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La carta di Smith

IZ3NPZ Ferdinando e ARIVERONAEST

12/01/2010

La costruzione della carta di Smith

Una impedenza Z è formata da due parti: la parte resistiva (si chiama ancheparte reale) e la parte reattiva (la parte immaginaria). Queste due entità con-corrono a formare, ambedue, l'impedenza, ma sono due entità diverse e cometali non si possono sommare assieme; però si può indicare che l'impedenza èformata dalle due parti scrivendo Z = R + jX dove R è la resistenza (la partereale), mentreX è la reattanza (la parte immaginaria). Il termine j sta ad indi-care che fra R ed X c'è uno sfasamento di 90°. In altre parole, l'impedenza deveessere rappresentata su un piano con due assi, in questo modo (vedi gura).

In altre parole, si può pensare all'impedenza come ad un triandolo rettan-golo, ed infatti se si vuole trovare il valore di Z (il modulo), si deve usare la

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iz3npz La carta di Smith

formula

Z =√R2 +X2

A benguardareè la stessaformula percalcolarel'ipotenusain un tri-angolorettangolo

Ora, per costruire la carta di Smith, si immagini di prendere l'asse delleX, l'asse immaginario, e piegarlo no ad incontrare, nel punto più lontano,all'innito, l'asse delle R; e questo si faccia sia per la parte positiva che per laparte negativa dell'asse, come illustrato in gura. Allora il cerchio più esternoè l'asse immaginario, e quindi su questo la resistenza vale zero

Ecco allora come nasce lacarta come la conosciamo; a questo punto è facile riconoscere che i cerchi rapp-resentano le resistenze e che gli archi sono le reattanze e che l'impedenza, comenel caso degli assi cartesiani, si trova all'incrocio fra la resistenza e la reattanza.

Nella gura seguente, si può notare come la retta AA' sia a resistenzacostante (lo spostamento nel verso orizzontale è sempre lo stesso in qualsiasipunto), e quindi, mappandola nella carta di Smith, diventa un cerchio. Lungoquesto cerchio la resistenza è costante, e cioè ogni punto del cerchio rappresentala stessa resistenza.

La retta BB' rappresenta una reattanza costante; come si vede, nella carta,siccome deve raggiungere il punto innito a partire dal cerchio più esterno,diventa un arco di cerchio, e lungo questo arco di cerchio la reattanza è costante.

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Uso della carta di Smith

Due sono le regole fondamentali nell'uso della carta di Smith:

1. ogni componente viene trattato come un componente ideale, cioè una puraresistenza, una pura capacità o induttanza;

2. se si sommano componenti in serie, si considerano delle impedenze, mentrese sono in parallelo si considerano delle ammettenze (l'inverso dell'impedenza).L'ammettenza allora si scrive

Y =1Z

= G∓ jB

con G la conduttanza e B la suscettanza. Quando si parla di ammettenza,bisogna considerare una rotazione di fase di 180° (π), nel senso che la suscettanzainduttiva si indica con −j, mentre la reattanza induttiva si indica con +j.

Vediamo come muoverci sulla carta se si deve analizzare il seguente circuito(i valori sono normalizzati a 50 Ω)

x=0.9

z

x=−1.4 x=1

r=1b=−0.3b=1.1Dal circuito si vede che le reattanze in serie sono chiamate x (e sono positive

se induttive, negative se capacitive), mentre in parallelo sono indicate con b(simbolo della suscettanza - positiva se capacitiva, negativa se induttiva).

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Il nostro scopo è di trovare l'impedenza Z all'ingresso del circuito.Si parte da destra e sulla carta si individua il punto A 1+j1. Si deve aggiun-

gere un elemento in parallelo, e quindi bisogna passare alle ammettenze. Perfare questo bisogna ruotare l'intero piano di 180° (in altre parole, si consider-ano invertiti i segni delle suscettanze, come già indicato nel circuito), ma, prima,bisogna trasformare il punto A nel punto corrispondente alle ammettenze (puntoA'). Questo si ricava facilmente segnando il simmetrico del punto A rispetto alpunto 1 + j0. Ora bisogna ruotare sul cerchio a conduttanza costante di 0.3 inverso negativo (antiorario) per aggiungere l'elemento in parallelo, e si va a niresul punto B. Ora dobbiamo aggiungere un altro elemento in serie, e questo ciobbliga a passare alle impedenze, ricavando il simmetrico del punto B (puntoB'). Aggiungo, ruotando in senso antiorario (perchè negativo) sul cerchio a re-sistenza costante, la distanza corrispondente a 1.4 no a raggiungere il punto C.Ripasso, mediante trasformazione nel punto C', all'insieme delle ammettenze persommare l'elemento di suscettanza 1.1 . Questa somma comporta una rotazionein verso orario, in quanto positiva, lungo il cerchio a conduttanza variabile; ar-rivo al punto D. Altra conversione nel campo delle impedenza (punto D') persommare l'induttanza in serie con una rotazione sul cerchio a R costante di 0.9no ad arrivare al punto z di valore z = 0.2 + j0.5, che, denormalizzata, ci dail valore di Z = 10 + j25. Tutto questo percorso viene illustrato nel seguentegraco;

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La trasformazione di impedenza

mediante la carta di Smith

Quando si parla di trasformazione di impedenza bisogna sempre pensare chequesto altro non è che un cambiamento guidato della relazione fra tensione ecorrente in un determinato punto del circuito, in quanto l'impedenza è proprioil rapporto fra tensione e corrente

Z =V

IQuesto processo di trasformazione, realizzato tramite la carta di Smith, può

essere descritto come una serie di movimenti lungo cerchi o archi no ad ar-rivare al punto voluto (normalmente il punto 1 + j0 - punto che rappresental'impedenza caratteristica normalizzata). Considerando componenti ideali senzaalcuna perdita (caso del tutto teorico), questa trasformazione di impedenza noncomporta alcuna perdita di energia se si realizza l'adattamento di impedenzautilizzando solo induttanze e capacità .

Consideriamo allora una rete a L costituita da sole reattanze; tutti i movi-menti sulla carta avvengono solamente su cerchi a resistenza o a conduttanza(l'inverso della resistenza) costante; inoltre, il movimento nale, quello che real-izza l'adattamento portando l'impedenza complessiva nel punto 1+j0, deve perforza avvenire sul cerchio con r = 1 o con g = 1. In base a quanto detto il primomovimento, indotto dal componente più vicino al carico, deve portare ad in-crociare uno dei due cerchi prima menzionati. É allora ovvio come la posizionedel punto che rappresenta sulla carta l'impedenza normalizzata da adattare siaresponsabile della scelta sia del tipo di collegamento (in serie o in parallelo alcarico) sia del tipo del primo componente (induttanza o capacità).

Esempio di adattamento. Si supponga di avere una impedenza di 150+j0 Ωda adattare all'impedenza caratteristica Z0 = 50Ω

Si procede in questo modo:

si calcola l'impedenza normalizzata z = 3 + j0 e si posiziona il punto sullacarta di Smith;

si analizza se ci può essere un qualsiasi movimento su un cerchio a rcostante che ci faccia incrociare il cerchio con r=1;

visto che questo non è possibile, si passa a considerare le ammettenze: sitraccia il cerchio tangente al punto 0 + i0 (punto più a sinistra) e pas-sante per il punto A dell'impedenza. Considerando le ammettenze, questocerchio ha r = 0.33. che è proprio l'inverso di 3;

questo cerchio incontra il cerchio di r = 1 in due punti B e C; sul cer-chio esterno si legge il valore della suscettanza corrispondente; per andareda A a B bisogna sommare al carico, in parallelo (e quindi si parla diammettenze1) una BL = 0.47 Ω−1; l'opposto per andare da A a C.

1Le ammettenze in parallelo si comportano come le resistenze in serie; si sommano diret-tamente

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Il fatto di aver scelto il cerchio delle ammettenze implica di dover usare il primoelemento della rete ad L in parallelo al carico, e questo elemento sarà o unainduttanza, nel caso del punto B, o una capacità, se si sceglie il punto C. Ora,per avere un perfetto adattamento, l'impedenza complessiva della rete deveessere pari ad 1 e quindi bisogna annullare la parte reattiva dell'impedenzatrovata, aggiungendo in serie una reattanza opposta. Gracamente si saltasul cerchio delle impedenze r = 1 e si trova, appunto, che aggiungendo unareattanza opposta a quella rappresentata dal punto in cui ci si trova, si realizzaun perfetto adattamento

Ecco allora che se si considera il percorso A -B - punto centrale il circuitodiventa

Naturalmente questa è una soluzione per una singola frequenza in quanto icomponenti hanno l'esatta reattanza solo alla frequenza di lavoro

Calcolo dei componenti della rete Si è visto che il valore della suscettanzada collegare in parallelo è pari a BL = 0.47 Ω−1. Questa deve essere primadenormalizzata2 BL = 0.47 · 0.02 = 0.0094 Ω−1 e poi invertita, ottenendo unvalore di XL = 106.4 Ω

2Se l'impedenza caratteristica vale Z0 = 50 Ω il suo inverso Y0 = 150

= 0.02

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Ecco che scegliendo, ad esempio, una frequenza di 10 MHz, si ottiene una in-duttanza in parallelo di L = X

2·π·f = 1.69 µH. Nel punto B la reattanza vale1.4 Ω che, normalizzata, diventa 1.4 · 50 = 70 Ω corrispondente ad una capacitàdi 227 pF .

Si può usare anche la carta di Smith delle impedenze (senza fare ricorso allacarta doppia), procedendo come illustrato in gura.

Il punto A rappresenta l'impedenza normalizzata da adattare; visto che nonsi ha nessuna possibilità di lavorare con le impedenze, passo nel punto A' (am-mettenza normalizzata da adattare). Mi sposto lungo un cerchio a conduttanzacostante no ad incrociare il cerchio di raggio 1 (conduttanza pari ad 1). Duesono i punti possibili, o B o C, in dipendenza di quale vogliamo sia l'elemento inparallelo al carico. Scelto ad esempio il punto B (e quindi si parla di suscettanzapositiva, e quindi di un condensatore in parallelo), passo a trasformare questaammettenza nella corrispondente impedenza, punto B'. Come deve essere, ilpunto B' cade sul cerchio con r = 1. Il valore della sua parte immaginaria(notare che ora è negativa - giustamente in quanto si tratta di un condensatore)indica la reattanza del condensatore. La somma di una reattanza uguale edopposta porta il punto B' nel punto di adattamento 1 + j0. Notare che la ro-tazione nale, dal punto B al punto d'adattamento, avviene in verso orario, versopositivo, ad indicare appunto che si sta sommando una reattanza induttiva (ilsecondo elemento della rete a L è cioè una induttanza).

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Le linee come elementi circuitali

Molte volte c'è la necessità di sostituire elementi concentrati con spezzoni di lineadi determinata lunghezza e propriamente terminati. Questi calcoli si possonofacilmente fare con la carta di Smith. Ad esempio, uno spezzone di linea da 600Ω, lungo 3

16 · λ e terminato da un cortocircuito viene visto in questo modo:si parte dal punto A 0 + j0 ( il punto del cortocircuito che rappresenta

il carico della linea) e si procede verso il generatore di una lunghezza pari a316 · λ = 0.1875 · λ. Si arriva nel punto B; leggendo sul cerchio esterno la suareattanza si trova che vale j2.4; denormalizzandola sul valore di 600 Ω si ricavauna reattanza induttiva di j2.4·600 = j1440. Sempre la stessa linea, considerataterminata a circuito aperto, ha un comportamento completamente diverso: siparte infatti dal punto C (punto a R = ∞); proseguendo verso il generatoredella distanza corrispondente alla linea, si arriva al punto D, rappresentativo diuna reattanza capacitiva (ci troviamo nel semicerchio inferiore) pari a−j0.41,quindi una reattanza capacitiva di −j246. Da notare che se si prolunga, nelprimo caso, la linea di trasmissione di λ

4 , si ricade nel secondo caso, e questodimostra la capacità di trasformazione di una linea lunga λ

4 .Si può osservare, inoltre, che se la linea è esattamente uguale a λ

4 o a multiplidi λ4 , la linea si comporta come un circuito risonante; in particolare, se si cadenel punto A 0 + j03, la linea è un circuito risonante in serie4, mentre se si cadesul punto con R =∞ , la linea risulta un circuito risonante parallelo.

Ecco sulla carta che cosa succede:3Questo vuol dire che la linea deve essere lunga un numero pari di λ

44Infatti, proprio un circuito risonante serie ha resistenza pari a zero

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Calcolo degli stub

Primo esempio

Lo stub è uno spezzone di linea, di una certa lunghezza, aperto o chiuso, inseritoin un certo punto della linea di trasmissione, che permette al trasmettitore divedere, no al punto di inserimento dello stub, la linea adattata.

Quindi, per calcolare lo stub, si deve

calcolare il punto di inserimento dello stub a partire dal carico;

individuare il tipo di terminazione;

calcolare la lunghezza dello stub

Vediamo come si può procedere usando la carta di Smith per risolvere il seguenteproblema: su una linea di impedenza caratteristica si misura, sul TX, un ROSpari a 3.1:1, con il carico costituito da una antenna risonante. Si vuole adattarel'impedenza

Soluzione Per procedere nella soluzione conviene ricavare la resistenza delcarico, che, essendo un'antenna risonante, viene data dalla formula

Rant =Z0

ROS=

523.1

= 16.8 Ω

normalizzandola e riportandola sulla carta, si arriva al punto AVisto che lo stub va inserito in parallelo, conviene passare subito alle am-

mettenze, per cui si trova, dopo aver normalizzato il tutto, una ammettenzad'antenna pari a Y = 3.1 + j0 S (punto B). Lo stub va connesso in un puntodella linea in cui la componente resistiva dell'impedenza sia pari alla impedenzacaratteristica. Allora dal punto B (ammettenza del carico) vado verso il genera-tore no ad incontrare il cerchio di raggio 1 (è il cerchio che indica l'impedenzacaratteristica normalizzata). Questo punto - punto C - si trova ad una distanzal2 di 0.82 λ verso il generatore a partire dal carico. La linea, in tal punto, hauna ammettenza pari a 1 − j1.2. Per un completo adattamento, bisogna an-nullare la componente reattiva −j1.2 Ω−1 aggiungendo j1.2 Ω−1 di suscettanzacapacitiva.

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Questo viene realizzato tramite lo stesso stub, calcolandone la lunghezza ela terminazione. Il punto D sulla carta rappresenta appunto i j1.2 Ω−1 di cuisi ha bisogno; e questa deve essere l'impedenza d'ingresso dello stub, per cui,muovendosi nel verso del carico no ad incontrare il primo punto con resistenzanulla (altrimenti si introducono ulteriori resistenze, mentre, con il lavoro pre-dente del punto C, si era appunto riusciti ad avere una resistenza pari a quellacaratteristica), si arriva al punto 0 + j0. La distanza percorsa l1 è pari a 0.139λ, mentre il punto, avendo ammettenza 0 + j0, indica che lo stub deve essere

aperto.

Naturalmente, i calcoli fatti sono in base alla lunghezza d'onda λ, ma nellarealtà bisogna tenere conto non della lunghezza sica, ma di quella elettrica5, equindi bisogna considerare anche il fattore velocità.

L'adattamente potrebbe anche essere fatto mediante elementi concentrati.Infatti si è trovato che occorre inserire, nel punto a 0.82 λ dal carico, unasuscettanza capacitiva di j1.2 Ω−1, che, denormalizzata, risulta una reattanzacapacitiva di 43.5 Ω. Se, ad esempio, si lavora ad una frequenza di 14,2 MHz,risulta una capacità6 di 258 pF. Scegliendo un condensatore variabile di 359 pFper le necessarie calibrazioni, si può realizzare l'adattamento voluto.

N.B. Non va mai dimenticato di eseguire il calcolo della tensione massima pre-sente sul condensatore, calcolo che si può eseguire a partire dalla potenza

E =√

2 · P · Z0

Secondo esempio

Linea con impedenza caratteristica di 50 Ω, chiusa su un carico ZL = 60 + j70.Calcolare lo stub in modo da adattare il carico alla linea

Soluzione Si inizia normalizzando l'impedenza del carico zL = 60+j7050 = 1.2+

j1.4. Visto che lo stub va messo in parallelo, conviene passare alle ammettenze.Fatto questo, e si è nel punto B, bisogna trovare il punto di inserzione dello stub,punto che deve avere la parte resistiva pari ad 1 (solo così si ha l'adattamento diimpedenza). Quindi, partendo da B, si ruota in verso orario (verso il generatore)no ad incrociare il cerchio con r=1 - punto C. La distanza percorsa, in frazioni diλ, verso il generatore, indica in che punto bisogna inserire lo stub. Questo puntoC ha parte reale che vale 1 (e questo va bene), ma ha una parte immaginaria,indicata sul cerchio esterno dal punto D. É questa parte immaginaria che bisogna

5In un cavo, o in un qualsiasi mezzo diverso dall'aria, l'onda elettromagnetica viaggia piùpiano (come se si dovesse avanzare in un mezzo vischioso). Il segnale, quindi, compie unpercorso sico più lento di quello elettrico: Tutto questo si traduce nel fatto che la lunghezzad'onda in un mezzo è data da

λ =c

f· n

dove n è il fattore velocità (per cavi coassiali è 0.66)6La formula per ricavare la capacità è

C =Xc

2πf

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annullare con una suscettanza uguale e contraria - punto D'. La distanza diD' dal punto estremo della carta più vicino a D' (o il punto 0 + j0 o il suocontrario, quello più a destra targato ∞ + j∞ ) viaggiando in direzione delcarico, indica la lunghezza dello stub, mentre la natura del punto indica il tipodi terminazione dello stub (nel nostro caso il punto più vicino è∞+j∞ e quindilo stub deve essere chiuso dal cortocircuito. Ricordiamoci che il tutto è statofatto mediante le ammettenze, e quindi una ammettenza innita comporta unaimpedenza nulla.

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Altro esempio sull'uso della carta

di Smith

Si abbia una linea con impedenza caratteristica Z0 = 100 Ω, luinga 15 cm,fattore di velocità n pari a 0.5; è sottoposta ad un segnale RF di 400 MHz echiusa su un carico ZL = 100 + j100. Bisogna trovare l'impedenza d'ingresso.

Soluzione

Bisogna prima di tutto calcolare la lunghezza d'onda in quel tipo di linea

λ =c · nf

= 0.375

e cioè 37.5 cm. Ora bisogna calcolare la lunghezza elettrica della linea infrazioni di λ e quindi si trova

le =lunghezza fisica

λ=

1537.5

= 0.4

Per procedere, si calcola l'impedenza normalizzata e la si riporta sulla cartedi Smith - punto A. Procedendo poi verso il generatore (ci si allontana dal carico)di una lunghezza pari a le7 si ricava, sempre rimanendo sul cerchio a coecientedi riessione costante, l'impedenza d'ingresso rappresentata dal punto B.

7Si deve sommare la misura in lunghezze d'onda individuata dal punto A con la lunghezzadella linea - 0.4 λ. La somma da il valore di 0.562 λ. Il punto più a sinistra è targato 0.5λ, equindi il punto B si trova a 0.562 − 0.5 = 0.062 λ dal punto 0 + j0

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Altre possibilità della carta di

Smith

Calcolo del massimo e del minimo di tensione lungo

la linea

Dalla teoria delle linee si sa che il massimo di tensione è dato da

VMAX = V + + V −

mentreVmin = V + − V −

intendendo con V + l'onda incidente e con V − l'onda riessa. Quindi si haun massimo di tensione quando l'onda diretta e riessa sono in fase; questosignica che il coeciente di riessione deve essere reale e positivo; è logicopensare allora che si ha un minimo quando le due tensioni sono in opposizionedi fase, e quindi il coeciente di riessione è reale e negativo. Tutto questo sipuò visualizzare sulla carta di Smith.

Il cerchio centrato nel punto 1 + j0 e passante per l'impedenza normaliz-zata è il cerchio a coeciente di riessione costante. Quando questo è reale (ecioè incontra l'asse orizzontale) si hanno i due punti di massimo o di minimodella tensione; chiaramente, per avere il valore eettivo della tensione bisognaconoscere il valore o della tensione incidente o di quella riessa, e, con il co-eciente di riessione (che è il rapporto fra il raggio del cerchio ed il raggiomassimo) si calcola l'altra tensione. I due punti segnati sulla carta ci dicono,andando verso il generatore (verso orario), a quale distanza dal carico si trovail massimo ed il minimo di tensione sulla linea.

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Misura dell'impedenza dell'antenna.

Si vuole misurare l'impedenza dell'antenna avendo l'impedenza d'ingresso dellalinea e la lunghezza della stessa linea.

Si procede nel solito modo, normalizzando l'impedenza e sia, per esempio0.5−j0.3 mentre la linea è lunga 0.3 λ. Si traccia il punto dell'impedenza normal-izzata (punto A) ed il cerchio a coeciente di riessione costante. Così facendo,si individua, sul cerchio esterno, il punto di partenza (punto B). Ruotando diuna quantità pari alla lunghezza della linea nel verso del carico (antiorario noad arrivare al punto C) si legge, sul cerchio tracciato, l'impedenza normalizzatadell'antenna - punto Z.

Nel nostro caso l'impedenza normalizzata vale 0.9+j1.24 e quindi l'impedenzadell'antenna in questione è pari a

Z = 45 + j60

ed il ROS, letto sulla carta, è di 2.4:1

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