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Appendice e Utilita'CFactor: Fattorizzazione Fuzzy

IndiceVoci

Numero poligonale 1Sommatoria 5Triangolo di Tartaglia 8Calcolo combinatorio 14Fattorizzazione 17Metodo forza bruta 18Crivello di Eratostene 20Crivello dei campi di numeri generale 22

NoteFonti e autori delle voci 23Fonti, licenze e autori delle immagini 24

Licenze della voceLicenza 25

Numero poligonale 1

Numero poligonaleIn matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligonoregolare.

IntroduzioneGli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere raffigurati in determinati modi quandorappresentati da semi o sassolini. Il numero 10, ad esempio, può formare un triangolo:

ed è quindi un numero triangolare, ma non può formare un quadrato, al contrario del numero 9, che è per l'appuntoun numero quadrato (o quadrato perfetto)

Alcuni numeri, come 36, che possono essere rappresentati sia come quadrati che come triangoli, prendono il nome dinumeri quadrati triangolari):

In modo analogo sono definiti i numeri pentagonali, esagonali, e, in generale, s-gonali. In questi casi, però, ildiagramma che si ottiene non è più altamente compatto, come nei casi di poligoni con tre o quattro lati.Indicando con l’n-esimo numero s-gonale, si definisce in generale

e qualunque sia s, ovvero il secondo numero della serie dei numeri s-gonali è pari alnumero dei vertici (o dei lati) del poligono. I successivi numeri s-gonali si ottengono prolungando di un punto duelati consecutivi del poligono e aggiungendo poi i restanti lati (tutti delle stessa lunghezza) fra questi. Nei seguentischemi, il passaggio da un numero al successivo, è indicato con pallini rossi.

Numeri triangolari

L’n-esimo numero triangolare T(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri naturali:

Numero poligonale 2

(formula di Gauss).

I numeri triangolari possono essere ottenuti in modo ricorsivo:

per (ricordando che

Numeri quadrati

L’n-esimo numero quadrato Q(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri dispari:

.I numeri quadrati possono essere ottenuti in modo ricorsivo:

per ( )Vale l’identità

ovvero ogni quadrato perfetto può essere ottenuto sommando due numeri triangolari consecutivi. L’uguaglianza puòessere facilmente dimostrata tramite la formula di Gauss. Lo stesso risultato può essere dedotto dalla figura seguentein cui il quadrato è stato diviso in due triangoli, uno di lato pari a quello del quadrato (contiene la diagonale), e l’altrocol lato più corto di uno.

Numeri pentagonali

L’n-esimo numero pentagonale si ottiene costruendo un nuovo pentagono partendo dal precedente,aggiungendo un punto a due lati adiacenti e costruendo ex novo gli altri tre lati, e contando tutti i punti, vecchi enuovi. In patica si ottiene sommando a i tre nuovi lati di punti per un totale di punti:

Numero poligonale 3

Sviluppando all’indietro, sostituendo ogni numero pentagonale in funzione del precedente:Che è equivalente alla:

Dalla

con semplici passaggi si ottiene:Ovvero qualunque numero pentagonale si può esprimere in funzione di numeri triangolari.

Numeri esagonali

Con ragionamenti analoghi a quelli effettuati sopra si ottengono le identità:

Formule generaliSe s è il numero di lati di un poligono, la formula per l'n-esimo numero s-gonale si ottiene aggiungendo alprecedente numero s-gonale lati lunghi , per un totale di punti, ovvero

Si dimostra facilmente che ciò equivale a

Generalizzando le formule ottenute per i numeri pentagonali ed esagonali, si ottengono anche le seguenti identità

e quindi

Siccome, allora

Numero poligonale 4

Tabella dei primi numeri s-gonaliQuando possibile, nella tabella, le formule generatrici sono state semplificate.

Nome Formula n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Triangolare ½n(n + 1) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91

Quadrato n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169

Pentagonale ½n(3n - 1) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247

Esagonale n(2n - 1) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325

Ettagonale ½n(5n - 3) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403

Ottagonale n(3n - 2) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481

Ennagonale ½n(7n - 5) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559

Decagonale n(4n - 3) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637

11-gonale ½n(9n - 7) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715

12-gonale n(5n - 4) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 793

13-gonale ½n(11n - 9) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871

14-gonale n(6n - 5) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 949

15-gonale ½n(13n - 11) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 1027

16-gonale n(7n - 6) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 1105

17-gonale ½n(15n - 13) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 1183

18-gonale n(8n - 7) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 1261

19-gonale ½n(17n - 15) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 1339

20-gonale ½n(9n - 8) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 1417

21-gonale ½n(19n - 17) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 1495

22-gonale n(10n - 9) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 1573

23-gonale ½n(21n - 19) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 1651

24-gonale n(11n - 10) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 1729

25-gonale ½n(23n - 21) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 1276 1530 1807

26-gonale n(12n - 11) 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 1885

27-gonale ½n(25n - 23) 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 1963

28-gonale n(13n - 12) 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 2041

29-gonale ½n(27n - 25) 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 2119

30-gonale n(14n - 13) 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197

Numero poligonale 5

Formula inversaPer un dato numero s-gonale x, è possibile trovare n mediante la formula:

Bibliografia• I numeri poligonali su MathWorld [1]

Voci correlate• Numero figurato• Numero poligonale centrato• Numero poligonale centrale• Numero piramidale• Numero tetraedrico• Quadrato perfetto

Note[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ PolygonalNumber. html

SommatoriaLa sommatoria è un simbolo matematico che abbrevia, in una notazione sintetica, la somma di un certo insieme diaddendi. La notazione prevede:• una lettera sigma maiuscola: • una lettera speciale chiamata indice della sommatoria (in genere si usano le lettere k, i, j o n minuscole)• un'espressione algebrica alla destra della Sigma in cui può comparire l'indice della sommatoria• un intervallo di valori (interi) in cui può variare l'indice da indicare sopra e sotto la sigma.Nel caso più generale possibile abbiamo quindi una scrittura del tipo

dove N e M sono dei numeri interi, detti rispettivamente limite inferiore della sommatoria e limite superiore dellasommatoria. La scrittura si legge "sommatoria per k che va da N a M di f(k)". Con questa notazione si indica lasomma di tutti gli addendi che si ottengono sostituendo all'indice k di f(k) tutti i valori interi che vanno dal numero Nal numero M.

Sommatoria 6

EsempiSe

.

O ancora, se

.

Sommatorie infiniteÈ anche possibile utilizzare questa notazione per somme di un numero infinito di termini; esse sono chiamate serieinfinite. Al posto dell'n sopra il simbolo di sommatoria si usa il simbolo di infinito (∞). La somma di una seriesiffatta è definita come il limite della somma dei primi n termini, al crescere di n oltre un qualsivoglia valore. Informule,

Si può anche rimpiazzare m con un infinito negativo, e avere

per un intero a scelta m, ammesso che entrambi i limiti esistano.

Altri usiÈ in uso lo stesso simbolo anche per descrivere somme i cui addendi non sono in corrispondenza con i numeri interi,ma soddisfano condizioni più generali, come ad esempio

dove la somma si estende a tutti i numeri che dividono un dato numero n,

la somma di f(x) su tutti gli x interi nell'intervallo specificato,

la somma su tutti gli x appartenenti all'insieme S.Nella matematica del continuo, l'equivalente della somma è l'integrale, il cui simbolo nasce appunto dalladeformazione del simbolo di sommatoria.Albert Einstein introdusse per matrici e serie una notazione semplificata che da lui prende nome.

Sommatoria 7

Alcune identità in cui compaiono sommatorieLa formula per la somma di tutti gli interi da m a n è

ad es.

Quindi in particolare la somma dei primi n interi positivi è

ad es.

La formula della somma dei primi n quadrati invece è

ad es.

Da queste formule si può anche ricavare quella relativa alla somma dei primi n cubi.Una relazione che lega i primi n quadrati ai primi n cubi è la seguente:

Voci correlate• Addizione• Somma vuota• Produttoria

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Triangolo di Tartaglia 8

Triangolo di Tartaglia

Triangolo di Tartaglia disegnato dal matematico cinese ZhuShijie nel 1303[1]

Il Triangolo di Tartaglia (anche detto triangolo di Pascalo Khayyàm o Yanghui[2] ) è una disposizione geometrica aforma di triangolo dei coefficienti binomiali, ossia deicoefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato aduna qualsiasi potenza n.

Costruzione

Le prime righe del Triangolo di Tartaglia sono le seguenti:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

Triangolo di Tartaglia 9

Ogni numero nel triangolo è la somma dei duenumeri superiori.

In ciascuna riga si può osservare che gli elementi di questa costruzionesi ottengono come somma di due elementi adiacenti della rigaprecedente. Ossia, se k e n sono interi positivi, e k è minore o uguale an:

La potenza del binomio

L'applicazione principale del triangolo di Tartaglia è nello sviluppodelle potenze di un binomio. Se ad esempio si vuole scrivere losviluppo di , è sufficiente andare alla quinta riga deltriangolo di Tartaglia per trovare i coefficienti del polinomio risultante(cioè: 1, 4, 6, 4, 1). E dunque possiamo scrivere:

In generale, nella n+1-esima riga si trovano i coefficienti della potenza n-esima del binomio.Per tale motivo, i numeri del triangolo di Tartaglia sono detti anche coefficienti binomiali, particolarmente studiatinell'ambito del calcolo combinatorio: si dimostra infatti che l'elemento di posizione k sulla riga n del triangolo diTartaglia è il numero di combinazioni di n-1 elementi di classe k-1:

Dunque, la potenza del binomio può essere scritta anche con la formula seguente, che dobbiamo a Newton ed ècomunemente indicata come formula del binomio di Newton:

.

Formalismo matricialeCon i classici indici del formalismo matriciale, il triangolo può essere costruito nel seguente modo. introdotti dueindici e per denotare gli indici riga e colonna, possiamo scrivere:riga 1: ; ;riga 2: ; ; ;riga 3: ; ; ; ;riga 4: ; ; ; ; ;In generale, è una funzione di Dirichlet, che vale con e ,sempre (per ogni e ), tranne per oppure , ossia agli estremi (destro e sinistro) di ogni rigadel triangolo, dove vale .Infatti, vale che , ; , , e che

.Tale formulazione è del tutto equivalente a quella precedente e più "classica" del coefficiente binomiale. Vengonosolamente cambiati gli indici, riconducendosi al formalismo matriciale.

Triangolo di Tartaglia 10

ProprietàIl triangolo ha molte altre numerose proprietà, alcune dipendenti dal metodo di costruzione, altre dalle proprietà deicoefficienti binomiali (le due cose sono legate tra loro).

Condizione al contorno

Essendo tutti i numeri lungo il contorno sono uguali a uno.

Formula ricorrente

È nota la proprietà dei binomiali per cui , questo porta ad una formula ricorrente

per calcolare un numero del triangolo: se voglio conoscere il numero alla riga al posto , basta sommare i duenumeri della fila precedente allo stesso posto e al posto precedente, cioè otteniamo proprio la formula di costruzione.

Simmetria del triangolo

Il triangolo è simmetrico rispetto all'altezza, cioè , questo poiché .

Somma delle righeSi può notare che:

1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 + 1 = 4

1 + 3 + 3 + 1 = 8

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

Cioè la somma della -esima riga è , si può dimostrare molto facilmente osservando che la somma della primariga è ovviamente 1, e data una riga, ogni numero della riga successiva si ottiene sommando i due numeri superiori eche ogni numero superiore viene utilizzato due volte, quindi , indicando con la somma della riga

.Altra dimostrazione ancora più semplice consiste nel ricordare che ogni riga contiene i coefficienti dello sviluppodelle potenze di un binomio, volendo prendere il binomio , il suo sviluppo consiste nei semplici coefficienti,quindi, per esempio , ed in generale .

Differenza nelle righeSi può notare che:

1 - 1 = 0

1 - 2 + 1 = 0

1 - 3 + 3 - 1 = 0

1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0

La somma dei numeri in posto dispari (1°, 3°, 5°,...) meno la somma dei numeri al posto pari (2°, 4°, 6°,...) da zero.Per le righe con un numero pari di elementi, questo è ovvio in quanto il triangolo è simmetrico (vedi sopra).Per una dimostrazione generale ci affidiamo alla tecnica precedente prendendo come binomio (1-1), in questo modo otteniamo proprio la somma che cerchiamo, che non può che fare 0. Un esempio:

Triangolo di Tartaglia 11

.

Potenze di undiciLe cifre che compongono le potenze di 11 si possono leggere immediatamente sul triangolo di Tartaglia:

1 = 1

1 1 = 11

1 2 1 = 121

1 3 3 1 = 1331

1 4 6 4 1 = 14641

Il metodo per la dimostrazione è sempre quello, prendendo il binomio 10+1; per esempio alla 4ª riga si ottiene .E' importante notare, tuttavia, che dalla 6ª riga in poi l'equivalenza con le potenze di 11 si viene a perdere.

Somma delle diagonaliPrendiamo una porzione del triangolo:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Sommando i numeri su una diagonale (1+3+6+10) otteniamo il numero adiacente al prossimo sulla diagonale (20).

Multipli di numero fissatoDato un numero n fissato, i numeri del triangolo che siano suoi multipli interi, formano dei nuovi triangoli con ilvertice in basso, oppure dei punti isolati, che sono ovviamente anch'essi dei triangoli di lato unitario. Tali triangolinon si intersecano, né sono adiacenti.

Pari: 1

1 1

1 \2/ 1

1 3 3 1

1 \4 6 4/ 1

1 5 \10 10/ 5 1

1 \6/ 15 \20/ 15 \6/ 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 \8 28 56 70 56 28 8/ 1

1 9 \36 84 126 126 84 36/ 9 1

1 \10/ 45 \120 210 252 210 120/ 45 \10/ 1

1 11 55 165 \330 462 462 330/ 165 55 11 1

1 \12 66 220/ 495 \792 924 792/ 495 \220 66 12/ 1

1 13 \78 286/ 715 1287 \1716 1716/ 1287 715 \286 78/ 13 1

Triangolo di Tartaglia 12

Altre successioni di interiNel triangolo di Tartaglia, oltre ai coefficienti binomiali, si individuano anche altre successioni di interi positivi:

Numero di CatalanI Numeri di Catalan si possono trovare in verticale partendo dal vertice, scendendo e dividendo per 1, 2, 3, 4 ...quindi sono 1/1, 2/2, 6/3, 20/4, 70/5 ... ovvero 1, 1, 2, 5, 14 ...

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

Numeri di FibonacciI Numeri di Fibonacci possono essere trovati sommando le diagonali "storte", ottenute spostandosi ogni volta di unariga sotto e due numeri a sinistra. Esempio: oppure

. Esiste anche un algoritmo per la determinazione dei coefficienti deipolinomi di Fibonacci.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Triangolo di Tartaglia 13

Serie dei numeri politopiciOgni diversa diagonale del triangolo rappresenta una successione di numeri n-topici (una estensione allen-dimensioni dei numeri poligonali, per esempio la 2° diagonale è composta dai numeri triangolari:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,..La 3° diagonale dai numeri tetraedrici (3 dimensioni), la 4° dai numeri 4-topici (4 dimensioni), e così via.[3]

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

Ogni numero nel triangolo di Tartaglia è dunque identificato dalle coordinate n ed m. Vi è una semplice relazione tratutte le coppie di numeri adiacenti aventi posizione (n,m) ed (n+1,m–1)

per esempio l'ottavo (8°) numero tetraedrico (3-topico) moltiplicato 3 è uguale al prodotto di 8 per il nono (9°)numero triangolare (2-topico) (3*120 = 8*45)Il risultato che risale a Fermat e che il matematico considerava una "proposizione molto bella" [4] non è chel'espressione della seguente

Non estendibilità alla radice n-esimaIl principio di induzione è un assioma della matematica valido per i numeri naturali. Un'estensione del principio ainumeri razionali o reali non è fattibile, sebbene esistono proprietà di numeri interi e razionali valide per ogni valoredi n razionale o reale; tali proprietà vengono dimostrate senza utilizzare tale principio; in teoria sarebbe quindipossibile estendere la costruzione del triangolo di Tartaglia anche per il calcolo di potenze razionali del binomio.Però la produttoria, la funzione fattoriale che da essa è definita, il coefficiente binomiale che a sua volta si calcolacon la funzione fattoriale, hanno un insieme di definizione più ristretto, limitato ai numeri naturali. Ciò impedisce diestendere il triangolo di Tartaglia ad esponenti frazionari e di avere una formula esatta per il calcolo delle radici diordine n-esimo.D'altra parte, anche individuati i coefficienti col Triangolo di Tartaglia, resterebbero da definire le potenze(decrescenti in e crescenti in ) da attribuire nei diversi termini.

Triangolo di Tartaglia 14

Nota storicaLa costruzione del triangolo di Tartaglia era nota a matematici cinesi nel XIV secolo[1] e forse anche in epocaanteriore. In Italia prese il nome da Niccolò Tartaglia, che lo descrisse in un suo diffuso trattato nella prima metà delXVI secolo, ma in Francia e successivamente anche nel mondo anglosassone prende il nome da Blaise Pascal, che unsecolo dopo, nel 1654, ne fece grande uso nei suoi studi sulla probabilità. In Germania invece è comunementeattribuito a Stiefel che ne scrisse nel 1544.Nel triangolo è presente "1" al primo livello, due volte "1" al secondo e poi gli altri numeri. Ciò rappresenta neinumeri il passaggio dall'Uno alla Diade, tipicamente platonico. La Diade del secondo livello deriva da unosdoppiamento dell'Uno. Tartaglia ebbe contatti con Cardano, autore del "De subtilitate" (1547) e il "De rerumvarietate" (1557) che contengono una riflessione sulla natura tipicamente rinascimentale, ispirata dal neoplatonismo.

Note[1] Katz, V.J. (1992) A History Of Mathematics : An Introduction d'après http:/ / www. roma. unisa. edu. au/ 07305/ pascal. htm[2] (EN) Pascal's Triangle (http:/ / mathworld. wolfram. com/ PascalsTriangle. html) in Wolfram MathWorld[3] John H. Conway, Richard K. Guy, Il libro dei numeri. Hoepli 1999 ISBN 88-203-2519-5.[4] André Weil, Teoria dei numeri. Einaudi 1993 ISBN 88-06-12745-4

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Calcolo combinatorioIl calcolo combinatorio è il termine che denota tradizionalmente la branca della matematica che studia i modi perraggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio siinteressa soprattutto di contare tali modi, ovvero le configurazioni e solitamente risponde a domande quali "Quantisono...", "In quanti modi...", "Quante possibili combinazioni..." eccetera.Più formalmente, dato un insieme S di n oggetti si vuole contare le configurazioni che possono assumere k oggettitratti da questo insieme. Prima di affrontare un problema combinatorio bisogna precisare due punti importanti:• Se l'ordinamento è importante, ovvero se due configurazioni sono le stesse a meno di un riordinamento ({x,y,z} è

uguale a {z,x,y}?)• Se si possono avere più ripetizioni di uno stesso oggetto, ovvero se uno stesso oggetto dell'insieme può o meno

essere riusato più volte all'interno di una stessa configurazione.

Permutazioni

Permutazioni semplici (senza ripetizioni)Una permutazione di un insieme di oggetti è una presentazione ordinata, cioè una sequenza, dei suoi elementi nellaquale ogni oggetto viene presentato una ed una sola volta. Per contare quante siano le permutazioni di un insiemecon n oggetti, si osservi che il primo elemento della configurazione può essere scelto in n modi diversi, il secondo in(n-1), il terzo in (n-2) e così via sino all'ultimo che potrà essere preso in un solo modo essendo l'ultimo rimasto.Dunque, indicando con Pn il numero delle possibili permutazioni di un insieme di n elementi, si ottiene che esse sonoesattamente n! (n fattoriale):

Ad esempio le permutazioni degli elementi dell'insieme {a,b,c} sono 3! = 6: abc, bac ,bca, cab, cba, acb.

Calcolo combinatorio 15

Per completare meglio la definizione di fattoriale fissiamo anche i valori seguenti:1! = 1 e 0! = 1.

Permutazioni con ripetizioniIn alcuni casi un insieme può contenere elementi che si ripetono. In questo caso alcune permutazioni di tali elementisaranno uguali tra loro. Indicando con k1, k2 fino a kr il numero di volte che si ripetono rispettivamente gli elementi1, 2 e r, le permutazioni uniche (non ripetute) divengono:

Si tratta, infatti, di dividere il numero delle distinte permutazioni di n oggetti per il numero delle permutazioni di k1!presenze di uno stesso elemento, tutte uguali tra loro, poi per il numero delle permutazioni di k2! presenze di unostesso elemento, ecc.La formula vale in realtà per qualsiasi permutazione, anche senza ripetizioni di elementi. Infatti, se assumiamo k1, k2fino a kr uguali ad 1 (cioè gli elementi si ripetono una sola volta), otteniamo esattamente la formula dellepermutazioni semplici, perché si ha:

DismutazioniSono dette dismutazioni le permutazioni prive di punti fissi, con formula:

Disposizioni

Disposizioni semplici (senza ripetizioni)Una disposizione semplice di lunghezza k di elementi di un insieme S di n oggetti, con k ≤ n, è una presentazioneordinata di k elementi di S nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto. Per avere il numero diqueste configurazioni si considera che il primo componente di una tale sequenza può essere scelto in n modi diversi,il secondo in (n-1) e così via, sino al k-esimo che può essere scelto in (n-k+1) modi diversi. Pertanto il numero Dn,kdi disposizioni semplici di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti è dato da:Ad esempio le disposizioni semplici di lunghezza 2 degli elementi dell'insieme {1,2,3,4,5} sono 5!/(5-2)! = 5!/3! =120/6 = 20: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.Si osserva che le permutazioni sono casi particolari delle disposizioni semplici: le permutazioni di un insieme di noggetti sono le disposizioni semplici di tali oggetti di lunghezza n. In effetti per il loro numero:

Disposizioni con ripetizioniUna presentazione ordinata di elementi di un insieme nella quale si possono avere ripetizioni di uno stesso elementosi dice disposizione con ripetizioni. Cerchiamo il numero delle possibili sequenze di k oggetti estratti dagli elementidi un insieme di n oggetti, ognuno dei quali può essere preso più volte. Si hanno n possibilità per scegliere il primocomponente, n per il secondo, altrettante per il terzo e così via, sino al k-esimo che completa la configurazione. Ilnumero cercato è pertanto:

Calcolo combinatorio 16

Ad esempio le disposizioni con ripetizione di lunghezza 2 degli elementi di {1,2,3,4,5} sono 52 = 25: 11, 12, 13, 14,15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.Si osserva che può anche essere k > n

Combinazioni

Combinazioni semplici (senza ripetizioni)Si chiama combinazione semplice una presentazione di elementi di un insieme nella quale non ha importanzal'ordine dei componenti e non si può ripetere lo stesso elemento più volte. La collezione delle combinazioni di kelementi estratti da un insieme S di n oggetti distinti si può considerare ottenuta dalla collezione delle disposizionisemplici di lunghezza k degli elementi di S ripartendo tali sequenze nelle classi delle sequenze che presentano lostesso sottoinsieme di S e scegliendo una sola sequenza da ciascuna di queste classi. Ciascuna delle suddette classi disequenza di lunghezza k contiene k! sequenze, in quanto accanto a una sequenza σ si hanno tutte e sole quelleottenibili permutando i componenti della σ. Quindi il numero delle combinazioni semplici di n elementi di lunghezzak si ottiene dividendo per k! il numero delle disposizioni semplici di n elementi di lunghezza k:

Di solito tra le diverse disposizioni semplici di una classe si sceglie come combinazione rappresentativa la sequenzanella quale i componenti compaiono in ordine crescente (tutti gli insiemi finiti possono avere gli elementi ordinatitotalmente, ovvero associati biunivocamente ai primi interi positivi).Ad esempio le combinazioni semplici di lunghezza 4 degli elementi di {1,2,3,4,5,6} sono 6!/(4!2!) = 15: 1234, 1235,1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456.

Combinazioni con ripetizioniQuando l'ordine non è importante ma è possibile avere componenti ripetute si parla di combinazioni conripetizione. Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k è uguale a quello delle combinazionisenza ripetizione di n+k-1 oggetti di classe k ed è quindi uguale a:

.

Ad esempio, vi sono modi di distribuire a 2 bambini distinguibili 4 caramelle indistinguibili,

contando anche i casi in cui uno dei bambini non riceve nessuna caramella: 0-4, 1-3, 2-2, 3-1, 4-0. Oppure, lecombinazioni con ripetizioni per n oggetti di classe k rappresentano il numero delle derivate parziali di ordine kcalcolabili per una funzione a n variabili.

Calcolo combinatorio 17

Voci correlate• Combinatoria• Permutazione• Disposizione• Combinazione• Dismutazione (matematica)• Binomio di Newton

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Calcolo combinatorio

FattorizzazioneFattorizzare un numero (il termine più corretto sarebbe "ridurre in fattori") significa trovare un insieme dinumeri tali che il loro prodotto sia il numero originario ( ).

Numeri primi e fattorizzazioneInnanzitutto bisogna tenere presente che un qualunque numero naturale ha infinite fattorizzazioni: lo si può infattimoltiplicare quante volte si vuole per 1. In pratica, però, non si considerano i fattori 1 nella fattorizzazione: è questatra l'altro la ragione per cui si preferisce affermare che 1 non è un numero primo, anche se soddisferebbe ladefinizione "è divisibile solamente per sé stesso e per 1".La maggior parte dei numeri ha comunque svariate fattorizzazioni possibili: ad esempio,

. Per convenzione, ci si concentra su una sola tra tuttequeste, che è anche la più importante: la fattorizzazione in numeri primi, che consiste nel cercare un insieme difattori del numero che siano tutti primi (generalmente indicati con per ricordare la loroprimalità); ogni numero naturale ha una ed una sola fattorizzazione in numeri primi. Ad esempio

Metodi di fattorizzazioneNel corso della storia sono stati ideati molti metodi per rendere la fattorizzazione un problema sempre più veloce edagevole: esso però rimane tuttora un problema complesso.• metodo forza bruta: si divide n per tutti i numeri che gli sono minori. Il costo operativo nel caso peggiore è O(n)• metodo forza bruta migliorato: si considerano solo i numeri primi minori o uguali alla radice quadrata del numero

(possono essere generati efficientemente con un crivello di Eratostene), si prova a dividere il numero n per ilminore di questi, se non risulta divisibile si procede con il successivo e così via, si procede allo stesso modo con ilrisultato ottenuto e si ripete la stessa sequenza fino a quando si ottiene quoziente 1. Se tutti i numeri primi minoridella radice quadrata di n sono stati provati e nessuno di loro è un divisore, n stesso è un numero primo. Il costooperativo nel caso peggiore è O(√n) (nell'assunzione poco reale di un modello di costo a costi costanti).

• metodo delle curve ellittiche (ECM) [1]: uno dei più noti è quello di Lenstra, che si basa su idee già contenute nel "(p-1)-method" di Pollard [2]. Insieme all'algoritmo di Pollard-Strassen e al Crivello dei campi di numeri generale

Fattorizzazione 18

è a tutt'oggi (2007) uno dei più veloci metodi totalmente deterministici.• metodi probabilistici: Tra di essi ci sono gli algoritmi di Schnorr-Lenstra e di Lenstra-Pomerance.Nel 1994 Peter Shor ha mostrato un algoritmo di fattorizzazione un numero n in tempo polinomiale (cubico, per laprecisione) nel numero di cifre necessarie per rappresentare n. L'unico problema è che richiede un computerquantistico.

Bibliografia• Montgomery, P. L. "Speeding up the Pollard and Elliptic Curve Methods of Factorization." Math. Comput. 48,

243-264, 1987.

Voci correlate• Scomposizione dei polinomi

Note[1] http:/ / www. alpertron. com. ar/ ECM. HTM[2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Pollardp-1FactorizationMethod. html

Metodo forza brutaIl metodo "forza bruta" (anche noto come ricerca esaustiva della soluzione) è un algoritmo di risoluzione di unproblema che consiste nel verificare tutte le soluzioni teoricamente possibili fino a che si trova quella effettivamentecorretta.Il suo principale fattore positivo è che consente teoricamente sempre di trovare la soluzione corretta, ma per contro èsempre la soluzione più lenta o dispendiosa; viene utilizzato come ultima risorsa sia in crittanalisi che in altre partidella matematica solamente in quei casi dove sia l'unico procedimento conosciuto.

Utilizzo in crittoanalisiIn ambito crittanalitico questo metodo si utilizza in genere per trovare la chiave di un sistema che impiega un cifrarioper individuare il quale non si conosca alcun attacco migliore, ed è noto appunto come attacco di forza bruta.Questo fu ad esempio il metodo utilizzato dal controspionaggio polacco e poi inglese per decifrare i messaggitedeschi della macchina Enigma, ideata da Arthur Scherbius. Per ottenere il risultato infatti, essi utilizzarono lafamosa Bomba ideata da Marian Rejewski, una speciale macchina calcolatrice in grado di sottoporre il messaggiocifrato ad un attacco di forza bruta, fino a trovare la soluzione. La macchina venne poi perfezionata dagli inglesi,grazie al contributo del grande matematico Alan Turing. Questi primi rudimentali e mastodontici calcolatori eranolentissimi, se paragonati agli attuali computer, e potevano impiegare interi mesi per decifrare un breve messaggio. Intempi più recenti, per supplire alla sempre maggiore velocità dei computer disponibili in commercio, divennenecessario utilizzare chiavi di sempre maggiore dimensione. Questa crescita delle dimensioni della chiave èsostenibile, dato che mentre lo spazio delle chiavi (e quindi il tempo necessario per un attacco forza bruta) aumentaesponenzialmente con la lunghezza delle chiave (come O(2n), per la precisione) il tempo di cifratura e decifrazionein genere ha poca dipendenza dalla lunghezza della chiave (per fare un esempio, AES, utilizzando chiavi di 256 bit, èpiù veloce del Data Encryption Standard (DES), che può utilizzare solamente chiavi da 56 bit).Un esempio pratico di attacco di forza bruta è quello tentare di aprire una valigetta con serratura a combinazioneprovando tutte le possibili combinazioni delle tre (in genere non sono più di tre) rotelle numerate. Per aumentare laprotezione della valigetta da questo tipo di attacchi è necessario aumentare il numero di ruote numerate; siccome il

Metodo forza bruta 19

numero di combinazioni in questo caso cresce secondo le potenze di dieci, con una ruota in più le possibilicombinazioni passano da 1.000 a 10.000.Bisogna prestare attenzione però al trade off, cioè tempo-memoria contro tempo-processori: come spiegato da DanielJ. Bernstein nell'articolo riportato, un calcolatore con 232 processori è incomparabilmente più veloce delcorrispondente calcolatore seriale di pari costo.

Utilizzo in sicurezza informaticaNell'ambito della sicurezza informatica questo metodo si utilizza soprattutto per trovare la password di accesso ad unsistema. La differenza principale tra attaccare una chiave crittografica e attaccare una password è che la prima èsolitamente stata generata in modo totalmente casuale mentre una password, per la sua stessa natura di dover esserericordata e inserita da esseri umani, è generalmente meno densa di informazioni. Utilizzando una parola italiana di 8caratteri come password la sua sicurezza (il numero di tentativi che un attaccante deve fare) non è di 263 tentativi(una sicurezza equivalente a una chiave casuale di 64 bit) ma piuttosto il numero totale di parole italiane di 8caratteri (una sicurezza equivalente a meno di 16 bit). È quindi palese l'importanza di utilizzare password moltolunghe (spesso chiamate passphrase) oppure generate casualmente; queste due scelte non fanno altro che barattare lafacilità di memorizzazione con la lunghezza e il tempo necessario per inserire manualmente la password.Quando sul sistema è possibile un attacco offline (ovvero quando l'attacco si può eseguire su una copia di lavorolocale del sistema da attaccare) si può compensare la lentezza di esecuzione con la quantità di risorse: laddove unsingolo computer possa "provare" 100.000 chiavi al secondo, due computer possono provarne il doppio e così via (lavelocità aumenta linearmente con le risorse utilizzate). Questa caratteristica ha nei recenti anni motivato moltiattacchi "distribuiti" sfruttando solo i cicli inutilizzati di migliaia e migliaia di comuni computer (Internet facilita dimolto l'organizzazione di questo tipo di attacchi). Questo ovviamente non è applicabile a sistemi informatici dove siapossibile esclusivamente un attacco online, né a sistemi che utilizzino protezioni fisiche quali lucchetti metallici: nonè ovviamente possibile sveltirne l'apertura provando due o più chiavi alla volta.

Voci correlate• Attacco a dizionario• Crittografia• Enigma• Password• Potenza di due• Rafforzamento della chiave• Sicurezza informatica• Storia del computer• Arthur Scherbius• Alan Turing• Marian Rejewski

Metodo forza bruta 20

Collegamenti esterni• (EN) Daniel Bernstein, Understanding brute force [1], file pdf.• Brutus [2]

Note[1] http:/ / cr. yp. to/ snuffle/ bruteforce-20050425. pdf[2] http:/ / www. hoobie. net/ brutus

Crivello di EratosteneIl crivello di Eratostene è un antico procedimento per il calcolo delle tabelle di numeri primi fino ad un certonumero n prefissato. Deve il nome al matematico Eratostene di Cirene, che ne fu l'ideatore. È a tutt'oggi utilizzatocome algoritmo di calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer; pur non essendo un algoritmostraordinariamente efficiente, infatti, è in compenso piuttosto semplice da tradurre in un qualsiasi linguaggio diprogrammazione.Diverse generalizzazioni di questo metodo hanno dato vita alla teoria dei crivelli; tra di essi vi sono il crivello diLegendre e il crivello di Atkin.

Algoritmo

Il procedimento è il seguente: si scrivono tutti i naturali a partire da 2fino n in un elenco detto setaccio (in programmazione spesso l'elenco èimplementato da un array). Poi si cancellano (setacciano) tutti imultipli del primo numero del setaccio (escluso lui stesso). Si proseguecosì fino ad arrivare in fondo. I numeri che restano sono i numeri primiminori od uguali a n.

È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: ilprimo lascia passare solo i numeri non multipli di 2, il secondo solo inon multipli di 3, e così via.Nel caso n = 50, ad esempio, il procedimento di setacciatura siconclude con il numero 7 perché 7 è il massimo primo il cui quadrato non supera 50 e si può provare che ilprocedimento di setacciatura per ricercare i primi fino ad un certo numero n cessa sempre quando si supera la radicequadrata di n. Infatti ogni numero a del setaccio iniziale, contenente tutti i numeri naturali non superiori ad un dato n,cade dal setaccio che corrisponde al più piccolo dei suoi divisori primi.

Se indichiamo con p il più piccolo divisore primo di a si ha: con .

Se ne deduce che , da cui p è sempre minore o uguale alla radice quadrata di a.

EsempioPer trovare tutti i numeri primi minori o uguali a 30, procedere come segue:

Scrivere la lista di tutti i numeri interi da 2 a 30:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Cancellare dalla lista i multipli di 2:

Crivello di Eratostene 21

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Il primo numero della lista dopo il 2 è il 3; cancellare dalla lista i multipli di 3:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29

Il primo numero della lista dopo il 3 è il 5; cancellare dalla lista i rimanenti multipli di 5:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Il primo numero della lista dopo il 5 è il 7, ma il quadrato di 7 è 49, che è maggiore di 30, quindi

il procedimento è terminato. La lista finale consiste di tutti i numeri primi inferiori o uguali a

30.

Altri progetti• Wikiversità contiene informazioni su Il crivello di Eratostene(implementazione in C)

Collegamenti esterni(EN) Crivello di Eratostene [1] su MathWorld.

Note[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ SieveofEratosthenes. html

Crivello dei campi di numeri generale 22

Crivello dei campi di numeri generaleIn matematica, il crivello dei campi di numeri generale (noto anche semplicemente come crivello dei campi dinumeri o anche GNFS, dall'inglese general number field sieve) è il più efficiente algoritmo classico conosciuto perfattorizzare gli interi con più di 100 cifre. Euristicamente, la sua complessità computazionale, per fattorizzare unintero n è

(vedi notazione O grande), ove c è una costante che dipende dalla variante dell'algoritmo utilizzata.[1] È unageneralizzazione del crivello dei campi di numeri speciale. A differenza di quest'ultimo che può essere utilizzato solosu numeri di una particolare forma, il crivello dei campi di numeri generale può essere utilizzato per fattorizzare ogninumero (ad eccezione delle potenze dei primi, che però si possono fattorizzare facilmente con altri metodi).Il crivello dei campi di numeri (sia generale che speciale) può essere considerato un'estensione del più semplicerational sieve. Per fattorizzare un intero grande n, quest'ultimo algoritmo ha bisogno di trovare numeri dello stessoordine di n che hanno fattori primi piccoli; la rarità di questi numeri rende di fatto inutilizzabile il rational sieve. Perovviare a questo problema, i crivelli dei campi di numeri sposta il problema negli anelli degli interi di alcuni campidi numeri. Questa approccio, pur introducendo alcune complicazioni teoriche, rende sufficiente cercare gli interi confattori primi piccoli tra i numeri di ordine n1/d, ove d è un intero maggiore di 1. Dato che i numeri più piccoli hannogeneralmente fattori primi più piccoli, questa modifica aumenta notevolmente l'efficienza del metodo.Si noti che log n è essenzialmente il numero di cifre nella rappresentazione binaria di n e di conseguenza, nei casipeggiori, il tempo necessario per compiere una fattorizzazione è più che polinomiale (nel numero delle cifre). Non èancora noto, se esistono degli algoritmi per computer classici che risolvono il problema della fattorizzazione in untempo polinomiale, mentre ne è stato trovato uno, l'algoritmo di fattorizzazione di Shor, che risolve il problema per icomputer quantistici.

Note[1] Pomerance, Carl (December 1996) A Tale of Two Sieves (http:/ / www. ams. org/ notices/ 199612/ pomerance. pdf) 43 (12): 1473–1485.

Collegamenti esterni• Arjen K. Lenstra e H. W. Lenstra, Jr. "The development of the number field sieve". Lecture Notes in Math.

(1993) 1554. Springer-Verlag.• Richard Crandall e Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective (2001). 2nd edition, Springer.

ISBN 0-387-25282-7. Sezione 6.2: Number field sieve, pp. 278–301.• (EN) Crivello dei campi di numeri generale (http:/ / mathworld. wolfram. com/ NumberFieldSieve. html) su

MathWorld.

Fonti e autori delle voci 23

Fonti e autori delle vociNumero poligonale  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36112560  Autori:: Aldoaldoz, Alec, BattLo, Fangio Tinser, Fradeve11, Frieda, Hashar, Laurentius, Ma'ame Michu,PersOnLine, Salvatore Ingala, SantiF, 5 Modifiche anonime

Sommatoria  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35265036  Autori:: Alz, DanGarb, Ego, El Quebrado, Francisco83pv, L.marco, Luisa, Marcok, Max98, Megalexandros,Michele-sama, Piddu, Pokipsy76, Sirabder87, SkZ, Tantalas, Wiso, Ylebru, 27 Modifiche anonime

Triangolo di Tartaglia  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36298360  Autori:: .mau., Alberto da Calvairate, Alchimista di Cristallo, Ask21, AttoRenato, C.piovesan, Chitarrista,Domenico De Felice, Don Tricheco, Etienne, Frack, Franztanz, Gac, Gastaman, Gliu, Gmacar, Guidomac, Hellis, Ignlig, Kibira, Klaudio, Luca Antonelli, MapiVanPelt, Marcok, Nickanc, No2,Parerga, Quatar, Red Power, Salvatore Ingala, Senpai, Snowdog, TheWiz83, Timendum, Titian1962, To011, Tomi, Ylebru, 92 Modifiche anonime

Calcolo combinatorio  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=35617488  Autori:: Abbax, Airon90, Alberto da Calvairate, Aleb, Bizio, Fale, Frazzone, Frieda, Gim²y, GuidoMaccioni, Hobione, Jalo, Labba94, Leitfaden, Mikimouse3, Nick, Parerga, Pracchia-78, Qualc1, Ripepette, Snowdog, Tomi, Toobaz, Unriccio, Ylebru, 89 Modifiche anonime

Fattorizzazione  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36050779  Autori:: .mau., Alec, Avesan, Blakwolf, CavalloRazzo, Dariuz borghigiano, Frieda, Gac, Gco, Iudozz,LapoLuchini, Mtt, Nihil, Raffamaiden, Restu20, Romanm, Salvatore Ingala, Sandrobt, Snowdog, Spino, Unriccio, Vermondo, h255-108-40.PD1.infinito.it, 18 Modifiche anonime

Metodo forza bruta  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34669959  Autori:: %Pier%, .mau., Abisys, Alfio, Ary29, Avesan, Blakwolf, Davide, ErBabbuino, Fabius Romanus,Fioravante Patrone, Gianfranco, Guam, Hacker nait, Hellis, IlBeso, Joana, K.Weise, LapoLuchini, Leo72, Lp, Maurice Carbonaro, Mauron, Microsoikos, Nevermindfc, Nipisiquit, O--o,Pap3rinik, Qualc1, Red devil 666, Robmontagna, Sassospicco, Sbisolo, Svante, Twice25, Umibozo, Xno, 9 Modifiche anonime

Crivello di Eratostene  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=34760519  Autori:: Aidosnet, Aracuano, Avesan, Balta, Baruneju, Blakwolf, Blues 1911, Buggia, Cesalpino, Dr Zimbu,Ebelloni, Fakezeta, Feal87, Fibonaccixp, Hashar, Hellis, Iron Bishop, Klaudio, Land, LapoLuchini, Laurusnobilis, Lucretius, MapiVanPelt, Marco.gario, Mars Spider, Moongateclimber,Nigh7mar3, No2, OnlyPunk, Panairjdde, Salvatore Ingala, Sandrobt, Spearservice, Suisui, Ticket 2010081310004741, Unop2pf, Vipera, Vituzzu, Xno, 80 Modifiche anonime

Crivello dei campi di numeri generale  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?oldid=32887537  Autori:: Piddu, Sandrobt, 1 Modifiche anonime

Fonti, licenze e autori delle immagini 24

Fonti, licenze e autori delle immaginiImmagine:GrayDotX.svg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:GrayDotX.svg  Licenza: Public Domain  Autori:: Ilmari KaronenImmagine:GrayDot.svg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:GrayDot.svg  Licenza: Public Domain  Autori:: Ilmari KaronenFile:Polygonal_Number_3.gif  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Polygonal_Number_3.gif  Licenza: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Autori:: User:AldoaldozFile:Polygonal_Number_4.gif  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Polygonal_Number_4.gif  Licenza: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Autori:: User:AldoaldozImmagine:RedDot.svg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:RedDot.svg  Licenza: Public Domain  Autori:: Ilmari Karonen, Pfctdayelise, 1 Modifiche anonimeImmagine:BlackDot.svg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:BlackDot.svg  Licenza: Public Domain  Autori:: Ilmari Karonen, Matthias M.File:Polygonal_Number_5.gif  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Polygonal_Number_5.gif  Licenza: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Autori:: User:AldoaldozFile:Polygonal_Number_6.gif  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Polygonal_Number_6.gif  Licenza: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Autori:: User:AldoaldozImmagine:Commons-logo.svg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Commons-logo.svg  Licenza: logo  Autori:: User:3247, User:GruntFile:Yanghui triangle.PNG  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Yanghui_triangle.PNG  Licenza: Public Domain  Autori:: David Shay, MddFile:PascalTriangleAnimated2.gif  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:PascalTriangleAnimated2.gif  Licenza: GNU Free Documentation License  Autori::w:User:HersfoldHersfold on the English WikipediaImmagine:Animation Sieve of Eratosth-2.gif  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Animation_Sieve_of_Eratosth-2.gif  Licenza: GNU Free Documentation License  Autori::6Sixx, Brian0918, 3 Modifiche anonimeImmagine:Wikiversity-logo-It.svg  Fonte:: http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=File:Wikiversity-logo-It.svg  Licenza: sconosciuto  Autori:: -

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