1

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

La rivoluzione determinata dall'utilizzo dell'energia elettrica su larga scala non poteva fondarsi sulla creazione di corrente ad opera della pila di Volta. Ci voleva un modo più efficace di produrre corrente. Spesso, nella storia della fisica, si è ragionato per analogie e simmetrie; nel caso dell'elettromagnetismo gli scienziati dell'epoca si domandarono: Se la corrente genera un campo magnetico, può un campo magnetico generare una corrente? Nel 1821, un anno dopo la scoperta di Oersted, il giovane inglese Michael Faraday (1791-1867), assistente di chimica autodidatta, ebbe l'incarico di compilare una storia delle esperienze recenti sull'elettromagnetismo.

Faraday ripetè le esperienze nel suo laboratorio e ne programmò altri; si soffermò in particolare sull'andamento della forza magnetica nello spazio che descrisse in termini di linee di campo. Fu Faraday, infatti, il primo a proporre la descrizione grafica del campo magnetico (e in seguito anche quella del campo elettrico) in termini di linee di campo, cui attribuiva una vera e propria presenza fisica nello spazio, mentre gli scienziati contemporanei ne parlavano in termini di azione a distanza.

Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism (1873): “. . Faraday, nella sua immaginazione, vedeva linee di forza che attraversavano l'intero spazio dove i matematici vedevano centri di forza che si attiravano a distanza; Faraday cercava la sede dei fenomeni nelle azioni reali che si verificavano nel mezzo, mentre questi erano appagati dall'averla trovata in una potenza dell'azione a distanza impressa sui fluidi elettrici . .” I grandi della scienza, Maxwell, p.46

Nel 1824 Faraday tentò di produrre corrente per mezzo del magnetismo e a questo problema dedicò diversi anni, finchè, nel 1831, arrivò quasi per caso alla soluzione del problema

Michael Faraday

2

Esperienze in laboratorio

Esperienza 1: si ha a disposizione una bobina connessa ad un amperometro molto sensibile ed un magnete. Come fare per produrre corrente nella bobina, senza ricorrere ad un generatore? Fai qualche esperimento, annotando per quali casi riesci a produrre corrente (osserva l'ago dell'amperometro) e, se l'amperometro ha uno zero centrale, prendi nota anche del verso della corrente.

Se il magnete viene mosso rispetto alla bobina, si nota che l'ago dell'amperometro si muove, segnalando un passaggio di corrente. In questo caso parliamo di corrente indotta. Il movimento dell'ago è tanto più evidente quanto più veloce è il movimento. Se il magnete è in quiete rispetto alla bobina, cessa il passaggio di corrente indotta.

Si può notare che il verso della corrente indotta dipende dal movimento di avvicinamento (a) o allontanamento (b) del magnete (muovendo il magnete con moto oscillatorio, il verso della corrente cambia continuamente). Il verso della corrente dipende anche dal polo magnetico che si avvicina (o allontana) dalla bobina.

Esperienza 2: si hanno a disposizione due bobine, una A con generatore (circuito primario), una B senza (circuito secondario), ma collegata ad un amperometro. Fra le due bobine non c'è contatto elettrico. Bisogna far circolare corrente (indotta) nel circuito secondario.

Se si chiude o si apre l'interruttore della bobina primaria, si può notare un movimento nell'amperometro collegato al secondario. La stessa cosa avviene, variando (meglio se velocemente) la corrente del primario.

Si osserva il verso della corrente indotta (in B) da un aumento della corrente in A è opposto a quello della corrente indotta da una diminuzione di corrente in A.

La corrente indotta dura solo per un breve intervallo di tempo, durante la variazione di corrente in A. Se nel circuito primario circola invece una corrente anche molto intensa, ma stazionaria, non si ha corrente indotta nel secondario.

Il fenomeno è molto più evidente se si introduce un nucleo di ferro nelle due bobine. La sua presenza non è essenziale, ma ne intensifica l'effetto.

3

Legge di induzione elettromagnetica di Faraday Neumann

Con le esperienze di Faraday si è ottenuta la produzione di corrente indotta. Che cosa accomuna i due esperimenti?

Il circuito in cui circola la corrente indotta è sempre immerso in un campo magnetico (quello del magnete nel primo esperimento, quello generato dalla corrente del circuito primario nel secondo esperimento). In condizioni stazionarie, però, non avviene nulla. Il fenomeno di induzione elettromagnetica si verifica con il cambiamento nel tempo di qualche grandezza. Cosa cambia nel tempo?

L'intuizione delle linee di campo di Faraday è stata fondamentale per una chiave di lettura del fenomeno: Faraday capì che la grandezza che variava nel tempo era il numero di linee di campo magnetico che attraversavano il circuito, in altre parole, la variazione di flusso magnetico attraverso le spire.

Ricordiamo che il flusso di campo magnetico attraverso una superficie si calcola in modo analogo al flusso di campo elettrico:

Se il campo magnetico B è uniforme nello spazio e la superficie A è piana, il flusso magnetico ΦB è definito come il prodotto scalare del vettore B e del vettore superficie A (vettore di modulo A, perpendicolare alla superficie e verso uscente da essa):

ΦB = B A

Se il campo B non è uniforme o se la superficie A non è piana, il flusso magnetico ΦB è definito tramite un integrale esteso a tutta la superficie A:

4

L'unità di misura del flusso magnetico è il weber (simbolo Wb)

1 Wb = 1 T m2

Faraday non era un teorico. La legge trovata da Faraday fu espressa matematicamente da Franz Ernst Neumann (1798-1895), fisico tedesco e prende quindi il nome di

Legge di Faraday-Neumann:

la derivata del flusso di campo magnetico nel tempo rappresenta la forza elettromotrice indotta nella spira

Si può verificare che la formula ha consistenza dimensionale.

Il segno - della legge è una conseguenza della conservazione dell'energia e determina il verso della forza elettromotrice indotta e quindi della corrente. Di ciò si occupa la legge di Lenz.

La corrente indotta nella bobina dipende, naturalmente, dalla resistenza elettrica R della bobina stessa:

iindotta = εindotta / R

5

Legge di Lenz

Potrebbe sembrare che con l'induzione elettromagnetica si ottenga dell'energia elettrica gratis: come funziona la conservazione dell'energia?

Al fisico russo Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865) si deve la seguente scoperta, fatta nel 1834: la corrente indotta in una spira ha un verso tale da opporsi alla variazione di flusso che la ha prodotta.

Se si avvicina il polo NORD di un magnete naturale verso una bobina, il flusso magnetico attraverso di essa aumenta e la corrente indotta che si genera trasforma la bobina in un elettromagnete con il polo NORD opposto a quello del magnete naturale che si avvicina.

In tal modo si crea una forza magnetica repulsiva che che si oppone all'avvicinamento: per muovere il magnete verso la spira occorre fare un lavoro contro la forza di repulsione ed è proprio questo lavoro che viene speso in energia elettromagnetica.

Se invece si allontana il polo NORD del magnete naturale dalla bobina, il flusso magnetico

attraverso di essa diminuisce e la corrente indotta ha verso tale da trasformare la bobina in un elettromagnete con il polo SUD verso il magnete che si allontana.

Ora la forza magnetica è attrattiva e si oppone all'allontanamento: il lavoro fatto contro la forza di attrazione è speso in energia elettromagentica.

E' una questione di conservazione dell'energia: bisogna fare lavoro contro una forza esterna per avere energia elettromagnetica

6

Spira rotante in un campo magnetico

La forza elettromotrice indotta è dovuta alla variazione nel tempo del flusso magnetico attraverso una superficie, cioè all'esistenza di una derivata non nulla del flusso rispetto al tempo:

Il flusso magnetico varia nel tempo se almeno una delle seguenti grandezze non è stazionaria:

1. l'intensità B di campo magnetico 2. l'area A della superficie 3. l'orientazione della superficie, cioè l'angolo α tra il vettore superficie e il vettore campo

magnetico

La dinamo trasforma energia cinetica in energia elettrica. Alla base del suo funzionamento c'è una spira rotante all'interno di un campo magnetico.

Una spira di area 1 cm2 viene fatta ruotare in un campo magnetico uniforme di 5 mT con una velocità angolare di 10 rad/s.

Determina la legge di variazione della forza elettromotrice indotta nella spira ed il suo valore massimo.

Dati del problema Richieste

A = 1 cm2 = 10-4 m2

superficie della spira εindotta = f (t) legge della forza elettromotrice indotta

B = 5 mT campo magnetico in cui è immersa la spira

Vmax massimo valore della forza elettromotrice

ω = 10 rad/s velocità angolare della spira

Se la spira ruota, l'angolo α varia nel tempo con legge lineare α = ω t e quindi il flusso varia nel tempo con una legge sinusoidale:

Φ(t) = B A cos (ω t)

La derivata di Φ(t) è Φ'(t) = - B A ω sen (ω t)

e quindi anche la forza elettromotrice indotta varierà nel tempo in modo sinusoidale:

7

εindotta(t) = B A ω sen (ω t)

La forza elettromotrice è alternata e oscilla con pulsazione ω e ampiezza

Vmax = B A ω

Sostituendo i dati del problema si ottiene:

Vmax = 5 10-6 V

8

Induttanza

L'induzione elettromagnetica, cioè la produzione di corrente indotta è stata vista finora come interazione tra due elementi: bobina e magnete, due bobine o spira e magnete.

Una singola bobina, però, può fungere sia da circuito induttore che da circuito indotto, cioè può provocare su se stessa la creazione di corrente indotta, accanto alla corrente ordinaria. Questo avviene ogni volta che c'è una variazione della corrente ordinaria.

In una bobina circola una corrente i stazionaria. Ad un certo istante il valore della corrente viene bruscamente aumentato. Questa variazione causa una corrente indotta che si sovrappone ad i. Quale sarà il verso della corrente indotta?

1. il verso della corrente indotta è concorde con i 2. il verso della corrente indotta è opposto a quello di i

Analizziamo alcune analogie tra due diversi componenti di circuiti elettrici: un condensatore carico ed una bobina percorsa da corrente.

Tra le piastre del condensatore carico si crea un campo elettrico E uniforme

All'interno della bobina percorsa da corrente si crea un campo magnetico B uniforme.

Con la legge di Gauss si dimostra che il campo elettrico tra le

piastre cariche vale E = σ / ε0 (con σ densità superficiale di carica ed ε0 costante dielettrica del vuoto).

Con la legge di Ampère si dimostra che il campo magnetico

creato dal passaggio di corrente vale B = µ0 n i (con µ0 permeabilità magnetica del vuoto, n densità lineare delle spire e i intensità di corrente).

Una grandezza caratteristica del condensatore è la capacità C data dal rapporto costante tra carica Q e differenza di potenziale V tra le piastre:

C = Q / V. La capacità si misura in farad (simbolo F) 1 F = 1 C / V

Una grandezza caratteristica della bobina è il coefficiente di autoinduzione o induttanza L data dal rapporto costante tra il flusso magnetico NΦB concatenato alle N spire e l'intensità di corrente i:

L = N ΦB / i L'induttanza si misura in henry (simbolo H) 1 H = 1 Wb / A

La capacità di un condensatore e l'induttanza di una bobina dipendono unicamente dalle caratteristiche geometriche e dal mezzo interposto tra le piastre o inserito all'interno delle spire.

9

Per un condensatore piano con piastre di superficie A poste a distanza d, la capacità vale: C = ε A / d (dove ε è la costante dielettrica del mezzo).

Esprimi l'induttanza di una bobina in funzione delle sue caratteristiche geometriche e del mezzo posto al suo interno.

Le caratteristiche geometriche di una bobina sono:

� la lunghezza l � la sezione A delle spire � il numero delle spire N (densità delle spire n = N / l)

Dalla definizione di induttanza si ha:

L = N ΦB / i = N B A / i = N µ0 n i A / i = µ0 N2 A / l

Se all'interno della bobina viene inserito un nucleo di materiale ferromagnetico di permeabilità magnetica µ, l'induttanza vale:

L = µ N2 A / l

In una bobina lunga 4 cm, formata da 700 avvolgimenti di area 1 cm2 circola una corrente i stazionaria. Ad un certo istante la corrente diminuisce con una variazione di -300 A/s. Determina il valore della fem indotta.

Dati del problema Richieste

l = 4 cm = 4 10-2 m lunghezza della bobina εindotta forza elettromotrice indotta

N = 700 numero degli avvolgimenti

A = 1 cm2 = 10-4 m2 area degli avvolgimenti

di/dt = - 300 A/s variazione di corrente nel tempo

µ0 = 1,26 10-6 N/A2 permeabilità magnetica del vuoto

Finchè la corrente è stazionaria non ci sono fenomeni di induzione elettromagnetica, infatti anche il flusso magnetico NΦB = L i è stazionario nel tempo. Durante la diminuzione di corrente, si ha una variazione del flusso. Applichiamo la legge di Faraday:

εindotta = - d NΦB / dt = - L di/dt

Dai dati del problema si calcola il valore dell'induttanza: L = 1,54 mH

La forza elettromotrice indotta vale quindi:

εindotta = 0,46 V

10

Il segno positivo significa che essa provoca una corrente indotta concorde con la corrente che sta diminuendo. La corrente indotta ostacola la diminuzione della corrente ordinaria durante il tempo della variazione.

Quando la corrente si stabilizza su un nuovo valore, la corrente indotta cessa. In ogni circuito in cui è presente una bobina, si ha un ritardo nel raggiungimento di una nuova situazione di equilibrio.

Quando un circuito viene aperto o chiuso, la brusca variazione di corrente provoca una cosiddetta extracorrente di apertura o di chiusura del circuito. (Spesso togliendo o inserendo una spina si nota infatti una scintilla dovuta all'extracorrente).

11

CAMPI ELETTRICI INDOTTI

Campo magnetico variabile nel tempo

In un solenoide percorso da corrente si crea un campo magnetico B uniforme. Inseriamo nel solenoide un anello conduttore di raggio r (minore del raggio del solenoide). Finchè il campo magnetico rimane stazionario nel tempo, nell'anello non si crea alcuna corrente indotta. Se però la corrente del solenoide aumenta linearmente nel tempo, anche l'intensità del campo magnetico B aumenta con una legge lineare.

Quanto vale la forza elettromotrice indotta sull'anello? E che verso ha la corrente indotta?

La corrente (in blu) circola in verso orario e aumenta nel tempo. Il campo B (in blu) entra nel foglio ed il suo valore cresce nel tempo.

L'intensità di campo magnetico aumenta nel tempo con legge lineare:

B(t) = k t (con k > 0)

Il flusso magnetico attraverso l'anello aumenta nel tempo, con legge:

ΦB (t) = B(t) A cos α = k t A cos α

A = π r2 è la superficie racchiusa dall'anello e α è l'angolo compreso tra il vettore B e il vettore superficie A. In questo caso si ha cos α = 1

La forza elettromotrice indotta è data dalla derivata (cambiata di segno) del flusso rispetto al tempo:

εindotta = - k A

L'aumento di flusso magnetico attraverso l'anello causa una forza elettromotrice indotta costante e quindi un campo elettrico indotto E che fa muovere gli elettroni di conduzione dell'anello. In ogni punto dell'anello il campo E indotto avrà direzione e verso della corrente.

La corrente indotta e il campo E indotto (in rosso) hanno un andamento antiorario

Per la legge di Lenz, il verso della corrente indotta è antiorario per opporsi alla causa, cioè all'aumento della corrente del solenoide. Se la corrente del solenoide diminuisse la corrente indotta nell'anello avrebbe lo stesso verso (orario) della corrente del solenoide.

Possiamo concludere che:

12

Un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico indotto.

Le linee del campo elettrico indotto sono linee circolari chiuse.

Abbiamo quindi due tipi di campi elettrici:

� Il campo elettrostatico creato da cariche elettriche statiche con linee aperte che nascono e muoiono nei punti in cui si trovano le cariche

� Il campo elettrico indotto da una variazione di flusso magnetico, con linee chiuse perpendicolari alle linee di campo magnetico

Il campo elettrico indotto non ha bisogno del supporto fisico dell'anello conduttore, esso è presente in tutto lo spazio (anche vuoto) al di fuori dell'anello ed anche in assenza dell'anello, purchè ci sia una variazione di campo magnetico. Per ragioni di simmetria, le linee di campo sono sempre cerchi concentrici perpendicolari alle linee di campo magnetico.

Il campo E indotto (in rosso) è presente in tutto lo spazio in cui sta variando il campo B

13

La circuitazione del campo elettrico indotto

Una carica elettrica di prova q0 in un campo elettrico indotto E di intensità costante si muove su un percorso circolare di raggio r sotto l'azione della forza elettrica F = E q0

Calcoliamo il lavoro elettrico L fatto per spostare la carica sul percorso chiuso. Esso è dato dall'integrale:

In questa ultima espressione possiamo riconoscere la circuitazione del campo E.

Poichè il campo E ha intensità costante su tutto il percorso, l'integrale si può facilmente risolvere:

L = = q0 E 2 π r

Come si vede, il valore dell'integrale non è nullo, il lavoro dipende dalla lunghezza del percorso compiuto: questo significa che il campo indotto E non è conservativo!

Il campo elettrostatico è conservativo: il lavoro della forza elettrica lungo un qualunque percorso chiuso è sempre nullo.

Il campo elettrico indotto non è conservativo: il lavoro della forza elettrica lungo un percorso chiuso dipende dal percorso compiuto.

Poichè il lavoro L è L = q0 εindotta, si ha:

La forza elettromotrice indotta è la circuitazione del campo indotto E

La legge di Faraday può essere scritta in termini di circuitazione di campo elettrico:

In questa forma essa costituisce una delle equazioni di Maxwell.

14

LA SINTESI DELLA FISICA CLASSICA

Il Newton dell'elettromagnetismo

Nel XVII secolo Newton operò un fondamentale momento di sintesi riconducendo tutte le leggi della meccanica a soli tre principi. Le tre leggi della meccanica di Newton riguardano le forze in genere (indipendentemente dalla loro natura). Esse, insieme alla legge di gravitazione universale che introduce una delle forze fondamentali della natura (la forza gravitazionale), costituiscono il compendio della meccanica classica. Qualunque problema di dinamica può essere affrontato a partire da queste leggi e dall'analisi della forza agente. Un ruolo analogo per l'elettromagnetismo svolgono le quattro equazioni di James Clerk Maxwell enunciate nel 1871. Ad esse va associata l'espressione della forza elettromagnetica di Lorentz, un'altra delle forze fondamentali della natura.

La meccanica di Newton L'elettromagnetismo di Maxwell

I principio (legge di inerzia) I equazione (flusso elettrico)

II principio (proporzionalità tra forza e accelerazione) II equazione (flusso magnetico)

III principio (legge di azione e reazione) III equazione (circuitazione di campo elettrico)

IV equazione (circuitazione di campo magnetico)

Forza di gravitazione universale

F = G M m / d2 Forza elettromagnetica di Lorentz

F = q E + q v B

Le leggi dell'elettromagnetismo erano numerose e riguardavano un'ampia casistica di fenomeni (legge di Coulomb, leggi sui dipoli elettrici e magnetici, interazioni tra correnti, campi magnetici generati da particolari configurazioni di correnti, induzione elettromagnetica, proprietà della materia..).

Il merito di Maxwell è stato quello di riorganizzare le conoscenze dell'epoca, individuando quali leggi potevano diventare il pilastro della nuova teoria:

� Le leggi di Gauss per l'elettricità ed il magnetismo � La legge di Faraday sull'induzione elettromagnetica � La legge di Ampère sulla circuitazione del campo magnetico

Ma soprattutto egli sottopose queste leggi a generalizzazioni ed ampliamenti così arditi da evidenziare nuove conseguenze che aprirono il campo dell'elettromagnetismo all'imprevisto sviluppo delle onde elettromagnetiche. Le quattro equazioni di Maxwell sono apprezzate anche per la loro eleganza poichè interpretano i fenomeni elettrici e magnetici utilizzando una simmetria di forma: il campo elettrico ed il campo magnetico assumono in queste equazioni un'immagine speculare l'uno dell'altro. La fisica classica trovò così la sua sintesi più alta, scambiata allora per il punto d'arrivo definitivo. Come oggi sappiamo, oltre alla forza gravitazionale e a quella elettromagnetica, rimanevano fuori altre forze fondamentali della natura (le forze nucleari) e si aprivano inoltre nuovi e inesplorati campi di indagine, quelli della fisica quantistica e relativistica.

15

Le leggi sul flusso

Le prime due equazioni di Maxwell sono le due leggi di Gauss per l'elettricità ed il magnetismo.

Esse descrivono la struttura del campo elettrico e del campo magnetico in termini di andamento delle linee di campo. La grandezza interessata è il flusso dei rispettivi campi. E' il caso di ricordare che qui si tratta di flusso attraverso una superficie gaussiana, cioè una superficie chiusa.

Il flusso di campo elettrico e quello di campo magnetico attraverso una superficie gaussiana sono definiti mediante integrali di superficie:

flusso elettrico

flusso magnetico

Possiamo subito notare una evidente asimmetria tra le due leggi.

Prima equazione di Maxwell (legge di Gauss) Seconda equazione di Maxwell (legge di Gauss per il magnetismo)

Il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica totale racchiusa: esso può essere positivo, negativo o nullo. Il campo elettrico indotto non è creato da cariche statiche e quindi il flusso di un campo elettrico indotto (attraverso una superficie chiusa) è ovunque nullo.

Il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo.

Le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettrostatico (a volte le cariche positive sono dette sorgenti, quelle negative pozzi).

Il campo magnetico non ha mai sorgenti. In natura non esistono monopoli magnetici, cioè poli NORD o SUD isolati.

Le cariche rappresentano dei punti di singolarità che interrompono la continuità delle linee di campo.

Le linee di campo magnetico sono sempre linee chiuse: non nascono dai poli magnetici, ma continuano all'interno dei magnete. Il loro verso va dal NORD al SUD fuori del magnete e dal SUD al NORD dentro il magnete.

Il ruolo della costante dielettrica ε non è tanto importante dal punto di vista numerico perché i valori numerici dipendono dalla scelta del sistema di misura, ma sottolinea che il campo elettrico dipende dal mezzo ed esiste anche nello spazio vuoto.

Conseguenze: Dalla legge di Gauss si ottiene il valore del campo E in ogni punto dello spazio in funzione della configurazione delle cariche sorgenti. In particolare si ottiene il campo creato da una singola carica puntiforme, da una sfera e da un piano caricati uniformemente. Si ricava inoltre la legge di Coulomb, la distribuzione superficiale delle cariche in un conduttore e la capacità elettrica di un condensatore piano.

16

Le leggi sulla circuitazione

Le altre due equazioni di Maxwell riguardano la circuitazione del campo elettrico e del campo magnetico. Sia il flusso che la circuitazione sono grandezze scalari associate a campi vettoriali e hanno una definizione integrale. La circuitazione, come abbiamo visto, è una operazione che si esegue lungo un immaginario percorso chiuso nella zona di spazio considerata. La circuitazione di campo elettrico e quello di campo magnetico è definita mediante integrali di linea:

Circuitazione di campo elettrico in un percorso chiuso

Circuitazione di campo magnetico in un percorso chiuso

Anche qui possiamo notare delle differenze.

Terza equazione di Maxwell (legge di Faraday) Quarta equazione provvisoria di Maxwell (legge di Ampère)

La circuitazione di campo elettrico è data dalla derivata del flusso magnetico rispetto al tempo, cambiata di segno

La circuitazione di campo magnetico è proporzionale alla sommatoria delle correnti concatenate con il percorso. Le correnti elettriche (cariche in moto) producono un campo magnetico nello spazio circostante: le correnti non possono definirsi sorgenti di campo, perché le linee di forza non nascono da esse.

La circuitazione di campo elettrico ha le dimensione fisiche di una forza elettromotrice.

La circuitazione di campo magnetico si misura in weber (1 Wb = 1 T m2) Il ruolo della permeabilità magnetica µ, come quello della costante dielettrica ε, sottolinea che il campo magnetico, come quello elettrico, dipende dal mezzo ed esiste anche nello spazio vuoto.

Il campo elettrostatico (creato da cariche elettriche statiche) è conservativo perché la circuitazione è nulla. In un campo elettrico indotto (da un flusso magnetico variabile nel tempo), la circuitazione è diversa da zero e dipende dal particolare percorso: il campo elettrico indotto non è conservativo e non ha senso introdurre un potenziale elettrico.

La circuitazione del campo magnetico non è sempre nulla e dipende dal percorso. Il campo magnetico non è conservativo e non ha senso introdurre un potenziale magnetico.

Conseguenze: Con la legge di Faraday si spiegano le correnti indotte causate dal movimento di un magnete rispetto ad una bobina, dalla rotazione di una bobina in un campo magnetico, dalle oscillazioni nel tempo di un campo magnetico e quelle indotte nel circuito secondario dei trasformatori.

Conseguenze: Dalla legge di Ampère si ottiene il valore del campo B in ogni punto dello spazio in funzione della configurazione delle correnti generatrici. In particolare si ottiene il campo creato da un conduttore rettilineo e da una bobina.

Una variazione di flusso magnetico crea un campo elettrico indotto.

Una variazione di flusso elettrico potrà creare un campo magnetico indotto?

17

Corrente di spostamento

Le due leggi sulla circuitazione sembrano del tutto diverse. Poichè i fisici sono sempre alla ricerca di simmetrie e analogie, la domanda che si pose Maxwell era: Se una variazione di flusso magnetico crea un campo elettrico indotto, anche una variazione di flusso elettrico potrà creare un campo magnetico indotto?

Maxwell aggiunse alla legge di Ampère un termine che la rese quasi simmetrica alla legge di Faraday: il termine aggiunto è, con opportune correzioni dimensionali, analogo alla derivata del flusso magnetico.

Maxwell coniò il termine corrente di spostamento per indicare la seguente grandezza:

Dimostra che la corrente di spostamento ha le dimensioni fisiche di una corrente elettrica.

Maxwell pensò che una variazione di flusso elettrico potesse comportarsi, anche nello spazio vuoto, come una normale corrente in un conduttore e generare quindi un campo magnetico nello spazio circostante.

Un caso tipico di campo elettrico variabile nel tempo è quello che si stabilisce tra le piastre di un condensatore piano, mentre esso viene caricato fino alla sua capacità massima.

Durante il processo di carica si ha una situazione non stazionaria in cui il campo elettrico E tra le piastre aumenta nel tempo.

La corrente di carica scorre nei fili elettrici ma non nel condensatore, quindi, secondo la legge di Ampère, solo intorno al filo si dovrebbe generare un campo magnetico con una interruzione del campo nella zona intorno al condensatore.

Dalla legge di Gauss per l'elettricità si deduce che il campo elettrico è legato alla densità σ di carica sulle piastre ed alla costante dielettrica.

18

E = σ / ε0 = q / A ε0 (con A superficie delle piastre).

Il flusso elettrico attraverso la superficie A delle piastre del condensatore è: ΦE = E A = q / ε0 (con q variabile nel tempo)

La derivata del flusso elettrico nel tempo è:

dΦE/dt = 1/ε0 dq/dt

Ma dq/dt è la corrente i di carica che fluisce realmente nel circuito durante il processo di carica e quindi

i = dq/dt = ε0 dΦE/dt

La corrente di spostamento definita da Maxwell ha lo stesso valore della corrente reale nel circuito: è come se non ci fosse soluzione di continuità.

La corrente di spostamento genera, intorno al condensatore, un campo magnetico indotto con linee di forza concentriche e perpendicolari ad E, identico a quello che si crea intorno al filo elettrico di conduzione.

Il campo E (in rosso) entra nel foglio ed il suo valore cresce nel tempo. Il campo indotto B (in blu) ha linee di forza concentriche con verso orario (nella corrente di spostamento non c'è il segno - che è presente nella legge di Lenz.

Quando il condensatore è carico, le condizioni ritornano stazionarie: la corrente di carica cessa ed il campo E tra le piastre assume il suo valore massimo (costante). Sparisce quindi sia il campo magnetico intorno al filo, sia il campo magnetico indotto intorno al condensatore.

La corrente di spostamento è un po' diversa da quella di conduzione che è data dal moto ordinato di cariche in un conduttore; essa si riferisce infatti ad una generica variazione del campo elettrico. Se la variazione di campo avviene in un mezzo isolante, le molecole del mezzo sono continuamente sollecitate a deformarsi e si ha quindi un movimento di cariche, che Maxwell per l'appunto chiamò corrente di spostamento.

Maxwell estese questo concetto anche allo spazio vuoto (il mezzo dielettrico per eccellenza), dove non esistono molecole da deformare, ma solo il campo elettrico variabile.

Secondo Maxwell, la circuitazione del campo magnetico è legata quindi a due tipi di corrente: quella normale di conduzione e quella di spostamento: il campo magnetico B può essere generato, oltre che da corpi magnetizzati e da correnti elettriche, anche da campi elettrici variabili nel tempo.

19

Leggi di Maxwell

Leggi di Maxwell per campi stazionari

Ed ecco le versioni definitive delle leggi dell'elettromagnetismo di Maxwell:

Legge di Gauss per il campo elettrico

Legge di Gauss per il campo magnetico

Legge di Faraday

Legge di Ampère - Maxwell

Permane l'asimmetria nelle leggi che riguardano il flusso, legata al fatto che non esiste in natura un monopolo magnetico.

Le leggi sulla circuitazione hanno una struttura simile: ognuno dei due campi è legato alla variazione nel tempo dell'altro campo: questo rende possibile la propagazione di onde elettromagnetiche.

20

ONDE ELETTROMAGNETICHE

La propagazione dei campi elettrici e magnetici nello spazio

Dalle leggi dell'elettromagnetismo Maxwell riuscì a prevedere teoricamente l'esistenza di onde elettromagnetiche che, come le onde meccaniche già conosciute, si sarebbero propagate nello spazio a grandi distanze dalla sorgente.

In un circuito a corrente alternata sono presenti, oltre alle resistenze, anche dei condensatori (capacità) e solenoidi (induttanze). All'interno di un condensatore si crea un campo elettrico e all'interno di un solenoide un campo magnetico.

Sia il campo elettrico, sia quello magnetico oscillano nel tempo con la stessa frequenza della corrente alternata. Un campo elettrico variabile in modo sinusoidale provoca la creazione di un campo magnetico indotto perpendicolare e anch'esso sinusoidale (dato che la derivata di un seno o di un coseno è sempre sinusoidale). A sua volta il campo magnetico induce un altro campo elettrico indotto perpendicolare e sinusoidale e così via con la propagazione di campi elettrici e magnetici oscillanti nello spazio, l'uno perpendicolare all'altro.

Da un circuito oscillante si genera quindi una perturbazione a carattere ondulatorio che si allontana dalla sorgente propagandosi anche nello spazio vuoto.

L'onda elettromagnetica è formata dai due campi in mutua induzione: non può esistere un'onda solo elettrica o solo magnetica.

Le onde elettromagnetiche sono trasversali, poiché l'oscillazione dei campi elettrico e magnetico è sempre perpendicolare alla direzione di propagazione

Oscillazione delle Cariche e le Onde Elettromagnetiche

La velocità di propagazione, altissima, dipende dalle proprietà elettriche e magnetiche del mezzo che esse attraversano e quindi dalla costante dielettrica ε e dalla permeabilità magnetica µ.

Maxwell dedusse in modo matematico dalle sue equazioni che tale velocità dovesse essere:

21

Dato che il prodotto di queste grandezze assume nel vuoto il valore minore, la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto deve essere la massima possibile.

Calcolando la velocità con ε0 = 8.85 10-12 F/m e µ0 = 12.57 10-7 T m / A si ottiene:

velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto v = 3 108 m/s

La coincidenza di questo numero con la velocità della luce c, non passò inosservata e Maxwell intuì che la natura delle onde luminose, fino allora sconosciuta, fosse di origine elettromagnetica.

Si giunse pertanto ad una nuova sintesi: quella tra i fenomeni elettro-magnetici e quelli luminosi: in questo quadro la luce è una particolare radiazione elettromagnetica.

L'esistenza di radiazioni elettromagnetiche diverse da quelle luminose era soltanto ipotizzata da Maxwell. Qualche tempo più tardi la conferma sperimentale arrivò da Heinrich Hertz (1857-1894) nel 1886, qualche anno dopo la morte di Maxwell.

Esperienza di Hertz

Nel 1886, dopo la morte di Maxwell, Heinrich Hertz (1857-1894) ebbe la conferma sperimentale dell'esistenza di radiazioni elettromagnetiche diverse da quelle luminose.

Hertz osservò la produzione di scintille indotte su un circuito posto ad una certa distanza da un rocchetto di Ruhmkorff.

Il rocchetto di Ruhmkorff è un trasformatore in cui, da rapide variazioni del primario, si ottengono elevate tensioni nel secondario che producono scintille tra due sferette metalliche.

L'interpretazione del fenomeno era che il rocchetto fosse la sorgente di una radiazione elettromagnetica che produceva scintille sul circuito. La natura ondulatoria della radiazione fu provata da fenomeni di riflessione, rifrazione, interferenza.

22

Lo spettro elettromagnetico

Le onde elettromagnetiche si distribuiscono su uno spettro molto ampio di frequenze (f) e di lunghezze d'onda (λ) legate fra loro dalla relazione

λ f = c con c velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto

Oggi conosciamo un vasto spettro di radiazioni che possono essere ordinate in base alla frequenza. La classificazione è del tutto arbitraria e viene fatta rispetto alle applicazioni pratiche delle onde o alla loro origine; in questo senso gli intervalli di frequenza non sono molto rigidi e vi sono anche sovrapposizioni.

Nome Frequenza (Hz) Origine

telefonia meno di 3000 circuiti oscillanti

onde radio 104 - 107 circuiti oscillanti

tv, radio 108 - 1010 circuiti oscillanti

microonde 109 - 1012 circuiti oscillanti

infrarosso 1012 - 1014 corpi caldi

luce 4 1014 - 7 1014 corpi incandescenti

ultravioletto 8 1014 - 1016 corpi incandescenti

raggi X 1016 - 1020 elettroni frenati

raggi γ 1020 - 1022 decadimento radioattivo

raggi cosmici più di 1023 genesi delle stelle

23

Le onde scoperte da Hertz avevano frequenze particolarmente basse, corrispondenti a lunghezze d'onda di circa 1 m.

La luce ha uno spettro di frequenze un milione di volte maggiore, corrispondente a lunghezze d'onda intorno ai decimi di micron (1 micron = 10-6 m)

Indipendentemente dalla loro frequenza, tutte le onde elettromagnetiche sono prodotte da cariche elettriche in moto accelerato. L'accelerazione può essere prodotta in molti modi, ad esempio facendo oscillare gli elettroni di conduzione di un'antenna per mezzo di differenze di potenziale sinusoidali (onde radio, microonde), oppure riscaldando un corpo ed aumentando la frequenza di vibrazione di particelle cariche (infrarosso e visibile), oppure deviando bruscamente un fascio di elettroni veloci (raggi X).

In ogni caso occorre fornire energia ad una sorgente e questa energia viene emessa nello spazio sotto forma di onde elettromagnetiche.

24

Interpretazione relativistica del magnetismo

A conclusione del discorso sulla sintesi di Maxwell è opportuno riprendere in esame l'apparente fallimento del principio di relatività nei fenomeni elettromagnetici.

La forza magnetica, infatti, dipende dalla velocità delle cariche e quindi sembra dipendere dal sistema di riferimento inerziale da cui i fenomeni sono osservati.

Per renderci conto della questione facciamo un esempio. Consideriamo un fascio di elettroni emessi da un tubo catodico sparati a velocità elevata parallelamente ad un conduttore rettilineo percorso da corrente.

Osservazione sperimentale: se il conduttore viene percorso da corrente nel verso indicato, il fascio di elettroni viene attratto dal filo. Questa constatazione è un fatto e come tale è indipendentemente dal riferimento.

L'interpretazione del fenomeno, però, è diversa a seconda del sistema di riferimento prescelto.

Riferimento inerziale del laboratorio

Per un osservatore solidale al laboratorio il conduttore è in quiete e gli elettroni sono in movimento. Gli elettroni del fascio si muovono all'interno del campo magnetico originato dalla corrente e subiscono quindi una forza magnetica che li attira verso il conduttore.

Riferimento inerziale degli elettroni del fascio

Per un osservatore solidale agli elettroni, gli elettroni sono immobili. Nonostante questo l'osservatore registra l'esistenza di una forza attrattiva che verso il filo conduttore. Poichè su una carica in quiete non può agire nessuna forza di origine magnetica, l'osservatore conclude che sugli elettroni deve agire una forza elettrica che li attrae verso il filo. Da dove ha origine questa forza elettrica, se il filo è complessivamente neutro?

Per spiegare l'origine della forza elettrica, si ha bisogno di ricorrere alla teoria della relatività ristretta.

Nel sistema di riferimento degli elettroni del fascio tutto il conduttore si muove a velocità v molto elevata. Le cariche all'interno del conduttore (ioni positivi ed elettroni di conduzione), però, hanno velocità differenti.

� Gli ioni positivi si muovono insieme al filo con velocità v.

� Gli elettroni di conduzione hanno una velocità di trascinamento rispetto agli ioni positivi del reticolo cristallino del metallo e in verso opposto alla direzione della corrente.

In definitiva, gli elettroni immobili vedono gli elettroni di conduzione muoversi più lentamente degli ioni positivi.

25

Sulla base della teoria della relatività di Einstein, sia la distanza tra gli ioni positivi, sia quella tra gli elettroni di conduzione subiscono una contrazione dipendente dalla velocità, ma la distanza tra gli ioni positivi si riduce di più, con il risultato che la concentrazione di carica positiva è maggiore della concentrazione di carica negativa.

Dal punto di vista degli elettroni immobili, il conduttore in moto non appare più complessivamente neutro, ma con una maggiore concentrazione di carica positiva: l'elettrone immobile è quindi attratto verso il filo per forza elettrica attrattiva.

Ricapitolando, in tutti e due i riferimenti avviene il seguente fenomeno: gli elettroni del fascio sono attratti verso il conduttore. L'interpretazione del fenomeno è diversa nei due riferimenti: � nel riferimento del laboratorio esiste l'azione di una forza magnetica � nel riferimento solidale all'elettrone, esiste l'azione di una forza elettrica Nell'interpretazione relativistica dell'elettromagnetismo il campo magnetico ed il campo elettrico appaiono come le due facce di una stessa medaglia. Si può obiettare che la spiegazione data appare poco credibile, perché, come abbiamo visto, la velocità di trascinamento degli elettroni di conduzione è molto piccola, dell'ordine di 0.1 mm/s. Come è possibile che questa piccola velocità dia luogo ad una contrazione relativistica delle lunghezze in grado di dare effetti così vistosi? Abbiamo infatti detto che gli effetti relativistici sono sensibili solo alle alte velocità. La risposta va cercata nell'elevatissimo numero di elettroni di conduzione (dell'ordine di 1022 elettroni/cm3); è così sufficiente un piccolissimo contributo da parte di ciascuno di essi per avere un effetto totale significativo.