Giustizia, Uguaglianza e Differenza, Una Guida Alla Lettura Della Filosofia Politica Contemporanea
Il segno di uguaglianza e le sue diverse interpretazioni · Secondo il modello costruttivista, ......
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LAVORO DI DIPLOMA DI GHAZALE JAZAYERI MASTER OF ARTS SUPSI IN SECONDARY EDUCATION ANNO ACCADEMICO 2010/2011 IL SEGNO DI UGUAGLIANZA E LE SUE DIVERSE INTERPRETAZIONI RELATORE EMANUELE DELUCCHI
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LAVORO DI DIPLOMA DI
GHAZALE JAZAYERI
MASTER OF ARTS SUPSI IN SECONDARY EDUCATION
ANNO ACCADEMICO 2010/2011
IL SEGNO DI UGUAGLIANZA ELE SUE DIVERSE INTERPRETAZIONI
RELATORE
EMANUELE DELUCCHI
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1. Introduzione ................................................................................................................................3
2. Quadro teorico ............................................................................................................................5
2.1. Immagini e modelli ..............................................................................................................5
2.2. Misconcezioni e ostacoli ......................................................................................................6
2.3. Breve storia del simbolo di uguaglianza ..............................................................................8
2.4. L’uguale nelle scuole ...........................................................................................................9
2.5. Importanza dell’interpretazione relazionale.......................................................................10
3. Domande di ricerca ...................................................................................................................13
4. Ipotesi di ricerca........................................................................................................................15
5. Metodologia ..............................................................................................................................17
5.1. Descrizione del campione ..................................................................................................17
5.2. Questionario iniziale ..........................................................................................................17
5.3. Attività didattica.................................................................................................................19
5.4. Questionario finale .............................................................................................................21
6. Risultati .....................................................................................................................................23
6.1. Risultati del questionario iniziale .......................................................................................23
6.2. Risultati degli allievi ticinesi (questionario iniziale) e degli allievi statunitensi................27
6.3. Risultati prima e dopo l’intervento didattico......................................................................31
7. Discussione dei risultati ............................................................................................................35
7.1. Confronto tra la prima e terza media..................................................................................35
7.2. Confronto con i risultati rilevati da Oksuz Cumali ............................................................37
7.3. Confronto tra i risultati ottenuti prima e dopo l’attività didattica ......................................38
8. Conclusioni ...............................................................................................................................39
8.1. Risposte alle domande di ricerca........................................................................................39
8.2. Alcune riflessioni ...............................................................................................................39
9. Riferimenti bibliografici ...........................................................................................................43
10. Allegati......................................................................................................................................45
A Questionario iniziale in prima media .......................................................................................45
B Questionario in terza media ......................................................................................................48
C Attività didattiche .....................................................................................................................51
D Questionario finale in prima media ..........................................................................................58
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1. Introduzione
Il simbolo di uguaglianza viene generalmente introdotto durante i primi anni di scuola
elementare. Nonostante sia dunque un simbolo ben conosciuto dagli allievi di scuola media,
mi è capitato spesso, mentre davo lezioni private o mentre insegnavo, di costatare che i
ragazzi non lo utilizzassero correttamente. Quando facevo loro notare che le espressioni che
avevano scritto a destra e a sinistra dell’uguale non erano equivalenti, ho spesso ottenuto
risposte quali “non cambia”, “si capisce quello che intendevo” oppure “il risultato è
giusto…”. Alla sensazione di disagio che provavo a causa dell’impiego scorretto dell’uguale
da parte degli allievi, si accompagnava la stessa sensazione nei ragazzi, i quali non capivano il
perché si insistesse così tanto su come utilizzare l’uguale.
Questo capitava particolarmente quando gli allievi dovevano risolvere delle equazioni o
semplificare delle espressioni algebriche. Emergeva allora una certa confusione riguardo a
“quando venisse utilizzato una volta l’uguale e poi si doveva andare a capo”, o “quando si
poteva continuare ad utilizzarlo”. Spesso mi è sembrato che i ragazzi cercassero delle regole
formali da seguire, perché non comprendevano realmente il significato di uguaglianza e
quindi non riuscivano a utilizzare il suo segno correttamente. Mi è così sorta la domanda se
tali ostacoli non fossero generati da un’errata trasposizione didattica, da una continua
proposta dei docenti dello stesso tipo di rappresentazione.
È nato così il desiderio di approfondire questo tema svolgendo un lavoro di ricerca con lo
scopo di scoprire quali sono le misconcezioni degli allievi di scuola media riguardo al segno
di uguaglianza e di riflettere sulle possibili cause di tali misconcezioni.
A ottobre ho preso contatto con il Professor Oksuz Cumali, dell’Università Adnan Menderes
di Aydin, in Turchia, per parlargli del mio progetto di ricerca e chiedergli alcuni utili consigli
approfittando della sua esperienza in questo campo (Cumali, 2007). Dopo aver parlato con lui
e aver consultato altra bibliografia, ho deciso di somministrare un questionario iniziale alle
mie classi di prima e terza media (per rilevare quali misconcezioni possiedono gli studenti) e
di confrontare i risultati degli allievi di prima media con quelli di terza e con quelli ottenuti da
Cumali (2007) con allievi di età corrispondente. Inoltre, per aiutare gli allievi di prima media
a superare le misconcezioni rilevate, ho deciso di proporre uno specifico intervento didattico
la cui efficacia sarebbe stata testata per mezzo di un questionario tassonomicamente
equivalente a quello iniziale.
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Ringraziamenti
Ringrazio Oksuz Cumali per la disponibilità e i suoi preziosi consigli e il mio relatore
Emanuele Delucchi, che ha reso possibile la realizzazione di questo progetto.
Inoltre, desidero ringraziare la mia famiglia, Antonella Branchi, Maria e Patrick Herber e tutte
le persone che mi hanno sostenuta in questi anni di studio.
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2. Quadro teorico
Il presente lavoro ha come oggetto di studio il simbolo di uguaglianza e in particolare le
misconcezioni legate ad esso. Di seguito espongo di conseguenza in maniera concisa alcuni
pertinenti riferimenti teorici della didattica matematica.
2.1. Immagini e modelli
Secondo il modello costruttivista, la conoscenza viene costruita personalmente dal soggetto
grazie all’interazione tra le sue strutture cognitive e l’ambiente che lo circonda. Ogni volta
che viene introdotto un nuovo concetto, il soggetto crea una propria immagine mentale.
Come definito da D’Amore (1999), “l’immagine mentale è il risultato figurale o
proposizionale o misto prodotto da una sollecitazione (interna o esterna). L’immagine mentale
è condizionata da esperienza personale, influenze culturali, stili personali, in poche parole è
prodotto tipico dell’individuo” (p. 151).
L’allievo che si costruisce un’immagine di un concetto può credere che essa sia definitiva e
stabile, ma potrebbe capitare che egli riceva alcune informazioni per le quali l’immagine si
riveli insufficiente o inadeguata. Lo studente deve quindi accomodare l’immagine alla nuova
situazione, ottenendo un’immagine nuova, più ampia, che permetta di accogliere le nuove
informazioni. Si parla in questo caso di un conflitto cognitivo tra la precedente immagine del
concetto e quella nuova (D’Amore, 1999).
Questo processo può ripetersi più volte. Quando l’immagine si stabilizza (quando resiste a
sollecitazioni diverse ed è in grado di includere tutte le informazioni senza che vi siano
conflitti cognitivi) diventa un modello mentale (D’Amore, 1999). Il modello è quindi
un’immagine stabile, forte, che si è formata grazie alla rielaborazione di immagini deboli e
instabili.
Vi sono due scenari possibili:
1) Il modello si forma nel momento culturalmente giusto. L’azione didattica è stata
efficace e l’allievo ha costruito il modello mentale atteso.
2) Il modello si forma troppo presto, quando avrebbe dovuto essere solo un’immagine
debole che doveva ancora essere adeguata (D’Amore & Sbaragli, 2005).
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Le immagini deboli e instabili che un allievo si costruisce di un concetto possono essere delle
misconcezioni (Sbaragli, 2005).
“Le immagini – misconcezioni […] non sempre risultano essere un ostacolo
all’apprendimento futuro degli allievi, a meno che esse non diventino forti e stabili modelli
indesiderati di un concetto” (D’Amore & Sbaragli, 2005, p. 16).
Fischbein (1985) definisce questo tipo di modello come modello parassita e spiega come gli
insegnanti debbano stare attenti a non proporre un’immagine univoca di un concetto,
rinforzandola con esempi, poiché può capitare che gli allievi si creino un modello intuitivo.
Tale modello, che risponde alle sollecitazioni intuitive e che ha un’accettazione immediata
(D’Amore & Sbaragli, 2005), nel caso in cui si forma troppo presto, diventa un modello
parassita (Fischbein, 1985).
“Più forte è il modello intuitivo, più difficile è infrangerlo per assimilare e accomodare una
nuova immagine comprensiva del concetto” (Sbaragli, 2005, p. 58); per questo motivo è
importante didatticamente lasciare immagini instabili, che saranno poi modificate in modelli
vicini al sapere matematico che si vuole raggiungere (D’Amore & Sbaragli, 2005).
2.2. Misconcezioni e ostacoli
La parola “misconception” è stata utilizzata in matematica per la prima volta da Wagner
(1981) e può essere tradotta come “idea sbagliata”, “fraintendimento”, “malinteso”; è stata
quindi spesso interpretata in maniera negativa. Negli anni successivi non vi era una
definizione precisa, ciascuno la utilizzava interpretandola in maniera personale.
L’interpretazione del termine proposta da D’Amore verso la fine degli anni novanta si fonda
sul ruolo costruttivo delle misconcezioni. Queste vengono considerate come “ possibili
momenti di passaggio, […], a volte necessari per la costruzione di un concetto”. Dunque
“[…] le misconcezioni non costituiscono un ostacolo all’apprendimento futuro degli allievi se
sono legate ad immagini deboli e instabili del concetto, mentre rappresentano un ostacolo […]
se sono radicate a forti e stabili modelli” (Sbaragli, 2006, p. 47).
Secondo D’Amore (1999, p. 124)
una misconcezione è un concetto errato e dunque costituisce genericamente un evento da evitare; essa
però non va vista sempre come una situazione del tutto o certamente negativa: non è escluso che per
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poter raggiungere la costruzione di un concetto, si renda necessario passare attraverso una
misconcezione momentanea, ma in corso di sistemazione.
Come hanno affermato D’Amore e Sbaragli (2005), la carriera scolastica di ciascun individuo
sarebbe quindi caratterizzata da un continuo “passaggio da misconcezioni a concezioni più
evolute; esse sembrano un momento delicato necessario di passaggio, da una prima
concezione elementare, ingenua, spontanea, primitiva, ad una più elaborata e comprensiva”
(p. 16).
Sbaragli (2005) distingue le misconcezioni in evitabili e inevitabili. Le misconcezioni
inevitabili possono essere viste come “inevitabili momenti di passaggio che derivano da
rappresentazioni che gli insegnanti sono costretti a fornire per poter presentare un concetto”
(Sbaragli, 2005, p. 60), mentre quelle evitabili “derivano direttamente dalla trasposizione
didattica del sapere”, causate dalla proposta continua della stessa rappresentazione, “ma anche
dalla scelta della rappresentazione stessa, che meno di altre rispetta le proprietà del concetto
che si vuole insegnare” (Sbaragli, 2005, p. 62).
Le cause di queste concezioni erronee sono gli ostacoli (Brousseau, 1976), che si
frappongono all’apprendimento (D’Amore, 1999).
“ […] un ostacolo è un’idea che, al momento della formazione di un concetto, è stata efficace
per affrontare dei problemi precedenti, ma che si rivela fallimentare quando si tenta di
applicarla ad un problema nuovo” (D’Amore, 1999, p. 210).
Gli ostacoli possono essere distinti in ostacoli di natura:
1) ontogenetica: dipendono sia dall’età che dallo sviluppo dell’intelligenza, dei sensi e
dei sistemi percettivi dell’allievo.
2) didattica: dipendono dalle scelte didattiche dell’insegnante. Il docente effettua delle
scelte e le propone alla sua classe perché le crede efficaci, ma esse potrebbero rivelarsi
non adatte ad alcuni allievi.
3) epistemologica: dipendono dalla storia dell’evoluzione del concetto all’interno della
matematica, dalla sua accettazione critica. Quando vi è una frattura nella storia
dell’evoluzione di un concetto, si suppone che in quel concetto vi siano degli ostacoli
di carattere epistemologico. Questi ostacoli possono manifestarsi ogni anno negli
errori commessi dagli studenti (D’Amore, 1999).
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Come affermato da Sbaragli (2006), le misconcezioni inevitabili sono legate agli ostacoli
ontogenetici ed epistemologici, mentre quelle evitabili sono legate agli ostacoli didattici, che
hanno origine nelle scelte sia metodologiche che didattiche dell’insegnante.
2.3. Breve storia del simbolo di uguaglianza
Nei secoli sono stati utilizzati i più svariati simboli per esprimere l’uguaglianza.
Il simbolo “=” comparve per la prima volta in un libro stampato nel 1557, The Whetstone of
Witte, scritto dal fisico e matematico Robert Recorde.
Figura 2.3.1. Prima apparizione del simbolo “=” nel libro di Recorde.
Prima di quel momento, nei libri stampati venivano utilizzate parole come aequales,
aequantur, esgale, faciunt, ghelijck, gleich e a volte veniva utilizzata la forma abbreviata aeq
(Cajori, 1928). Tra i vari autori che hanno utilizzato queste parole vi sono Keplero, Galileo,
Cavalieri, Pascal e Fermat (Cajori, 1928). I differenti usi della parola “uguale” si riflettevano
anche nell’utilizzo di diversi simboli quali:“~”, “[“, ”<<”, “2|2”, “Ʒ”, ”˂”, “Π”, “I”, “{”,
“t”, ” .(Cumali, 2007) ”||“ ,”װ
Dopo il suo primo utilizzo nel libro di Recorde, il segno “=” non comparve più nei libri
stampati fino al 1618, quando apparve nell’appendice anonima di una traduzione in inglese
del libro Mirifici Logarithmorum Canonis descriptio di John Napier, scritta da Edward
Wright (Cajori, 1928). Nel 1631 tale simbolo fu utilizzato in tre lavori significativi scritti da
Thomas Harriot, William Oughtred e Richard Norwood. Grazie al suo impiego da parte di
Newton e Leibniz si diffuse largamente (Cajori, 1928), diventando così un simbolo universale
(Saénz-Ludlow & Walgamuth, 1998).
Il segno “=” non è stato utilizzato solo per esprimere l’uguaglianza. Ad esempio, François
Viète nel 1591 se n’è servito per designare la differenza aritmetica, René Descartes nel 1638
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l’ha utilizzato al posto di plus ou moins, quindi (Cajori, 1928), mentre Juan Caramuel l’ha
impiegato per separare i numeri interi da quelli decimali (Saénz-Ludlow & Walgamuth,
1998).
Cajori (1928) riferisce che Descartes nel 1637 introdusse un simbolo alternativo (simile a
quello astronomico Taurus), che fu impiegato in Francia e in Olanda durante la fine del
diciassettesimo e l’inizio del diciottesimo secolo, senza però ottenere vasto consenso in altri
paesi.
Guardando l’evoluzione storica del simbolo di uguaglianza possiamo comprendere quanto il
suo significato sia complesso. Al giorno d’oggi viene adoperato in diversi contesti quali
l’aritmetica, l’algebra, la trigonometria, la teoria degli insiemi, e altri ancora (Cumali, 2007).
In algebra il segno “=” sta tra due espressioni algebriche, indicando che tra queste due
espressioni vi è una relazione di equivalenza: riflessiva, simmetrica e transitiva (Kieran,
1981).
2.4. L’uguale nelle scuole
Già dai primi anni di scuola elementare vengono introdotti il concetto di uguaglianza e il
simbolo “=” (Alibali, Knuth, McNeil & Stephens, 2006).
Tuttavia, i docenti devono prestare attenzione: il fatto che i ragazzi imparino in fretta a
leggere e a scrivere simboli adoperati in aritmetica (quindi anche l’uguale) non significa
necessariamente che li comprendano appieno (Kieran, 1981). Infatti, mentre per l’insegnante
“=” serve ad esprimere un’uguaglianza, molto spesso per gli allievi è un “simbolo per fare
qualcosa” (Behr, Erlwanger & Nichols, 1980, p. 15), un segno direzionale (procedurale) che
ha a sinistra gli operandi e a destra il risultato (Kieran, 1981).
Le cause sono da imputare sia allo scarso tempo dedicato a parlare esplicitamente dell’uguale
e in generale del concetto di uguaglianza (Alibali et al., 2006), sia all’“errore strategico […]
effettuato dall’insegnante nell’insistere e confermare solo un uso procedurale dell’uguale,
senza suggerire nella prassi didattica l’interpretazione relazionale” (Camici, Cini, Cottino, Dal
Corso, D’Amore, Ferrini, Francini, Maraldi, Michelini, Nobis, Ponti, Ricci & Stella, 2002, p.
257). L’interpretazione procedurale diventa in questo modo un ostacolo didattico.
Le uguaglianze che vengono proposte a scuola hanno quasi sempre l’uguale a destra seguito
da un solo numero. Ad esempio, quando gli allievi vedono un’uguaglianza del tipo
10
12 – 8 = 4, essi la interpretano come se a sinistra vi fosse una domanda, mentre a destra la
risposta (Cumali, 2007). Behr et al. (1980) hanno scoperto che i bambini di scuola elementare
hanno difficoltà ad accettare uguaglianze del tipo … = 2 + 5, tendono a modificarle in
2 + 5 = …, perché sono abituati a vederle scritte con l’uguale a destra. Anche uguaglianze del
tipo 5 = 5 vengono rifiutate e modificate in 5 + 5 = 10 oppure in 5 – 5 = 0, poiché i bambini
non accettano le uguaglianze in cui non vi sono azioni (Behr et al., 1980).
Nel loro lavoro, Falkner, Levi e Carpenter (1999) hanno chiesto a un gruppo di bambini che
frequentavano le scuole elementari di completare l’uguaglianza 4 + 5 = [ ] + 6, scoprendo
che per la maggior parte di essi 9 era il numero che andava inserito. Tali risposte sono
coerenti con l’idea che i bambini vedano l’uguale come un simbolo che precede la risposta.
Particolare è anche la scoperta fatta da Camici et al. (2002), dove alla richiesta di completare
l’uguaglianza 11 – 6 = [ ] – 11 ben il 23,5% di allievi che frequentavano la prima superiore
ha fornito come risposta 6 (risposta simmetrica).
Come affermato da Camici et al. (2002), le misconcezioni legate al simbolo di uguaglianza
non sono presenti solo in bambini che frequentano le scuole elementari; vi sono studi che
testimoniano che anche studenti universitari oscillano tra le due interpretazioni (procedurale e
relazionale).
2.5. Importanza dell’interpretazione relazionale
MacGregor e Stacey (1999) hanno condotto diverse ricerche su ragazzi che frequentano la
scuola media e il liceo riguardo al loro modo di apprendere l’algebra. Tali studi hanno rivelato
come, nonostante questi studenti abbiano delle buone conoscenze in aritmetica, essi abbiano
difficoltà a comprendere l’algebra. Questo accade perché non sono generalmente capaci di
vedere un collegamento tra aritmetica e algebra (Cumali, 2007).
A questo proposito, MacGregor e Stacey (1999) sottolineano come solitamente “il linguaggio
dell’aritmetica è centrato sulle risposte”, mentre “quello dell’algebra è centrato sulle
relazioni” (p. 2). Ad esempio, quando i ragazzi vedono 6 + 3 =, pensano automaticamente di
dover scrivere 9 a destra dell’uguale (secondo la loro visione dell’uguale come simbolo che
precede la risposta), quando potrebbero invece completare in altrettanti infiniti modi. Quando
si trovano di fronte un’uguaglianza del tipo 3 4 2 7x x , essi sono in difficoltà perché
2 7x non può esser visto come risposta a 3 4x (MacGregor & Stacey, 1999). Infatti, “la
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parte di destra, […], non deve contenere la risposta, ma piuttosto un’espressione che ha lo
stesso valore di quella di sinistra” (Kieran, 1981, p. 321).
Queste difficoltà scaturiscono dalla mancanza di conoscenza riguardo all’uguaglianza e al suo
simbolo. È importante i ragazzi capiscano che l’uguaglianza è una relazione binaria di
equivalenza, tra due espressioni che hanno lo stesso valore. L’assenza di tale consapevolezza
è la causa maggiore dei problemi che hanno gli allievi a passare dall’aritmetica all’algebra
(Alibali et al., 2006; Cumali, 2007; Falkner et al., 1999; Kieran, 1981; MacGregor & Stacey,
1999). Sono state proposte diverse attività per aiutare gli allievi nel passaggio tra aritmetica e
algebra; tra queste segnaliamo quelle di Kieran (1981), MacGregor e Stacey (1999).
Alibali et al. (2006) hanno svolto una ricerca su 177 ragazzi di scuola media, dimostrando
come vi sia una stretta relazione tra la comprensione dell’uguaglianza e la capacità di lavorare
con espressioni algebriche ed equazioni. Ad esempio, se gli allievi non comprendono il
concetto di uguaglianza, è difficile che capiscano perché una volta aggiunto un certo valore da
una parte dell’equazione, bisogna aggiungerlo anche dall’altra parte (Cumali, 2007). L’unica
alternativa che rimane loro è quella di “memorizzare una serie di regole per risolvere le
equazioni” (Falkner et al., 1999), con il rischio di dimenticarsele o di non saperle applicare
correttamente.
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3. Domande di ricerca
L’approfondimento teorico e, in particolare, l’articolo di Oksuz Cumali (2007) mi hanno
portata ad interrogarmi se anche gli studenti delle scuole medie ticinesi possiedono delle
misconcezioni legate al simbolo di uguaglianza e a voler confrontare i miei dati con quelli da
lui ottenuti. La ricerca è stata svolta in una classe di prima e in una di terza media, con lo
scopo di studiare le evoluzioni delle interpretazioni erronee tra il primo e il terzo anno. Infine,
ho voluto testare l’efficacia degli interventi didattici proposti da alcuni ricercatori, tra cui
quelli di Cumali (2007).
Ho formulato i seguenti interrogativi di ricerca:
Domanda 1 In Ticino gli allievi della scuola media possiedono misconcezioni relative
all’uso dell’uguale in ambito matematico? Se sì, di che tipo sono queste
misconcezioni? Come si comparano i dati degli allievi di prima media con
quelli di Oksuz Cumali?
Domanda 2 Come evolvono queste interpretazioni erronee dell’uso dell’uguale tra la prima
e la terza media?
Domanda 3 È possibile aiutare i ragazzi a superare gli ostacoli in questo campo per mezzo
di un intervento didattico? Che efficacia mostrano gli interventi proposti da
Cumali (2007)?
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4. Ipotesi di ricerca
Ipotesi 1 Ipotizzo che anche gli allievi delle scuole medie ticinesi possiedono
misconcezioni relative al segno di uguaglianza e che i dati siano simili a quelli
ottenuti dal Professor Oksuz Cumali.
Ipotesi 2 Potrebbero esserci tre scenari diversi:
- Non vi sono differenze tra le risposte degli allievi di terza e quelle degli
allievi di prima media, poiché le immagini scorrette nelle menti dei ragazzi
non sono state modificate durante gli anni supplementari.
- Gli allievi di terza sono riusciti a correggere alcune immagini scorrette e
per questo motivo forniscono più risposte corrette rispetto agli allievi di
prima.
- Gli allievi di terza forniscono più risposte scorrette in quanto hanno
rafforzato le loro idee erronee rispetto alla prima media.
Ipotesi 3 Ipotizzo sia possibile rilevare una parziale modifica di convinzioni negli allievi
e che gli interventi proposti nell’articolo di Cumali (2007) siano efficaci.
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5. Metodologia
5.1. Descrizione del campione
La ricerca è stata svolta in una classe di prima e in una classe di terza della scuola media di
Gravesano. Il campione di riferimento è composto da 40 allievi, 23 di prima e 17 di terza. Il
questionario iniziale è stato sottoposto ad entrambe le classi, mentre, per mancanza di tempo,
l’attività didattica e il questionario finale sono stati proposti solo in prima media.
5.2. Questionario iniziale
I questionari (sia quelli iniziali che quello finale) si basano principalmente su quello
somministrato dal Professor Oksuz Cumali durante la sua ricerca, i cui risultati sono stati
pubblicati nell’articolo Children’s understanding of equality and the equal symbol (Cumali,
2007). A ottobre l’ho contattato per chiedergli alcuni consigli riguardo al mio lavoro di
ricerca. Il Professore mi ha gentilmente proposto di testare le attività da lui suggerite
nell’articolo, ma non ancora verificate, e mi ha inviato per posta elettronica il questionario che
ha somministrato durante la sua ricerca negli USA a 25 ragazzi tra i 10 e gli 11 anni e
altrettanti tra gli 11 e i 12 anni.
Le domande sottoposte agli allievi conservano la stessa struttura di quelle di Cumali (alcune
sono uguali), ad eccezione della sesta domanda, che è stata presa e tradotta dalla ricerca di
Kieran (1981, p. 320). In tal modo risulta più semplice confrontare i risultati relativi alle
misconcezioni degli allievi ticinesi di prima media con quelli degli allievi statunitensi di
prima media che hanno partecipato alla ricerca di Cumali.
Nella seconda domanda (allegati A, B e D), dove gli allievi dovevano segnare se le
uguaglianze erano corrette o scorrette, è stata inserita un’uguaglianza del tipo 15 – 6 = 6 – 15
e nella terza è stato chiesto di completare l’uguaglianza 13 – 5 = [ ] – 13, con lo scopo di
verificare se anche gli allievi ticinesi forniscono una risposta simmetrica, com’è stato rilevato
da Camici et al. (2002). Cumali non ha indagato se nei suoi allievi fosse presente tale tipo di
risposta.
Per verificare la domanda di ricerca relativa all’esistenza di misconcezioni legate al segno di
uguaglianza e per studiare l’evoluzione di tali misconcezioni tra la prima e la terza media, si è
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somministrato lo stesso tipo di questionario a tutti gli allievi (allegati A e B). In prima media
sono stati utilizzati numeri interi, mentre in terza media il questionario è stato adattato,
sostituendo i numeri interi con frazioni e numeri decimali, accogliendo in questo modo il
suggerimento di Cumali.
Prima di consegnare il questionario agli studenti, è stato spiegato loro che non sarebbe stata
data alcuna valutazione alle loro risposte e che tali domande servivano solo per sondare le
loro conoscenze. Inoltre, è stata data la consegna del silenzio ed è stato domandato ai ragazzi
di lavorare individualmente, senza consultare i compagni o senza temere di sbagliare nel dare
le risposte. Gli allievi hanno dovuto completare il questionario durante i 45 minuti di lezione
di matematica.
Il questionario è composto da sette domande. Nella prima è stato chiesto agli allievi di
spiegare cosa significasse per loro il simbolo “=” e di mostrare un esempio di come fosse
utilizzato. Nella seconda, gli allievi hanno dovuto valutare se alcune affermazioni fossero vere
o false (spiegando anche il perché, nel caso fossero false). Conformemente a Cumali (2007),
in questa domanda sono state anche proposte delle uguaglianze dove venivano violate le
“regole” che i ragazzi pensano valgano per l’uguale.
Sono state proposte uguaglianze in cui:
- l’uguale è stato utilizzato in maniera “classica” (ad esempio 12 + 4 = 16),
- l’uguale compare a sinistra (ad esempio 15 = 10 + 5),
- dopo l’uguale c’è il risultato seguito da un altro numero (ad esempio
14 – 5 = 9 – 4),
- vi sono più numeri sia a destra che a sinistra dell’uguale (ad esempio
43 – 17 = 18 + 12),
- viene fornita un’interpretazione simmetrica dell’uguale (ad esempio
16 – 9 = 9 – 16),
- vi è lo stesso numero a destra e a sinistra dell’uguale (ad esempio 4 = 4).
Nella terza domanda gli allievi hanno dovuto completare delle uguaglianze dove mancavano
uno o due numeri. Nella quarta e nella quinta si è testata la capacità dei ragazzi di tradurre dai
numeri alle parole e viceversa. Nella sesta domanda è stato proposto un problema tratto da
Kieran (1981), mentre nella settima gli allievi hanno dovuto verificare se i calcoli riportati sul
foglio fossero esatti e, in caso contrario, risolvere il problema come credevano fosse corretto.
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5.3. Attività didattica
Dopo avere analizzato i questionari iniziali, in prima media è stato proposto uno specifico
intervento didattico con lo scopo di sensibilizzare gli allievi e di ridurre, se possibile, le
misconcezioni relative al segno di uguaglianza.
Ho preparato delle schede (allegato C), le cui attività si rifanno all’articolo di Cumali (2007).
Buona parte di esse sono già state proposte e testate da altri ricercatori (MacGregor & Stacey,
1999; Saénz-Ludlow & Walgamuth, 1998); quelle di Cumali, invece, non sono ancora state
testate.
Per capire come lavorare con le espressioni algebriche, gli studenti necessitano di migliorare
le loro conoscenze riguardo alle proprietà dei numeri e alle quattro operazioni (Cumali, 2007).
Infatti, quando si vuole utilizzare l’algebra per risolvere problemi, l’attenzione è incentrata
sulle operazioni che vanno utilizzate e non ad “ottenere risposte numeriche ad ogni
passaggio” (MacGregor & Stacey, 1999, p. 4). Le seguenti attività, illustrate qui di seguito
brevemente, sono nate per questi motivi. Per ulteriori chiarimenti si rimanda agli articoli dei
singoli autori.
Le prime due attività sono state create da Saénz-Ludlow e Walgamuth (1998) con lo scopo di
aiutare gli allievi a vedere le uguaglianze rappresentate differentemente da come sono abituati
a vederle e di migliorare le loro strategie di calcolo. In queste attività il simbolo “=” viene
sostituito dal verbo fare, quando i ragazzi devono esprimersi verbalmente (Saénz-Ludlow &
Walgamuth, 1998).
La terza attività è stata proposta da Cumali (2007), con lo stesso fine delle prime due. La
differenza tra questa e le precedenti è che il simbolo di uguaglianza è indicato in alto sulla
sinistra, dove viene anche indicata l’operazione da applicare (vengono utilizzate a turno tutte
e quattro le operazioni). Gli allievi hanno dovuto “cercare i numeri che permettono di ottenere
un equilibrio” tra la parte a sinistra e la parte a destra dell’uguale (Cumali, 2007, p. 9). Una
volta trovati i numeri, è stato chiesto agli studenti di scrivere le uguaglianze. Ad esempio, per
cercare un equilibrio tra 17 e 13 essi dovevano scrivere l’uguaglianza 17 = 4 + 13 (Cumali,
2007). In questo modo, l’uguale non è stato interpretato come simbolo procedurale, “ma come
quel simbolo che chiede di trovare una relazione” tra la parte destra e quella sinistra di esso
(Cumali, 2007, p. 9). Dopo le difficoltà iniziali riscontrate dagli allievi nel comprendere
20
l’attività e lo svolgimento di un esempio insieme alla lavagna, i ragazzi sono riusciti a trovare
i numeri mancanti e a scrivere le uguaglianze.
La quarta attività si basa su quella creata da MacGregor e Stacey (1999). Agli allievi è stato
chiesto di disegnare tutti i possibili rettangoli che hanno il perimetro di 12 unità e, sulla base
di quanto hanno disegnato, è stato domandato loro di completare le uguaglianze riguardanti il
perimetro. In questo modo, gli allievi hanno constatato che possono essere scritte diverse
uguaglianze per il numero 12. L’attività è piaciuta molto ai ragazzi, sia perché dovevano
scoprire i rettangoli, sia perché si sfidavano tra loro a chi riusciva a trovare più uguaglianze.
Anche la quinta attività si basa su quella proposta da MacGregor e Stacey (1999), nata con lo
scopo di incoraggiare gli allievi a scrivere le loro risposte in modi alternativi e a comprendere
meglio il concetto di uguaglianza. Ad esempio, al posto di 5 3 8 essi potrebbero scrivere
5 3 2 4 e tante altre uguaglianze (Cumali, 2007).
La sesta attività è stata consigliata da Cumali (2007), con lo scopo di portare il docente e gli
allievi ad individuare le misconcezioni e a discutere insieme dell’uguale. Gli allievi devono
segnare se le uguaglianze a loro proposte sono vere o false.
La settima attività è composta da entrambe le proposte di Cumali (2007) e Saénz-Ludlow e
Walgamuth (1998). Gli allievi hanno dovuto cercare i numeri mancanti che permettevano di
verificare le uguaglianze. In alcuni casi vi era lo stesso numero che veniva espresso tramite le
diverse operazioni (ad esempio 16 = [ ] – [ ], [ ] + [ ] = 16, …), in altri erano uguaglianze
diverse tra loro, che permettevano agli allievi di vedere che l’uguale non si trova sempre a
destra e che dopo di esso non vi è sempre il risultato.
L’ultima attività è stata pensata da Cumali (2007), con lo scopo di aprire una discussione con
la classe riguardo al segno di uguaglianza. Gli allievi hanno dovuto discutere riguardo ad una
lettera che sostituiva un numero.
Oltre a queste schede, molto spesso ho discusso insieme agli allievi sull’uguale e sulle sue
diverse rappresentazioni. In particolare, ho dettato una volta un problema simile al settimo
esercizio del questionario (allegati A, B e D) e ho chiesto ad alcuni allievi di andare alla
lavagna e ricopiare ciò che avevano scritto sul loro foglio. È stata un’occasione per parlare
insieme riguardo all’erronea interpretazione procedurale che è stata data da alcuni di loro e
per approfondire le loro conoscenze sul concetto di uguaglianza.
21
5.4. Questionario finale
Al termine dell’intervento didattico ho somministrato agli allievi di prima media un
questionario (allegato D) tassonomicamente equivalente al primo, in modo da poter rilevare
se vi sono ancora misconcezioni residue o eventuali cambi di convinzione e per verificare se
l’intervento è stato efficace. Le domande sono rimaste principalmente le stesse (tranne la
quinta e la sesta, pur mantenendo la stessa struttura) con l’intento di poter confrontare al
meglio le risposte fornite dagli allievi prima e dopo le attività.
22
23
6. Risultati
In questo capitolo presento i risultati che riguardano il questionario iniziale (allegati A e B,
proposti in prima e in terza media), e quello finale (allegato D, proposto solo in prima media).
La struttura dei questionari segue quella creata dal Professor Cumali; in terza media sono state
utilizzate frazioni e numeri decimali. Per effettuare un confronto tra i risultati ottenuti da
Cumali (2007) e quelli da me rilevati, mi sono basata principalmente sulle categorie da lui
individuate e su ciò che è emerso dalle risposte degli allievi.
6.1. Risultati del questionario iniziale
Riporto i risultati relativi al questionario iniziale, che permettono di capire come evolvono le
interpretazioni erronee dell’uguale tra la prima e la terza media.
In generale, si può rilevare una maggiore presenza di misconcezioni legate all’uguale negli
allievi di prima media.
Domanda 1
0%4%
61%
35%
65%
35%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3
Classe primaClasse terza
Figura 6.1.1 – Confronto tra le risposte degli allievi di prima e terza media. 1- L’allievo crede l’uguale sia unsimbolo procedurale. 2- L’allievo crede l’uguale sia un simbolo relazionale. 3- Altro.
24
Domanda 2
100% 100% 91%90%
74%
100%
78%
100%
78%90%
70%
100%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5 6
Classe primaClasse terza
Figura 6.1.2 – Confronto tra le percentuali di risposte corrette fornite dagli allievi di prima e di terza mediaquando: 1 - l’uguale compare in “maniera classica” (ad esempio 15 – 6 = 9). 2 - l’uguale compare a sinistra (adesempio 39 = 17 + 22). 3 - dopo l’uguale viene messo il risultato (ad esempio 7 + 8 = 15 + 2). 4 - vi sono piùnumeri sia a destra che a sinistra dell’uguale (ad esempio 7 + 25 = 45 – 13). 5- viene fornita un’interpretazionesimmetrica dell’uguale (ad esempio 15 – 6 = 6 – 15). 6- a destra e a sinistra dell’uguale vi è lo stesso numero (adesempio 4 = 4).
Domanda 3
77%
8%1% 3%
58%
28%
4% 3% 7%11%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5
Classe primaClasse terza
Figura 6.1.3 - Confronto tra le risposte degli allievi di prima e terza media. 1 – L’allievo risponde correttamente.2 – L’allievo commette degli errori di calcolo. 3 – L’allievo pensa che dopo l’uguale ci sia la risposta. 4 –L’allievo fornisce un’interpretazione simmetrica. 5 – L’allievo non risponde.
25
Domanda 4
17%7%
85%
7% 4% 4% 0%
11% 10%
55%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5
Classe primaClasse terza
Figura 6.1.4 - Confronto tra le risposte degli allievi di prima e terza media. 1 – L’allievo traduce correttamente. 2– L’allievo non riesce a tradurre correttamente. 3 – L’allievo inserisce un numero dove c’è lo spazio. 4 –L’allievo pensa l’uguaglianza sia scritta al contrario. 5 – Altro.
Domanda 5
22%
9%4%
22%17%
22%
4%0%
12%
0%
41%
6%
41%
0%0%
20%
40%
1 2 3 4 5 6 7
Classe primaClasse terza
Figura 6.1.5 - Confronto tra le risposte degli allievi di prima e terza media. 1 – L’allievo non ha compresocorrettamente il problema. 2 – L’allievo scrive l’uguaglianza correttamente. 3 – L’allievo tenta di scriverel’uguaglianza, però non la scrive giustamente. 4 – L’allievo utilizza operazioni aritmetiche per trovare lasoluzione. 5 – L’allievo scrive due uguaglianze separate per descrivere la situazione. 6 – L’allievo scrivel’uguaglianza inserendo già la soluzione. 7 – L’allievo scrive direttamente la soluzione, senza rappresentarel’uguaglianza.
26
Domanda 6
22%
61%
4%
59%
6%0%
13%
35%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4
Classe primaClasse terza
Figura 6.1.6 - Confronto tra le risposte degli allievi di prima e terza media. 1 – L’allievo risolve il problemacorrettamente. 2– L’allievo non ha compreso giustamente il problema. 3 – L’allievo capisce correttamente ilproblema, ma sbaglia a calcolare. 4 – L’allievo trova il risultato corretto, ma usa l’uguale nel modo errato.
Domanda 7
0%
100%
0%6%
82%
12%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3
Classe primaClasse terza
Figura 6.1.7 - Confronto tra le risposte degli allievi di prima e terza media. 1 – L’allievo pensa vi sia stato unuso errato dell’uguale (interpretazione relazionale). 2 – L’allievo pensa vi sia stato un uso corretto dell’uguale(interpretazione procedurale). 3 – L’allievo fornisce la risposta giusta (falso), ma a causa di un’erroneainterpretazione del testo.
27
6.2. Risultati degli allievi ticinesi (questionario iniziale) e degli allievi statunitensi
Riporto i risultati che permettono di effettuare il confronto tra i 23 allievi della scuola media
di Gravesano e i 25 allievi degli USA di prima media, che hanno partecipato allo studio
condotto da Cumali (2007). I risultati della quinta e della sesta domanda non sono stati
riportati, perché il quinto problema è stato modificato rispetto a quello originale (e non può
dunque essere comparato con esso), mentre il sesto è tratto da Kieran (1981).
I risultati della quarta domanda sono stati divisi in due parti, perché Cumali (2007) nella sua
ricerca ha considerato la situazione del tipo 4 = 4 separatamente dalle altre (Figura 6.2.5).
In generale, non vi sono grandissime differenze tra i due gruppi di allievi. L’unico dato
rilevante è quello relativo alla domanda 4, dove la percentuale degli allievi ticinesi che
traduce correttamente le uguaglianze rispetto ai ragazzi statunitensi è molto maggiore.
Domanda 1
35%
4%
75%
0%
61%
25%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3
Ragazzi ticinesiRagazzi statunitensi
Figura 6.2.1 - Confronto tra le risposte degli allievi ticinesi di prima media e gli allievi statunitensi. 1- L’allievocrede l’uguale sia un simbolo procedurale. 2- L’allievo crede l’uguale sia un simbolo relazionale. 3- Altro.
28
Domanda 2
100% 100%
91% 90%
100%
91%88%
100%
50%
70%
90%
1 2 3 4
Ragazzi ticinesiRagazzi statunitensi
Figura 6.2.2 - Confronto tra le percentuali di risposte corrette fornite dagli allievi ticinesi di prima media e gliallievi statunitensi quando: 1 - l’uguale compare in “maniera classica” (ad esempio 15 – 6 = 9). 2 - l’ugualecompare a sinistra (ad esempio 39 = 17 + 22). 3 - dopo l’uguale viene messo il risultato (ad esempio7 + 8 = 15 + 2). 4 - vi sono più numeri sia a destra che a sinistra dell’uguale (ad esempio 7 + 25 = 45 – 13).
Domanda 3
77%
8%1% 3%
68%
24%
0% 0%
11%8%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5
Ragazzi ticinesiRagazzi statunitensi
Figura 6.2.3 - Confronto tra le risposte degli allievi ticinesi di prima media e gli allievi statunitensi. 1 – L’allievorisponde correttamente. 2 – L’allievo commette degli errori di calcolo. 3 – L’allievo pensa che dopo l’uguale cisia la risposta. 4 – L’allievo fornisce un’interpretazione simmetrica. 5 – L’allievo non risponde.
29
Domanda 4
20%13% 11%
6%
20%
46%
4%0%
50%
30%
0%
20%
40%
60%
1 2 3 4 5
Ragazzi ticinesiRagazzi statuni tensi
Figura 6.2.4 - Confronto tra le risposte degli allievi ticinesi di prima media e gli allievi statunitensi. 1 – L’allievotraduce correttamente. 2 – L’allievo non riesce a tradurre correttamente. 3 – L’allievo inserisce un numero dovec’è lo spazio. 4 – L’allievo pensa l’uguaglianza sia scritta al contrario. 5 – Altro.
Domanda 4 b
0%
91%
9%8% 4% 0%0%
82%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4
Ragazzi ticinesiRagazzi statunitensi
Figura 6.2.5 - Confronto tra le risposte degli allievi ticinesi di prima media e gli allievi statunitensi riguardo allatraduzione di un’uguaglianza del tipo 4 = 4. 1– L’allievo pensa l’uguaglianza non sia corretta. 2 – L’allievocrede a destra dell’uguale ci sia il risultato e perciò crea un calcolo che dia quel risultato (ad esempio 4 = 4 vienetrasformato in 4 – 0 = 4). 3 – L’allievo traduce correttamente. 4 – L’allievo non comprende la consegna.
30
Domanda 7
0%
100%
0%
100%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2
Ragazzi ticinesiRagazzi statuni tensi
Figura 6.2.6 - Confronto tra le risposte degli allievi ticinesi di prima media e gli allievi statunitensi. 1 – L’allievopensa vi sia stato un uso errato dell’uguale (interpretazione relazionale). 2 – L’allievo pensa vi sia stato un usocorretto dell’uguale (interpretazione procedurale).
31
6.3. Risultati prima e dopo l’intervento didattico
Riporto i risultati che permettono di effettuare il confronto tra le interpretazioni relative al
segno “=” degli allievi di prima media, prima e dopo l’intervento didattico. In generale, è
possibile riscontrare come dopo l’intervento vi siano più risposte dove l’uguale viene visto
come un simbolo relazionale.
Domanda 1
35%
4%
35%
4%
61% 61%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3
Questionario inizialeQuestionario finale
Figura 6.3.1 - Confronto tra le risposte prima e dopo l’attività didattica. 1- L’allievo crede l’uguale sia unsimbolo procedurale. 2- L’allievo crede l’uguale sia un simbolo relazionale. 3- Altro.
32
Domanda 2
100% 100%91% 90%
74%
100%100% 100%91%
97% 96% 100%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5 6
Questionario inizialeQuestionario finale
Figura 6.3.2– Confronto tra le percentuali di risposte corrette fornite dagli allievi prima e dopo l’interventodidattico quando: 1 - l’uguale compare in “maniera classica” (ad esempio 15 – 6 = 9). 2 - l’uguale compare asinistra (ad esempio 39 = 17 + 22). 3 - dopo l’uguale viene messo il risultato (ad esempio 7 + 8 = 15 + 2). 4 - visono più numeri sia a destra che a sinistra dell’uguale (ad esempio 7 + 25 = 45 – 13). 5- viene fornitaun’interpretazione simmetrica dell’uguale (ad esempio 15 – 6 = 6 – 15). 6- a destra e a sinistra dell’uguale vi è lostesso numero (ad esempio 4 = 4).
Domanda 3
77%
8%1% 3%
89%
1% 1% 1%
11%8%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5
Questionario inizialeQuestionario finale
Figura 6.3.3 - Confronto tra le risposte prima e dopo l’attività didattica. 1 – L’allievo risponde correttamente. 2 –L’allievo commette degli errori di calcolo. 3 – L’allievo pensa che dopo l’uguale ci sia la risposta. 4 – L’allievofornisce un’interpretazione simmetrica. 5 – L’allievo non risponde.
33
Domanda 4
17%7%
64%
6% 7%10%11%
55%
9% 14%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5
Questionario inizialeQuestionario finale
Figura 6.3.4 - Confronto tra le risposte prima e dopo l’attività didattica. 1 – L’allievo traduce correttamente. 2 –L’allievo non riesce a tradurre correttamente. 3 – L’allievo inserisce un numero dove c’è lo spazio. 4 – L’allievopensa l’uguaglianza sia scritta al contrario. 5 – Altro.
Domanda 5
22%
9%4%
22% 22%
4%0%
22%26%
9% 9%
17%
0%
17%
13%
4%
0%
20%
40%
1 2 3 4 5 6 7 8
Questionario inizialeQuestionario finale
Figura 6.3.5 - Confronto tra le risposte prima e dopo l’attività didattica. 1 – L’allievo non ha compresocorrettamente il problema. 2 – L’allievo scrive l’uguaglianza correttamente. 3 – L’allievo tenta di scriverel’uguaglianza, però non la scrive giustamente. 4 – L’allievo utilizza operazioni aritmetiche per trovare lasoluzione. 5 – L’allievo scrive due uguaglianze separate per descrivere la situazione. 6 – L’allievo scrivel’uguaglianza inserendo già la soluzione. 7 – L’allievo scrive direttamente la soluzione, senza rappresentarel’uguaglianza. 8 – L’allievo non fornisce alcuna risposta.
34
Domanda 6
22%
61%
4% 0%
44%
4% 4% 4%
13%
44%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2 3 4 5
Questionario inizialeQuestionario finale
Figura 6.3.6 - Confronto tra le risposte prima e dopo l’attività didattica. 1 – L’allievo risolve il problemacorrettamente. 2– L’allievo non ha compreso giustamente il problema. 3 – L’allievo capisce correttamente ilproblema, ma sbaglia a calcolare. 4 – L’allievo trova il risultato corretto, ma usa l’uguale nel modo errato. 5 –L’allievo non risolve il problema.
Domanda 7
0%
100%
26%
74%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 2
Questionario inizialeQuestionario finale
Figura 6.3.7 - Confronto tra le risposte prima e dopo l’attività didattica. 1 – L’allievo pensa vi sia stato un usoerrato dell’uguale (interpretazione relazionale). 2 – L’allievo pensa vi sia stato un uso corretto dell’uguale(interpretazione procedurale).
35
7. Discussione dei risultati
7.1. Confronto tra la prima e terza media
Primo obiettivo di questa ricerca era quello di sondare se gli allievi della scuola media di
Gravesano possiedono misconcezioni relative all’uguale.
Già dalle risposte alla prima domanda emerge come solo 8 allievi su 23 di prima (35%) e 11
su 17 (65%) di terza media interpretano l’uguale come simbolo relazionale (Figura 6.1.1).
Particolare è la risposta data da un’allieva di prima media, la quale ha scritto la seguente
spiegazione (non matematica) e ha fornito l’esempio riportato nella Figura 7.1.2:
Figura 7.1.1 - Risposta di un’allieva di prima media alla prima domanda.
Figura 7.1.2 - Esempio fornito dall’allieva alla prima domanda.
Dalle risposte alla seconda domanda si può notare come le percentuali di risposte corrette
fornite dagli allievi di terza media siano in alcuni casi inferiori e in altri equivalenti a quelle
dei ragazzi di prima (Figura 6.1.2). Questo non è dovuto principalmente alla presenza di
misconcezioni in quantità maggiore, ma al fatto che molti allievi si sono dimenticati di ridurre
ai minimi termini le frazioni (ad esempio 4 189 equivaleva secondo loro a 72
9 ma non a 8) o
ad errori di calcolo. Anche il numero inferiore di allievi (rispetto a quelli di prima) incide
sulla percentuale.
In realtà, da questa seconda domanda emerge che sono di più gli allievi di prima media che
possiedono una misconcezione relativa all’uguale. Infatti, 3 allievi di prima (13%) hanno
risposto che l’uguaglianza 7 + 8 = 15 + 2 era esatta, mostrando un’interpretazione procedurale
dell’uguale, mentre in terza un solo allievo ha risposto in tal modo (6%). Ben 6 allievi (26%)
36
di prima media hanno accettato l’uguaglianza 15 – 6 = 6 – 15, e in terza media 3 (18%) hanno
accettato 3 1 1 32 3 3 2 , fornendo in questo modo un’interpretazione simmetrica.
Anche dai risultati della terza domanda emerge come alcuni allievi credano che dopo l’uguale
ci sia il risultato (8% in prima e 1% in terza) o che interpretino l’uguale simmetricamente (1%
in prima e 3% in terza) (Figura 6.1.3).
Alla quarta domanda l’85% di allievi di terza traduce correttamente a parole le uguaglianze,
rispetto ad un 55% di allievi di prima (Figura 6.1.4). Questo potrebbe essere dovuto alle
conoscenze che hanno acquisito dalla prima alla terza media, ad una maggiore padronanza
della lingua e in particolare all’abitudine a lavorare con le variabili.
Dalle risposte date alla quinta domanda, stupisce come un numero maggiore (e quindi in
questo caso una percentuale maggiore) di allievi di terza media utilizzi operazioni aritmetiche
per trovare la soluzione del problema o che scriva l’uguaglianza inserendo già la soluzione
(Figura 6.1.5). Essendo abituati a lavorare con le equazioni, ciò non dovrebbe accadere. In
prima media si può rilevare una maggiore difficoltà a comprendere il problema.
Sia la quarta che la quinta domanda sono state proposte con l’intento di studiare la capacità
dei ragazzi di rappresentare in altri modi il concetto di uguaglianza, mostrando di averlo
compreso (Cumali, 2007). In realtà è emerso come vi sia per alcuni allievi una certa difficoltà
a passare dai numeri alla rappresentazione scritta e che sia per loro ancora più difficile passare
dalla forma scritta alla rappresentazione tramite un’uguaglianza.
Le risposte alla sesta domanda mostrano come il 13% di allievi di prima utilizzi erroneamente
l’uguale, pur trovando il risultato giusto (Figura 6.1.6). Come affermato da Kieran (1981), gli
allievi “scrivono le operazioni nell’ordine in cui sono pensate” (p. 320). Ad esempio, nella
Figura 7.1.3 possiamo notare come l’allievo abbia trovato il risultato giusto (pur avendo
scritto 420 al posto di 425), ma che abbia utilizzato l’uguale come simbolo procedurale.
Figura 7.1.3 - Calcolo effettuato da un allievo di prima media rispondendo alla sestadomanda.
Guardando i risultati ottenuti dalla prima domanda, ci si potrebbe aspettare che rispondendo
all’ultima domanda almeno una piccola percentuale di allievi pensi che l’uguaglianza
3 8 11 6 66 5 61 (Cumali, 2007) non sia corretta. In realtà, una sola allieva (6%) di
37
terza media si rende conto l’uguaglianza non sia stata utilizzata giustamente; 23 allievi di
prima (100%) e 14 di terza (82%) pensano sia corretta. Nonostante alcuni allievi sappiano che
a destra e a sinistra dell’uguale ci debbano sempre essere espressioni equivalenti, essi non
sembrano essere infastiditi da un utilizzo scorretto di tale simbolo.
In generale, confrontando le singole risposte degli allievi di prima e terza media, si può notare
come siano meno gli allievi di terza a possedere misconcezioni relative al simbolo di
uguaglianza. Potrebbe quindi darsi che l’approfondimento di alcuni argomenti (quali le
equazioni) e l’esperienza abbiano permesso ad alcuni di loro di correggere le immagini
scorrette che possedevano.
7.2. Confronto con i risultati rilevati da Oksuz Cumali
Questa ricerca aveva come obiettivo anche quello di confrontare i dati ottenuti dal Professor
Cumali (2007) con quelli da me ottenuti.
Osservando dalla Figura 6.2.1 alla 6.2.6, possiamo notare come in generale sia gli allievi
ticinesi che quelli statunitensi possiedano delle misconcezioni relative al segno di
uguaglianza, sebbene la percentuale di ragazzi statunitensi che le possiedono sia maggiore.
Alla prima domanda 8 allievi su 23 (35%) hanno fornito un’interpretazione relazionale,
mentre per quanto riguarda la ricerca svolta da Cumali sono 6 su 25 (25%) (Figura 6.2.1).
Gli allievi che hanno partecipato alla ricerca svolta da Cumali hanno dimostrato di avere più
problemi a tradurre correttamente le uguaglianze della quarta domanda (Figura 6.2.4); è
difficile poter dire quali siano le cause di queste maggiori difficoltà di espressione linguistica
tra i ragazzi statunitensi.
Alla richiesta di tradurre un’uguaglianza del tipo 4 = 4, Cumali ha scoperto che alcuni
studenti pensano che l’uguaglianza sia scorretta o che manchi il calcolo che dia come risultato
4 e per questo motivo lo inventano (ad esempio 4 + 0 = 4). Non ho potuto rilevare alcuno di
questi comportamenti nei miei allievi (Figura 6.2.5). Il 91% di loro ha tradotto correttamente
scrivendo “quattro uguale a quattro”, ma la ricerca in questo campo andrebbe approfondita,
come suggerito anche da Cumali (2007).
All’ultima domanda il 100% di entrambi i gruppi di allievi ha pensato l’uguaglianza fosse
corretta (Figura 6.2.6). Secondo Cumali (2007) tale risposta è una prova che gli allievi vedano
l’uguale come simbolo procedurale, aggiungendo che è “come se loro stessero mettendo i
38
numeri nelle calcolatrici” (p. 8). Non posso confermare questa sua affermazione relativa alla
calcolatrice, in quanto nella mia classe di prima media, pur non potendo utilizzare la
calcolatrice, tutti gli allievi hanno risposto erroneamente come quelli statunitensi.
7.3. Confronto tra i risultati ottenuti prima e dopo l’attività didattica
Ultimo obiettivo di questa ricerca era quello di confrontare i dati ottenuti prima e dopo
l’intervento didattico nella classe di prima.
In generale, dalle risposte date al questionario finale emerge come l’intervento didattico abbia
portato positivi cambi di convinzione in alcuni allievi.
Dalle risposte alla prima domanda si può notare un capovolgimento della situazione. Se
all’inizio dell’anno il 61% dei ragazzi interpretava l’uguale come un segno procedurale e il
35% lo vedeva come simbolo relazionale, ora il 61% lo interpreta come relazionale e il 35%
crede ancora sia procedurale (Figura 6.3.1).
Anche le risposte alla seconda domanda mostrano una maggiore percentuale di risposte
corrette. Ad esempio, solo un allievo (rispetto ai 3 nel questionario iniziale) ha risposto che
l’uguaglianza del tipo 15 – 6 = 6 – 15 fosse corretta (Figura 6.3.2).
Nella terza domanda si passa da un 8% di allievi che credevano dopo l’uguale ci fosse il
risultato ad un 1% (Figura 6.3.3).
Quando è stato riproposto il questionario, ho modificato la quinta domanda, creando un
problema simile. A causa del testo più lungo, può darsi gli allievi si siano concentrati
maggiormente sulla comprensione e risoluzione del problema che sull’uguaglianza da
rappresentare. Forse per questo motivo nessun allievo ha scritto l’uguaglianza correttamente e
il 9% (2 allievi) non ha fornito alcuna risposta (Figura 6.3.5).
I risultati della sesta domanda mostrano come la percentuale di allievi che utilizzano l’uguale
in modo scorretto sia diminuita (si passa dal 13% al 4%) (Figura 6.3.6).
Rispondendo alla settima domanda il 26% (rispetto allo 0% iniziale) degli allievi si rende
conto che l’uguale non è stato impiegato nel modo corretto. Vi è sicuramente stato un
miglioramento, ma questi dati mostrano come siano ancora presenti nelle menti di una parte
degli allievi delle immagini scorrette.
39
8. Conclusioni
8.1. Risposte alle domande di ricerca
In base ai risultati ottenuti e alla riflessione su di essi, è possibile rispondere alle domande di
ricerca come di seguito:
Risposta 1 Sia in prima che in terza gli allievi delle classi esaminate possiedono delle
misconcezioni relative all’uguale. Oltre all’interpretazione di tipo relazionale,
vi sono degli allievi che forniscono un’interpretazione simmetrica o
procedurale del segno di uguaglianza. Queste misconcezioni sono dovute
principalmente allo scarso tempo esplicitamente dedicato a parlare del concetto
di uguaglianza e anche dalla rappresentazione limitata di esso fornita dai
docenti, i quali propongono rappresentazioni di uguaglianze dove l’uguale si
trova a destra e dopo di esso vi è solo il risultato.
I dati che riguardano gli allievi ticinesi di prima media non si distanziano
particolarmente da quelli rilevati dal Professor Cumali.
Risposta 2 Vi sono meno ragazzi che possiedono misconcezioni legate al simbolo di
uguaglianza in terza media. Tuttavia, la presenza di queste immagini scorrette
in alcuni di loro impedisce l’acquisizione del concetto di uguaglianza e
potrebbe portare delle difficoltà nel passaggio tra l’aritmetica e l’algebra.
Risposta 3 Le attività proposte nell’articolo di Cumali (2007) hanno provocato in alcuni
allievi positivi cambi di convinzione. Tali attività, insieme ad altre, potrebbero
essere impiegate da tutti i docenti di matematica già dal primo anno di scuola
media, per aiutare i propri allievi a superare gli ostacoli legati all’uguaglianza e
al suo segno.
8.2. Alcune riflessioni
Attraverso questo lavoro è emerso quanto sia importante che il docente si renda conto che può
essere responsabile delle misconcezioni che si formano nella mente degli allievi. In
particolare è evidente la problematicità di proposte didattiche che non variano la
rappresentazione dell’oggetto proposto.
40
Molto spesso i docenti danno per scontati alcuni concetti, che in realtà non sono semplici,
pensando che i ragazzi li abbiano già compresi a fondo. Questo vale anche per l’uguaglianza e
il suo simbolo. Nel piano di formazione della scuola media del Canton Ticino non è previsto
un momento in cui si parla esplicitamente di tale concetto e quindi molto spesso i docenti lo
trascurano. A dimostrazione di tale affermazione, riporto quanto scritto da un’allieva di terza
media, dopo aver spiegato che cosa significasse per lei l’uguale:
Figura 8.2.1 – Risposta di un’allieva di terza media alla prima domanda.
È essenziale che il concetto di uguaglianza venga trattato in maniera approfondita insieme ai
ragazzi già dalla prima media, con lo scopo di evitare che essi si trascinino misconcezioni
durante tutti gli anni e dopo la scuola dell’obbligo. Ad esempio, le attività didattiche proposte
in questo lavoro si sono rivelate efficaci e potrebbero esser utilizzate dai docenti. In generale,
emerge l’estrema utilità di dedicare del tempo a discutere insieme agli allievi delle loro
concezioni e a proporre diverse rappresentazioni dell’uguale. In questo modo si spera di
ridurre il numero di allievi che presenteranno difficoltà passando dall’aritmetica all’algebra.
Attraverso questa ricerca ho potuto studiare il comportamento di 40 allievi. Sicuramente avrei
potuto dare risposte più precise e generalizzabili se il campione di riferimento fosse stato più
numeroso e distribuito sul territorio.
Testando le attività didattiche, spero inoltre di aver offerto strumenti utili ai docenti che hanno
la necessità di proporre attività legate al segno dell’uguale. Grazie all’intervento didattico
alcuni allievi sono riusciti a correggere le immagini sbagliate che si sono formate nella loro
mente. Per ottenere risultati ancora migliori, è sicuramente necessario lavorare sul concetto
insieme agli studenti durante tutti e quattro gli anni di scuola media.
Dai risultati ottenuti dagli allievi di terza media è emerso che il questionario è stato proposto
quando non tutti gli allievi avevano acquisito completamente le conoscenze che riguardavano
le frazioni. Bisognerebbe provare a riproporre alla fine del terzo anno un secondo questionario
per vedere se vi possono essere delle differenze nei risultati.
Una potenziale critica che può essere mossa nei confronti di questo lavoro è che gli allievi di
prima media hanno ricevuto un questionario finale simile (tranne che per le domande 5 e 6) a
41
quello iniziale. Gli allievi potrebbero in questo modo aver imparato a rispondere a domande
di questo tipo. Ero consapevole che ciò sarebbe potuto accadere, ma in questo modo ho potuto
confrontare in maniera diretta le risposte degli allievi prima e dopo l’intervento didattico. A
distanza di tempo potrebbe esser riproposto un altro questionario per sondare cosa sia
effettivamente appreso e cosa ritenuto solo temporaneamente.
42
43
9. Riferimenti bibliografici
Alibali, M. W., Knuth, E. J., McNeil, N. M., & Stephens, A. C. (2006). Does understanding the equal sign
matter? Evidence from solving equations. Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 37, No. 4, 297-
312.
Behr, M., Erlwanger, S. & Nichols, E. (1980). How Children View the Equals Sign. Mathematics Teaching, 92,
13-15.
Brousseau, G. (1976). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Comptes rendus de la
XXVIIIe rencontre de la C.I.E.A.E.M.: La problematique de l’enseignement des mathématiques. France:
Louvain la Neuve.
Cajori, F. (1928). A History of Mathematical Notations. Lasalle, Illinois: Open Court.
Camici, C., Cini, A., Cottino, L., Dal Corso, E., D’Amore, B., Ferrini, A., Francini, M., Maraldi, A.M.,
Michelini, C., Nobis, G., Ponti, A., Ricci, M., & Stella, C. (2002). Uguale è un segno di relazione o un indicatore
di procedura? L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol. 25, No. 3, 255-270.
Cumali, O. (2007, August 1). Children’s understanding of equality and the equal symbol. International Journal
for Mathematics Teaching and Learning. Disponibile in:
http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/ [5 agosto 2010].
D’Amore, B. (1999). Elementi di didattica della matematica. Bologna: Pitagora.
D’Amore, B. & Sbaragli, S. (2005). Analisi semantica e didattica dell’idea di “misconcezione”. La matematica e
la sua didattica, 2, 139-163.
Falkner, K. P., Levi, L., & Carpenter, T. P. (1999). Children's Understanding of Equality: A Foundation for
Algebra. Teaching Children Mathematics, 6, 232-236.
Fischbein, E. (1985). Ostacoli intuitivi nella risoluzione di problemi aritmetici elementari. In L. Chini Artusi,
Numeri e operazioni nella scuola di base (pp. 122-132). Bologna: Zanichelli.
Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, 317-
326.
MacGregor, M. & Stacey, K. (1999). A Flying Start to Algebra. Teaching Children Mathematics, 6, 78-85.
Saénz-Ludlow, A. & Walgamuth, C. (1998). Third Graders’ Interpretations of Equality and the Equal Symbol.
Educational Studies in Mathematics, 35, 153-187.
Sbaragli, S. (2005). Misconcezioni “inevitabili” e misconcezioni “evitabili”. La matematica e la sua didattica, 1,
57-71.
Sbaragli, S. (2006). Diverse chiavi di lettura delle misconcezioni. Rassegna. Istituto Pedagogico di Bolzano,
XIV, 29, 47-52.
44
Wagner, S. (1981). Conservation of equation and function under transformations of variable. Journal of research
in mathematics education, 12, 107-118.
Questa pubblicazione, IL SEGNO DI UGUAGLIANZA E LE SUE DIVERSE
INTERPRETAZIONI, scritta da GHAZALE JAZAYERI, è rilasciata sotto
Creative Commons Attribuzione – Non commerciale 3.0 Unported License.
45
10. Allegati
A Questionario iniziale in prima media
1. a) Cosa significa per te il simbolo “=” ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b) Fai un esempio per mostrare come lo si utilizza:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Segna con una crocetta le affermazioni vere e quelle false. Accanto a quelle falsespiega anche il perché:
VERO FALSO Perché…
4 9 36
15 6 9
39 17 22
63 25 38
9 5 14 2
17 8 12 3
24 8 16 4
7 25 45 13
15 6 6 15
7 8 15 2
3 9 10 2 15
20:5 2 2
4 4
46
3. Completa scrivendo i numeri che verificano le uguaglianze (attenzione: dovesi chiede di inserire più numeri nella stessa uguaglianza, questi numeripossono anche essere diversi tra loro):
115 13 [ ] [ ] 35:5 3 [ ] [ ] 5
13 5 [ ] 13 [ ] 3 [ ] 12 [ ] 17 8
[ ] 14 [ ] 5 15 3 [ ] 4 16: 2 5 [ ]
4 [ ] 13 4 7 [ ] 49 7 32:8 [ ] 2
4. Spiega a parole le seguenti uguaglianze:
23 = 17 + 6 ………………………………………………………………………….
12 + 5 = [ ? ] .…………………………………………………………………………
[ ? ] = 19 – 4 …………………………………………………………………………
7 = 49 : 7 ……………………………………………………………………………
[? ] = 15 3 ……………………………………………………………………………
[ ? ] : [ ? ] = 14 ………………………………………………………………………
2+ [ ? ] = [ ? ] + 5 ……………………………………………………………………
5 = 5 ……………………………………………………………………………………
5. Le classi IIIA e IIIB contengono lo stesso numero di allievi. In IIIA ci sono 13 ragazzie 9 ragazze, mentre ci sono 5 ragazzi in IIIB.
Scrivi un’uguaglianza che ti permetta di rappresentare la situazione e di trovare il
numero di ragazze della IIIB.
…………………………………………………………………………………………
……………..……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
47
6. In una foresta vengono piantati 425 nuovi alberi. Dopo un po’ di anni 217 vecchialberi vengono tagliati. Al momento la foresta contiene 1063 alberi. Quanti albericonteneva prima che venissero piantati i nuovi alberi?
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
7. Sono corretti i seguenti calcoli? Se sì cerchia la lettera V, se no cerchia la lettera F erisolvi il problema come pensi che sia corretto.
Problema: Aggiungi 3 a 8, moltiplica per 6 e sottrai 5 dal risultato.
Soluzione: 3+ 8 = 11 . 6 = 66 - 5 = 61 V F
48
B Questionario in terza media
1. a) Cosa significa per te il simbolo “=” ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b) Fai un esempio per mostrare come lo si utilizza:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Segna con una crocetta le affermazioni vere e quelle false. Accanto a quelle falsespiega anche il perché:
VERO FALSO Perché…
4 18 89
15 6 13
2.55 3 0.45
6.3 2.5 3.8
9 5 7 22 2
2 1 513 2 6
5 2 11 14 6 12
7.2 2.9 14.5 4.4
3 1 1 32 3 3 2
7 8 15 2
49
3 9 10 114 4 16 16
20 5: 2 23 3
4 47 7
1824
= 34
3. Completa scrivendo i numeri che verificano le uguaglianze (attenzione: dovesi chiede di inserire più numeri nella stessa uguaglianza, questi numeripossono anche essere diversi tra loro):
11.5 7.9 [ ] [ ] 3.5:5 34 [ ] [ ] 5
4
5132 [ ] 13 [ ] 0.3 [ ] 1.2 [ ] 1 1
3 2
[ ] 14 [ ] 56 1.5 3.7 [ ] 0.4 16 : 2 5
2 [ ]
4 [ ] ( 13) 4 7 [ ] (49 7) 32:8 [ ] 23
4. Traduci a parole le seguenti uguaglianze:
2.3 = 1.7 + 0.6 …………………………………………………………………………
12 57 = [ ? ] .…………………………………………………………………………
[ ? ] = 8 19 5 ……………………………………………………………………………
0.7 = 4.9 : 7 …………………………………………………………………………
[ ? ] = 12 45 …………………………………………………………………………
[ ? ] : [ ? ] = 1.4 ………………………………………………………………………
12
+ [ ? ] = [ ? ] + 5 ……………………………………………………………………
0.5 = 0.5 …………………………………………………………………………………
50
5. Le classi IIIA e IIIB contengono lo stesso numero di allievi. In IIIA ci sono 13 ragazzie 9 ragazze, mentre ci sono 5 ragazzi in IIIB.
Scrivi un’uguaglianza che ti permetta di rappresentare la situazione e di trovare ilnumero di ragazze della IIIB.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
6. In una foresta vengono piantati 425 nuovi alberi. Dopo un po’ di anni 217 vecchialberi vengono tagliati. Al momento la foresta contiene 1063 alberi. Quanti albericonteneva prima che venissero piantati i nuovi alberi?
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
7. Sono corretti i seguenti calcoli? Se sì cerchia la lettera V, se no cerchia la lettera F erisolvi il problema come pensi che sia corretto.
Problema: Aggiungi 3 a 8, moltiplica per 6 e sottrai 5 dal risultato.
Soluzione: 3+ 8 = 11 . 6 = 66 - 5 = 61 V F
51
C Attività didattiche
1. Trova la somma o i numeri mancanti
+ 2 5 14 9
16
3
19
2
+
5 37
7 18
6 10
23 24
+
0 12
15 20
21 43
10 16
+ 18 25 4
7 23
46
21
1
2. Somma tra numeri
Completa inserendo i numeri mancanti. Nella zona grigia c’è la somma tra gli altri numeri.
ESEMPIO:
12 5
3 20
21 3
4
11
9 6
161 4
32
12
243 50
52
3
15 47
23 1
12
35 7
124
11 58
23
65
42
326
92
3. Operare per equiparare
Nelle seguenti tabelle devi scegliere tra i numeri a destra quello che ti permette di ottenereun’uguaglianza utilizzando l’operazione scritta in alto a sinistra. Una volta individuati inumeri e inseriti nelle tabelle, scrivi sul tuo quaderno le uguaglianze nell’ordine in cui sonoscritte. Attenzione: al primo numero nella colonna sotto il simbolo “=” corrisponde solo ilprimo numero nella riga a destra dell’uguale (lo stesso vale per gli altri numeri).
ESEMPIO:
+
= 3 28 12 17
7 4
19 …
29 …
32 …
Scelte:
17
4
15
9
Infatti:
7 = 3 + 4…
53
+
= 2 8 16 13
6
3
9
21
Scelte:
7
5
8
4
–
= 1 15 6 13
7
8
9
4
Scelte:
7
9
6
3
x
= 35 3 16 7
5
3
8
21
Scelte:
3
1
7
2
:
= 5 32 2 63
50
8
24
7
Scelte:
9
4
12
10
+
= 5 11 4 12
19
30
7
5
–
= 10 31 62 13
11
8
91
40
x
= 95 3 88 7
5
84
8
140
:
= 3 15 7 110
48
5
49
11
54
4. Perimetro di un rettangolo
Disegna tutti i possibili rettangoli che hanno perimetro 12 u.
In base a quanto hai appena disegnato, completa:
12 = 12 = 12 =
12 = 12 = 12 =
12 = 12 = 12 =
12 = 12 = 12 =
12 = 12 = 12 =
12 = 12 = 12 =
12 = 12 = 12 =
1u
55
5. Modi alternativi
Completa le uguaglianze utilizzando una o più operazioni diverse.
ESEMPIO:9 + 12 = 5 + 16
9 + 12 = 3 7
9 + 12 = 3 2 6: 2 7 5
9 + 12 = 34 - 13
...
13 + 4 = = 5 7 52: 2 =
13 + 4 = = 5 7 52: 2 =
13 + 4 = = 5 7 52: 2 =
13 + 4 = = 5 7 52: 2 =
13 + 4 = = 5 7 52: 2 =
13 + 4 = = 5 7 52: 2 =
… … …
Ora inventane una tu da proporre al tuo compagno di banco e provate a sfidarvi su chi riesce atrovare più risposte alternative che riguardano la stessa uguaglianza!
= …… – ……
56
6. Vero e falso. Ti ricordi?Tanti mesi fa hai risposto riguardo ad alcune affermazioni, segnando con una crocetta seerano vere o false e spiegando il perché in caso erano false.
Fai lo stesso qui sotto:
VERO FALSO Perché…
4 9 36
15 6 9
39 17 22
63 25 38
9 5 14 2
17 8 12 3
24 8 16 4
7 25 45 13
15 6 6 15
7 8 15 2
3 9 10 2 15
20:5 2 2
4 4
Discussione in classe
Cosa hai sbagliato e perché:
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
57
7. Trova i numeri mancanti
Completa scrivendo i numeri che verificano le uguaglianze (fai attenzione: dovesi chiede di inserire più numeri nella stessa uguaglianza, questi numeripossono anche essere diversi tra loro):
[ ] + [ ] = 18 18 = [ ] – [ ] 18 = [ ] x [ ] [ ] : [ ] = 18
[ ] x [ ] = 23 23 = [ ] + [ ] 23 = [ ] : [ ] [ ] – [ ] = 23
134 – 39 = [ ] [ ] = 45 : 3 62 + 25 = [ ] [ ] = 16 2
77 : 11 = [ ] 14 5 = [ ] [ ] = 57 – 15 [ ] = 34 + 17
32 + [ ] = 13 + [ ] 18 – [ ] = [ ] – 4 [ ] = 3 [ ] 7 – [ ] = [ ] –12
4 + [ ] = [ ] +9 6 – 2 = [ ] – 6 46 : 2 + 3 = [ ] + 20 [ ] – 3 = 16 – [ ]
8.
a + 3 = 7
Che cosa pensi riguardo a quest’uguaglianza? È vera?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
È maggiore a oppure 7?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
58
D Questionario finale in prima media
1. a) Cosa significa per te il simbolo “=” ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b) Fai un esempio per mostrare come lo si utilizza:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Segna con una crocetta le affermazioni vere e quelle false. Accanto a quelle false
spiega anche il perché:
VERO FALSO Perché…
17 9 8
62 14 48
26 7 19 4
35 12 8 15
18 7 7 18
5 3 8 2
17 1 2 3 2 12
52:13 2 2
4 4
59
3. Completa scrivendo i numeri che verificano le uguaglianze (attenzione: dove
si chiede di inserire più numeri nella stessa uguaglianza, questi numeri
possono anche essere diversi tra loro):
134 18 [ ] [ ] 34:17 3 [ ] [ ] 7
16 7 [ ] 16 [ ] 3 [ ] 11 [ ] 15 9
[ ] 17 [ ] 5 11 4 [ ] 5 18:3 5 [ ]
5 [ ] 12 5 8 [ ] 64 8 32:8 [ ] 2
4. Spiega a parole le seguenti uguaglianze:
17 = 11 + 6 ……………………………………………………………………………
13 + 5 = [ ? ] .…………………………………………………………………………
[ ? ] = 22 – 8 ……………………………………………………………………………
6 = 36 : 6 ……………………………………………………………………………
[ ? ] = 15 3 ……………………………………………………………………………
[ ? ] : [ ? ] = 12 ………………………………………………………………………
2+ [ ? ] = [ ? ] + 3 ………………………………………………………………………
3 = 3 ……………………………………………………………………………………
60
5. Il signor Sugus possiede un chiosco in centro a Lugano. Tra la merce che vende, ci
sono dei sacchetti contenenti caramelle alla fragola e all’arancia. Tutti i sacchetti
contengono lo stesso numero di caramelle, ma la quantità relativa dei gusti non è
sempre uguale. Nel sacchetto che ho comprato la volta scorsa c’erano 16 caramelle
all’arancia e 5 alla fragola. Il signor Sugus mi dice che questa volta ne troverò solo 9
all’arancia (sta esaurendo le scorte).
Scrivi un’uguaglianza che ti permetta di rappresentare la situazione e di trovare il
numero di caramelle alla fragola nei nuovi sacchetti.
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
6. Aurelio colleziona braccialettini di plastica colorati, dalle forme più svariate. Durante
la sua festa di compleanno ne ha ricevuti dai suoi parenti 204. Il giorno dopo si è reso
conto di avere ben 79 doppie e ha deciso così di regalarle al suo fratellino Mirco.
Aurelio ha 251 braccialettini.
Quanti ne possedeva prima di compiere gli anni?
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
7. Sono corretti i seguenti calcoli? Se sì cerchia la lettera V, se no cerchia la lettera F e
risolvi il problema come pensi che sia corretto.
Problema: Sottrai 7 da 11, dividi per 2 e aggiungi 13 al risultato.
Soluzione: 11 - 7 = 4 : 2 = 2 + 13 = 15 V F
