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Introduzione al Calcolo delle Variazioni

Roberto Monti

Matematica – Anno Accademico 2016-17

Appunti del Corso – 30 Maggio 2017

E-mail address : [email protected]

Impaginazione e file pdf a cura di Marco De Zotti

Indice

(1) Metodo diretto del Calcolo delle variazioni p.1

(2) Funzionali classici

(a) Equazioni di Eulero-Lagrange p.6

(b) Equazione di Du Bois-Reymond p.11

(c) Metodo di convessità (metodi indiretti) p.13

(d) Principio di Fermat per l’ottica geometrica p.15

(e) Problema della brachistocrona p.20

(f) Funzionali del solo gradiente. Condizione di pendenza limitata p.26

(3) Funzionali sugli spazi di Sobolev

(a) Elementi essenziali sugli spazi di Sobolev p.39

(b) Convessità e semicontinuità inferiore in W 1,p p.48

(c) Esistenza dei minimi in W 1,p p.53

(d) Esempi p.55

(4) Funzioni a variazione limitata

(a) Definizione e Teorema di Riesz p.66

(b) Decomposizione della misura gradiente distribuzionale p.75

(c) Semicontinuità inferiore e approssimazione p.78

(d) Teorema di compattezza e disuguaglianza di Poincaré p.82

(e) Tracce ed estensioni p.87

(f) Proprietà fini e funzioni SBV p.89

(g) Funzionale di Mumford-Shah p.93

(5) Insiemi di perimetro finito

(a) Definizione ed esempi p.98

(b) Una soluzione del problema di Plateau p.103

(c) Frontiera ridotta e stime di densità p.107

(d) Blow-up della frontiera ridotta p.115

(e) Struttura della frontiera ridotta p.119

(6) Formule di integrazione geometrica

(a) Formula dell’area p.120

(b) Formula di coarea p.127

(7) Γ-convergenza

(a) Rilassamento p.130

(b) Γ-limiti p.132

(c) Convergenza dei minimi p.134

(d) Funzionale di Modica-Mortola p.138

(8) Teorema isoperimetrico e applicazioni

(a) Riarrangiamento di Steiner p.146

(b) Proprietà isoperimetrica della sfera p.155

(c) Problema della frequenza fondamentale minima p.159

(d) Riarrangiamento di Schwarz p.162

(9) Cenni di teoria del trasporto ottimo

(a) Problema di Monge p.170

(b) Formulazione di Kantorovic p.173

(c) Problema duale p.177

(d) Teorema di Brenier p.183

(e) Applicazione alla disuguaglianza isoperimetrica p.183

(10) Cenni sulla teoria delle correnti

(a) Richiami sulle algebre esterne p.186

(b) Correnti, massa e bordo p.188

(c) Correnti rettificabili. Problema di Plateau p.194

(d) Teorema di deformazione p.201

(e) Cenni sulla regolarità p.209

(f) Coni di Simon. Subcalibrazioni p.210

(g) Le varietà olomorfe sono minime p.217

(11) Superfici minime

(a) Superfici minime p.221

(b) Formula di rappresentazione di Weierstrass p.223

(12) Esercizi

(13) Bibliografia

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1. Esercizi

1.1. Semicontinuità inferiore.

Esercizio 1. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia F : X → (−∞,∞]. Provare chesono equivalenti:

A) F è semicontinua inferiormente su X.

B) Per ogni x0 ∈ X si ha

F (x0) ≤ limr→0+

infx∈Br(x0)

F (x).

C) F è sequenzialmente semicontinua inferiormente, ovvero per ogni x0 ∈ X edogni successione xh → x0 si ha

F (x0) ≤ lim infh→∞

F (xh).

Esercizio 2. Sia (X, τ) uno spazio topologico e data F : X → R sia

F̄ (x) = supU∈I (x)

infy∈U

F (y), x ∈ X,

l’inviluppo semicontinuo inferiore di F . Provare che per ogni x ∈ X si ha

F̄ (x) = sup{G(x) : G ≤ F, G isc su X}.

Esercizio 3. Sia A un insieme aperto di Rn e sia f : A × R → (−∞,∞] unafunzione misurabile tale che:

i) u 7→ f(x, u) è semicontinua inferiormente in R per q.o. x ∈ A;ii) esistono g ∈ L1(A), b ∈ R e 1 ≤ p

iii) Provare che F non ha minimo su X.

Esercizio 5. Siano n1 > 0, n2 > 0, u0, u1 ∈ R e t ∈ (0, 1). Sia poi f : [0, 1]→ Rla funzione f(x) = n1 se 0 ≤ x ≤ t e f(x) = n2 se t < x ≤ 1. Sia u ∈ Lip([0, 1]) ilminimo del funzionale F : Lip([0, 1])→ R

F (u) =

∫[0,1]

f(x)√

1 + u′(x)2dx, u(0) = u1, u(1) = u(1).

Calcolare u ed in particolare descrivere gli angoli di incidenza nel punto x = t (prin-

cipio di Fermat).

Esercizio 6. Sull’insieme X = {u ∈ Lip([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0, u 6= 0} siconsideri il funzionale F : X → R

F (u) =1

‖u‖∞

∫[0,1]

|u′|dx.

Calcolare il minimo di F su X.

Esercizio 7. Dati X = {u ∈ C1([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0} ed α ∈ (0, 1], siconsideri Fα : X → R

Fα(u) =

∫[0,1]

(|u′|α + 3|u− 1|

)dx.

Provare che:

i) infX Fα = 0 se 0 < α < 1, e infX F1 ≤ 2 se α = 1.ii) Fα non ha minimo su X.

Esercizio 8. Sia f ∈ L1(R) una funzione continua e positiva (f(t) > 0 per ognit ∈ R). Provare che il funzionale F : X → R

F (u) =

∫ 10

f(u′(x))dx

non ha minimo sullo spazio di funzioni X ={u ∈ C1([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0

}.

Esercizio 9 (Moltiplicatori di Lagrange). Dato v > 0 si considerino lo spazio

funzionale X = {u ∈ C1([−1, 1]) : u(±1) = 0}

ed F,G : X → R

F (u) =

∫ 1−1

√1 + u′(x)2dx, G(u) =

∫ 1−1u(x) dx.

i) Date ϕ, ψ ∈ C∞c (−1, 1) definiamo H : R2 → R, H(ε, τ) = G(u + εϕ + τψ).Provare che esiste una funzione di classe C1, ε 7→ τ(ε), tale che H(ε, τ(ε)) = vper ogni |ε| < δ.

ii) Provare che esiste λ ∈ R (il “moltiplicatore di Lagrange”, in questo caso lacurvatura) tale che

d

dx

( u′√1 + u′2

)= λ.

iii) Integrare l’equazione precedente. Abbiamo risolto (in parte) il “Problema di

Didone”.

È facile generalizzare l’esempio ad F e G più generali.

1.3. Bounded slope condition e funzioni Lipschitz.

Esercizio 10. Sia Ω ⊂ Rn un aperto limitato e sia U : ∂Ω → R una funzioneche non sia affine. Provare che se (Ω, U) verifica la bounded slope condition, allora Ω

deve essere convesso.

Esercizio 11. Siano x0 ∈ Rn, I un insieme di indici ed fi : Rn → R, i ∈ I,funzioni Lipschitziane tali che Lip(fi) ≤ M e |fi(x0)| ≤ M per ogni i ∈ I, con0 ≤ L,M 0, Ω ⊂ Rn aperto limitato ed f : Rn → R strettamenteconvessa. Provare che due minimi u, v ∈ Lipk(Ω) del funzionale

F (u) =

∫Ω

f(∇u(x))dx,

verificano

supx∈Ω|u(x)− v(x)| = max

x∈∂Ω|u(x)− v(x)|.

Esercizio 13. Dimostrare che se f : Rn → R è Lipschitz, allora

limh→0

∫Rn

f(x+ hv)− f(x)h

u(x)dx = −∫Rnf(x)

∂u

∂v(x)dx,

per ogni v ∈ Rn e per ogni u ∈ C∞c (Rn).

Esercizio 14. Sia C ⊂ Rn un insieme chiuso e sia f : Rn → R la funzionef(x) = dist(x;C), x ∈ Rn. Dimostrare che |∇f(x)| = 1 per L n-q.o. x ∈ Rn \ C.

1.4. Funzionali su spazi di Sobolev in dimensione 1.

Esercizio 15. Calcolare – se esiste – la più piccola costante C > 0 che rende

vera la disuguaglianza (∫[0,1]

u(x)dx)2≤ C

∫[0,1]

u′(x)2dx,

per tutte le funzioni u ∈ H10 (0, 1) e calcolare – se esistono – tutte le funzioni cherealizzano l’uguaglianza (relativamente alla costante ottimale).

Esercizio 16. Dati X = H10 (0, 1) ed ε ∈ R, si consideri Fε : X → R

Fε(u) =

∫[0,1]

(sin(u′) + εu2

)dx.

Provare che:

i) se ε 6= 0 allora Fε non ha minimo su X;ii) se ε = 0 allora F0 ha un’infinità di minimi su X, ma nessuno in C

1([0, 1]).

Esercizio 17. Sia X l’insieme delle funzioni u ∈ AC([δ, 1]) per ogni 0 < δ < 1 etali che ∫

[0,1]

xu′(x)2dx 0 tale che per ogni 0 ≤ ε < ε0 ilfunzionale F non ha minimo su X.

Esercizio 19. Su X ={u ∈ H1(0, 1) : u(0) = α, u(1) = β

}, con α, β ∈ R, si

consideri F : X → R

F (u) =

∫[0,1]

(1 + |u|)u′2dx.

Studiare il minimo di F su X.

Esercizio 20. Sia X l’insieme delle funzioni χ ∈ H1loc(R) tali che χ(0) = 0 e taliche esistano i limiti

χ(−∞) = limx→−∞

χ(x) = 0 e χ(∞) = limx→∞

χ(x) = 1,

e si consideri il funzionale F : X → [0,∞]

F (χ) =

∫R

(χ′

2+ χ2(1− χ)2

)dx.

Provare che F ha minimo su X e calcolarlo.

Suggerimenti. Sia (χn)n∈N una successione minimizzate. Si può supporre 0 ≤χn ≤ 1. Si può supporre χn crescente. Estrarre una sottosuccessione che convergedebolmente in H1loc(R). Si potrà anche avere convergenza puntuale quasi ovunque.Semicontinuità inferiore. Dedurre l’equazione di Eulero-Lagrange in forma debole. Il

minimo χ è più regolare. Integrare l’equazione ed arrivare alla soluzione esplicita.

1.5. Funzionali su spazi di Sobolev in dimensione maggiore.

Esercizio 21. Dato un aperto limitato A ⊂ Rn con n ≥ 1, si considerino unafunzione f ∈ L2(A), lo spazio X = H10 (A) e il funzionale F : X → R

F (u) =

∫A

{12|∇u|2 + fu

}dx.

i) Provare che F ha minimo unico su X.

ii) Scrivere l’equazione di Eulero-Lagrange in forma debole verificata dal min-

imo.

iii) Supponendo la necessaria regolarità, scrivere l’equazione di Eulero-Lagrange

in forma forte.

Esercizio 22. Dato un aperto limitato e con frontiera Lipschitz A ⊂ Rn, n ≥ 1,si considerino una funzione f ∈ L2(A), lo spazio

X ={u ∈ H1(A) :

∫A

u dx = 0},

e il funzionale F : X → R

F (u) =

∫A

{12|∇u|2 + fu

}dx.

i) Provare che F ha minimo unico su X.

ii) Scrivere l’equazione di Eulero-Lagrange in forma debole verificata dal min-

imo.

iii) Supponendo la necessaria regolarità, dedurre le equazioni per il minimo

∆u = f − fA in A e∂u

∂ν= 0 su ∂A,

dove fA è la media di f su A e ν è la normale (esterna) a ∂A.

Esercizio 23. Dato γ ∈ (0, 1], si consideri A = {(x, y) ∈ R2 : |x| < yγ, 0 < y <1}. Provare che se 1 ≤ p < 1 + γ e

q >(1 + γ)p

1 + γ − p,

allora non esiste alcuna costante Cpqγ tale che(∫A

|u− uA|qdxdy)1/p≤ Cpqγ

(∫A

|∇u|pdxdy)1/p

.

Esercizio 24. Per n ≥ 1 ed R > 1 consideriamo l’insieme di funzioni

AR ={u ∈ Lip(Rn) : u(x) ≥ 1 per |x| ≤ 1 e u(x) = 0 per |x| ≥ R

}.

Provare che il funzionale F : AR → R

F (u) =

∫Rn|∇u(x)|2dx

ha minimo su AR.

Suggerimenti. Provare l’esistenza in H10 (BR). Provare l’unicità per stretta con-

vessità. Dedurre la simmetria radiale del minimo dall’unicità. Derivare l’equazione

di Eulero-Lagrange nel caso simmetrico. Calcolare il minimo risolvendo l’equazione

differenziale ordinaria. Constatare a posteriori che il minimo u è Lipschitz.

Esercizio 25. Per n ≥ 1 ed R > 1 consideriamo l’insieme di funzioni

AR ={u ∈ Lip(Rn) : u(x) ≥ 1 per |x| ≤ 1 e u(x) = 0 per |x| ≥ R

}.

Si consideri il funzionale G : AR → R

G(u) =

∫Rn|∇u(x)|dx.

Discutere l’esistenza del minimo di G su AR.

1.6. Funzioni BV .

Esercizio 26. Sia f ∈ BV (Rn). Provare che f ∈ W 1,1(Rn) se e solo se µ1s =. . . = µns = 0, dove µ

i è la misura derivata distribuzionale i-esima di f e µis è la sua

parte singolare rispetto alla misura di Lebesgue.

Esercizio 27. Sia f : R2 → R la funzione definita da

f(x, y) =

{0 se x ≤ 0,y se x > 0.

Calcolare la misura vettoriale [Df ], il gradiente distribuzionale di f .

Esercizio 28. Sia f : Rn → R, n ≥ 1, la funzione definita da

f(x) =

{1 se |x| < 1,0 se |x| ≥ 1.

Provare che f ∈ BV (Rn), calcolare la misura µ e la funzione σ tali che [Df ] = σµ.Provare che f /∈ W 1,1(Rn).

Esercizio 29. Siano f ∈ C1(Rn) e g ∈ BVloc(Rn). Verificare la regola per ilprodotto della derivata distribuzionale (nel senso delle misure)

[D(fg)] = g∇fL n + f [Dg].

Esercizio 30. Sia u ∈ BV (Rn) una funzione a supporto compatto. Dimostrareche [Du](Rn) = 0.

Esercizio 31. 1) Provare che ‖f‖∞ ≤ |Df |(R) per ogni funzione f ∈ BV (R). 2)Costruire una funzione f ∈ BV (Rn) tale che f /∈ L∞(A) per un quasiasi aperto nonvuoto A ⊂ Rn.

Esercizio 32. Sia µ una misura di Borel finita su Rn. Supponiamo che per ogniϕ ∈ C1c (Rn;Rn) si abbia ∣∣∣ ∫

Rndivϕdµ

∣∣∣ ≤ ‖ϕ‖∞.Provare che esiste una funzione f ∈ BV (Rn) tale che µ = f L n.

Esercizio 33. Sia A ⊂ Rn una aperto limitato con frontiera Lipschitz. Provareche esiste una costante C > 0 tale che∫

A

|f − fA|dx ≤ C‖Df‖(A)

per ogni f ∈ BV (A).

Esercizio 34. Sia A ⊂ Rn un aperto connesso e sia f ∈ BV (A) una funzionetale che ‖Df‖(A) = 0. Provare che f è costante.

1.7. Insiemi di perimetro finito.

Esercizio 35. Dati γ ∈ (0, 1] ed n ≥ 2, si consideri A = {x = (x′, xn) ∈ Rn−1×R :|x′| < xγn, 0 < xn < 1}. Al variare di γ, discutere la validità della disuguaglianzaisoperimetrica relativa

L n(E)n−1n ≤ Cn,γP (E;A),

per insiemi E ⊂ A tali che L n(E) ≤ 12L n(A).

Esercizio 36. Sia E ⊂ (0, 1) un insieme di perimetro finito. Dimostrare che ameno di insiemi trascurabili E è unione finita di intervalli.

1.8. Superfici minime.

Esercizio 37. Sia A ⊂ R2 un insieme aperto. Determinare tutte le funzioniu ∈ C∞(A) della forma

u(x, y) = ϕ(x) + ψ(y), (x, y) ∈ A,

i cui grafici siano superfici minime.

Esercizio 38. Sia S = F (R× [0, 2π]) ⊂ R3 dove

F (x, ϑ) = (x, f(x) cosϑ, f(x) sinϑ),

ed f ∈ C2(R) è una funzione che verifica f(0) = 1 ed f ′(0) = 0.

i) Supponendo che S ⊂ R3 sia una superficie minima, derivare l’equazionedifferenziale per f

(1 + f ′2)f − f 2f ′′ = 0.

ii) Provare che f è una catenoide.

Esercizio 39. Sia r > 0 e per f ∈ C2([−r, r]) si consideri la superficie S ={(x, f(x) cosϑ, f(x) sinϑ) ∈ R3 : ϑ ∈ [0, 2π], |x| ≤ r, f(±r) = 1

}.

Provare che esiste un r0 > 0 tale che:

i) Se r > r0 allora S non può essere una superficie minima.

ii) Se r = r0 allora c’è un’unica superficie minima della forma data.

iir) Se 0 < r < r0 esistono 2 superfici minime della forma data.

Esercizio 40. Siano A = {x ∈ R2 : 1 < |x| < 2} ed M ≥ 0. Sull’insieme difunzioni

AM ={u ∈ C(Ā) ∩ C1(A) : u = 0 su |x| = 2 ed u = M su |x| = 1

}consideriamo il problema di minimo min{F (u) : u ∈ AM

}dove F : AM → [0,∞] è il

funzionale dell’area

F (u) =

∫A

√1 + |∇u(x)|2dx.

Provare le seguenti affermazioni:

i) Se il minimo esiste allora è unico.

ii) Se il minimo esiste allora è della forma u(x) = ϕ(|x|) con ϕ ∈ C([1, 2]) ∩C1(1, 2).

iii) Per una funzione u come nel punto precedente (“u radiale”) si ha

F (u) = 2π

∫ 21

√1 + ϕ′(r)2rdr.

iv) Per un minimo radiale u(x) = ϕ(|x|) si ha

d

dr

( rϕ′√1 + ϕ′2

)= 0, r ∈ (1, 2).

v) Provare che esiste M0 > 0 tale che per M > M0 il problema di minimo in

esame non ha soluzione.

Esercizio 41. Sia f : R2 → R3 la funzione

f(x, y) =

(x+ xy2 − 1

3x3,−y − x2y + 1

3y3, x2 − y2

).

Verificare che S = f(R2) è una superficie minima (superficie di Enneper) data tramiteuna parametrizzazione conforme.

Sia poi F : C→ C3,

F (z) =

(1

2h(z)(1− g(z)2), i

2h(z)(1 + g(z)2), h(z)g(z)

),

con h(z) = 2 e g(z) = z. Verificare che tramite la formula di rappresentazione di

Weierstrass

f(z) = Re

∫ z0

F (ζ)dζ

parametrizza la superficie di Enneper.

Esercizio 42. Provare che non esistono superfici minime compatte.

Esercizio 43. Siano A ⊂ Rn−1 un insieme aperto ed f ∈ C2(A) una funzioneche risolve l’equazione delle superfici minime

div( ∇f√

1 + |∇f |2)

= 0 in A.

Provare che il grafico S = gr(f) è un minimo dell’area nel cilindro A × R. Precisa-mente, provare che per ogni (n − 1)-superficie T ⊂ Rn di classe C1 e con S∆T =S \ T ∪ T \ S contenuto in modo compatto in A× R si verifica

H n−1(S) ≤H n−1(T ).

Esercizio 44. Sia S ⊂ Rn+1 una ipersuperficie (embedded) di classe C2 e in-dichiamo con H la sua curvatura media (la traccia del differenziale della mappa di

Gauss divisa per n).

1) Supponiamo che S = {x ∈ Rn+1 : f(x) = 0} con f ∈ C2(Rn+1) e ∇f 6= 0.Verificare che

H =1

ndiv( ∇f|∇f |

).

2) Supponiamo che S = {(x, g(x)) ∈ Rn+1 : x ∈ Rn} con g ∈ C2(Rn). Verificareche

H =1

ndiv( ∇g√

1 + |∇g|2).

3) Supponiamo che esista una funzione (continua) H̄ : S → R tale che∫S

divSV dHn =

∫S

H̄〈V, νS〉dH n

per ogni V ∈ C∞c (Rn+1;Rn+1), dove divSV = divV − 〈νE, (∇V )νS〉 e νS è la normalead S. Provare che H = H̄.

1.9. Correnti.

Esercizio 45. Sia A ⊂ Rn un aperto connesso a sia T ∈ Dn(A) una corrente taleche ∂T = 0. Provare che esiste c ∈ R tale che T = cJAK.

Esercizio 46. Per n ∈ N = {1, 2, 3, ...} si considerino gli anelli

An ={x ∈ R2 : 1

n+ 1< |x| ≤ 1

n

},

con An orientato positivamente per n dispari, orientato negativamente per n pari. La

corrente T ∈ D2(R2) associata è

T =∞∑n=1

(−1)n+1JAnK.

Descrivere il bordo ∂T ∈ D1(R2) e provare che M(∂T ) =∞.è

Esercizio 47. Siano K = [0, 1]× {0} ⊂ R2 e τ ∈ Λ2(R2). Provare che

T (ω) =

∫K

ω(τ)dH 1, ω ∈ D2(R2),

definisce una corrente T ∈ D2(R2) di massa finita. Stabilire se ∂T ha massa finita.

Esercizio 48. Sia E ⊂ Rn un insieme misurabile di misura finita e sia T ∈Dn(Rn) la corrente

T (ω) =

∫E

ω =

∫E

f(x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn =∫E

f(x)dx,

per ogni ω ∈ Dn(Rn) della forma f(x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn con f ∈ C∞c (Rn).Provare che la corrente bordo ∂T ha massa finita, M(∂T )

1.10. Rilassamento e Γ-convergenza.

Esercizio 49. Siano A ⊂ Rn un insieme aperto, 1 ≤ p < ∞ ed F : Lp(A) →[0,∞]

F (u) =

∫A

|Du|pdx+∫A

|u|pdx u ∈ C1(A) ∩ Lp(A)

∞ altrimenti.

Su Lp(A) fissiamo la topologia (“convergenza”) di L1loc(A) e sia F̄ l’inviluppo semi-

continuo inferiore di F . Determinare l’insieme X = {u ∈ Lp(A) : F̄ (u)

Esercizio 55. La lunghezza di una curva continua γ : [0, 1]→ Rn è

L(γ) = sup

{n∑i=1

|γ(ti)− γ(ti−1)| : 0 = t0 < t1 < ... < tn = 1, n ∈ N

}.

Sia K ⊂ Rn un compatto e siano x, y ∈ K due punti che possono essere collegati dauna curva in K di lunghezza finita. Provare che allora sono collegati da una curva in

K di lunghezza minima.

Esercizio 56. Dimostrare che la simmetrizzazione di Steiner in Rn non aumentail diametro di un insieme.

Esercizio 57. Sia (qk)k∈N una enumerazione di Q2 e sia Sk ⊂ R2 un segmentocon punto medio qk e lunghezza 1/k

2. Dimostrare che E =⋃k∈N Sk è 1-rettificabile.

Esercizio 58. Sia E l’unione di tutte le rette che passano per due punti di

Q2 ⊂ R2. Dimostrare che E è numerabilmente 1-rettificabile e che H 1 E è σ-finitama non localmente finita.

Esercizio 59. Sia K ⊂ Rn un insieme convesso e chiuso e sia π : Rn → K laproiezione definita dalla condizione π(x) = y ∈ K se e solo se |x−y| = minz∈K |x−z|.Provare che H s(π(E)) ≤H s(E) per ogni E ⊂ Rn e 0 ≤ s ≤ n.

Esercizio 60. Sia Γ ⊂ R2 il grafico di u ∈ C1([0, 1]) provare che

H 1(Γ) =

∫ 10

√1 + u′(x)2dx.

Esercizio 61. Siano µ, ν due misure vettoriali su Rn concentrate su insiemi dis-giunti, ovvero esiste un insieme A tale che |µ|(A) = ν(Rn \ A) = 0. Dimostrare che|µ+ ν| = |µ|+ |ν|.

Esercizio 62. SiaA1, A2 ⊂ Rn due insiemi k-rettificabili. Dimostrare che Tan(A1, x) =Tan(A2, x) per H k-q.o. x ∈ A1 ∩ A2.

Esercizio 63. Let f : Rn → R, n ≥ 1, be the function defined by f(x) = 1 if|x| < 1 and f(x) = 0 if |x| ≥ 1, with x ∈ Rn. Prove that f ∈ BV (Rn), compute themeasure µ and the vector σ given by the structure theorem of BV -functions. Show

that f /∈ W 1,1(Rn).

Esercizio 64. Let T : Cc(R)→ R be the functional

T (f) =

∫ +∞−∞

f(x)dx, f ∈ Cc(R),

where the integral is the Riemann-integral. Show that T il linear and bounded (for

the sup-norm, when the support of the functions is contained in a fixed compact

set). Compute the measure µ given by Riesz theorem, (i.e., prove that µ must be the

Lebesgue measure).

Esercizio 65. Let A be a σ-algebra on X, let B be a σ-algebra on Y and let

f : X → Y be measurable (that is, f−1(B) ∈ A for all B ∈ B). Let µ : A → [0,∞]be a measure. Show that f]µ = ν defined by

ν(B) = µ(f−1(B)), B ∈ B,

is a measure, called the push-forward measure of µ. Prove the following change-of-

variable formula ∫Y

g(y)dν(y) =

∫X

g(f(x))dµ(x),

for any g ∈ L1(Y ; ν).

Esercizio 66. Let µ be the Lebesgue measure on [0, 1]. Write [0, 1] = A ∪ Bwhere µ(A) = 0 and

B =∞⋃n=1

Kn,

with Kn ⊂ [0, 1] compact sets containing no open intervals.

Bibliografia

[1] L. Ambrosio & N. Fusco & D. Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity

Problems, Oxford University Press.

[2] G. Buttazzo & M. Giaquinta & S. Hildebrandt, One-dimensional Variational Problems, Oxford

University Press 2008.

[3] B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press 2015.

[4] B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer 2007.

[5] G. Dal Maso, An Introduction to Γ-Convergence, Birkhäuser 1993.

[6] L. C. Evans & R. F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC press.

[7] H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer.

[8] E. Giusti, Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, UMI

[9] J. Jost & X. Li-Jost, Calculus of Variations, Cambridge 2008

[10] S. G. Krantz & H. R. Parks, Geometric Integration Theory, Birkhäuser 2008. È un’introduzione

ragionevole alla teoria delle correnti.

[11] F. Maggi, Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems: An Introduction to

Geometric Measure Theory, Cambridge 2012.

[12] F. Morgan, Geometric Measure Theory, Academic Press 2008. È un’introduzione al libro di

Federer.

[13] C. Villani, Topics in Optimal Transportation, Graduate Studies in Mathematics Vol. 58,

Springer

Riferimenti generali

1. Calcolo delle variazioni. Il volume [3] di Dacorogna è un’introduzione eccellente

che copre il programma fino alle superfici minime. Ci sono moltissimi esercizi con le

soluzioni. Un’alternativa è [9].

2. Funzionali in dimensione 1. Il libro di Buttazzo, Giaquinta e Hildebrandt [2] è

interamente dedicato ai funzionali in dimensione 1.

3. Bounded slope condition. Abbiamo seguito il classico libro di Giusti [8], che

contiene anche la teoria della regolarità.

4. Funzionali negli spazi di Sobolev. Abbiamo semplificato la presentazione fatta

in [4], un libro avanzato che contiene anche il caso vettoriale.

5. Funzioni BV. Abbiamo seguito l’introduzione agile che si trova in [6]. In [1] si

trova una trattazione più completa, dove c’è una discussione dettagliata del funzional

di Mumford-Shah.

6. Insiemi di perimetro finito. Abbiamo di nuovo seguito l’introduzione che si

trova in [6]. Tuttavia è molto migliore la presentazione in [11] che contiene anche la

regolarità dei minimi.

7. Teoria geometrica della misura e correnti. Il riferimento obbligatorio è il libro

di Federer [7], che è di lettura impegnativa. Un’introduzione ragionevole è [12]. Noi

abbiamo seguito parte della presentazione di [10].

8. Γ-convergenza. Un testo di riferimento è [5]

9. Trasporto ottimo. Abbiamo seguito il libro di Villani [13].

FrontespizioIndiceMetodo diretto del Calcolo delle variazioniFunzionali classiciFunzionali sugli spazi di SobolevFunzioni a variazione limitataInsiemi di perimetro finitoFormule di integrazione geometricaΓ-ConvergenzaTeorema isoperimetrico e applicazioniCenni di teoria del trasporto ottimoCenni sulla teoria delle correntiSuperfici MinimeEserciziBibliografia

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