Incertezza sperimentale e cifre significative

q  La fisica è una scienza sperimentale e le misure e l’incertezza con cui vengono effettuate sono il fulcro di ogni esperimento.

q  Le misure possono essere dirette o indirette e vengono sempre espresse mediante un numero seguito dall’errore e dall’unità di misura

1)  Misure dirette : la grandezza viene confrontata con campioni multipli (o sottomultipli) dell’unità fondamentale (es: misura della lunghezza di un tavolo mediante un righello tarato)

2)  Misure indirette: la grandezza è legata ad altre grandezze che possono essere misurate direttamente ( es: volume di un parallelepipedo che si può ottenere a partire dalla misura diretta dei suoi lati)

q  Se la misura di una stessa grandezza viene ripetuta più volte in genere si otterranno valori diversi anche se molto vicini tra loro =>

(che può essere sistematico o casuale)

q  Se la misura è eseguita con strumenti tarati ( come di solito avviene), alla misura stessa sarà associato un’incertezza che sarà pari alla minima variazione che lo strumento stesso riesce a definire

Es: misurando un tavolo con un metro di legno che ha una sensibilità di 1 cm ( tra due tacche consecutive sullo strumento c’è la distanza di 1 cm) la misura effettuata non potrà avere una precisione maggiore del centimetro => Ltavolo = 1,50 m ±0.01m

q  L’errore sulla misura stabilisce il numero di cifre significative che si possono garantire come esatte

Incertezza sperimentale e cifre significative q  Il numero di cifre significative di una misura può essere usato per definire la

precisione della misura ( o analogamente l’incertezza su di essa) q  Es: una lunghezza viene misurata con un’incertezza di 0.1cm. La misura dà come risutato 6.0cm a causa dell’incertezza possiamo affermare solo che quella lunghezza è compresa tra 5.9 cm e 6.1 cm => (6.0 ±0.1)cm Le cifre significative sono 2 ( se avessi scritto 6.00 cm, cioè tre cifre significative, avremmo supposto che la misura sia stata effettuata con una precisione di 0.01 cm)

q  Gli zeri possono essere cifre significative oppure no. 0.03, 0.075 => in questo caso gli zeri non sono cifre significative ( posso infatti riscrivere i due numeri in notazione scientifica: 3 10-2 e 7.5 10-2 ) e si avranno rispettivamente una e due cifre significative 500 g => in questo caso in numero di cifre significative non è definito (i due zeri potrebbero rappresentare solo il fatto che stiamo parlando di centinaia di grammi o 500 potrebbe essere un numero ben preciso. Per rimuovere l’ambiguità sì utilizza la notazione scientifica: 5 102 g => 1 cifra significativa 5.00 102 g => 3 cifre significative

•  Moltiplicazione: quando si moltiplicano due misure il numero di cifre significative del risultato è pari al numero di cifre significative della grandezza con numero di cifre significative inferiore

6.14 cm *3.0 cm= (la calcolatrice dice 18.42)= 18 cm2

•  Addizione: Quando le misure vengono sommate o sottratte il numero di posti decimali dopo la virgola nel risultato è uguale al numero più piccolo dei posti decimali di ciascun termine della somma.

27.3 +3.189=30.5 (la calcolatrice darebbe 30.489 ma poiché 27.3 ha un unico numero decimale 489 viene approssimato a 5)

Propagazione dell’errore

•  Errore assoluto: Errore espresso nella stessa unità di misura della grandezza misurata.

Es: lunghezza del tavolo misurata con un righello che ha la precisione del centimetro •  Errore relativo (o percentuale): valore pari al rapporto tra l’errore assoluto ed

il valore a cui esso è associato

NB: l’errore relativo è adimensionale •  Propagazione dell’errore: •  Addizione (sottrazione): Quando vengono sommate (o sottratte) più misure

l’errore sul valore risultante è dato dalla somma degli errori assoluti sulle singole misure

•  Moltiplicazione( o divisione): Quando vengono moltiplicate o divise più misure l’errore relativo sul risultato dell’operazione si ottiene sommando gli errori relativi sulle singole misure

L =1.80m±0.01m

L =1.80 1±0.011.80

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟m =1.80 1±0.006( )m =1.80m±0.6%

x = xmeas

1±δxxmeas

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

x = xmeas

±δx

•  Es: •  Moltiplicazione: Determinare l’area di un tavolo di cui sono state misurate larghezza H (80cm ) e lunghezza L( 200cm) con una precisione di 2cm :

•  Addizione: •  Determinare la variazione di temperatura tra la temperatura misurata, con un

termometro digitale sensibile al decimo di grado centigrado, alle 8 di questa mattina (T1=8.6°C) e quella misurata a mezzogiorno (T=19.2°C)

Propagazione dell’errore (2)

L = 2.00m±0.02m = 2.00m 1±0.022.00

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = 2.00m 1±0.01( )

H = 0.80m±0.02m = 0.80m 1±0.020.80

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = 0.80m 1±0.025( )

A = L ⋅H = 2.00m 1±0.022.00

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ⋅0.80m 1±

0.020.80

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

1.60m2 ⋅ 1±0.01( ) 1±0.025( ) = 1±0.025±0.01±0.00025( ) =1.60m2 ⋅ 1±0.035( ) =1.60m2 ±0.06m2

T1= 8.6°C ±0.1°C T

2=19.2°C ±0.1°C

ΔT =T2−T

1= 19.2±0.1( )°C − 8.6±0.1( )°C = 10.6±0.2( )°C

Analisi Dimensionale(1)

q  Ogni grandezza fisica ha una sua “dimensione”, cioè può essere espressa come una ben precisa combinazione delle grandezze fisiche fondamentali [T],[M][L][I] q  Le dimensioni delle varie grandezze fisiche che compaiono in una relazione matematica devono rispettare alcune regole formali affinché la formula stessa abbia una propria coerenza.

q  È possibile definire delle quantità adimensionali ( senza dimensioni ), che si possono ottenere come rapporto tra due quantità fisiche che hanno la stessa dimensione. Una quantità adimensionale non ha bisogno di unità di misura, e viene detta numero puro

Ø  L’analisi dimensionale è uno strumento “teorico” di controllo della correttezza “dimensionale” delle formule che mettono in relazioni varie grandezze fisiche e di supporto nell’individuazione delle dimensioni e delle unità di misura corrette dei termini che compaiono in una formula. Ø L’analisi dimensionale si basa sulle seguenti osservazioni:

Es: Il coefficiente di attrito dinamico μd per un corpo che striscia su una superficie scabra è dato dal rapporto tra la forza di attrito dinamico Fa subita dal corpo e la componente N della forza esercitata dal corpo sulla superficie, in direzione perpendicolare al corpo stesso:

NFa

d =µ

Poichè numeratore e denominatore ( entrambi forze) hanno la stessa dimensione, il coefficiente di attrito dinamico è adimensionale

[ ] [ ][ ][ ][ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ]0002

2

TLMTLMTLM

d == −

−

µ

G[ ] = M[ ]a L[ ]b T[ ]c I[ ]d

Dimensioni delle grandezze derivate Elenco di alcune grandezze derivate, usate in Meccanica ed in Elettromagnetismo, con le dimensioni corrispondenti, espresse in funzione delle 4 grandezze fondamentali: lunghezza (L), tempo (T), massa (M) ed intensità di corrente elettrica A

s = t

Regole formali dell’analisi dimensionale : Ø  Le dimensioni di un prodotto tra grandezze fisiche si ottengono facendo il prodotto delle dimensioni dei singoli fattori. L’analogo vale anche per le dimensioni del rapporto; Ø  Tutte le grandezze che compaiono in una somma o in una differenza devono avere le stesse dimensioni; Ø  Il primo membro di un’uguaglianza deve avere le stesse dimensioni del secondo membro; Ø  L’argomento di una funzione trascendente (es. sin, cos, log, exp) deve essere un numero puro;

Ø  Il risultato di una funzione trascendente è un numero puro.

Analisi dimensionale (2)

v⎡⎣⎤⎦=

L⎡⎣⎤⎦

T⎡⎣⎤⎦= L⎡⎣

⎤⎦ T⎡⎣⎤⎦−1

v =st

s+ t L⎡⎣⎤⎦+ T⎡⎣⎤⎦

e−tτ τ⎡⎣

⎤⎦= T

⎡⎣⎤⎦

t⎡⎣⎤⎦

τ⎡⎣⎤⎦=1

L⎡⎣⎤⎦= T

⎡⎣⎤⎦

Analisi Dimensionale (4)

Es: Si scrivano le dimensioni di ciascuna delle grandezze che compaiono nell’equazione: e si stabilisca se l’equazione è dimensionalmente corretta sapendo che v = velocità, a = accelerazione, x = spostamento

v2 = 2a x − x1( )+v12

Soluzione: v⎡⎣⎤⎦2= a⎡⎣

⎤⎦ x⎡⎣

⎤⎦− x1⎡⎣

⎤⎦( )+ v1⎡⎣ ⎤

⎦2

v2 = 2a x − x1( )+v12

L⎡⎣⎤⎦

T⎡⎣⎤⎦

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

2

=L⎡⎣⎤⎦

T⎡⎣⎤⎦2L⎡⎣⎤⎦− L⎡⎣⎤⎦( )

L⎡⎣⎤⎦

! "# $#+

L⎡⎣⎤⎦

T⎡⎣⎤⎦

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

2

=L⎡⎣⎤⎦

T⎡⎣⎤⎦

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

2

+L⎡⎣⎤⎦

T⎡⎣⎤⎦

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

2

Le dimensioni di ciascun termine sono uguali e l’equazione è, almeno dal punto di vista dimensionale, corretta.

v⎡⎣⎤⎦=

L⎡⎣⎤⎦

T⎡⎣⎤⎦= L⎡⎣

⎤⎦ T⎡⎣⎤⎦−1 a⎡⎣

⎤⎦=

L⎡⎣⎤⎦

T⎡⎣⎤⎦2= L⎡⎣

⎤⎦ T⎡⎣⎤⎦−2

[ ] [ ] [ ]Lxx == 1

Branca della fisica che si occupa della descrizione dei moti dei corpi e delle forze responsabili dei moti stessi

Studia i moti dei corpi senza tener conto delle

cause

Studia le condizioni in cui i corpi si trovano in

equilibrio

Studia i moti tenendo in considerazione le forze responsabili del moto

stesso

Che cos’è la cinematica

È una branca della Meccanica che descrive il moto di un corpo usando i concetti di spazio e tempo, senza andare a studiare le cause del moto stesso ( compito assegnato alla “dinamica”)

Assunzioni: Ø Il corpo in movimento viene assimilato ad una particella puntiforme (punto materiale)

Ø Il moto è lo spostamento del punto materiale che avviene nello spazio tridimensionale e nel tempo lungo una certa traiettoria

Ø Il moto di un corpo è completamente determinato se è nota la sua posizione in ogni istante t => se quindi è nota l’equazione che descrive il moto in funzione del tempo

Ø Le forze non vengono prese in considerazione

)(trr !!=

Posizione e spostamento

Ø L’insieme dei punti dello spazio, occupati dal punto materiale durante il suo moto, è detto traiettoria.

!r (t1)

z

y

x

)( 2tr!)( 3tr

!

!r (t4 )

1

2

3

4

Ø Il moto del punto materiale è descritto dalla dipendenza dal tempo del vettore posizione )(tr!

Ø La relazione che esprime la dipendenza del vettore posizione in funzione del tempo è detta equazione oraria del moto.

)(trr !!=

Ø In generale l’equazione oraria del moto è un sistema di tre equazioni, una per ogni coordinata cartesiana:

NB: sono funzioni del tempo tra loro indipendenti. fx(t), f

y(t), f

z(t)

equazione oraria del moto

Δr! "!

="r(t

f)−!r(t

i) =

x(tf)− x(t

i)

y(tf)− y(t

i)

z(tf)− z(t

i)

#

$%%

&%%

Ø Il vettore che individua la variazione di posizione della particella viene detto Vettore spostamento ed è pari alla differenza tra i vettori posizioni negli istanti finali ed iniziali:

rΔ

Ø Sia un vettore posizione che individua la posizione del punto materiale P rispetto ad un sistema di assi cartesiani xyz:

!r

!rP(x,y,z)

P = (x,y,z) !r = xi + yj + zk

Traiettoria

!r (t0 )

x

y

z

!r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k dove:

x(t) = fx(t)

y(t) = fy(t)

z(t) = fz(t)

!

"##

$##

NB: Lo spostamento nel SI si misura in metri (m)

Esempio di utilizzo dell’equazione del moto (provare a fare a casa)

Tramite le equazioni del moto è possibile determinare la posizione occupata dal corpo in movimento in ogni stante t. Supponiamo che una slitta stia scivolando su un pendio nevoso dritto; la slitta si muove sempre più lentamente via via che sale lungo la china; poi si arresta per un istante e comincia a scivolare all’indietro giù per il pendio. Un’analisi del moto della slitta fornisce la sua coordinata x come funzione del tempo t: x è misurata lungo il percorso della slitta con il semiasse positivo verso la salita. a)  Costruire un grafico della coordinata della slitta in funzione del tempo t da

t=0.0 a t=8.0 s (riportando intervalli di 1.0 s) b)  Determinare lo spostamento della slitta tra ti=1.0 s e tf=7.s c)  Determinare lo spazio percorso tra gli istanti ti=1.0 s e tf=7.s (modulo del

vettore spostamento tra gli istanti t=1.0s e t=7.0s)

x(t) =18m+ (12m s)t − (1.2m s2 )t2