Il triangolo di Tartaglia

è una disposizione geometrica a forma di triangolo dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.

1

1 1

1 2 11 3 3

11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Triangolo di Tartaglia

In ciascuna riga si può osservare che gli elementi di questa costruzione si ottengono come somma di due elementi adiacenti della riga precedente.

Sappiamo che:(a+b)º=1(a+b)¹=a+b(a+b)²=a²+2ab+b²(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³Ma non sappiamo come si risolve:(a+b) Per risolvere questo quesito possiamo aiutarci proprio con il Triangolo di Tartaglia.

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1 2 11 3 3

11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Se guardassimo bene:(a+b)º=1(a+b)¹=1a+1b(a+b)²=1a²+2ab+1b²(a+b)³=1a³+3a²b+3ab²+1b³I numeri evidenziati sono corrispondenti a quelli orizzontali del triangolo di Tartaglia!

Quindi, per logica:(a+b)=1a+4ab+6ab+4ab+1bMa manca qualcosa…gli esponenti!Infatti, gli esponenti della parte letterale dei monomi devono avere tutti lo stesso grado, ossia l’esponente di (a+b) che in questo caso è 4. Inoltre questi devono essere crescenti nella lettera b e decrescenti nella lettera a.Quindi:(a+b)=a+4a³b+6a²b²+4ab³+b

ProprietàIl triangolo ha molte altre numerose proprietà, alcune dipendenti dal metodo di costruzione, altre dalle proprietà dei coefficienti binomiali (le due cose sono legate tra loro).•Condizione al contornoTutti i numeri lungo il contorno sono uguali a uno.•Simmetria del triangoloIl triangolo è simmetrico rispetto all'altezza.•Potenze di undiciLe cifre che compongono le potenze di 11 si possono leggere immediatamente sul triangolo di Tartaglia.

•Somma delle righe 1 = 1 1 + 1 = 2 1 + 2 + 1 = 4 1 + 3 + 3 + 1 = 81 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16La somma delle cifre di una riga equivale alla metà della somma delle cifre della riga successiva.•Differenza nelle righeSi può notare che: 1 - 1 = 0 1 - 2 + 1 = 0 1 - 3 + 3 - 1 = 01 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0La somma dei numeri in posto dispari meno la somma dei numeri al posto pari dà zero.

•Somma delle diagonaliPrendiamo una porzione del triangolo: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1Sommando i numeri su una diagonale otteniamo il numero adiacente al prossimo sulla diagonale.•Multipli di numero fissatoDato un numero n fissato, i numeri del triangolo che siano suoi multipli interi formano dei nuovi triangoli con il vertice in basso, oppure dei punti isolati, che sono ovviamente anch'essi dei triangoli di lato unitario. Tali triangoli non si intersecano, né sono adiacenti.

Cenni Storici

La costruzione del triangolo di Tartaglia era nota a matematici cinesi nel XIV secolo e forse anche in epoca anteriore. In Italia prese il nome da Niccolò Tartaglia, che lo descrisse in un suo diffuso trattato nella prima metà del XVI secolo, ma in Francia e successivamente anche nel mondo anglosassone prende il nome da Blaise Pascal, che un secolo dopo, nel 1654, ne fece grande uso nei suoi studi sulla probabilità. In Germania invece è comunemente attribuito a Stiefel che ne scrisse nel 1544.

Questo lavoro è stato realizzato da:Martina Destito Martìn

&Barbara Loperfido