ (x) e log x (si può pertanto riflettere sul pennello (D, D) illustrato ai due nn. 14 e 15) e anche quelli delle sette funzioni A2h(x) (fe = l ,2 , . . , ,7) che sono contrassegnati coi numeri 2,4, . . . ,14. Fissiamo l'atten­zione su questi ultimi: si vede che A2, A4, A8 procedono insieme, mutuamente intrecciandosi, mentre A6 e A12 hanno un'ordinata all'incirca doppia di quella di A2 e, infine, A10 e A2i hanno rispettivamente ordinate che sono circa 4/3 e 6/5 di quella di A2

(per lo meno nella zona finale del diagramma). Di questi fatti possiamo dare una spiegazione euristica molto semplice.

La crivellazione dell'intervallo {0,N) eseguita conio «staccio» (p) riduce il numero degli interi da N a N(l—l/p); e anche

(28) R. A. RANKIN, «Journ. London Math. Soc. », 22 (1947), pp. 226-230. P ) Vedi n. 3 e nota (22).

— 196 —

sappiamo che (vedi n. 8)

II fi -- 1 ) • pi

2e-° ^> .

Ioga?

N n{N) ~ ìogN '

La crivellazione dell'intervallo (0, JV) eseguita con due «stacci» (p) in parallelo, sfasati di 2¾ riduce il numero degli interi da JSf a N (1 — 2/p), a meno che p non sia divisore di 2h, poiché quando p divide 2h7 le due crivellazioni, in apparenza sfasate, si sovrap­pongono (i numeri up e up -\~2h percorrono lo stesso insieme); il uumero degli interi viene ridotto da N a JV (1 — ljp)> Si vede che i numeri primi p dispari divisori di 2¾ hanno influenza sul risultato nel senso di sollevare il diagramma della funzione A2h (x) nei confronti di A2 (OD) allungandone le ordinate nel rapporto

(1 - l/p)/(l - 2/p) = (p - 1 )/(p - 2 ) ;

se 21i è potenza di 2 i numeri primi dispari mancano. Osserviamo che per p ^ 3 è

2 ( 1 \2 1 / 1 \2 ( 1 ) p \" p/ p2 \ pi \ (p — l)2 1

e che converge il prodotto infinito

p = 2 n i l - - — 1 — - ! . p £ 3 ' (P — l ) 2 I

Introdotta questa costante /5 e osservato che col numero primo 2 si crivella una sola volta per qualunque A2h(x), abbiamo

i - d n i - - j = - . / z i __ • p„t^. -' 3 ^ p ^ z V pi *3^p^x\ P> & l o g - ^

Riguardando quello che accade con un solo crivello (cioè al passaggio dal coefficiente e~c al coefficiente 1) si può preve­dere (30)

M®)~ r^r~ ()8=1-320..) 2 ' log2 x '

(80) Per interessanti e acute osservazioni su questo argomento vedere loc. cit. in (21).

— 197 —

Per la valutazione di AG(x) tutto corre nello stesso modo: la sola modificazione (poiché il numero primo 3 opera una sola volta) consiste nel sostituire il fattore 1 —1/3 al fattore .1 — 2/3 e poiché (1 - 1/3)/(1 - 2/3) = 2 ne segue

. . . 20x b log2 a?

In generale

A2h(x) ~ p n £—- — j -p\h V ~~ ^ i08 x

(essendo il prodotto esteso ai divisori p primi dispari dell'intero Ji). Vengono così giustificate in qualche modo le osservazioni già fatte empiricamente e cioè:

1 3 5 J.a (x) ~At (x) ~ - A6 (x) ~ A8 (x) ~ - A1Q (x) ~ - Au (x).

Il punto essenzialmente incerto di queste nostre osservazioni sta nell'ammettere che le mantisse non abbiano influenza sul risultato della crivellazione (si rivedano le considerazioni del n. 13) e che statisticamente si presentino delle mutue compensazioni: questo non è rigorosamente provato e la diffìcile domanda sul comportamento di A2h (x) non ha ricevuto risposta.

Per decidere se A2h (x) rimane definitivamente stazionaria oppure cresce indefinitivamente si può, almeno in un primo esame, prendere in considerazione un insieme abbastanza esteso di tali funzioni e porre la seguente domanda:

Se arrestiamo l'intervallo al punto x, quanti sono i diagrammi A2h{x)ì con 1 ^ h^ [log x] che sono arrivati «abbastanza in alto » ? (Questo « abbastanza in alto» può intendersi in relazione all'ordine di grandezza x/ìog2 x che maggiora secondo V. BRUN

le A2h (x) stesse). Da questo punto di vista si è collocato W. KNÒDEL (31) che

(31) W. KNÒDEL, « Nachrichten der Oestev. Math. Ges », 3 Jahrg. Nr. 8/9, p. 35 (riassunto); «Monatshefte fiir Math.», 55 (1951), pp. 62-75; ibidem 56 (1952), pp. 137-143. Ringrazio il prof. U. RICHARD che, in occasione della mia conferenza, mi segnalò gentilmente il riassunto del lavoro di W. KNÒDEL comparso in « Nachrichten ». Ho ritenuto opportuno di aggiungere anche il risultato di questo giovane autore per ren­dere più completo il quadro sull'argomento esposto.

13

198 —

ha studiato le &-uple p,p'=p + alf p" = PJr^2i •••? P{ — p-\-<*k-i di numeri primi ottenute per traslazione: ci limitiamo a enun­ciare il suo risultato nel caso k = 2, cioè della coppia p,p' = p-\-2h, essendo questa la forma particolare che interessa più da vicino la nostra esposizione.

Siano :

A2h (x) il numero delle coppie di interi primi p, p'= p -{- 2k con p ^ x,

Z (y, OD) il numero degli interi h tali che

0 < h < 2 log x , A2h{x) > yx/log2x ;

allora, esistono due numeri positivi y e ò indipendenti da x, tali che

Z (y, X) > òlogX .

Anche con questo teorema non possiamo né affermare l'esi­stenza di qualche A2h (x) indefinitamente crescente per a?-^+00, ne affermare l'esistenza di qualche A2h (x) definitivamente sta­zionaria: infatti, per ogni x, avremo un sistema di diagrammi A2h{x) con 0< h< 2 log x che sorgeranno nella prima parte dell'intervallo (0, x) e, nel passaggio da xx a x2 (> ,^) , vi saranno diagrammi sopraggiunti da unire ai precedenti. In queste condi­zioni, si può presentare, una qualunque delle tre circostanze seguenti :

1° A ogni x si può coordinare un y (x) (y < x, y-+ + oo per x -• -j- oo ) tale che i diagrammi che sono « alti » all'ascissa x siano tu t t i fra quelli « sopraggiunti » da y a x, mentre tutti quelli pertinenti a y, ormai già « stanchi », siano divenuti stazionari. In questo caso ogni A2h (x) risulta definitivamente stazionaria,

2° Ogni A2h(x) cresce indefinitamente sempre in accordo con le limitazioni note.

3° Per qualche valore di h la A2h (x) è definitivamente stazionaria e pei rimanenti valori è indefinitamente crescente: tutto sempre in accordo con le limitazioni note.

In questo modo si vede che le domande 7a e 8a del n. 4 sono rimaste senza risposta.

— 199 —

17. UN CENNO SU UN NUOVO PROBLEMA. - Per indagare come sono distribuite le coppie pn, vn + i di interi primi consecutivi e tra loro vicini, fissiamo l'attenzione sull'intervallo [(1 — ò) x, x] di ampiezza ò x e denotiamo con Bs (OD; a) (0 < 6^1) il numero delle coppie (pn, pn+ i) che verificano le condizioni

(1 — d) x <pn^x, pn + 1 — pn<a log pn .

Il teorema di P. ERDÒS ricordato nel n. 15 ci dice che per ò — 1/2 la funzione D1/2 (OD; a) è definitivamente positiva per qualche a < 1. Denotiamo con E l'estremo inferiore dei valori a tali che, per ogni ò > 0, Dò(x; a) risulti definitivamente positiva (cioè dei valori a tali che esistano per ogni x^x0(a, ó), delle coppie di interi primi consecutivi per i quali pn+ y — pn < a log pnì

(1 — d) OD < pn^x): accanto a E introduciamo anche il seguente numero A che à connesso con Vordine dì grandezza di Dò (OD; a). Se a > l si vedrebbe facilmente che esistono costanti positive e tali che

Ds (x, a) > e òx/ìog2x .

Denotiamo con A l'estremo inferiore degli a pei quali, qua­lunque sia ò, esiste o(d, a)> 0; pel significato di E abbiamo:

E^A ^ 1.

Nei riguardi di questa costante A sussiste la seguente limi­tazione [G. EICCI (32)]

A ^ 1 — pjZB ,

dove p - 1,320... è la costante di N. M. SHAH e B. M. WILSON

(vedi n. 13 e n. 16) e B è la costante (che potremmo chiamare) di VIGGO BRUN, cioè è l'estremo inferiore dei numeri e tali che per ogni x ^ x0 (e) (indipendente da a) il numero delle coppie (pn, pm) con pm — pn = a, pn^oo, ( a è 2) non supera

P — 1 OD

p\ap — 2 ÌOg2X ' \ = )

(32) G. RICCI, «Rivista di Matem. Univ. Parma», 3 (1952), in corso di pubbli­cazione.

— 200 —

Una maggiorazione numerica di B calcolata secondo lo schema di G-. RICCI (33) conduce alla limitazione A < 47/48.

È interessante osservare che, se è valida la congettura di G. H. HARDY e J. E. LITTLEWOOD (vedi n. 13) secondo la quale B = fi, si perviene all'uguaglianza espressiva E <A<lj2.

18. CONCLUSIONE. - Riepiloghiamo qui le informazioni raccolte sulle funzioni aritmetiche d (n) e A (co). Possiamo dire che:

1) d (n) ha l'ordine medio log n. 2) Non è stabilito se A [oc) ammette un valore medio de­

finito in relazione all'ascissa x. Scriviamo j con R ] e j senza B j per indicare che il risultato

è ottenuto assumendo l'ipotesi (estesa oppure no) di EIEMANN

o senza tale ipotesi: allora abbiamo

A(x) = 2

i D(x) = (3/5 + e) log x , \ con B j

( D(x) = (57/59) Ioga?, \ senza K \

n/ \ A \ l°£x log Ioga?. . , . D (x) = - — e -z——f—^-logloglogloga? — \2 J (logloglog®)*

i A(x) = K ]/QD logie, \ con B \ <

( ~A(x) = Kxe , {6 = (48/77) + e), \ senza B \ .

Queste sono le quattro funzioni indicatrici che, come fu detto al n. 5 (vedi fìg. 3), ci segnalano, purtroppo ancora molto vaga­mente, l'andamento della funzione A (x) e, implicitamente, anche quello della funzione d(n).

(33) G. RICCI, « Annali Scuola Normale Sup. Pisa » (2), 6 (1937), pp. 71-117.

NOTE