INTERFERENZA DI INTERSIMBOLO (ISI)

Nell’accezione comune, le forme d’onda utilizzate in una trasmissione numerica hanno durata finita; in particolare, è frequente il caso in cui si utilizzino, almeno, in principio, impulsi rettangolari di durata uguale o minore di un intervallo caratteristico, denominato tempo di simbolo. La trasmissione di un segnale numerico con queste caratteristiche avrebbe a rigore bisogno di una banda infinita. Ce ne convinciamo facilmente osservando che la necessità di limitare la durata del segnale (con fronti d’onda a pendenza spesso elevata, teoricamente infinita nel caso di impulso rettangolare) nell’andamento temporale del segnale implica la presenza di componenti spettrali significative anche alle alte frequenze. Quando dunque un segnale numerico si trova a transitare attraverso un filtro (e la situazione più frequente è quella di un canale di trasmissione che presenta un comportamento passa-basso o passa-banda) esso verrà inevitabilmente distorto. Così come illustrato qualitativamente in Figura 1, gli impulsi binari, che sono ben distinti nel segnale di ingresso si(t) risultano sovrapposti nel segnale di uscita su(t)1. Trattandosi di un fenomeno (indesiderato) di interazione tra simboli, si è soliti parlare di interferenza intersimbolica (ISI: InterSymbol Inteference). La Figura 1 considera il caso di trasmissione binaria ma il problema si pone in termini analoghi anche nel caso di trasmissione M-aria (con più di 2 livelli). I simboli interferenti possono riferirsi allo stesso (e unico) segnale o, più frequentemente, quando il mezzo trasmissivo è condiviso tra più utenti a divisione di tempo, essere associati a segnali relativi a diverse coppie sorgente-destinazione; in quest’ultimo caso si ha un effetto di mutuo disturbo tra comunicazioni distinte.

. . .. . .

s (t)i

A

T

Tc

t

tTc

s (t)u

Figura 1

1 La Figura si riferisce al transito del segnale numerico attraverso un filtro passa-basso di tipo RC; l’esempio verrà discusso in dettaglio nel successivo Esercizio n. 2.

1

L’effetto di interferenza intersimbolica può essere facilmente visualizzato su un oscilloscopio: l’asse orizzontale dei tempi viene sincronizzato alla frequenza di campionamento, mentre all’asse verticale viene applicato il segnale. Quale risultato si ottengono figure caratteristiche che, in ragione della loro forma, vengono comunemente denominate “diagramma ad occhio”. Un esempio di diagramma ad occhio per una trasmissione binaria è illustrato in Figura 2.

Figura 2 Dal punto di vista concettuale, il diagramma ad occhio si ottiene generando tutte le possibili sequenze di simboli binari e graficandone sovrapposti gli andamenti a valle del canale distorcente. Alcuni esempi sono riportati in Figura 3, insieme ad una somma parziale delle forme d’onda ricevute.

Figura 3

2

Tra i parametri caratteristici del diagramma ad occhio, quello certamente più importante è la sua apertura. Il modo più semplice di rivelare un segnale numerico consiste nel campionarne il valore in corrispondenza di certi istanti tk = ±kTs (k = 0, 1, 2, …) dove Ts è il tempo di simbolo, vale a dire l’intervallo temporale dedicato alla trasmissione di ciascun simbolo2. E’ in corrispondenza di questi istanti caratteristici, anche noti come istanti di decisione, che si deve essere in grado di discriminare quale simbolo è stato trasmesso; ed è evidente che più il livello basso distorto risulta distinguibile dal livello alto distorto più la discriminazione sarà agevole e meno influenzata dagli effetti del rumore3. L’apertura dell’occhio dà la massima distanza tra i due livelli, ed è allora in corrispondenza di questi punti, distanziati di Ts l’uno dall’altro, che dovranno essere fissati gli istanti di decisione. La Figura 2 fornisce un esempio di occhio molto aperto, in cui dunque l’effetto di interferenza di intersimbolo è del tutto trascurabile. Altri esempi di diagrammi ad occhio pressoché ideali, per una trasmissione binaria bipolare sono riportati, in forma schematica, nelle Figure 4(c) e 4(d): le zone in grigio individuano le regioni contenenti gli inviluppi di tutti gli impulsi possibili nell’intorno dell’istante di decisione. Viceversa, i diagrammi ad occhio di Figura 4(a) e 4(b) sono piuttosto chiusi, e la distanza tra il minimo inviluppo positivo e il massimo inviluppo negativo nell’istante di decisione risulta, a parità di ampiezza dei segnali, significativamente ridotto.

Figura 4 Diagrammi ad occhio ideali possono essere ottenuti con una scelta adeguata della funzione di trasferimento del canale, ovvero introducendo una opportuna equalizzazione della funzione di trasferimento di un canale preassegnato. In pratica, partendo dal presupposto che la distorsione del generico impulso trasmesso non può essere eliminata (giacché questo, come detto, implicherebbe la disponibilità di una banda infinita) l’idea è quella di eliminarne gli effetti, facendo in modo che la distorsione subita da un impulso sia nulla in corrispondenza degli istanti di decisione degli altri impulsi. Va subito detto che questo tipo di risultato non sempre è conseguibile. In particolare, se la banda B del canale è minore della metà della frequenza di simbolo del segnale numerico (vale a dire

2 Come illustrato implicitamente in Figura 1, nel caso binario si userà indifferentemente, ad indicare la stessa quantità, anche Tc (tempo di cifra) o Tb (tempo di bit); in questa descrizione introduttiva utilizziamo Ts per maggiore generalità. D’altro canto è buona norma ricordare che la notazione usata è un fatto puramente convenzionale; ciò che conta è l’interpretazione del suo significato. 3 Il rumore che interessa, prima di tutto, considerare è il rumore termico, il quale verrà introdotto in una successiva dispensa nonché trattato, con particolare dettaglio, nell’ambito del Corso di Telecomunicazioni.

3

se B < Fs/2 = 1/(2Ts)) l’obiettivo dell’annullamento dell’interferenza di intersimbolo non potrà essere, in alcun modo, conseguito. Per una data frequenza di simbolo, caratteristica della trasmissione, esiste dunque una larghezza di banda minima per la banda del canale, al di sotto della quale l’ISI non può essere compensata. Dualmente, un sistema caratterizzato da una banda B, se necessario opportunamente equalizzato, può annullare l’interferenza intersimbolica di sistemi con frequenza di simbolo al più uguale a 2B, ma non maggiore. Ad esempio, se B = 1 MHz non si può annullare l’ISI di un sistema con frequenza di simbolo Fs > 2 Mbit/s. Posto dunque B ≥ Fs/2, possiamo ora fornire alcuni esempi di funzioni di trasferimento potenzialmente in grado di annullare l’interferenza intersimbolica. La funzione H(ω) che, in questo senso, verrà specificata di seguito, rappresenta la funzione di trasferimento della cascata di reti 2-porte schematicamente illustrate in Figura 5; tale cascata include:

- la rete di formazione degli impulsi R(ω); - la funzione di trasferimento del mezzo trasmissivo L(ω); - la funzione equalizzatrice in ricezione E(ω).

Si ha dunque )(E)(L)(R)(H ωωω=ω (1)

R( )ω L( )ω E( )ω

H( )ω

Figura 5

La rete di formazione degli impulsi, in particolare, trasforma una sequenza di delta di Dirac in ingresso (cui è associata, in senso stretto, l’informazione) in una sequenza di impulsi di durata finita. Un esempio è illustrato in Figura 6 per una sequenza di informazione 1001.

R( )ω

Tc0 2Tc 3Tc t Tc0 2Tc 3Tc t

α β

Figura 6

L’informazione trasmessa è chiaramente già contenuta nella successione di delta di Dirac, ma tale successione non è un segnale fisico (in quanto un impulso matematico ideale non può essere

4

ottenuto in pratica) mentre tale risulta la successione di impulsi rettangolari. Il segnale effettivamente emesso dalla sorgente, ed inviato al destinatario, è quindi quello che si rinviene nella sezione β, ma nella definizione della H(ω) conviene inglobare anche la R(ω) perché così facendo si ottiene un risultato che è indipendente dalla forma degli impulsi trasmessi. Se la H(ω) che annulla l’interferenza di intersimbolo fosse specificata solo a valle della sezione β, e dunque includesse solo L(ω) ed E(ω), il risultato varrebbe esclusivamente per quella specifica forma degli impulsi, e dovrebbe essere cambiato quando, ad esempio, in luogo di impulsi rettangolari si trasmettessero impulsi triangolari o gaussiani. Tenendo conto di questa precisazione, una prima importante classe di funzioni in grado di annullare l’interferenza di intersimbolo è quella che va sotto il nome di “funzione di trasferimento a coseno rialzato”. L’espressione analitica di H(ω) per questa classe di funzioni è la seguente:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+π≥ω

+π≤ω≤

−π

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−ω−

−π≤ω

=ω

s

ss

so

so

Tb1per0

Tb1

Tb1per

b2T

sin12

HT

b1perH

)(H (2)

dove Ho è una costante reale, mentre b è detto “fattore di roll-off” e varia tra 0 e 1. Alcuni andamenti di H(ω), limitatamente alle pulsazioni positive, sono riportati in Figura 7, assumendo b = 0, b = 0.5 e b = 1, rispettivamente. La larghezza di banda, espressa in Hz, della funzione di trasferimento a coseno rialzato vale

ss T2b1

Tb1

21B +

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +π

π= (3)

e il suo valore minimo, quando b = 0, è pari a 1/(2Ts). Ciò, da una parte, conferma le precedenti considerazioni sulla banda minima in grado di annullare l’ISI e, dall’altra, evidenzia che se l’obiettivo è quello di minimizzare l’occupazione spettrale la scelta b = 0 è la più conveniente. D’altro canto, guardando la figura, ci si rende anche conto che la funzione di trasferimento per b = 0 è pressoché impossibile da realizzare con componenti fisici, mentre la funzione con b = 1, ad esempio, presentando una transizione più graduale, sarà realizzabile in modo relativamente semplice ed efficiente. La scelta del valore di b ottimo, oltre che legata all’occupazione spettrale della H(ω), dipende peraltro anche da considerazioni nel dominio del tempo. E’ possibile verificare che l’antitrasformata della H(ω) assume, in generale, la seguente espressione:

22

2s

s

s

s

so

tbT41

btT

cos

tT

tT

sin

T1H)t(h

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π

π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π

= (4)

h(t) ha il significato di risposta impulsiva del sistema di Figura 5; tre possibili andamenti, di nuovo per b = 0, b = 0. 5 e b = 1, sono rappresentati in Figura 8, dove si è posto ho = Ho/Ts. Tutte le curve verificano la condizione:

5

…,2,1k,0)kT(h,h)0(h so ±±=== (5)

Ho

ωπ/Ts 2π/Ts

H(ω )

0

b=0

b=0.5

b=1

Figura 7 La (5) esprime la condizione necessaria e sufficiente per l’annullamento dell’ISI in quanto una delta di Dirac applicata in t = 0 produce una funzione che, seppur distorta, si annulla in corrispondenza dei potenziali istanti di applicazione delle delta di Dirac precedenti o successive4. Per una delta di Dirac applicata in t = mTs il discorso è analogo: la distorsione che subirà tale segnale non avrà alcun effetto in corrispondenza di istanti che distano per multipli interi (positivi o negativi) del tempo di simbolo, e che dunque potranno essere assunti come istanti di decisione.

t

h(t)ho

0 Ts 2Ts 3Ts-T s-2Ts-3Ts

b=0

b=0.5

b=1

Figura 8

4 Si noti che la h(t) definita dalla (4) e graficata per alcuni valori di b in Figura 8 non soddisfa il principio di causalità, in quanto h(t) ≠ 0 per t < 0. Per renderla causale, comunque, è sufficiente aggiungere un ritardo tr, il che corrisponde in ω a

moltiplicare la (2) per un fattore e–iωtr.

6

Dalla Figura 8 osserviamo che all’aumentare del valore di b le “code” della h(t) risultano maggiormente confinate intorno all’asse dei tempi. Per b = 1 si hanno addirittura ulteriori passaggi per lo zero oltre a quelli risultanti dalla (5). Ciò può essere un vantaggio quando, ad esempio in conseguenza di “derive” degli oscillatori, gli istanti di decisione non risultano sempre esattamente equispaziati di Ts: l’entità del disturbo introdotto dalla h(t) per b = 1 sarà infatti certamente minore dell’entità del disturbo per b = 0. Combinando l’esigenza di avere un’occupazione spettrale comunque contenuta ed un’ISI tollerabile nel caso di comportamento non ideale degli oscillatori, la scelta più comune è quella di adottare fattori di roll-off intermedi. I valori più frequenti di b sono compresi tra 0.6 e 0.8. Osservando l’espressione analitica (2) o la sua rappresentazione grafica di Figura 7 è possibile rendersi conto che la famiglia delle funzioni a coseno rialzato verifica la seguente importante proprietà:

s

osn

oss

ooo TT,hT

T2nH)(H π

≤ω≤π

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+ω=ω ∑

∞

−∞=

(6)

In altre parole, considerata una generica pulsazione ωo nell’intervallo [–π/Ts, π/Ts] la funzione Ho(ωo), che si ottiene sommando i valori assunti dalla H(ω) in ωo ed in punti che distano da ωo per multipli interi di 2π/Ts, è costante. Questo risultato è evidente nel caso b = 0, essendo la funzione di trasferimento diversa da zero (e, appunto, costante) nel solo intervallo [–π/Ts, π/Ts], ma può essere facilmente verificato anche, ad esempio, nel caso b = 0.5 o nel caso b = 1. Ovviamente occorre tener conto anche della porzione di spettro per ω negative, omessa in figura per semplicità. Questa proprietà, nota come criterio di Nyquist, è di validità generale e consente di definire una famiglia di funzioni, appunto note come funzioni della classe di Nyquist, tutte in grado di annullare l’interferenza intersimbolica. Come osservato, le funzioni a coseno rialzato sono particolari funzioni della classe di Nyquist. Quest’ultima, però, ne include molte altre: tutte quelle che verificano la (6). In pratica, data una funzione H(ω), per verificare se essa è in grado o meno di annullare l’ISI di una trasmissione con frequenza di simbolo Fs = 1/Ts, si deve valutare la funzione Ho(ωo) (anche detta “spettro equivalente”) per ogni ωo∈[–π/Ts, π/Ts]: se Ho(ωo) ha ampiezza costante5 non si avrà ISI sul segnale di uscita; altrimenti l’ISI sarà presente, e il suo effetto sulla qualità di trasmissione dovrà essere valutato. Un modo operativo per costruire la funzione Ho(ωo) consiste nel “tagliare a fettine” di ampiezza 2π/Ts (la prima “fettina” è centrata nell’origine) la funzione di trasferimento H(ω) e nel ripiegare le “fettine” nell’intervallo [–π/Ts, π/Ts]; un esempio di tale procedura è riportato in Figura 9. Se, dopo aver sovrapposto tutti i possibili contributi, il risultato è una costante si potrà concludere che la H(ω) assegnata appartiene alla classe di Nyquist. Come espresso esplicitamente dalla (1), La H(ω) è il risultato della combinazione della rete di formazione degli impulsi R(ω), della funzione di trasferimento del canale L(ω) e di una eventuale rete equalizzatrice E(ω) in ricezione. Una volta scelto il mezzo trasmissivo L(ω) è assegnata; ad esempio, nel caso di un cavo coassiale, sotto l’ipotesi di piccole perdite, si può scrivere:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω−+

ωω

−=ω co

ti)i1(exp)(L (7)

5 Per completezza, va detto che occorre anche verificare che la fase di Ho(ωo) sia lineare; come si vede, queste condizioni non sono diverse da quelle che definiscono l’assenza di distorsione lineare sul segnale che transita attraverso lo spettro equivalente.

7

dove ωo è una pulsazione caratteristica, mentre tc è il tempo di propagazione delle onde elettromagnetiche nel mezzo. Ben difficilmente la L(ω) appartiene, di per sé, alla classe di Nyquist; in generale, è quindi necessario introdurre l’opportuna correzione attraverso R(ω) e/o E(ω).

Figura 9

Chiaramente deve essere:

)(L)(H)(R)(E

ωω

=ωω (8)

Questa espressione, peraltro, presenta ancora un grado di libertà, in quanto essa specifica il solo prodotto tra le funzioni R(ω) ed E(ω). Una soluzione molto frequente consiste nell’assumere:

)(L)(H

)(R)(Eωω

=ω=ω (9)

scegliendo arbitrariamente la fase di E(ω) (anche tenendo conto di eventuali difficoltà realizzative) e ricavando quella di R(ω) in modo da soddisfare la (8). Se il rapporto H(ω)/L(ω) è reale si può porre semplicemente: (10) )(R)(E * ω=ω Un progetto più completo dovrebbe tener conto anche dell’effetto del rumore, e sfruttare il grado di libertà offerto dalla (8) in modo da minimizzare la probabilità di errore a valle del ricevitore. Si dimostra comunque che la scelta (9) è ottima, a meno eventualmente di un irrilevante fattore di scala, nel caso di rumore a spettro piatto (rumore bianco) e di funzione L(ω) che può essere assunta costante almeno nell’intervallo di frequenze di interesse. La famiglia di funzioni della classe di Nyquist sembra dunque risolvere completamente il problema dell’annullamento dell’interferenza di intersimbolo. Nondimeno, come si è avuto modo di accennare, la pratica realizzabilità di un filtro di Nyquist potrebbe non essere agevole; oltretutto, se la funzione di trasferimento del canale ha banda passante B < Fs/2 l’annullamento dell’ISI non potrà in alcun caso essere conseguito. Si può pensare di rendere meno stringenti le condizioni imposte più sopra tollerando, ad esempio, che la risposta impulsiva h(t) sia diversa da zero non solo in corrispondenza dell’istante di decisione

8

di interesse ma anche in corrispondenza dell’istante di decisione immediatamente successivo. Ciò significa porre, in luogo delle (5), assunto per comodità ho = 16:

(11) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

==

1,0kper0

1,0kper1)kT(h s

Sulla base della (11), il sistema introdurrà una certa ISI, ma si tratta, per così dire, di un’ISI “controllata” e che potrà quindi essere compensata in ricezione. La funzione di trasferimento in grado di soddisfare le condizioni assegnate ha la seguente struttura:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π>ω

π≤ω⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−=ω

s

s

sss

Tper0

Tper

2T

cos2T

iexpT2)(H (12)

cui corrisponde, per antitrasformazione,

π−π

π−π+

ππ

=tF

)tF(sintF

)tF(sin)t(hs

s

s

s (13)

L’andamento del modulo di H(ω) è riportato in Figura 10, e quello di h(t) in Figura 11. La risposta impulsiva, in particolare, prende il nome di “segnale impulsivo duobinario” (duobinary signal pulse) ed è un esempio di segnale cosiddetto “a risposta parziale” (partial response signal). In virtù della (11), indicato con Im il valore dell’informazione nell’m-esimo istante di decisione, è chiaro che il campione, ym, rivelato in uscita dal filtro ricevente sarà in realtà: 1mmm IIy −+= (14) in quanto vi è l’effetto del simbolo di informazione precedente. Resta peraltro confermato che l’interferenza introdotta è di tipo deterministico, e il valore di Im potrà essere recuperato sottraendo al campione corrente rivelato il campione precedente.

2Ts

ωπ/Ts

|H(ω)|

-π/Ts 0

Figura 10 6 La normalizzazione della risposta impulsiva è ovviamente sempre possibile.

9

t

h(t)4/π

0 Ts 2Ts 3Ts-T s-2Ts-3Ts

1

Figura 11

Tenendo anche conto della presenza del rumore (trascurato nella (14) per semplicità), è qualitativamente evidente che il maggior problema di questa tecnica consiste nella propagazione degli errori: se infatti il simbolo Im–1 è errato, il suo effetto si sentirà anche su ym e quindi sul valore rivelato per Im. Il problema può essere risolto ricorrendo a opportune tecniche di pre-codifica sul cui merito non è possibile scendere nel presente contesto. Infine, val la pena osservare che il principio della “risposta parziale” può essere generalizzato, sintetizzando risposte impulsive che sono diverse da zero in più di due istanti di decisione, anche assumendo valori diversi per le corrispondenti ampiezze.

10

Esercizio n. 1 Un segnale numerico è caratterizzato da una frequenza di cifra Fc = 1 Mbit/s. Per tale segnale, solo

una delle due funzioni di trasferimento rappresentate in Figura 12 appartiene alla classe di Nyquist e consente dunque di annullare l'interferenza di intersimbolo (ISI). Individuare tale funzione, giustificando la risposta, e determinare, per la funzione di trasferimento che non annulla l'ISI, l'entità del rapporto tra segnale utile e disturbo in corrispondenza del generico istante di decisione.

H (f)

ff–f

1

1

1

0 1

H (f)

ff–f

2

2 2

1

0

f1 = 1 MHz f2 = 0.75 MHz

Figura 12

Soluzione La funzione che appartiene alla classe di Nyquist è chiaramente la H1(f). Per essa è infatti verificata

la condizione

Ho f o( )= H1 fo + nFc(n=

)– ∞

+∞

∑ = costante , (E.1)

con fo frequenza generica.

In termini più immediati, vale la rappresentazione grafica di Figura 13, che conferma direttamente l’asserto.

H (f)

f

11

0cFc –F c–F /2 cF /2

Figura 13

11

Viceversa, non appartiene alla classe di Nyquist la funzione H2(f) che, pur essendo un filtro passa-basso ideale, non è però caratterizzata dalla corretta frequenza di taglio, essendo f2 ≠ mFc/2 (con m

intero, in particolare uguale 1). Le conclusioni appena tratte possono ovviamente essere confermate calcolando le risposte impulsive hi(t), i = 1, 2, associate alle funzioni di trasferimento assegnate. In particolare per h2(t) (antitrasformata di H2(f)) questa valutazione è indispensabile per poter continuare l’esercizio.

In effetti, ambedue le antitrasformate possono essere calcolate applicando la proprietà di dualità. E’ infatti noto che

2

2

2

2

2T

2Tsin

TT

2Tsin4

)(STtper0

TtperTt

1)t(s

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

=ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

=ω⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤−= . (E.2)

Di conseguenza

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Ω>ω

Ω≤ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ω

ω−π

=ω−π⇔

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

Ω=

per0

per12)(s2

2t

2tsin

)t(S2

2

. (E.3)

Sostituendo la frequenza alla pulsazione, la (E.3) fornisce la seguente coppia trasformata-antitrasformata

12

2− ⇔

fF

Fsin tF

tFcc

c

c

( )( )

π

π , (E.4)

che si adatta perfettamente alla funzione H1(f): la sua espressione analitica è infatti proprio pari al primo termine della (E.4) (f1 = Fc). Dunque

h t Fsin tF

tFc

c

c1

2

2( )

(( )

=π

π

) , (E.5)

e questa funzione effettivamente si annulla per t = kTc = k/Fc, k = 1, 2, . . . . ., con ciò confermando

l’appartenenza alla classe di Nyquist. Viceversa, per calcolare h2(t), basta ricordare che

s tt t

tt S T

sin T

T( ) ( )=

≤

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

02

2

2

Δ

Δ Δ

Δ

Δω

ω

ω , (E.6)

12

donde, sempre in virtù della dualità

S tsin t

ts( ) ( )=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇔ =≤

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

ΩΩ

Ω

Ω

Ω22

2

12

02

πω

ω

ω . (E.7)

Questa seconda coppia trasformata-antitrasformata, particolarizzata al caso in esame ed espressa in frequenza, diventa

( )

h t fsin f t

f tH f

f ff f2 2

2

22

2

22

22

10

( ) ( )= ⇔ =≤>

⎧⎨⎩

ππ

. (E.8)

Osservando che f c234

= F , si può allora riscrivere

h t Fsin F t

F tc

c

c

232

32

32

( ) =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π

π . (E.9)

Questa funzione, calcolata in t = kTc, fornisce

h kT Fsin k

kc c2

32

32

32

( ) =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π

π . (E.10)

La (E.10) non si annulla per ∀k ≠ 0, confermando esplicitamente la non appartenenza di H2(f) alla

classe di Nyquist. Volendo determinare il rapporto tra segnale utile e disturbo in corrispondenza del generico istante di decisione si può prescindere, come si fa di solito, dal ritardo di propagazione. Il segnale utile si ottiene allora per k = 0, fornendo

s h Fu = =2 032

( ) c , (E.11)

mentre per il segnale di disturbo, essendo in questa schematizzazione il sistema non causale, si dovranno considerare i valori assunti dalle “code” di tutti gli impulsi che precedono ma anche di tutti quelli che seguono, in corrispondenza dello stesso istante di decisione. In questa valutazione, ha senso considerare, cautelativamente, la situazione più sfavorevole. Ipotizzando che la trasmissione considerata sia di tipo bipolare (quindi costituita da sequenze di simboli ad esempio pari a ±1) si dovrà allora far riferimento alla particolare sequenza (non necessariamente unica) per

13

cui tutti i contributi interferenti sono positivi. Sotto questa ipotesi, per il valore massimo del segnale di disturbo si ha allora

( ) ( ) ∑∑∑∞+

=

∞+

≠−∞=

∞+

≠−∞= π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

==1k

c

0kk

c

0kk

c2maxd

23k

23ksin

F3

23k

23ksin

F23kThs . (E.12)

Corrispondentemente, il rapporto tra segnale utile e disturbo assumerà il valore minimo7

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++++

π=

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∑∞+

=

.....111

91

71

51

311

143

23k

23ksin

2

1ss

1k

mind

u . (E.13)

* * *

Esercizio n. 2 Lungo un mezzo trasmissivo caratterizzato dalla risposta impulsiva

h t zz

t z s t zG( , ) exp ( ) (= − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⋅ −α

τ )τ

, in cui sG rappresenta un segnale a gradino unitario,

vengono inviati impulsi rettangolari di durata 5 ns. Posto τ = 5 μs/km, α = 1 km/ns, calcolare la massima frequenza di cifra impiegabile in funzione della distanza z, volendo tollerare una interferenza di intersimbolo non superiore a –40 dB nell’istante ottimo di decisione.

Soluzione Si incominci con il rappresentare graficamente la risposta impulsiva della rete, così come viene fatto in Figura 14. In effetti, come messo in evidenza dalla figura e, ancora più esplicitamente, dal testo, la risposta impulsiva è una funzione anche di z e, all’aumentare di quest’ultima, da una parte l’istante iniziale si sposta (prefissato τ) verso destra, e dall’altra la costante di decadimento dell’esponenziale si riduce (per un dato α). Esplicitamente, posto z2 > z1, si ha dunque la situazione rappresentata

graficamente in Figura 15. In questo senso acquista significato la tesi dell’esercizio, la quale chiede la determinazione della massima frequenza di cifra impiegabile ma in funzione della distanza z, in quanto l’interferenza di intersimbolo sarà essa stessa legata alla distanza percorsa.

7 Si può osservare che la serie a denominatore della (E.13) risulta divergente (per la verifica basta applicare il criterio di confronto, assumendo come riferimento la serie armonica, notoriamente divergente). Questo significa che all'aumentare del numero dei contributi all'ISI il rapporto tra segnale utile e disturbo tende a zero. Questa conclusione, peraltro ragionevole nell'ipotesi cautelativa formulata, non è comunque significativa dal punto di vista fisico in quanto, in pratica, il numero di termini della sequenza sarà in ogni caso finito.

14

Il segnale di ingresso, da interpretarsi come segnale in uscita dalla rete di formazione degli impulsi, nel sistema di trasmissione assegnato, è invece costituito da una successione periodica di impulsi rettangolari8, di durata T = 5 ns e periodo Tc incognito. Si ha dunque l’andamento rappresentato in

Figura 16.

0

1

h(t)

tτz

Figura 14

0

1

h(t)

tτz1 τz2

z

Figura 15

Esclusivamente per motivi di semplicità, si è ipotizzato che il primo impulso sia centrato nell’istante t = 0. Il modo più semplice e convincente per risolvere l’esercizio (evidentemente non unico, nella misura in cui l’analisi potrebbe pure essere approntata nel dominio della frequenza) consiste allora nel calcolare la risposta del sistema al singolo impulso applicato, al fine di valutarne la distorsione a seguito del transito attraverso il mezzo trasmissivo preso in esame. In luogo dell’intero segnale si(t)

8 La effettiva successione degli impulsi, in cui si alterneranno livelli bassi e livelli alti, dipende ovviamente dalla sequenza di informazione emessa dalla sorgente. Nondimeno, visto che lo scopo dell’esercizio è quello di determinare l’entità del disturbo dovuto all’interferenza di intersimbolo, è opportuno riferirsi alla situazione più sfavorevole che, stante il carattere unipolare della trasmissione, è ovviamente costituita da una successione pressoché continua di livelli alti.

15

si considererà allora, in questa prima fase, la sua sola parte significativa (o rappresentazione elementare, entro un periodo) sio(t), illustrata in Figura 17.

. . .. . .

s (t)i

A

T

Tc

t

Figura 16

0

sio (t)

t

A

Figura 17

Il sistema è lineare; dunque la risposta si otterrà dalla convoluzione del segnale di ingresso e della risposta impulsiva stessa. In formule suo(t) = sio(t)*h(t,z) . (E.14) Esplicitando la convoluzione, si avrà

; (E.15) s t h z s t duo io( ) ( , ) ( )= −−∞

+∞

∫ ϑ ϑ ϑ

entro integrale, la distanza z svolge ovviamente il ruolo di parametro, del tutto indipendente dalla variabile di integrazione. Al fine di calcolare la convoluzione, costruiamo il segnale sio; le due fasi “canoniche”, di inversione

dell’asse e traslazione, sono illustrate in Figura 18.

16

Per la risposta impulsiva si ha invece l’andamento già riportato in Figura 14 e comunque

replicato, per maggior chiarezza, in Figura 19 (tenendo anche conto del cambiamento nella denominazione della variabile temporale).

h z( , )ϑ

0

sio(-θ)

θ

A

T/2-T/2

sio (t-θ)

θ

A

T/2+t-T/2+t0

Figura 18

0

1 h(θ)

θ τz Figura 19

17

A questo punto, la convoluzione dei due segnali può essere calcolata facilmente. L’integrale di sovrapposizione assume forme diverse a seconda del valore di t. In dettaglio, è immediato verificare quanto segue:

a) per T t z t z T2 2

+ < ⇒ < −τ τ , la situazione è illustrata in Figura 20, e quindi si ha

suo(t) = 0 ; (E.16)

θ

Figura 20

b) per − + ≤ ≤ + ⇒ − ≤ ≤ +T t z T t z T t z T2 2 2 2

τ τ τ , si ricava la Figura 21, donde risulta

s t Az

z d z Az

z

z Az

t T z

uoz

T t

z

T t

( ) exp ( ) exp ( )

exp

/ /

= − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

= − − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+ +

∫α

ϑ τ ϑα

αϑ τ

αα

τ

τ τ

2 2

21

; (E.17)

θ

Figura 21

18

c) infine per − + > ⇒ > +T t z t z T2 2

τ τ , si ha la situazione illustrata in Figura 22, e quindi

s t Az

z d z Az

z

z Az

t T zz

t T z

uoT t

T t

t T

t T

( ) exp ( ) exp ( )

exp exp

/

/

/

/

= − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

= − − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

− +

+

−

+

∫α

ϑ τ ϑα

αϑ τ

αα

τα

τ

2

2

2

2

2 2

. (E.18)

θ

Figura 22

Ricapitolando il risultato ottenuto e rielaborando, in particolare, l’ultima espressione con algebra elementare, si può concludere che

suo(t) = 0 per t z T< −τ

2 (E.19a)

s t z Az

t T zuo ( ) exp= − − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭α

ατ1

2 per τ τz T t z T

− ≤ ≤ +2 2

(E.19b)

( )s t z Az

t z sinh Tzuo ( ) exp= − −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22α

ατ

α per t z T

> +τ2

(E.19c)

Il corrispondente andamento grafico è riportato in Figura 23.

19

suo (t)

tτz-T/2 τz+T/2

B

Figura 23

In particolare, con semplici calcoli, è immediato ricavare il valore massimo (in figura indicato con B) che sarà pari a

B s z T z Az

Tuo= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥τ

αα

21 exp . (E.20)

Il segnale di uscita è ritardato di τz rispetto a quello di ingresso in ragione della forma della risposta impulsiva mentre, per il resto, lo smussamento della forma d’onda di uscita poteva essere previsto guardando alla funzione di trasferimento (Trasformata di Fourier della risposta impulsiva) del sistema. Come tutti i canali fisici, infatti, anche quello in esame attenua le frequenze più elevate (responsabili, appunto, delle transizioni veloci necessarie per la ricostruzione delle discontinuità). L’istante ottimo di decisione è evidentemente quello in corrispondenza del quale il segnale di uscita risulta massimo. Per sovrapposizione degli effetti, l’analisi svolta consente di tracciare immediatamente l’andamento del segnale di uscita complessivo, che avrà allora l’andamento riportato in Figura 24.

tTc

Figura 24

20

La figura mette in evidenza, coerentemente con il concetto di interferenza di intersimbolo, che la “coda” del generico impulso si sovrappone al valore dell’impulso successivo in corrispondenza dell’istante, distanziato di Tc, in cui quest’ultimo dovrebbe essere rivelato. E lo stesso vale,

ovviamente, per tutti gli impulsi successivi. Peraltro è interessante rilevare che, a seguito della causalità del sistema, ciascun impulso contribuisce all’interferenza soltanto con la propria “coda in avanti”, disturbando cioè soltanto gli impulsi che lo seguono e non quelli che lo precedono. Per procedere, ora, alla valutazione dell’entità del disturbo, valutiamo suo(t) in corrispondenza degli istanti t = τz + T/2 + kTc, con k = 1, 2, . . . . ., coincidenti, come detto, con gli istanti di decisione (e

quindi di rivelazione degli impulsi) successivi. Sulla base della (E.19c), è immediato dedurre

s z T kT z Az

kTz

Tuo c cτα

α+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥2

1exp exp α . (E.21)

Considerando che il generico impulso preso in esame è preceduto, almeno in linea di principio, da un’infinità di impulsi distorti, ciascuno contribuente all’interferenza di intersimbolo in ragione del fattore sopra riportato, con k intero variabile in funzione della distanza dal particolare impulso preso in esame (ovvero dal corrispondente istante di decisione) è immediato trarre la conclusione che, al fine del soddisfacimento della specifica assegnata, dovrà essere verificata la condizione

s z T kT

s z T

uo ck

uo

τ

τ

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤=

∞

∑ 2

2

1100

1 . (E.22)

Nella (E.22), in virtù delle considerazioni sin qui svolte, il numeratore rappresenta il disturbo (Ad) ed il denominatore il segnale utile (Au). Il rapporto tra queste due quantità deve essere minore di

1/100, corrispondente, in unità assolute, alla specifica assegnata di –40 dB. Occorre infatti tener presente che il rapporto in questione è tra livelli di ampiezza e non di potenza, sì che la sua misura in dB è pari a 20·log10(Ad/Au).

Aggiungendo e togliendo, a numeratore della (E.22), la quantità s z Tuo τ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2

, vale a dire il

denominatore, si ottiene

s z T kT s z T

s z T

uo c uok

uo

τ τ

τ

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤=

∞

∑ 2 2

2

1100

0 , (E.23)

e quindi

21

s z T kT

s z T

uo ck

uo

τ

τ

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ +=

∞

∑ 2

2

1 1100

0 . (E.24)

Sostituendo le espressioni più sopra ricavate si ottiene

z Az

Tz

kT

z Az

T

ckα

α α

αα

1

11 1

1000

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

≤ +=

∞

∑exp exp

exp , (E.25)

e quindi

exp −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ +=

∞

∑ αz

kTck 0

1 1100

. (E.26)

In questa disequazione, l’espressione a primo membro costituisce una serie geometrica di ragione

qz

Tc= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

exp α . Essendo q sicuramente minore dell’unità essa converge al valore

1

11

1−=

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

qz

Tcexp α , (E.27)

In definitiva, sostituendo nella (E.26), si conclude che deve essere soddisfatta la seguente condizione

1

11 1

100− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ +exp α

zTc

, (E.28)

e di qui, con semplici elaborazioni algebriche, la seguente

exp αz

Tc⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≥ 101 . (E.29)

Dalla (E.29) può essere esplicitato Tc, che sarà dato da

Tce≥

log 101α

z , (E.30)

e infine, sostituendo i valori numerici

22

, (E.31) Tc ≥ 4 62. z ove il coefficiente 4.62 è espresso in ns/km. La frequenza di cifra Fc è ovviamente definita come il reciproco del periodo di cifra, per cui,

invertendo la precedente

Fzc ≤

0 22. , (E.32)

ove il coefficiente 0.22 ha in questo caso le dimensioni di km/ns. Più esplicitamente, allora, si potrà scrivere, in definitiva

( )F Gbit sz kmc /

.( )

≤022 . (E.33)

Un grafico del valore massimo di Fc è riportato, in funzione di z, in Figura 25. La figura lascia intendere che per z molto bassi siano utilizzabili valori di Fc arbitrariamente elevati. In realtà, un limite inferiore per Tc (e dunque superiore per Fc) è dato dal fatto che Tc non può essere minore della durata dell'impulso T. Essendo T = 5 ns, dovrà dunque risultare Fc ≤ 0.2 Gbit/s, e ciò fa sì che

la Figura 25 (ovvero la formula (E.33)) possa essere utilizzata solo per z ≥ 1.1 km. Per distanze minori si dovrà assumere per Fc il valore limite suddetto.

0.01

0.1

1

0 2 4 6 8 10

(Fc) m

ax

[G

bit/s

]

z [km]

Figura 25 In chiusura dell’esercizio, sembra interessante sviluppare qualche ulteriore osservazione. In particolare, l’espressione (E.30) mette chiaramente in evidenza che il massimo valore ammissibile per Fc non dipende né dal ritardo τ introdotto dalla risposta impulsiva, né dalla durata T del singolo

impulso. Mentre la prima conclusione sembra in qualche modo ovvia e prevedibile a priori, non altrettanto si poteva forse dire per la seconda. In effetti, l’entità del segnale utile, e parimenti del disturbo, in un certo istante dipende dalla durata dell’impulso. Ciò è chiaramente evidenziato

23

nell’espressione di s z T kTuo cτ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

fornita dalla (E.21). Nondimeno, come i calcoli seguenti a

quella formula dimostrano (si veda, in particolare, la (E.25)) questa dipendenza si elide nel rapporto disturbo-segnale. Questo è certo conseguenza della particolare struttura del legame ingresso-uscita e, più in generale, si giustifica con la linearità del sistema: disturbo e segnale utile provengono, infatti, dalla stessa funzione, e si modificano allo stesso modo al variare di T.

24