Infinito, scienza, e paradosso

G. Aldo AntonelliDipartimento di logica e filosofia della scienza

Università della California, Irvine

L’infinito nell’antichità

L’infinito fa irruzione prepotentemente con la scoperta che 2 non è esprimibile come rapporto di due numeri interi.

La scoperta è dovuta a Ippaso di Metaponto:

Non ci sono numeri interi n e m tali che 2 = n/m.

2 nella matematica mesopotamica

Tavoletta rappresentante la diagonale di un quadrato di lato 30 (in base 60!)

L’eredità pitagorica

È l’inizio della tradizione matematico-filosofica dell’horror infiniti.

Per secoli la natura paradossale dell’infinito ha tenuto lontani matematici e filosofi

Ippaso fu condannato a morte per annegamento da Pitagora affinché la sua scoperta restasse segreta.

Zenone di EleaIl paradosso di Zenone viene considerato indicativo delle difficoltà concettuali intrinseche nella nozione di infinito.

Il piè veloce Achille deve completare un numero infinito di azioni prima di poter raggiungere la lenta tartaruga.

La tradizione aristotelico-tomistica

Aristotele distingue l’infinito potenziale da quello attuale, negando l’esistenza di quest’ultimo (apeiron).

Tommaso riprende la distinzione: nemmeno Dio onnipotente può creare un ente infinito.

Severino Boezio definisce l’inifinito malitiae dedecus.

George Berkeley

Nell’ Analista, Berkeley critica il “nuovo” calcolo di Leibniz e Newton per l’uso di quantità infinitesimali.

Gli infinitesimali sono “fantasmi di quantità defunte”, considerati di volta in volta positivi oppure = 0, a seconda della convenienza.

Saranno Cauchy e Weierstrass a “ripulire” il calcolo infinitesimale dando la definizione usuale di limite in termini di quantità piccole ma finite (“ε-δ”).

Giordano BrunoBruno è il primo grande esponente di una tradizione alternativa, in cui la nozione di infinito viene rivalutata. Questa tradizione, derivante dall’averroismo medievale, e che vede predecessori in Duns Scoto e Gregorio da Rimini, fiorisce durante il rinascimento.

Nella sua opera De l’infinito, universo e mondi, (1584), Bruno sostiene l’inifinità dell’universo, a cui mancherebbe quindi un centro, fisico e teologico.

Galileo GalileiNei Discorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno a due nuove scienze (1638) Galileo nota che i quadrati perfetti sono altrettanto numerosi quanto i numeri naturali:

e conclude che le nostre menti finite non sono attrezzate a trattare nozioni infinite.

Richard DedekindDedekind adottò la caratteristica dei numeri naturali identificata da Galileo come definizione degli insiemi infiniti:

Un insieme è infinito se e solo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria.

Dio ci ha dato i numeri naturali; tutto il resto è creato dall’uomo

Georg CantorCantor è il fondatore della teoria transfinita degli insiemi. Forse il suo contributo più importante è la scoperta che esistono diversi ordini di grandezze infinite.

Ci sono più numeri reali fra 0 e 1 (punti giacenti sul segmento di lunghezza unitaria)di quanti siano i numeri naturali.

La famosa dimostrazione è il primo esempio di argomentazione “diagonale”.

L’argomentazione “diagonale”

n0 = 0, 2 6 8 7 5 9 4 5 8 6 …

n1 = 0, 9 3 6 9 0 3 8 5 3 5 …n2 = 0, 8 5 6 2 0 9 5 2 5 6 …n3 = 0, 3 4 6 0 3 4 1 8 4 5 …n4 = 0, 7 5 7 0 9 4 6 2 5 4 ……..

Supponiamo di poter contare I numeri reali che rappresentano punti sul segmento unitario:

0 1

Permutando la diagonale

n0 = 0, 3 6 8 7 5 9 4 5 8 6 …

n1 = 0, 9 4 6 9 0 3 8 5 3 5 …n2 = 0, 8 5 7 2 0 9 5 2 5 6 …n3 = 0, 3 4 6 1 3 4 1 8 4 5 …n4 = 0, 7 5 7 0 0 4 6 2 5 4 ……..

n0 = 0, 2 6 8 7 5 9 4 5 8 6 …

n1 = 0, 9 3 6 9 0 3 8 5 3 5 …n2 = 0, 8 5 6 2 0 9 5 2 5 6 …n3 = 0, 3 4 6 0 3 4 1 8 4 5 …n4 = 0, 7 5 7 0 9 4 6 2 5 4 ……..

Permutando la n-esima cifra dell’ n-esimo numero numero si ottiene un numero 0,34710… al di fuori dalla lista.

Consideriamo le cifredecimali sulla diagonale:

La cardinalità del continuoAvendo scoperto che i numeri sul segmento unitario sono più numerosi dei numeri naturali, si potrebbe supporre che i numeri i numeri reali siano più numerosi di quelli sul segmento unitario.

Ma non è così:

0 1

L’ipotesi del continuoAbbiamo visto che tutti gli insiemi infiniti di numeri reali considerati finora o sono numerabili oppure hanno la cardinalità del continuo.

L’ipotesi del continuo (IC), formulata da Georg Cantor, asserisce che non ci sono insiemi di cardinalità intermedia.

L’ipotesi del continuo è ancora uno dei più difficili problemi aperti della matematica moderna.

Kurt GödelForse il più grande matematico del ventesimo secolo, dimostrò l’esistenza di proposizioni matematiche assolutamente indecidibili.

Gödel dimostrò anche che IC non è refutabile negli usuali sistemi insiemistici (1940); e Paul Cohen dimostrò che essa non è nemmeno refutabile.

Ma nel 1944 Gödel indicò la possibilità di decidere IC postulando assiomi forti dell’infinito — un programma ancora da realizzare.

Abraham RobinsonIl fondatore dell’analisi non standard, una teoria matematica del continuo che ammette esplicitamente quantità infinitesimali (minori di per ogni ) e quindi anche i loro inversi — le quantità infinite.

Le considerazioni di Berkeley in cui culminò la tradizione tomistica non si applicano più — l’inifinito e gli infinitesimi sono cittadini a pieno titolo del nostro panorama concettuale.

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Giacomo LeopardiLeopardi, pur essendo animato da un pessimismo materialistico, è ancora saldamente ancorato nella tradizione tomistica.

L’infinito è negativamente caratterizzato come irraggiungibile, e quindi non portatore della delusione associata al soddisfacimento del desiderio finito.