10/04/23 1

InsiemiInsiemi

10/04/23 2

Possiamo precisare il concetto di insiemeinsieme (termine primitivo)

come un aggregato di oggetti determinati e distinti

Possiamo precisare il concetto di insiemeinsieme (termine primitivo)

come un aggregato di oggetti determinati e distinti

Se gli elementi di un insieme sono elencabili tutti, si dice finitofinito, altrimenti infinitoinfinito.

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Esempi:

1L’insieme dei giorni di una settimana

Insieme finito

2 L’insieme dei numeri pari

Insieme infinito

3 L’insieme dei corpi freddi

Non è un insieme !!

10/04/23 4

Possiamo rappresentare un insieme nei seguenti tre modi:

1 Mediante una proposizione che indica la proprietà caratteristica.

A = {x | x è un giorno della settimana}B = {x | x è pari}C = {x | x è un numero divisore di 20}

2 Elencando gli elementi dell’insieme.

A = {lunedì, martedì,….,domenica}B = {0,2,4,6,8,10,12,...}C = {1,2,4,5,10,20}

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3 Mediante diagramma di Eulero-Venn.

BUUinsieme universo 0

2

46

8

10 12

1

35

7

9

11

B = {x | x è pari}

Scriviamo:

B6 Simbolo di appartenenza

B5 Simbolo di non appartenenza

10/04/23 6

Due insiemi si dicono uguali quando possiedono gli stessi elementi.

Un insieme A si dice sottoinsieme di B quando ogni elemento di A appartiene anche a B.

ABscriviamo:

BA

scriviamo: A = B

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L’insieme vuoto è un insieme privo di elementi.

scriviamo:

Esempi:

A = {x | x è positivo e minore di -1}B = {x | x2 < 0}C = {x | x è un mese di 32 giorni}

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Dato un insieme A, l’insieme delle parti è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi di A.

Esempio:

scriviamo: P(A)

cbaA ,,

P(A) = {A,,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}Esercizi: Trovare l’insieme delle parti dei seguenti insiemi

4,3,,1 cA 4,1B 7,4,,caC

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Si dimostra che se A è formato da n elementi allora l’insieme delle parti è formato da 2n elementi.

Si dimostra che se A è formato da n elementi allora l’insieme delle parti è formato da 2n elementi.

Aa

b

c

P(A)A

{a} {b} {c}

{a,b}{a,c} {b,c}3 elementi

823 elementi

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OPERAZIONI FRA INSIEMIOPERAZIONI FRA INSIEMI

1 COMPLEMENTARECOMPLEMENTARE

AB

a fh

e

g

db

cm

CB(A) = { b, d, e, g, }

Se AB si chiama complementare di A rispetto a B l’insieme degli elementi di B

che non appartengono ad A.

Se AB si chiama complementare di A rispetto a B l’insieme degli elementi di B

che non appartengono ad A.

m

CB(A) = CB(A) = AxBxx e| AxBxx e|

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Domande: CA(A) = CA() = A

CB(CB(A)) = A

AB

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2 UNIONEUNIONE

A B = { a, b, c, d,

Si chiama unione di A con B l’insieme degli elementi

appartenenti ad A oppure a B.

Si chiama unione di A con B l’insieme degli elementi

appartenenti ad A oppure a B.

e,

A B = A B = BxAxx o| BxAxx o|

A

B

a

de

c

lb

g

h

i

f

f, g, h, i, l }

10/04/23 13

Domande:

A B = B

A = A

A A = A

AB

Se AB allora

A CB(A) = B

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3 INTERSEZIONEINTERSEZIONE

A B = { c,

Si chiama intersezione di A con B l’insieme degli elementi

appartenenti ad A e a B.

Si chiama intersezione di A con B l’insieme degli elementi

appartenenti ad A e a B.

A B = A B = BxAxx e| BxAxx e|

A

B

a

de

c

lb

g

h

i

f

g}

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Domande:

A B = A

A =

A A = A

AB

Se AB allora

A CB(A) =

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4 DIFFERENZADIFFERENZA

A - B = { a, b,

Si chiama differenza fra A e B l’insieme degli elementi

appartenenti ad A ma non a B.

Si chiama differenza fra A e B l’insieme degli elementi

appartenenti ad A ma non a B.

A - B = A - B = BxAxx e| BxAxx e|

A

B

a

de

c

lb

g

h

i

f

f, l }

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Domande:

A - B =

A - = A

A - A =

AB

Se AB allora

A - CB(A) = AB - A = CB(A)

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5 DIFFERENZA SIMMETRICADIFFERENZA SIMMETRICA

A B = { a, b, d,

Si chiama differenza simmetrica fra A e B l’insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B ma

non alla loro intersezione.

Si chiama differenza simmetrica fra A e B l’insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B ma

non alla loro intersezione.

e,

A B =

A B =

BAxBxAxx eo| BAxBxAxx eo|

A

B

a

de

c

lb

g

h

i

f

f, h, i, l }

10/04/23 19

Domande:

A B = CB(A)

A = A

A A =

AB

Se AB allora

A CB(A) = BB A = CB(A)

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6 PRODOTTO CARTESIANOPRODOTTO CARTESIANO

A B = { (a,c), (a,e), (a,d),

Si chiama prodotto cartesiano di A e B l’insieme di tutte le coppie

del tipo (ai,bk), con ai A e bk B.

Si chiama prodotto cartesiano di A e B l’insieme di tutte le coppie

del tipo (ai,bk), con ai A e bk B.

(b,c),

A B =

A B =

BbAaba kiki e|),( BbAaba kiki e|),(

A

B

a

de

c

b

(b,e), (b,d),(c,c), (c,e),(c,d)}

10/04/23 21

Esempio:

Aa

1

2

3

4

5

B

Rappresentazione saggittale del prodotto cartesiano

BA (a,1),

b

(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3), (b,4), (b,5)}

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Esempio: Rappresentazione cartesiana del prodotto cartesiano

BA (a,1), (a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3), (b,4), (b,5)}

baA , 5,4,3,2,1B

A

B

a b

12345

10/04/23 23

1 Proprietà commutativa

ABBA ABBA

2 Proprietà associativa

CBACBA

CBACBA

10/04/23 24

3 Proprietà di idempotenza

AAA AAA

4 Proprietà distributiva

CABACBA

CABACBA

Dell’unione rispetto all’intersezione

Dell’intersezione rispetto all’unione

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Esercizi

1

Sia A={1,4,6}, B={2,3,4} e C={1,4,8}. Verificare che

ABBA

2 CABACBA

3 CABACBA

4 CBACBA

10/04/23 26

Esercizi

1

Sia A= {1,4,6} , B = {4,5,6} e C= {1,2,3,4,5,6}. Verificare che

2

CC(AB) = CC(A) CC(B)

CC(A B) = CC(A) CC(B)

Leggi di De MorganLeggi di De Morgan

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Partizione di un insiemePartizione di un insiemeA

A2

A3

A4

A1

A1 A2 A3 A4 =A

A1A2= A1A3=

A3A4=

A1A4=

……………...

I sottoinsiemi AI sottoinsiemi A11, A, A22, A, A33, A, A44, costituiscono una , costituiscono una partizionepartizione di A di A

1

2

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Domande:

1

Dire se costituiscono una partizione di NN, insieme dei numeri naturali, i seguenti sottoinsiemi.

A = {x | x è un numero pari}B = {x | x è un numero dispari}

SI

2 A = {x | x è un numero pari}B = {x | x è multiplo di 3}

NO

3A = {x | x è multiplo di 4}B = {x | x è dispari} NO

4A = {x | x 100}B = {x | x 100} NO