Introduzione ai

Metodi Inversi

Metodi Inversi

Stima dei parametri di un modello a partire dalle osservazioni (dati)

• stima del parametro

• incertezza sul valore

• risoluzione

Metodi Inversi

Il modello è una relazione matematica che esprime il legame tra dati e parametri

Problema Lineare

La relazione tra dati e parametri è lineare:

Problema Lineare

Esempio di un classico problema lineare:

stima dei parametri:

m1=coefficiente angolare

m2=ordinata all’origine

Metodo dei Minimi Quadrati

I valori di “best fit” di m1 e m2 sono quelli che rendono minima la norma L2:

y=m1x+m2

Metodo dei Minimi Quadrati

N equazioni

(con N numero dei dati)

Y X M

sistema in forma matriciale

Metodo dei Minimi Quadrati

Soluzione del problema ai MQ

Localizzazione dei Terremoti

La localizzazione dei terremoti è un problema inverso

Localizzazione dei TerremotiDATI:

tempi dei primi arrivi delle onde P/S alle stazioni

MODELLO:

Localizzazione dei Terremoti

PARAMETRI:

coordinate ipocentrali xH, yH, zH

tempo origine del terremoto T0

Localizzazione dei TerremotiLa localizzazione dei terremoti NON è un problema lineare!

Come si fa?

Localizzazione dei TerremotiSi linearizza!!!

sviluppo in serie di Taylor

arrestato al primo ordine

* soluzione di prova (o riferimento)

differenza tra il parametro attuale e quello di prova

Localizzazione dei Terremoti

date N letture di tempi P/S si ha

ossia con

Localizzazione dei TerremotiIl vettore M si calcola mediante soluzione ai minimi quadrati

(xH, yH, zH; T0) è la nuova soluzione di prova

Il procedimento iterativo si ripete finché Ri non diventa minore di un valore prestabilito (errore sui dati)