Insiemi

Alessandra Scuola Media Pattada A/S 2006/07 Prima A

CONCETTO DI INSIEME

INSIEME CARATTERISTICAOGGETTIVA

APPARTENENZAELEMENTI

Deve avere

Permette

di

stabilire

Degli

All’

E’

costituito

da

In matematica si dice insieme un raggruppamento di elementi distinti l’uno dall’altro e ben definiti in modo che si possa stabilire con assoluta certezza se un qualsiasi elemento appartiene o non appartiene all’insieme considerato.


Un po’ di insiemistica

In genere l’insieme viene indicato con una lettera maiuscola dell’alfabeto A, B, C, invece ogni suo elemento si indica con la lettera minuscola, a meno che non siano nomi propri.

L’appartenenza

Per indicare che l’elemento “a” appartiene all’insieme “A” , si scrive:a A nel quale il simbolo si legge: “appartiene a”,

Mentre per voler dire che l’elemento “f” non fa parte all’insieme “A”, si scrive:f A dove il simbolo si legge: ”non appartiene a”.


DIVERSI TIPI DI RAPPRESENTAZIONE PER ILLUSTRARE UN INSIEME

1. Rappresentazione per elencazione o tabulare

2. Rappresentazione per caratteristica

3. Rappresentazione tramite il diagramma di Eulero - Venn


Rappresentazione per elencazione

Questa rappresentazione è composta dagli elementi di un insieme entro due parentesi graffe, tutti gli elementi dell’insieme osservato devono essere sempre separati da un punto e virgola, in questo modo:

A = { Cagliari; Sassari; Nuoro; Oristano; Orosei }


Rappresentazione per caratteristica

Questa rappresentazione consiste nell’ indicare una proprietà comune a tutti gli elementi dell’insieme.Nell’esempio sottostante la caratteristica che gli elementi hanno in comune è che tutti sono capoluoghi di provincia della Sardegna.

A = { x | x è un capoluogo di provincia della Sardegna }

Si legge:“ L’insieme A è formato da tutti gli elementi x tale che ogni elemento x sia un capoluogo di provincia della Sardegna


Rappresentazione tramite il diagramma di Eulero-Venn

L’insieme dato si può rappresentare con una figura ovale, all’interno si scrivono gli elementi di un insieme indicati da un punto.Questo tipo di figura è chiamato diagramma di Eulero-Venn:

• Cagliari

• Sassari

• Oristano

• Olbia

• Nuoro

Gli elementi posti all’interno del diagramma appartengono all’ insieme A, mentre quelli posti fuori del diagramma non appartengono all’ insieme considerato.Così nella figura si osserva che Roma non fa parte dei capoluoghi della Sardegna

• Roma


INSIEMI FINITI, INFINITI VUOTI

Un insieme si dice finito se i suoi elementi sono limitati, invece quando gli elementi sono illimitati e in questo caso si dice insieme infinito.Per esempio l’insieme delle lettere dell’alfabeto appartengono ad un insieme finito, invece l’insieme dei numeri interi appartengono ad un insieme infinito.Se, invece, un insieme è privo di elementi si dice insieme vuoto e si indica con il simbolo Ø o { }. Esempi di insieme vuoto sono “l’insieme degli elefanti con due zampe” oppure “l’insieme degli uccelli senza ali ”.


SOTTINSIEMIValutiamo l’insieme A dei mammiferi e l’insieme B costituito solo da quei mammiferi che vivono nell’acqua. Osserviamo che l’insieme B è una parte di A, cioè costituisce un suo sottoinsieme. Una situazione di questo genere si indica con la seguente scrittura:

• canguro

• riccio

• coniglio

• marmotta• marmotta

• armadillo

Una rappresentazione di questo genere si indica con la seguente scrittura:

B a che si legge: “ B è sottoinsieme di A ” oppure “ B è incluso in A.Il simbolo è il simbolo di inclusione.

• delfino

• foca

Dati due insiemi A e B, si dice che B è incluso in A oppure che è un sottoinsieme di A, se ogni elemento di B è anche un elemento di A.


Intersezione di insiemiL’intersezione è un’operazione tra insiemi: due insiemi hanno degli elementi in comune. Si rappresenta nel seguente modo:

A• a

• b

•c

B

• d

• c

• e

• a • d

• b• e

A B

• c

C

L’insieme C è l’insieme intersezione.

In simboli:

C = A B


Insiemi disgiunti

Nelle teoria degli insiemi la disgiunzione è la relazione che esiste realmente fra due insiemi che non hanno alcun elemento in comune. In diverse parole, due insiemi A e B sono disgiunti se la loro intersezione è un insieme vuoto:

Mentre A e B non sono disgiunti, A e C sono disgiunti.

Sono disgiunti l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari.

A B = Ø


Insiemi equipotentiUn insieme si dice equipotente quando esiste una corrispondenza biunivoca con un altro insieme, cioè quando due insiemi hanno la stessa potenza come elementi.

La cardinalità di un insieme finito è il numero dei suoi elementi.

Se esiste una corrispondenza biunivoca, i due insiemi sono equipotenti, per esempio:

• b • 2

• a

• c

• 1

• 3

A B

Se invece tra A e B non esiste nessuna corrispondenza biunivoca, i due insiemi non sono equipotenti.Esempio:

• b

• 1• 2• 3• 4

• a

• c

A B

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