Corso di Astroparticelle

Univ. di Roma “Tor Vergata”

Introduzione alla Supersimmetria

A. Lionetto

Motivazioni (teoriche)

Modello Minimale Standard (MSSM)

Rottura (soffice) della supersimmetria

Spettro di massa MSSM (neutralini)

GUT (breve digressione)

1

Oltre il Modello Standard

Il Modello Standard delle particelle è stato ver-

ificato sperimentalmente con un elevato grado

di accuratezza.

Ma non è in gradi di rispondere ad una se-

rie di questioni fondamentali (specialmente in

ambito cosmologico):

➠ Asimmetria materia-antimateria nell’Universo

➠ Origine della Materia Oscura

➠ Origine della massa delle particelle

➠ Quark e leptoni sono particelle fondamentali?

➠ Perchè 3 generazioni?

➠ Gravità??

2

Possibili direzioni

Esistono essenzialmente due strade per andare

oltre il Modello Standard:

➠ Considerare gli stessi campi del Modello

Standard con nuove interazioni. Questa

idea conduce alla Supersimmetria (e Teorie

di Stringa), teorie di Grande Unificazione,

..

Questo scenario sembra essere favorito (o

almeno non in contrasto) con i dati speri-

mentali attuali.

➠ Considerare nuovi campi fondamentali con

nuove interazioni. Esempi di questi scenari

sono dati da teorie con condensati fermione-

antifermione, Technicolor, .. Non sembra-

no però essere favoriti dai dati sperimentali

attuali.

Sono inoltre possibili ulteriori scenari esotici compatibili con quellidel primo tipo: gravità al TeV, extra dimensioni, brane world, ..

3

Motivazioni teoriche

Problema della gerarchia ⇒ MPlanck � MW

“Traduzione”: il settore di Higgs delModello Standard (SM)è “sensibile” alle correzioniquantistiche

La parte elettricamente neutra del SM è de-

scritta, a tree-level, da un potenziale scalare:

V = m2H |H|2 + λ|H|4 (1)

Rottura spontanea della simmetria EW

⇓m2H < 0 ⇒ < H >=

√−m2H/2λ

Risultato sperimentale per il vev :

< H >= 174 GeV

⇓

m2H ∼ − (100 GeV)2 (2)

4

Problema: m2H riceve enormi correzioniquantistiche a causa deglieffetti virtuali di ogni campoche si accoppia,direttamente o indirettamente,al campo di Higgs.

(a)

H

f

(b)

H

S

Il primo diagramma rappresenta il contributo(1-loop) alla correzione di m2H da parte di un

campo fermionico f di massa mf .

Accoppiamento di Yukawa tra il campo diHiggs e f nella lagrangiana di interazione:

−λfHf̄f⇓

Correzione quadratica alla massa:

∆m2H =|λf |216π2

[−2Λ2UV + 6m2f ln(ΛUV/mf) + . . .

]

(3)

5

ΛUV è la scala di cutoff ultravioletto

necessaria per regolarizzare (à la Pauli-Villars)

l’integrale di loop

⇓E’ interpretabile come la scala di energia alla

quale intervengono effetti di nuova fisica.

Le correzioni in (3) provengono da ogni

campo fermionico f del SM

ΛUV ∼ MPlanck ∼ 1019 GeV

∆m2H ∼ Λ2UV ∼ 1038 GeV2

⇓

∆m2Hm2H

∼ 1034 !! (4)

ricordando il valore di m2H ottenuto in (2)

6

Il problema delle correzioni quadratiche a m2Hè presente anche in altri schemi di regolariz-

zazione, i.e. regolarizzazione dimensionale.

La presenza del bosone di Higgs è necessaria

per la consistenza del SM. Poiché l’Higgs viene

considerato una particella fondamentale abbi-

amo solo due possibilità:

➠ non esiste alcuna particella pesante che si

accoppia al campo scalare di Higgs

➠ è necessaria qualche cancellazione non triv-

iale tra i vari contributi a ∆m2H

La prima ipotesi è estremamente difficile da

giustificare, ricordando il ruolo dell’Higgs nel

SM.

Prenderemo allora in considerazionesolo la seconda ipotesi.

7

Cancellazione sistematica dei contributi

“pericolosi” a ∆m2H⇓

∃ simmetria tra fermioni e bosoni

Infatti i segni del contributo a ∆m2H ad un loop

sono rispettivamente:

➠ + per i bosoni

➠ − per i fermioni

Es. Se ogni quark e leptone dello SM èaccompagnato da due scalari complessi

con costante d’accoppiamento λS = |λf |2il contributo Λ2UV in (3)si cancella completamente

8

Chiaramente devono essere imposti maggiori

vincoli alla teoria per garantire che la

cancellazione persista a tutti gli ordini

perturbativi.

Fortunatamente tale caratteristica può essere

ottenuta imponendo un’opportuna simmetria

tra i gradi di libertà bosonici e femionici della

teoria

⇓Supersimmetria

Formalmente una trasformazione di supersim-

metria si scrive come:

Q |Boson〉 = |Fermion〉Q |Fermion〉 = |Boson〉 (5)

dove Q è un operatore spinoriale anticommu-

tante. L’operatore Q† (l’hermitiano coniugatodi Q) è ancora un generatore si supersimmetria.

9

Q, Q† operatori fermionici⇓

spin = 1/2

La supersimmetria connette rappresentazioni

diverse del gruppo di Lorentz ed è quindi una

simmetria di spazio-tempo. La forma di tali

simmetrie in una teoria dei campi interagente è

vincolato dall’estensione di Haag-Lopuszanski-

Sohnius del teorema di Coleman-Mandula.

Per una teoria con fermioni chirali, come lo

SM, Q e Q† soddisfano:{Q, Q†

}= Pµ

{Q, Q} ={Q†, Q†

}= 0

[Pµ, Q] =[Pµ, Q†

]= 0 (6)

dove Pµ è il generatore delle traslazioni spaziali

(impulso), e dove abbiamo trascurato gli indici

spinoriali su Q e Q†.

10

Gli stati a particella singola di una teoria

supersimmetrica cadono naturalmente in

rappresentazioni dell’algebra di

supersimmetria

⇓Supermultipletti

Per definizione se |Ω〉 e∣∣Ω′

〉appartengono al-

lo stesso supermultipletto, allora∣∣Ω′

〉è pro-

porzionale a qualche combinazione di Q e Q†

che agiscono su |Ω〉, a meno di traslazioni erotazioni nello spazio-tempo.

[P2, Q

]=[P2, Q†

]= 0

⇓particelle nello stesso supermultipletto

(irriducibile) hanno stesso autovalore di P 2,

cioè stessa massa.

11

I generatori di supersimmetria Q e Q†

commutano anche con i generatori delle

trasformazioni di gauge

⇓Particelle nello stesso supermultipletto sono

nella stessa rappresentazione del gruppo di

gauge

⇓Stessi numeri quantici (carica elettrica,

isospin, colore, ..)

12

Ogni supermultipletto contiene un ugual nu-

mero di gradi di libertà bosonici e fermionici.

Consideriamo infatti l’operatore (−1)2s doves è lo spin. Dal teorema spin-statistica tale

operatore ha i seguenti autovalori:

➠ +1 per uno stato bosonico

➠ −1 per uno stato fermionico

Quindi (−1)2s anticommuta con ogni opera-tore fermionico e in particolare con Q e Q†.

Consideriamo ora un sottospazio di stati |i〉 inun supermultipletto che abbiano lo stesso au-

tovalore pµ del quadri-impulso Pµ. Da ogni

combinazione di Q e Q† che agisce su |i〉 siottiene uno stato

∣∣i′〉con lo stesso pµ.

13

Vale pertanto una relazione di completezza tra

gli stati:∑

i

|i〉 〈i| = 1

Se ora prendiamo la traccia su tutti gli statidell’operatore (−1)2sPµ:∑

i

〈i|(−1)2sP µ|i〉 =∑

i

〈i|(−1)2sQQ†|i〉 +∑

i

〈i|(−1)2sQ†Q|i〉

=∑

i

〈i|(−1)2sQQ†|i〉

+∑

i

∑

j

〈i|(−1)2sQ†|j〉〈j|Q|i〉

=∑

i

〈i|(−1)2sQQ†|i〉 +∑

j

〈j|Q(−1)2sQ†|j〉

=∑

i

〈i|(−1)2sQQ†|i〉 −∑

j

〈j|(−1)2sQQ†|j〉

= 0. (7)

La prima eguaglianza segue dall’algebra di su-

persimmetria (6); la seconda e la terza seguono

dall’uso delle relazioni di completezza, mentre

la quarta è conseguenza del fatto che (−1)2sdeve anticommutare con Q.

14

Dal primo membro dell’equazione (7) si ha:∑

i

〈i|(−1)2sPµ|i〉 = pµ Tr[(−1)2s

](8)

dove Tr[(−1)2s

]è proporzionale al numero di

gradi di libertà bosonici nB meno il numerodi gradi di libertà fermionici nF presenti nellatraccia. Pertanto da (7) si ottiene:

nB = nF (9)

Possibili supermultipletti∗:

➠ Supermultipletto chirale (scalare, materia)

1 fermione di Weyl (nF = 2)2 scalari reali (1 complesso) (nB = 2)

➠ Supermultipletto vettoriale (gauge)

1 bosone massless spin 1 (nB = 2)1 fermione di Weyl (nF = 2)

n.b.: i bosoni di gauge trasformano nell’aggiunta del gruppo digauge, e quindi anche i loro superpartner fermionici (gaugini).

∗gradi di libertà on-shell

15

Modello Standard Minimale Supersimmetrico

Esistono altre possibili combinazioni di campi

che soddisfano (9). Tali combinazioni sono

però riducibili a combinazioni di

supermultipletti chirali e vettoriali. L’unica

possibilità e quella di considerare teorie consupersimmetria “estesa”.

⇓Qi,Q

†i con i = 1, . . . , N

Dal punto di vista fenomenologicol’unico modello supersimmetrico interessante

finora costruito è quello con N = 1

In particolare prenderemo in considerazione

l’estensione minimale del SM: MSSM

In un’estensione supersimmetrica del SM ognuna delle

particelle fondamentali deve appartenere ad un super-

multipletto chirale o ad un supermultipletto di gauge.

I superpartner all’internodello stesso supermultipletto

differiscono per 1/2 unità di spin

16

Contenuto in campi del SM

Partner supersimmetrici nel MSSM

17

Osservazione cruciale: solo i supermultipletti chiralipossono contenere fermionila cui parte left-handedtrasformi in maniera diversadalla parte right-handedrispetto al gruppo di gauge

Fermioni chirali del SM ⇒ componenti di unsupermultipletto(chirale)

In particolare il neutrino non può essere il su-

perpartner del fotone (perché?):

Il neutrino è in un doppietto di SU(2)L mentre

il fotone è neutro.

Convenzioni sui nomi:

➠ i nomi dei superpartner di spin 0 dei quark e

leptoni si ottengono aggiungendo il prefisso

s-. Genericamente: squarks e sleptoni

18

Le componenti left-handed e right-handed

dei quark e dei leptoni sono fermioni di Weyl

che “vivono” in rappresentazioni diverse dei

gruppi di gauge del SM. Pertanto i

superpartner scalari sono diversi per le due

componenti.

I simboli per gli squark e gli sleptoni sono

ottenuti aggiungendo una tilde sul nome

corrispondente del fermione.

Es.: elettrone eL, eR ⇒ selettrone ẽL, ẽR

Osservazione importante: le L e R cheappaiono nel nomedegli squarke degli sleptoninon si riferisconoalle elicitàpoiché sonoparticelle scalari

19

Le interazioni di gauge sono identiche a quellle dei cor-rispondenti partner fermionici del SM.

Es. ũL si accopia a W ma ũR no

Dagli argomenti precedenti risulta chiaro che il bosonedi Higgs, essendo un campo scalare (spin 0) deve farparte di un supermultipletto chirale.

Nel caso dell’estenzione supersimmetrica N = 1 del SMquesto non basta.

Infatti con un solo supermultipletto di Higgs si ha:

➠ esistenza dell’anomalia triangolare di gauge per lasimmetria EW

➠ a causa della struttura di una teoria supersimmet-rica solo un supermultipletto di Higgs con Y = 1/2(ipercarica) può avere gli accoppiamenti di Yukawanecessari per dare massa ai quark di tipo u conQ = 2/3 (carica) mentre solo un supermultiplettodi Higgs con Y = −1/2 può dare massa ad un quarkdi tipo b con Q = −1/3.

⇓necessità di 2 supermultipletti di Higgs con Y = ±1/2

20

Settore di Higgs ⇒ doppietto di SU(2)L discalari complessi Hu, Hd con Y = ±1/2.

Ricordando la relazione tra carica Q, isospin

(debole) T3 e ipercarica Y :

Q = T3 + Y

si ha che le componenti di Hu con T3 = (1/2,−1/2)hanno Q = (1,0) rispettivamente:

Hu =

(H+uH0u

)(10)

In maniera del tutto analoga le componenti di

Hd con T3 = (1/2,−1/2) hanno Q = (0,−1):

Hd =

(H0dH−d

)(11)

lo scalare neutro che corrisponde all’Higgs

standard è una combinazione di H0u e H0d

21

Convenzioni sui nomi:

➠ i nomi dei superpartner di spin 1/2 si otten-

gono aggiungendo il suffisso -ino al nome

della particella del SM

Es.: il partner fermionico dello scalare di Higgs

è chiamato higgsino

Essi sono indicati come H̃u e H̃d con le rispet-

tive componenti di isospin debole date da H̃+u ,

H̃0u e H̃0d , H̃

−d .

Supermultipletti chirali nel MSSM

Names spin 0 spin 1/2 G

squarks, quarks Q (ũL d̃L) (uL dL) ( 3, 2 ,16)

(×3 families) u ũ∗R u†R ( 3, 1, −

23)

d d̃∗R d†R ( 3, 1,

13)

sleptons, leptons L (ν̃ ẽL) (ν eL) ( 1, 2 , −12)(×3 families) e ẽ∗R e

†R ( 1, 1, 1)

Higgs, higgsinos Hu (H+u H

0u) (H̃

+u H̃

0u) ( 1, 2 , +

12)

Hd (H0d H

−d ) (H̃

0d H̃

−d ) ( 1, 2 , −

12)

con G = SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Y22

Nella tabella precedente Q è un supermultiplet-

to chirale doppietto di SU(2)L che contiene ũLe uL (con componente di isospin T3 = +1/2) e

d̃L e dL (con componente di isospin T3 = −1/2)mentre ū denota il supermultipletto singoletto

di SU(2)L contenente ũ∗R, u

†R.

In generale a questi supermultiplettiè necessario aggiungere degli indicidi sapore i = 1,2,3 che denotano

le famiglie fermionicheQi, ūi, ..

E’ interessante notare che il supermultipletto

di Higgs Hd ha esattamente gli stessi numeri

quantici di gauge dei leptoni e sleptoni Li, ma

il neutrino non può essere identificato con il

superpartner dell’Higgs.

Tutti i superpartner delle particelle del SMsono realmente nuove particelle

23

I bosoni vettori del SM devono appartenere a

supermultipletti di gauge.

I superpartner fermionici sono solitamenteindicati come

gaugini

Come al solito indichiamo con la tilde i partner

supersimmetrici del SM

Es.: gluone g ⇒ gluino g̃

Supermultipletti vettoriali nel MSSM

Names spin 1/2 spin 1 G

gluino, gluon g̃ g ( 8, 1 , 0)

winos, W bosons W̃± W̃ 0 W± W 0 ( 1, 3 , 0)

bino, B boson B̃0 B0 ( 1, 1 , 0)

con G = SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)YDopo la rottura della simmetria EW, si ha il mixing diW 0 e B0 e si ottengono gli autostati di massa Z0 e γ. Icorrispondenti mixing dei gaugini forniscono gli autostatichiamati zino W̃ 0 e fotino γ̃.

24

Contenuto in campi del MSSM

25

Rottura della supersimmetria

Tutte le particelle che sono contenute all’in-

terno di un supermultipletto sono degeneri in

massa, a causa della relazione di commutazione:[Q, P2

]= 0

Questo implica, per esempio, che avremmo

già dovuto avere evidenze sperimentali di

selettroni ẽL e ẽR con masse uguali a

me = 0.511 MeV.

⇓

La supersimmetria è unasimmetria rotta

almeno alle scale di energiaattualmente accessibili

26

Per capire la natura della rottura della super-

simmetria torniamo al problema della gerar-

chia.

Supersimmetria ⇒ 2 scalari complessiper ogni fermione

⇓

Cancellazione delle divergenze quadratiche

Λ2UV nell’eq. (3)

Tale cancellazione richiede inoltre che valga la

seguente relazione tra le costanti d’accoppia-

mento adimensionali:

λS = |λf |2

La supersimmetria non rotta garantisce che le

divergenze quadratiche nelle masse scalari al

quadrato si annullino a tutti gli ordini pertur-

bativi

27

Affinché la supersimmetria rotta forniscaancora una soluzione al problema

della gerarchiaè necessario che continui a valere

la relazione precedente tra lecostanti d’accoppiamento adimensionali

Se tale relazione non fosse valida si avrebbero

correzioni alla massa quadrata dell’Higgs:

∆m2H =1

8π2

(λS − |λf |2

)Λ2UV + · · ·

Pertanto dobbiamo considerare rotture

“soffici” della supersimmetria.

Ovvero la lagrangiana (rinormalizzabile) del

MSSM si scriverà come:

L = LSUSY + Lsoft (12)dove LSUSY preserva l’invarianza supersimmet-rica mentre Lsoft la viola esplicitamente ma

contiene solo termini i cui accoppiamentihanno dimensioni di massa > 0

28

I termini di rottura spontanea

sembrano introdurre una certa ar-

bitrarietà. E’ possibile però gius-

tificare la loro presenza come

conseguenza di una teoria più

fondamentale a più alta energia.

Indicando con msoft la scala di massa tipica alla

quale diventano importanti i termini di rottura

soffice, si vede che il contributo a ∆m2H è:

∆m2H = m2soft

[λ

16π2ln(ΛUV /msoft

)+ · · ·

]

(13)

dove abbiamo trascurato termini indipendenti

da ΛUV e correzioni di ordine più alto (che

dipendono da ΛUV attraverso potenze logar-

itmiche).

29

Il parametro msoft determina lo splitting di mas-sa tra le particelle del SM e i loro superpartner.

Dall’eq. (13) segue che la mas-

sa dei superpartner non può es-

sere troppo grande, altrimenti non

verrebbe più “curato” il problema

della gerarchia.⇓

le correzioni m2soft a m2H sarebbero grandi in

maniera “innaturale” rispetto alla scala dirottura EW, i.e. ∼ 174 GeV.

Utilizzando nell’eq. (13):

ΛUV ∼ MPlanck λ ∼ 1

si ha che msoft, e quindi almeno la massa del-la particella supersimmetrica più leggera deveessere dell’ordine:

msoft ∼ 1 TeV

n.b.: Prossima generazione di acceleratori (LHC, Teva-tron,..) pronti a scoprire la supersimmetria!

30

In una teoria supersimmetrica rinormalizzabile

le interazioni e le masse di tutte le particelle

sono determinate da:

➠ Interazioni di gauge

SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Yanalogamente allo SM

➠ Superpotenziale W

(funzione analitica dei supermultipletti

chirali)

In generale la forma del potenziale è vincolata

dall’invarianza di gauge

⇓Sono permesse solo pocheteorie supersimmetriche

31

Ricordando il contenuto di supermultipletti chi-

rali del MSSM, si ha che il superpotenziale può

essere espresso come:

W = uyuQHu − dydQHd − eyeLHd + µHuHd .(14)

dove abbiamo soppresso tutti gli indici di gauge.

Gli accoppiamenti di Yukawa yu, yd e ye sono,

in generale, matrici 3 × 3 nello spazio dellefamiglie.

Il termine µ è la versione supersimmetrica del

termine di massa dell’Higgs.

E’ l’unico termine possibile!

⇓H∗uHu e H∗dHd

proibitipoiché W analitico

32

Approssimazione: solo le componenti (3,3)di yu, yd e yesono importanti

yu ∼

0 0 00 0 00 0 yt

yd ∼

0 0 00 0 00 0 yd

ye ∼

0 0 00 0 00 0 yτ

Il superpotenziale diventa quindi:

W ∼ yt(ttH0u − tbH+u ) − yb(btH−d − bbH0d ) −

yτ(τντH−d − ττH

0d )

+µ(H+u H−d − H

0uH

0d )

Es.: accoppiamento col quark t

Hu0

tL

tR†

(a)

Hu0

tL

tR†

(a)

Hu0

tL

tR*

(c)

Supersimmetria ⇒ tutte le interazionihanno lo stesso yt

33

Interazioni di gauge supersimmetriche

Possibili diagrammi:

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

(a) e (b) sono i diagrammi che appaiono nelle teorie digauge non abeliane (i.e. SU(3)).

(c), (d) e (f) sono i diagrammi standard che descrivonole interazioni tra bosoni di gauge, fermioni chirali escalari (gaugino: linea ondulata sovrapposta ad unasolida).

(g) versione supersimmetrica di (e) o (f): ognuno diquesti tre vertici può essere ottenuto dagli altri∗ rimpiaz-zando particelle con i rispettivi superpartner (e vicever-sa)

∗a meno di un fattore√

2

34

Nel superpotenziale W è possibile considerare,

al contrario del SM, termini rinormalizzabili

che violino la conservazione del numero

leptonico (L) e del numero barionico (B)

⇓decadimento del protone

Pertanto bisogna postulare l’esistenza di un

nuovo tipo di simmetria: R-parità:

PR = (−1)3(B−L)+2s

dove s è lo spin della particella.

[PR, Q] 6= 0 ⇒ particelle nello stessosupermultipletto hanno

R-parità diversae non possono decadere

l’una nell’altra

35

Autovalori della R-parità

➠ +1 per una particella ordinaria

➠ −1 per un particella supersimmetrica

Ogni vertice di interazione contiene

un numero pari di superparticelle con PR = −1Pertanto se imponiamo l’invarianza rispetto alla R-parità,si ha:

➠ la particella supersimmetrica più leggera (LSP) èstabile e costituisce un candidato idealeper la materia oscura non barionica

➠ ogni sparticella non LSP può decadere in stati checontengono un numero dispari di LSP (usualmenteuno)

➠ negli acceleratori le sparticelle possono essere prodottesolo in numero pari (usualmente due)

36

Per una descrizione completa del MSSM dob-biamo specificare i termini di rottura soffice:

Lsoft = −1

2

(M3g̃g̃ + M2W̃ W̃ + M1B̃B̃

)+ c.c.

−(ũ au Q̃Hu − d̃ ad Q̃Hd − ẽ ae L̃Hd

)+ c.c.

−Q̃† m2Q Q̃ − L̃† m2L L̃ − ũm2u ũ† − d̃ m2

dd̃†− ẽm2e ẽ

†

−m2HuH∗uHu − m2HdH∗dHd − (bHuHd + c.c.) . (15)dove abbiamo trascurato gli indici di gauge:

➠ M1, M2, M3 sono i termini di massa peril gluino, il wino e il bino rispettivamente.

➠ au, ad, ae accoppiamenti trilineariin corrispondenza 1 − 1 con gli Yukawamatrici 3 × 3 nello spazio delle famiglie.

➠ m2Q, m2u, m2

d, m2L, m

2ematrici di massa per gli scalari,

3 × 3 nello spazio delle famiglie.

➠ m2Hu, m2Hd

e b sono i termini di (massa)2 di Higgs

37

Vediamo quali sono le scale caratteristiche dei

termini soffici:

M1, M2, M3, au, ad, ae ∼ msoft;m2Q, m

2L, m

2u, m

2d, m2e, m

2Hu, m

2Hd

, b ∼ m2softricordando che msoft ∼ 1 TeV.

La lagrangiana (15) è la più generale per la

rottura della supersimmetria soffice che è com-

patibile con l’invarianza di gauge e con la con-

servazione della R-parità.

Al contrario della parte della lagrangiana che

preserva la supersimmetria, Lsoft introducemolti nuovi parametri non presenti nel SM.

⇓105 masse, fasi, e angoli di mixing nel MSSM

I termini di rottura introducono arbitrarietà nel-

la lagrangiana, ma è possibile pensare che essi

siano il risultato di una teoria fondamentale di

alta energia, i.e. possibile un numero minore

di parametri.

38

LSP nel MSSM

Gli effetti della rottura della simmetria EW

tramite il meccanismo di Higgs tendono a “mis-

chiare” higgsini e gaugini. Gli higgsini neutri

(H̃0u e H̃0d ) e i gaugini neutri (B̃, W̃

0) si combi-

nano per formare 4 autostati di massa neutri:

i neutralini.

Denotiamo gli autostati di massa con:

χ̃i i = 1, . . . ,4

per convenzione gli autostati sono etichettati

in maniera tale che:

mχ̃1 < mχ̃2 < mχ̃3 < mχ̃4

Usualmente il neutralino più leggero χ̃1è l’LSP

In generale questo è vero se la R-parità è con-

servata e non ci sono altre particelle supersim-

metriche più leggere

39

Grande Unificazione

Una delle previsioni più interessanti del MSSM

è l’unificazione degli accoppiamenti di gauge.

Le equazioni del gruppo di rinormalizzazione

(ad 1-loop) per gli accoppiamenti di gauge sono:

d

dtga =

1

16π2bag

3a ⇒

d

dtα−1a = −

ba

2π(a = 1,2,3)

(16)

dove t = ln(Q/Q0) con Q che è la scala di

rinormalizzazione. I coefficenti della β-function

sono:

➠ bSMa = (41/10, −19/6, −7) per lo SM

➠ bMSSMa = (33/5, 1, −3) per lo MSSM

I coefficenti sono diversi nei due casi a causadel contributo delle particelle extra

i.e. (superpartner)

40

In termini degli accoppiamenti di gauge con-

venzionali g e g′ con e = g sin θW = g′ cos θW ,si ha g2 = g and g1 =

√5/3g′

La quantità αa = g2a/4π possiede la proprietà

di evolvere linearmente (ad 1-loop) in funzione

del logaritmo della scala di rinormalizzazione µ

10log Q

1/α i

1/α1

1/α2

1/α3

MSSM

10log Q

1/α i

Unification of the Coupling Constants in the SM and the minimal MSSM

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 150

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15

Al contrario del SM, l’MSSM contiene l’opportunocontenuto in particelle per assicurare l’unificazione

degli accoppiamenti di gauge ad una scala:

MGUT ∼ 1016GeV

41