Michelangelo Laterza – Principi di Statica e di Dinamica delle Strutture

Introduzione La meccanica è quella parte delle scienze applicate che studia le forze ed il moto. In questo campo è fondamentale la nozione di equilibrio, ovvero la condizione che si instaura quando le forze che agiscono su un corpo si bilanciano tra loro.

La statica è quella parte della meccanica che si interessa specificamente delle relazioni tra le forze che agiscono sui corpi che si trovano in uno stato di quiete.

La dinamica invece è quella parte della meccanica che tratta dei corpi in movimento. Anche i corpi in movimento possono però essere considerati come se fossero in equilibrio, considerando le forze di inerzia.

La scienza delle costruzioni è quella parte della meccanica che si occupa delle relazioni tra le forze che agiscono su di un corpo, e gli effetti prodotti da tali forze all’interno del corpo (sollecitazioni, deformazioni, tensioni).

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Le forze Nello studio della meccanica viene fatta una distinzione tra quantità scalari e vettoriali.

Le quantità scalari possono essere adeguatamente caratterizzate dalla loro intensità.

Le quantità vettoriali devono essere caratterizzate in termini sia di intensità (modulo) che di direzione e verso.

Una qualsiasi quantità vettoriale può essere rappresentata con un segmento orientato (una freccia che indica il verso); la retta di azione, rispetto ad una asse prefissato, denota la direzione della quantità vettoriale. La lunghezza del segmento, disegnata in una certa scala, rappresenta l’intensità (o il modulo) della quantità. Le forze sono quantità vettoriali. Il concetto di forza è fondamentale per il campo della meccanica. Una forza è una interazione diretta tra corpi. Forze di interazione hanno l’effetto di causare cambiamenti nella forma o nel moto, o entrambi, dei corpi coinvolti.

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Parallelogramma delle forze Essenziale per lo studio del comportamento strutturale è conoscere il risultato dell’interazione di diversi vettori forza agenti su un corpo.

Per sommare quantità vettoriali si può applicare la regola del parallelogramma. In termini di vettori forza, questa legge afferma che quando le linee di azione di due forze si intersecano, esiste una singola forza, chiamata risultante, con effetto esattamente equivalente a quello delle due forze di partenza, rappresentata dalla diagonale del parallelogramma formato usando i due vettori forza come i lati dello stesso.

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Poligono delle forze

La risultante di più forze può determinarsi anche per via grafica costruendo il poligono delle forze.

I singoli vettori vengono disegnati, in scala, l’uno di seguito all’altro (l’ordine con cui si succedono non è importante). Tranne nel caso in cui la forza risultante sia nulla, il poligono delle forze ottenuto da questa costruzione non è chiuso. Il lato di chiusura coincide con la risultante dei diversi vettori forza (la risultante è quel vettore che parte dalla coda del primo vettore e finisce alla punta dell’ultimo vettore). La risultante, quindi, chiude il poligono delle forze.

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Scomposizione e composizione delle forze

Un procedimento che discende direttamente dall’enunciato del parallelogramma delle forze è quello che permette di suddividere una singola forza in due (o più) forze separate costituenti un sistema di forze equivalente alla forza iniziale data. Questo procedimento viene spesso indicato come scomposizione di una forza nei suoi componenti.

Nell’analisi strutturale è spesso conveniente scomporre una forza nelle sue componenti ortogonali, o cartesiane. Utilizzando un angolo retto, le componenti possono essere trovate utilizzando semplici funzioni trigonometriche.

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Sistemi staticamente equivalenti

Due sistemi di forze applicati ad un corpo vengono detti staticamente equivalenti quando un sistema può essere sostituito all’altro senza causare alcun cambiamento della traslazione o della rotazione del corpo.

Una forza risultante, per esempio, è staticamente equivalente al sistema di forze da cui viene derivata.

Le forze sono complanari concorrenti ovvero agiscono attraverso lo stesso punto di applicazione e quindi non producono un effetto rotazionale attorno a quel punto (i loro momenti sono nulli).

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Momenti Una forza applicata ad un corpo tende a causare una traslazione del corpo nella direzione della forza. A seconda dei punto di applicazione della forza questa può indurre nel corpo anche una tendenza a ruotare. Questa tendenza a produrre rotazioni viene chiamata il momento della forza. Il momento è una grandezza vettoriale.

Considerando un polo O il momento M di una forza F è pari al prodotto (vettoriale) della forza F per la distanza (misurata perpendicolarmente) r del punto O dalla retta d’azione della forza:

MO=r x F M, F, r sono vettori. Il modulo del momento è pari a M=F r, dove F è il modulo della forza; r è la distanza tra il polo O e la retta d’azione di F. r è il braccio della forza.

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Momenti Una coppia è un sistema di forze costituito da due forze uguali in modulo e direzione ma di verso opposto aventi rette d’azione parallele e non coincidenti.

Una coppia tende a causare solo un effetto rotazionale su un corpo e non causa alcuna traslazione. Si può dimostrare come il momento di una coppia sia indipendente dal polo rispetto al quale viene calcolato.

L’intensità (il modulo) dell’effetto rotazionale prodotto da una coppia su di un corpo è anch’esso indipendente dal punto di applicazione della coppia sul corpo. Il momento di una coppia è semplicemente il prodotto di una delle due forze per la distanza (misurata perpendicolarmente) tra le rette d’azione.

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Equilibrio di un corpo rigido Un corpo è in equilibrio se il sistema di forze che agisce sul corpo non tende a produrre alcun effetto di traslazione e di rotazione su di esso.

• Equilibrio alla traslazione: ΣF=0 (ΣFx=0, ΣFy=0, ΣFz=0) • Equilibrio alla rotazione: ΣMo=0 (ΣMx=0, ΣΜy=0, ΣΜz=0)

Stabilire una convenzione dei segni per le forze e per i momenti. Nell’esempio: forze verso l’alto positive; momenti antiorari positivi.

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Casi particolari di equilibrio

• Equilibrio alla traslazione: ΣF=0 (ΣFx=0, ΣFy=0, ΣFz=0)

• Equilibrio alla rotazione: ΣMo=0 (ΣMx=0, ΣΜy=0, ΣΜz=0)

Affinché vi sia equilibrio, i sistemi di forze devono sempre rispettare le equazioni cardinali della statica.

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Forze applicate e reazioni vincolari

Le forze ed i momenti che agiscono su di un corpo rigido possono essere classificate in due tipi: forze e momenti applicati oppure reazioni vincolari.

Le forze (o momenti) applicate sono quelle che agiscono direttamente su una struttura. Le reazioni vincolari sono le forze ed i momenti generate dall’azione di un corpo su di un altro e nascono nelle giunzioni e agli appoggi.

L’esistenza di forze reattive è una conseguenza della terza legge di Newton (ad ogni azione corrisponda una reazione uguale ed opposta). Più precisamente, questa legge afferma che, ogni qual volta un corpo esercita una forza su un secondo corpo, quest’ultimo esercita sul primo una forza uguale in intensità e retta d’azione, ma di verso opposto.

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Forze applicate e reazioni vincolari Alcuni esempi di schemi di equilibrio: rappresentazione su di un corpo delle forze attive e delle reazioni vincolari.

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Condizioni di vincolo La natura delle reazioni vincolari agenti su un corpo caricato dipendono dal modo in cui il corpo è vincolato o collegato ad altri corpi.

Affinché una struttura possa essere in equilibrio deve esserci un numero minimo di reazioni vincolari (strutture isostatiche). Se il numero delle reazioni vincolari è sovrabbondante la struttura si dice iperstatica. Se il numero delle reazioni vincolari è insufficiente a garantire l’equilibrio la struttura si dice labile.

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Condizioni di vincolo

ΣF=0 (1) ΣFx=0 0+RBx=0 (2) ΣFy=0 RA+RBy=5P ΣMA=0 (3) ΣMA=0 -1P·5 -4P·15+RBy ·20=0

Equazioni cardinali della statica

Mettendo a sistema la (1), la (2) e la (3) otteniamo i seguenti valori: RA=1.75P RBx=0 RBy =3.25P

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Condizioni di vincolo

ΣF=0 (1) ΣFy=0 RA+RB=wL ΣMA=0 (2) ΣMA=0 -wL·L/2 +RB ·L=0 Mettendo a sistema la (1) e la (2) otteniamo: RA=RB=wL/2

Equazioni cardinali della statica