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Il progetto allo SLU per il taglio

Giorgio Monti - Il metodo degli Stati Limite135/230

Il progetto allo SLU per taglioLe travi sollecitate a taglio

La teoria lineare

Il comportamento non lineare

Travi non armate a taglio

Funzionamento a trave e ad arco

Travi armate a taglio

Determinazione della forza nell’armatura di taglio

Determinazione del contributo del calcestruzzo

Interazione momento-taglio

Il DM 9.1.96

Esempi e confronto TA e SLU


La teoria lineare

Nel metodo TA le τ agenti sulle sezioninormali si calcolano con la nota teoria approssimata di Jourawski:

)()()(

ybIySVy

⋅⋅

=τ

in cui: I = momento d’inerzia baricentrico della sezione, S(y) è il momento statico, rispetto al baricentro, della parte di sezione al disopra della fibra di ascissa y e b(y) è la larghezza di detta fibra


La teoria lineare

Nel caso di sezioni fessurate:

a.n. wbdV

9.0max ≅τ

Incongruenza: la parte di calcestruzzo sotto l’asse neutro, “inesistente” per la flessione, sopporta la tensione tangenziale τmax che, come risulta dal cerchio di Mohr, produce una tensione principale di trazione di pari valore.


Il comportamento delle travi sollecitate a taglio

Per comprendere cosa avvenga in una trave in c.a. sollecitata a flessione e taglio, si deve rinunciare all’analisi della sola sezione ed esaminare la trave nella sua estensione spaziale.Consideriamo il comportamento di una trave appoggiata, uniformemente caricata, al crescere dell’intensità del carico.


Il comportamento lineare

Inizialmente il comportamento è elastico lineare e la distribuzione delle tensioni segue la teoria delle travi elasticheL’andamento delle linee isostatiche delle tensioni principali è:



Il valore max della tensione principale di trazione viene raggiunto al lembo inferioreIn un punto, superata la resistenza a trazione, si innesca una fessura normale all’asse della trave, perpendicolare alle isostatiche di trazioneAl crescere del carico la fessura si propaga e, per effetto delle tensioni tangenziali, si inclina verso l’asse.



Le fessure seguono le isostatiche di compressioneNascono ortogonali all’asse della trave e poi si inclinano fino a divenirne quasi parallele in prossimitàdel corrente compresso.


Conseguenze …

Si deduce un risultato fondamentale per l’analisi di travi in c.a. soggette a flessione e taglio:

si deve rinunciare al semplice schema della sezione fessurata normalmente all’assesi devono esaminare conci di lunghezza finita entro cui, nella parte tesa, si estendono delle fessure inclinate.


Quindi …

Dall’equilibrio di un concio di trave si ha:

dxdMV =

x

dxM M+dM

V V


Poiché …

Per una trave in c.a.soggetta a M e V :

z = braccio delle forze internezTM ⋅=

x

Mz

T


Doppio funzionamento

Sostituendo l’ultima espressione nell’equilibrio:

Tdxdz

dxdTzV +=

All’equilibrio di V concorrono due termini, dipendenti da:la variazione della forza di trazione nell’acciaiola variazione del braccio delle forze interne z.


Doppio funzionamento

Sostituendo l’ultima espressione nell’equilibrio:

Tdxdz

dxdTzV +=

Funzionamento a trave

(travi snelle)

Funzionamento ad arco

(travi tozze)


Il comportamento delle travi non armate a taglio

Le due facce contigue di una fessura sono superfici scabreInfatti la fessura non attraversa gli inerti grossi, lo scheletro più resistente dell’impasto, ma ne segue i contorniDopo l’apertura della fessura, le protuberanze di queste superfici scabre rimangono ingranate con le corrispondenti cavità, rendendo ancora possibile la trasmissione di forze tangenziali



Questo è il meccanismo di ingranamento degli inerti (aggregate interlock)



Le fessure separano la trave in tante mensoleincastrate nella parte superiore compressa dell’elementoOgni mensola èsollecitata dalla forza

∆T = T1 - T2data dalla variazione della forza di trazione dell’armatura nel comportamento a trave

T2 T1



Alla forza ∆Tresistono:

Le tensioni tangenziali τa sulle superfici delle fessure (ingranamento degli inerti)Le forze di taglio Vdper effetto spinotto(dowel action) delle barre longitudinaliIl momento Mcall’incastro della mensola di cls nel corrente compresso


Funzionamento a trave (flessione e taglio) e ad arco

Per valori di a/d > 7Mu sperimentale coincide con Mu teoricoLa trave raggiunge la resistenza flessionale perché la resistenza a taglio è maggioreQuesto si ha nelle travi molto snelle per le quali è possibile omettere l’utilizzo dell’armatura di taglio



Per 7 > a/d > 3la rottura è prodotta dal cedimento dei denti di calcestruzzo con la conseguente perdita di efficacia del “meccanismo a trave”La resistenza della trave si riduce rispetto a quanto previsto dalla sola flessione.



Per a/d < 3 la resistenza cresce fino a raggiungere la resistenza flessionaleIl collasso è in flessione e non per taglioDopo il cedimento del “meccanismo a trave”si ha il “meccanismo ad arco” che permette di portare un’ulteriore quota di carico



Perché le travi raggiungano la loro piena capacità portante, la resistenza al taglio deve essere aumentata fino a raggiungere, e possibilmente superare, quella flessionale (la gerarchia delle resistenze!)Soprattutto a causa della natura fragile, e quindi particolarmente pericolosa, del collasso per taglio.


La gerarchia delle resistenze

Si tratta di progettare gli e/m fragili in base alle massime azioni (le resistenze) trasmesse dagli e/m duttili

F

FFy


La gerarchia delle resistenze

Si tratta di progettare gli e/m fragili in base alle massime azioni (le resistenze) trasmesse dagli e/m duttili

FyFy

Fy

La forza non può crescere oltre Fy e quindi l’elemento fragile è automaticamente protetto



Per aumentare la resistenza a taglio si dispone un’armatura d’anima disposta trasversalmente all’asse della traveHa il ruolo di congiungere:

la parte compressa (il corrente in calcestruzzo)la parte tesa (l’armatura longitudinale)

Le armature utilizzate a questo scopo sono:le staffele barre piegate.



Le staffe sono più efficaci delle barre piegate nel prevenire i meccanismi di rottura per taglio



L’efficacia dei meccanismi aumenta:L’ingranamento degli inerti migliora

Le armature d’anima, in particolare prima di plasticizzarsi, ostacolano l’aprirsi delle fessure consentendo un ingranamento efficace

L’effetto spinotto miglioraLe staffe, se abbastanza vicine tra loro, aumentano la rigidezzaflessionale delle armature longitudinali

La resistenza delle mensole di calcestruzzo aumentaL’armatura provoca la compressione di queste bielle, con conseguente riduzione delle tensioni di trazioneLimitando l’estendersi delle fessure impedisce l’eccessiva riduzione delle sezioni di incastro delle mensole al corrente compresso



L’armatura d’anima contribuisce direttamente a sopportare una parte delle forze di taglioIl modello di Mörsch è molto schematico ma coglie i caratteri essenziali del fenomenoLa trave fessurata viene assimilata ad una trave reticolare in cui:

il calcestruzzo compresso e l’armatura tesa sono i correntile bielle di calcestruzzo sono le aste di parete compressele armature d’anima sono le aste tese



Il traliccio di Mörsch



Schema del meccanismo resistente



L’eq. di eq. dei momenti di una mensola di calcestruzzo tra due fessure distanti s è:

∆T·z = (Vd +Va)·s + Mc + Fs sinβ·z·cotα + Fs cosβ·z



Ponendo ∆T ≈ (dT/dx)s e z ≈ cost. , e poiché V = dM/dx , si ha:

szV

dxzMdT ≈≈∆)/(



Sostituendo e risolvendo per Fs si ha:

)cot(cotsin)cot(cotsin β+αβ=

β+αβ−

=z

Vz

VVs

F scs

sMVVV cdac /++=



Nel caso α = 45° e β = 90°:

Nel caso α = 45° e β = 45°:z

Vs

F ss =

2zV

sF ss =


Determinazione della forza nella biella compressa

Nella biella compressa si ha:

)cot(cotsinsinsin

β+αα=

αβ

=z

sVFC ss


Determinazione del contributo del calcestruzzo

E’ difficile valutare teoricamente:

Vc = Va + Vd + Mc /sQuindi si ricorre a formule empiriche



La presenza del taglio fa sviluppare le fessure secondo linee inclinateIl concetto di sezione retta della teoria della trave elastica perde di significato

Ciò comporta che la T sull’armatura tesa non coincide con quella prevista dalla teoria della flessione



Nella sezione (2’) si ha: M2’ = T2 zNella sezione (2) si ha: M2 ≈ M2’ – V2 z cotα



Secondo la teoria della flessione si ha:T2,flex = M2 / z = M2’ / z – V2 cotαQuindi la forza effettiva è maggiore:T2 = T2,flex + V2 cotα



Il taglio produce, nella trave fessurata, un incremento della forza nell’armatura pari a VcotαDi questo si tiene conto traslando il diagramma dei momenti con cui si progettano le armature della quantità: z cot α ≈ 0.9d cotαIn tal modo in ogni sezione il momento considerato è maggiore di quello corrispondente all’equilibrio della parte di trave individuata da una sezione retta.



Traslazione del diagramma del momento

0.9 d0.9 d

0.9 d 0.9 d

0.9 d 0.9 d


Il DM 9.1.96

4.2.2. Verifiche allo stato limite ultimo per sollecitazioni taglianti

4.2.2.2. Elementi senza armature trasversali resistenti a taglio

4.2.2.2.1. Verifica del conglomerato4.2.2.2.2. Verifica dell’armatura longitudinale

4.2.2.3. Elementi con armature trasversali resistenti al taglio

4.2.2.3.1. Verifica del conglomerato4.2.2.3.2. Verifica dell’armatura trasversale d’anima4.2.2.3.3. Verifica dell’armatura longitudinale


Il comportamento a rottura per taglio

Dipende da molti parametriNon esistono metodi di calcolo semplici che coprano tutti i tipi di rottura e che tengano conto adeguatamente dei contributi alla resistenza di tutti gli elementi costituenti le membratureNel caso di travi parete, mensole corte, ecc., si useranno metodi di calcolo fondati su ipotesi teoriche e risultati sperimentali chiaramente comprovati.


Il comportamento a rottura per taglio

Il calcolo agli SL si riferisce solo alla rottura:del conglomerato d'anima, o delle armature trasversali

I rischi inerenti ad altri tipi di rottura sono coperti:

da prescrizioni sui dettagli costruttiviancoraggi

da limitazioni progettualiinterasse minimo delle armature trasversali, conformazione delle armature trasversali, ecc.


4.2.2.2. Elementi senza armature trasversali resistenti a taglio

Appartengono a questa categoria di strutture:i solai monodimensionalisolette, piastre e membrature a comportamento analogole travi poste su aperture di luce modesta

Si considerano armature trasversali a tagliole staffele altre armature che collegano il corrente teso al corrente compresso della membratura

Gli elementi senza armatura a taglio non devono essere soggetti a trazione affinché si instauri il meccanismo resistente arco-tirante.


4.2.2.2.1. Verifica del conglomerato

Il taglio di calcolo non deve superare il valore che, riferito alla resistenza a trazione di calcolo fctd, determina la formazione delle fessure obliqueLa resistenza a trazione di calcolo è:

3 227.07.017.011ck

cctm

cctk

cctd Rfff ⋅⋅

γ=⋅

γ=

γ=



Le verifiche si effettuano:

δ⋅⋅⋅ρ+⋅≤ dbrfV wlctdSdu )501(25.0dove:

VSdu taglio agente

r = (1.6 m – d) con d ≤ 0.6 m

ρl = Asl/(bw d) ≤ 0.02 (Asl = area armatura long. di trazione)

δ = 1 + M0/MSdu (= 0 in presenza di trazione apprezzabile)

M0 = momento di decompressione

MSdu = momento agente massimo di calcolo


Quantitativi minimi di armatura

Se risulta VSdu < Vcu si deve disporre una quantità minima di armatura:

Inoltre deve essere rispettata la:s ≤ min(0.8 d, 0.33 m).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≥

⋅=ρ

ww

sww b

dbs

A 15.0110.0min,

yk

ck

w

sww f

fbs

A 08.0min, ≥⋅

=ρ (EC2)


4.2.2.2.2. Verifica dell’armatura longitudinale

La verifica comporta la traslazione del diagramma del momento flettente lungo l'asse longitudinale, nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento flettente.In altri termini, l’armatura longitudinale deve essere dimensionata per resistere al momento sollecitante pari a:

MSdu(V) = MSdu(V) + VSdu · 0.9 d


4.2.2.3. Elementi con armature trasversali resistenti al taglio

La resistenza al taglio dell'elemento fessurato si calcola schematizzando la trave come un traliccio ideale (Ritter-Morsch)

Gli elementi del traliccio resistenti a taglio sono:le armature trasversali d'anima, come aste di pareteil cls del corrente compresso e delle bielle d'animal'armatura longitudinale.



La verifica consiste nel confrontare il taglio di calcolo con una espressione cautelativa della resistenza a compressione delle bielle inclinate

VSdu ≤ 0.30 fcd · bw · d

dove fcd è la resistenza di calcolo a compressione del calcestruzzo


4.2.2.3.2. Verifica dell’armatura trasversale d'anima

Il taglio di calcolo deve risultare inferiore od al limite uguale alla somma della resistenza della armatura d’anima e del contributo degli altri elementi del traliccio idealeComunque la resistenza di calcolo dell’armatura d’anima deve risultare non inferiore alla metà del taglio di calcolo.


4.2.2.3.2. Verifica dell’armatura trasversale d'anima

L’armatura trasversale deve verificare:

VSdu ≤ Vcd + Vwd con Vwd ≥ VSdu /2in cui:

Vcd = 0.60 fctd · bw · d · δVwd = Asw · fywd · 0.90 d / s (staffe)

Vwd = √2 · Asw · 0.8fywd · 0.90 d / s (piegati)


4.2.2.3.3. Verifica dell’armatura longitudinale

La verifica comporta la traslazione del diagramma del momento flettente lungo l'asse longitudinale, nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento flettente.In altri termini, l’armatura longitudinale deve essere dimensionata per resistere al momento sollecitante pari a:

MSdu(V) = MSdu(V) + VSdu · 0.9 d


Esempio

Verificare per una forza di taglio VSk = 75 kNe, se necessario, progettare l’armatura della sezione rettangolare con:

base: bw = 30 cmaltezza: h = 60 cmarmatura longitudinale: Asl = 5φ20 = 15.7 cm2

Caratteristiche dei materiali:calcestruzzo: Rck = 30 N/mm2

acciaio: Fe B 44 k


EsempioMetodo TA

Le tensioni ammissibili sono:

Per l’acciaio si ha:

21

20

N/mm 83.135

15304.135

154.1

N/mm 6.075

15304.075

154.0

=−

+=−

+=τ

=−

+=−

+=τ

ckc

ckc

R

R

2N/mm 255=σs


EsempioMetodo TA

La tensione tangenziale massima è:

Si dispone l’armatura minima:

cioè staffe φ8/250 mm

02N/mm 49.0

3005709.075000

9.0 cw

Skcm bd

Vτ<=

⋅⋅=

⋅⋅=τ

/mcm 86.303 305715.0110.0 15.0110.0 2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= w

w

sw bbd

sA


EsempioMetodo SLU

La sollecitazione di progetto è:VSdu = γ · VSk = 1.5 · 75 = 112.5 kNLe resistenze di calcolo dei materiali sono:

2N/mm 56.156.1

3083.083.0=

⋅=

γ=

c

ckcd

Rf

23 23 2 N/mm 14.13027.07.06.1

127.07.01=⋅⋅=⋅⋅

γ= ck

cctd Rf

2N/mm 37415.1

430==

γ=

s

ykyd

ff


EsempioMetodo SLU

La verifica richiede:

La trave deve essere armata a taglio

N 112500N 73240

1570300)57307.15501)(57.06.1(14.125.0

)501(25.0

<=

⋅⋅⋅⋅

⋅+−⋅⋅=

δ⋅⋅⋅ρ+⋅≤ dbrfV wlctdSdu


EsempioMetodo SLU

Verifica delle bielle compresse:

è largamente soddisfattaIl taglio portato dal calcestruzzo è:Vcd = 0.60 fctd · bw · d · δ

= 0.60 · 1.14 · 300 · 570 · 1= 116974 N > VSdu

N 79822857030056.1530.030.0

=⋅⋅⋅=⋅⋅≤ dbfV wcdSdu


EsempioMetodo SLU

Poiché risulta Vcd > VSdu, si deve assumere: Vwd = VSdu /2= 56.3 kNQuindi le staffe saranno:


/mcm 93.23745709.0

563009.0

2=⋅⋅

=⋅

=ywd

wdswfd

Vs

A


Esempio

Per la stessa sezione dell’esempio precedente, si verifichi il caso in cui:

VSk = 200 kN.


EsempioMetodo TA

La tensione tangenziale massima è:

Quindi deve essere armata a taglio:


12N/mm 3.1

3005709.0200000

9.0 cw

Skcm bd

Vτ<=

⋅⋅=

⋅⋅=τ

/mcm 3.153005709.0

2000009.0

2=⋅⋅

=⋅

=w

Skswbd

Vs

A


EsempioMetodo SLU

La sollecitazione di progetto è:VSdu = γ · VSk = 1.5 · 200 = 300 kNLa verifica delle bielle compresse èsoddisfatta

Per il calcolo dell’armatura si ha:Vwd = VSdu – Vcd = 300 – 117 = 183 kN


EsempioMetodo SLU

Poiché risulta Vwd > VSdu /2, le staffe saranno calcolate con Vwd :

cioè staffe φ10/150 mmoppure φ8/100 mm

/mcm 5.93745709.0

1830009.0

2=⋅⋅

=⋅

=ywd

wdswfd

Vs

A

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