Insegnamento di Idrologia

Esercitazione n. 4

Si vogliono costruire delle opere di difesa lungo un affluente del torrente Staffora.Poiché non esistono osservazioni di portata, occorre stimare la portata di piena a partire da unoietogramma di progetto con tempo di ritorno di 30 anni.Il bacino a monte del tratto interessato dai lavori ha un'area di 26,45 km2. Il tempo dicorrivazione, stimato con la formula di Giandotti, è di 2,07 h.Per le elaborazioni sono disponibili le osservazioni effettuate alla stazione pluviometrica di Varzinel periodo 1927-1991, pubblicate nella tabella Precipitazioni di notevole intensità e brevedurata registrate ai pluviografi e nella tabella Precipitazioni di massima intensità registrate aipluviografi degli Annali Idrologici.Per le elaborazioni sono disponibili dei programmi di calcolo automatico.

Effettuare le seguenti elaborazioni:

1) Determinare la curva di possibilità climatica della pioggia puntuale corrispondente al tempodi ritorno di 30 anni.

2) Determinare, per il tempo di ritorno di 30 anni, lo ietogramma di progetto di Sifalda,ponendo la durata dello ietogramma uguale al tempo di corrivazione ed effettuando ilragguaglio della pioggia all'area del bacino in due modi diversi: assumendo un coefficientedi ragguaglio variabile e assumendo un coefficiente di ragguaglio costante.

3) Determinare la curva di possibilità climatica della pioggia ragguagliata corrispondente altempo di ritorno di 30 anni.

4) Determinare, per il tempo di ritorno di 30 anni, gli ietogrammi di progetto di Huffcorrispondenti ai quattro quartili e alla probabilità di non superamento 0,5, ponendo ladurata degli ietogrammi uguale al tempo di corrivazione.

5) Confrontare gli ietogrammi ottenuti. (Vale la pena di osservare, a proposito degliietogrammi di Huff, che l'area del bacino considerato è di molto inferiore a 50 mi2.)

Varzi: precipitazioni di notevole intensità e breve durata registrate al pluviografo (conl'eccezione dei valori contrassegnati con un asterisco, che sono precipitazioni di massimaintensità registrate al pluviografo)

Anno Durata [min]5 10 15 20 25 30 40 45 1h 2h

1927 30,01928 19,01934 19,0 53,01942 10,0*1943 20,0*1945 26,0*1946 10,0*1947 20,0*1948 21,0*1949 21,0*1950 40,0*1953 15,0 9,7 13,81954 13,5

11,021,0

1955 6,57,410,5

12,514,5

1957 9,612,014,020,0

16,021,0

1961 9,09,623,0

11,010,228,09,08,0

12,432,011,010,6

1962 18,0 20,0 23,01963 15,2 18,2 20,21964 10,2 23,21965 8,6 19,01966 8,8 12,01967 10,6 18,0 21,21968 14,8 17,4 19,01969 14,4 15,81970 17,4 18,41971 13,0 11,0 16,41972 20,6 28,4 20,81975 16,0

11,027,4 16,6

1976 17,21977 13,2 29,21978 18,01979 26,0 35,8

22,61980 9,4 29,0

(continua)

Anno Durata [min]5 10 15 20 25 30 40 45 1h 2h

1981 8,8 17,41982 16,6 24,41983 12,6 35,0 26,01984 14,0 15,01986 6,21987 12,0 17,4 27,81988 5,8 11,0 13,21989 11,6 16,8 19,01991 9,4 15,6 21,0

Varzi: precipitazioni di massima intensità registrate al pluviografo

Anno Durata [h] Anno Durata [h]1 3 6 12 24 1 3 6 12 24

1937 32,0 32,0 39,0 41,0 70,0 1968 21,8 26,0 30,0 36,4 49,01938 12,0 16,0 28,5 40,0 72,0 1969 25,4 54,8 73,2 75,0 79,41939 28,5 44,0 62,0 106,0 1970 18,4 20,4 29,2 51,4 84,61942 17,0 37,0 49,0 55,0 63,0 1971 20,2 24,0 29,8 33,8 44,81943 24,0 33,0 40,0 46,0 52,0 1972 29,0 30,0 32,6 35,0 48,01945 41,0 65,0 84,0 102,0 129,0 1976 24,0 30,2 49,4 65,4 86,61946 31,0 35,0 39,0 39,5 69,0 1977 18,4 31,0 38,8 66,4 113,41947 23,0 28,0 42,0 52,0 66,0 1978 35,2 41,0 45,0 49,0 71,41948 25,0 28,0 37,0 48,0 65,0 1979 32,6 35,8 35,8 50,0 81,21949 24,0 31,0 38,0 46,0 55,0 1980 31,8 37,0 59,6 80,4 109,41950 40,0 40,0 44,0 46,0 50,0 1981 20,0 31,0 42,4 43,0 50,41954 26,5 29,0 30,7 36,5 46,5 1982 24,4 32,8 63,4 71,8 96,61955 16,5 19,5 21,0 23,0 31,0 1983 61,8 73,0 78,0 78,0 78,01957 21,4 24,0 33,0 41,0 58,4 1984 26,2 41,2 45,4 57,0 57,01961 37,0 54,2 54,2 59,0 92,0 1985 14,6 38,2 40,6 43,0 44,81962 28,0 40,0 40,0 42,0 51,0 1986 14,8 22,0 32,6 35,4 41,61963 22,8 24,0 33,0 56,8 56,8 1987 50,8 57,2 57,2 57,21964 27,8 33,4 33,4 36,2 36,2 1988 15,4 20,4 28,0 46,4 61,81965 22,0 33,0 46,0 46,0 46,0 1989 20,8 27,0 28,6 41,6 56,61966 14,0 24,8 36,0 46,4 63,8 1991 22,2 23,2 25,8 28,2 45,01967 21,2 31,6 31,6 49,2 53,0

Elaborazioni

Preparazione dei dati

I dati provengono da due tabelle diverse degli Annali idrologici: dalla tabella Precipitazioni dinotevole intensità e breve durata registrate ai pluviografi e dalla tabella Precipitazioni di massimaintensità registrate ai pluviografi. I dati della seconda tabella sono esplicitamente presentati comemassimi annuali. Invece quelli della prima tabella non sono necessariamente dei massimiannuali, ma sono semplicemente dei valori di precipitazione notevoli, che il rilevatore ha ritenutoopportuno mettere in evidenza. E in effetti la tabella fornisce spesso, per una stessa durata, piùvalori tra loro diversi. Per ricavare dalla prima tabella dei valori che si possano ragionevolmenteassumere come massimi annuali relativi alle diverse durate occorre dunque effettuare dueoperazioni: in primo luogo occorre scegliere, per ogni durata, un solo valore, quello massimo;in secondo luogo occorre eliminare le incongruenze, vale a dire eliminare tutti i valori cherisultino inferiori a quelli osservati nello stesso anno in corrispondenza di durate più brevi diquella considerata. I valori così selezionati sono con buona probabilità davvero dei massimiannuali. I campioni costituiti dai dati selezionati presentano però un difetto, che non è facilmenteeliminabile (e che normalmente non si tenta nemmeno di eliminare). Negli anni in cui per unacerta durata non sono state osservate altezze di pioggia notevoli, il rilevatore non ha inseritoalcun valore; ci si deve quindi attendere che i campioni così ottenuti siano costituiti da insiemi divalori mediamente più alti di quelli di cui sono costituite le distribuzioni dei massimi annuali.Le operazioni sopra descritte producono, nel caso della stazione di Varzi, campioni didimensione molto diversa. Per le elaborazioni si prendono in considerazione solo le durate (ottoin tutto) per cui i campioni sono costituiti da almeno 10 elementi. Con questo criterio si ricavanodalla tabella Precipitazioni di notevole intensità e breve durata registrate ai pluviografi icampioni relativi a tre sole durate: 0,25 h (14 elementi), 0,50 h (29 elementi) e 0,75 h (14elementi). Dalla tabella Precipitazioni di massima intensità registrate ai pluviografi, per la qualenon esistono problemi di selezione dei dati, si ricavano campioni di 40 elementi per le durate di1 h e di 3 h e campioni di 41 elementi per le durate di 6 h, 12 h e 24 h.

Determinazione della curva di possibilità climatica della pioggia puntuale

Scelta della distribuzione e stima dell'altezza di precipitazione

Il tipo di distribuzione di probabilità dell'altezza di precipitazione massima annuale si assume lostesso per tutte le durate e si sceglie adoperando (ripetutamente) il programma MASSIMI(versione 2011), per il cui uso si rimanda all'illustrazione dell'esercitazione n. 2. Il programmaprevede l'uso di sei diversi tipi di distribuzione di probabilità, tutti a due parametri (poiché icampioni sono di dimensione piuttosto ridotta, è conveniente mantenere basso anche il numerodei parametri).

Nell'utilizzare il programma si prendono in considerazione tutte e sei le distribuzioni e ci silimita al calcolo dell'altezza di pioggia con tempo di ritorno di 30 anni.

Distribuzione di Gumbel

La distribuzione di Gumbel (o distribuzione asintotica del massimo valore del I tipo) è illimitatainferiormente e superiormente. La funzione di probabilità è rappresentata dall'espressione

P(x) = exp{-exp[-α(x - u)]}.

I parametri α e u sono legati alla media µ(x) e allo scarto quadratico medio σ(x) dalle relazioni

α = 1,283

σ(x) ,

u = µ(x) - 0,450σ(x).

Distribuzione lognormale a due parametri

La distribuzione lognormale a due parametri è limitata inferiormente, con limite inferiore ugualea zero, e illimitata superiormente. La distribuzione è caratterizzata dal fatto che a seguire la leggenormale non è la variabile originaria x, ma il suo logaritmo naturale y. La funzione di probabilitàè rappresentata dall'espressione

P(x) = P(y) =

⌡⌠

-∞

y

1

√2π σ(y) exp

- 1

2

y - µ(y)

σ(y)

2 dy.

Poiché la variabile y è distribuita normalmente ci si può ricondurre alla variabile gaussianastandardizzata u per mezzo della trasformazione

u = ay + b,

i cui parametri a e b sono forniti dalle espressioni

a = 1

√ln

1 +

σ2(x)

µ2(x)

,

b = 12a

- a ln µ(x).

Distribuzione Gamma a due parametri

La distribuzione Gamma a due parametri è illimitata inferiormente, con limite inferiore uguale azero, e illimitata superiormente. La funzione di probabilità della distribuzione Gamma èrappresentata dall'espressione

P(x) =

⌡⌠

0

x

αγ xγ-1e-αx

Γ(γ) dx.

I due parametri α e γ sono legati alla media µ(x) e allo scarto quadratico medio σ(x) dallerelazioni

α = µ(x)

σ2(x) ,

γ = µ2(x)

σ2(x) .

Distribuzione di Fréchet a due parametri

La distribuzione di Fréchet (o distribuzione asintotica del massimo valore del II tipo) a dueparametri è limitata inferiormente, con limite inferiore uguale a zero, e illimitata superiormente.La funzione di probabilità della distribuzione di Fréchet a due parametri è rappresentatadall'espressione

P(x) = exp

-

x

u -k

,

dove il parametro k è sempre positivo (e maggiore di uno affinché esista la media, di dueaffinché esista la varianza). I due parametri u e k sono legati alla media µ(x) e allo scartoquadratico medio σ(x) dalle relazioni

µ(x) = u Γ

1 -

1k

,

σ2(x) = u2

Γ

1 -

2k

- Γ2

1 -

1k

.

Distribuzione di Weibull a due parametri

La distribuzione di Weibull a due parametri è limitata inferiormente, con limite inferiore uguale azero, e illimitata superiormente. La funzione di probabilità della distribuzione di Weibullcoincide con la funzione di probabilità (di non superamento) della distribuzione asintotica delminimo valore del III tipo a due parametri. (Il campo di esistenza della variabile che riveste ilmaggiore interesse è però naturalmente diverso nei due casi.) La funzione di probabilità èrappresentata dalla funzione

P(x) = 1 - exp

-

x

u

k,

dove il parametro k è sempre positivo. I due parametri u e k sono legati alla media µ(x) e alloscarto quadratico medio σ(x) dalle relazioni

µ(x) = u Γ

1 +

1k

,

σ2(x) = u 2

Γ

1 +

2k

- Γ2

1 +

1k

.

Distribuzione loglogistica a due parametri

La distribuzione loglogistica è limitata inferiormente, con limite inferiore uguale a zero, eillimitata superiormente. La funzione di probabilità (che coincide con la distribuzione logisticadel logaritmo naturale di x) è rappresentata dalla funzione

P(x) = xβ

αβ + xβ .

I due parametri α e β (che deve essere maggiore di uno affinché esista la media, di due affinchéesista la varianza) sono legati alla media µ(x) e allo scarto quadratico medio σ(x) dalle relazioni

µ(x) = πα

β sin(π/β) ,

σ2(x) = α2

2π

βsin(2π/β) -

π2

β2sin2(π/β) .

Si applica il programma MASSIMI ai campioni dei massimi annuali di precipitazione dellediverse durate e si stimano, per tutte le distribuzioni di probabilità previste dal programma, iparametri e l'altezza di precipitazione con tempo di ritorno di 30 anni.In generale il grado di adattamento della distribuzione alle osservazioni varia con il tipo didistribuzione e con la durata della precipitazione. Per tutte le durate si sceglie lo stesso tipo didistribuzione, quello che mediamente si adatta meglio, considerando tutte le durate. Nelle duetabelle che seguono sono riportati i valori calcolati del criterio X2 del test di Pearson e quelli delmassimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi che il campione provenga daltipo di distribuzione considerato. (Sono riportati in grassetto i minimi di X2 e i massimi di α.)

Criterio X2 del test di Pearson

Durata t [h]

Distribuzione 0,25 0,50 0,75 1 3 6 12 24

Gumbel 0,286 7,724 0,286 2,800 2,0004,463 3,293 2,512Lognormale 0,286 7,724 0,286 2,800 3,600 5,244 3,2932,512Gamma 0,286 6,000 0,286 2,400 4,400 6,805 5,244 5,634

Fréchet 0,286 14,276 0,286 3,200 10,00 8,756 5,634 3,683

Weibull 0,286 3,931 0,286 6,400 16,00 13,049 10,317 11,098

Loglogistica 0,286 7,379 0,286 2,000 1 ,200 4,854 2,512 6,415

Massimo livello di significatività α del test di Pearson

Durata t [h]

Distribuzione 0,25 0,50 0,75 1 3 6 12 24

Gumbel - 0,062 - 0,817 0,904 0,605 0,756 0,850Lognormale - 0,062 - 0,817 0,716 0,509 0,7560,850Gamma - 0,124 - 0,863 0,613 0,343 0,509 0,463

Fréchet - 0,004 - 0,768 0,132 0,195 0,463 0,706

Weibull - 0,278 - 0,382 0,016 0,047 0,119 0,092

Loglogistica - 0,071 - 0,904 0 ,968 0,556 0,850 0,380

Poiché il numero di parametri è uguale per tutte le distribuzioni, i valori del criterio X2 sonocomparabili tra di loro. In base al criterio X2 le distribuzioni che presentano il migliore

adattamento sono la distribuzione di Gumbel e quella loglogistica: la prima presenta il minimovalore di X2 per due durate, la seconda per tre.Un analogo risultato si ottiene considerando il massimo livello di significatività α: ladistribuzione di Gumbel presenta il massimo valore di α per due durate, quella loglogistica pertre. (Per le durate di 0,25 h e di 0,75 h il massimo livello di significatività non può esserecalcolato, perché le osservazioni sono troppo poche; la tabella del criterio X2 mostra comunqueche il grado di adattamento è lo stesso per tutte le distribuzioni.)Come criterio di scelta si adotta la media del massimo livello di significatività α calcolata su tuttele durate (6) per cui il valore del massimo livello di significatività è stato calcolato. Le mediesono riportate nella tabella che segue. (È riportato in grassetto il massimo di α.)

Distribuzione Valore medio di αGumbel 0,666Lognormale 0,618

Gamma 0,486

Fréchet 0,378

Weibull 0,156

Loglogistica 0,622

In base al criterio adottato si sceglie la distribuzione di Gumbel. È comunque opportunoosservare che il grado di adattamento è molto simile per la distribuzione di Gumbel, per quellalognormale e per quella loglogistica.Nella tabella che segue sono contenuti i valori dell'altezza di precipitazione h con tempo diritorno di 30 anni ottenuti per le diverse durate t applicando la distribuzione di Gumbel:

t [h] 0,25 0,50 0,75 1 3 6 12 24

h [mm] 23,77 31,52 34,51 45,32 60,03 72,32 84,06114,24

Preparazione del file dati per il programma PIOGGIA

Il programma PIOGGIA (versione 2012), che si utilizza per effettuare le elaborazioni seguenti,richiede un file dati preparato in un formato prestabilito. Il file dati è costituito

- da un commento, costituito da un numero illimitato di righe di testo, ciascuna compresa tradue apici (non virgolette) e composta di non più di 80 caratteri;

- da un codice di fine testo, costituito da tre asterischi contigui, compresi tra due apici;- da una riga che contiene il numero 0 (zero) oppure 1 (uno), a seconda che le osservazioni

siano senza etichetta, oppure che ogni osservazione sia preceduta da un'etichetta;- dall'insieme delle durate (in ore) e delle altezze di pioggia calcolate (in millimetri); su ogni riga

si riporta una sola durata, seguita dall'altezza di pioggia corrispondente; un'eventuale etichetta

deve essere compresa tra due apici, deve essere posta sulla stessa riga dell'osservazione eprecederla; il modo più comodo per separare tra loro la durata e l'altezza di pioggia (el'eventuale etichetta) è di interporre un carattere TAB.

Tutti i numeri decimali si scrivono utilizzando il punto, non la virgola, come separatore deidecimali. L'ultima riga può essere seguita da un numero indefinito di righe vuote.

Uso del programma PIOGGIA

Il programma PIOGGIA permette di effettuare diverse elaborazioni e offre la possibilità di uncerto numero di scelte diverse.Nell'utilizzare il programma PIOGGIA per lo svolgimento dell'esercitazione

- non si scarta nessuna osservazione (il programma permette di scartare una o più osservazionicontenute nel file dati);

- si sceglie di calcolare una curva di possibilità climatica a tre parametri;- si effettuano due calcoli successivi: nel primo calcolo si determinano la curva di possibilità

climatica della pioggia puntuale e gli ietogrammi di Sifalda; nel secondo calcolo sideterminano la curva di possibilità climatica della pioggia ragguagliata e gli ietogrammi diHuff;

- il ragguaglio degllo ietogramma di Sifalda della pioggia puntuale si effettua in due modi: acoefficiente costante e a coefficiente variabile;

- il ragguaglio si effettua, sia nel caso dello ietogramma di Sifalda, sia nel caso di quello diHuff, utilizzando la tabella NERC;

- si risponde alle domande poste dal programma scrivendo i numeri decimali con il punto, noncon la virgola.

Determinazione della curva di possibilità climatica della pioggia puntuale edello ietogramma di Sifalda con coefficiente di ragguaglio costante

Adoperando il programma PIOGGIA si determina la curva di possibilità climatica (a treparametri) dell'altezza di precipitazione puntuale.La curva che si ottiene è rappresentata dall'espressione1

h = 35,6852t

t0,64320 - 0,11276 .

1 I valori numerici dei parametri, calcolati con un procedimento approssimato, possono subire lievi variazioni aseconda dell'elaboratore utilizzato.

Si determina lo ietogramma di Sifalda discretizzando il tempo con intervalli elementari di 0,25 he assegnando inizialmente una durata uguale al tempo di corrivazione del bacino (2,07 h). Ladurata assegnata dello ietogramma viene riaggiustata dal programma in 2 h per lo ietogramma diSifalda (il numero degli intervalli deve risultare divisibile per quattro). Il coefficiente diragguaglio costante si determina adoperando la tabella NERC. Il coefficiente di ragguagliocorrispondente alla durata di 2 h e all'area di 26,45 km2 è uguale a 0,9065. I risultati del calcolosono contenuti in un file allegato.

Determinazione della curva di possibilità climatica della pioggia puntuale edello ietogramma di Sifalda con coefficiente di ragguaglio variabile

Si ripete il calcolo del punto precedente, assumendo un coefficiente di ragguaglio variabileanziché costante. Ancora si adopera la tabella NERC. Il coefficiente di ragguaglio variabile vada 0,779 per la durata di 0,25 h a 0,903 per la durata di 2 h. Tutti i risultati del calcolo sonocontenuti in un file allegato.

Determinazione della curva di possibilità climatica della pioggia ragguagliata edello ietogramma di Huff

Adoperando il programma PIOGGIA si determina la curva di possibilità climatica (a treparametri) dell'altezza di pioggia ragguagliata. Per il ragguaglio all'area delle altezze diprecipitazione puntuali stimate per le diverse durate (che si effettua necessariamente acoefficiente variabile) si adopera la tabella NERC.La curva che si ottiene è rappresentata dall'espressione (v. nota 1)

h = 33,5668t

t0,633568 - 0,03927337 .

Si determina lo ietogramma di Huff discretizzando il tempo con intervalli elementari di 0,25 h.La durata originale dello ietogramma viene riaggiustata dal programma in 2,25 h per loietogramma di Huff. Il programma PIOGGIA determina lo ietogramma di Huff per tutti equattro i quartili e per la probabilità di non superamento 0,50. I risultati del calcolo sonocontenuti in un file allegato.

Grafici

Si costruiscono i grafici dei diversi ietogrammi ottenuti e si confrontano tra loro. Il confrontomette in rilievo la diversità dei risultati ottenuti con ietogrammi di progetto diversi.