IL PROBLEMA DELL’ATOMO

Nel corso degli ultimi 2 secoli è stato necessario costruire nuovi modelli logici (e una nuova fisica) che fossero in accordo con i dati sperimentali e i fenomeni osservati

Vari scoperte scientifiche hanno portato alla moderna teoria atomica

1

Teoria atomica della materia

La prima visione completamente meccanicistica nel mondo greco è l’atomismo di Democrito (460 – 370 circa a.c.), che

viene poi ripreso da Epicuro e dal poeta latino Lucrezio (De Rerum Natura).

La teoria atomica della materia nasce attorno al 1800 ed è la base/fondamento della chimica moderna. La teoria atomica

nasce per rispondere alla domanda su come è fatta la materia.

Il problema principale della teoria atomica è quello di razionalizzare alcune evidenze sperimentali.

La prima teoria atomica della materia viene proposta da Dalton che la formula basandosi sulla legge di conservazione della

massa di Lavoisier e sulla legge delle proporzioni definite di Proust. Le assunzioni di Dalton per la teoria atomica della

materia sono le seguenti:

1) Tutta la materia è fatta da particelle microscopiche indistruttibili e indivisibili chiamate atomi.

2) Tutti gli atomi di uno stesso elemento sono identici e hanno uguale massa.

3) Gli atomi di un elemento non possono essere convertiti in atomi di altri elementi.

4) Gli atomi di un elemento non possono essere né creati né distrutti, ma si trasferiscono interi da un composto ad un altro.

Legge delle proporzioni multiple di Dalton: Quando un elemento si combina con un altro elemento, per formare composti

diversi, le masse del primo elemento stanno alle masse del secondo elemento secondo rapporti semplici, esprimibili

mediante numeri interi e piccoli.

Elemento: sostanza costituita da 1 solo tipo di atomi

Conseguenza della assunzione 4: gli elementi si combinano secondo numeri interi

Es: CO, CO2, NO, NO2

Dalle combinazioni delle masse degli elementi Dalton prevede la formula della

molecola (che lui chiama atomo composto). Ad esempio, idrogeno e ossigeno si

combinano danto l’acqua che per Dalton ha formula HO.

Dalton introduce il concetto di massa equivalente: assunto H come 1, la massa degli

elementi deriva dal rapporto di combinazione con l’idrogeno:

Es: NH3 massa equivalente dell’N nell’ammoniaca = 14/3 = 4.66

Dalton immagina la materia composta da atomi indivisibili, sfere perfette non

cariche!

Michael Faraday, nel 1833, dimostra la natura elettrica della materia con esperimenti di elettrolisi.

La prima legge di Faraday afferma che la quantità di materia che viene prodotta nel processo di elettrolisi è

direttamente proporzionale alla quantità di corrente che ha attraversato la cella elettrolitica.

La seconda legge di Faraday afferma che per soluzioni diverse, la stessa quantità di carica che passa negli

elettrodi produce masse diverse di sostanze, che dipendono dalle proprietà degli elementi che si trovano in

soluzione.

Quindi nella materia ci devono essere cariche: il nome proposto per la particella di carica elementare è

elettrone

Faraday realizza il primo tubo a raggi catodici. Questo viene realizzato facendo passare elettricità ad alta

tensione in un tubo sotto vuoto. In questo modo si creano delle radiazioni che originano dall’estremità

negativa, o catodo, e attraversano il tubo fino all’estremità positiva, o anodo. Queste radiazioni si chiamano

raggi catodici. Se l’anodo è forato, i raggi catodici superano l’anodo e possono essere resi visibili facendoli

incidere su uno schermo rivestito di solfuro di zinco.

I raggi catodici si propagano in linea retta.

J. J. Thomson

Studia i raggi catodici. Trova che le caratteristiche dei raggi catodici non dipendono dal

materiale di cui è costituito il catodo, quindi sono una caratteristica della materia stessa.

Thomson effettua delle misurazioni di deflessione dei raggi catodici attraverso l’utilizzo

di un campo elettromagnetico generato da un condensatore. La deflessione dei raggi

catodici dipende dall’intensità del campo elettrico e magnetico.

Angolo di deflessione2B

E

m

e

massa

carica

Dei raggi catodici

In questo modo Thomson determina che i raggi catodici hanno natura particellare e ne determina il rapporto

carica su massa che risulta essere costante e di circa 1011 C/Kg.

Robert Millikan

Determina la carica dell’elettrone. Con il suo esperimento evidenzia la natura discontinua della carica elettrica. Utilizza un atomizzatore d’olio. Sfrutta il moto di piccole goccioline l’olio in una camera formata da due piastre di un condensatore

In assenza di campo elettrico, il moto della goccia è determinato dalla contrapposizione tra la forza gravitazionale e la viscosità del mezzo (legge di Stokes):

𝐹𝐺 = 𝐹𝑎𝑡𝑡 𝜌4

3𝜋𝑟3𝑔 = 6𝜋𝜂𝑟𝑣 𝑣 =

4

3

𝜌𝑟2𝑔

6𝜂V = velocità di caduta della goccia

In presenza di campo elettrico, alle forze precedenti si aggiunge la forza elettrostatica che si contrappone a quella gravitazionale:

𝐹𝐺 − 𝐹𝐸 = 𝐹𝑎𝑡𝑡 𝜌4

3𝜋𝑟3𝑔 − 𝑞𝐸 = 6𝜋𝜂𝑟𝑣 𝑣 =

4

3

𝜌𝜋𝑟3𝑔 − 𝑞𝐸

6𝜂𝜋𝑟

Misuro q, carica delle gocce. Mi accorgo che è sempre un multiplo di 1.6 x 10-19 C. Questa è la carica elementare, carica dell’elettrone

Conseguenze dell’esperimento di Thompson

La natura ha cariche elettriche. L’atomo, la parte indivisibile della materia ha delle

cariche, ma complessivamente deve essere neutro. Quindi ha cariche positive e

anche negative.

Cariche +, protoni, +1, massa 1.6*10-27 Kg

Cariche -, elettroni, -1, massa 9*10-31 Kg

Chiameremo Z il NUMERO ATOMICO, il numero dei protoni presenti

nel nucleo

Es. H ha Z = 1

Cu ha Z= 29

Ma nel nucleo ho anche neutroni, carica 0, massa come i protoni.

Chiameremo A il NUMERO DI MASSA ATOMICO, è la somma di protoni

e neutroni

• Il numero atomico (Z) è il numero di protoni presenti nel nucleo di un atomo.

• Il numero di protoni presenti nel nucleo è ciò che rende gli elementi diversi l’uno dall’altro è caratteristico di ogni elemento

• Il numero di massa indica la massa dell’atomo (in u.m.a.) ed è dato dalla somma di protoni e neutroni.

8

NUMERO ATOMICO E NUMERO DI MASSA

Nuclidi: atomi caratterizzati da un numero atomico Z e da un numero di massa atomica

A.

Esempi:

Ne20

10

Z

A

Ne20

10Ne21

10 Ne22

10 Isotopi

H1

1 DH 2

1

2

1 TH 3

1

3

1 Isotopi

ISOTOPI

Esistono atomi che hanno lo stesso numero di protoni e diverso numero di neutroni stesso numero atomico e diverso numero di massa isotopiGli isotopi di uno stesso elemento hanno tutti le stesse proprietà chimiche

I 3 isotopi dell’idrogenoL’esistenza degli isotopi spiega perché le masse atomiche degli elementi sono in genere espresse da numeri decimali (valore medio), mentre i numeri di massa degli atomi sono interi.

10

J. Thomson, premio Nobel nel 1906 per aver dimostrato in maniera incontrovertibile la

natura particellare della materia (e-)

Nel 1937 il figlio (G. Thomson) vincerà il Nobel per aver dimostrato in maniera

incontrovertibile la natura ondulatoria della materia.

Thomson da una prima descrizione del modello atomico. Mette le cariche positive e

negative come in un panettone, come l’uvetta su di un dolce, in modo che il le forze

elettromagnetiche siano bilanciate. Esegue complicati calcoli e cerca le posizioni di

equilibrio coulombiano. Modello Plum Pudding

Nel 1911 Rutherford (allievo di Thomson) esegue un esperimento che metterà in dubbio questo modello.

Rutherford usa particelle alfa (He2+) e le fa sbattere contro lamina d’oro e misura le deviazioni delle particelle. Quasi tutte le particelle passano senza deviazioni, poche sono deviate e pochissime non arrivano allo schermo fluorescente.Se osservo le particelle deviate, l’angolo di deviazione () è proporzionale al prodotto delle cariche del nucleo di oro e delle due cariche delle particelle alfa.

𝑡𝑔𝜃 ~ 𝜃 ∝ 𝑍𝐴𝑢𝑍𝛼

Da queste misure posso calcolare ZAu (ci riesce con errore piuttosto piccolo).

Alcune particelle alfa vengono respinte, in questo caso i raggi alfa «sbattono» contro il nucleo. Posso eguagliare l’energia cinetica e quella elettrostatica

𝐸𝐾 = 𝐸𝑒𝑙1

2𝑚𝑣2 =

1

𝑘

𝑍𝐴𝑢𝑍𝛼𝑟

In questo modo posso calcolare il raggio del nucleo che è dell’ordine di grandezza di 10-15m mentre il diametro dell’atomo, stimato da Thomson, è dell’ordine di 10-10m.Il modello di Rutherford, modello planetario, prevede che le cariche positive siano concentrate tutte in un piccolo spazio mentre gli elettroni, molto più leggeri, sono su orbite circolari attorno al nucleo.

I neutroni verranno scoperti da Chadwick nel 1932

Il comportamento delle particelle del «mondo microscopico» (l’atomo e i suoi costituenti) non risulta in accordo con le leggidella «fisica classica». Quindi per descrivere il comportamento degli elettroni ne consegue la necessità di una «nuova fisica»

In base alle leggi della fisica valide nel «mondo macroscopico», l’elettrone, ruotando intorno al nucleo, dovrebbe descrivere una traiettoria a spirale per l’attrazione dell’altra particella di segno opposto, avvicinandosi al nucleo fino a «cadervi sopra» con continua emissione di energia. Questo però non avviene

PROBLEMI POSTI DAL MODELLO DI RUTHERFORD

Altri esperimenti mettono i difficoltà la fisica classica

La radiazione Elettromagnetica (ELM)

• Radiazione elettromagnetica: forma di trasmissione di energia attraverso lo spazio vuoto o un mezzo in cui i campi elettrici e magnetici si propagano sotto forma di onde

• Onda: perturbazione che trasmette energia attraverso un mezzo

La radiaz elm è composta da una campo elettrico e da

uno magnetico oscillanti. Ha proprietà ondulatorie dovute

alle oscillazioni dei componenti

Secondo la teoria di Maxwell, la radiazione elm è prodotta da una particella elettricamente carica che accelera.

Es. Le onde radio sono prodotte da oscillazioni (fluttuazioni) della corrente elettrica in circuiti.

Onda monodimensionale (onda viaggiante)

.Frequenza ν = numero di creste (o ventri) chepassano attraverso un dato punto nell’unità di tempo

Velocità dell’onda v = ν ∙ λ

Caratteristiche dell’onda elettromagnetica

Nel vuoto, la velocità di propagazione dell’onda è uguale alla velocità della luce

= c

c = 3 x 108 m/s

Spettro delle radiazioni elettromagnetiche

Qual è la lunghezza d’onda di una stazione radio che trasmette a 98.4kHz?

= 98.4 kHz = 98400 Hz = 98400 s-1

= c/ = 3 108𝑚 𝑠−1

98400 𝑠−1= 3 103 𝑚

Radiazione termica e corpo nero

Ogni corpo (solido, liquido o gas denso) a qualsiasi temperatura finita emette radiazione elm a spettro continuo (radiazione termica)

Potere emissivo em(, T): energia della radiazione emessa per unità di tempo, unità di superficie e intervallo unitario di frequenza. In generale, dipende dalle caratteristiche specifiche del corpo.

Potere assorbente ass(, T): la radiazione incidente viene in parte riflessa ed in parte assorbita. Si definisce potere assorbente il rapporto tra l’energia assorbita e l’energia della radiazione incidente (in un dato intervallo di tempo, di frequenza e su undato elemento di superficie). Per definizione, 0 ass(, T) 1. Definiamo:

ass(, T) = 0 (, T): corpo bianco (perfettamente riflettente)ass(, T) = 1 (, T): corpo nero (assorbitore perfetto)

Corpo nero

Cavità racchiusa da parteti a temperatura T uniforme e costante. Gliatomi delle pareti sono in agitazione termica ed emettono radiazione elmche viene riassorbita dalle pareti. Si stabilisce un equilibrio dinamiconello scambio energetico tra atomi delle pareti e radiazione nella cavità.Praticando un piccolo forellino sulle pareti della cavità senza alterarel’equilibrio termodinamico, si può studiare la radiazione emessa inequilibrio alla temperatura T.

Spettro di emissione di un corpo nero

Corpo nero in natura

Radiazione cosmica di fondo

Dall’analisi dello spettro di emissione di un corpo nero sono state ricavate le seguenti leggi fenomenologiche.

Legge di Stefan-Boltzmann: I = T4. La potenza totale irraggiata per unità di superficie (I) è proporzionale alla temperatura alla quarta potenza.

Legge di Wien: La frequenza alla quale si ha il massimo della densità spettrale (max) della radiazione di un corpo nero dipende in modo direttamente proporzionale dalla temperatura

𝜈𝑚𝑎𝑥

𝑇= 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Trattamento classico dell’emissione di un corpo nero e catastrofe dell’ultravioletto (legge di Rayleigh-Jeans)

All’equilibrio termico, devo avere corrispondenza tra la distribuzione di energia della radiazione e quella degli atomi che formano il materiale delle pareti. Gli atomi si comportano come oscillatori armonici che possono assumere qualunque valore di energia. L’energia dell’oscillatore armonico di massa m, frequenza e ampiezza di oscillazione A è la seguente

𝐸 𝜈, 𝑇 = 2 𝜋2𝑚 𝜈2 𝐴2

Legge di Rayleigh-Jeans: La densità di energia elettromagnetica u emessa da un corpo nero a diverse temperature è:

𝑢𝜈 =8 𝜋

𝑐3𝑣2 𝑘𝐵 𝑇 kB = costante di Boltzmann

Confronto tra esperimento e trattamento classico della radiazione

La legge di Rayleigh-Jeans è in buon accordo con i dati sperimentale a basse frequenze (alti valori di lunghezza d’onda).Catastrofe ultravioletta! Ad alte frequenze c’è enorme deviazione. Inoltre, per la teoria classica:

න

0

∞

𝑢𝜈 𝑑𝜈 = ∞

Questo risultato è una diretta conseguenza del fatto che secondo la fisica classica l’energia di ciascun oscillatore può assumere ogni valore, variando con continuità

Oscillatore armonico

𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝐹 = −𝑘 𝑥 ⟶ 𝑚𝑎 = −𝑘 𝑥 ⟶ 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑘 𝑥 ⟶ 𝜔2 =

𝑘

𝑚

Energia dell’oscillatore armonico

𝐸 = 𝑇 + 𝑉 𝑐𝑜𝑛 −𝑑𝑉

𝑑𝑥= −𝑘𝑥 ⟶ 𝑉 =

1

2𝑘 𝑥2

𝐸 =1

2𝑚 𝑣2 +

1

2𝑘 𝑥2 =

1

2𝑚

𝑑𝑣

𝑑𝑥

2

+1

2𝑚 𝜔2𝑥2 =

1

2𝑚 𝜔2 𝐴2

Con 𝜔 = 2 𝜋 𝜈

𝐸 = 2 𝑚 𝜋2 𝜈2 𝐴2

Ipotesi di Planck. Quantizzazione dell’energia

Ipotesi di Planck: scaldando il corpo produco un moto oscillatorio degli atomi del metallo che emettono energia

sotto forma di radiazione, MA l’emissione NON è continua ma discreta, quantizzata, avviene per pacchetti di

energia che rispondono alla legge

nhE h = costante di Planck = 6.626 x 10-34 J s

n intero maggiore o uguale a 1

Questo significa che quando l’energia aumenta da un valore permesso ad un altro, aumenta a piccoli salti, o quanti. Questo mi porta a concludere che l’energia di un quanto di radiazione è proporzionale alla frequenza della radiazione, cioè E = h.

Altra intuizione di Planck. Non posso considerare un valore medio dell’energia uguale per ogni oscillatore, devo svincolarmi da una descrizione termodinamica classica. Devo invece calcolare la probabilità , P(E), che un determinato oscillatore armonico abbia una certa energia E (in un intervallo dE). Questa probabilità si può derivare utilizzando la formula di Boltzmann:

𝑃 𝐸 𝑑𝐸 =𝑒−𝑛ℎ𝜈𝑘𝐵𝑇

0∞𝑒−𝑛ℎ𝜈𝑘𝐵𝑇 𝑑𝐸

𝑑𝐸 Introduce la quantizzazione dell’energia nell’oscillatore armonico

Planck oltre ad introdurre la quantizzazione dell’energia, discretizza il sistema dicendo che i livelli energetici sono discreti, non tutti sono possibili ma solo un numero discreto (ma infinito). Il valor medio dell’energia degli oscillatori armonici è:

ത𝐸 =0∞𝑛ℎ𝜈 𝑒

−𝑛ℎ𝜈𝑘𝐵𝑇 𝑑𝐸

0∞𝑒−𝑛ℎ𝜈𝑘𝐵𝑇 𝑑𝐸

=σ𝑛ℎ𝜈𝑒

−𝑛ℎ𝜈𝑘𝐵𝑇 𝑑𝐸

σ𝑒−𝑛ℎ𝜈𝑘𝐵𝑇 𝑑𝐸

Si può dimostrare che (non riportato) l’energia degli oscillatori ha la seguente espressione:

ത𝐸 =𝑛ℎ𝜈

𝑒𝑛ℎ𝜈𝑘𝐵𝑇 − 1

Questa espressione giustifica il fatto che per valori molto elevati di fraquenza l’energia dell’oscillatore tende a zero. Inoltre, la probabilità di avere oscillatori a elevata energia (frequenza) è la seguente:

𝑃 𝜈 = 𝑒−𝑛ℎ𝜈𝑘𝐵𝑇

Maggiore è la frequenza dell’oscillatore (maggiore la sua energia), minore sarà la probailità di avere oscillatori. Ce ne saranno pochi, il che giustifica il fatto di avere densità di radiazione che va a zero aumentando di molto la frequenza. Supero il paradosso della catastrofe dell’ultravioletto. Inoltre, questa espressione mostra come, se alzo la temperatura, aumenta laprobabilità (quindi il numero) di oscillatori ad alta energia. Questo spiega perché aumentando la temperatura il massimo della radiazione si sposta a frequenze maggiori.

L’EFFETTO FOTOELETTRICO

Quando la luce colpisce la superficie di certi metalli vengono emessi elettroni (effetto fotoelettrico)L’emissione degli e- avviene solo quando la frequenza della luce incidente supera un valore soglia (ν0)

• Il numero di e- emessi dipende dall’intensità della luce incidente• L’energia cinetica degli e- emessi dipende dalla frequenza della luce

Non spiegabile dalla teoria classica delle onde

Einstein: la luce (radiazione elm) ha natura particellare (fotoni). Ogni fotone ha un pacchetto di energia E = h

Considero la radiazione luminosa come composta da particelle, chiamati fotoni, di energia quantizzata.

Un fotone con frequenza ed energia h, incidendo su una superficie metallica cede la sua energia ad un elettrone

che acquista energia cinetica. Una certa quantità di tale energia è utilizzata per vincere la forza di attrazione tra

elettrone e metallo mentre il resto dell’energia è trasferito all’elettrone come energia cinetica.

2

02

1mvhh

Energia soglia

In questa ipotesi di Einstein, la luce ha natura particellare. Ma le leggi di Maxwell la descrivevano come un’onda! Parliamo di fotoni, pacchetti di energia a cui però associamo una frequenza- Allora la radiazione luminosa è una particella o un’onda? …

E l’elettrone? È una particella, ma da fenomeni di diffrazione come onde…

Dualismo ONDA-PARTICELLA

Particelle: oggetti completi nella loro essenza. Hanno massa, li descrivo con la fisica meccanica.

Onde: Perturbazioni che partono da una sorgente e si propagano nel tempo e nello spazio, trasportando energia.

Le onde danno figure di interferenza (esperimento della doppia fenditura)

Luce, elettroni… sono particelle o onde? ENTRAMBI! I fenomeni elettromagnetici si comportano sia come onde che come particelle, in base a come li osserviamo. Nell’esperimento di doppia fenditura, la luce si comporta come un’onda, mentre nell’effetto fotoelettrico si comporta come particella.

La radiazione elettromagnetica ha caratteristiche di onda (fisica classica, ottica) ma anche di particella (effetto fotoelettrico). Ha caratteristiche dualistiche.

Anche la materia ha carattere ondulatorio?Nel 1924 Louis de Broglie ipotizzò (nella sua tesi di laurea) che ad ogni particella in movimento fosse associata un’onda secondo l’equazione:

mv

h

p

h Quantità di moto

Come mai non «vedo» gli oggetti macroscopici muoversi come delle onde? Come mai non «vedo» un lunghezza d’onda associata al moto degli oggetti macroscopici?

Calcoliamo la lunghezza d’onda di una pallina di 1 g che si muove alla velocità di 10 m/s (36 Km/h)

𝜆 =6.63𝑥10−34 𝐽 𝑠

1 𝑥 10−3 𝐾𝑔 10 𝑚/𝑠= 6.63𝑥10−30

𝐽 𝑠2

𝐾𝑔 𝑚= 6.63𝑥10−30

𝑁 𝑚 𝑠2

𝐾𝑔 𝑚= 6.63𝑥10−30

𝐾𝑔 𝑚2 𝑠2

𝐾𝑔 𝑚 𝑠2= 6.63𝑥10−30𝑚

La lunghezza d’onda è troppo piccola per poterla misurare! Ma se faccio lo stesso calcolo con un elettrone (massa molto piccola), ad 1/1000 della velocità della luce la lunghezza d’onda associata è dell’ordine dei nm, quindi assolutamente rilevabile!

Principio di Indeterminazione di Heisenberg

È una conseguenza del dualismo onda-particella. Bohr dirà che il dualismo è un principio di

complementarietà (sono concetti complementari). Se è un’onda, non posso determinarne la

posizione. Se è particella, se la colpisco ne altero la velocità. Posizione e quantità di moto sono

legate!

•Principio di indeterminazione di Heisenberg: riguarda l’indeterminazione associata ad alcune

coppie di grandezze (coniugate comunque grande); in particolare, non è possibile determinare

contemporaneamente (con esattezza) sia la posizione sia la quantità di moto dell’elettrone

(grandezze fondamentali per la descrizione dello stato dell’elettrone all’interno di un atomo).

22

hpX

Questa relazione significa che il prodotto delle 2 indeterminazioni non può essere mai inferiore a un certo valore

non possono essere entrambe molto piccole nello stesso tempo, ossia viene posta una limitazione

fondamentale sull’accuratezza della determinazione simultanea della posizione e della quantità di moto di una

particella. .

X = indeterminazione associata alla posizionep = indeterminazione associata alla quantità di moto

Se immagino una particelle come un’onda, allora non posso localizzarla in un punto dello spazio anche se conosco molto bene la quantità di moto. Per cominciare a localizzarla, devo utilizzare dei pacchetti di onde che abbiano lunghezze d’onda diverse, ma in questo modo ho una elevata incertezza sulla quantità di moto perché ogni onda di lunghezza d’onda diversa avrà una quantità di moto diversa.

Perché i fisici classici non si sono mai accorti di questa indeterminazione? Proviamo a fare qualche calcolo.

Consideriamo una pallina di 1 grammo. Voglio determinarne la velocità con una

precisione (v) di ± 1 mm/s

msmKg

sJ

vm

hx 29

33

31

106.2)/102()101(2

10054.1

)(2

smsmKg

sJ

xm

hv /101

)/102()101.9(2

10054.1

)(2

6

1031

31

Elevatissima precisione nella posizione. Ma per 1 elettrone? Supponiamo di voler determinare l’errore che commetto sulla velocità di un elettrone accontentandomi di un errore sulla sua posizione di 200 ppm (circa il diametro di un atomo).

L’errore è molto elevato! Non posso conoscere con precisione comunque elevata la posizione e la velocità di un oggetto molto piccolo!

Il principio di indeterminazione di Heisenberg funziona con le grandezze correlate, come ad esempio energia e tempo

2

tE Per misurare l’energia di un sistema con precisione E, la

misura si deve estendere per un tempo h/E

Come dirà lo stesso Heisenberg: «Mediante la meccanica quantistica viene stabilita definitivamente la non

validità della legge di causalità». Il perché è presto detto. «Nella formulazione netta della legge di causalità:

‘Se conosciamo esattamente il presente, possiamo calcolare il futuro’ è falsa non la conclusione, ma la

premessa. Noi non possiamo in linea di principio conoscere il presente in ogni elemento determinante»

Principio di Indeterminazione di Heisenberg

Analisi di emissione degli spettri di emissione

Se prendo un recipiente di H2 a bassa pressione e ci faccio passare della corrente, eccito il gas e questo libera una radiazione elm.

Se vado a vedere il risultato di questa emissione su di una lastra fotografica, trovo delle righe, chiamate righe spettrali, e non uno spettro continuo.

Com’è possibile? Vuol dire che l’atomo cede/acquista energia in forma discreta.

Se faccio incidere su un prisma la luce solare bianca, ottengo una scomposizione nelle diverse lunghezze d’onda e uno spettrocontinuo dei colori. Quando invece faccio incidere la radiazione emessa da un atomo (molecola) su un prisma, ho invece solo determinate righe, colori, ho uno spettro a righe e non continuo.

Luce bianca Radiazione emessa dall’idrogeno

Righe spettrali

Balmer si accorge che, nel visibile, le frequenze di emissione () delle righe spettrali dell’idrogeno si trovano correlate fra loro secondo la relazione:

𝜈 ∝1

22−

1

𝑛2Con n intero e uguale o superiore a 3

Si trovano poi, nelle zone spettrali diverse, altre righe (es. righe di Lyman). Rydberg trova che per H si possono prevedere tutte le righe attraverso l’espressione:

2

2

2

1

11

nnR

Con n1 = 1, 2, 3, ….

N2 = n1+1, n1+2, …

𝜈 = 𝑅𝐻1

𝑛12 −

1

𝑛22

Con RH costante di Rydbergn1 = 1, 2, 3, …n2 = n1+1, n1+2, n1+3…

Come mai gli spettri atomici sono a righe? Per darne una spiegazione interviene Bohr con il suo modello atomico planetario che introduce per la prima volta il concetto di quantizzazione dell’energia e della materia.

Modello atomico di Bohr

Modello atomico di Bohr

Tre assunzioni:1) Gli elettroni ruotano attorno al nucleo secondo orbite circolari ognuna con il proprio raggio (r). Il numero di orbite

disponibili sono infinite ma discretizzate. Non tutti i valori di raggio dell’orbita sono possibili. 2) Finché un elettrone rimane nella propria orbita, non emette né assorbe energia.3) Il momento angolare (m v r) dell’elettrone nell’orbita è quantizzato, dipende da un numero quantico che indico con n e

che può assumere solo valori interi.

𝑚 𝑣 𝑟 =𝑛 ℎ

2𝜋

L’elettrone (carica elementare e) ha una attrazione elettrostatica verso il nucleo che ha numero atomico Z. Per evitare di collassare (per lo stato stazionario), la forza elettrostatica deve essere bilanciata da quella centrifuga.

𝑍 𝑒2

4 𝜋 𝜀0 𝑟2 =

𝑚 𝑣2

𝑟

Combinandola con la precedente si ha che:

𝑚2𝑣2𝑟2 =𝑛2ℎ2

4𝜋2⟶𝑚𝑣2𝑟2 =

𝑛2ℎ2

4𝜋2𝑚𝑟 =

𝑚𝑣2𝑟2 4 𝜋𝜀0𝑍𝑒2

=𝑛2ℎ2𝜀0𝜋 𝑚 𝑍𝑒2

𝑟 =𝑛2ℎ2𝜀0𝜋 𝑚 𝑍𝑒2

Il raggio dell’orbita dell’elettrone è quantizzato secondo n. Non tutti i valori del raggio sono possibili ma solo quelli che prevedono un numero n uguale a 1, 2, 3, …

Pe l’atomo di idrogeno, Z = 1. Il raggio della prima orbita diventa:

𝑟0 =ℎ2𝜀0𝜋 𝑚 𝑒2

Raggio di Bohr

Posso calcolare l’energia delle orbite dell’atomo di Bohr a partire dall’energia cinetica e dall’energia potenziale.

𝐸 = 𝑇 + 𝑉 =1

2𝑚 𝑣2 −

𝑍 𝑒2

4 𝜋𝜀0𝑟=

1

2

𝑍 𝑒2

4 𝜋𝜀0𝑟−

𝑍 𝑒2

4 𝜋𝜀0𝑟= −

1

2

𝑍 𝑒2

4 𝜋𝜀0𝑟introducendo 𝑟 =

𝑛2ℎ2𝜀0𝜋 𝑚 𝑍𝑒2

𝐸 = −1

8

𝑚 𝑍2 𝑒4

𝑛2 ℎ2 𝜀02

Energia delle orbite elettroniche dell’atomo di Bohr. E’ quatizzata, dipende dal numero quantico n intero non nullo

Definendo 𝐸0 =𝑚 𝑒4

8 ℎ2 𝜀02

𝐸 = −𝑍2 𝐸0𝑛2

Nell’atomo di Bohr, le orbite e la loro energia sono quantizzate. Se vediamo l’energia più bassa possibile per l’atomo di idrogeno (n=1) questa sarà:

𝐸1 = − 𝐸0 -13 eV 1 ev/particella = 96.5 kJ/mol

Lo stato a energia più basso lo chiamo stato fondamentale. Gli stati a energia più alta li chiamo stati eccitati.Maggiore è il valore di n, meno negativa è l’energia dell’orbita, è minore l’attrazione dell’elettrone da parte del nucleo. Quando n = , E = 0. Cioè non c’è più guadagno energetico derivante dall’interazione elettrostatica. Abbiamo tolto l’elettrone dall’atomo di idrogeno, abbiamo ionizzato l’atomo di idrogeno.

𝐸∞ − 𝐸1 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑖 𝑖𝑜𝑛𝑖𝑧𝑧𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒

Andamento dell’energia per le orbite dell’atomo di idrogeno in funzione del numero quantico n.Si può facilmente dimostrare che all’aumentare di n, la differenza di energia tra due livelli successivi diminuisce.

L’elettrone può passare dallo stato fondamentale (E1) ad uno eccitato (E2) se e soltanto se assorbe una radiazione che ha energia esattamente uguale alla differenza tra questi due stati.

𝐸2 − 𝐸1 = ℎ𝜈

Solo una precisa frequenza della radiazione determina l’assorbimento di energia

L’elettrone dall’stato eccitato (E2) può ritornare a quello fondamentale (E1) emettendo una radiazione (fotone) di energia pari alla differenza di energia tra i due stati.

𝐸1 − 𝐸2 = ℎ𝜈

Nell’emissione, solo una determinata lunghezza d’onda viene emessa. Lo spettro di emissione non può quindi essere continuo!

L’atomo di Bohr spiega molto bene le righe spettrali dell’atomo di idrogeno. Ma già con l’elio i conti non tornano. Inoltre ci sono piccole differenze e pluralità di picchi (nella struttura fine) che non si spiegano.

Il concetto di quantizzazione di energia e materia, il dualismo onda-particella, il principio di indeterminazione segnano la fine della fisica classica e della meccanica classica. Si deve creare una nuova fisica ed una nuova meccanica, la meccanica quantistica, che tenga conto della quantizzazione dell’energia e del dualismo.

La meccanica quantistica si fonda su due approcci che sono poi stati riunificati e formalizzati da Dirac. La meccanica matricialedi Heisenberg e la meccanica ondulatoria di Schrodinger. Entrambe si basano su un modello matematico per descrivere i sistemi.

Schrodinger e la funzione d’onda

Parlando di elettrone, non si può parlare di traiettoria, direzione, orbita ecc..

Lui lo fa introducendo la funzione d’onda (questa porterà poi al concetto di orbitale)

È una funzione matematica che mi descrive lo stato del mio sistema. rappresenta, descrive la mia particella (es 1 elettrone, o più elettroni…). Definisce lo stato del sistema.

Equazione di Schroedinger

EH ˆ È equazione di un’onda stazionaria, che varia nel tempo ma mantiene la sua energia

𝐻 viene chiamato operatore hamiltoniano ed è definito come somma dell’operatore energia cinetica e energia

potenziale

𝐻 = 𝑇 + 𝑉Il termine relativo all’energia cinetica può essere definito facilmente, mentre per il termine dell’energia potenziale serve conoscere nel dettagli il sistema che si sta descrivendo.

𝐻 = −ℎ2

8𝜋2𝑚𝛻2 + 𝑉

𝛻2 =𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2

Se riesco a descrivere il mio sistema con una funzione d’onda , allora applicando l’equazione di Schrodinger ottengo l’energia associata alla funzione d’onda stessa.

La funzione d’onda non ha significato fisico, è solo un’onda matematica. Al quadrato della funzione d’onda verrà dato il significato di densità di probabilità.

La funzione d’onda deve avere le caratteristiche di onda stazionaria (non c’è propagazione lungo una certa direzione nello spazio, ma solo un’oscillazione nel tempo, è un’onda continua, derivata seconda non nulla).

Per comprendere come funziona l’equazione di Schrodinger, proviamo a descrivere il caso di una particella di massa m in una scatola monodimensionale di lunghezza L sull’asse x.

Supponiamo che l’energia potenziale sia 0 all’interno della scatola mentre è infinita sulla parete della scatola. Questo significa praticamente che la particella non può uscire.

Devo descrivere il mio sistema utilizzando un’onda stazionaria che chiamo funzione d’onda, . Le condizioni al contorno che deve soddisfare la mia onda sono le seguenti:(x=0) = (x=L) =0In questo modo lìonda è stazionaria e non si propaga (non da luogo a interferenze distruttive). Un’onda stazionaria che potrei usare per descrivere il mio sistema è la seguente:

𝜓 𝑥 = 𝐴 sin𝑛𝜋𝑥

𝐿

Utilizzo questa funzione d’onda e applico l’equazione di Schrodinger. Dal momento che, per definizione della scatola, l’energia potenziale all’interno della scatola è nulla e la scatola è monodimensionale, allora l’hamiltoniano diventa:

𝐻 = −ℎ2

8𝜋2𝑚

𝑑2

𝑑𝑥2

L’equazione di Schrodinger diventa quindi:

−ℎ2

8𝜋2𝑚

𝑑2

𝑑𝑥2𝜓 = 𝐸𝜓

Introduco un numero quantico n nella definizione della funzione d’onda. Con n intero da 1 in su, allora tutte le funzioni sono onde stazionarie.

A = costante (non definiamo)

Facciamo prima le due derivate della funzione d’onda

𝑑

𝑑𝑥𝜓 =

𝑑

𝑑𝑥𝐴 sin

𝑛𝜋𝑥

𝐿=

𝑛𝜋

𝐿𝐴 cos

𝑛𝜋𝑥

𝐿

𝑑2

𝑑𝑥2𝜓 =

𝑑

𝑑𝑥

𝑛𝜋

𝐿𝐴 sin

𝑛𝜋𝑥

𝐿= −

𝑛2𝜋2

𝐿2𝐴 sin

𝑛𝜋𝑥

𝐿= −

𝑛2𝜋2

𝐿2𝜓

L’equazione di Schrodinger diventa quindi:

ℎ2𝑛2

8𝑚𝐿2𝜓 = 𝐸 𝜓

In questo modo trovo l’espressione per energia associata ad ogni funzione d’onda per qualque valore di n.

𝜓1 = 𝐴 sin𝜋𝑥

𝐿

𝜓2 = 𝐴 sin2𝜋𝑥

𝐿

𝜓3 = 𝐴 sin3𝜋𝑥

𝐿

n=1

n=2

n=3

𝐸1 =ℎ2

8𝑚𝐿2

𝐸2 =4ℎ2

8𝑚𝐿2

𝐸3 =9ℎ2

8𝑚𝐿2

L’energia associata alle diverse funzioni d’onda è quantizzata! Maggiore è n maggiore è l’energia associata all’onda stazionaria.

In una formalmente più corretta dell’equazione di Schrodinger scriviamo che:

−ℎ2

8𝜋2𝑚

𝑑2

𝑑𝑥2𝜓 = 𝐸𝜓 ⟹

𝑑2

𝑑𝑥2𝜓 +

8𝜋2𝑚𝐸

ℎ2𝜓 = 0 ⟹

𝑑2

𝑑𝑥2𝜓 + 𝑘2𝜓 = 0 con 𝑘 =

28𝜋2𝑚𝐸

ℎ

L’ultima espressione riportata è equivalente a quella del moto armonico. La soluzione dell’equazione differenziale è la seguente:

𝜓 𝑥 = 𝑐1𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑖𝑘𝑥

Usando le formule di Eulero, la stessa soluzione può essere scritta come:

𝜓 𝑥 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥

Affinché si realizzino le condizioni al contorno, cioè (0) = 0 e (L)=0, allora B deve essere 0. Quindi la soluzione dell’equazione di Schrodinger si riduce a

𝜓 𝑥 = 𝐴 sin 𝑘𝑥

Sempre per le condizioni al contorno, si deve avere che quando x è uguale a L, larghezza della scatola:

𝜓 𝐿 = 𝐴 sin 𝑘𝐿 = 0

Data la natura della funzione trigonometrica, questa condizione si realizza quando il prodotto kL è uguale a un numero intero, n, moltiplicato per . Questo numero n è un numero quantico che vale 1, 2, 3…

Quindi:

𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 ⟹ 𝑘 =𝑛𝜋

𝐿

In questo modo la funzione d’onda che è soluzione dell’equazione di Schrodinger è:

𝜓 𝑥 = 𝐴 sin𝑛𝜋𝑥

𝐿

Il valore di A si può trovare normalizzando la funzione a 1, cioè:

න

0

𝐿

𝜓2 𝑥 𝑑𝑥 = 1 ⟹ 𝐴 =2 2

𝐿

Combinando la definizione di k definita nella slide precedente e la relazione con , possiamo trovare l’espressione dell’energia associata alla funzione d’onda come:

𝐸 =𝑛2ℎ2

8𝑚𝐿2

Riprendiamo le funzioni d’onda della particella nella scatola e le energie associate.

𝜓1 = 𝐴 sin𝜋𝑥

𝐿

𝜓2 = 𝐴 sin2𝜋𝑥

𝐿

𝜓3 = 𝐴 sin3𝜋𝑥

𝐿

In questo caso, c’è un valore di x diverso da 0 o L in cui la funzione vale 0. la funzione ha un nodo

La funzione ha 2 nodi

L’energia delle varie funzioni d’onda è quantizzata. Vediamo l’energia del I livello, con n = 1, livello energetico più basso.

𝐸1 =ℎ2

8𝑚𝐿2

L’energia più bassa NON E’ zero! Questa è quella con n = 1, energia più bassa è detta energia al punto zero, stato fondamentale. Cioè la particella non è mai ferma. Questo è in accordo con Heisenberg. Se la posizione non è completamente indefinita/incerta, allora avrò errore sulla quantità di moto e quindi non posso affermare che sia ferma. Perché nel mondo macroscopico se metto una particella nella scatola non la vedo muoversi? Perché nel mondo macro la massa delle particelle m è alta e la scatola ha dimensione L non piccolissima! Con un elettrone (m molto piccola) in un scatola della dimensione dell’atomo allora ho l’esistenza di livelli energetici quantizzati!

La differenza energetica tra 2 stati è:

2

2

2

22

2

22

18

12

88

1

mL

hn

mL

hn

mL

hnEE nn

Questa differenza di energia diventa zero se L è grande, se m è grande. In questo

modo appare come se l’energia fosse continua, non quantizzata.

La funzione d’onda non ha significato fisico. L’interpretazione di Copenaghen, sostenuta da Bohr, Heisenberg, Born, sostiene che il quadrato della funzione d’onda ha il significato di densità di probabilità, cioè rappresenta, per unità di volume, la probabilità di trovare un elettrone in una determinata posizione.

Per n = 1, il quadrato della funzione d’onda ha il suo valore massimo al centro, per x = 0.5L. Quindi è più probabile trovare li l’elettrone. Ma non è l’unico posto!

Per n = 2 non sarà mai possibile trovare l’elettrone a x = 0.5L!

Con la meccanica quantistica si passa ad una definizione probabilistica di eventi e non deterministica.

Passiamo all’atomo di idrogeno. Lo possiamo immaginare come una scatola, uno spazio confinato dove io metto una

particella, l’elettrone.

In questo caso devo considerare, nella descrizione dell’operatore hamiltoniano, anche il termine del potenziale.

r

e

r

eexV

0

2

0 44

))(()(

È potenziale attrattivo

Atomo di Idrogeno - Schrodinger

𝐻 = −ℎ2

8𝜋2𝑚𝛻2 + 𝑉

L’espressione dell’hamiltoniano diventa quindi

Per descrivere l’elettrone nell’atomo di idrogeno mi conviene passare da coordinare cartesiane a coordinate sferiche (al centro degli assi c’è il protone)

x

y

z

x

y

z

r

r = raggio vettore

= colatitudine

= longitudine

Coord. cartesiane Coord. polari

In questo caso, l’esspresione dell’operatore Laplaciano deve essere modificata da

a

𝛻2 =𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2

𝛻2 =1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟𝑟2

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2 𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2 +1

𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕

𝜕𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕

𝜕𝜃

Definendo come funzione d’onda che descrive il mio sistema (atomo d’idrogeno). L’equazione di Schrodinger in coordinate polari diventa:

−ℎ2

8𝜋2𝑚

1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟𝑟2𝜕𝜓

𝜕𝑟+

1

𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝜕2𝜓

𝜕𝜙2 +1

𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕

𝜕𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕𝜓

𝜕𝜃−

𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙 = 𝐸 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙

La soluzione è complessa ma il risultato semplice. Trovo che i livelli energetici associati alle (infinite) funzioni d’onda hanno questa espressione:

2n

cEn

Questo spiega in maniera ideale lo spettro a righe dell’idrogeno. L’H ha livelli

energetici quantizzati

Anche in questo caso i livelli energetici sono quantizzati. Le energie sono negative perché c’è componente attrattiva elettrostatica, il valore negativo mi giustifica l’esistenza dell’atomo di idrogeno (c’è guadagno energetico) Per n = 1, E = -C, il valore più basso possibile, il più negativo, il più favorevole. E’ l’energia dello stato fondamentale.

En

-

0

n =1 stato fondamentale

n =2

n =3

n =4n =5n =6

n =

Livelli energetici dell’atomo di idrogeno

Quando n = , l’energia è 0. Non ho più guadagno energetico, ho allontanato l’elettrone dal protone, ho ionizzato l’atomo. La differenza di energia tra n = e n = 1 è l’energia di ionizzazione.

n = numero quantico principale, definisce l’energia associata alla funzione d’onda nell’atomo d’idrogeno

Se fornisco energia ad un atomo di idrogeno, eccito l’elettrone a livelli energetici superiori; in seguito

l’elettrone perde energia ricadendo a livelli più bassi più bassi emettendo un fotone ad una determinata

frequenza.

Il passaggio tra uno stato iniziale i e uno stato finale f è caratterizzato dall’assorbimento di un’energia

secondo la seguente formula

Questi approccio permette di spiegare lo spettro a righe dell’idrogeno, dove le righe non sono equi spaziate e si

trovano ad un determinato valore di frequenza

if EEhE

Per l’atomo di idrogeno, Schrodinger trova (infinite) funzioni d’onda matematiche che sono soluzioni dell’equazione di Schrodinger. Queste funzioni d’onda le chiama orbitali atomici, . Sono funzioni matematiche, sarà interessante valutare il quadrato dell’a funzione d’onda, 2, che rappresenta una densità di probabilità.

Per risolvere il sistema Schrodinger scompone la funzione d’onda in una parte radiale, che dipende solo dal vettore r, e una parte angolare, che dipende dagli angoli , .

),()(),,( YrRr

Funzione radiale

Funzione d’onda angolare

Per risolvere il sistema, si introducono nella funzione d’onda matematica 3 numeri quantici (verrà poi aggiunto un quarto numero quantico, il numero quantico di spin):

n: numero quantico principale, nell’atomo di idrogeno definisce l’energia degli orbitali (orbitali con lo stesso valore di n hanno la stessa energia, appartengono al medesimo stato).l: numero quantico del momento angolare, definisce i sottostati. l va da 0 a n-1 per interi.ml: numero quantico magnetico. Può assumere 2l+1 valori distinti. Distingue i diversi orbitali nel medesimo sottostato. –l ml l sempre per interi.

Ogni combinazione dei 3 numeri quantici specifica un orbitale. Ogni orbitale può descrivere al massimo 2 elettroni che devonoavere numero quantico di spin, ms, diverso. ms = ½.

La tipologia di orbitale è definita dal numero quantico del momento angolare, l.

l = 0 orbitali di tipo sl = 1 orbitali di tipo pl = 2 orbitali di tipo dl = 3 orbitali di tipo fl = 4 orbitali di tipo g…

Stato fondamentale: è la funzione d’onda, l’orbitale, specificato dai seguenti numeri quantici n = 1, l = 0, ml = 0.Si tratta dell’orbitale 1s

Quando l = 0, ho sempre orbitali di tipo s. Sono orbitali a simmetria sferica, nell’orbitale non c’è dipendenza angolare (la funzione angolare non dipende da e , è una costante). Ho solo componente radiale R(r).

Vediamo l’orbitale 1s, cioè la funzione matematica che ha n=1, l=0, ml=0. La funzione ha questa forma:

0)(a

r

CerR

Come è fatta la funzione?

R(r)

R2(r)

න𝜓2 𝑟, 𝜃, 𝜙 𝑑𝑉 = 0.9

Data la simmetria sferica, la superficie di contorno dell’orbitale 1s sarà una sfera.

Dato l’orbitale 1s e considerato il suo quadrato, dove è più probabile trovare l’elettrone? La risposta sembrerebbe a r = 0 ma non è così! Perché 2 è una densità di probabilità, per ottenere la probabilità devo moltiplicare per l’elemento unitario del volume.

𝑃 = 𝜓2 4π𝑟2𝑑𝑟 Per r = 0 la probabilità è 0

Il massimo della probabilità corrisponde al raggio della prima orbita di Bohr, a0.

Passiamo agli orbitali con l = 0 (sempre di tipo s) ma con n superiore a 1. L’orbitale 2s è descritto dalla seguente funzione

𝑅 𝑟 ∝ 𝐶 1 −𝑟

𝑎0𝑒−

𝑟2𝑎0 Il segno della funzione dipende da r. C’è un valore di r per cui R(r) è = 0. la funzione ha

un nodo. L’orbitale 3s ha 2 nodi

Probabilità

Maggiore è il valore di n, più lontano, in media, si trova il picco di probabilità dove si trova l’elettrone. E’ mediamente più lontano.

Tutti gli orbitali con l = 0 (di tipo s) sono a simmetria sferica

Vediamo gli orbitali p

Presentano una componente radiale ed una angolare. Sono caratterizzati dal numero quantico l=1, quindi hanno 3 valori ml, sono tre orbitali degeneri, descrivono stati diversi ma alla medesima energia.

La funzione d’onda relativa all’orbitale di tipo p presenta una parte angolare che conferisce un segno alla funzione stessa. Ovviamente, quando considero il quadrato della funzione d’onda tutto diventa positivo.

Funzione angolare

2p 22p

Funzione radiale

Elettroni in 2s hanno maggior capacità penetrativa, hanno una probabilità di stare più vicino al nucleo.

Pro

bab

ilità

rad

iale

I tre orbitali degeneri p hanno forma di «fiocco» e sono orientati lungo le direzioni degli assi cartesiani. Le superfici di contorno sono le seguenti:

Ciascun orbitale di tipo p ha un piano nodale. La densità di probabilità sul piano e nulla.

Superficie di contorno degli orbitali di tipo d (l = 2).

Con l = 2, ml può assumere i seguenti valori: -2, -1, 0, 1, 2Ci sono 5 orbitali degeneri (stessa energia) di tipo d.

Posso ora utilizzare questi concetti per descrivere l’atomo di idrogeno. Consideriamo lo stato fondamentale. Ho 1 solo elettrone. Questo si va a posizionare nell’orbitale a energia più bassa, quindi nell’orbitale caratterizzato da n = 1, l = 0 e ml = 0. Dico che l’elettrone si trova nell’orbitale 1s.

Se assorbe energia si può trovare in una situazione descritta da n = 2 e, ad esempio, da l=0, allora occupa l’orbitale 2s. E così via…

Per l’atomo di idrogeno, l’energia degli orbitali è determinata solo dal numero n.

Lo stato dell’elettrone nell’atomo di idrogeno è definito dai quattro numeri quantici n, l, ml, ms. A mano a mano che aumenta il valore di n, aumenta anche il volume dell’atomo.

Atomi polielettronici

Provo ad utilizzare l’equazione di Schrodinger per atomi polielettronici. Se considero l’elio, ho due elettroni. Questo complica molto il termine dell’energia potenziale coulombiana perché devo considerare la repulsione tra gli elettroni ed anche la attrazione di ciascuno degli elettroni per il nucleo. Il termine potenziale diventa così:

𝑉 = −2𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟1−

2𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟2+

𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟12r1 è la distanza tra il nucleo e il primo elettrone, r2 è la distanza tra il nucleo e il secondo elettrone, r12 è la distanza tra il primo e il secondo elettrone.

Per l’atomo di elio devo trovare una funzione d’onda che mi descriva contemporaneamente tutti e due gli elettroni, cioè (1,2). Tuttavia il problema diventa troppo complesso per poter risolvere analiticamente l’equazione!

Per gli atomi polielettronici faccio una approssimazione. Descrivo la funzione d’onda dell’atomo polielettronico come una combinazione di orbitali idrogenoidi, uguali a quelli dell’idrogeno. Quindi per un atomo polielettronico considero che:

𝜓 1,2,3, … , 𝑛 = 𝜓𝐻 1 𝜓𝐻 2 𝜓𝐻 3 …𝜓𝐻 𝑛H = orbitali idrogenoidi

Questa è una approssimazione, ma mi permette di valutare la disposizione degli elettroni attorno al

nucleo. Posso cioè definire la configurazione elettronica di ciascun atomo. Questa consiste nello

specificare per ogni elettrone lo stato orbitalico in cui si trova, cioè nel descrivere lo stato di ogni

elettrone.

Gli orbitali monoelettronici che si ricavano sono simili a quelli dell’idrogeno, ma in questo caso l’energia

dipende sia da n che da l.

Questo è una conseguenza dell’effetto schermo. In un atomo polielettronico, ogni elettrone è attratto

dal nucleo, ma allo stesso tempo respinto dagli altri elettroni. La conseguenza è che si lega al nucleo

meno fortemente di quanto farebbe se non ci fossero gli altri elettroni. L’elettrone è schermato! La carica

nucleare effettiva che ogni elettrone sente è sempre minore di quella vera.

Questo ci permette di definire la configurazione elettronica degli atomi multielettronici.

La carica nucleare efficace varia al variare del numero quantico angolare. La capacità penetrativa degli elettroni verso

in nucleo aumenta al diminuire di l, fissato n. Siccome un elettrone descritto da una funzione d’onda di tipo s riesce ad

avvicinarsi al nucleo più di un elettrone di tipo p avente lo stesso valore di n, l’effetto schermo sull’elettrone s sarà

minore di quello sull’elettrone p. Cioè la carica nucleare efficace percepita dall’elettrone s sarà maggiore di quella

percepita dall’elettrone p.

A parità di n, l’effetto schermo aumenta lungo la serie s<p<d<f, quindi l’energia ha l’andamento opposto.

Adesso possiamo descrivere la struttura atomica degli atomi scrivendone la loro configurazione elettronica

Principio di esclusione di Pauli

Non possono occupare un orbitale più di due elettroni, e in tal caso i loro spin devono essere opposti.

Cioè, in un atomo non possono esistere due elettroni caratterizzati dagli stessi quattro numeri quantici.

Alcune configurazioni

212 sHe

Con il numero quantico n = 1 non posso avere altri

elettroni

Stato completo, non sono più disponibili orbitali

con lo stesso n

12 213 ssLi

22

4 21 ssBe Con n = 2 ho ancora orbitali a disposizione

122

5 221 pssB

Principio di Aufbau, si riempiono gli orbitali da quello ad energia più basso.

222

6 221 pssC

Regola di Hund (massima molteplicità). Se si dispone di più di un orbitale in un

sottostrato, gli elettroni vanno disposti con spin paralleli in orbitali distinti.

Lo strato chiuso (o guscio chiuso) per n = 2 si ha con 10 elettroni (Ne)

Se facciamo il potassio (Z = 19), allora il 4s viene prima del 3d, questa è una

conseguenza dell’effetto schermo.

Gli elettroni contenuti nel guscio elettronico più esterno sono chiamati elettroni di

valenza.

Gli elettroni che si trovano nei gusci sottostanti a quello di valenza (nei gusci chiusi)

sono chiamati elettroni interni.

Gli elettroni di valenza sono quelli a più alta energia e sono quelli che entrano in

gioco durante le reazioni chimiche.

Questo è l’ordine di riempimento degli orbitale a energia crescente.

Quando voglio descrivere degli ioni, tolgo o aggiungo elettroni a seconda della carica nella dell’atomo. Per gli atomi con orbitali d occupati, quando devo togliere gli elettroni li tolgo prima dagli orbitali di tipo s con n maggiore.

Esempi di configurazione elettronica:

Ca (20 e), Ca2+ (18 e), Cr (24), Cu (29)

Tutte queste informazioni sono contenute nella organizzazione della tavola periodica.

Raggio atomico.

La definizione non è banale, visto che le funzioni d’onda non hanno confini, separazioni

ben nette. Tuttavia nelle molecole biatomiche omonucleari (H2, Br2) o nei solidi

possiamo vedere che i centri degli atomi si trovano a distanze ben definite.

Il raggio atomico è la metà della distanza tra i due nuclei di atomi contigui.

2r

Proprietà periodiche del raggio atomico.

Raggio ionico.

È il raggio dell’atomo nella sua forma ionica. Si deriva dalla distanza atomica tra ioni

contigui in solido ionico.

Ione carico + = catione

Ione carico - = anione

In pratica, si assume che il raggio dello ione ossido (O2-) sia 140 pm e si calcola quello

degli altri.

Se uno ione che diventa catione perde 1 elettrone, il raggio ionico sarà minore rispetto a

quello dell’atomo non ionizato.

Se uno ione che diventa anione acquista 1 elettrone, il raggio ionico sarà maggiore di

quello dell’atomo non ionizato.

Energia di ionizzazione

E’ l’energia necessaria per distaccare un elettrone da un atomo

Affinità elettronica

E’ l’energia che si libera nel momento in cui un elettrone si lega ad un atomo in fase

gassosa