LL’’iippeerrbboollee

L’iippeerrbboollee è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti ffuuoocchhii. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze − è:

positiva se è più vicino a

negativa se è più vicino a .

Pertanto, per includere entrambi i casi occorre utilizzare il valore assoluto.

| − | =

Il punto medio del segmento è detto cceennttrroo dell’iperbole.

La distanza fra i fuochi e è detta ddiissttaannzzaa ffooccaallee.

IIppeerrbboollee rriiffeerriittaa aall cceennttrroo ee ccoonn ii ffuuoocchhii aappppaarrtteenneennttii aallll’’aassssee xx Consideriamo l’iperbole che ha il centro nell’origine degli assi cartesiani e i fuochi ; 0 e − ; 0 sull’asse .

Dalla definizione si ha che: | − | = 2 (avendo indicato con 2 > 0 la differenza costante).

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due. Pertanto, nel triangolo , > − , 2 > 2 , > .

Indicato con ; un generico punto del piano si ha:

| − | = 2 ;

+ + − 0 − − + − 0 = 2 ;

+ + − − + = ∓2 ;

Risolviamo la prima equazione: + + − − + = 2

+ + 2 + = 2 + + − 2 + ; elevando ambo i membri al quadrato

+ + 2 + = 4 + + − 2 + + 4 + − 2 + ;

4 = 4 + 4 + − 2 + ;

4 − 4 = 4 + − 2 + ;

− = + − 2 + ; elevando ambo i membri al quadrato

+ − 2 = + − 2 + ;

+ − 2 = + − 2 + ; + = + + ; + − − − = 0 ;

− − − − = 0 ;

Essendo > ; > ; − > 0

Pertanto si può porre − = sostituendo si ha:

− − = 0 ; dividendo per

− = 1 EEqquuaazziioonnee ccaannoonniiccaa o nnoorrmmaallee dell’iperbole a centro con i fuochi appartenenti all’asse .

Si perviene a questa forma anche risolvendo la seconda equazione: + + − − + = −2 ;

+ + 2 + + 2 = + − 2 + ;

+ + 2 + + 4 + 4 + + 2 + = + − 2 + ;

4 4 + 4 + + 2 + = 0 ; 4 + 4 = −4 + + 2 + ;

+ = − + + 2 + ; + + 2 = + + 2 + ;

+ + 2 = + + 2 + ; + − − − = 0 ;

− − − − = 0 ; ponendo − = si ottiene − − = 0 ; − = 1 .

Proprietà 1

L’iperbole è una curva ssiimmmmeettrriiccaa rispetto all’asse , all’asse e all’origine.

Infatti, poiché nell’equazione dell’iperbole sia la variabile sia la variabile compaiono solo elevate a potenza pari, se un punto ; è un punto dell’iperbole, lo sono anche i punti − ; , ; − , − ; − perché le loro coordinate ne verificano l’equazione, dato che ∓ = e ∓ = .

Proprietà 2

I fuochi dell’iperbole hanno coordinate +√ + ; 0 e −√ + ; 0

L’iperbole interseca l’asse nei punti ; 0 e − ; 0 detti vveerrttiiccii dell’iperbole.

L’iperbole non interseca l’asse . I punti 0 ; e 0 ; − sono detti vveerrttiiccii nnoonn rreeaallii dell’iperbole.

Il segmento = 2 è detto aassssee ttrraassvveerrssoo. Il segmento = 2 è detto aassssee nnoonn ttrraassvveerrssoo.

Infatti risolvendo i due sistemi:

− = 1

= 0

  = 1

= 0

  == 0

  = ∓= 0

  − = 1

= 0

  = −1

= 0

  ∄ ; ∈ R

Proprietà 3

L’iperbole è una ccuurrvvaa iilllliimmiittaattaa.

Riscrivendo l’equazione sotto la forma = − si deduce che: − 0 cioè − ∨ .

I punti della curva si trovano quindi al di fuori della striscia limitata delle rette = − e = , e quindi è formata da due rami.

Proprietà 4

La relazione − = può essere interpretata come la relazione del teorema di Pitagora applicata al triangolo .

Proprietà 5

L’iperbole ha per aassiinnttoottii le rette = ∓ .

Consideriamo le intersezioni dell’iperbole con una retta generica passante per l’origine:

− = 1= +

  si ottengono le soluzioni = ∓√

; = ∓√

Queste soluzioni sono reali solo se − > 0 cioè se − < < +

L’iperbole è quindi intersecata da rette passanti per l’origine che si trovano all’interno dei due angoli opposti al vertice

formati dalle rette = ∓ e contenenti l’asse x.

Osserviamo inoltre che, assegnando al coefficiente angolare

, valori sempre più vicini a ∓ l’espressione a

denominatore − diventa sempre più piccola, di

conseguenza le frazioni = ∓√

e = ∓√

diventano sempre più grandi.

In casi come questi si dice che le rette = ∓ intersecano

la curva all’infinito (tali rette sono dette asintoti per la curva).

Proprietà 6

L’eecccceennttrriicciittàà dell’iperbole è il rapporto: =

=

22

= =√ +

> 1 .

IIppeerrbboollee rriiffeerriittaa aall cceennttrroo ee ccoonn ii ffuuoocchhii aappppaarrtteenneennttii aallll’’aassssee yy Consideriamo l’iperbole che ha il centro nell’origine degli assi cartesiani e i fuochi sull’asse .

I fuochi hanno coordinate 0 ; e 0 ; − .

Dalla definizione si ha che: | − | = 2 (avendo indicato con 2 > 0 la differenza costante).

Indicato con ; un generico punto del piano si ha:

− 0 + − − − 0 + + = 2 ;

+ + − 2 − + + + 2 = ∓2 ;

Risolviamo prima: + + − 2 − + + + 2 = 2 ;

+ + − 2 = 2 + + + + 2 ;

elevando ambo i membri al quadrato

+ + − 2 = 4 + + + + 2 + 4 + + + 2

−4 − 4 = 4 + + + 2 ;

− − = + + + 2 ;

+ + 2 = + + + 2 ;

+ + 2 = + + + 2 ;

+ − − − = 0 ;

− + − − − = 0 ; In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > | − | 2 > 2 ; > ; > ; − > 0 . Pertanto si può porre − =

− + − = 0 ; dividendo per −

− = −1 EEqquuaazziioonnee ccaannoonniiccaa o nnoorrmmaallee dell’iperbole a centro con i fuochi appartenenti all’asse

Si perviene a questa forma anche risolvendo la seconda equazione: + + − 2 − + + + 2 = −2

+ + − 2 = + + + 2 − 2 ;

+ + − 2 = + + + 2 + 4 − 4 + + + 2 ;

4 + + + 2 = 4 + 4 ;

+ + + 2 = + ;

+ + + 2 = + + 2 ;

+ + + 2 = + + 2 ;

+ + − − = 0 ;

− − + − = 0 ; ponendo − =

− + = 0 ; − = −1 .

Proprietà 1

L’iperbole è una curva ssiimmmmeettrriiccaa rispetto all’asse , all’asse e all’origine.

Infatti, poiché nell’equazione dell’iperbole sia la variabile sia la variabile compaiono solo elevate a potenza pari, se un punto ; è un punto dell’iperbole, lo sono anche i punti − ; , ; − , − ; − perché le loro coordinate ne verificano l’equazione, dato che ∓ = e ∓ = .

Proprietà 2

I fuochi dell’iperbole hanno coordinate 0 ; +√ + e 0 ; −√ +

L’iperbole interseca l’asse nei punti 0 ; e 0 ; − detti vveerrttiiccii dell’iperbole.

L’iperbole non interseca l’asse . I punti ; 0 e − ; 0 sono detti vveerrttiiccii nnoonn rreeaallii dell’iperbole.

Il segmento = 2 è detto aassssee ttrraassvveerrssoo. Il segmento = 2 è detto aassssee nnoonn ttrraassvveerrssoo.

Proprietà 3

L’iperbole è una ccuurrvvaa iilllliimmiittaattaa.

Riscrivendo l’equazione sotto la forma = − si deduce che: − 0 cioè − ∨ .

I punti della curva si trovano quindi al di fuori della striscia limitata delle rette = − e = , e quindi è formata da due rami.

Proprietà 4

La relazione − = può essere interpretata come la relazione del teorema di Pitagora applicata al triangolo .

Proprietà 5

L’iperbole ha per aassiinnttoottii le rette = ∓ .

Consideriamo le intersezioni dell’iperbole con una retta generica passante per l’origine:

− = −1= +

  si ottengono le soluzioni

= ∓√

; = ∓√

.

Queste soluzioni sono reali solo se − > 0 cioè se

< − ∨ > +

L’iperbole è quindi intersecata da rette passanti per l’origine che si trovano all’esterno dei due angoli opposti al vertice formati dalle

rette = ∓ e contenenti l’asse x.

Osserviamo inoltre che, assegnando al coefficiente angolare ,

valori sempre più vicini a ∓ l’espressione a denominatore

− diventa sempre più piccola, di conseguenza le frazioni

= ∓√

e = ∓√

diventano sempre più grandi.

In casi come questi si dice che le rette = ∓ intersecano la

curva all’infinito (tali rette sono dette asintoti per la curva).

Proprietà 6

L’eecccceennttrriicciittàà dell’iperbole è il rapporto: =

=

22

= =√ +

> 1 .

PPoossiizziioonnii ddii uunnaa rreettttaa rriissppeettttoo aa uunn’’iippeerrbboollee

Per stabilire la posizione di una retta di equazione + + = 0 rispetto a un’iperbole di equazione − = 1

occorre considerare il sistema formato dalle due equazioni:

+ + = 0

− = 1  

1. Se l’equazione risolvente è di II grado, si studia il segno del discriminante: Se ∆ > 0 , la retta è secante l’iperbole in due punti; Se ∆ = 0 , la retta è tangente l’iperbole in un punto; Se ∆ < 0 , la retta è esterna all’iperbole;

2. Se l’equazione risolvente è di I grado, la retta è secante l’iperbole in un solo punto.

La retta è secante l’iperbole in due punti La retta è tangente l’iperbole in un punto

(la retta non è parallela agli asintoti)

La retta è esterna all’iperbole La retta è secante l’iperbole in un punto

(la retta è parallela a un asintoto)

TTaannggeennttii aa uunn’’iippeerrbboollee Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti condotte da un punto ; ad una iperbole di equazione

− = 1 occorre considerare il sistema formato dalle due equazioni:

− = −

− = 1  

1. si ricava l’equazione risolvente di II grado nella variabile oppure 2. si pone la condizione di tangenza ∆ = 0; 3. si risolve l’equazione di II grado rispetto nell’incognita ;

a. Se , le rette tangenti sono due (il punto P è esterno all’iperbole); b. Se = , la retta tangente è una (il punto P appartiene all’iperbole); c. Se ∄ , , non esistono rette tangenti (il punto P è interno all’iperbole);

Nota: Se il punto appartiene a un asintoto, allora fra le equazioni delle tangenti c’è anche l’equazione dell’asintoto stesso (gli asintoti sono considerati tangenti all’iperbole all’infinito).

Due rette tangenti Una retta tangente Nessuna retta tangente

FFoorrmmuullaa ddii ssddooppppiiaammeennttoo

Per determinare l’equazione della retta tangente all’iperbole in un suo punto ; si possono utilizzare le formule di sdoppiamento.

È sufficiente effettuare le seguenti sostituzioni nell’equazione dell’iperbole : ∙ al posto di ∙ al posto di .

IIppeerrbboollee ttrraassllaattaa

TTEEOORREEMMAA

L’equazione di una iperbole con centro nel punto ’ ; e assi paralleli agli assi cartesiani è del tipo :

+ + + + = 0

Dimostrazione

Consideriamo l’iperbole a centro di equazione:

− = 1

Effettuiamo la traslazione di vettore , della iperbole portando il centro dell’iperbole 0 ; 0 nel punto ′ ; .

Le equazioni della traslazione sono: = += +

  .

Utilizzando le equazioni inverse: = −= −

 

si ottiene l’equazione:

−−

−= 1 .

Eliminando gli apici, si ottiene −−

−= 1

Il cceennttrroo di simmetria ha coordinate: ’ ;

Gli aassiinnttoottii hanno equazioni: − = + − e − = − −

I vveerrttiiccii hanno coordinate: + ; − ;

; + ; −

I ffuuoocchhii hanno coordinate: + ; − ;

L’equazione ottenuta può essere riscritta anche in altra forma:

− − − = ; + − 2 − + − 2 = ;

+ − 2 − − + 2 = ; − − 2 + 2 + − − = 0 ;

ponendo

= − = −2 = +2 =

− − =

 si ottiene l’equazione + + + + = con A e B discordi.

L’equazione dell’iperbole traslata è un’equazione di II grado in e con i coefficienti dei termini di secondo grado di segno opposto A = e B = − .

Gli aassssii ddii ssiimmmmeettrriiaa hanno equazione: = −2

= −2

Le coordinate del cceennttrroo ddii ssiimmmmeettrriiaa sono: = = −2

; = −2

Infatti:

= − = −2 = +2 =

− − =

 

= − = −

= = −

 

Il medesimo ragionamento è valido per l’iperbole con l’asse trasverso parallelo all’asse y.

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TTEEOORREEMMAA IINNVVEERRSSOO Dimostriamo adesso il teorema inverso, cioè che:

+ + + + = 0

con A e B discordi rappresenta l’equazione di una iperbole con gli assi paralleli agli assi cartesiani

Dimostrazione

Consideriamo l’equazione: + + + + = 0

Sostituiamo = e = − per avere evidenti informazioni sui segni dei due coefficienti:

− + + + = 0

Raccogliamo parzialmente: + − + + = 0

Sommiamo e sottraiamo il quadrato della metà del coefficiente del termine di primo grado:

+ +4

−4

− +−

+4

−4

+ = 0

+ +4

− +−

+4

−4

−4

+ = 0

+2

− +−2

=4

+4

−

Poniamo: 4

+4

− = otteniamo: +2

− +−2

=

Si possono verificare tre casi:

> 0 < 0 =

Dividiamo i due membri per + > 0

+ 2 −+ −2 = 1

Dividiamo i due membri per − > 0

+ 2 −+ −2 = −1

+2

− +−2

= 0

Iperbole con asse trasverso parallelo all’asse x

Centro in − ; −

cioè nel punto − ; −

Iperbole con asse trasverso parallelo all’asse y

Centro in − ; −

cioè nel punto − ; −

Iperbole degenere

Coppia di rette passanti per il

punto − ; −

cioè per il punto − ; −

Esempio 1 Traccia il grafico della curva di equazione: 4 − 9 + 8 − 72 − 464 = 0

Metodo - Completamento del quadrato

4 − 9 + 8 − 72 − 464 = 0 4 + 2 − 9 + 8 − 464 = 0 ; 4 + 2 + 1 − 9 + 8 + 16 − 464 = 4 − 144 ;

4 + 1 − 9 + 4 = 324 ;

+ 181

− + 436

= 1 ; ℎ è −

− −

= 1

Si tratta di una iperbole con asse trasverso parallelo all’asse x immagine dell’iperbole − = 1 nella traslazione di

vettore −1 ; −4 . Il centro di simmetria ha coordinate: ’ ; cioè ’ −1 ; −4 . I vertici reali hanno coordinate:

+ ; − ; cioè −1 + 9; −4 −1 − 9; −4 cioè 8 ; −4 −10; −4

Gli asintoti hanno equazione:

− = − ; + 4 =69

+ 1 ; = −

23

−143

= +23

−103

Il suo grafico è il seguente:

Esempio 2

Traccia il grafico della curva di equazione: − − − − =

Metodo - Completamento del quadrato

2 − − 8 − 8 − 4 = 0 2 − 4 − + 8 − 4 = 0 ;

2 − 4 + 4 − + 8 + 16 − 4 = 4 − 16 ;

2 − 2 − + 4 = −8 ;

− 24

− + 48

= −1 ; ℎ è −

− −

= −1

Si tratta di una iperbole con asse trasverso parallelo all’asse y immagine dell’iperbole − = −1 nella traslazione

di vettore 2 ; −4 . Il centro di simmetria ha coordinate: ’ ; cioè ’ 2 ; −4 . I vertici reali hanno coordinate:

; + ; − cioè 2; −4 + 2 2; −4 − 2 cioè 2; −2 2; −6

Gli asintoti hanno equazione:

− = − ; + 4 =√82

− 2 ; + 4 = √2 − 2 ; = √2 − 2√2 − 4

= −√2 + 2√2 − 4

Il suo grafico è il seguente:

Esempio 3

Traccia il grafico della curva di equazione: − − + −

Metodo - Completamento del quadrato

9 − 16 − 36 + 96 − 108 = 0 9 − 4 − 16 − 6 − 108 = 0 ;

9 − 4 + 4 − 16 − 6 + 9 − 108 = 36 − 144 ;

9 − 2 − 16 − 3 = 0 ; 3 − 2 − 4 − 3 = 0 ; 3 − 2 + 4 − 3 ∙ 3 − 2 − 4 − 3 = 0 3 − 6 + 4 − 12 ∙ 3 − 6 − 4 + 12 = 0

3 + 4 − 18 ∙ 3 − 4 + 6 = 0 ; 3 + 4 − 18 = 0

3 − 4 + 6 = 0

IIppeerrbboollee eeqquuiillaatteerraa rriiffeerriittaa aall cceennttrroo eeL’iperbole equilatera riferita al centro e agli assi è un’iperbole a centro avente gli assi trasverso e non trasverso congruenti ( = ) .

Iperbole equilatera riferita al centro e agli assicon , ∈

−− ==

I vveerrttiiccii sono: ; 0 – ; 0

I ffuuoocchhii sono: √2 ; 0 − √2 ;

Gli aassiinnttoottii hanno equazioni: =

La sseemmiiddiissttaannzzaa ffooccaallee è = √ + = √

L’eecccceennttrriicciittàà è = = = √ = √2

IIppeerrbboollee eeqquuiillaatteerraa rriiffeerriittaa aaggllii aassiinnttooL’iperbole equilatera riferita agli asintoti è un’iperbole a centro avente gli asintoti coincidenti con gli assi cartesiani.

∙∙ == con > 0

VVeerrttiiccii √ ; √ – √ ; −√

FFuuoocchhii √2 ; √2 −√2 ; −√2

AAssiinnttoottii = 0 e

ee aaggllii aassssii gli assi è un’iperbole a centro avente gli assi trasverso e non trasverso congruenti

agli assi Iperbole equilatera riferita al centro e con , ∈

−− == −−

I vveerrttiiccii sono: 0 ; a 0 ;

0 I ffuuoocchhii sono: 0 ; √2

Gli aassiinnttoottii hanno equazioni: =

√2 = √2

oottii L’iperbole equilatera riferita agli asintoti è un’iperbole a centro avente gli asintoti coincidenti con gli assi cartesiani.

∙∙ == con

VVeerrttiiccii | | ; − | |

2 FFuuoocchhii 2| | ; − 2| |

= 0 EEcccceennttrriicciittàà = = = √

√= √2

gli assi è un’iperbole a centro avente gli assi trasverso e non trasverso congruenti

al centro e agli assi

−

–

0 ; − √2

L’iperbole equilatera riferita agli asintoti è un’iperbole a centro avente gli asintoti coincidenti con gli assi cartesiani.

con < 0

− | | ; | |

− 2| | ; 2| |

Dimostrazione

Effettuiamo una rotazione di 45° in senso antiorario dell’iperbole equilatera riferita agli assi con i fuochi sull’asse (ramo verde).

Per effetto della rotazione il vertice ; 0 viene portato nel punto tale che ′ = .

′ rappresenta la diagonale del quadrato di lato .

Pertanto:

= ′ =√2

=√2

Quindi: =√

;√

e = −√

; −√

Per effetto della rotazione il vertice √2; 0 viene

portato nel punto tale che ′ = √2 . ′ rappresenta la diagonale del quadrato di lato .

Pertanto:

= ′ =√2

=√2

√2=

Quindi: = ; e = − ; −

Applicando la definizione di iperbole

| − | = 2

− + − − + + + = 2 ;

− + − − + + + = ∓2 ;

− + − = ∓2 + + + + ;

+ − 2 + + − 2 = 4 + + + 2 + + + 2 ∓ 4 + + + ;

−4 − 4 − 4 = ∓4 + + + ;

− − − = ∓ + + + ;

+ + + 2 + 2 + 2 = + + 2 + + + 2

+ + + 2 + 2 + 2 = + + 2 + + + 2

2 = + =2

=2

.

Ponendo = si ottiene l’equazione = con > 0 .

Dalla posizione = si ottiene: = √2

⇒ = √2 ; √2 e = −√2 ; −√2

⇒ = √ ; √ e = −√ ; −√

Effettuando una rotazione di 45° in senso orario dell’iperbole equilatera riferita agli assi con i fuochi sull’asse si ottiene invece l’altra equazione ∙ = con < 0 .

FFuunnzziioonnee oommooggrraaffiiccaa La funzione omografica è un’iperbole equilatera con gli asintoti paralleli agli assi cartesiani.

La sua equazione è:

=++

0 ∧ − 0

Se = 0 il grafico è una retta.

Infatti l’equazione diventa = +

Se − = 0 il grafico è una retta parallela

all’asse , privata del punto − ; .

Infatti se − = 0 ; ⇒ = ⇒

= = = = −

= − è una retta parallela all'asse

privato del punto = − .

Dimostrazione

Dimostriamo che, se 0 ∧ − 0 l’equazione = rappresenta un’iperbole equilatera traslata.

Effettuiamo pertanto la traslazione che porta il centro di simmetria C della funzione omografica nell’origine.

Le equazioni della traslazione sono: = +

= −  utilizzando le equazioni inverse

= −

= + 

si ottiene: + = Eliminando gli apici ininfluenti si ha:

+ = ; + = ; + = + ;

= ; = ; =

Ponendo =−

si ottiene la forma =

> 0 < 0

VVeerrttiiccii √ − ; √ + −√ − ; −√ + | | − ; − | | + − | | − ; | | +

FFuuoocchhii √2 − ; √2 + −√2 − ; −√2 + 2| | − ; − 2| | + − 2| | − ; 2| | +

CCeennttrroo ddii ssiimmmmeettrriiaa ’ − ; AAssiinnttoottii = ∧ = −

Nota Pur essendo l’equazione della funzione omografica = costituita da quattro parametri: , , , , per determinare la

sua equazione occorrono soltanto tre parametri indipendenti.

Infatti, essendo l’equazione definita per 0 è possibile dividere numeratore e denominatore per 0 .

=+

+ ; =

+

+ ; ponendo:

= ℎ

=

=

  si ottiene la forma: = +

+

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Esempio 1 Determina l’equazione della funzione omografica passante per il punto −7 , 1 e avente per asintoti le rette di equazioni: = 2 e = −3. Soluzione

La funzione omografica ha la seguente equazione in forma ridotta : =ℎ +

+

Utilizziamo la conoscenza delle equazioni dei due asintoti + 3 = 0 e = 2 e il passaggio per il punto A −7 , 1 per impostare il seguente sistema:

= 3 ℎ = 2

1 =ℎ ∙ −7 +

−7 +

 

− − − − − −

1 =−7ℎ +−7 +

 

− − − − − −

1 =−7 ∙ 2 +

−7 + 3

 

− − − − − −

1 =−14 +

−4

  − − − − − −

−4 = −14 + 

= 3 ℎ = 2

= 10

 

Pertanto l’equazione della funzione omografica richiesta è : =2 + 10

+ 3 .