Infe 02 - 1 / 28

Lezione 6Inferenzastatistica

Infe 02 - 2 / 28

parte 2Stime per punti e per intervalli della varianza

Infe 02 - 3 / 28

la varianza

Infe 02 - 4 / 28

la varianza, la tolleranza e lo scarto…

1 0 10

1+ 5%

Infe 02 - 5 / 28

la varianza , la tolleranza e lo scarto …

95 100 105

Infe 02 - 7 / 28

• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile

casuale X avente densità f (x) qualsiasi con media e

varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde

l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si può usare la

varianza campionaria corretta per stimare

il valore del parametro 2 relativo all’intera popolazione.

Varianza campionaria corretta e stima puntuale di 2

n

j

njn XXn

S1

222

1

1

• il valore ottenuto viene indicato come “stima puntuale di 2”

Infe 02 - 8 / 28

Varianza campionaria corretta e stima puntuale di 2

vnS 22

• come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta un’incertezza che deve essere quantificata.

• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile

casuale X avente densità f (x) qualsiasi con media e

varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde

l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si può usare la

varianza campionaria corretta per stimare

il valore del parametro 2 relativo all’intera popolazione.

Infe 02 - 9 / 28

Ricordiamo che:

“ Estraendo da una popolazione infinita per cui è definita la

variabile casuale X avente distribuzione normale con

media e varianza 2

un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di

variabili casuali { X1, X2, …, Xn },

la varianza campionaria corretta divisa per 2

fornisce una variabile casuale che segue una distribuzione

“modificata di chi-quadro” con n - 1 gradi di libertà ”

11

1

1

2

2

2

nXX

n

S n

j

njn

Incertezza dello stimatore Sn2

Infe 02 - 10 / 28

Incertezza dello stimatore Sn2

f ( C ² )

C ²

Infe 02 - 11 / 28

Chiediamoci ora:

“ Qual è la probabilità che, estraendo a caso un campione

di n elementi da una popolazione su cui è stata definita una X con distribuzione normale, il rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza relativa all’intera popolazione

sia compreso nell’intervallo ? ” vv 1,1

v

nv

S11

2

2

P

11

1

1

2

2

2

nXX

n

S n

j

njn

Incertezza dello stimatore Sn2

Infe 02 - 12 / 28

vv C 11 2P

Incertezza dello stimatore Sn2

v

nv

S11

2

2

P

2

22

nS

C

Infe 02 - 13 / 28

vv CC 11 22 PP

Incertezza dello stimatore Sn2

v

nv

S11

2

2

P

2

22

nS

C

Infe 02 - 14 / 28

vv CC 11 22 PP

v

nv

S

112

2

P

Incertezza dello stimatore Sn2

222 11 vnv S P

Infe 02 - 15 / 28

Incertezza dello stimatore Sn2

• partendo dall’espressione della probabilità dell’evento:

• si sono ottenute le due espressioni equivalenti:

222

2

2

2

11

11

11

vnv

vv

vn

v

S

C

S

P

P

P

• che giustificano la seguente affermazione:

Infe 02 - 16 / 28

Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione infinita per cui è definita una variabile casuale

X con distribuzione normale, media e varianza 2, c’è una probabilità pari a:

che il valore ottenuto della varianza campionaria corretta

sia compreso nell’intervallo

vv CC 11 22 PP

n

j

njn XXn

S1

22

1

1

22 1,1 vv

Incertezza dello stimatore Sn2

Infe 02 - 17 / 28

Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn

2

• Per il nostro scopo, cioè per individuare l’intervallo di confidenza della varianza, conviene sviluppare l’espressione dell’evento in modo diverso:

v

nv

S11

2

2

P

si può scrivere la forma equivalente:

222

111

n

v

n

v

SS

P

Infe 02 - 18 / 28

Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn

2

222

111

n

v

n

v

SS

P

baba

11

v

n

v

n SS

11

22

2

P

ricordando che:

Infe 02 - 19 / 28

Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn

2

si può scrivere la forma equivalente:

v

n

v

n

v

n

v

n

SS

SS

11

11

22

2

22

2

P

P

dalla:

Infe 02 - 20 / 28

• si è quindi ricavato che

• è uguale a

• o, in modo equivalente, è uguale a:

v

nv

S11

2

2

P

vv C 11 2P• è quindi possibile fare la seguente affermazione:

v

n

v

n SS

11

22

2

P

Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn

2

Infe 02 - 21 / 28

Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn

2

Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione

infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione

normale, media e varianza 2, c’è una probabilità pari a:

che l’intervallo casuale:

contenga il valore della varianza 2 per l’intera popolazione.

vv CC 11 22 PP

v

n

v

n SSI

1,

1

22

I è chiamato intervallo di confidenza allo per la varianza

Infe 02 - 22 / 28

Intervallo di confidenza allo ... ?

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica pertanto non è agevole individuare

il valore di v da cui si ottiene

un intervallo simmetrico con una prestabilita confidenza

0,100,05

da cui = 0,85 e non 0,90 !!!

– esempio: gdl = 10

C2 0,05 = 0,394 da cui:

v 0,6

Infe 02 - 23 / 28

Intervallo di confidenza allo 0,90

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica:

si preferisce pertanto definire un intervallo asimmetrico individuato dai due quantili

C 2/ 2 e C 2

1- / 2

– esempio: gdl = 10

= 0,900,050,05

Infe 02 - 24 / 28

Intervallo di confidenza

• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera

popolazione corrispondente ai due quantili C 2/2 e C 2

1 - /2

corrispondenti alla confidenza scelta?

corrisponde alla:

• varianza campionaria corretta:

22/

22

22/1

2

22/12

22

2/

C

S

C

S

CS

C

nn

n

P

P

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

Infe 02 - 25 / 28

Intervallo di confidenza

• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera

popolazione corrispondente ai due quantili C 2/2 e C 2

1 - /2

corrispondenti alla confidenza scelta?

l’intervallo cercato è:

• varianza campionaria corretta:

2

2/1

2

22/1

2

, C

S

C

S nn

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

Infe 02 - 26 / 28

Stima intervallo di confidenza con 2

• varianza campionaria:

• avendo introdotto la distribuzione “chi-quadro”

è stato possibile affermare che la variabile aleatoria 2

segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..

n

i

nin XXn

S

1

22

1

1

n

i

nin XXSn

1

2

2

2

1

Infe 02 - 27 / 28

Stima intervallo di confidenza con 2

• varianza campionaria:

n

i

nin XXn

S

1

22

1

1

• se dispongo dei valori della 2

2

22

1 1χ

nn

Sn

1χ

1χ 2

22

2

2

inf,1sup,1

nS

nS

QnQn

nn

Infe 02 - 28 / 28

Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn

2

Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione

infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione

normale, media e varianza 2, c’è una probabilità pari a:

che l’intervallo casuale:

contenga il valore della varianza 2 per l’intera popolazione.

2222

inf,1sup,1χχχχ

QnQn PP

1χ

,1χ 2

2

2

2

inf,1sup,1

nS

nS

IQnQn

nn

I è chiamato intervallo di confidenza allo per la varianza

Infe 02 - 29 / 28

Infe 02 - 30 / 28

E’ possibile sostenere che:

estraendo a caso un campione { X1, X2, …, Xn } con n finito da

una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con

distribuzione normale, media e varianza 2 incognite, c’è una

probabilità pari a 1 - che l’intervallo casuale

con T variabile distribuita secondo la t di Student con n -1 g.d.l.

e con t1-/2 il valore del suo quantile (1 - /2)contenga il valore della media della popolazione.

I1- è l’intervallo di confidenza allo 1 - per la media

Intervalli di confidenza per media campionaria standardizzata con n finito e 2 sconosciuta

2/11 a

nn t

n

SXI

Infe 02 - 31 / 28

parte 4 esercizi su: stime per intervalli della varianza

Infe 02 - 32 / 28

Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta:

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile

casuale X avente distribuzione normale un campione di n

elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,

• allora la variabile casuale 2 :

segue una distribuzione di tipo “chi-quadro” con n -1 gdl.

111

2

2

22

nXXS

nn

j

njn

Infe 02 - 33 / 28

f ( ² )

²

La variabile 2

n

j

njnXXS

n1

2

2

22 1

Infe 02 - 34 / 28

Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta:

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile

casuale X avente distribuzione normale un campione di n

elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,

• allora la variabile casuale C 2 :

segue una distribuzione di tipo “modificata di chi-quadro”

con n -1 gradi di libertà.

11

1

1

2

2

22

nXX

n

SC

n

j

njn

Infe 02 - 35 / 28

La variabile C2

f ( C ² )

C ²

n

j

njnXX

n

SC

1

2

2

22

1

1

Infe 02 - 36 / 28

se la X ha distribuzione normale la probabilità cercata corrisponde alla :

Riassunto stimatori campionari

• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza

campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera

popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?

• varianza campionaria corretta:

v

nv

S11

2

2

P

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

vv C 11 2P

Infe 02 - 37 / 28

Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta:

v

n

v

n

vn

v

SS

S

11

11

22

2

2

2

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza

campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera

popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?

Infe 02 - 38 / 28

Riassunto stimatori campionari

• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza

campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera

popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?

• varianza campionaria corretta:

v

n

v

n SS

11

22

2

P

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

corrisponde alla area della regione campita in verde:

Infe 02 - 41 / 28

Riassunto stimatori campionari

• Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo

• varianza campionaria corretta:

vC 12P

v

n

v

n SS

1,

1

22

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

• con le nostre tavole:

vC 12P

Infe 02 - 42 / 28

Riassunto stimatori campionari

• Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo

• varianza campionaria corretta:

v

v

C

C

1

12

2

PP

v

n

v

n SS

1,

1

22

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

• con le nostre tavole:

Infe 02 - 43 / 28

Intervallo di confidenza allo ... ?

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica pertanto non è agevole individuare

il valore di v da cui si ottiene

un intervallo simmetrico con una prestabilita confidenza

0,100,05

da cui = 0,85 e non 0,90 !!!

– esempio: gdl = 10

C2 0,05 = 0,394 da cui:

v 0,6

Infe 02 - 44 / 28

Intervallo di confidenza allo 0,90

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica:

si preferisce pertanto definire un intervallo asimmetrico individuato dai due quantili

C 2/ 2 e C 2

1- / 2

– esempio: gdl = 10

= 0,900,050,05

Infe 02 - 45 / 28

Intervallo di confidenza

• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera

popolazione corrispondente ai due quantili C 2/2 e C 2

1 - /2

corrispondenti alla confidenza scelta?

corrisponde alla:

• varianza campionaria corretta:

22/

22

22/1

2

22/12

22

2/

C

S

C

S

CS

C

nn

n

P

P

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

Infe 02 - 46 / 28

Intervallo di confidenza

• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera

popolazione corrispondente ai due quantili C 2/2 e C 2

1 - /2

corrispondenti alla confidenza scelta?

l’intervallo cercato è:

• varianza campionaria corretta:

2

2/1

2

22/1

2

, C

S

C

S nn

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

Infe 02 - 47 / 28

Stima intervallo di confidenza con 2

• varianza campionaria:

• avendo introdotto la distribuzione “chi-quadro”

è stato possibile affermare che la variabile aleatoria 2

segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..

n

i

nin XXn

S

1

22

1

1

n

i

nin XXSn

1

2

2

2

1

Infe 02 - 48 / 28

Stima intervallo di confidenza con 2

• varianza campionaria:

n

i

nin XXn

S

1

22

1

1

• se dispongo dei valori della 2

2

22

1 1χ

nn

Sn

1χ

1χ 2

22

2

2

inf,1sup,1

nS

nS

QnQn

nn

Infe 02 - 49 / 28

Esercizio 6

Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza cercato mediante la:

Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria corretta, dei quantili della C 2 e dei gradi di libertà si ottiene infine:

2inf

22

2sup

2

Q

n

Q

n

C

S

C

S

2169166,0

360

57,2

360140 2

57,2;166,0 2sup

2inf QQ CC