Introdurremo tutte le grandezze in modo vettorialebracco/dida/FGI04-cinematica.pdf · Un corpo si...

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G. Bracco - Appunti di Fisica Generale

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Introdurremo tutte le grandezze in modo vettorialee specializzeremo ai casi più semplici(es. unidimensionale).

Utilizzeremo sempre questo approccio poiché evitadi dover introdurre nuovamente le stesse grandezzequando si tratteranno i moti in due o tre dimensioni

Iniziamo a fare l’approssimazione di punto materiale,ovvero un corpo di dimensioni trascurabili rispetto alledimensioni tipiche del problemaEs. nel moto della Terra attorno al Sole, la Terra puòessere considerata un punto materiale (se si trascura lasua rotazione)


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Definito un punto origine O ed un sistema di riferimento ortogonale il vettore posizione può essere scomposto nelletre componenti x y z

r = x î + y ĵ + z k con î ĵ k versori dei tre assi

le componenti hanno dimensione di una lunghezza mentrei versori sono adimensionali e si possono usare per tutte leGF vettoriali

Vettore posizione

La posizione di un punto materiale M è individuata da un vettore detto vettore posizione.

•O M

r r = OM

^ ^

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Un corpo si muove sulla traiettoria bidimensionale al variare del tempox= -0.31 t2+ 7.2 t+28y= 0.22 t2 - 9.1 t+30

Questa è la rappresentazione parametricadella curva (traiettoria), il parametro è iltempo t

P=(f(t),g(t)) con

f(t)= -0.31 t2+ 7.2 t+28 eg(t)= 0.22 t2 - 9.1 t+30

essa dà luogo al seguente grafico

e x y sono le componenti del vettore posizione P


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Se la traiettoria è tridimensionale ci sarà una componente in piùe la rappresentazione parametrica della curva (traiettoria)diventerà

P=(f(t),g(t),h(t)) caso generale tridimensionale

Osservazioni:

•il caso unidimensionale può essere pensato come P=(f(t), 0 , 0)•il caso bidimensionale può essere pensato come P=(f(t), g(t) , 0)

Quindi useremo il caso bidimensionale essendo di più facile rappresentazione e per il quale è semplice la generalizzazione al caso tridimensionale (c’è la terza componente).

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Vettore spostamento

Se il punto materiale si muove da M a N il vettore spostamento(o semplicemente spostamento) è definito da

•O

M

Nello stesso sistema di riferimento ortogonale il vettore spostamento può essere scomposto nelle tre componenti

s = (x’ î + y’ ĵ+ z’ k) -( x î + y ĵ + z k) =

= (x’-x) î + (y’-y) ĵ + (z’-z) k= ( ∆x î + ∆y ĵ + ∆z k) con ∆ indichiamo la differenza fra due valori della gradezzain genere la differenza tra valore finale meno quello iniziale

r s = r’ - r =ON - OM

Nr’

^ ^

^^


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Differenza tra spostamento e percorso

Neppure nel caso unidimensionale lo spostamento corrisponde alcammino percorso da un punto materialeSupponiamo che una pallina venga lanciata verso l’alto e raggiunga 5 m di altezza e ricada al suolo nello stesso punto di partenza dove si ferma. Il percorso è s=10 m mentre il vettore spostamento è nullo.

O

A B

Il percorso è uguale allo spostamento se il moto procede sempre nella stessa direzione A → B

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traiettoria bidimensionalex= -0.31 t2+ 7.2 t+28y= 0.22 t2 - 9.1 t+30

il vettore spostamento s = ∆Pèla differenza fra due vettoriposizione, nel caso disegnatofra la posizione per t=0 se per t= 20 s.Il modulo dello spostamentoe’ minore del percorso

s


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Velocità media

Definiamo velocità medias

vm = ----- con s lo spostamento∆t che il punto materiale

compie nell’intervallo di tempo ∆t=tf-ti.Essendo il prodotto di un vettore (s)per uno scalare (1/ ∆t), la velocità media è un vettore. Unità: m/s Le sue componenti sono

s/∆t = ((x’ î + y’ ĵ+ z’ k) -( x î + y ĵ + z k))/ ∆t =

= ((x’-x) î + (y’-y) ĵ + (z’-z) k) / ∆t= ( ∆x/ ∆t î + ∆y/ ∆t ĵ + ∆z/ ∆t k)

^ ^

^ ^

s

5


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( ∆x/ ∆t î + ∆y/ ∆t ĵ + ∆z/ ∆t k) = ( vmx î + vmy ĵ + vmz k)

con vmx =∆x/ ∆t la componente della velocità medialungo l’asse x, etc.

^ ^

A seconda dell’intervallo di tempo la velocità media cambia, inoltre non c’è informazione sul moto istante per istante.

Si procede quindi con un processo di limite per intervalli di tempo via via più piccoli per ottenere la rapidità di variazionedella posizione del corpo

s ∆xv = lim ------- velocità (istantanea) vx = lim ---------

∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t


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Questo rappresenta il limite di un rapporto incrementaletra il vettore posizione (s = ∆P) ed il tempo

∆P ∆xv = lim ------- velocità (istantanea) vx = lim ---------

∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t

dPQuindi v= --- è la derivata della posizione rispetto al tempo

dt

Se nella rappresentazione parametrica della traiettoria si conoscono le funzioni del tempo P=(f(t),g(t))

dx df dy dgvx= ---- = ---- e vy= ---- = ----

dt dt dt dt

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La velocità è un vettore che è sempre tangente alla traiettorianell’istante in cui viene calcolata

Quindi istante per istante ci indica dove andrà il corpo nell’istantesuccessivo. Quindi se conosco la velocità posso ricostruire latraiettoria, è sufficiente conoscere la condizione iniziale dipartenza, infatti dalla definizione

dP= v dt ovvero, usando incrementi finiti,

∆P=v∆t → Pf-Pi=v (tf-ti) → Pf= Pi + v (tf-ti)

questo suggerisce un modo per ricavare la traiettoria in modonumerico


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•Dividiamo l’intervallo temporale in n parti (nel nostro caso 4)•Calcoliamo la velocità negli istanti 0,1,…,n: v0 ,v1 ,…,vn

e sommiamo sui vari sottointervalli la quantità Pj-Pj-1 = v (tj-tj-1) con j=0,…,n-1 otteniamo

Pf= Pi +Σj vj (tj-tj-1) dove l’indice di sommatoria j=0,..,n-1

se nei vari sottointervalli la velocità non cambia molto (quindinel sottointervallo la velocità media ~ velocità istantanea) Pf

sarà un punto prossimo a quello finale della traiettoria.

P1 P2

P3

0 ≡ ti 1 2 3 4 ≡ tf

t

Pi ≡ P0

Pf ≡ P4

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Il processo diviene esatto se passiamo al limite per sottointervallitendenti a zero.La sommatoria diviene un integrale

⌠ f ⌠ t

Pf= Pi + v (t’) dt’ o per t<t f Pf(t)= Pi + v (t’) dt’

⌡i ⌡ti

Partiamo dal nostro esempio di traiettoria bidimensionalex= (-0.31 t2+ 7.2 t+28) m → vx=(-0.62 t + 7.2) m/sy= (0.22 t2 - 9.1 t+30) m → vy= (0.44 - 9.1) m/s

e al variare di dt vediamo come migliora l’approssimazione.Animazione: linea (dt).


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Passando alle componenti

⌠ f ⌠ f

xf= xi + vx (t) dt yf= yi + vy (t) dt

⌡i ⌡i

Quindi ogni componente è indipendente dalle altre.

Dalla conoscenza della velocità, tramite un’integrazione si ricava il vettore posizione in funzione del tempo finale.

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Accelerazione media

Definiamo accelerazione mediavf - vi

am = ------- con vf , vi le velocità del∆t punto materiale agli estremidell’intervallo di tempo ∆t=tf-ti.

Essendo il prodotto di un vettore per uno scalare (1/ ∆t), l’accelerazionemedia è un vettore. Unità: m/s2

Le sue componenti sono

(vf - vi )/∆t = ∆v / ∆t == ( ∆vx/ ∆t î + ∆vy/ ∆t ĵ + ∆vz/ ∆t k) ^

vf

vi∆v

vi

vf


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(∆vx/ ∆t î + ∆vy/ ∆t ĵ + ∆vz/ ∆t k) = ( amx î + amy ĵ + amz k)

con amx = ∆vx / ∆t la componente dell’accelerazione medialungo l’asse x, etc.

^ ^

A seconda dell’intervallo di tempo, l’accelerazione media cambiae, come nel caso della velocità media, non c’è informazione sul moto istante per istante.

Si procede quindi con un processo di limite per intervalli di tempo via via più piccoli per ottenere la rapidità di variazione dellavelocità del corpo

∆v ∆vx

a = lim ------accelerazione(istantanea) ax = lim ---------∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t

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Questo rappresenta il limite di un rapporto incrementaletra il vettore velocità (∆v) ed il tempo

∆v ∆vx

a = lim ------- accelerazione ax = lim ---------∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t

dv d2PQuindi a= ---= --- è la derivata della velocità rispetto al tempo e la

dt dt2 derivata seconda della posizione rispetto al tempoOsservazione: le cause del moto (forze) sono legate all’accelerazioneperciò non si definiscono derivate della posizione di ordine superiore!

Se nella rappresentazione parametrica della traiettoria si conoscono le funzioni del tempo P=(f(t),g(t))

df dg d df d2f d2gvx= ---- vy= ---- ax=-- ( ---- )= ----- ay= -----

dt dt dt dt dt2 dt2


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Abbiamo visto che la velocità è un vettore sempre tangente alla traiettoria, l’accelerazione è invece rivolta verso la concavità della traiettoria nell’istante in cui viene calcolata

Quindi ci indica come la velocità verrà modificatanell’istante successivo. Quindi se conosco l’accelerazione posso calcolare la velocità (conoscendo la velocità iniziale) e da questa latraiettoria (conoscendo la condizione iniziale di partenza)infatti dalla definizione

dv= a dt ovvero, usando incrementi finiti,

∆v=a∆t → vf-vi=a (tf-ti) → vf= vi + a (tf-ti)

in modo analogo a quanto fatto con la velocità per ricavare la traiettoria numericamente

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•Dividiamo l’intervallo temporale in n parti (nel nostro caso 4)•Calcoliamo la velocità negli istanti 0,1,…,n: a0 ,a1 ,…,an

e sommiamo sui vari sottointervalli la quantità vj-vj-1 = a (tj-tj-1) con j=0,…,n-1 otteniamo

vf= vi +Σj aj (tj-tj-1) dove l’indice di sommatoria j=0,..,n-1

se nei vari sottointervalli l’accelerazione non cambia molto (quindinel sottointervallo l’accelerazione media ~ accelerazione istantanea)vf avrà un valore prossimo alla velocità finale. Da vj calcolo P.

v1 v2

v3

0 ≡ ti 1 2 3 4 ≡ tf

t

vi ≡ v0

vf ≡ v4


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Il processo diviene esatto se passiamo al limite per sottointervallitendenti a zero.La sommatoria diviene un integrale

⌠ f ⌠ t’

vf= vi + a (t) dt o per t’<tf v(t’)= v i + a (t) dt

⌡i ⌡ti

Partiamo dal nostro esempio di traiettoria bidimensionalex= (-0.31 t2+ 7.2 t+28) m → vx=(-0.62 t + 7.2) m/s → ax= -0.62 m/s2

y= (0.22 t2 - 9.1 t+30) m → vy= (0.44 t - 9.1) m/s → ay= 0.44 m/s2

Esercizi: 1) data la traiettoria x=y=2t2-t di un corpo stabilire il tipo di curva nel piano xy e la velocità ed accelerazione per t=0 e t=3 s.2) Un secondo corpo sta eseguendo la traiettoria nel piano xy con la coordinata y= t2-4t+1 mentre lungo x la sua velocità è costante e pari a vx=5 m/s. Trovare la curva parametrica della traiettoria e l’accelerazione per t=2 s.

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Scomponiamo l’accelerazione in due vettori:

at

ar

a

•tangente alla traiettoria: accelerazione tangenziale at

•perpendicolare alla tangente alla traiettoria:

accelerazione radiale ar

at è parallelo a v e quindi determina soloun cambiamento della lunghezza(modulo) di v

ar essendo perpendicolare a v determinaun solo cambiamento nella direzione di vma nessun cambiamento del modulo

v at dt

v ar dt


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Moti solo con accelerazione tangenziale

In questo caso v ed a sono sempre paralleli, v mantiene la sua direzionee quindi la traiettoria (a cui v è tangente) è rettilinea. Scelto l’asse x coincidente con la traiettoria (il verso sarà scelto in modo opportuno) i vettori avranno solo componente x→ moto unidimensionale.P=(x,0,0) v=(v,0,0) a=(a,0,0) quindi si possono considerare questequantità come semplici scalari (infatti la direzione è fissata, ma se si ruota il sistema di riferimento e’ la componente di un vettore!) in cuiconta il modulo ed il segno (verso).

Moto uniformemente accelerato (accelerazione costante a=cost.)In tal caso si integra questa costante per ottenere la velocità

⌠ f ⌠ f

vf= vi + a dt= vi +a dt= vi + a (tf - ti)

⌡i ⌡i

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Si integra ancora per ottenere la posizione (supponiamo moto lungo x)

⌠ f ⌠ f

xf= xi + v(t) dt= xi + (vi + a (t - ti)) dt=

⌡i ⌡i

= xi + vi (tf - ti)+½ a (tf - ti)2

Sono possibili delle ovvie semplificazioni :•se scelgo l’origine nel punto iniziale xi =0•se scelgo l’origine dei tempi nell’istante iniziale ti =0

Quindi xf =v tf +½ a tf2 e facendo cadere il pedice fx =v t +½ a t2

(però bisogna ricordarsi che sono state fatte queste assunzioni)vediamo delle utili formule che derivano da questo risultato


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1D: a=cost moto rettilineo uniformemente accelerato1) v = v0+at (v0 velocità iniziale a t=0, v velocità al tempo t)2) x-x0 = v0t+½at2 (x0 posizione iniziale a t=0, x posizione al tempo t)

ricaviamo il tempo t dalla seconda equazione t=(v-v0)/ae messo nella terza (x-x0 )= v0 (v-v0)/a +½a((v-v0)/a)2

a(x-x0 )= v0 (v-v0) +½(v-v0) 2 = v0 v-v0 2 +½(v 2 +v0

2-2v0 v)=½(v 2 -v0 2)

3) v 2 =v0 2+2 a(x-x0 )

x-x0 = ½ v0t+½ (v0+at)t = ½ v0t+½ vt = ½ (v0+v)t dove ½ (v0+v) = vel. media 4) x-x0 == ½ (v0+v)t

v0 = v - at , x-x0 = (v - at )t+½at2 = vt- ½at2 in funzione della vel. Finale

5) x-x0 = vt- ½at2

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In 2D: per avere un moto in 2D occorre che a e v0 non siano paralleli In particolare per la caduta dei gravi l’accelerazione è verticale e seil moto ha una componente della velocità orizzontale esso avviene indue dimensioni. Dal punto di vista cinematico abbiamo visto che essopuò essere trattato in modo indipendente lungo le due direzioni.

Nota: dal punto di vista dinamico questo potrebbe non essere vero:ad es. se le accelerazioni (legate alle forze come vedremo in seguito)dipendono dal modulo della velocità, la componente del moto x (o y)sarà legata alla componente y (o x).

In generale il moto è di tipo parabolico essendo l’accelerazione costante

Esercizio: ricavare le seguenti quantità legate al moto di un proiettileGittata R= (v0

2 /g) sin (2 θ0) e massima quota h= (v0 sin (θ0)) 2 /(2g)(g acc. di gravità, v0= vel. Iniziale, θ0 angolo di tiro)


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Moti solo con accelerazione radiale

In questo caso v ed a sono sempre perpendicolari, il modulo di v rimanecostante ma v cambia sempre la sua direzione. Se supponiamo che anche a sia costantein modulo, la traiettoria è una circonferenza ed il moto è circolare uniforme. Scegliamo il piano xy coincidente con quello della traiettoria.

I vettori avranno solo componente xy→ moto bidimensionale.P=(x,y,0) v=(vx, vy,0) a=(ax, ay,0)

cerchiamo di trovare il legame fra il modulo di a e di v.

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∆vCalcoliamo l’accelerazione mediaa = ------

∆t

O

A

B

vA

vB

I due triangoli sonosimili (v ⊥ r )

vA

vB

Quindi | ∆v |: | ∆r |= | vA |:| rA | ma nel limite per ∆t→0(cioè B→A) la corda | ∆r | si confonde con l’arco ABAB= | rA | θ ma, essendo | v | costante, AB= | v | ∆t

| ∆v | | vA || vA | ∆t | vA |2 v 2

da cui |a | = ------= ------- --------=---------= -------∆t | rA | ∆t | rA | r

O∆v

rA

rB

∆r

rA

rB

θ

θ θ


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Nella descrizione del moto circolare uniforme (moto in 2D)si introducono implicitamente le coordinate polari (r, θ)x= r cos( θ )y= r sin ( θ ) e derivando si ottienevx= -r sen( θ ) dθ/dtvy= r cos ( θ ) dθ/dt e dθ/dt=ω velocita’ angolarevx= -r ω sen( θ ) vy= r ω cos ( θ ) con modulo v= r ωax= -r ω2 cos( θ ) – r (dω/dt)sen(θ)ay= -r ω2 sen ( θ ) + r (dω/dt)cos(θ) e dω/dt=α accel. angolareOra consideriamo (cos(θ) ,sen(θ)) e (-sen(θ) ,cos(θ)), sono due versori tra loro perpendicolari, il primo e’ in direzione radiale e il secondo in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria.L’accelerazione percio’ e’ la somma di 2 termini(-r ω2 cos( θ ) , -r ω2 sen( θ ) ) acc.centripeta(– r α sen(θ), r α cos(θ)) acc.tangenziale

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Nel caso più generale, in ogni punto P della traiettoria si determinala circonf. osculatrice. Per trovarla si considerano altri due punti A B

A BP

e si calcola la circonferenza che passa per APB (che è unica, a parte il caso ditraiettoria rettilinea in cui r→∞).Facendo tendere A e B a P si ottiene lacirconferenza osculatrice come limite.

Conoscendo la velocità v in P ed il raggio r della circonf. osculatrice, l’accelerazione radiale ha modulo |v|2/r e diretta da P al centro Omentre l’accelerazione tangenziale è diretta come v e di modulo d |v|/dt.Esercizio con Matlab: data una curva generare la circ.osculatrice comelimite per A e B →P

Moto con accelerazione radiale e tangenziale

rO


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∆θ

u(t)

u(t+∆t)

Consideriamo ancora l’accelerazione scomposta in comp.tang e radiale e vediamo di ricavare analiticamente le relazioni già incontrate.

Ricordiamo che la derivata di un vettore w=(x,y,z) in forma cartesiana èdw/dt=(dx/dt î + dy/dt ĵ + dz/dt k)

Consideriamo un vettore u di modulo costantee quindi anche un versore (|u |=1)

i) u•u=cost quindi d/dt (u•u)=0, dalla definizione di prodotto scalaredu/dt•u+ u•du/dt =2 u•du/dt=0 poiché è commutativo ma questo vuol dire che la derivata du/dt è perpendicolare al vettore stesso.

ii) Per un versore (∆θ è piccolo) d |∆u |/∆t = ( ∆θ |u |)/∆t = ∆θ /∆tnel limite per ∆t →0, d θ /dt = ω (velocità angolare). Mettendo insieme i) e ii) d u /dt = ω n (n versore di du/dt normale a u)Consideriamo ora la velocità v=v τ (τ vettore tangente al posto di u)

∆u^

^ ^

^ ^ ^^^

^ ^

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I versori τ e n definiscono un piano in 3D (piano osculatore). Definiamo il vettore normale a tale piano b=τ×n, detto vettore binormale.

^ ^^ ^ ^

Dal punto di vista cinematico, conoscendo velocità ed acceleraz. τ=v/v (versore tangente), b=v ×a /(| v×a |) e n=b×τ (versore radiale centripeto).L’accelerazione è scomponibile in a=atτ+arn.


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Il vettore velocità angolare ω è perpendicolare al piano osculatore (la direzione è quella dell’asse di rotazione istantaneo che determina la rotazione di v e quindi ω è parallelo a b) con direzione definita dalla regola della mano destra → (v n ω) formano una terna destra.

τ

n

ω

Consideriamo una traiettoria curvilinea la velocità è v= v τ con τ tangente che varia da punto a punto, da cui l’accelerazionea=dv/dt=dv/dt τ + v d τ /dt ==dv/dt τ + v ω × τ

^

^

^

^

Il modulo di ω è |ω|= v/r con r=raggio circ. osculatrice, infatti istantaneamente il corpo si muove di moto circolare e quindi la seconda componente v ω × τ è diretta verso il centro della circ. osculatricee di modulo v v/r =v2/r → acc. centripeta

××××ω

Circ. osculatrice

v

^

^

^

^

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Questo modo di procedere deriva dalla rappresentazione intrinseca della traiettoria: definiamo una coordinata curvilinea sche misura la distanza (rettificata) da un punto origine O (→ somma dei tratti tangenti infinitesimi che misurano i cammini percorsi con segno + se nella direzione positiva) e quindi la rappresentazione parametrica della curva diviene

Os

r= r(s) ovvero x=x(s) y=y(s) z=z(s)precedentemente con la rappresentazione cartesiana t era un parametro particolare, il tempo, ora s è una distanza.

Alla rappresentazione intrinseca r= r(s) ovvero x=x(s) y=y(s) z=z(s)aggiungiamo come varia s nel tempo s=s(t) (legge oraria)in tal modo si è separata la dipendenza geometrica da quella temporale.


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Os

O s

→

Il vettore tangente alla curva sarà dr/ds=(dx/ds, dy/ds, dz/ds)= u (= τ) e si può dimostrare che questo è il versore (nel limite la corda drdiviene uguale all’arco ds) tangente alla traiettoria.Perciò la velocità v=dr/dt=(dr/ds) (ds/dt) si separa nel versore tangentee nel modulo v=v u = ds/dt u (rappresentazione intrinseca della velocità)l’accelerazione da quanto visto prima è a=dv/dt=dv/dt u + v du/dt ==at u + v ω × u = d2s/dt2 u + (ds/dt)2/r n dove il versore n è stato definito prima ed r è il raggio della circ. osculatrice nel piano definito dai due versori (r definisce il raggio di curvaturadella traiettoria, 1/r è detta curvatura)

^

^ ^

^ ^

^ ^ ^ ^

Rettificazione della curva

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Queste relazioni permettono di classificare i motiv= ds/dt u a=d2s/dt2 u + (ds/dt)2/r n

basandoci sull’equazione orariamoti con ds/dt=costante moti uniformi moti con d2s/dt2=costante moti uniformemente accelerati

basandoci sulla geometria della traiettoria

moti rettilinei r → ∞ (curvatura=0)moti circolari r=cost

La trattazione cartesiana e quella intrinseca sono equivalenti, inoltre si possono usare altre rappresentazioni basate su differenti tipi di coordinate le più usate, oltre a quella cartesiana, sono: polare in 2D, sferica e cilindrica in 3D

^^ ^


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Esempio: come abbiamo visto nella descrizione del moto circolare uniforme (moto in 2D) si introducono le coordinate polari (r, θ)x= r cos( θ )y= r sin ( θ ) ciò era particolarmente comodo perché r=cost. e ilmoto viene descritto solo da θ (legato all’ascissa curvilinea s=r θma r=cost e si tien conto automaticamente di questo vincolo)

questo premette di introdurre variabili angolari per descrivere il motoanziché variabili lineariposizione x → θ posizione angolarevelocità dx/dt = v → dθ/dt = ω velocità angolareaccel.tangenziale dv/dt = a → dω/dt = α accelerazione angolareovviamente le quantità sono collegate dalle seguenti relazionix= r θ v= r ω at= r α e per le variabili angolari esistono relazioni analoghe a quelle viste per x,v,a ad esempioθ=(1/2) α t2+ ω 0 t+ θ0.

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Moto circolare uniforme e moto armonico

Consideriamo il moto di un punto su una circonferenzadi raggio r. La velocità sia in modulo constante.Scegliamo un sistema di riferimento xy sul piano dellatraiettoria con origine nel centro della circonferenzaLe equazioni nel tempo che descrivono la traiettoria sono

x= r cos(ωt + φ)y= r sin (ωt + φ)

x2 + y2 = r2 (quadrato del modulo vettore posizione)

la costante ω (unità rad/s) è detta velocità angolarementre φ la fase iniziale.

θ


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Il moto può anche essere descritto dalla variabile angolare θ (angolo rispetto asse x) che varia nel tempo,l’arco descritto è dato da r θ(t)x= r cos(θ(t)) y= r sin (θ(t)) Assumendo un moto a velocita’ angolare costanteθ=ωt + φ. La velocità del moto sarà (• indica la derivata rispetto al tempo)

x= -r sin(θ(t)) θ(t) = -r ωsin(ωt + φ)y= r cos (θ(t)) θ(t) = r ωcos(ωt + φ)

da cui θ(t)= ω. Ma x2 + y2 = v2 (quadrato del modulo vettore velocità)da cui |v| = r ωe quindi anche v e’ costante.

θ

• •

• •

•

• •

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Calcoliamo l’accelerazione(• • indica derivata seconda rispetto al tempo)

x= -r ω2 cos(ωt + φ)y= -r ω2 sin(ωt + φ)

x2 + y2 = a2 (quadrato del modulo vettore accelerazione)da cui |a| = ω2r = v2 /r (costante) (accel.tangeziale nulla).

Osserviamo che a è diretto verso il centro lungo il raggioed è quindi perpendicolare a v (acc. centripeta).

θ• •• •

• • • •

Nota: dopo un tempo T tale che ωT=2π le funzioni riacquistano lo stesso valore ed il punto ha fatto un giroT= periodo del moto da cui ω=2π / T. Si definiscefrequenza f=1/T (unità hertz Hz) il numero di giri fattial secondo ω=2π f.


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Consideriamo la proiezione del moto del punto lungo xx= r cos(ωt + φ)

x= -r ωsin(ωt + φ)

x= -r ω2 cos(ωt + φ)

Questo moto si dice armonico e descrive molti fenomenioscillatori

esso soddisfa la seguente equazione differenziale

x + ω2 x = 0 equazione del moto armonico

ω è chiamata il tal caso pulsazione e la frequenza f èil numero di oscillazioni (complete) del moto.

θ

• •

•

• •

21


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Osservazione

Le equazioni che descrivono la traiettoria del motocircolare possono essere scritte come

x= r cos(ωt + φ)y= r cos (ωt + φ + ½ π)= r sin (ωt + φ) od anche

x= r sin(ωt + φ)y= r sin(ωt + φ + ½ π)

quindi il moto circolare può anche essere pensato come la sovrapposizione di due moti armonici lungo x e lungo y di uguale ampiezza e pulsazionema sfasati di ½ π.

θ

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