ImmettenzeLC - Mario Bon · 2018. 8. 20. · 1 Immettenze LC 1 Immettenze di rete passive Divido...
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1
Immettenze LC 1
Immettenze di rete passive
Divido per II*
Fissato per ogni ramo un verso per le i si definiscono i vettori
ramo di tensionivmassa) a (rispetto nodo di tensionie
ramo di correnti i
k
n
k
ℜ∈
ℜ∈ℜ∈
i j
iij+ -vij=ei-ej
i1(t)
Immettenze LC 2
k k k* * * * * *
1 1 i i 1 1 i i 1 i ii 2 i 2 i 2
* k*1 1
i i2*i 2
k*
i i2i 2
v i v i 0 -v i v i v j v i
Per definizione di impedenza, nel dominio di sV (s) V (s) J (s) 1Z(s) Z(s) VI J(s) J(s) J (s) J(s)
1Z(s) VI J(s)
= = =
=
=
+ = = =
= = =
=
∑ ∑ ∑
∑
∑
ReteRLCMv1(t)
i1(t)
j
k*
i ii 1
Per il teorema di Tellegen v i 0=
=∑
2
Immettenze LC 3
*
Definizione
Una funzione F(s) è una funzione reale positiva se
F(s) è una funzione razionale reale (rapporto di polinomi a coefficienti reali)
0se se 0F(s)e ≥ℜ≥ℜ
K
Mk1 Mk2
Immettenze LC 4
Teorema di Brune o di realizzabilità RLC
Se F(s) è un’immettenza RLC(M) allora F(s) è una funzione reale positiva.Se F(s) è una funzione reale positiva allora esistono immettenze RLC(M) tali che
Z(s)=F(s) e Y(s)=F(s)Cioè F(s) si dice ‘realizzabile RLC(M)’
j
M
1jkjkkk
kkkk IMsIsLI
sC1IRV ∑
=
+++=
Sostituendo Vk nell’espressione di Z(s)
)IIMsIIsLIIsC
1II(RI(s)
1Z(s) *k
kj
M
1jkj
*kkk
*kk
k
*kkk2 ∑ ∑
=
+++=
Dimostrazione (solo condizione necessaria)Per il generico ramo * si ha
3
Immettenze LC 5
*k
kj
M
1jkj0
k
2
kk k
0
2
kk
k0
2
kk0
IIM(s)M
,IC1(s) V,IL(s)T ,IR(s)F
:Posto
∑∑
∑ ∑∑
=
=
===
ed escludendo per semplicità la presenza di mutue, si ha
(s)]Vs1(s)sT(s)[F
J(s)1Z(s) 0002 ++=
da cui si conclude che1) Z(s) è una funzione razionale a coefficienti reali
2)
(s)]Vωσ
σ(s)σT(s)[FJ(s)
1Z(s)Re 022002 +++= da cui
positivi. termini i tutti essendo 0,Z(s)Re0σ ≥⇒≥c.v.d
ha si jωs posto, V,T ,F Poiché 000 +=ℜ∈ + σ
Immettenze LC 6
La III condizione esprime il fatto che il denominatore di Z(s) è un polinomio di Hurwitz
4
Immettenze LC 7
V1=2Vv5
+
-
I5=1A
Ω6Ω2
Ω4
i2
i1 i3
+
-
v3
i4
v4
+
i1=2A v5
+
-
I5
Ω9
Ω3
Ω5
i2
v1
i3
+
-
v3
i4V4=2i3
++
-
-+ v2-
Esercizio 1
Verificare il teorema di Tellegen per le reti in figura
Traccia•Determinare i vettori ia e ib delle correnti di ramo, ed i vettori va e vb delle
tensioni di ramo.•Verificare che
0;i v0;i v0;i v0;iv bTba
Tba
Tab
Ta ====
Immettenze LC 8
Esercizio 2
Data la funzione razionale
1ss1F(s)
2 ++=
accertare che sia reale positiva
Esercizio 3
Data la funzione razionale
1s32sF(s)
++=
accertare che sia reale positiva
5
Immettenze LC 9
Determinare Z(s) e accertare
che sia reale positivaZ(s)
Ω1
F1
1H
4H1HΩ2
2H
Esercizio 4
Immettenze LC 10
Sintesi di circuitiSintesi di circuitiSintesi di circuitiSintesi di circuitiImmettenzeImmettenzeImmettenzeImmettenze LCLCLCLC
IntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneCondizioni di realizzabilitCondizioni di realizzabilitCondizioni di realizzabilitCondizioni di realizzabilitààààProprietProprietProprietProprietààààSintesi di Sintesi di Sintesi di Sintesi di FosterFosterFosterFoster IIIISintesi di Sintesi di Sintesi di Sintesi di FosterFosterFosterFoster IIIIIIIISintesi di Sintesi di Sintesi di Sintesi di CauerCauerCauerCauer IIIISintesi di Sintesi di Sintesi di Sintesi di CauerCauerCauerCauer IIIIIIII
6
Immettenze LC 11
Immettenze LC
(s)]Vs
(s)T[sV(s)
(s)Y(s)]Vs
(s)[sTJ(s)
(s)Z LCLC 0*0*
20021111 +=+=
Se s0 è uno zero di ZLC, ZLC(s0)=0, ovvero
0 =+= )](sVs
)(sT[sJ(s)
)(sZ LC 000
0002011
0,01
00
00200000
202 ≤−=⇒=+>
)(sT)(sVs)](sV)(sT[s
J(s) 0 allora
positivi. reali di rapporto quantoin ,0 Infatti00
00 ≥)(sT)(sV
Essendo
Gli zeri di ZLC sono PURAMENTE IMMAGINARI
Immettenze LC 12
Si potrà avere infatti:
)induttanze sono ci(non 0 se
capacità) sono ci(non 0 se 0
000
0
00
000
=∞=
±=
==
)(sTsTVjs
)(sVs
Anche gli zeri di YLC sono puramente immaginari (la dim. èanaloga).
Inoltre, essendo ZLC (s)=1/YLC(s), si ha che zeri E POLI diZLC (s) e YLC(s) sono puramente immaginari.
Inoltre, i poli sono semplici ed hanno residuo reale e positivo (dalle condizioni equivalenti a Brune)
7
Immettenze LC 13
ZLC(jωωωω) è una FUNZIONE DISPARI
Infatti:
Anche YLC(jω) è una funzione dispari (la dim. è analoga).
Ciò significa che ZLC e YLC sono rapporti tra un polinomio pari ed uno dispari, ad esempio
1
11
002
002
])(jV)(jT[)J(j
j
)](jVj
)(jT[j)J(j
)(jZ LC
ωωωω
ω
ωω
ωωω
ω
−=
=+=
.......
331
44220
+++++=
sbsbsasaa(s)Z LC ...
....4
42
20
331
+++++=sbsbb
sasa(s)Z LC
Questo, a sua volta implica che
Immettenze LC 14
s=0: o uno zero o un polo di ZLC o YLCCioè “0” E’ UNA FREQUENZA CRITICA
s=∞: o uno zero o un polo di ZLC o YLCCioè “∞” E’ UNA FREQUENZA CRITICA
Una frequenza critica di F(s) è una frequenza s per la quale F(s) si annulla o va all’ infinito (è uno zero o un polo di F(s)).
Poiché ZLC è composta di poli e zeri immaginari semplici, compresi uno in 0 ed uno all’ ∞
∑
++
−++= ∞ i
i
i
i
iLC js
KjsK
sKsK(s)Z
ωω
*0
Ove i Ki sono i RESIDUI
Ki=Ki*
8
Immettenze LC 15
REATTANZA FUNZIONE )(
)( cui Da
2con ,
220
220
*0
ℜ∈
=
−+−=
=+
++=
=
++
−++=
∑
∑
∑
∞
∞
∞
ω
ωωω
ωω
ωω
ω
ωω
X
jXKKj)(jZ
Ks
ssKsK
jsK
jsK
sKsK(s)Z
ii
iLC
iiii
i
ii
i
i
iLC
K
KK
Poiché i poli sono semplici
(s)ZjsK LCijsi i)(lim ωω −= →
Essendo i residui reali
Immettenze LC 16
9
Immettenze LC 17
ωωωωz3 ωωωωp2 ωωωωz2 ωωωωp1 ωωωωz1
ωωωωz1<ωωωωp1<ωωωωz2 <ωωωωp2<ωωωωz3 <ωωωωp3……≤0
Immettenze LC 18
)/( mn ba
10
Immettenze LC 19
Immettenze LC 20
11
Immettenze LC 21
Esempio
4)s(ss(sZ(s)
1 Foster di sintesi la mediante Z(s) Realizzare
2
22
+++= )9)(1
Z(s) è una funzione reattanza che che soddisfa le proprietà diun’immettenza LC:I suoi poli e zeri sono immaginari semplici:
0 21 3 ∞I residui sono positivi:
1s
Z(s)limK
415Z(s)
s4slim2K
49Z(s)s limK
s
2
4s2
0s0
2
==
=+=
=⋅=
→∞∞
−→
→
Immettenze LC 22
s4s
15s/4s
9/4 Z(s) :parziali frazioni in espansioneL'2
++
+=
Il circuito equivalenteZ(s)
H1
F 4/15
F 4/9 H 15/16
12
Immettenze LC 23
Immettenze LC 24
Nelle sintesi di Foster il numero di componenti utilizzato è il minimo necessario
Sono perciò dette CANONICHE
13
Immettenze LC 25
Esempio
)9s)(1(s 4)s(sY(s)
2Foster di sintesi la mediante Y(s) Realizzare
22
2
+++=
Y(s) è una funzione reattanza che che soddisfa le proprietà diun’immettenza LC:I suoi poli e zeri sono immaginari semplici:
0 21 3 ∞I residui sono positivi:
85Y(s)
s9slim2K
83Y(s)
s1slim2K
2
9s3
2
1s1
2
2
=+=
=+=
−→
−→
Immettenze LC 26
9s5s/8
1s3s/8Y(s) :parziali frazioniin espansioneL'
22 ++
+=
Il circuito equivalente
Y(s)H /38
F 3/8
H /58
F 5/72
14
Immettenze LC 27
Immettenze LC 28
15
Immettenze LC 29
Immettenze LC 30
16
Immettenze LC 31
Immettenze LC 32
17
Immettenze LC 33
Immettenze LC 34
18
Immettenze LC 35
Immettenze LC 36
19
Immettenze LC 37
Immettenze LC 38
EsempioSintetizzare l’impedenza
L’impedenza è realizzabile LC, quindi
2ss910ssZ(s)
3
24
+++=
(s)Zs(s)ZsKZ(s) 11 +=+= ∞
H 1
1Z
∞+
+=−+
++== all' zero 2ss98ss
2ss910sss-Z(s)(s)Z
3
2
3
24
1 ;
∞+
+== all' polo 98s 2ss
(s)Z(s)Y
2
3
11 ;1
∞+
=== ∞ all' zero 9)8(8s
s8s-(s)YsK'-(s)Y(s)Y
2112 ;7
∞+== all' polo 7s
9)8(8s(s)Y
(s)Z2
22 ;1
2Y
H1
1/8F
∞=−+=−= ∞ all' zero ;7s72s
764
7s 9)8(8ssK(s)Z(s)Z
2
23
3Z1/8F
7/72F
H1
1/8F
H 64/7
H 64/7
20
Immettenze LC 39
Immettenze LC 40
Con la divisione lunga
21
Immettenze LC 41
Immettenze LC 42
22
Immettenze LC 43
Immettenze LC 44
L’algoritmo consiste ancora nello scrivere affiancati a partire da
sinistra il denominatore ed il numeratore dell’immettenza in
oggetto.Questa volta però si determina il rapporto tra i
termini di grado minimo, prendendo sempre come
denominatore il termine più a sinistra.
23
Immettenze LC 45
EsempioSintetizzare l’impedenza
L’impedenza è realizzabile LC, quindi
2ss910ssZ(s)
3
24
+++=
(s)Z2s9(s)Z
sK
Z(s) 110 +=+=
2/9F
1Z
0 in zero ; 2s
s 11/2)s2s9-
2ss9s 10s
2s9-Z(s)(s)Z
2
3
3
24
1 ++=
+++== (
0 in polo ;11/2)ss
2s(s)Z1(s)Y
3
2
11 (+
+==
0 in zero 11s(2s
14s11s
4-s 11/2)s
2s11s
4-(s)Ys
K'-(s)Y(s)Y
2
2
3
2
112 ;)11(
0
+=
++===
0 in polo ;14s
11)11s(2s(s)Y1(s)Z
2
2
22
+==
2Y
2/9F
11/4H
;7
11s14s121
14s 11)11s(2s
sK(s)Z(s)Z
2
20
23
=
=−+=−=
3Z2/9F
F 14/121
H7112/9F
F 14/121
Immettenze LC 46
Con la divisione lunga
24
Immettenze LC 47
Anche nelle sintesi di Cauer il numero di componenti utilizzato è il minimo necessario (sono anche esse CANONICHE)
Immettenze LC 48
Esercizio 1
Z(s)sωs2K
che Dimostrare semplici. fratti in scomporre e litàrealizzabi-LC la verificare
3s4ss321s17s3sZ(s)
funzione la Data
2i
2
ωsi
35
246
2i
+=
+++++=
−→lim
TracciaVerificare la LC-realizzabilità usando la II condizione
25
Immettenze LC 49
9)1)(s(s4)s(sZ(s)
1 Foster di sintesi la mediante Z(s) impedenza di rete una Realizzare
22
2
+++=
Esercizio 2
Esercizio 3
4)s(s 9)1)(s(sY(s)
2 Foster di sintesi la mediante Y(s)ammettenza di rete una Realizzare
2
22
+++=
Immettenze LC 50
4)2)(ss(s5)3)(s1)(s(sZ(s)
1 Cauer di sintesi la mediante Z(s) impedenza di rete una Realizzare
22
222
+++++=
Esercizio 4
Esercizio 5
4)2)(ss(s5)3)(s1)(s(sZ(s)
2 Cauer di sintesi la mediante Z(s) impedenza di rete una Realizzare
22
222
+++++=
26
Immettenze LC 51
Sintetizzare una rete di ammettenza Y(s)
Esercizio 6
Soluzione5)2)(s2s(s
3)1)(s(sY(s)22
22
++++=