Inf & sup di funzioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

Università Degli Studi di Reggio Calabria Facoltà Di Ingegneria

DOCUMENTO REDATTO DAL DOTT. S. Caltabiano

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)

Dott. S. Caltabiano 2

Definizione 1

Sia AR un insieme non vuoto. Se esiste un numero mA. tale che:

m a aA

diciamo che è il minimo per l’insieme A. Usualmente il minimo di A si denota con:

min(A):=m

Ovviamente il minimo se esiste è unico.

Se esiste un numero MA tale che:

a M aA

diciamo è il massimo per l’insieme A. Usualmente il massimo di A si denota con:

max(A):=M

Ovviamente il massimo se esiste è unico.

Definizione 2

Sia AR un insieme non vuoto. Diciamo che un numero hR. è un minorante per

l’insieme A se:

h a aA

Non è detto che ogni insieme ammetta minorante, ad esempio l’intervallo ]–,0[ non

ammette minorante.

Diciamo che un numero kR. è un maggiornate per l’insieme A se:

a k aA

Non è detto che ogni insieme ammetta maggiorante, ad esempio l’intervallo ]0,+[

non ammette maggiorante.

Definizione 3

Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato inferiormente se ammette almeno

un minorante.



Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato superiormente se ammette almeno

un maggiorante.

Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato se è limitato inferiormente e

superiormente.

Teorema 1

Se AR un insieme non vuoto

Ts: A è limitato se e solo se >0 t.c. a < aA

Teorema 2

Se AR un insieme limitato inferiormente (rispettivamente superiormente) e BA

Ts: B è limitato inferiormente (rispettivamente superiormente)

Definizione 4

Sia AR un insieme non vuoto. Se A è limitato inferiormente diciamo estremo

inferiore di A il numero:

e=max{hR : ha aA}

cioè e è il più grande dei minoranti. Usualmente l’estremo inferiore di A si denota

con la scrittura:

inf(A):= e

Ovviamente inf(A) è unico. Se l’insieme A ammette minimo, per l’unicità deve

necessariamente essere che inf(A)=min(A).

Se A è limitato superiormente diciamo estremo superiore di A il numero:

e =min{kR : ak aA}

cioè e è il più piccolo dei maggioranti. Usualmente l’estremo superiore di A si

denota con la scrittura:

sup(A):= e



Ovviamente sup(A) è unico. Se l’insieme A ammette massimo per l’unicità deve

necessariamente essere che sup(A)=max(A).

Negli esercizi inerenti inf e sup gio0cano un ruolo fondamentali, i seguenti

semplici risultati.

Teorema 3

Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente

Ts: inf(A)=min(A) se e solo se inf(A)A

Teorema 4

Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente

Ts: sup(A)=max(A) se e solo se sup(A)A

Teorema 5

Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia s

Ts: s=inf(A) se e solo se

saas

A t.c. 0minoranteun è

Teorema 6

Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia s

Ts: s =sup(A) se e solo se

saas

A t.c. 0emaggiorantun è

Teorema 7

Sia AR un insieme non vuoto



Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:

(1) Se l’insieme A è limitato inferiormente allora –A è limitato superiormente e si ha

inf(A)=–sup(–A)

(2) Se l’insieme A è limitato superiormente allora –A è limitato inferiormente e si ha

sup(A)=–inf(–A)

Teorema 8

Sia AR un insieme non vuoto


(1) Se A ammette minimo allora –A ammette massimo e si ha min(A)=–max(–A)

(2) Se A ammette massimo allora –A ammette minimo e si ha max(A)=–min(–A)

Teorema 9

Sia AR un sottoinsieme non vuoto; sia bR e sia c 0R ; e ricordiamo che B:=

b+A:={b+a : aA} e C:=cA:={ca : aA}


(1) Se A è limitato inferiormente allora gli insiemi bA e cA sono limitati

inferiormente ed inoltre inf(b+A)=b+inf(A) e inf(cA)=c inf(A)

(2) Se A è limitato superiormente allora gli insiemi bA e cA sono limitati

superiormente ed inoltre sup(b+A)=b+sup(A) e sup(cA)=c sup(A)

Teorema 10

Sia AR un insieme non vuoto; sia bR; sia c 0R

Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:

(1) Se A ammette minimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono minimo ed inoltre

min(b+A)=b+min(A) e min(cA)=c min(A)



(2) Se A ammette massimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono massimo ed

inoltre max(b+A)=b+max(A) e max(cA)=c max(A)

Teorema 11

Siano A,BR due insiemi non vuoti. Ricordiamo che A+B:={a+b : aA e bB}


(1) Se A e B sono limitati inferiormente allora l’insieme A+B è limitato inferiormente

e si ha che inf(A+B)=inf(A)+inf(B)

(2) Se A e B sono limitati superiormente allora l’insieme A+B è limitato

superiormente e si ha che sup(A+B)=sup(A)+sup(B)

Teorema 12

Siano A,BR due insiemi non vuoti


(3) Se A e B ammettono minimo allora l’insieme A+B ammette minimo e si ha che

min(A+B)=min(A)+min(B)

(4) Se A e B ammettono massimo allora l’insieme A+B ammette massimo e si ha che

max(A+B)=max(A)+max(B)

Teorema 13

Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia hR un minorante di A

Ts: Se hA allora h=min(A)=inf(A)

Teorema 14

Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia kR un maggiorante di A

Ts: Se kA allora k=max(A)=sup(A)



Esempio 1

Assegnato l’insieme:

A:=

nxNnRx 1 t.c. :

Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta

affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.

Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Per fare ciò possiamo attribuire alla

n valori crescenti e vedere così l’andamento degli elementi di A:

1 ;21 ;

31 ;

41 ;

51 ; … ;

101

si intuisce che 1 è un maggiorante. Per verificare tale affermazione, dobbiamo

provare che:

n11 nN

ovvero che:

n1 nN

che è palesemente vera. Un altro metodo per la ricerca dei maggioranti è quello di

affidarsi alle maggiorazioni (quest’ultimo metodo nel caso considerato ci dice

immediatamente che 1 è un maggiorante). Abbiamo già osservato che 1 è un

maggiorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA tale

che a>1– e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che:

n*N t.c. *

1n

>1–

Se 1 allora 1–0 e di conseguenza basta scegliere un qualunque n*N. Se 0<<1

allora ambo i membri sono strettamente positivi e quindi possiamo passare ai

reciproci:

n*<1

1



poiché 1–<1 il secondo membro della precedente è >1 e di conseguenza basta

scegliere n*=1. In questo caso il ragionamento precedente poteva essere evitato,

infatti bastava osservare che per n=1 l’elemento corrispondente x=1/1=1 e quindi

1A e di conseguenza per il Teorema 14 max(A)=1.

Per quanto riguarda la ricerca dei minoranti di A, si può precedere come nel caso

precedente. Tuttavia si osserva che gli elementi di A sono strettamente positivi e di

conseguenza 0 è un minorante per l’insieme A. In questo caso 0A e quindi non

possiamo fare uso del Teorema 13. Verifichiamo se 0 è candidato ad essere l’estremo

inferiore, e per fare ciò adoperiamo il Teorema 5. Abbiamo già detto che 0 è un

minorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA tale che

a<0+= e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che:

n*N t.c. *

1n

<

Si isola n* e si ottiene:

n*>1

al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindi

basta scegliere un n*N più grande di tale quantità. Quindi 0 è l’estremo inferiore A.

Per il Teorema 3 A non ammette minimo.

Esempio 2


A:= 2 t.c. : 2 nxNnRx



Verifichiamo se l’insieme ammette minorante. Osserviamo che:

–1=1–2n–2n2–2 nN

e pertanto –1 è un minorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che il

corrispondente elemento x=12–2=1–2=–1 e quindi segue dal Teorema 13 che –1 è il



minimo di A. Per vedere se A ammette maggiorante attribuiamo alla n valori

crescenti e vediamo così l’andamento degli elementi di A:

–1 ;2 ; 7 ; 14 ; 23 ; … ; 98

si intuisce che l’insieme A non è limitato e che quindi non ammette maggioranti. Per

verificare tale affermazione, dobbiamo provare che:

K>0 nN t.c. n2–2>K

Si isola n e si ottiene:

n> 2K


basta scegliere un nN più grande di tale quantità.

Esempio 3


A:=

n

nxNnRx5

32 t.c. :



Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Attribuendo valori crescenti alla n:

1 ; 107 ;

53 ;

2011 ; … ;

5023

si intuisce che 1 è un maggiorante di A. Per verificare che 1 è un maggiorante di A,

dobbiamo provare che:

15

32

n

n nN

Risolvendo:

15

32

n

n 2n+35n 33n n1



e quest’ultima evidentemente è vera per ogni nN. E pertanto 1 è un maggiorante per

A, ed inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondente elemento x=1 e quindi segue

dal Teorema 14 che 1 è il massimo di A.

Ovviamente l’insieme A è limitato inferiormente poiché gli elementi di A sono

strettamente positivi e di conseguenza 0 è un minorante di A. Ma 0 non è l’inf, poiché

non è il più grande dei minoranti, infatti un altro minorante è dato da:

nn5

32 =52 +

n53

52 nN

Ci proponiamo di provare che 2/5 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario

>0 dobbiamo provare che esiste un nN tale che:

nn5

32 <52 +

Risolvendo la disequazione rispetto alla n, si trova che:

n>5

3


basta scegliere un nN più grande di tale quantità. Osserviamo che 2/5A e quindi

segue dal Teorema 3 che A non ammette minimo.

Facciamo osservare che lo studio degli estremi di A poteva essere semplificato

notevolmente. Infatti osserviamo che:

A:=

nxNnRx 1

53

52 t.c. : =

52 +

53 B

dove si è posto:

B:=

nxNnRx 1 t.c. :

Dall’Esempio 1, dal Teorema 9 segue che

inf(A)=52 +

53 inf(B)=

52 +

53 0=

52

Analogamente dall’Esempio 1, dal Teorema 10 segue che



max(A)=52 +

53 max(B)=

52 +

53 1=

52 +

53 =

52 +

53 =1

in accordo con quanto suddetto.

Esempio 4


A:=

n

nxNnRx 1 t.c. :



Osserviamo che:

A:=

nxNnRx 11 t.c. : =1–B

dove si è posto:

B:=

nxNnRx 1 t.c. :

Per l’Esempio 1, per il Teorema 8, per il Teorema 10 segue che:

min(A)=min(1–B)=1+min(–B)=1–max(B)=1–1=0

Per l’Esempio 1, per il Teorema 7, per il Teorema 9 segue che:

sup(A)=sup(1–B)=1+sup(–B)=1–inf(B)=1–0=1

Esempio 5


A:=

nnxNnRx 1 t.c. :



Attribuendo valori alla n si intuisce che 2 è un minorante per A. Per verificare tale

affermazione dobbiamo provare che:



nn 1 2 nN

Risolviamo rispetto ad n e dimostriamo che la suddetta disequazione vale per ogni

nN:

nn 1 2 n2–2n+10

e quindi:

n= 111 =1

e quindi la disequazione è soddisfatta per nN come volevasi. E pertanto 2 è un

minorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondente

elemento x=2 e quindi segue dal Teorema 13 che 2 è il minimo di A.

Osserviamo adesso che:

nn 1 >n nN

e questo evidentemente ci dice che l’insieme A non è limitato superiormente.

Esempio 6


A:=

n

nxNnRx n 1)1( t.c. :



Osserviamo che:

nnn 1)1(

=n

n 1 =n11 1 nN

e quindi segue dal Teorema 1 che l’insieme A è limitato. Esplicitando il modulo nella

disuguaglianza precedente otteniamo:

–1n

nn 1)1( 1 nN



e quindi –1 e 1 sono rispettivamente un minorante ed un maggiorante di A. Vogliamo

provare che 1 è l’estremo superiore per A. Fissato un arbitrario >0 dobbiamo

provare che:

nN t.c. n

nn 1)1( >1–

Consideriamo gli n pari e quindi:

nn 1 >1– n–1>n–n –1>–n 1<n n>1/

e quindi basta scegliere un n pari più grande di 1/. Si osserva che al variare di n

1=sup(A)A e di conseguenza per il Teorema 4 l’insieme A non ammette massimo.

Vogliamo provare adesso che –1 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario >0

dobbiamo provare che:

nN t.c. n

nn 1)1( <1+

Consideriamo gli n dispari e quindi:

–n

n 1 <1+ –(n–1)<n+n –n+1<n+n 1<n(+2) n>1/(+2)

e quindi basta scegliere un n dispari più grande di 1/(+2). Si osserva che al variare di

n–1=inf(A)A e di conseguenza per il Teorema 3 l’insieme A non ammette minimo.

Esempio 7


A:= 2 t.c. : [77,90] 2 nxNnx

Determinare se l’insieme è limitato.

Poiché A]–90,77[ segue allora dal Teorema 2 che A è limitato.

Esempio 8




A:=

nm

nmxNmnRx 23 t.c., :


affermativa trovare l’inf ed il sup.

Osserviamo che:

A:=

mnxNnRx 23 t.c. : =3B–2C

dove si è posto:

B:=

nxNnRx 1 t.c. : e C:=

mxNmRx 1 t.c. :

Per l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:

inf(A)=inf(3B–2C)= inf(3B)+ inf(–2C)=3inf(B)+2inf(–C)=

=3inf(B)–2sup(C)=30–21=–2

Per l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:

sup(A)=sup(3B–2C)= sup(3B)+sup(–2C)=3sup(B)+2sup(–C)=

=3sup(B)–2inf(C)=31–20=3

Esempio 9


A:=

2

2

213 t.c. :

nnxNnRx



Osserviamo che:

A=

22

123 t.c. :

nxNnRx =

23 –

21 B

Dove si è posto:

B:=

2

1 t.c. : n

xNnRx



Procedendo come nei casi precedenti si trova che inf(B)=0 e max(B)=1. Per il

Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:

inf(A)=

B

21

23inf =

23 +

21 inf(–B)=

23 –

21 sup(B)=

23 –

21 max(B)=

23 –

21 =1

Per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:

sup(A)=

B

21

23sup =

23 +

21 sup(–B)=

23 –

21 inf(B)=

23 –

210=

23

Esercizi

Determinare se i seguenti insiemi sono limitati inferiormente, superiormente, ed in

caso di risposta affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.

(1)

n

nxNnRx n

223)1( t.c. :

(2)

nxNnRx 1 t.c. :

(3) N

nxNnRx 1 t.c. :

(4) 1022 t.c. : 2 nnxNnRx

(5) 35 t.c. : 2 nnxNnRx

(6)

21 t.c.[,2] :

ttxtRx

(7) 13 t.c. : 2 nnxNnRx

(8)

nsinxNnRx

8 t.c. :

(9) razionale è : 2xRx

(10)

n

xNnRxn)1( t.c. :

(11) yxyyRyRx e 2 t.c. : 2

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