I.C. "Puddu" SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO "Don Bosco"

Prato, 2013

INGRANAGGI IN FUNZIONE

Marta Del Rosso

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SOMMARIO Introduzione ......................................................................................................................................... 3

Attività progettata: Ingranaggi in funzione ......................................................................................... 4

Diario di bordo (pagine tratte dai quaderni degli alunni) .................................................................. 13

Conclusioni ......................................................................................................................................... 19

Rifermenti .......................................................................................................................................... 22

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INTRODUZIONE

Nell'anno scolastico 2011-2012 l'Istituto Comprensivo Don Bosco di Prato ha ospitato il corso di formazione per i docenti di matematica tenuto dal prof. Ferdinando Arzarello (Università di Torino). "Le ricerche più recenti hanno provato che sono le esperienze ad attivare gli opportuni circuiti

cerebrali di cui l’essere umano già dispone. Non si tratta di imporre una matematica dall’esterno,

ma di fare evolvere dall’interno la matematica che vive nel nostro corpo"1. A tal fine è

fondamentale attuare laboratori di matematica, dove per laboratorio non si intende solo uno spazio fisico attrezzato, ma piuttosto uno spazio mentale dove ogni studente ha la possibilità di inventare, sperimentare e costruire i propri apprendimenti ancorati alle situazioni di vita reale. In quest'ottica il prof. Arzarello parla di didattica degli artefatti cognitivi. Gli artefatti sono oggetti, strumenti e dispositivi che favoriscono lo sviluppo di specifici apprendimenti. L'idea di base del concetto degli artefatti cognitivi è che la mente per apprendere ha bisogno di costruire oggetti e dispositivi, di maneggiare materiali reali. Ciò vale a qualunque stadio di età, si sia bambini, adolescenti o adulti. Il procedimento che si usa deriva quindi dal bisogno di avanzare per prove ed errori, attraverso una serie di tentativi di rappresentazione del mondo che ci circonda. L'apprendimento si sviluppa con la discussione, l'analisi, il confronto, l'esposizione, il sondaggio, l'ammirazione, la costruzione, lo smontaggio e la ricostruzione degli artefatti cognitivi2. Nella pratica tradizionale dell'insegnamento della matematica sono da sempre stati utilizzati artefatti di varia natura: blocchi logici, geopiani, righe, abachi, compassi, righelli, bilance, ingranaggi, monete e, più di recente, i software delle nuove tecnologie. Tuttavia le potenzialità di questi oggetti per la didattica della matematica non sono proprietà intrinseche dello strumento, ma dipendono dall'interazione realizzata in classe tra l'artefatto, gli input forniti dall'insegnante, le riposte del singolo studente e quelle del gruppo classe con cui si relaziona3. La responsabilità dell'insegnate è quindi quella di progettare e individuare efficaci modi di realizzare un'attività prevedendo consegne particolari e vivaci interazioni. L'insegnamento attraverso gli artefatti non produce risultati senza l’opportuna e vigile mediazione dell’insegnante4. Attraverso l'uso dello strumento tecnico, dunque, lo studente può incorporare elementi importanti del sapere matematico, costruire nuovi significati e ottenere strumenti psicologici che permettono lo svolgimento di processi mentali (mediazione semiotica-quadro teorico Vygotskiano)5. Dalle indicazioni ricevute nel corso della formazione con il prof. Arzarello e dagli studi successivi, nasce la presente attività di laboratorio: "INGRANAGGI IN FUNZIONE".

1 Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca et al., premessa di Ferdinando Arzarello., Matematica 2003.

Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di Matematica - Ciclo secondario. 2 Gianluca Salvatori. Papert, Bologna e il mito platonico. Il sole 24 ore, 09-12-2007.

3 Maria G. Bartolini Bussi- Dipartimento di Matematica Dall'Abaco al computer: formazione e pratica professionale

dell'insegnante. Università di Modena e Reggio Emilia. 4 presentazione di Ferdinando Arzarello al XXIII convegno UMI CIIM (2002) l'insegnante di matematica nella scuola di

oggi: formazione e pratica. 5 Bartolini Bussi M. G. & Mariotti M Un approccio semiotico alla educazione matematica. Università di Siena.

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ATTIVITÀ PROGETTATA: INGRANAGGI IN FUNZIONE

Tematica

Esplorare e descrivere oggetti comuni che agiscono grazie a ruote dentate, per giungere a costruire modelli di ingranaggi dalla cui osservazione è possibile formulare generalizzazioni sul funzionamento degli stessi. Descrizione degli obiettivi Applicazione del concetto di frazione come rapporto Applicazione delle proporzioni Rielaborazione dei concetti di circonferenza, raggio, diametro, cerchio, settore circolare Esperienze pratico-manuali Uso degli strumenti tipici del disegno geometrico Osservazioni guidate Esplorazione di situazioni problematiche Formulazione di congetture, validazione, argomentazione Proposte risolutive a problemi pratici Raccolta di dati e loro gestione Produzione schemi Documentazione Ricerca di proprietà varianti e invarianti Generalizzazioni delle esperienze Imparare a cooperare nel gruppo Elenco delle fasi 1) Esplorazione del correttore a nastro 2) Confronti 3) Altri ingranaggi comuni 4) Progettare le ruote dentate 5) Costruire le ruote dentate 6) Generalizzare Problema o stimolo da cui nasce l’attività Porsi domande su strumenti di uso comune: come è fatto il correttore a nastro? Come funziona l'apriscatole? eccetera. Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l’attività Le frazioni, la circonferenza, uso di compasso e goniometro. Strumenti forniti agli allievi Correttore a nastro, altri oggetti che funzionano con ruote dentate. Organizzazione della classe A gruppi.

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Fase 1 Esplorazione del correttore a nastro: come è fatto e come funziona Tempo previsto 2 ore Materiale Correttori a nastro: coppie di diversi modelli

Cosa fa l’insegnante Cosa fanno gli alunni Suggerimenti per l’insegnante

L’insegnante divide la classe in gruppi. Ad ogni gruppo consegna una coppia di correttori uguali. Comunica le consegne:

1. Osservate il correttore e discutete fra di voi. Cercate di capire come funziona.

2. Disegnate sul quaderno (diario di bordo) il correttore a nastro.

3. Smontate uno dei due correttori. 4. Disegnate sul quaderno i singoli pezzi del

correttore. 5. Descrivete sul quaderno la forma e il

funzionamento degli elementi fondamentali del correttore a nastro (le dimensioni delle ruote, il loro numero di denti, la differenza nel numero di giri, il verso di rotazione, ecc.).

Gli alunni di ciascun gruppo utilizzano i correttori a disposizione e discutono. Ogni studente lavora sul proprio personale quaderno che diventa il diario di bordo in cui annotare le esperienze fatte. Anche se il lavoro sul quaderno è individuale, il gruppo condivide strategie organizzative e osservazioni varie.

È importante che i correttori siano due per gruppo in modo da poterne smontare uno per osservare i singoli pezzi e lasciare l'altro integro per osservare il funzionamento. È importante che i due correttori all'interno di un gruppo siano dello stesso modello; mentre tra i vari gruppi è interessante scegliere modelli diversi per rendere le discussioni e i confronti più stimolanti.

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Fase 2 Confronti Tempo previsto 2 ore Materiale Correttori a nastro: coppie di diversi modelli

Cosa fa l’insegnante Cosa fanno gli alunni Suggerimenti per l’insegnante

L’insegnante riforma i gruppi della volta precedente. I gruppi vengono invitati, a turno, a riferire le scoperte fatte nella lezione precedente, eventualmente attraverso un rappresentante per gruppo. Segue una discussione dalla quale far emergere una riflessione condivisa su analogie e differenze tra i diversi modelli del correttore. L'insegnante introduce termini specifici (ruota motrice e condotta) e organizza una tabella alla lavagna per riportare in forma sintetica i dati numerici (differenti da modello a modello) relativi ad alcune caratteristiche del correttore.

Ogni gruppo illustra le conclusioni alle quali è arrivato.

È opportuno riprendere il lavoro leggendo i diari di bordo con le osservazioni scritte dagli alunni, per individuare i punti critici dai quali organizzare il proseguo dell’attività.

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Chiede ai ragazzi di realizzare la tabella seguente sul diario di bordo.

RUOTA MOTRICE RUOTA CONDOTTA

Numero dei denti

Numero dei giri

Diametro Numero dei denti

Numero dei giri

Diametro

Gruppo A

(per es.) 40 (per es.) 1 (per es.) 3 cm

(per es.) 20 (per es.) 2 (per es.) 1,5 cm

Gruppo B

Gruppo C

ecc…

L'insegnante invita gli studenti a rintracciare regolarità tra i vari dati, arrivando a spiegare il rapporto di trasmissione (rapporto tra il numero di giri delle due ruote) e i vari sistemi per calcolarlo: 1) R= numero di giri ruota motrice / numero di giri ruota condotta

R= 1/2= 1/2 (per ogni giro della ruota motrice la ruota condotta ne compie due) 2) R= numero denti ruota condotta / numero di denti ruota motrice R=20 /40= 1/2 3) R= diametro ruota condotta / diametro ruota motrice R= 1,5: 3= 0,5= 1/2

Gli studenti realizzano la tabella con i propri dati e quelli dei propri compagni sul diario di bordo. I ragazzi cercano di individuare regolarità nella tabella. Gli studenti calcolano il rapporto di trasmissione con tutti i dati a disposizione.

Il confronto del rapporto di trasmissione ottenuto nei tre diversi modi, potrebbe mettere in evidenza il fatto che alcuni dei dati numerici raccolti sperimentalmente non sono accurati. L'insegnante può cogliere l'occasione per parlare degli errori di misura.

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Fase 3 Altri ingranaggi comuni Tempo previsto 2 ore o più (dipende dal numero di oggetti reperiti) Materiale Cavatappi, apriscatole, frullino montapanna manuale, ecc.

Cosa fa l’insegnante Cosa fanno gli alunni Suggerimenti per l’insegnante

L’insegnante forma i consueti gruppi. Consegna oggetti di uso comune che funzionano grazie a ruote dentate (uno per gruppo da scambiarsi a osservazioni terminate). Invita i ragazzi a osservare, disegnare e descrivere forma e funzionamento degli strumenti sul proprio diario di bordo.

Gli studenti descrivono e disegnano sul quaderno la forma e il funzionamento degli strumenti assegnati (le dimensioni delle ruote, il loro numero di denti, il verso di rotazione, il rapporto di trasmissione, ruote motrici e condotte, ecc.).

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Fase 4 Progettare le ruote dentate Tempo previsto 2 ore Materiale Forbici, goniometro, compasso, riga, lapis, gomma

Cosa fa l’insegnante Cosa fanno gli alunni Suggerimenti per l’insegnante

L’insegnante forma i consueti gruppi, e chiede di progettare le istruzioni per costruire una ruota dentata. Dopo aver lasciato il tempo ai ragazzi di elaborare delle idee, l'insegnate guida una discussione collettiva in cui si confrontano le diverse strategie. Indirizzando gli studenti nella scelta delle soluzioni più vantaggiose e realizzabili, si procede ad individuare un unico funzionale protocollo.

I ragazzi elaborano disegni e procedure che riportano sul proprio diario di bordo. Ogni gruppo, attraverso un portavoce, espone le proprie idee. Gli studenti disegnano e descrivono le istruzioni definitive (realizzate con il contributo di tutti) sul proprio diario di bordo.

Strategia semplice ed efficace: Si consiglia di utilizzare un cartone spesso e di costruire denti non molto alti. È funzionale smussare gli angoli.

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Fase 5 Costruire le ruote dentate Tempo previsto 2 ore Materiale Cartone spesso, pennarelli, forbici, goniometro, compasso, riga, lapis, gomma

Cosa fa l’insegnante Cosa fanno gli alunni Suggerimenti per l’insegnante

L'insegnante forma i gruppi. Chiede di costruire, seguendo le istruzioni realizzate nella fase quattro, alcune ruote dentate con il cartone rigido. L'insegnate può suggerire di colorare le ruote nei modi più vari e di osservare i diversi effetti ottici quando le stesse sono in rapido movimento. L'insegnante, infine, fornisce alcuni fermacampioni da inserire al centro delle ruote, essi sono necessari per fissarle a un supporto di cartone e assemblare, in questo modo, un ingranaggio funzionante. Il docente suggerisce di disporre le ruote in linea (l'analisi di altre possibili disposizioni è oggetto di studio di una successiva fase di lavoro)

I ragazzi costruiscono le ruote dentate, le colorano e assemblano l'ingranaggio disponendo le ruote in linea.

E se volessimo ruote di dimensioni diverse …

Come approfondimento, il docente potrebbe chiedere in che modo dovrebbe essere costruita una ruota di dimensioni differenti rispetto alla prima realizzata, ma tale da poter ingranare con questa. Sottolinea l'importanza di riflettere su: - dimensioni delle ruote - numero di denti delle ruote - dimensioni dei denti Invita i ragazzi a ripensare al correttore e ai dati raccolti nella tabella costruita nella fase due per decidere come dovrebbe essere costruita la ruota e ad annotare le osservazioni sul diario di bordo. L'insegnante che volesse, potrebbe dedicare una fase ad hoc a questa attività costruendo ruote dentate di dimensioni diverse. L'attività si presta bene a lavorare con le proporzioni impostando uguaglianze tra i diversi modi di calcolare il rapporto di trasmissione.

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Fase 6 Generalizzare Tempo previsto 2 ore Materiale Ingranaggi costruiti nella fase 5

Cosa fa l’insegnante Cosa fanno gli alunni Suggerimenti per l’insegnante

L’insegnante forma i consueti gruppi. Guida gli studenti in una progressiva ricerca di regole generali riguardanti gli ingranaggi. Prima consegna: Osservare l'ingranaggio costruito (le ruote sono disposte in linea) e riportare sul diario di bordo le osservazioni relative al funzionamento di: 2 ruote, 3 ruote, 4 ruote, n ruote.

Gli studenti partono dall'osservazione dei propri modellini per giungere ad astrazioni e generalizzazioni. Arrivano a scoprire che:

• due ruote ingranate insieme girano in sensi opposti

• in una fila di ruote quelle corrispondenti a numeri pari si muovono tutte nello stesso senso

• in una fila di ruote quelle corrispondenti a numeri dispari si muovono tutte nello stesso senso

• in una fila di ruote quelle corrispondenti a numeri pari si muovono in senso opposto a quelle corrispondenti a numeri dispari

L'insegnante può sottolineare che, con questo ragionamento, è possibile prevedere il verso di rotazione dell'ultima ruota di una fila dentata anche molto lunga, senza metterle davvero in movimento: basta sapere se sono in numero pari o in numero dispari e conoscere il senso di rotazione della prima della fila.

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Seconda consegna: Analizzare differenti possibili disposizioni delle ruote e riportare sul diario di bordo le osservazioni relative al funzionamento di: 2 ruote, 3 ruote, 4 ruote, n ruote.

Gli studenti dispongono le ruote in vari modi fino a rendersi conto che nelle disposizioni circolari il funzionamento dell'ingranaggio subisce alcune modifiche rispetto a quando le ruote sono sistemate in linea:

• se un numero pari di ruote ha una disposizione circolare, l'ingranaggio funziona

• se un numero dispari di ruote ha una disposizione circolare, l'ingranaggio non funziona (infatti la prima e l'ultima ruota, che hanno lo stesso verso di rotazione, non possono girare ingranate insieme)

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5

2 1

4

3

1

5

2

4

3

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DIARIO DI BORDO (PAGINE TRATTE DAI QUADERNI DEGLI ALUNNI)

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Nel diario di bordo sono stati "concessi" gli errori ortografici. Lo studente deve potersi esprimere per raccontare cosa ha scoperto o elaborare cosa non torna. Rischia di essere inibito se non può permettersi di sbagliare una doppia o un accento. Certamente questi errori sono da segnalare ma, in un lavoro di questo tipo, si può dar loro poco peso. Tale approccio ha permesso agli studenti stranieri o a quelli con DSA di partecipare attivamente e serenamente.

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CONCLUSIONI

L'attività di laboratorio descritta è stata paragonabile a un compito di ricerca didattica, che ha previsto un quadro teorico di riferimento, una fase di progettazione e preparazione dei materiali e la presente conclusiva analisi del percorso svolto. L'obiettivo del lavoro è quello di guidare gli studenti alla costruzione di significati matematici attraverso l'uso di artefatti appositamente scelti. Il progetto prevede l'alternanza tra le consegne dell'insegnante (sempre legate a oggetti o questioni concrete) e le discussioni di gruppo scaturite tra gli studenti. Il tutto avviene annotando, su un diario di bordo, i passaggi più importanti per "registrare" le idee. Questa organizzazione del lavoro ha permesso di:

• partire da un problema da risolvere (come funziona il correttore a nastro? e l'apriscatole? e ...), stimolo che ha fortemente motivato gli studenti e li ha indotti a cercare idee e strategie di risoluzione

• imparare scoprendo e quindi di procedere per tentativi ed errori senza sentirsi mortificati da questi

• imparare costruendo (realizzazione ingranaggi di cartone) applicando i contenuti di studio alla realizzazione di un oggetto concreto

• lavorare in modo collaborativo. Una collaborazione tra idee e abilità diverse e tutte utili (calcolare, disegnare, ideare, ecc...)

• produrre generalizzazioni Gli studenti maneggiano oggetti di uso quotidiano (correttore, cavatappi, apriscatole). Molte volte li hanno avuti nelle mani, ma per la prima volta si devono chiedere come sono fatti e come funzionano. Si parte dall'osservazione e dalla descrizione dell'oggetto, anche con disegni. Questa attività comporta un arricchimento del lessico e un uso più appropriato del vocabolario. Questa evoluzione del linguaggio si compie con il supporto dell'insegnante, ma non viene imposta dall'alto, anzi si sviluppa come risposta alla necessità di essere tecnici e puntuali nella descrizione scientifica di un oggetto. Nel tentativo di capirsi si precisano i termini e si imparano nuovi nomi.

ESEMPI perc

"Ma questo prof. come si dice?" "Ho capito, ma non mi so spiegare perché non so come si chiama questa parte" "Misuriamo … come si dice … la distanza massima tra due punti della circonferenza … cioè, via: il diametro!"

hé èPER

I ragazzi scoprono di poter chiamare, in questo caso, la ruota piccola ruota condotta e quella grande ruota motrice. I o sto

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I ragazzi scoprono di poter chiamare blocco elementare le ruote disposte a triangolo.

Alla descrizione dell'oggetto seguono (ma anche si alternano) le ipotesi dei ragazzi sul funzionamento. Fondamentale in questa fase è l'aspetto collaborativo. Condividere le idee ed elaborarle insieme è la strada vincente per capire i meccanismi di azione.

ESEMPIO

Dopo aver compreso forma e funzionamento di vari oggetti gli studenti hanno cercato di utilizzare le conoscenze apprese per costruire un ingranaggio con materiali poveri. Nel procedere hanno incontrato difficoltà impreviste e sono avanzati per tentativi ed errori. Hanno saputo sfruttare gli sbagli per trovare nuove soluzioni valorizzando le abilità dei singoli componenti del gruppo, qualcuno risolveva i problemi in modo grafico, altri facevano calcoli, altri ancora cercavano analogie con quanto scoperto nelle fasi precedenti.

ESEMPIO

Individuare numero e forma dei denti non è stato facile. Qualcuno ha suddiviso più volte il cerchio (prima in un mezzo, poi in un quarto e così via) disegnando vari diametri. Altri studenti hanno cercato di calcolare l'ampiezza adeguata di un dente considerando che sarebbe dovuta essere un numero sottomultiplo di 360.

Sebbene ogni studente abbia il suo personale diario di bordo, racconta l'esperienza utilizzando il plurale perché è insieme ai compagni che è riuscito a compiere le proprie scoperte.

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Ideato il progetto, i ragazzi si sono impegnati nella costruzione del modellino traendone grande soddisfazione

ESEMPI

Infine l'ultima fase di lavoro ha chiesto ai ragazzi uno sforzo di astrazione. A partire dai loro modellini hanno dovuto trovare regole generali sul funzionamento degli ingranaggi e hanno dovuto immaginare un numero n di ruote che non era materialmente disponibile.

ESEMPIO

Tutto il lavoro svolto ha avuto un impatto forte nel percorso esperienziale degli studenti, ma anche in quello personale. Ho cercato di avere per loro il ruolo del facilitatore per agevolarli nello stimolante contesto delle scoperte matematico-scientifiche, attraverso le potenzialità dell'artefatto cognitivo e orchestrando le discussioni collettive. È stata una delle esperienze didattiche più interessanti sino ad oggi affrontate. E io ho avuto l'occasione di imparare insieme ai ragazzi.

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RIFERMENTI

Documentazione del XXIII convegno UMI CIIM (2002) l'insegnante di matematica nella scuola di

oggi: formazione e pratica.

Bartolini Bussi M. G. & Mariotti M. Un approccio semiotico alla educazione matematica.

Università di Siena. Maria G. Bartolini Bussi, Dipartimento di Matematica Dall'Abaco al computer: formazione e

pratica professionale dell'insegnante. Università di Modena e Reggio Emilia.

M. G. Bartolini Bussi; M. Boni; F. Ferri; R. Garuti (2004) La costruzione del pensiero teorico:

una ricerca sugli ingranaggi nella scuola elementare. Università di Torino.

UMI 2001 Argomentare e congetturare Ingranaggi e ruote. Università di Bologna.

Istituto Tecnico Industriale "Verona Trento" di Messina Meccanismi di trasmissione e

trasformazione del moto. http://www.vivalascuola.it/come-disegnare-ruote-dentate-140454.html