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Equazioni di grado superiore al secondo.

Soluzione degli esercizi proposti.

Facolta di Ingegneria - Universita della Calabria

Abstract

Lo scopo di questo lavoro e quello di proporre esercizirelativi alle equazioni di grado superiore al secondo e le lorosoluzioni.

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Esercizi Proposti e loro soluzione

Esercizio 1

Risolvere l’equazione

8x3 − 14ax2 − 5a2x + 2a3 = 0

sapendo che ammette la soluzione x = 2a.

Soluzione

Il polinomio, poiche ammette x = 2a come soluzione, e divisibileper il fattore (x− 2a). Calcoliamo con la regola di Ruffini il poli-nomio risultante.

8 −14a −5a2 2a3

2a 16a 4a2 −2a3

8 2a −a2 −

L’equazione diviene quindi

(x− 2a)(8x2 + 2ax− a2) = 0

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Oltre a x = 2a, le altre due soluzioni provengono dal secondofattore. Per calcolarle lo poniamo uguale a zero.

(8x2 + 2ax− a2) = 0

Il ∆ e pari a 4a2 − 4 · 8 · (−a2) = 4a2 + 32a2 = 36a2.

x2,3 =−2a±

√∆

16−→ x2,3 =

−2a± 6a

16

Le tre soluzioni sono quindi

x1 = 2a; x2 = −a

2; x3 =

a

4;

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Esercizio 2

Trovare le soluzioni reali dell’equazione

x4 − x3 − x2 − x− 2 = 0

Soluzione

Notiamo che l’equazione e soddisfatta sostituendo al postodell’incognita il valore x = −1. Il polinomio deve essere alloradivisibile per il fattore (x + 1). Con la regola di Ruffini calcoliamoil polinomio risultante.

1 −1 −1 −1 −2−1 −1 2 −1 2

1 −2 1 −2 −

L’equazione diventa quindi

(x + 1)(x3 − 2x2 + x− 2) = 0

Tra le possibili soluzioni del secondo polinomio possiamo provare asostituire ancora x = ±1, ma con scarso successo. Il valore x = 2provoca invece l’annullamento del secondo fattore. Questo vuol

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dire che possiamo dividere il secondo fattore per (x − 2). Con laregola di Ruffini calcoliamo il polinomio risultante.

1 −2 1 −22 2 0 2

1 0 1 −

L’equazione e stata quindi ulteriormente scomposta in

(x + 1)(x− 2)(x2 + 1) = 0

Il terzo fattore, nel campo reale, e strettamente positivo. Poichequesto fattore non si annulla mai, nel campo reale abbiamo soltantodue soluzioni

x1 = −1; x2 = 2;

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Esercizio 3

Risolvere la seguente equazione

x4 − 2x3 − 7x2 + 20x− 12 = 0

Soluzione

Fra le possibili soluzioni iniziamo a provare x = 1. Otteniamo

1− 2− 7 + 20− 12 = 0 −→ −1 + 13− 12 = 0 −→ 0 = 0;

Poiche x = 1 e soluzione, possiamo dividere il polinomio per ilfattore

(x− 1)

Con la regola di Ruffini possiamo determinare i coefficienti delpolinomio risultante.

1 −2 −7 20 −121 1 −1 −8 12

1 −1 −8 12 −

Abbiamo quindi

(x− 1)(x3 − x2 − 8x + 12) = 0

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Per scomporre il secondo fattore cerchiamo la soluzione sostituendox = ±1, ma con scarso successo. Notiamo invece che x = 2 e unvalore che annulla il secondo polinomio, essendo

23 − 22 − 8 · 2 + 12 = 0 −→ 8− 4− 16 + 12 = 0 −→ 0 = 0;

Scomponiamo quindi evidenziando un altro fattore (x − 2). Cal-coliamo con la regola di Ruffini il polinomio restante.

1 −1 −8 122 2 2 −12

1 1 −6 −

Scomponiamo quindi in

(x− 1)(x− 2)(x2 + x− 6) = 0

Nello scomporre il fattore a destra non ha senso riprovare conx = ±1. Se non erano soluzioni del fattore precedente contin-ueranno a non esserlo del fattore in questione. Possiamo peroriprovare con x = 2, che infatti continua ad essere una soluzione,e quindi sara una soluzione con molteplicita 2. Scomponendo ul-teriormente per un fattore (x − 2) possiamo calcolare il fattoredirettamente osservando i coefficienti, senza la regola di Ruffini. Il

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fattore risultante e pari a (x+3). Abbiamo in definitiva scompostoil polinomio di partenza nel prodotto seguente

(x− 1)(x− 2)2(x + 3) = 0.

Le soluzioni dell’equazione sono quindi

x1 = −3; x2 = 1; x3 = x4 = 2;

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Esercizio 4

Risolvere la seguente equazione

3x5 − 19x4 + 42x3 − 42x2 + 19x− 3 = 0

Soluzione

Notiamo che l’equazione e soddisfatta sostituendo al posto dell’incognitail valore x = 1. Il polinomio deve essere allora divisibile per ilfattore (x − 1). Con la regola di Ruffini calcoliamo il polinomiorisultante.

3 −19 42 −42 19 −31 3 −16 26 −16 3

3 −16 26 −16 3 −

L’equazione diventa quindi

(x− 1)(3x4 − 16x3 + 26x2 − 16x + 3) = 0

Il secondo polinomio si annulla se si sostituisce al postodell’incognita il valore x = 1. Il polinomio deve essere allora divis-ibile per il fattore (x − 1). Con la regola di Ruffini calcoliamo il

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polinomio risultante.

3 −16 26 −16 31 3 −13 13 −3

3 −13 13 −3 −

L’equazione diventa quindi

(x− 1)(x− 1)(3x3 − 13x2 + 13x− 3) = 0

Il terzo polinomio si annulla se si sostituisce al posto dell’incognitail valore x = 1. Il polinomio deve essere allora divisibile per ilfattore (x − 1). Con la regola di Ruffini calcoliamo il polinomiorisultante.

3 −13 13 −31 3 −10 3

3 −10 3 −L’equazione e stata quindi ulteriormente scomposta in

(x− 1)3(3x2 − 10x + 3) = 0

Quindi tre soluzioni sono x = 1, e le altre due si ricavano da

3x2 − 10x + 3 = 0 −→ x =5±

√25− 93

=5± 4

3=

{x = 3x = 1

3

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Esercizio 5

Risolvere la seguente equazione

ax3 − (a2 + 1− a)x2 − (a2 + 1− a)x + a = 0

Soluzione

Bisogna distinguere due casi:

• per a = 0 l’equazione diventa:

−x2 − x = 0 −→

{x = 0x = −1

• Per a 6= 0 l’equazione e di terzo grado dunque procediamoalla risoluzione scomponendo con la regola di Ruffini Il poli-nomio ammette come soluzione x = −1, quindi e divisibileper il fattore (x + 1). Calcoliamo con la regola di Ruffini ilpolinomio risultante.

a −(a2 + 1− a) −(a2 + 1− a) a−1 −a a2 + 1 −a

a −a2 − 1 a −

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L’equazione diviene quindi

(x + 1)(ax2 − (a2 + 1)x− a) = 0

Oltre a x = −1, le altre due soluzioni provengono dal secondofattore. Per calcolarle lo poniamo uguale a zero.

(ax2 − (a2 + 1)x + a) = 0

Il ∆ e pari a (a2 + 1)2 − 4 · (−a2) = a4 + 2a2 + 1 − 4a2 =a4 +−2a2 + 1 = (a2 + 1)2.

x2,3 =(a2 + 1)±

√∆

2a−→ x2,3 =

(a2 + 1)± (a2 − 1)2a

Le tre soluzioni sono quindi

x1 = −1; x2 = a; x3 =1a;

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Esercizio 6

Risolvere la seguente equazione biquadratica

x4 − 13x2 + 36 = 0

Soluzione

In casi come questo e opportuno aiutarsi con un’altra variabiley = x2. L’equazione, nella nuova variabile, diventa

y2 − 13y + 36 = 0.

Tale equazione presenta un ∆ = 169 − 4 · 36 = 169 − 144 = 25.Troviamo le soluzioni in y.

y1,2 =13±

√25

2=

13± 52

Le due soluzioni in y sono dunque y1 = 9 e y2 = 4. Nella variabilex avremo invece quattro soluzioni reali.

x1 =√

9 = 3; x2 = −√

9 = −3; x3 =√

4 = 2; x4 = −√

4 = −2;

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Esercizio 7

Risolvere nel campo reale la seguente equazione.

16(

x2 − 1x2 + 1

)8

− 17(

x2 − 1x2 + 1

)4

+ 1 = 0.

Soluzione

Possiamo utilizzare una nuova variabile

y =(

x2 − 1x2 + 1

)4

.

In tal modo l’equazione diventa

16y2 − 17y + 1 = 0

Tale equazione presenta un ∆ = 17 · 17− 4 · 16 = 289− 64 = 225.Troviamo le soluzioni in y.

y1,2 =17±

√225

32=

17± 1532

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Le due soluzioni in y sono dunque y1 = 1 e y2 = 116 . Nella variabile

x avremo invece piu soluzioni reali. Dalla soluzione y1 ricaviamo(x2 − 1x2 + 1

)4

= 1

Abbiamo quindi due casi(x2 − 1x2 + 1

)= 1;

(x2 − 1x2 + 1

)= −1;

Il primo porta a

x2 − 1 = x2 + 1 −→ −1 = 1(!)

Cioe a nessuna soluzione. Mentre il secondo caso porta a

x2 − 1 = −x2 − 1 −→ 2x2 = 0

Cioe a due soluzioni coincidenti e pari a zero.Dalla soluzione y2 ricaviamo(

x2 − 1x2 + 1

)4

=124

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Abbiamo quindi due casi(x2 − 1x2 + 1

)=

12;

(x2 − 1x2 + 1

)= −1

2;

Il primo porta a

x2− 1 =12(x2 +1) −→ 2x2− 2 = x2 +1 −→ x2 = 3 −→ x = ±

√3;

Il secondo caso porta a

x2 − 1 = −12(x2 + 1) −→ −2x2 + 2 = x2 + 1 −→ −3x2 = −1 −→

−→ x = ± 1√3;

Le soluzioni sono quindi

x1 = x2 = 0; x3,4 = ±√

3; x5,6 = ± 1√3;

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Esercizio 8

Risolvere la seguente equazione

(x− 3)−2 + 4(x− 3)−1 + 3 = 0

Soluzione

Osserviamo che bisogna escludere dall’insieme delle soluzioni x = 3perche annulla i denominatori infatti

(x− 3)−2 + 4(x− 3)−1 + 3 = 0 −→ 1x− 3

+ 41

x− 3+ 3 = 0

Ora possiamo procedere alla soluzione utilizzando una nuova vari-abile

y = (x− 3)−1.

In tal modo l’equazione diventa

y2 + 4y + 3 = 0

Tale equazione presenta un ∆ = 16−4 ·3 = 16−12 = 4. Troviamole soluzioni in y.

y1,2 =−4±

√4

2=−4± 2

2

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Le due soluzioni in y sono dunque y1 = −1 e y2 = −3. Nellavariabile x avremo invece piu soluzioni reali.Dalla soluzione y1 ricaviamo

(x− 3)−1 = 1

(1

x− 3

)= −1;−→

(1

x− 3

)+ 1 = 0 −→ 1 + x− 3

x− 3= 0;

x− 2 = 0 −→ x = 2

Dalla soluzione y2 ricaviamo

(x− 3)−1 = −3

(1

x− 3

)= −3;−→

(1

x− 3

)+ 3 = 0 −→ 1 + 3x− 9

x− 3= 0;

3x− 8 = 0 −→ x =83

Le soluzioni sono quindi

x1 = 2 x2 =83;

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Esercizio 9

Scomporre in fattori reali il seguente trinomio biquadratico.

x4 − x2(4a2 + 1) + 4a2

Soluzione

Tra le possibili soluzioni notiamo che sostituendo nel polinomiox = 1 otteniamo

1− (4a2 + 1) + 4a2 = 1− 4a2 − 1 + 4a2 = 0;

Poiche tale valore annulla il polinomio, possiamo evidenziarenell’espressione un fattore (x−1). Con la regola di Ruffini possiamocalcolare il polinomio risultante.

1 0 −(4a2 + 1) 0 4a2

1 1 1 −4a2 −4a2

1 1 −4a2 −4a2 −

Dopo una prima scomposizione abbiamo quindi

(x− 1)(x3 + x2 − 4a2x− 4a2).

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Tra le possibili soluzioni del polinomio di destra, notiamo che sos-tituendo il valore x = −1, tale polinomio si annulla. Possiamoquindi evidenziare un altro fattore (x+1). Con la regola di Ruffinicalcoliamo i coefficienti del polinomio risultante.

1 1 −4a2 −4a2

−1 −1 0 4a2

1 0 −4a2 −

Abbiamo quindi evidenziato un altro fattore

(x− 1)(x + 1)(x2 − 4a2)

L’ultimo fattore a destra e in realta una differenza tra quadrati,facilmente scomponibile, per cui il polinomio risulta riducibile neiquattro fattori seguenti

(x− 1)(x + 1)(x− 2a)(x + 2a)

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Esercizio 10

Determinare il parametro k in modo che una delle soluzioni dellaseguente equazione sia x =

√3.

x4 − 4x2 + k = 0

Soluzione

Affinche x =√

3 sia soluzione, si deve avere che sostituendo quelvalore nella equazione, k sia tale da renderla una identita. Sos-tituendo la soluzione nota nell’equazione abbiamo

(√

3)4 − 4(√

3)2 + k = 0

9− 4 · 3 + k = 0

−3 + k = 0

k = 3

Per questo valore del parametro siamo sicuri che la precedenteequazione ha fra le sue soluzioni il valore x =

√3.

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Esercizio 11

Risolvere la seguente equazione

x4 + 2x3 + 2x− 9x(x + 2)x + 2

=(2x2 − 18)(x + 2) + 2x

x + 2

Soluzione

Escludendo i valori che annullano i denominatori x = −2 e con-centrarci esclusivamente sui numeratori.

x4 + 2x3 + 2x− 9x(x + 2) = (2x2 − 18)(x + 2) + 2x

Sviluppiamo i calcoli:

x4 + 2x3 + 2x− 9x2 − 18x = 2x3 − 18x + 4x2 − 36 + 2x

x4 − 13x2 + 36 = 0

Ponendo y = x2 si ha

y2 − 13y + 36 = 0 −→ y =13±

√169− 1442

=

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=13±

√25

2=

13± 52

=

{y = 4y = 9

Dalle due soluzioni si ricavano le quattro soluzioni della disequazionedi partenza.

y = 8 −→ x2 = 8 −→ x = ±√

8 =

{x = 2

√2

x = −2√

2

e

y = 9 −→ x2 = 9 −→ x = ±√

9 =

{x = 3x = −3

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Esercizio 12

Risolvere la seguente equazione.

a2

x2 − a2+

a2

x2 + a2=

x4 + a4

x4 − a2.

Soluzione

Scomponiamo i denominatori nei loro fattori

a2

(x− a)(x + a)+

a2

x2 + a2=

x4 + a4

(x− a)(x + a)(x2 + a)

Escludendo i valori che annullano i denominatori x = ±a possi-amo riportare tutte le frazioni ad uno stesso denominatore comunem.c.m = (x− a)(x + a)(x2 + a) e concentrarci esclusivamente suinumeratori.

a2(x2 + a)m.c.m

+a2(x2 − a)

m.c.m=

x4 + a4

m.c.m

a2x2 + a3 + a2x2 − a3 − x4 − a4

(x− a)(x + a)(x2 + a)

x4 − 2a2x2 + a4 = 0 −→ (x2 − a2)2 = 0 −→ x = ±a

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Ma questi valori annullano il denominatore quindi l’equazione im-possibile.

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Esercizio 13

Risolvere la seguente equazione senza svolgere le potenze indicate.

(2x− 5)2(x2 + 5x− 14)2

(x + 7)4= 0.

Soluzione

Bisogna prima di tutto escludere gli zeri del denominatore, ovvero

x 6= −7

dunque concentriamoci sul numeratore

(2x− 5)2(x2 + 5x− 14)2 = 0

Il prodotto di due quantita si annulla se o una o l’altra si annulladunque imponiamo:

(2x− 5)2 = 0e(x2 + 5x− 14)2 = 0

Dalla prima otteniamo

(2x− 5)2 = 0 −→ 2x− 5 = 0 −→ x1 =52

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Dalla seconda

(x2 + 5x− 14)2 = 0 −→ x2 + 5x− 14 = 0 −→

−→ x2,3 =−5±

√25 + 562

=−5± 9

2=

{x = −7x = 2

La soluzione x = −7 deve essere esclusa poiche annulla il denomi-natore quindi le soluzioni sono

x1 =52;x2 = 2

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Esercizio 14

Risolvere la seguente equazione senza svolgere le potenze indicate.

(x− 3)3 + 8x2 − 1

= 0.

Soluzione

Bisogna prima di tutto escludere gli zeri del denominatore, ovvero

x2 − 1 6= 0 −→ x 6= ±1

dunque concentriamoci sul numeratore

(x− 3)3 + 8 = 0 −→ (x− 3)3 = −8 −→ (x− 3) = −2

Le soluzioni sono dunque

x1 = x2 = x3 = 1

Soluzioni che non possono essere accettate.

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Esercizio 15

Trovare tre numeri consecutivi sapendo che il loro prodotto e 990.Soluzione

Prendendo come incognita il numero centrale fra i tre consecutivi,il prodotto dei tre numeri puo essere scritto come (x− 1)x(x + 1).Ricaviamo quindi il valore di x dalla seguente equazione.

(x−1)x(x+1) = 990 −→ (x2−x)(x+1)−990 = 0 −→ x3−x−990 = 0;

Fra le possibili soluzioni di questa equazione possiamo provare asostituire ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10...Per x = 10 il polinomio si annulla. Possiamo quindi evidenziareun fattore (x− 10). Dalla regola di Ruffini calcoliamo il polinomiorisultante

1 0 −1 −99010 10 100 990

1 10 99 −

Abbiamo quindi

(x− 10)(x2 + 10x + 99) = 0

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Ponendo il secondo fattore uguale a zero si perviene ad un ∆ ne-gativo, per cui il secondo fattore e sempre strettamente maggioredi zero. L’unica soluzione reale e quindi x = 10 e i tre numeriricercati sono 9, 10, 11.