INTRODUZIONE ALLA FISICA MODERNAaa 2007-08

Lezione 4

Simmetrie in Meccanica quantistica

La rivoluzione quantisticaPrima di passare allrsquoargomento delle simmetrie in meccanica quantistica egrave opportuno passare inrassegna quegli eventi risultati scientifici e formalizzazioni teoriche che hanno portato ad una dellepiugrave grandi e controverse realizzazioni del pensiero umano la meccanica quantistica Il totalecambiamento del cosidetto paradigma ossia il sistema di pensiero che definisce e delimita ciograve chechiamiamo realtagrave ci permette di parlare di una vera e propria rivoluzione i cui effetti hannotravalicato di gran lunga i confini disciplinari della fisica per arrivare alla filosofia (e la suadistruzione) e financo alla religione ossia alla parte piugrave riposta dello spirito umano

Quando osserviamo la Natura diamo per scontati due principi fondamentali1 Che gli eventi accadano dentro ad uno spazio che in qualche modo li contiene e ad unistante dato in un tempo che fluisce uniformemente e indipendentemente2 Che il nostro osservare non disturbi gli eventi o meglio che la perturbazionedellrsquoosservazione o della misura possa almeno in linea di principio essere ridotta fino adessere trascurabile separando cosigrave in modo fondamentale lrsquoosservatore dallrsquoosservatoEbbene alla fine dellrsquoottocento ambedue le ipotesi si sono rivelate sbagliate La prima egrave statainvalidata dalla teoria della Relativitagrave (Einstein 1905 e 1916) Della Relativitagrave non parleremopiugrave se non per ricordare alla fine di questa lezione che allrsquoinizio dellrsquoUniverso probabilmenteRelativitagrave e Meccanica quantistica non erano distinguibili ma aspetti diversi di unrsquounica grandeldquoteoria del tuttordquo (Hawking 1990) La Relativitagrave ha di fatto abolito lo spazio e il tempo comeentitagrave indipendenti dalla materia-energia che invece li creano e ne determinano le proprietagraveLa seconda ipotesi egrave stata invalidata dalla rivoluzione quantistica Mi chiederete come mai ditutto ciograve ce ne siamo accorti sono alla fine del XIX secolo e percheacute per secoli la fisica classicacioegrave non quantistica e non relativistica aveva funzionato cosigrave bene Il punto non egrave il suofunzionamento ma la sua assolutezza come teoria Ossia le rivoluzioni relativistica equantistica manifestano i loro effetti concreti solo per oggetti che viaggiano a velocitagrave vicine aquella della luce o masse enormi come quelle delle Galassie per quanto riguarda la relativitagraveoppure per i fenomeni che avvengono sulla scala microscopica degli atomi molecole e ancor piugravepiccola delle particelle elementari Anzi in ambedue i casi le nuove teorie prevedono la fisicaclassica come caso limite nellrsquoambito del quale questrsquoultima egrave perfettamente valida Perograve questo non cambia il fatto che fondamentalmente le certezze della nostra visione delmondo furono spazzate via da queste rivoluzioniDifficilmente nella storia del pensiero umano si possono trovare eventi che abbiano piugraveradicalmente cambiato la visione del mondo il rapporto uomo-natura la nostra collocazionenella storiaLrsquoosservatore interagisce sempre con lrsquoosservato e questa interazione puograve essere trascurata soloquando si osservino fenomeni macroscopici come quelli della nostra vita quotidiana chedunque ci appaiono oggettivi indipendenti da noi che li osserviamo Questo non egrave piugrave veroquando vogliamo osservare dunque misurare il mondo dei fenomeni microscopici In questocaso lrsquointerazione non puograve essere trascurata nemmeno in linea di principio osservatore e

osservato non sono piugrave nemmeno concettualmente indipendenti la loro interazione modifica inmodo imprevedibile lrsquoevento che dunque potragrave avvenire se ripetuto con risultati diversi Questoporta alla fine del determinismo della fisica classica e allrsquointroduzione di concetti statisticianche nei casi che in fisica classica erano in linea di principio perfettamente determinati Questifatti sono il fondamento della rivoluzione quantistica che ha permesso di capire lrsquoesistenza eproprietagrave degli atomi delle molecole dei loro aggregati sempre piugrave complessi fino a formare imateriali che conosciamo e la stessa materia vivente da una parte e dallrsquoaltra le particelleelementari che sono i mattoni fondamentali di cui egrave costituito tutto lrsquoUniverso

Percheacute gli scienziati hanno dovuto abbandonare le certezze della fisica classica per imbarcarsi in un nuovo avventuroso viaggio Ersquo stata la Natura stessa che osservata con sempre maggioreattenzione e dettaglio a un certo punto ha mostrato eventi e fenomeni che non potevano esserecapiti nellrsquoambito delle teorie conosciute alla fine del secolo XIX Vediamone alcuni1 Le righe di assorbimento e fluorescenza dei gas atomici La spettroscopia ha rivelato che gliatomi assorbivano la luce solo a particolari e ben definite energie e non a tutte le energiecon avrebbe voluto la fisica classica Un primo modello quantistico per capire le proprietagraveottiche degli atomi fu formulato da Bohr (1910) (il ldquomodello planetariordquo) funzionava maancora non si capiva percheacute2 Lrsquoesistenza stessa degli atomi Thompson (1892) dimostrograve che gli atomi non erano le pallinedi Democrito ma avevano una struttura interna contenevano cioegrave delle particelle carichenegativamente gli elettroni e dato che gli atomi sono elettricamente neutri dovevanocontenere particelle con carica positiva uguale a quella complessiva degli elettroniRutherford (1910) dimostrograve poi che la carica positiva era tutta concentrata in un nucleodi dimensioni circa 10000 volte piugrave piccole di quella dellrsquoatomo che risultograve essere attorno ad01 nm (1 nanometro = 10-9 metri) Thompson misurograve anche il rapporto em fra carica emassa dellrsquoelettrone e Millikan (1913) determinograve la carica dellrsquoelettrone(16 10-19

Coulomb) Ebbene tutto ciograve non egrave possibile nellrsquoambito della fisica classica Fu necessariolrsquoavvento della teoria quantistica vera e propria (Schroedinger Heisenberg Dirac (1920-1930)) per dare una sistemazione definiva al problema degli atomi3 Sempre connesso con le proprietagrave ottiche degli atomi egrave lrsquoeffetto fotoelettrico le cui proprietagravesono incomprensibili nellrsquoambito della fisica classica In particolare classicamente laquantitagrave e lrsquoenergia degli elettroni emessi dal materiale sotto lrsquoazione della radiazioneelettromagnetica dovevano dipendere dallrsquointensitagrave della radiazione e non dalla suafrequenza mentre lrsquoosservazione indicava che se la radiazione non aveva una frequenza chesuperava una certa soglia non venivano fuori i fotoelettroni indipendentemente dallrsquointensitagraveDellrsquoeffetto fotoelettrico dette spiegazione Einstein (1905) basandosi sullrsquoipotesi diquantizzazione del campo elettromagnetico di Planck4 Planck appunto (1900) per spiegare un altro fenomeno inspiegabile in fisica classica lospettro della radiazione di corpo nero fu costretto ad ipotizzare che la radiazione potesseessere scambiata solo un quantitagrave discrete dette quanti In questo modo riuscigrave a spiegarepercheacute lrsquointensitagrave spettrale non divergeva allrsquoinfinito con lrsquoaumentare della frequenza comeprevedeva la fisica classica e a calcolare la formula (di Planck) che con grande precisioneriproduce le caratteristiche spettrali del corpo nero tanto da essere usata anche comestandard metrologico5 La quantizzazione dellrsquoenergia permise di spiegare anche unrsquoaltra anomalia (rispetto allafisica classica) quella dellrsquoandamento del calore specifico dei solidi con la temperatura Perla fisica classica doveva essere costante e proporzionale a R la costante molare dei gas Ifatti invece indicavano che questo comportamento (Legge di Dulong e Petit) era il caso

limite delle alte temperature mentre se la temperatura veniva abbassata verso lo zeroassoluto (-273 degK) il calore specifico andava anchrsquoesso a zero approssimando uncomportamento di proporzionalitagrave a T3 Questo comportamento fu modellizzato nellrsquoambitodellrsquoipotesi quantistica (questa volta applicata allrsquoenergia vibrazionale degli atomi checostituiscono il materiale) da Einstein (1907) e Debye (1908)Fermiamo qui questa carrellata sugli esperimenti piugrave importanti che hanno portato allarivoluzione quantistica La descrizione piugrave precisa ed estesa degli effetti e della lorointerpretazione puograve essere trovata nelle lezioni che riguardano la parte sperimentale del nostrocorso

I fondamenti della meccanica quantistica

Il principio di indeterminazione ( o di Heisenberg)La base fisica della rivoluzione quantistica egrave il Principio di Indeterminazione formulato daHeinberg nel 1924 Il principio si basa da una parte sul fatto fisico fondamentale che osservatoree osservato non sono separabili nemmeno in linea di principio e dallaltra su alcunecaratteristiche formali delle variabili fisiche della meccanica classica che valevano anche per leloro corrispondenti quantistiche Il Principio asserisce che per specifiche coppie di variabili(osservabili) fisiche A e B che in meccanica classica sono definite come ldquoconiugaterdquo devesempre valere la seguente diseguaglianzaΔA ΔB ge ħdove ħ = h2π h essendo la costante di Planck = 66310-34 Joule secondo I Δ nella formulastanno ad indicare la precisione con cui viene misurata (osservata) la grandezza A o B Si vedechiaramente che allaumentare della precisione per una grandezza diminuisce in parallelo laprecisione per laltra O luna o laltra in linea di principio possono essere misurate con infinitaprecisione ma al costo di perdere qualsiasi possibilitagrave di conoscere laltra Questa parte delprincipio traduce matematicamente il problema interazione osservabile-osservatore Laltroaspetto del principio egrave il valore di h che egrave cosigrave piccolo da rendere trascurabili gli effettiquantistici quando si passa dal mondo microscopico a quello macroscopico Alcuni esempi divariabili coniugate sono Energia E e tempo t quantitagrave di moto p e posizione x momentoangolare J e angolo di rotazione φLe conseguenze pratiche del principio sono grandi e immediate per esempio il mostro sacrodella Fisica il Principio di Conservazione dellEnergia non ha piugrave valore assoluto In fatti perpoter asserire che lenergia si conserva devo poterla misurare con infinita precisione ad un bendeterminato istante nel tempo e questo per il Principio di Indeterminazione egrave impossibile Ebene ricordare il significato del Δ che appare nel principio Il valore della variabile osservata Afluttua in modo casuale con unampiezza caratteristica che egrave appunto ΔA essendo lafluttuazione casuale i valori positivi rispetto al valor medio sono altrettanto probabili dei valorinegativi per cui il valor medio egrave costante nel tempo Ma questo valore non egrave quello che vieneosservato e tanto piugrave piccolo egrave il tempo a disposizione per fare la misura tanto piugrave grandi sonole fluttuazioni e dunque la probabilitagrave di trovare un valore di E molto lontano in piugrave o in menodal valor medioStesso discorso per le altre coppie di variabili coniugate per esempio dato che p=mv se misurocon infinita precisione la velocitagrave di una particella la sua posizione saragrave completamenteindeterminata ossia la potrograve trovare con uguale probabilitagrave ovunque Come vedremo questo haimportantissime conseguenze su come la meccanica quantistica ha permesso di capire leproprietagrave degli atomi molecole etc

Come si traduce il Principio di Azione nella meccanica quantistica Fu Feynmannellimmediato dopoguerra a darne lenunciato Consideriamo allora tutte le possibili traiettorieper andare da X1 a X2 Classicamente il principio ci dice che la particella ne seguiragrave una che egravequella che minimizza lazione La traduzione quantistica di Feynman si basa sul fattofondamentale (principio di indeterminazione) per cui non egrave possibile conoscere la specificatraiettoria di una particella Feynman postulograve che la particella le puograve seguire tutte ma conprobabilitagrave diverse connesse con le ampiezzeΩ( x(t)) = exp[ i A((x(t)) ħ] dove A egrave lazione Per calcolare come il sistema evolveragrave si somma (integra) questa ampiezza sututte le traiettorie La probabilitagrave di arrivare al punto finale egrave il modulo quadro dellampiezza totaleE importante notare che la particella non segue solo una traiettoria eg quella piugrave probabileinvece le ldquoseguerdquotutte ossia prima di fare la misura per vedere dovegrave la particella egrave delocalizzataproprio come unonda ma cegrave di piugrave se io bloccassi in qualche modo qualche possibile traiettoriavirtuale cambierograve il risultato che troverograve anche se la particella in quella traiettoria non ci sarebbemai passata Quando poi faccio la misura della posizione allora tutte le traiettorie alternativespariscono Vedremo fra poco un esempio chiarissimo di questo fattoPer ora concludiamo rimarcando che attraverso la formulazione di Feynman della meccanicaquantistica arriviamo al principio di azione che a sua volta ci porta al teorema di Noether e dunquealle leggi di conservazione che abbiamo giagrave discusso per la fisica classica

I dualismi della fisica quantistica onda-particella particella-ondaE ben noto che lenergia elettromagnetica si propaga attraverso onde nel vuoto delocalizzate nellospazio e nel tempo Lipotesi di Planck per spiegare lo spettro della radiazione di corpo nerolipotesi di Einstein per piegare leffetto fotoelettrico e landamento del calore specifico dei solididimostrano inequivocabilmente che la radiazione in certi casi ha tutte le caratteristiche di unaparticella cioegrave unentitagrave che trasporta energia e quantitagrave di moto localizzate nello spazio e neltempoViceversa DeBroglie (1922) suppose che la situazione doveva essere simmetrica ossia se unondapoteva avere simultaneamente anche le caratteristiche di una particella allora anche una particelladoveva avere le caratteristiche di unonda e assegnograve alla particella di quantitagrave di moto p unalunghezza dondaλ=hpUn elettrone con unenergia di 1 eV (16 10-19 Joule) avrebbe una lunghezza donda di de Broglie dicirca 1 nm (10 Angstrom) De Broglie in qualche modo credeva allesistenza di una vera e proprialdquoondardquo che accompagnava la particella nel suo moto Fu Heinsenberg che chiarigrave il significatoprofondo dellipotesi di de Broglie col suo principio di indeterminazione la delocalizzazionespaziale della particella era naturale la particella egrave simultaneamente onda e particella e manifestaluno o laltro aspetto a seconda delle osservazioni che si fanno La natura anche ondulatoria delleparticelle fu poi dimostrata sperimentalmente da Davidson e Germeer (1928) che evidenziaronoleffetto della diffrazione su un fascetto di elettroni Da questo esperimento nacque fra laltrounimportante tecnologia quella del microscopio elettronicoVediamo ora alcuni esperimenti ldquovirtualirdquo che dimostrano le asserzioni che abbiamo fatto e quantosia diverso il mondo quantistico rispetto a quello cui i nostri sensi ci hanno abituato

Lesperimento delle due fenditure (Young)Nellesperimento di Young fu dimostratata la natura ondulatoria della luce evidenziando le frangedi interferenza fra i raggi che traversano luna o laltra fenditura Questo esperimento egrave diventato unimportante strumento per la dimostrazione della dualitagrave onda-particella in fisica quantistica

Ma la natura squisitamente quantisitca degli effetti la si dimostra se ora nellesperimento diYoung immaginiamo di ridurre lintensitagrave dei fotoni o elettroni a tal punto che al massimo unaparticella passa attraverso le fenditure per ogni intervallo temporale di misura

Si vede chiaramente come la proprietagrave dellinterferenza non sia dovuta alla statistica delle molteparticelle che interferiscono La singola particella interferisce con se stessa O meglio prima diarrivare alle fenditure la particella egrave delocalizzata ed egrave in uno stato che egrave la sovrapposizione didue stati che la farebbero passare o dalluna o dallaltra fenditura rispettivamente E questo ilpunto piugrave fondamentale e controverso della fisica quantisticaContinuando con nostro esperimento ideale immaginiamo ora di chiudere una delle fenditure

Chiudiamo ora laltra fenditura

Cosa vedremo

Esattamente la stessa cosa di quando avevamo chiuso la fenditura S1 ma ovviamente con laposizione dellintensitagrave invertita non cegrave interferenzaImmaginiamo ora di riaprire ambedue le fenditure Ecco che linterferenza riappare

Dunque chiudendo una fenditura io influenzo il risultato sullaltra come fanno le particelle chepassano dallaltra a sapere che ho chiuso la prima La risposta come vedremo egrave che prima dipassare attraverso le fenditure la singola particella egrave simultaneamente in uno stato (quantico) incui ambedue i ldquofuturirdquo sono possibili egrave in una sovrapposizione di due stati uno per il qualepasserebbe dalla fenditura S1 laltro per la S2 Tutto ciograve egrave describibile solo se la funzione chedescrive lo stato della particella ha le carrateristiche di delocalizzazione di unonda

La funzione donda

La formalizzazione matematica dei risultati sperimentali descritti della dualitagrave particella-ondae se si vuole del Principio di Indeterminazione che egrave alla base di tutto ciograve si ottieneintroducendo la funzione donda una funzione cioegrave che ci dagrave la descrizione completa (nel sensoche egrave la massima possibile) del sistema fisico sotto osservazione Nella fisica classica taledescrizione si aveva conoscendo ad ogni istante t la posizione x e la quantitagrave di moto p dellaparticella o delle particelle che costituivano il sistema Abbiamo visto che questo egrave impossibilein fisica quantistica Abbiamo anche visto che ora dobbiamo introdurre un elemento di caosossia di non predicibilitagrave nella nostra descrizione del sistema Abbiamo visto in particolare cheuna particella saragrave tanto piugrave delocalizzata quanto piugrave la sua quantitagrave di moto egrave definita Ma cosavuol dire ldquodelocalizzatardquo Ovviamente non che le sue dimensioni fisiche aumentano adismisura Vuol dire invece come abbiamo visto nellesperimento di Young che se noicerchiamo di misurarne la posizione una volta la troviamo in un punto una volta in un altro ela distribuzione di queste posizioni saragrave tanto piugrave larga quanto piugrave definita egrave la quantitagrave di motoDa questo discende in modo abbastanza (cioegrave col sapere di poi) naturale introdurre una funzioneche ci dagrave la probabilitagrave di trovare la particella in un dato punto se questa egrave un un dato stato

quantico nellesempio che abbiamo fatto per esempio se ha una data quantitagrave di motoQuesta funzione si chiama funzione donda e saragrave funzione di x e di t proprio come in fisicaclassica lo sarebbe stata la traiettoria della particellaψ = ψ(xt)Come vedremo piugrave avanti la ψ egrave una funzione complessa (nel senso dei numeri complessi) edunque non puograve descrivere una quantitagrave osservabile e misurabile inoltre non ha alcune proprietagravematematiche che si richiedono per descrivere una probabilitagrave La piugrave semplice funzioneconnessa con ψ che abbia le giuste proprietagrave egrave il suo modulo quadro|ψ(x t)|2 = probabilitagrave di trovare la particella nel punto x al tempo tCome vedete linterpretazione fisica della funzione donda egrave appunto uninterpretazione ossianon egrave desumibile da principi primi E stata proposta dalla cosidetta Scuola di Copenhagen(Bohr 1928) questa ldquoarbitrarietagraverdquo nei fondamenti della meccanica quantistica egrave stata sempre unproblema che ha portato molti malgrado i tantissimi successi della teoria a ritenerla come unateoria incompleta ancora oggi molti fisici dibattono su questo e sono alla ricerca di una teoriapiugrave generale Unaltro problema che la meccanica quantistica condivide sebbene da puntidiversi con la Relativitagrave egrave che la MQ non rende conto della gravitazione Dunque la teoriagenerale che si cerca sarebbe una vera e propria teoria del tutto la teoria unificata che descrive iltutto dallrsquoorigine e struttura dellUniverso su larga scala alla materia vivente (inclusi noi) allepiugrave piccole particelle elementariConsideriamo ora una particella libera di massa m questa avragrave una velocitagrave v perfettamentedefinita e costante nel tempo Il suo stato quantico saragrave allora descritto dal valore della quantitagravedi moto p e saragrave stazionario nel senso che non dipende dal tempo Quale saragrave la sua funzionedonda In linea di principio per rispondere a questa domanda dovremo procedere nello stessomodo della fisica classica dove per trovare la traiettoria dobbiamo risolvere le equazioni dimoto (F=ma) in MQ la funzione donda la troveremo come soluzione di unequazioneanaloga concettualmente alle equazioni di moto che viene detta equazione donda o equazionedi Scroedinger (Schroedinger 1923) Anche nel caso dellequazione di Scroedinger si egraveproceduto per analogie e interpretazioni dei dati sperimentali anche in questo caso il successo egravestato ed egrave tuttora impressionante Vedremo dopo come si puograve giustificare lequazione diScroedinger e la forma matematica che ha assunto Qui vorremmo nel piugrave semplice dei casiarrivare alla forma della funzione donda senza passare per la soluzione dellequazione dondaAllora ricordiamo che se la particella ha una quantitagrave di moto perfettamente definita deve esseredelocalizzata su tutto lo spazio ossia la probabilitagrave di trovarla dovunque egrave sempre la stessaossia matematicamente egrave indipendente dalla coordinata x e ovviamente anche dalla coordinatatemporale In altre parole la forma della funzione donda deve semplicemente dirci che laparticella da qualche parte esiste Ora la funzione matematica piugrave semplice che ha tutte lecaratteristiche giuste egraveψ (x) = exp(ipx)Infatti descrive completamente lo stato quantico dato che cegrave p la quantitagrave di moto che quiappare come parametro ha le stesse caratteristiche formali delle funzioni che descrivono ondecome ad esempio quelle elettromagnetiche Il suo modulo quadro egrave uguale a 1 ossia ci dagrave lacorretta probabilitagrave di trovare la particella da qualche parte (la particella esiste) e egrave indipendenteda x ossia la particella egrave totalmente delocalizzata Questa egrave dunque funzione donda dellaparticella libera e come vedremo coincide con la soluzione della corrispondente equazione diSchroedinger

Lequazione donda (Schroedinger)Per arrivare allrsquoequazione di Schroedinger o equazione drsquoonda cominciamo appunto col richiamare

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

osservato non sono piugrave nemmeno concettualmente indipendenti la loro interazione modifica inmodo imprevedibile lrsquoevento che dunque potragrave avvenire se ripetuto con risultati diversi Questoporta alla fine del determinismo della fisica classica e allrsquointroduzione di concetti statisticianche nei casi che in fisica classica erano in linea di principio perfettamente determinati Questifatti sono il fondamento della rivoluzione quantistica che ha permesso di capire lrsquoesistenza eproprietagrave degli atomi delle molecole dei loro aggregati sempre piugrave complessi fino a formare imateriali che conosciamo e la stessa materia vivente da una parte e dallrsquoaltra le particelleelementari che sono i mattoni fondamentali di cui egrave costituito tutto lrsquoUniverso

Percheacute gli scienziati hanno dovuto abbandonare le certezze della fisica classica per imbarcarsi in un nuovo avventuroso viaggio Ersquo stata la Natura stessa che osservata con sempre maggioreattenzione e dettaglio a un certo punto ha mostrato eventi e fenomeni che non potevano esserecapiti nellrsquoambito delle teorie conosciute alla fine del secolo XIX Vediamone alcuni1 Le righe di assorbimento e fluorescenza dei gas atomici La spettroscopia ha rivelato che gliatomi assorbivano la luce solo a particolari e ben definite energie e non a tutte le energiecon avrebbe voluto la fisica classica Un primo modello quantistico per capire le proprietagraveottiche degli atomi fu formulato da Bohr (1910) (il ldquomodello planetariordquo) funzionava maancora non si capiva percheacute2 Lrsquoesistenza stessa degli atomi Thompson (1892) dimostrograve che gli atomi non erano le pallinedi Democrito ma avevano una struttura interna contenevano cioegrave delle particelle carichenegativamente gli elettroni e dato che gli atomi sono elettricamente neutri dovevanocontenere particelle con carica positiva uguale a quella complessiva degli elettroniRutherford (1910) dimostrograve poi che la carica positiva era tutta concentrata in un nucleodi dimensioni circa 10000 volte piugrave piccole di quella dellrsquoatomo che risultograve essere attorno ad01 nm (1 nanometro = 10-9 metri) Thompson misurograve anche il rapporto em fra carica emassa dellrsquoelettrone e Millikan (1913) determinograve la carica dellrsquoelettrone(16 10-19

Coulomb) Ebbene tutto ciograve non egrave possibile nellrsquoambito della fisica classica Fu necessariolrsquoavvento della teoria quantistica vera e propria (Schroedinger Heisenberg Dirac (1920-1930)) per dare una sistemazione definiva al problema degli atomi3 Sempre connesso con le proprietagrave ottiche degli atomi egrave lrsquoeffetto fotoelettrico le cui proprietagravesono incomprensibili nellrsquoambito della fisica classica In particolare classicamente laquantitagrave e lrsquoenergia degli elettroni emessi dal materiale sotto lrsquoazione della radiazioneelettromagnetica dovevano dipendere dallrsquointensitagrave della radiazione e non dalla suafrequenza mentre lrsquoosservazione indicava che se la radiazione non aveva una frequenza chesuperava una certa soglia non venivano fuori i fotoelettroni indipendentemente dallrsquointensitagraveDellrsquoeffetto fotoelettrico dette spiegazione Einstein (1905) basandosi sullrsquoipotesi diquantizzazione del campo elettromagnetico di Planck4 Planck appunto (1900) per spiegare un altro fenomeno inspiegabile in fisica classica lospettro della radiazione di corpo nero fu costretto ad ipotizzare che la radiazione potesseessere scambiata solo un quantitagrave discrete dette quanti In questo modo riuscigrave a spiegarepercheacute lrsquointensitagrave spettrale non divergeva allrsquoinfinito con lrsquoaumentare della frequenza comeprevedeva la fisica classica e a calcolare la formula (di Planck) che con grande precisioneriproduce le caratteristiche spettrali del corpo nero tanto da essere usata anche comestandard metrologico5 La quantizzazione dellrsquoenergia permise di spiegare anche unrsquoaltra anomalia (rispetto allafisica classica) quella dellrsquoandamento del calore specifico dei solidi con la temperatura Perla fisica classica doveva essere costante e proporzionale a R la costante molare dei gas Ifatti invece indicavano che questo comportamento (Legge di Dulong e Petit) era il caso

limite delle alte temperature mentre se la temperatura veniva abbassata verso lo zeroassoluto (-273 degK) il calore specifico andava anchrsquoesso a zero approssimando uncomportamento di proporzionalitagrave a T3 Questo comportamento fu modellizzato nellrsquoambitodellrsquoipotesi quantistica (questa volta applicata allrsquoenergia vibrazionale degli atomi checostituiscono il materiale) da Einstein (1907) e Debye (1908)Fermiamo qui questa carrellata sugli esperimenti piugrave importanti che hanno portato allarivoluzione quantistica La descrizione piugrave precisa ed estesa degli effetti e della lorointerpretazione puograve essere trovata nelle lezioni che riguardano la parte sperimentale del nostrocorso

I fondamenti della meccanica quantistica

Il principio di indeterminazione ( o di Heisenberg)La base fisica della rivoluzione quantistica egrave il Principio di Indeterminazione formulato daHeinberg nel 1924 Il principio si basa da una parte sul fatto fisico fondamentale che osservatoree osservato non sono separabili nemmeno in linea di principio e dallaltra su alcunecaratteristiche formali delle variabili fisiche della meccanica classica che valevano anche per leloro corrispondenti quantistiche Il Principio asserisce che per specifiche coppie di variabili(osservabili) fisiche A e B che in meccanica classica sono definite come ldquoconiugaterdquo devesempre valere la seguente diseguaglianzaΔA ΔB ge ħdove ħ = h2π h essendo la costante di Planck = 66310-34 Joule secondo I Δ nella formulastanno ad indicare la precisione con cui viene misurata (osservata) la grandezza A o B Si vedechiaramente che allaumentare della precisione per una grandezza diminuisce in parallelo laprecisione per laltra O luna o laltra in linea di principio possono essere misurate con infinitaprecisione ma al costo di perdere qualsiasi possibilitagrave di conoscere laltra Questa parte delprincipio traduce matematicamente il problema interazione osservabile-osservatore Laltroaspetto del principio egrave il valore di h che egrave cosigrave piccolo da rendere trascurabili gli effettiquantistici quando si passa dal mondo microscopico a quello macroscopico Alcuni esempi divariabili coniugate sono Energia E e tempo t quantitagrave di moto p e posizione x momentoangolare J e angolo di rotazione φLe conseguenze pratiche del principio sono grandi e immediate per esempio il mostro sacrodella Fisica il Principio di Conservazione dellEnergia non ha piugrave valore assoluto In fatti perpoter asserire che lenergia si conserva devo poterla misurare con infinita precisione ad un bendeterminato istante nel tempo e questo per il Principio di Indeterminazione egrave impossibile Ebene ricordare il significato del Δ che appare nel principio Il valore della variabile osservata Afluttua in modo casuale con unampiezza caratteristica che egrave appunto ΔA essendo lafluttuazione casuale i valori positivi rispetto al valor medio sono altrettanto probabili dei valorinegativi per cui il valor medio egrave costante nel tempo Ma questo valore non egrave quello che vieneosservato e tanto piugrave piccolo egrave il tempo a disposizione per fare la misura tanto piugrave grandi sonole fluttuazioni e dunque la probabilitagrave di trovare un valore di E molto lontano in piugrave o in menodal valor medioStesso discorso per le altre coppie di variabili coniugate per esempio dato che p=mv se misurocon infinita precisione la velocitagrave di una particella la sua posizione saragrave completamenteindeterminata ossia la potrograve trovare con uguale probabilitagrave ovunque Come vedremo questo haimportantissime conseguenze su come la meccanica quantistica ha permesso di capire leproprietagrave degli atomi molecole etc

Come si traduce il Principio di Azione nella meccanica quantistica Fu Feynmannellimmediato dopoguerra a darne lenunciato Consideriamo allora tutte le possibili traiettorieper andare da X1 a X2 Classicamente il principio ci dice che la particella ne seguiragrave una che egravequella che minimizza lazione La traduzione quantistica di Feynman si basa sul fattofondamentale (principio di indeterminazione) per cui non egrave possibile conoscere la specificatraiettoria di una particella Feynman postulograve che la particella le puograve seguire tutte ma conprobabilitagrave diverse connesse con le ampiezzeΩ( x(t)) = exp[ i A((x(t)) ħ] dove A egrave lazione Per calcolare come il sistema evolveragrave si somma (integra) questa ampiezza sututte le traiettorie La probabilitagrave di arrivare al punto finale egrave il modulo quadro dellampiezza totaleE importante notare che la particella non segue solo una traiettoria eg quella piugrave probabileinvece le ldquoseguerdquotutte ossia prima di fare la misura per vedere dovegrave la particella egrave delocalizzataproprio come unonda ma cegrave di piugrave se io bloccassi in qualche modo qualche possibile traiettoriavirtuale cambierograve il risultato che troverograve anche se la particella in quella traiettoria non ci sarebbemai passata Quando poi faccio la misura della posizione allora tutte le traiettorie alternativespariscono Vedremo fra poco un esempio chiarissimo di questo fattoPer ora concludiamo rimarcando che attraverso la formulazione di Feynman della meccanicaquantistica arriviamo al principio di azione che a sua volta ci porta al teorema di Noether e dunquealle leggi di conservazione che abbiamo giagrave discusso per la fisica classica

I dualismi della fisica quantistica onda-particella particella-ondaE ben noto che lenergia elettromagnetica si propaga attraverso onde nel vuoto delocalizzate nellospazio e nel tempo Lipotesi di Planck per spiegare lo spettro della radiazione di corpo nerolipotesi di Einstein per piegare leffetto fotoelettrico e landamento del calore specifico dei solididimostrano inequivocabilmente che la radiazione in certi casi ha tutte le caratteristiche di unaparticella cioegrave unentitagrave che trasporta energia e quantitagrave di moto localizzate nello spazio e neltempoViceversa DeBroglie (1922) suppose che la situazione doveva essere simmetrica ossia se unondapoteva avere simultaneamente anche le caratteristiche di una particella allora anche una particelladoveva avere le caratteristiche di unonda e assegnograve alla particella di quantitagrave di moto p unalunghezza dondaλ=hpUn elettrone con unenergia di 1 eV (16 10-19 Joule) avrebbe una lunghezza donda di de Broglie dicirca 1 nm (10 Angstrom) De Broglie in qualche modo credeva allesistenza di una vera e proprialdquoondardquo che accompagnava la particella nel suo moto Fu Heinsenberg che chiarigrave il significatoprofondo dellipotesi di de Broglie col suo principio di indeterminazione la delocalizzazionespaziale della particella era naturale la particella egrave simultaneamente onda e particella e manifestaluno o laltro aspetto a seconda delle osservazioni che si fanno La natura anche ondulatoria delleparticelle fu poi dimostrata sperimentalmente da Davidson e Germeer (1928) che evidenziaronoleffetto della diffrazione su un fascetto di elettroni Da questo esperimento nacque fra laltrounimportante tecnologia quella del microscopio elettronicoVediamo ora alcuni esperimenti ldquovirtualirdquo che dimostrano le asserzioni che abbiamo fatto e quantosia diverso il mondo quantistico rispetto a quello cui i nostri sensi ci hanno abituato

Lesperimento delle due fenditure (Young)Nellesperimento di Young fu dimostratata la natura ondulatoria della luce evidenziando le frangedi interferenza fra i raggi che traversano luna o laltra fenditura Questo esperimento egrave diventato unimportante strumento per la dimostrazione della dualitagrave onda-particella in fisica quantistica

Ma la natura squisitamente quantisitca degli effetti la si dimostra se ora nellesperimento diYoung immaginiamo di ridurre lintensitagrave dei fotoni o elettroni a tal punto che al massimo unaparticella passa attraverso le fenditure per ogni intervallo temporale di misura

Si vede chiaramente come la proprietagrave dellinterferenza non sia dovuta alla statistica delle molteparticelle che interferiscono La singola particella interferisce con se stessa O meglio prima diarrivare alle fenditure la particella egrave delocalizzata ed egrave in uno stato che egrave la sovrapposizione didue stati che la farebbero passare o dalluna o dallaltra fenditura rispettivamente E questo ilpunto piugrave fondamentale e controverso della fisica quantisticaContinuando con nostro esperimento ideale immaginiamo ora di chiudere una delle fenditure

Chiudiamo ora laltra fenditura

Cosa vedremo

Esattamente la stessa cosa di quando avevamo chiuso la fenditura S1 ma ovviamente con laposizione dellintensitagrave invertita non cegrave interferenzaImmaginiamo ora di riaprire ambedue le fenditure Ecco che linterferenza riappare

Dunque chiudendo una fenditura io influenzo il risultato sullaltra come fanno le particelle chepassano dallaltra a sapere che ho chiuso la prima La risposta come vedremo egrave che prima dipassare attraverso le fenditure la singola particella egrave simultaneamente in uno stato (quantico) incui ambedue i ldquofuturirdquo sono possibili egrave in una sovrapposizione di due stati uno per il qualepasserebbe dalla fenditura S1 laltro per la S2 Tutto ciograve egrave describibile solo se la funzione chedescrive lo stato della particella ha le carrateristiche di delocalizzazione di unonda

La funzione donda

La formalizzazione matematica dei risultati sperimentali descritti della dualitagrave particella-ondae se si vuole del Principio di Indeterminazione che egrave alla base di tutto ciograve si ottieneintroducendo la funzione donda una funzione cioegrave che ci dagrave la descrizione completa (nel sensoche egrave la massima possibile) del sistema fisico sotto osservazione Nella fisica classica taledescrizione si aveva conoscendo ad ogni istante t la posizione x e la quantitagrave di moto p dellaparticella o delle particelle che costituivano il sistema Abbiamo visto che questo egrave impossibilein fisica quantistica Abbiamo anche visto che ora dobbiamo introdurre un elemento di caosossia di non predicibilitagrave nella nostra descrizione del sistema Abbiamo visto in particolare cheuna particella saragrave tanto piugrave delocalizzata quanto piugrave la sua quantitagrave di moto egrave definita Ma cosavuol dire ldquodelocalizzatardquo Ovviamente non che le sue dimensioni fisiche aumentano adismisura Vuol dire invece come abbiamo visto nellesperimento di Young che se noicerchiamo di misurarne la posizione una volta la troviamo in un punto una volta in un altro ela distribuzione di queste posizioni saragrave tanto piugrave larga quanto piugrave definita egrave la quantitagrave di motoDa questo discende in modo abbastanza (cioegrave col sapere di poi) naturale introdurre una funzioneche ci dagrave la probabilitagrave di trovare la particella in un dato punto se questa egrave un un dato stato

quantico nellesempio che abbiamo fatto per esempio se ha una data quantitagrave di motoQuesta funzione si chiama funzione donda e saragrave funzione di x e di t proprio come in fisicaclassica lo sarebbe stata la traiettoria della particellaψ = ψ(xt)Come vedremo piugrave avanti la ψ egrave una funzione complessa (nel senso dei numeri complessi) edunque non puograve descrivere una quantitagrave osservabile e misurabile inoltre non ha alcune proprietagravematematiche che si richiedono per descrivere una probabilitagrave La piugrave semplice funzioneconnessa con ψ che abbia le giuste proprietagrave egrave il suo modulo quadro|ψ(x t)|2 = probabilitagrave di trovare la particella nel punto x al tempo tCome vedete linterpretazione fisica della funzione donda egrave appunto uninterpretazione ossianon egrave desumibile da principi primi E stata proposta dalla cosidetta Scuola di Copenhagen(Bohr 1928) questa ldquoarbitrarietagraverdquo nei fondamenti della meccanica quantistica egrave stata sempre unproblema che ha portato molti malgrado i tantissimi successi della teoria a ritenerla come unateoria incompleta ancora oggi molti fisici dibattono su questo e sono alla ricerca di una teoriapiugrave generale Unaltro problema che la meccanica quantistica condivide sebbene da puntidiversi con la Relativitagrave egrave che la MQ non rende conto della gravitazione Dunque la teoriagenerale che si cerca sarebbe una vera e propria teoria del tutto la teoria unificata che descrive iltutto dallrsquoorigine e struttura dellUniverso su larga scala alla materia vivente (inclusi noi) allepiugrave piccole particelle elementariConsideriamo ora una particella libera di massa m questa avragrave una velocitagrave v perfettamentedefinita e costante nel tempo Il suo stato quantico saragrave allora descritto dal valore della quantitagravedi moto p e saragrave stazionario nel senso che non dipende dal tempo Quale saragrave la sua funzionedonda In linea di principio per rispondere a questa domanda dovremo procedere nello stessomodo della fisica classica dove per trovare la traiettoria dobbiamo risolvere le equazioni dimoto (F=ma) in MQ la funzione donda la troveremo come soluzione di unequazioneanaloga concettualmente alle equazioni di moto che viene detta equazione donda o equazionedi Scroedinger (Schroedinger 1923) Anche nel caso dellequazione di Scroedinger si egraveproceduto per analogie e interpretazioni dei dati sperimentali anche in questo caso il successo egravestato ed egrave tuttora impressionante Vedremo dopo come si puograve giustificare lequazione diScroedinger e la forma matematica che ha assunto Qui vorremmo nel piugrave semplice dei casiarrivare alla forma della funzione donda senza passare per la soluzione dellequazione dondaAllora ricordiamo che se la particella ha una quantitagrave di moto perfettamente definita deve esseredelocalizzata su tutto lo spazio ossia la probabilitagrave di trovarla dovunque egrave sempre la stessaossia matematicamente egrave indipendente dalla coordinata x e ovviamente anche dalla coordinatatemporale In altre parole la forma della funzione donda deve semplicemente dirci che laparticella da qualche parte esiste Ora la funzione matematica piugrave semplice che ha tutte lecaratteristiche giuste egraveψ (x) = exp(ipx)Infatti descrive completamente lo stato quantico dato che cegrave p la quantitagrave di moto che quiappare come parametro ha le stesse caratteristiche formali delle funzioni che descrivono ondecome ad esempio quelle elettromagnetiche Il suo modulo quadro egrave uguale a 1 ossia ci dagrave lacorretta probabilitagrave di trovare la particella da qualche parte (la particella esiste) e egrave indipendenteda x ossia la particella egrave totalmente delocalizzata Questa egrave dunque funzione donda dellaparticella libera e come vedremo coincide con la soluzione della corrispondente equazione diSchroedinger

Lequazione donda (Schroedinger)Per arrivare allrsquoequazione di Schroedinger o equazione drsquoonda cominciamo appunto col richiamare

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

limite delle alte temperature mentre se la temperatura veniva abbassata verso lo zeroassoluto (-273 degK) il calore specifico andava anchrsquoesso a zero approssimando uncomportamento di proporzionalitagrave a T3 Questo comportamento fu modellizzato nellrsquoambitodellrsquoipotesi quantistica (questa volta applicata allrsquoenergia vibrazionale degli atomi checostituiscono il materiale) da Einstein (1907) e Debye (1908)Fermiamo qui questa carrellata sugli esperimenti piugrave importanti che hanno portato allarivoluzione quantistica La descrizione piugrave precisa ed estesa degli effetti e della lorointerpretazione puograve essere trovata nelle lezioni che riguardano la parte sperimentale del nostrocorso

I fondamenti della meccanica quantistica

Il principio di indeterminazione ( o di Heisenberg)La base fisica della rivoluzione quantistica egrave il Principio di Indeterminazione formulato daHeinberg nel 1924 Il principio si basa da una parte sul fatto fisico fondamentale che osservatoree osservato non sono separabili nemmeno in linea di principio e dallaltra su alcunecaratteristiche formali delle variabili fisiche della meccanica classica che valevano anche per leloro corrispondenti quantistiche Il Principio asserisce che per specifiche coppie di variabili(osservabili) fisiche A e B che in meccanica classica sono definite come ldquoconiugaterdquo devesempre valere la seguente diseguaglianzaΔA ΔB ge ħdove ħ = h2π h essendo la costante di Planck = 66310-34 Joule secondo I Δ nella formulastanno ad indicare la precisione con cui viene misurata (osservata) la grandezza A o B Si vedechiaramente che allaumentare della precisione per una grandezza diminuisce in parallelo laprecisione per laltra O luna o laltra in linea di principio possono essere misurate con infinitaprecisione ma al costo di perdere qualsiasi possibilitagrave di conoscere laltra Questa parte delprincipio traduce matematicamente il problema interazione osservabile-osservatore Laltroaspetto del principio egrave il valore di h che egrave cosigrave piccolo da rendere trascurabili gli effettiquantistici quando si passa dal mondo microscopico a quello macroscopico Alcuni esempi divariabili coniugate sono Energia E e tempo t quantitagrave di moto p e posizione x momentoangolare J e angolo di rotazione φLe conseguenze pratiche del principio sono grandi e immediate per esempio il mostro sacrodella Fisica il Principio di Conservazione dellEnergia non ha piugrave valore assoluto In fatti perpoter asserire che lenergia si conserva devo poterla misurare con infinita precisione ad un bendeterminato istante nel tempo e questo per il Principio di Indeterminazione egrave impossibile Ebene ricordare il significato del Δ che appare nel principio Il valore della variabile osservata Afluttua in modo casuale con unampiezza caratteristica che egrave appunto ΔA essendo lafluttuazione casuale i valori positivi rispetto al valor medio sono altrettanto probabili dei valorinegativi per cui il valor medio egrave costante nel tempo Ma questo valore non egrave quello che vieneosservato e tanto piugrave piccolo egrave il tempo a disposizione per fare la misura tanto piugrave grandi sonole fluttuazioni e dunque la probabilitagrave di trovare un valore di E molto lontano in piugrave o in menodal valor medioStesso discorso per le altre coppie di variabili coniugate per esempio dato che p=mv se misurocon infinita precisione la velocitagrave di una particella la sua posizione saragrave completamenteindeterminata ossia la potrograve trovare con uguale probabilitagrave ovunque Come vedremo questo haimportantissime conseguenze su come la meccanica quantistica ha permesso di capire leproprietagrave degli atomi molecole etc

Come si traduce il Principio di Azione nella meccanica quantistica Fu Feynmannellimmediato dopoguerra a darne lenunciato Consideriamo allora tutte le possibili traiettorieper andare da X1 a X2 Classicamente il principio ci dice che la particella ne seguiragrave una che egravequella che minimizza lazione La traduzione quantistica di Feynman si basa sul fattofondamentale (principio di indeterminazione) per cui non egrave possibile conoscere la specificatraiettoria di una particella Feynman postulograve che la particella le puograve seguire tutte ma conprobabilitagrave diverse connesse con le ampiezzeΩ( x(t)) = exp[ i A((x(t)) ħ] dove A egrave lazione Per calcolare come il sistema evolveragrave si somma (integra) questa ampiezza sututte le traiettorie La probabilitagrave di arrivare al punto finale egrave il modulo quadro dellampiezza totaleE importante notare che la particella non segue solo una traiettoria eg quella piugrave probabileinvece le ldquoseguerdquotutte ossia prima di fare la misura per vedere dovegrave la particella egrave delocalizzataproprio come unonda ma cegrave di piugrave se io bloccassi in qualche modo qualche possibile traiettoriavirtuale cambierograve il risultato che troverograve anche se la particella in quella traiettoria non ci sarebbemai passata Quando poi faccio la misura della posizione allora tutte le traiettorie alternativespariscono Vedremo fra poco un esempio chiarissimo di questo fattoPer ora concludiamo rimarcando che attraverso la formulazione di Feynman della meccanicaquantistica arriviamo al principio di azione che a sua volta ci porta al teorema di Noether e dunquealle leggi di conservazione che abbiamo giagrave discusso per la fisica classica

I dualismi della fisica quantistica onda-particella particella-ondaE ben noto che lenergia elettromagnetica si propaga attraverso onde nel vuoto delocalizzate nellospazio e nel tempo Lipotesi di Planck per spiegare lo spettro della radiazione di corpo nerolipotesi di Einstein per piegare leffetto fotoelettrico e landamento del calore specifico dei solididimostrano inequivocabilmente che la radiazione in certi casi ha tutte le caratteristiche di unaparticella cioegrave unentitagrave che trasporta energia e quantitagrave di moto localizzate nello spazio e neltempoViceversa DeBroglie (1922) suppose che la situazione doveva essere simmetrica ossia se unondapoteva avere simultaneamente anche le caratteristiche di una particella allora anche una particelladoveva avere le caratteristiche di unonda e assegnograve alla particella di quantitagrave di moto p unalunghezza dondaλ=hpUn elettrone con unenergia di 1 eV (16 10-19 Joule) avrebbe una lunghezza donda di de Broglie dicirca 1 nm (10 Angstrom) De Broglie in qualche modo credeva allesistenza di una vera e proprialdquoondardquo che accompagnava la particella nel suo moto Fu Heinsenberg che chiarigrave il significatoprofondo dellipotesi di de Broglie col suo principio di indeterminazione la delocalizzazionespaziale della particella era naturale la particella egrave simultaneamente onda e particella e manifestaluno o laltro aspetto a seconda delle osservazioni che si fanno La natura anche ondulatoria delleparticelle fu poi dimostrata sperimentalmente da Davidson e Germeer (1928) che evidenziaronoleffetto della diffrazione su un fascetto di elettroni Da questo esperimento nacque fra laltrounimportante tecnologia quella del microscopio elettronicoVediamo ora alcuni esperimenti ldquovirtualirdquo che dimostrano le asserzioni che abbiamo fatto e quantosia diverso il mondo quantistico rispetto a quello cui i nostri sensi ci hanno abituato

Lesperimento delle due fenditure (Young)Nellesperimento di Young fu dimostratata la natura ondulatoria della luce evidenziando le frangedi interferenza fra i raggi che traversano luna o laltra fenditura Questo esperimento egrave diventato unimportante strumento per la dimostrazione della dualitagrave onda-particella in fisica quantistica

Ma la natura squisitamente quantisitca degli effetti la si dimostra se ora nellesperimento diYoung immaginiamo di ridurre lintensitagrave dei fotoni o elettroni a tal punto che al massimo unaparticella passa attraverso le fenditure per ogni intervallo temporale di misura

Si vede chiaramente come la proprietagrave dellinterferenza non sia dovuta alla statistica delle molteparticelle che interferiscono La singola particella interferisce con se stessa O meglio prima diarrivare alle fenditure la particella egrave delocalizzata ed egrave in uno stato che egrave la sovrapposizione didue stati che la farebbero passare o dalluna o dallaltra fenditura rispettivamente E questo ilpunto piugrave fondamentale e controverso della fisica quantisticaContinuando con nostro esperimento ideale immaginiamo ora di chiudere una delle fenditure

Chiudiamo ora laltra fenditura

Cosa vedremo

Esattamente la stessa cosa di quando avevamo chiuso la fenditura S1 ma ovviamente con laposizione dellintensitagrave invertita non cegrave interferenzaImmaginiamo ora di riaprire ambedue le fenditure Ecco che linterferenza riappare

Dunque chiudendo una fenditura io influenzo il risultato sullaltra come fanno le particelle chepassano dallaltra a sapere che ho chiuso la prima La risposta come vedremo egrave che prima dipassare attraverso le fenditure la singola particella egrave simultaneamente in uno stato (quantico) incui ambedue i ldquofuturirdquo sono possibili egrave in una sovrapposizione di due stati uno per il qualepasserebbe dalla fenditura S1 laltro per la S2 Tutto ciograve egrave describibile solo se la funzione chedescrive lo stato della particella ha le carrateristiche di delocalizzazione di unonda

La funzione donda

La formalizzazione matematica dei risultati sperimentali descritti della dualitagrave particella-ondae se si vuole del Principio di Indeterminazione che egrave alla base di tutto ciograve si ottieneintroducendo la funzione donda una funzione cioegrave che ci dagrave la descrizione completa (nel sensoche egrave la massima possibile) del sistema fisico sotto osservazione Nella fisica classica taledescrizione si aveva conoscendo ad ogni istante t la posizione x e la quantitagrave di moto p dellaparticella o delle particelle che costituivano il sistema Abbiamo visto che questo egrave impossibilein fisica quantistica Abbiamo anche visto che ora dobbiamo introdurre un elemento di caosossia di non predicibilitagrave nella nostra descrizione del sistema Abbiamo visto in particolare cheuna particella saragrave tanto piugrave delocalizzata quanto piugrave la sua quantitagrave di moto egrave definita Ma cosavuol dire ldquodelocalizzatardquo Ovviamente non che le sue dimensioni fisiche aumentano adismisura Vuol dire invece come abbiamo visto nellesperimento di Young che se noicerchiamo di misurarne la posizione una volta la troviamo in un punto una volta in un altro ela distribuzione di queste posizioni saragrave tanto piugrave larga quanto piugrave definita egrave la quantitagrave di motoDa questo discende in modo abbastanza (cioegrave col sapere di poi) naturale introdurre una funzioneche ci dagrave la probabilitagrave di trovare la particella in un dato punto se questa egrave un un dato stato

quantico nellesempio che abbiamo fatto per esempio se ha una data quantitagrave di motoQuesta funzione si chiama funzione donda e saragrave funzione di x e di t proprio come in fisicaclassica lo sarebbe stata la traiettoria della particellaψ = ψ(xt)Come vedremo piugrave avanti la ψ egrave una funzione complessa (nel senso dei numeri complessi) edunque non puograve descrivere una quantitagrave osservabile e misurabile inoltre non ha alcune proprietagravematematiche che si richiedono per descrivere una probabilitagrave La piugrave semplice funzioneconnessa con ψ che abbia le giuste proprietagrave egrave il suo modulo quadro|ψ(x t)|2 = probabilitagrave di trovare la particella nel punto x al tempo tCome vedete linterpretazione fisica della funzione donda egrave appunto uninterpretazione ossianon egrave desumibile da principi primi E stata proposta dalla cosidetta Scuola di Copenhagen(Bohr 1928) questa ldquoarbitrarietagraverdquo nei fondamenti della meccanica quantistica egrave stata sempre unproblema che ha portato molti malgrado i tantissimi successi della teoria a ritenerla come unateoria incompleta ancora oggi molti fisici dibattono su questo e sono alla ricerca di una teoriapiugrave generale Unaltro problema che la meccanica quantistica condivide sebbene da puntidiversi con la Relativitagrave egrave che la MQ non rende conto della gravitazione Dunque la teoriagenerale che si cerca sarebbe una vera e propria teoria del tutto la teoria unificata che descrive iltutto dallrsquoorigine e struttura dellUniverso su larga scala alla materia vivente (inclusi noi) allepiugrave piccole particelle elementariConsideriamo ora una particella libera di massa m questa avragrave una velocitagrave v perfettamentedefinita e costante nel tempo Il suo stato quantico saragrave allora descritto dal valore della quantitagravedi moto p e saragrave stazionario nel senso che non dipende dal tempo Quale saragrave la sua funzionedonda In linea di principio per rispondere a questa domanda dovremo procedere nello stessomodo della fisica classica dove per trovare la traiettoria dobbiamo risolvere le equazioni dimoto (F=ma) in MQ la funzione donda la troveremo come soluzione di unequazioneanaloga concettualmente alle equazioni di moto che viene detta equazione donda o equazionedi Scroedinger (Schroedinger 1923) Anche nel caso dellequazione di Scroedinger si egraveproceduto per analogie e interpretazioni dei dati sperimentali anche in questo caso il successo egravestato ed egrave tuttora impressionante Vedremo dopo come si puograve giustificare lequazione diScroedinger e la forma matematica che ha assunto Qui vorremmo nel piugrave semplice dei casiarrivare alla forma della funzione donda senza passare per la soluzione dellequazione dondaAllora ricordiamo che se la particella ha una quantitagrave di moto perfettamente definita deve esseredelocalizzata su tutto lo spazio ossia la probabilitagrave di trovarla dovunque egrave sempre la stessaossia matematicamente egrave indipendente dalla coordinata x e ovviamente anche dalla coordinatatemporale In altre parole la forma della funzione donda deve semplicemente dirci che laparticella da qualche parte esiste Ora la funzione matematica piugrave semplice che ha tutte lecaratteristiche giuste egraveψ (x) = exp(ipx)Infatti descrive completamente lo stato quantico dato che cegrave p la quantitagrave di moto che quiappare come parametro ha le stesse caratteristiche formali delle funzioni che descrivono ondecome ad esempio quelle elettromagnetiche Il suo modulo quadro egrave uguale a 1 ossia ci dagrave lacorretta probabilitagrave di trovare la particella da qualche parte (la particella esiste) e egrave indipendenteda x ossia la particella egrave totalmente delocalizzata Questa egrave dunque funzione donda dellaparticella libera e come vedremo coincide con la soluzione della corrispondente equazione diSchroedinger

Lequazione donda (Schroedinger)Per arrivare allrsquoequazione di Schroedinger o equazione drsquoonda cominciamo appunto col richiamare

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

Come si traduce il Principio di Azione nella meccanica quantistica Fu Feynmannellimmediato dopoguerra a darne lenunciato Consideriamo allora tutte le possibili traiettorieper andare da X1 a X2 Classicamente il principio ci dice che la particella ne seguiragrave una che egravequella che minimizza lazione La traduzione quantistica di Feynman si basa sul fattofondamentale (principio di indeterminazione) per cui non egrave possibile conoscere la specificatraiettoria di una particella Feynman postulograve che la particella le puograve seguire tutte ma conprobabilitagrave diverse connesse con le ampiezzeΩ( x(t)) = exp[ i A((x(t)) ħ] dove A egrave lazione Per calcolare come il sistema evolveragrave si somma (integra) questa ampiezza sututte le traiettorie La probabilitagrave di arrivare al punto finale egrave il modulo quadro dellampiezza totaleE importante notare che la particella non segue solo una traiettoria eg quella piugrave probabileinvece le ldquoseguerdquotutte ossia prima di fare la misura per vedere dovegrave la particella egrave delocalizzataproprio come unonda ma cegrave di piugrave se io bloccassi in qualche modo qualche possibile traiettoriavirtuale cambierograve il risultato che troverograve anche se la particella in quella traiettoria non ci sarebbemai passata Quando poi faccio la misura della posizione allora tutte le traiettorie alternativespariscono Vedremo fra poco un esempio chiarissimo di questo fattoPer ora concludiamo rimarcando che attraverso la formulazione di Feynman della meccanicaquantistica arriviamo al principio di azione che a sua volta ci porta al teorema di Noether e dunquealle leggi di conservazione che abbiamo giagrave discusso per la fisica classica

I dualismi della fisica quantistica onda-particella particella-ondaE ben noto che lenergia elettromagnetica si propaga attraverso onde nel vuoto delocalizzate nellospazio e nel tempo Lipotesi di Planck per spiegare lo spettro della radiazione di corpo nerolipotesi di Einstein per piegare leffetto fotoelettrico e landamento del calore specifico dei solididimostrano inequivocabilmente che la radiazione in certi casi ha tutte le caratteristiche di unaparticella cioegrave unentitagrave che trasporta energia e quantitagrave di moto localizzate nello spazio e neltempoViceversa DeBroglie (1922) suppose che la situazione doveva essere simmetrica ossia se unondapoteva avere simultaneamente anche le caratteristiche di una particella allora anche una particelladoveva avere le caratteristiche di unonda e assegnograve alla particella di quantitagrave di moto p unalunghezza dondaλ=hpUn elettrone con unenergia di 1 eV (16 10-19 Joule) avrebbe una lunghezza donda di de Broglie dicirca 1 nm (10 Angstrom) De Broglie in qualche modo credeva allesistenza di una vera e proprialdquoondardquo che accompagnava la particella nel suo moto Fu Heinsenberg che chiarigrave il significatoprofondo dellipotesi di de Broglie col suo principio di indeterminazione la delocalizzazionespaziale della particella era naturale la particella egrave simultaneamente onda e particella e manifestaluno o laltro aspetto a seconda delle osservazioni che si fanno La natura anche ondulatoria delleparticelle fu poi dimostrata sperimentalmente da Davidson e Germeer (1928) che evidenziaronoleffetto della diffrazione su un fascetto di elettroni Da questo esperimento nacque fra laltrounimportante tecnologia quella del microscopio elettronicoVediamo ora alcuni esperimenti ldquovirtualirdquo che dimostrano le asserzioni che abbiamo fatto e quantosia diverso il mondo quantistico rispetto a quello cui i nostri sensi ci hanno abituato

Lesperimento delle due fenditure (Young)Nellesperimento di Young fu dimostratata la natura ondulatoria della luce evidenziando le frangedi interferenza fra i raggi che traversano luna o laltra fenditura Questo esperimento egrave diventato unimportante strumento per la dimostrazione della dualitagrave onda-particella in fisica quantistica

Ma la natura squisitamente quantisitca degli effetti la si dimostra se ora nellesperimento diYoung immaginiamo di ridurre lintensitagrave dei fotoni o elettroni a tal punto che al massimo unaparticella passa attraverso le fenditure per ogni intervallo temporale di misura

Si vede chiaramente come la proprietagrave dellinterferenza non sia dovuta alla statistica delle molteparticelle che interferiscono La singola particella interferisce con se stessa O meglio prima diarrivare alle fenditure la particella egrave delocalizzata ed egrave in uno stato che egrave la sovrapposizione didue stati che la farebbero passare o dalluna o dallaltra fenditura rispettivamente E questo ilpunto piugrave fondamentale e controverso della fisica quantisticaContinuando con nostro esperimento ideale immaginiamo ora di chiudere una delle fenditure

Chiudiamo ora laltra fenditura

Cosa vedremo

Esattamente la stessa cosa di quando avevamo chiuso la fenditura S1 ma ovviamente con laposizione dellintensitagrave invertita non cegrave interferenzaImmaginiamo ora di riaprire ambedue le fenditure Ecco che linterferenza riappare

Dunque chiudendo una fenditura io influenzo il risultato sullaltra come fanno le particelle chepassano dallaltra a sapere che ho chiuso la prima La risposta come vedremo egrave che prima dipassare attraverso le fenditure la singola particella egrave simultaneamente in uno stato (quantico) incui ambedue i ldquofuturirdquo sono possibili egrave in una sovrapposizione di due stati uno per il qualepasserebbe dalla fenditura S1 laltro per la S2 Tutto ciograve egrave describibile solo se la funzione chedescrive lo stato della particella ha le carrateristiche di delocalizzazione di unonda

La funzione donda

La formalizzazione matematica dei risultati sperimentali descritti della dualitagrave particella-ondae se si vuole del Principio di Indeterminazione che egrave alla base di tutto ciograve si ottieneintroducendo la funzione donda una funzione cioegrave che ci dagrave la descrizione completa (nel sensoche egrave la massima possibile) del sistema fisico sotto osservazione Nella fisica classica taledescrizione si aveva conoscendo ad ogni istante t la posizione x e la quantitagrave di moto p dellaparticella o delle particelle che costituivano il sistema Abbiamo visto che questo egrave impossibilein fisica quantistica Abbiamo anche visto che ora dobbiamo introdurre un elemento di caosossia di non predicibilitagrave nella nostra descrizione del sistema Abbiamo visto in particolare cheuna particella saragrave tanto piugrave delocalizzata quanto piugrave la sua quantitagrave di moto egrave definita Ma cosavuol dire ldquodelocalizzatardquo Ovviamente non che le sue dimensioni fisiche aumentano adismisura Vuol dire invece come abbiamo visto nellesperimento di Young che se noicerchiamo di misurarne la posizione una volta la troviamo in un punto una volta in un altro ela distribuzione di queste posizioni saragrave tanto piugrave larga quanto piugrave definita egrave la quantitagrave di motoDa questo discende in modo abbastanza (cioegrave col sapere di poi) naturale introdurre una funzioneche ci dagrave la probabilitagrave di trovare la particella in un dato punto se questa egrave un un dato stato

quantico nellesempio che abbiamo fatto per esempio se ha una data quantitagrave di motoQuesta funzione si chiama funzione donda e saragrave funzione di x e di t proprio come in fisicaclassica lo sarebbe stata la traiettoria della particellaψ = ψ(xt)Come vedremo piugrave avanti la ψ egrave una funzione complessa (nel senso dei numeri complessi) edunque non puograve descrivere una quantitagrave osservabile e misurabile inoltre non ha alcune proprietagravematematiche che si richiedono per descrivere una probabilitagrave La piugrave semplice funzioneconnessa con ψ che abbia le giuste proprietagrave egrave il suo modulo quadro|ψ(x t)|2 = probabilitagrave di trovare la particella nel punto x al tempo tCome vedete linterpretazione fisica della funzione donda egrave appunto uninterpretazione ossianon egrave desumibile da principi primi E stata proposta dalla cosidetta Scuola di Copenhagen(Bohr 1928) questa ldquoarbitrarietagraverdquo nei fondamenti della meccanica quantistica egrave stata sempre unproblema che ha portato molti malgrado i tantissimi successi della teoria a ritenerla come unateoria incompleta ancora oggi molti fisici dibattono su questo e sono alla ricerca di una teoriapiugrave generale Unaltro problema che la meccanica quantistica condivide sebbene da puntidiversi con la Relativitagrave egrave che la MQ non rende conto della gravitazione Dunque la teoriagenerale che si cerca sarebbe una vera e propria teoria del tutto la teoria unificata che descrive iltutto dallrsquoorigine e struttura dellUniverso su larga scala alla materia vivente (inclusi noi) allepiugrave piccole particelle elementariConsideriamo ora una particella libera di massa m questa avragrave una velocitagrave v perfettamentedefinita e costante nel tempo Il suo stato quantico saragrave allora descritto dal valore della quantitagravedi moto p e saragrave stazionario nel senso che non dipende dal tempo Quale saragrave la sua funzionedonda In linea di principio per rispondere a questa domanda dovremo procedere nello stessomodo della fisica classica dove per trovare la traiettoria dobbiamo risolvere le equazioni dimoto (F=ma) in MQ la funzione donda la troveremo come soluzione di unequazioneanaloga concettualmente alle equazioni di moto che viene detta equazione donda o equazionedi Scroedinger (Schroedinger 1923) Anche nel caso dellequazione di Scroedinger si egraveproceduto per analogie e interpretazioni dei dati sperimentali anche in questo caso il successo egravestato ed egrave tuttora impressionante Vedremo dopo come si puograve giustificare lequazione diScroedinger e la forma matematica che ha assunto Qui vorremmo nel piugrave semplice dei casiarrivare alla forma della funzione donda senza passare per la soluzione dellequazione dondaAllora ricordiamo che se la particella ha una quantitagrave di moto perfettamente definita deve esseredelocalizzata su tutto lo spazio ossia la probabilitagrave di trovarla dovunque egrave sempre la stessaossia matematicamente egrave indipendente dalla coordinata x e ovviamente anche dalla coordinatatemporale In altre parole la forma della funzione donda deve semplicemente dirci che laparticella da qualche parte esiste Ora la funzione matematica piugrave semplice che ha tutte lecaratteristiche giuste egraveψ (x) = exp(ipx)Infatti descrive completamente lo stato quantico dato che cegrave p la quantitagrave di moto che quiappare come parametro ha le stesse caratteristiche formali delle funzioni che descrivono ondecome ad esempio quelle elettromagnetiche Il suo modulo quadro egrave uguale a 1 ossia ci dagrave lacorretta probabilitagrave di trovare la particella da qualche parte (la particella esiste) e egrave indipendenteda x ossia la particella egrave totalmente delocalizzata Questa egrave dunque funzione donda dellaparticella libera e come vedremo coincide con la soluzione della corrispondente equazione diSchroedinger

Lequazione donda (Schroedinger)Per arrivare allrsquoequazione di Schroedinger o equazione drsquoonda cominciamo appunto col richiamare

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

Ma la natura squisitamente quantisitca degli effetti la si dimostra se ora nellesperimento diYoung immaginiamo di ridurre lintensitagrave dei fotoni o elettroni a tal punto che al massimo unaparticella passa attraverso le fenditure per ogni intervallo temporale di misura

Si vede chiaramente come la proprietagrave dellinterferenza non sia dovuta alla statistica delle molteparticelle che interferiscono La singola particella interferisce con se stessa O meglio prima diarrivare alle fenditure la particella egrave delocalizzata ed egrave in uno stato che egrave la sovrapposizione didue stati che la farebbero passare o dalluna o dallaltra fenditura rispettivamente E questo ilpunto piugrave fondamentale e controverso della fisica quantisticaContinuando con nostro esperimento ideale immaginiamo ora di chiudere una delle fenditure

Chiudiamo ora laltra fenditura

Cosa vedremo

Esattamente la stessa cosa di quando avevamo chiuso la fenditura S1 ma ovviamente con laposizione dellintensitagrave invertita non cegrave interferenzaImmaginiamo ora di riaprire ambedue le fenditure Ecco che linterferenza riappare

Dunque chiudendo una fenditura io influenzo il risultato sullaltra come fanno le particelle chepassano dallaltra a sapere che ho chiuso la prima La risposta come vedremo egrave che prima dipassare attraverso le fenditure la singola particella egrave simultaneamente in uno stato (quantico) incui ambedue i ldquofuturirdquo sono possibili egrave in una sovrapposizione di due stati uno per il qualepasserebbe dalla fenditura S1 laltro per la S2 Tutto ciograve egrave describibile solo se la funzione chedescrive lo stato della particella ha le carrateristiche di delocalizzazione di unonda

La funzione donda

La formalizzazione matematica dei risultati sperimentali descritti della dualitagrave particella-ondae se si vuole del Principio di Indeterminazione che egrave alla base di tutto ciograve si ottieneintroducendo la funzione donda una funzione cioegrave che ci dagrave la descrizione completa (nel sensoche egrave la massima possibile) del sistema fisico sotto osservazione Nella fisica classica taledescrizione si aveva conoscendo ad ogni istante t la posizione x e la quantitagrave di moto p dellaparticella o delle particelle che costituivano il sistema Abbiamo visto che questo egrave impossibilein fisica quantistica Abbiamo anche visto che ora dobbiamo introdurre un elemento di caosossia di non predicibilitagrave nella nostra descrizione del sistema Abbiamo visto in particolare cheuna particella saragrave tanto piugrave delocalizzata quanto piugrave la sua quantitagrave di moto egrave definita Ma cosavuol dire ldquodelocalizzatardquo Ovviamente non che le sue dimensioni fisiche aumentano adismisura Vuol dire invece come abbiamo visto nellesperimento di Young che se noicerchiamo di misurarne la posizione una volta la troviamo in un punto una volta in un altro ela distribuzione di queste posizioni saragrave tanto piugrave larga quanto piugrave definita egrave la quantitagrave di motoDa questo discende in modo abbastanza (cioegrave col sapere di poi) naturale introdurre una funzioneche ci dagrave la probabilitagrave di trovare la particella in un dato punto se questa egrave un un dato stato

quantico nellesempio che abbiamo fatto per esempio se ha una data quantitagrave di motoQuesta funzione si chiama funzione donda e saragrave funzione di x e di t proprio come in fisicaclassica lo sarebbe stata la traiettoria della particellaψ = ψ(xt)Come vedremo piugrave avanti la ψ egrave una funzione complessa (nel senso dei numeri complessi) edunque non puograve descrivere una quantitagrave osservabile e misurabile inoltre non ha alcune proprietagravematematiche che si richiedono per descrivere una probabilitagrave La piugrave semplice funzioneconnessa con ψ che abbia le giuste proprietagrave egrave il suo modulo quadro|ψ(x t)|2 = probabilitagrave di trovare la particella nel punto x al tempo tCome vedete linterpretazione fisica della funzione donda egrave appunto uninterpretazione ossianon egrave desumibile da principi primi E stata proposta dalla cosidetta Scuola di Copenhagen(Bohr 1928) questa ldquoarbitrarietagraverdquo nei fondamenti della meccanica quantistica egrave stata sempre unproblema che ha portato molti malgrado i tantissimi successi della teoria a ritenerla come unateoria incompleta ancora oggi molti fisici dibattono su questo e sono alla ricerca di una teoriapiugrave generale Unaltro problema che la meccanica quantistica condivide sebbene da puntidiversi con la Relativitagrave egrave che la MQ non rende conto della gravitazione Dunque la teoriagenerale che si cerca sarebbe una vera e propria teoria del tutto la teoria unificata che descrive iltutto dallrsquoorigine e struttura dellUniverso su larga scala alla materia vivente (inclusi noi) allepiugrave piccole particelle elementariConsideriamo ora una particella libera di massa m questa avragrave una velocitagrave v perfettamentedefinita e costante nel tempo Il suo stato quantico saragrave allora descritto dal valore della quantitagravedi moto p e saragrave stazionario nel senso che non dipende dal tempo Quale saragrave la sua funzionedonda In linea di principio per rispondere a questa domanda dovremo procedere nello stessomodo della fisica classica dove per trovare la traiettoria dobbiamo risolvere le equazioni dimoto (F=ma) in MQ la funzione donda la troveremo come soluzione di unequazioneanaloga concettualmente alle equazioni di moto che viene detta equazione donda o equazionedi Scroedinger (Schroedinger 1923) Anche nel caso dellequazione di Scroedinger si egraveproceduto per analogie e interpretazioni dei dati sperimentali anche in questo caso il successo egravestato ed egrave tuttora impressionante Vedremo dopo come si puograve giustificare lequazione diScroedinger e la forma matematica che ha assunto Qui vorremmo nel piugrave semplice dei casiarrivare alla forma della funzione donda senza passare per la soluzione dellequazione dondaAllora ricordiamo che se la particella ha una quantitagrave di moto perfettamente definita deve esseredelocalizzata su tutto lo spazio ossia la probabilitagrave di trovarla dovunque egrave sempre la stessaossia matematicamente egrave indipendente dalla coordinata x e ovviamente anche dalla coordinatatemporale In altre parole la forma della funzione donda deve semplicemente dirci che laparticella da qualche parte esiste Ora la funzione matematica piugrave semplice che ha tutte lecaratteristiche giuste egraveψ (x) = exp(ipx)Infatti descrive completamente lo stato quantico dato che cegrave p la quantitagrave di moto che quiappare come parametro ha le stesse caratteristiche formali delle funzioni che descrivono ondecome ad esempio quelle elettromagnetiche Il suo modulo quadro egrave uguale a 1 ossia ci dagrave lacorretta probabilitagrave di trovare la particella da qualche parte (la particella esiste) e egrave indipendenteda x ossia la particella egrave totalmente delocalizzata Questa egrave dunque funzione donda dellaparticella libera e come vedremo coincide con la soluzione della corrispondente equazione diSchroedinger

Lequazione donda (Schroedinger)Per arrivare allrsquoequazione di Schroedinger o equazione drsquoonda cominciamo appunto col richiamare

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

Si vede chiaramente come la proprietagrave dellinterferenza non sia dovuta alla statistica delle molteparticelle che interferiscono La singola particella interferisce con se stessa O meglio prima diarrivare alle fenditure la particella egrave delocalizzata ed egrave in uno stato che egrave la sovrapposizione didue stati che la farebbero passare o dalluna o dallaltra fenditura rispettivamente E questo ilpunto piugrave fondamentale e controverso della fisica quantisticaContinuando con nostro esperimento ideale immaginiamo ora di chiudere una delle fenditure

Chiudiamo ora laltra fenditura

Cosa vedremo

Esattamente la stessa cosa di quando avevamo chiuso la fenditura S1 ma ovviamente con laposizione dellintensitagrave invertita non cegrave interferenzaImmaginiamo ora di riaprire ambedue le fenditure Ecco che linterferenza riappare

Dunque chiudendo una fenditura io influenzo il risultato sullaltra come fanno le particelle chepassano dallaltra a sapere che ho chiuso la prima La risposta come vedremo egrave che prima dipassare attraverso le fenditure la singola particella egrave simultaneamente in uno stato (quantico) incui ambedue i ldquofuturirdquo sono possibili egrave in una sovrapposizione di due stati uno per il qualepasserebbe dalla fenditura S1 laltro per la S2 Tutto ciograve egrave describibile solo se la funzione chedescrive lo stato della particella ha le carrateristiche di delocalizzazione di unonda

La funzione donda

La formalizzazione matematica dei risultati sperimentali descritti della dualitagrave particella-ondae se si vuole del Principio di Indeterminazione che egrave alla base di tutto ciograve si ottieneintroducendo la funzione donda una funzione cioegrave che ci dagrave la descrizione completa (nel sensoche egrave la massima possibile) del sistema fisico sotto osservazione Nella fisica classica taledescrizione si aveva conoscendo ad ogni istante t la posizione x e la quantitagrave di moto p dellaparticella o delle particelle che costituivano il sistema Abbiamo visto che questo egrave impossibilein fisica quantistica Abbiamo anche visto che ora dobbiamo introdurre un elemento di caosossia di non predicibilitagrave nella nostra descrizione del sistema Abbiamo visto in particolare cheuna particella saragrave tanto piugrave delocalizzata quanto piugrave la sua quantitagrave di moto egrave definita Ma cosavuol dire ldquodelocalizzatardquo Ovviamente non che le sue dimensioni fisiche aumentano adismisura Vuol dire invece come abbiamo visto nellesperimento di Young che se noicerchiamo di misurarne la posizione una volta la troviamo in un punto una volta in un altro ela distribuzione di queste posizioni saragrave tanto piugrave larga quanto piugrave definita egrave la quantitagrave di motoDa questo discende in modo abbastanza (cioegrave col sapere di poi) naturale introdurre una funzioneche ci dagrave la probabilitagrave di trovare la particella in un dato punto se questa egrave un un dato stato

quantico nellesempio che abbiamo fatto per esempio se ha una data quantitagrave di motoQuesta funzione si chiama funzione donda e saragrave funzione di x e di t proprio come in fisicaclassica lo sarebbe stata la traiettoria della particellaψ = ψ(xt)Come vedremo piugrave avanti la ψ egrave una funzione complessa (nel senso dei numeri complessi) edunque non puograve descrivere una quantitagrave osservabile e misurabile inoltre non ha alcune proprietagravematematiche che si richiedono per descrivere una probabilitagrave La piugrave semplice funzioneconnessa con ψ che abbia le giuste proprietagrave egrave il suo modulo quadro|ψ(x t)|2 = probabilitagrave di trovare la particella nel punto x al tempo tCome vedete linterpretazione fisica della funzione donda egrave appunto uninterpretazione ossianon egrave desumibile da principi primi E stata proposta dalla cosidetta Scuola di Copenhagen(Bohr 1928) questa ldquoarbitrarietagraverdquo nei fondamenti della meccanica quantistica egrave stata sempre unproblema che ha portato molti malgrado i tantissimi successi della teoria a ritenerla come unateoria incompleta ancora oggi molti fisici dibattono su questo e sono alla ricerca di una teoriapiugrave generale Unaltro problema che la meccanica quantistica condivide sebbene da puntidiversi con la Relativitagrave egrave che la MQ non rende conto della gravitazione Dunque la teoriagenerale che si cerca sarebbe una vera e propria teoria del tutto la teoria unificata che descrive iltutto dallrsquoorigine e struttura dellUniverso su larga scala alla materia vivente (inclusi noi) allepiugrave piccole particelle elementariConsideriamo ora una particella libera di massa m questa avragrave una velocitagrave v perfettamentedefinita e costante nel tempo Il suo stato quantico saragrave allora descritto dal valore della quantitagravedi moto p e saragrave stazionario nel senso che non dipende dal tempo Quale saragrave la sua funzionedonda In linea di principio per rispondere a questa domanda dovremo procedere nello stessomodo della fisica classica dove per trovare la traiettoria dobbiamo risolvere le equazioni dimoto (F=ma) in MQ la funzione donda la troveremo come soluzione di unequazioneanaloga concettualmente alle equazioni di moto che viene detta equazione donda o equazionedi Scroedinger (Schroedinger 1923) Anche nel caso dellequazione di Scroedinger si egraveproceduto per analogie e interpretazioni dei dati sperimentali anche in questo caso il successo egravestato ed egrave tuttora impressionante Vedremo dopo come si puograve giustificare lequazione diScroedinger e la forma matematica che ha assunto Qui vorremmo nel piugrave semplice dei casiarrivare alla forma della funzione donda senza passare per la soluzione dellequazione dondaAllora ricordiamo che se la particella ha una quantitagrave di moto perfettamente definita deve esseredelocalizzata su tutto lo spazio ossia la probabilitagrave di trovarla dovunque egrave sempre la stessaossia matematicamente egrave indipendente dalla coordinata x e ovviamente anche dalla coordinatatemporale In altre parole la forma della funzione donda deve semplicemente dirci che laparticella da qualche parte esiste Ora la funzione matematica piugrave semplice che ha tutte lecaratteristiche giuste egraveψ (x) = exp(ipx)Infatti descrive completamente lo stato quantico dato che cegrave p la quantitagrave di moto che quiappare come parametro ha le stesse caratteristiche formali delle funzioni che descrivono ondecome ad esempio quelle elettromagnetiche Il suo modulo quadro egrave uguale a 1 ossia ci dagrave lacorretta probabilitagrave di trovare la particella da qualche parte (la particella esiste) e egrave indipendenteda x ossia la particella egrave totalmente delocalizzata Questa egrave dunque funzione donda dellaparticella libera e come vedremo coincide con la soluzione della corrispondente equazione diSchroedinger

Lequazione donda (Schroedinger)Per arrivare allrsquoequazione di Schroedinger o equazione drsquoonda cominciamo appunto col richiamare

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

Cosa vedremo

Esattamente la stessa cosa di quando avevamo chiuso la fenditura S1 ma ovviamente con laposizione dellintensitagrave invertita non cegrave interferenzaImmaginiamo ora di riaprire ambedue le fenditure Ecco che linterferenza riappare

Dunque chiudendo una fenditura io influenzo il risultato sullaltra come fanno le particelle chepassano dallaltra a sapere che ho chiuso la prima La risposta come vedremo egrave che prima dipassare attraverso le fenditure la singola particella egrave simultaneamente in uno stato (quantico) incui ambedue i ldquofuturirdquo sono possibili egrave in una sovrapposizione di due stati uno per il qualepasserebbe dalla fenditura S1 laltro per la S2 Tutto ciograve egrave describibile solo se la funzione chedescrive lo stato della particella ha le carrateristiche di delocalizzazione di unonda

La funzione donda

La formalizzazione matematica dei risultati sperimentali descritti della dualitagrave particella-ondae se si vuole del Principio di Indeterminazione che egrave alla base di tutto ciograve si ottieneintroducendo la funzione donda una funzione cioegrave che ci dagrave la descrizione completa (nel sensoche egrave la massima possibile) del sistema fisico sotto osservazione Nella fisica classica taledescrizione si aveva conoscendo ad ogni istante t la posizione x e la quantitagrave di moto p dellaparticella o delle particelle che costituivano il sistema Abbiamo visto che questo egrave impossibilein fisica quantistica Abbiamo anche visto che ora dobbiamo introdurre un elemento di caosossia di non predicibilitagrave nella nostra descrizione del sistema Abbiamo visto in particolare cheuna particella saragrave tanto piugrave delocalizzata quanto piugrave la sua quantitagrave di moto egrave definita Ma cosavuol dire ldquodelocalizzatardquo Ovviamente non che le sue dimensioni fisiche aumentano adismisura Vuol dire invece come abbiamo visto nellesperimento di Young che se noicerchiamo di misurarne la posizione una volta la troviamo in un punto una volta in un altro ela distribuzione di queste posizioni saragrave tanto piugrave larga quanto piugrave definita egrave la quantitagrave di motoDa questo discende in modo abbastanza (cioegrave col sapere di poi) naturale introdurre una funzioneche ci dagrave la probabilitagrave di trovare la particella in un dato punto se questa egrave un un dato stato

quantico nellesempio che abbiamo fatto per esempio se ha una data quantitagrave di motoQuesta funzione si chiama funzione donda e saragrave funzione di x e di t proprio come in fisicaclassica lo sarebbe stata la traiettoria della particellaψ = ψ(xt)Come vedremo piugrave avanti la ψ egrave una funzione complessa (nel senso dei numeri complessi) edunque non puograve descrivere una quantitagrave osservabile e misurabile inoltre non ha alcune proprietagravematematiche che si richiedono per descrivere una probabilitagrave La piugrave semplice funzioneconnessa con ψ che abbia le giuste proprietagrave egrave il suo modulo quadro|ψ(x t)|2 = probabilitagrave di trovare la particella nel punto x al tempo tCome vedete linterpretazione fisica della funzione donda egrave appunto uninterpretazione ossianon egrave desumibile da principi primi E stata proposta dalla cosidetta Scuola di Copenhagen(Bohr 1928) questa ldquoarbitrarietagraverdquo nei fondamenti della meccanica quantistica egrave stata sempre unproblema che ha portato molti malgrado i tantissimi successi della teoria a ritenerla come unateoria incompleta ancora oggi molti fisici dibattono su questo e sono alla ricerca di una teoriapiugrave generale Unaltro problema che la meccanica quantistica condivide sebbene da puntidiversi con la Relativitagrave egrave che la MQ non rende conto della gravitazione Dunque la teoriagenerale che si cerca sarebbe una vera e propria teoria del tutto la teoria unificata che descrive iltutto dallrsquoorigine e struttura dellUniverso su larga scala alla materia vivente (inclusi noi) allepiugrave piccole particelle elementariConsideriamo ora una particella libera di massa m questa avragrave una velocitagrave v perfettamentedefinita e costante nel tempo Il suo stato quantico saragrave allora descritto dal valore della quantitagravedi moto p e saragrave stazionario nel senso che non dipende dal tempo Quale saragrave la sua funzionedonda In linea di principio per rispondere a questa domanda dovremo procedere nello stessomodo della fisica classica dove per trovare la traiettoria dobbiamo risolvere le equazioni dimoto (F=ma) in MQ la funzione donda la troveremo come soluzione di unequazioneanaloga concettualmente alle equazioni di moto che viene detta equazione donda o equazionedi Scroedinger (Schroedinger 1923) Anche nel caso dellequazione di Scroedinger si egraveproceduto per analogie e interpretazioni dei dati sperimentali anche in questo caso il successo egravestato ed egrave tuttora impressionante Vedremo dopo come si puograve giustificare lequazione diScroedinger e la forma matematica che ha assunto Qui vorremmo nel piugrave semplice dei casiarrivare alla forma della funzione donda senza passare per la soluzione dellequazione dondaAllora ricordiamo che se la particella ha una quantitagrave di moto perfettamente definita deve esseredelocalizzata su tutto lo spazio ossia la probabilitagrave di trovarla dovunque egrave sempre la stessaossia matematicamente egrave indipendente dalla coordinata x e ovviamente anche dalla coordinatatemporale In altre parole la forma della funzione donda deve semplicemente dirci che laparticella da qualche parte esiste Ora la funzione matematica piugrave semplice che ha tutte lecaratteristiche giuste egraveψ (x) = exp(ipx)Infatti descrive completamente lo stato quantico dato che cegrave p la quantitagrave di moto che quiappare come parametro ha le stesse caratteristiche formali delle funzioni che descrivono ondecome ad esempio quelle elettromagnetiche Il suo modulo quadro egrave uguale a 1 ossia ci dagrave lacorretta probabilitagrave di trovare la particella da qualche parte (la particella esiste) e egrave indipendenteda x ossia la particella egrave totalmente delocalizzata Questa egrave dunque funzione donda dellaparticella libera e come vedremo coincide con la soluzione della corrispondente equazione diSchroedinger

Lequazione donda (Schroedinger)Per arrivare allrsquoequazione di Schroedinger o equazione drsquoonda cominciamo appunto col richiamare

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

Dunque chiudendo una fenditura io influenzo il risultato sullaltra come fanno le particelle chepassano dallaltra a sapere che ho chiuso la prima La risposta come vedremo egrave che prima dipassare attraverso le fenditure la singola particella egrave simultaneamente in uno stato (quantico) incui ambedue i ldquofuturirdquo sono possibili egrave in una sovrapposizione di due stati uno per il qualepasserebbe dalla fenditura S1 laltro per la S2 Tutto ciograve egrave describibile solo se la funzione chedescrive lo stato della particella ha le carrateristiche di delocalizzazione di unonda

La funzione donda

La formalizzazione matematica dei risultati sperimentali descritti della dualitagrave particella-ondae se si vuole del Principio di Indeterminazione che egrave alla base di tutto ciograve si ottieneintroducendo la funzione donda una funzione cioegrave che ci dagrave la descrizione completa (nel sensoche egrave la massima possibile) del sistema fisico sotto osservazione Nella fisica classica taledescrizione si aveva conoscendo ad ogni istante t la posizione x e la quantitagrave di moto p dellaparticella o delle particelle che costituivano il sistema Abbiamo visto che questo egrave impossibilein fisica quantistica Abbiamo anche visto che ora dobbiamo introdurre un elemento di caosossia di non predicibilitagrave nella nostra descrizione del sistema Abbiamo visto in particolare cheuna particella saragrave tanto piugrave delocalizzata quanto piugrave la sua quantitagrave di moto egrave definita Ma cosavuol dire ldquodelocalizzatardquo Ovviamente non che le sue dimensioni fisiche aumentano adismisura Vuol dire invece come abbiamo visto nellesperimento di Young che se noicerchiamo di misurarne la posizione una volta la troviamo in un punto una volta in un altro ela distribuzione di queste posizioni saragrave tanto piugrave larga quanto piugrave definita egrave la quantitagrave di motoDa questo discende in modo abbastanza (cioegrave col sapere di poi) naturale introdurre una funzioneche ci dagrave la probabilitagrave di trovare la particella in un dato punto se questa egrave un un dato stato

quantico nellesempio che abbiamo fatto per esempio se ha una data quantitagrave di motoQuesta funzione si chiama funzione donda e saragrave funzione di x e di t proprio come in fisicaclassica lo sarebbe stata la traiettoria della particellaψ = ψ(xt)Come vedremo piugrave avanti la ψ egrave una funzione complessa (nel senso dei numeri complessi) edunque non puograve descrivere una quantitagrave osservabile e misurabile inoltre non ha alcune proprietagravematematiche che si richiedono per descrivere una probabilitagrave La piugrave semplice funzioneconnessa con ψ che abbia le giuste proprietagrave egrave il suo modulo quadro|ψ(x t)|2 = probabilitagrave di trovare la particella nel punto x al tempo tCome vedete linterpretazione fisica della funzione donda egrave appunto uninterpretazione ossianon egrave desumibile da principi primi E stata proposta dalla cosidetta Scuola di Copenhagen(Bohr 1928) questa ldquoarbitrarietagraverdquo nei fondamenti della meccanica quantistica egrave stata sempre unproblema che ha portato molti malgrado i tantissimi successi della teoria a ritenerla come unateoria incompleta ancora oggi molti fisici dibattono su questo e sono alla ricerca di una teoriapiugrave generale Unaltro problema che la meccanica quantistica condivide sebbene da puntidiversi con la Relativitagrave egrave che la MQ non rende conto della gravitazione Dunque la teoriagenerale che si cerca sarebbe una vera e propria teoria del tutto la teoria unificata che descrive iltutto dallrsquoorigine e struttura dellUniverso su larga scala alla materia vivente (inclusi noi) allepiugrave piccole particelle elementariConsideriamo ora una particella libera di massa m questa avragrave una velocitagrave v perfettamentedefinita e costante nel tempo Il suo stato quantico saragrave allora descritto dal valore della quantitagravedi moto p e saragrave stazionario nel senso che non dipende dal tempo Quale saragrave la sua funzionedonda In linea di principio per rispondere a questa domanda dovremo procedere nello stessomodo della fisica classica dove per trovare la traiettoria dobbiamo risolvere le equazioni dimoto (F=ma) in MQ la funzione donda la troveremo come soluzione di unequazioneanaloga concettualmente alle equazioni di moto che viene detta equazione donda o equazionedi Scroedinger (Schroedinger 1923) Anche nel caso dellequazione di Scroedinger si egraveproceduto per analogie e interpretazioni dei dati sperimentali anche in questo caso il successo egravestato ed egrave tuttora impressionante Vedremo dopo come si puograve giustificare lequazione diScroedinger e la forma matematica che ha assunto Qui vorremmo nel piugrave semplice dei casiarrivare alla forma della funzione donda senza passare per la soluzione dellequazione dondaAllora ricordiamo che se la particella ha una quantitagrave di moto perfettamente definita deve esseredelocalizzata su tutto lo spazio ossia la probabilitagrave di trovarla dovunque egrave sempre la stessaossia matematicamente egrave indipendente dalla coordinata x e ovviamente anche dalla coordinatatemporale In altre parole la forma della funzione donda deve semplicemente dirci che laparticella da qualche parte esiste Ora la funzione matematica piugrave semplice che ha tutte lecaratteristiche giuste egraveψ (x) = exp(ipx)Infatti descrive completamente lo stato quantico dato che cegrave p la quantitagrave di moto che quiappare come parametro ha le stesse caratteristiche formali delle funzioni che descrivono ondecome ad esempio quelle elettromagnetiche Il suo modulo quadro egrave uguale a 1 ossia ci dagrave lacorretta probabilitagrave di trovare la particella da qualche parte (la particella esiste) e egrave indipendenteda x ossia la particella egrave totalmente delocalizzata Questa egrave dunque funzione donda dellaparticella libera e come vedremo coincide con la soluzione della corrispondente equazione diSchroedinger

Lequazione donda (Schroedinger)Per arrivare allrsquoequazione di Schroedinger o equazione drsquoonda cominciamo appunto col richiamare

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

quantico nellesempio che abbiamo fatto per esempio se ha una data quantitagrave di motoQuesta funzione si chiama funzione donda e saragrave funzione di x e di t proprio come in fisicaclassica lo sarebbe stata la traiettoria della particellaψ = ψ(xt)Come vedremo piugrave avanti la ψ egrave una funzione complessa (nel senso dei numeri complessi) edunque non puograve descrivere una quantitagrave osservabile e misurabile inoltre non ha alcune proprietagravematematiche che si richiedono per descrivere una probabilitagrave La piugrave semplice funzioneconnessa con ψ che abbia le giuste proprietagrave egrave il suo modulo quadro|ψ(x t)|2 = probabilitagrave di trovare la particella nel punto x al tempo tCome vedete linterpretazione fisica della funzione donda egrave appunto uninterpretazione ossianon egrave desumibile da principi primi E stata proposta dalla cosidetta Scuola di Copenhagen(Bohr 1928) questa ldquoarbitrarietagraverdquo nei fondamenti della meccanica quantistica egrave stata sempre unproblema che ha portato molti malgrado i tantissimi successi della teoria a ritenerla come unateoria incompleta ancora oggi molti fisici dibattono su questo e sono alla ricerca di una teoriapiugrave generale Unaltro problema che la meccanica quantistica condivide sebbene da puntidiversi con la Relativitagrave egrave che la MQ non rende conto della gravitazione Dunque la teoriagenerale che si cerca sarebbe una vera e propria teoria del tutto la teoria unificata che descrive iltutto dallrsquoorigine e struttura dellUniverso su larga scala alla materia vivente (inclusi noi) allepiugrave piccole particelle elementariConsideriamo ora una particella libera di massa m questa avragrave una velocitagrave v perfettamentedefinita e costante nel tempo Il suo stato quantico saragrave allora descritto dal valore della quantitagravedi moto p e saragrave stazionario nel senso che non dipende dal tempo Quale saragrave la sua funzionedonda In linea di principio per rispondere a questa domanda dovremo procedere nello stessomodo della fisica classica dove per trovare la traiettoria dobbiamo risolvere le equazioni dimoto (F=ma) in MQ la funzione donda la troveremo come soluzione di unequazioneanaloga concettualmente alle equazioni di moto che viene detta equazione donda o equazionedi Scroedinger (Schroedinger 1923) Anche nel caso dellequazione di Scroedinger si egraveproceduto per analogie e interpretazioni dei dati sperimentali anche in questo caso il successo egravestato ed egrave tuttora impressionante Vedremo dopo come si puograve giustificare lequazione diScroedinger e la forma matematica che ha assunto Qui vorremmo nel piugrave semplice dei casiarrivare alla forma della funzione donda senza passare per la soluzione dellequazione dondaAllora ricordiamo che se la particella ha una quantitagrave di moto perfettamente definita deve esseredelocalizzata su tutto lo spazio ossia la probabilitagrave di trovarla dovunque egrave sempre la stessaossia matematicamente egrave indipendente dalla coordinata x e ovviamente anche dalla coordinatatemporale In altre parole la forma della funzione donda deve semplicemente dirci che laparticella da qualche parte esiste Ora la funzione matematica piugrave semplice che ha tutte lecaratteristiche giuste egraveψ (x) = exp(ipx)Infatti descrive completamente lo stato quantico dato che cegrave p la quantitagrave di moto che quiappare come parametro ha le stesse caratteristiche formali delle funzioni che descrivono ondecome ad esempio quelle elettromagnetiche Il suo modulo quadro egrave uguale a 1 ossia ci dagrave lacorretta probabilitagrave di trovare la particella da qualche parte (la particella esiste) e egrave indipendenteda x ossia la particella egrave totalmente delocalizzata Questa egrave dunque funzione donda dellaparticella libera e come vedremo coincide con la soluzione della corrispondente equazione diSchroedinger

Lequazione donda (Schroedinger)Per arrivare allrsquoequazione di Schroedinger o equazione drsquoonda cominciamo appunto col richiamare

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

alcune proprietagrave di unrsquoonda armonica nellrsquoambito dellrsquoipotesi quantisticala relazione di de Broglie correla lunghezza drsquoonda e quantitagrave di moto = hp questa puograveriscriversi come p = ћk dove k= 2πλ dove k egrave il vettor drsquoonda Lrsquoipotesi di Planck e la successivaelaborazione di Einstein per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico portano alla relazione fra frequenzadellrsquoonda e energia dei suoi quanti E = ћ dove ω = 2 πν (per la precisione la frequenza misuratain Hertz egrave ν mentre ω viene detta pulsazione nella letteratura italiana in quella inglese non si fadistinzione In ogni caso ω egrave misurata in radiantisecondo) Ora una funzione drsquoonda ψ(xt) chedescrive una particella che viaggia con quantitagrave di moto determinata p nella direzione x e dunquecon posizione totalmente indeterminata puograve avere una delle forme armoniche

cos(kx- ωt) sen(kx- ωt) exp(i(kx- ωt)) exp(-i(kx- ωt))

o una loro combinazione linearePerograve il problema egrave piugrave complesso nel senso che egrave necessario arrivare a funzioni drsquoonda chedescrivano la dinamica delle particelle ovverosia le particelle sotto lrsquoazione di campi di forzaErsquo dunque necessario generalizzare il caso armonico e per questo bisogna trovare unrsquoopportunaequazione differenziale che ci permetta di ottenere soluzioni piugrave complesseQuesta equazione dovragrave essere lineare percheacute le sue soluzioni devono potersi sovrapporre aprodurre gli effetti di interferenza (Young) Lrsquoequazione poi dovragrave contenere parametrifondamentali come ћ la massa e carica della particella ma non dovragrave contenere le quantitagrave chedescrivono il moto della particella nello specifico altrimenti non saragrave possibile sovrapporresoluzioni diverse (ossia corrispondenti a valori diversi di questi parametri) Se osserviamo ora che le derivate rispetto al tempo nelle possibili funzioni drsquoonda equivalgonospesso a una moltiplicazione per ω e quelle rispetto allo spazio a una moltiplicazione per k ericordiamo che energia (o frequenza) e vettor drsquoonda sono correlati da una relazione di dipendenzaquadratica per es E asymp k2 se ne deduce che probabilmente la nostra equazione dovragrave contenere unaderivata prima rispetto al tempo e una derivata seconda rispetto allo spazio Possiamo allora scriverepartψ partt = γpart2ψ partx2

Se ora sostituiamo in questa equazione come soluzioni di prova quelle funzioni armoniche discusseprecedentemente troviamo che le prime due non la soddisfano ma le seconde due si (ma nonsimultaneamente) Se usiamo la terza (se vi ricordate lrsquoavevamo giagrave introdotta in precedenza)vediamo che questa saragrave soluzione se γ = iћ2m Si avragrave allorai ћ partψ partt = (-ћ22m) part2 ψpart2xQuesta egrave una prima espressione dellrsquoequazione di Schroedinger essa vale per il caso della particellalibera in una dimensione Generalizzando al caso tridimensionale si ha

i ћ partψ partt = (-ћ22m) ψ

Se confrontiamo questa equazione con le relazioni quantistiche fra quantitagrave di moto e vettor drsquoondae la relazione classica per la particella libera fra energia e quantitagrave di moto E = p22m vediamo chelrsquoenergia corrisponde allrsquoapplicazione dellrsquooperatore differenzialeE i ћ partpart te per la quantitagrave di moto si avragravep i ћ se vengono applicati alla funzione drsquoonda Il grassetto sta ad indicare la natura vettoriale dellequantitagraveCi resta ora da trattare il caso generale di una particella soggetta a forze Si considera subito il casodi campi di forza che ammettono un potenziale che sono praticamente tutti quelli di interesse in

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

meccanica quantistica Si avragraveF(rt) = - V(rt)Ora lrsquoenergia totale saragrave data daE = p22m + V(rt)Ersquo naturale ora generalizzare lrsquoequazione precedente per includere lrsquoenergia potenziale V

i ћ partψ partt = [(-ћ22m) 2 + V(rt)]ψ

Questa egrave finalmente lrsquoequazione di Schroedinger completa che egrave lrsquoanalogo quantistico delleequazioni di Newton Essa permette di calcolare la funzione drsquoonda del sistema in funzione dellospazio e del tempo ossia contiene tutta lrsquoinformazione che possiamo avere sul sistema fisicoVedremo in seguito un caso importante di soluzione dellrsquoequazione di Schroedinger generale (ossiain cui il potenziale dipende dal tempo) Vogliamo qui invece considerare un caso piugrave semplice mamolto importante in cui il potenziale egrave costante nel tempoIn questo caso egrave utile scrivere la soluzione generale come il prodotto ψ (rt) = u(r)f(t) Sostituendonellrsquoequazione di Schroedinger e dividendo per uf si ha

(i ћ f) dfdt = 1u [-ћ22m) 2u + V(r)u]

Dato che il primo membro dipende solo da t e il secondo solo da r ambedue i membri devonoessere uguali alla stessa quantitagrave costante che chiameremo (non a caso) E Integrando lrsquoequazione sihaf(t) = C e ndashiEt ћ dove C egrave una costante arbitraria Lrsquoequazione per la funzione u ora diventa

[(-ћ22m) 2 + V(r)] u(r) = E u(r)

La soluzione formale dellrsquoeq di schr egrave alloraψ (rt) = u(r) e ndashiEt ћUsando lrsquooperatore equivalente allrsquoenergia sulla funzione ψ (rt) si ottienei ћ partψ partt = E ψQuesta equazione stabilisce il significato della costante E come lrsquoenergia Inoltre visto che da unaparte crsquoegrave lrsquooperatore differenziale dallrsquoaltra crsquoegrave la quantitagrave fisica corrispondente questa egraveunrsquoequazione di una particolare classe detta equazione agli autovalori In particolare la soluzione ψviene detta autofunzione (dellrsquoenergia) e E egrave il suo (o i suoi) autovaloriDato che il modulo quadro di ψ deve essere costante nel tempo la ψ rappresenta uno statostazionario del sistema In altre parole il sistema avragrave lrsquoenergia E e non potragrave evolversi nel tempo ecambiare energia Ossia saragrave stabile Vedremo piugrave avanti le importanti conseguenze di questo fattoAnche lrsquoequazione per la funzione u egrave agli autovalori la u egrave autofunzione dellrsquooperatore energiatotale [(-ћ22m) 2 + V(r)] e anchrsquoessa ha E come autovalore La soluzione di questa equazione cidagrave la distribuzione spaziale (simmetriahellip) della funzione drsquoonda per lo (gli) stato (i) stazionario (i)di energia E (Ei)

Le simmetrie intrinsecamente quantistiche

Consideriamo la funzione donda ψ(xt) per una particella generica Come sappiamo egrave unafunzione complessa e quindi saragrave caratterizzata da una fase Ci poniamo la domanda cosasuccede se moltiplichiamo la ψ(xt) per un fattore di fase arbitrario

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

ψ(x) rarr exp(iθ)ψ(x)Chiaramente la funzione trasformata non egrave la stessa perograve dobbiamo ricordarci che la quantitagravefisicamente significativa egrave il modulo quadro e questo resta invariato sotto loperazione ditrasformazione|ψ (x )|2 = |ψ (x )|2A questo punto dovreste ricordarvi tutti i discorsi che avevamo fatto per la simmetria Siamoinfatti in presenza di una simmetria continua (la fase θ varia con continuitagrave) e dunque per ilteorema di Noether dovragrave esistere in corrispondenza una quantitagrave conservata Formalmentequesto tipo di simmetria egrave denominata U(1) A cosa corrisponde fisicamente Se la particella egraveun elettrone (o comunque possiede una carica elettrica) questa simmetria porta allaconservazione della carica elettrica unaltra legge che egrave stata verificata tantissime volte congrande precisioneMa la simmetria che abbiamo appena descritto egrave solo un caso particolare di una simmetria moltopiugrave generale che porta ad una descrizione unificata di tutti i fenomeni fisici della meccanicaquantistica Immaginate cioegrave di moltiplicare la funzione donda non per una fase arbitriaria macostante bensigrave per una fase che egrave essa stessa funzione del tempo e dello spazio

ψ(x) rarr exp(iθ(xt))ψ(x)Ebbene anche in questo caso si ha invarianza Naturalmente data la maggiore arbitrarietagrave dellatrasformazione le quantitagrave che si conservano possono essere diverse non solo la carica elettricaIl risultato di questa traformazione che porta alla cosidetta invarianza locale di gaugecoinvolge tutta la fisica dallelettromagnetismo alle interazioni fra le particelle elementari

La simmetria di scambioVogliamo concludere questa parte del Corso descrivendo unaltra simmetria squisitamentequantistica che ha una grande importanza per le proprietagrave degli atomi e molecole e i materialida essi composti dunque piugrave vicina agli interessi piugrave specifici del nostro corso la simmetria discambio Questa simmetria si evidenzia quando ci poniamo il seguente problema come faccio adistinguere in un dato sistema fisico due particelle identiche Dal punto di vista classico ilproblema non si pone prendete ad esempio due palle da biliardo identiche Dato che voi potetead un dato istante localizzarle con infinita precisione senza rendere totalmente indeterminata laloro velocitagrave potete dire una sta qua laltra sta lagrave ad ogni istante Questo non egrave possibile inmeccanica quantistica dove le particelle sono sempre caratterizzate da una delocalizzazionespaziale se sono in uno stato quantico ragionevolmente definitoConsideriamo ad esempio un atomo di elio Questo consiste di un nucleo (cosituito da unneutrone e due protoni) e due elettroni Supponiamo per semplicitagrave che questi ultimi sianodescritti solo dalla loro posizione La funzione donda del sistema saragrave allora ψ(x1 x2 t) e ilsuo modulo quadro ci daragrave la probabilitagrave di trovare al tempo t un elettrone nella posizione x1 euno nella posizione x2 Notare che non abbiamo detto ldquolelettrone nella posizione x1 e laltronella x2rdquo Ora immaginiamo di scambiare i due elettroni nel nuovo sistema la funzione dondasaragrave ψ(x2 x1 t) Abbiamo realmente un nuovo atomo di elio Per rispondere guardiamo un pogravemeglio agli elettroni e ci accorgiamo che lunica cosa che li distinguerebbe egrave la loro posizionecosa perograve impossibile per il principio di indeterminazione Questo implica che essendoindistinguibili la nuova funzione donda (meglio il suo modulo quadro) deve dare lo stessostato ossia lo stesso atomo di elio di quella originale Abbiamo trovato una nuova simmetrialinvarianza per lo scambio di particelle identicheSi ha dunque = 2 ψ(x1 x2 t) ψ(x2 x1 t) 2 e anche ψ(x1 x2 t) = plusmn ψ(x2 x1 t)Il plusmn non cambia il risultato per le probabilitagrave ed egrave necessario per tener conto delle diverse

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

tipologie delle particelle in meccanica quantistica Ad esempio nel caso degli elettroni varrebbeil segno - mentre per altre particelle come i fotoni o gli atomi interi varrebbe il segno +Questa differenza egrave connessa con unaltra caratteristica osservabile delle particelle che finoraabbiamo trascurato per semplicitagrave ossia il loro momento angolare intrinseco Incontreremoquesta quantitagrave detta anche ldquospinrdquo tra brevePer brevitagrave descriveremo solo le particelle che portano al segno ndash per loperazione di scambio eche vengono dette fermioni dal nome del fisico italiano Enrico Fermi che ne studiograve leproprietagrave I fermioni sono caratterizzati da spin cosidetti seminteri come frac12 1+ frac12 = 32 etcLelettrone lunica particella di cui ci occuperemo ha spin frac12Si puograve ora enunciare un teorema che si applica ai fermioniNon piugrave di una particella puograve occupare un dato stato quantico ψ(x2 = x x1 = x ) = - ψ(x1 = xx2 = x ) = 0Questo egrave il cosidetto Principio di Pauli (Pauli 1928) o anche principio di esclusione ed egrave allabase di tutta la fisica degli atomi e delle molecoleConsideriamo ad esempio la famosa tabella periodica degli elementi di Mendeleev perchegrave glielementi hanno questo comportamento ciclico nelle loro proprietagrave Perche se si va lungo unariga per esempio partendo dal Litio troviamo un metallo molto reattivo mentre alla fine delciclo troviamo il Neon un gas inerteTavola periodica degli elementi

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione

La risposta egrave come vedremo che il litio ha un solo elettrone nellorbita (stato quantico) piugraveesterna (a piugrave alta energia relativamenteallo stato fondamentale) mentre il Neon ne ha otto equesto completa lo stato e dunque rende il neon poco reattivo Ma perchegrave la periodicitagrave Perchegraveproprio otto Ossia quali sono le regole che determinano come gli elettroni di un atomo sidistribuiscono nei vari autostati di energia disponibiliDal punto di vista classico la risposta sarebbe semplice ancorchegrave completamente sbagliataTutti gli elettroni sarebbero nello stato a piugrave bassa energia (lorbita piugrave ldquovicinardquo al nucleo) Perogravequesto ovviamente non spiega la tavola di MendeleevIn effetti gli elettroni si distribuiscono in modo da minimizzare lenergia totale perograve il principiodi esclusione impedisce a loro di accumularsi nellorbita piugrave bassa La simmetria di scambio licostringe a stare lontani luno dallaltro tanto piugrave quanto piugrave sono numerosi E bene qui rilevareche anche la repulsione coulombiana esiste ma sulle piccole distanze che caratterizzano lastruttura interna dellatomo lenergia connessa con la repulsione di scambio egrave molto piugrave elevatae quindi domina la situazioneRiconsideriamo allora latomo di elio in questo caso possiamo mettere tutte due gli elettroninella stessa orbita se perograve hanno lo spin in direzioni opposte e dunque si rispetta il principioche in una stato quantico definito ci puograve stare un solo fermione Questa egrave una configurazionestabile nel senso che non si puograve aggiungere un altro elettrone Se infatti lo facciamo il principiodi esclusione darebbe zero per la corrispondente funzione donda allora lelettrone occuperagrave lostato quantico immediatamente successivo Per cui il Litio che ha appunto tre elettroni ne avragravedue che occupano lo stato piugrave interno come lelio piugrave il terzo che occupa da solo lo statosuperiore e si comporta in modo molto simile al singolo elettrone dellidrogeno Da cuipossiamo cominciare a vedere lorigine della periodicitagraveMan mano che si aumenta il numero atomico gli elettroni continuano a riempire le orbitesempre piugrave alte ripetendo lo schema di orbita completa poi con un solo elettrone etc fino allaprossima orbita completa Si capisce subito che le proprietagrave chimiche degli elementi sonoprincipalmente connesse con la distribuzione degli elettroni nellorbita piugrave esterna Questivengono chiamati in chimica gli elettroni di valenza Il Litio ne ha uno e dunque egrave monovalenteil fluoro ne ha uno che manca per riempire lorbita ed egrave anchesso monovalente ambedue sonomolto reattivi e il Litio ha una forte tendenza a perdere il suo elettrone il fluoro ha una fortetendenza ad acquisire lelettrone in ambedue i casi per arrivare alla configurazione stabiledellorbita completa Potete capire da questo come tutta la chimica degli elementi si possacostruire sulla simmetria di scambioCon questo esempio finale concludiamo la nostra esposizione di quanto sia importante inNatura e nelle teorie e metodi che si usano per studiarla il concetto di simmetria Si parte dallestesse precise simmetrie che dominano e determinano il nostro senso estetico a quelle piugraveastratte che agiscono nellinfinitamente grande o infinitamente piccolo La simmetria non egrave soloun importante elemento nel determinare le proprietagrave della Natura egrave anche una guida allaformulazione di esperimenti e teorie che ci permettono di arrivare alla conoscenza scientificadella Natura cosigrave come ci guida nelle sensazioni che proviamo guardando unopera darte inquesto senso la Simmetria egrave parte del funzionamento della mente umana un elementouniversale di unificazione dei processi di pensiero che portano alla conoscenza e alla creazione