Interazione terreno-struttura per il calcolo dei cedimenti delle

fondazioni dirette.

Cause dei cedimenti

1. Deformazioni per effetto di carichi applicatidirettamente alla fondazione o nelle vicinanze

2. Variazioni del regime idrico nel sottosuolo

3. Vibrazioni indotte da scosse sismiche, infis-sione di pali, macchinari pesanti (sabbie)

4. Saturazione di terreni metastabili (loess,pozzolane); rigonfiamento di argille espansive

5. Altre cause: scavi a cielo aperto o in sotter-raneo; erosione interna, ……

Nei casi 1, 2 e (in parte) 5, sono possibili previ-sioni quantitative.

Negli altri casi possibile previsione qualitativa e prevenzione con opportuni provvedimenti di progetto (irrigidimento; giunti; trattamento deiterreni di fondazione; opportuna modifica deltipo di fondazione)

Interazione terreno-struttura

• tre componenti: sovrastruttura,fondazione e terreno

• incognite iperstatiche sia le azionitrasmesse dalla fondazione al terreno,sia le azioni trasmesse dalla sovrastruttura alla fondazione

Diversi livelli di semplificazioneper diverse finalità dell’analisi

Progetto della struttura di fondazione

Studio dell’interazione a tre componenti

• si trascura la struttura di fondazione• si assumono note le azioni agenti sulterreno (quasi sempre, carichi uniformemente distribuiti con intensitàcostante)

• si trascura la sovrastruttura

• si trascura la sovrastruttura e quindi siassumono note le azioni sulla fondazione

• si studia l’interazione tra fondazione e terreno e si determinano le

caratteristiche della sollecitazione

• per valutare gli effetti delle deformazionisulla sovrastruttura

Calcolo del cedimento

• si tiene conto dell’influenza della struttura con metodi approssimati

w(t) = wo + Uwc

per t = 0, U = 0; w = wo

per t = ∞, U = 1; w = wo + wc = wf

Fenomenologia

Fasi del calcolo1. Calcolo degli incrementi di tensione nel sottosuolo

2. Determinazione sperimentale delle caratte-ristiche tensioni-deformazioni-tempo dei ter-reni e scelta dei valori rappresentativi (mezzonon lineare e non elastico; necessità di tenereconto del livello tensionale e della storia delletensioni)

3. Calcolo delle deformazioni unitarie e loro integrazione

4. Calcolo del decorso nel tempo

Il calcolo presenta aspetti alquanto diversi aseconda che si abbia a che fare con terreni agrana fina (limi, argille) o a grana grossa (sabbie, ghiaie)

Nei terreni a grana fina, che esaminiamo per primi, la fase 2 può essere svolta agevolmente con provedi laboratorio su campioni indisturbati. La fase 4 ha notevole rilievo pratico

Soluzione di Boussinesq (1885)

Coordinate cilindriche r, z, θCondizioni di simmetria: uθ= τrθ = τzθ= 0

Condizioni di contorno

r > 0, z = 0 ⇒ σz = 0; τrz= 0

r = 0; z = 0 ⇒ lo stato tensionale fa equilibrio alla forza P

z → ∞, r → ∞ ⇒ σij = 0

R2 = r2 + z2

( ) ( )

( ) ( )

+−+=

=

+−−+=

2

2

1221

0

2121

R

z

RE

Pu

u

zR

r

R

rz

RE

Pu

z

r

νπ

ν

νπ

ν

θ

·cosψ

·senψ

E’ facile verificare che per R → ∞ tuttele componenti di tensione e di spostamentotendono a zero

Per z = 0, R ≠ 0 ⇒ σz = τrz = 0

Resta da verificare che lo stato tensionale nell’origine eguagli la forza P

Per i punti sulla semisfera:

R = az = a·cosψr = a·senψ

( ) ψπ

ψψψπ

22

4222

cos2

3coscos

2

3

a

Psen

a

PTz =+=

Tza·senψ

Risultante delle azioni verticali su una striscia:

ψψψψπψ dPsensenadaTz ⋅⋅=⋅⋅⋅ 2cos32

Risultante delle azioni verticali sulla semisfera:

=

=ψ

ψ

στσ

τσ

θθ

cos

0

0

00

0

T

sen

T

T

T

zrz

rzr

z

r

=

+

=z

rI

z

P

zr

z

Pz σπ

σ252

2

1

1

2

3

Tensione normale verticaleindipendente da E, ν

Lungo una retta uscente dall’originela tensione diminuisce al crescere di z

PdPsen =⋅⋅∫ ψψψπ

2

0

2cos3

Le soluzioni proposte del problema di Boussinesq soddisfano l’equilibrio !

Diffusione delletensioni nel sottosuolo

qzσ

B

z

B

q

z

Distribuzione nel sottosuolo delletensioni al di sotto di un’area circolaresoggetta ad un carico uniformementedistribuito con intensità costante q

Diffusione delle tensioni nel sottosuolo

• le tensioni si riducono allontanan-dosi dal punto di applicazione del carico

• gli incrementi di tensione interes-sano anche zone al di fuori dellaimpronta in pianta del carico

• vi sono quindi cedimenti anche al di fuori della impronta in pianta del carico

• a parità di carico unitario, il cedi-mento dipende dalle dimensioni in pianta del carico

H

B

∆H = w

H1=Vs(1+e1) H2=Vs(1+e2)

∆p

11

21 1H

e

eHHw

+∆=−=

∆H = VS(e1-e2)

VS=H1/(1+e1)

Condizioni edometriche(B >> H)

21

11ee

e

w

HE zz

z

zed −

+=== σσεσ

Metodo Edometrico(Terzaghi, 1924)

IPOTESI

dzE

w

EH

ed

zed

ed

zz

yx

∫=

=≠

==

0

0

;0

σ

σε

εε

H

B

Per B >> H, wf = wed

Negli altri casi, wf ≈ wed

Metodo Edometrico(Terzaghi, 1924)

( )[ ]

( )

2

2

x

21

1

121

121

1 0

1

ννν

εσ

νννσσ

νννσε

σν

νσσεε

σσνσε

−−−==

−−−=

−−=

−==⇒==

+−=

EE

EE

con

E

z

zed

zzzz

zyxy

yxzz

∞=⇒==⇒=

ed

ed

Eper

EEper

0,5

0

νν

Mezzo elastico lineare omogeneo ed isotropo

dzE

wwH

ed

zedf ∫=≈

0

'σ

Metodo Edometrico(Terzaghi, 1924)

σ’v=γ’٠z

z

Campioneindisturbato

Retta vergine

e

lg ppc~σ’v

Terreno normalmente consolidato

σ’v=γ’٠z

z

zO

Campioneindisturbato

Rettavergine

lg pσ’v=γ’٠z pc=γ’٠zO

e

Terreno sovraconsolidato

Approssimazione del metodo edometrico

Esperienze ed analisi di Burland (1967)

Metodo di Skempton e Bjerrum(Skempton, Bjerrum, 1957)

• il cedimento di consolidazione èprovocato dalla dissipazione di uo, e

non da σz; esso viene calcolato con il metodo edometrico;

Ipotesi:

•il cedimento istantaneo o non drenato wo viene calcolato in termini di tensioni totali

con ν = 0,5 ed E = Eu

Cedimento immediato(non drenato, distorsionale)

( )[ ]

B

dz

qqE

qB

dzE

dzw

yxz

u

yxzu

z

∫

∫∫

∞

∞∞

+−=

=+−==

0

00

5,0

5,01

σσσ

σσσε

wu

o IE

qBw =

OCR Eu/cuIp < 0,3 Ip=0,3 ÷

0,5Ip > 0,5

< 3 800 400 200

3 ÷ 5 500 300 150

> 5 300 200 100

Valori tipici del rapportoEu/cu

uo E

qBw 10µµ=

Cedimento immediato o non drenato

1µµowI =

∑

−

=−

n

iu

ii

oo E

BH

BH

qBw1 ,

111 µµ

µ

Cedimento di consolidazione

( )dz

E

Adz

E

uw

H

ed

H

edc ∫

∆−∆+∆=∫=0

313

0

0 σσσ

In asse alla fondazione si ha:

dzE

wH

eded ∫

∆=0

1σ

da cui, assumendo Eed = cost.; A = cost.

( )

∫∆

∫∆=

−+==

H

H

edc

dz

dz

AA

ww

01

03

1

σ

σα

αββ

Rapporto fra cedimento immediatoe cedimento finale

Argille sovraconsolidate

Teoria elastica: wo/wf = 0,25 ÷ 0,70

Simons & Soms, 1970 (12 edifici)wo/wf = 0.32 ÷ 0,84 (media 0,6)

Morton & Au, 1974 (8 edifici su L.C.)

wo/wf = 0,4 ÷ 0,8 (media 0,6)

Argille normalmente consolidate

Teoria elastica: wo/wf ≈ 0,1Simons & Soms, 1970 (9 edifici)wo/wf = 0.08 ÷ 0,21 (media 0,16)

Decorso nel tempo rapido; importanza (e possibilità)di una corretta valutazione di wo

Decorso nel tempo lento; difficoltà (e scarsa importanza) di una corretta valutazione di wo

Indicazioni empiriche(Padfield & Sharrock, 1983)

Da un ampio riesame della evidenzasperimentale, eseguito per conto

di CIRIA, Padfield e Sharrock traggonole seguenti indicazioni:

Metodo di Skempton & Bjerrum

Argille molli (N.C. o lievemente O.C.)

wo = 0,1 wed

wc = wed

wf = 1,1 wed

Argille fortemente O.C.

wo = 0,5 ÷ 0,6 wf

wc = 0,4 ÷ 0,5 wf

wf ≈ wed

Argille sensibili β = 1,0 ÷ 1,2

Argille N.C. β = 0,7 ÷ 1,0

Argille O.C. β = 0,5 ÷ 0,7

Arg. fortemente O.C. β = 0,2 ÷ 0,5

Decorso dei cedimenti nel tempo

Relazione di continuità della fase fluida:

( )zyxtdivV εεε ++

∂∂=

→

Per un mezzo elastico ed isotropo di costantielastiche E e ν si ha:

( ) ( )

( )

∂∂−

∂∂−=−++

∂∂−=

=++∂∂−=++

∂∂

t

u

t

T

Eu

tE

tEt

zyx

zyxzyx

321

321

'''21

νσσσν

σσσνεεε

yyx σσσ ++=Tcon

D’altro canto si ha:

uk

z

h

y

h

x

hk

z

V

y

V

x

VVdiv

w

zyx

22

2

2

2

2

2∇−=

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

=∂

∂+∂

∂+

∂∂=

→

γ

( ) t

T

t

uucu

kEv

w ∂∂−

∂∂=∆=∆

− 31

2132

32

νγequazione della teoria della consolidazionetridimensionale “accoppiata” di Biot – Mandel

In regime piano nel piano x,z:

( )

( )( )ννγ

σσ

2112

:con

21

2

2

2

2

2

2

−+=

+∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂

wv

zxv

kEc

tt

u

z

u

x

uc

In regime unidimensionale secondo l’asse z:

( )( )( ) w

ed

wv

zv

kEkEc

tt

u

z

uc

γννγν

σ

=−+

−=

∂∂−

∂∂=

∂∂

2111

:con

1

2

2

1

Teoria unidimensionale di Terzaghi

tt

u

z

uc zv ∂

∂−∂∂=

∂∂ σ

2

2

Per l’equilibrio, il secondo termine a secondomembro può essere diverso da zero solo sevaria il carico che genera lo stato tensionale nel tempo. La soluzione si esprime:

tH

cTT

H

zf

u v2

:con , =

=σ

Grado di consolidazione in termini di w:

( ) ( )of

o

ww

wTwTU

−−=

E, con wo= 0 (schema edometrico):

( )cw

TwU =

Grado di consolidazione in termini di u

( )∫

∫ ⋅−=

H

o

H

dzu

dzu

TU

0

01

Per un mezzo lineare, le due espressionidel grado di consolidazione coincidono

Teoria unidimensionale di Terzaghi

Possibili casi di consolidazioneunidimensionale

U

Caso 1σ = cost

U

Caso 2 –σ = cost.H

z

2

Caso 1σ = bT

Caso 2σ = bT

( ) ( ) ( ) ( )[ ] σ∆++++−=∆+ 1,,1,31

, ituituituittu

∆z

Metodo alle differenze finite

3

12 =∆Tn

de = 0,91 s per maglia triangolarede = 1,13 s per maglia quadrata

U = 1- (1-Uv)(1 – Uh)Carrillo (1942)

2e

hh

d

tcT =

Cedimenti delle fondazioni

su

terreni incoerenti

Metodi basati sul CPT

Metodo di De Beer

E = kqc

Eed = (1,2 ÷ 1,5)E

Tipo di terreno k

Sabbia limosa 1,5

Sabbia mediamente addensata

2

Sabbia densa 3

Sabbia e ghiaia 5

Metodo di Schmertmann

1,0)(

lg2,01

5,0'

5,01

I

q

:

2

,1

z

1

,21

annitC

qC

esimoo iello stratspessore dz

esimostrato i

dello ormabilitàulo di defmodE

zionedi deformafattore

tocarico net

qualenella

zE

IqCCw

ov

i

i

i

n

i

iz

+=

≥

−=

−=∆−

==

=

∆⋅= ∑

σ

Ei = 2,5 qc per fondazione circolareo quadrata (L/B=1)

Ei = 3,5 qc per fondazione a strisciaindefinita (L/B > 10)

Metodi basati sullo SPT

Metodo di Terzaghi e Peck

L’abaco fornisce il valore di q (carico totale) che, applicato ad una fondazione di larghezza B,provoca un cedimento di 2,5 cm

N è il valore medio del numero di colpi SPTfra le profondità D e D+B

In presenza di sabbie fini sotto falda, siassumerà un numero di colpi correttoN’ = 15 +0,5(N – 15); la correzione si applicasolo per N > 15

L’abaco è valido per Dw > (D + B). Se Dw = D, il valore di q deve essere dimezzato per D = 0 e ridotto del 25% per D = B. Nei casi in cuiD < Dw < (D+B) si interpola linearmente

Il cedimento sotto un carico qualsiasi si ottieneistituendo una proporzionalità diretta tracarichi e cedimenti

Il metodo conduce in genere ad una sensibilesopravvalutazione del cedimento

Metodo di Burland e Burbidge

−= cv IBqCCCw 7,00,321 '

32σ

nella quale:q = carico totaleσ’vo = pressione effettiva litostatica alla

profondità DB = larghezza della fondazioneIc = indice di compressibilitàC1 = coefficiente di formaC2 = coefficiente di spessore dello

strato deformabileC3 = coefficiente di tempo

La formula è valida per q > σ’v,o

4,1706,1

avc

NI =

Nav= valor medio di N nella profondità diinfluenza Z

Se N decresce con la profondità, Z = 2BSe N è costante o crescente con la profondità, Z è fornito dalla tabella

B (m) Z (m)

2 1,63

3 2,19

5 3,24

10 5,56

30 13,00

50 19,86

100 34,00

• Per sabbie fini sotto falda, si applicaad N la correzione di Terzaghi e Peck

3)(

lg1

2

25,0

25,1

33

2

2

1

annitRRC

Z

H

Z

HC

BL

BL

C

t++=

−=

+=

R3 = 0,3 per carichi fissiR3 = 0,7 per carichi ciclici o dinamici

Rt = 0,2 per carichi fissiRt = 0,8 per carichi ciclici o dinamici

σ

ε

Sabbia sciolta

Sabbia densa

E dipende da DR, dalla storia delle solleci-tazioni e dalla tensione effettiva in sito

qc e NSPT dipendono da DR e dalla tensio-ne effettiva in sito

(mm/kPa)

• cedimenti in generale di entità ridotta

• cedimenti differenziali proporzional-mente elevati

• decorso nel tempo rapido (vantaggi e inconvenienti)

Jeyapalan and Boehm (1986) analizzarono 71 casehistories e confrontarono l’accuratezza di novemetodi per il calcolo dei cedimenti. Il metodo diSchultze & Sherif (1973) e quello di Schmertmann(1978) risultarono i più accurati ed affidabili.

Tan and Duncan (1991) controllarono l’affidabilità e l’accuratezza di 12 metodi per la stima dei cedimenti delle fondazioni su sabbie basandosi su 76 case histories.

Poulos et al. (2001) riportano i dati di un Simposio di previsione di classe A

(Briaud & Gibson, 1994) – Plinto 3 m x 3 m con carico di 4000 kN corrispondente ad un

coefficiente globale di sicurezza di circa 2,5