Il Predimensionamento Delle Strutture Prof.bruno Zan

I.U.A.V.

Corso di laurea magistrale in architettura Architettura costruzione e conservazione

LABORATORIO INTEGRATO

MECCANICA STRUTTURALE prof. Bruno Zan

IL PREDIMENSIONAMENTO DELLE STRUTTURE

IN ACCIAIO IN LEGNO IN MURATURA IN CALCESTRUZZO ARMATO NORMALE

I.U.A.V. Prof. Bruno Zan Rev.5 –novembre 2012

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1. PREMESSA Di seguito si riportano le principali notazioni per consentire agli studenti il predimensionamento, per le sollecitazioni elementari, degli elementi strutturali in acciaio, in legno, in muratura e in cemento armato normale. Per una più completa trattazione si rimanda alla bibliografia specifica. La verifica delle strutture, secondo le norme italiane ed europee, è eseguita utilizzando il modello agli Stati Limite definito dalla normativa D.M. 14.01.2008 che verifica la sicurezza e le prestazioni di un’opera in relazione agli stati limite che si possono verificare durante la vita nominale della costruzione. Lo stato limite è definito come la condizione superata la quale l’opera non soddisfa più le esigenze per la quale è stata progettata. Le strutture, nei riguardi della stabilità, devono possedere i seguenti requisiti:

- sicurezza nei confronti di stati limite ultimi (SLU): capacità di evitare crolli, perdite di equilibrio, dissesti gravi, totali o parziali che possano compromettere l’incolumità delle persone, ovvero mettere fuori servizio l’opera;

- sicurezza nei confronti di stati limite di esercizio (SLE): capacità di garantire le prestazioni previste per le condizioni normali di esercizio;

- sicurezza nei confronti di azioni eccezionali: capacità di evitare danni spropositati nel caso di incendio, esplosioni, urti.

Nel modello agli Stati Limite la sicurezza della struttura viene suddivisa nei i vari aspetti che governano il procedimento di verifica. La sicurezza della costruzione è definita da coefficienti di sicurezza parziali che interpretano le varie condizioni di carico, le diverse tensioni dei materiali, i modelli di calcolo e di verifica utilizzati. Per le costruzioni le verifiche finalizzate al predimensionamento delle strutture possono essere vantaggiosamente condotte, nel campo di comportamento elastico-lineare dei materiali, mediante il modello alle tensioni ammissibili che è definito dalla normativa correlata al D.M. 14.02.1992. Nel modello alle tensioni ammissibili la sicurezza della struttura è interpretata globalmente mediante il valore cautelativo fissato per la tensione ammissibile del materiale. Tale tensione è rappresentata, per ciascun materiale strutturale, dalla tensione massima che il materiale può raggiungere durante la fase dell’esercizio. La tensione ammissibile è sempre, per ogni materiale, inferiore al valore di comportamento elastico lineare del materiale stesso. La sua determinazione avviene applicando un coefficiente di sicurezza globale alla tensione di riferimento; tale coefficiente è comprensivo dei coefficienti di sicurezza per i carichi, per il materiale e per il modello di calcolo adottato. Secondo questo modello la struttura è verificata quando per ogni sezione della struttura, soggetta ai carichi in esercizio, la tensione massima, calcolata secondo il modello elastico-lineare, risulta minore della tensione ammissibile. Poiché il modello alle tensioni ammissibili fa riferimento al modello elatico-lineare, esso rappresenta un valido strumento per il predimensionamento e la prima verifica delle strutture, lasciando però la completa verifica strutturale al metodo degli stati limite che è in grado di interpretare gli aspetti comportamentali delle strutture e di indagare in modo più efficace i livelli di sicurezza raggiunti. Con il modello agli stati limite l’approccio alla progettazione strutturale diventa di tipo prestazionale e non più prescrittivo e l’analisi del comportamento della struttura viene spinto fino alla sua condizione ultima d’impiego indagando gli aspetti legati alla duttilità locale e d’insieme. Per una completa verifica del predimensionamento delle strutture inflesse è necessario affiancare alla verifica a resistenza del materiale anche la verifica della compatibilità delle deformazioni massime in esercizio, facendo ancora riferimento al comportamento elastico-lineare dei materiali.


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2. LA STRUTTURA

La struttura è l’organismo costruttivo che ha il compito di sostenere i carichi e di trasferirli a terra attraverso i vari meccanismi di resistenza del materiale di cui è composta. Una struttura per poter essere valutata e risolta viene rappresentata dallo schema statico che definisce la geometria generale, la geometria delle sezioni, le caratteristiche del materiale, le condizioni di vincolo di alcuni nodi e le condizioni di carico che la struttura stessa deve sopportare. Risolvere una struttura significa trovare per lo schema statico che la rappresenta il sistema di forze reattive (le reazioni vincolari), l’andamento delle sollecitazioni in ciascuna sezione (diagrammi di Momento, Taglio e Sforzo Normale) e le deformazioni in punti significativi (spostamenti orizzontale e verticali, rotazioni). La struttura nello svolgere il suo compito di sostegno dei carichi non deve deformasi eccessivamente e deve mantenere un certo grado di sicurezza nei riguardi del crollo. Per rispondere alle funzioni di cui sopra la struttura deve soddisfare tre condizioni base:

EQUILIBRIO RESISTENZA

DEFORMABILITA’ L’EQUILIBRIO definisce la forma della struttura, il modo in cui è vincolata a terra e i carichi che essa deve sostenere, in pratica l’EQUILIBRIO è definito e definisce ciò che comunemente viene chiamato SCHEMA STATICO. La RESISTENZA rappresenta la capacità della struttura, configurata secondo l’equilibrio, cioè secondo lo schema statico definito, di sostenere i carichi con i diversi comportamenti virtuosi dei materiali scelti per realizzarla. La RESISTENZA è definita dai modi di resistere dei materiali alle sollecitazioni indotte nello schema statico dai carichi da sostenere. La DEFORMABILITA’ è la capacità di sostenere i carichi senza eccessive deformazioni che potrebbero rendere la struttura non utilizzabile per gli scopi e gli usi per cui è stata realizzata.

2.1 L’ EQUILIBRIO L’EQUILIBRIO definisce la forma della struttura, il modo in cui è vincolata a terra e i carichi che deve sostenere, in pratica l’EQUILIBRIO è definito e definisce ciò che viene dettto SCHEMA STATICO. La soluzione della struttura è in primo luogo la soluzione dello Schema Statico, cioè la determinazione del sistema di forze passive, rappresentato dalle reazioni vincolari, che equilibria il sistema di forze attive, rappresentato dai carichi e dalle azioni esterne agenti sulla struttura. Nei riguardi dell’equilibrio le strutture possono essere ISOSTATICHE o IPERSTATICHE, in entrambi i casi il sistema di forze attivo è equilibrato dal sistema di forze passivo. Se la struttura è ISOSTATICA il sistema di forze passivo viene definito dalle sole condizioni di equilibrio con il sistema di forze attivo, se invece, la struttura è IPERSTATICA la determinazione del sistema di forze passivo avviene anche con le condizioni di congruenza della struttura, cioè con compatibilità delle deformazioni con lo schema statico.


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Nell’ambito delle costruzioni le strutture a telaio o a trave continua rappresentano le più diffuse strutture IPERSTATICHE. Per esse la soluzione può avvenire utilizzando il metodo degli spostamenti e, in particolare, il più semplice metodo delle rotazioni, che si può utilizzare quando i nodi della struttura (sezioni d’incontro tra asta e asta) si possono considerare fissi e le sezioni dei nodi possono solo ruotare. L’ipotesi di nodi fissi nelle strutture a telaio e a trave è nella pratica molto utilizzata poiché, soprattutto per le strutture in acciaio, per convenienza costruttiva ed economica, si cerca sempre di utilizzare sistemi di controventamento per bloccare gli spostamenti dei nodi. In questo caso, cioè quando sono presenti i sistemi di controventamento, le strutture si possono risolvere utilizzando il metodo delle rotazioni. Il metodo delle rotazioni individua per una struttura un sistema di equazioni di equilibrio pari al numero dei nodi che possono ruotare (ad esclusione dei nodi di estremità), quindi, la soluzione è ricercata con gli strumenti matematici necessari a risolvere tale sistema di equazioni lineari. I programmi di calcolo automatico per risolvere le strutture funzionano proprio in questo modo: scrivono il sistema di equazioni lineari e attraverso un solutore matematico (ad esempio il sistema di Cholescki) individuano la soluzione del sistema. Una applicazione molto semplice del metodo delle rotazioni è rappresentata dal metodo di CROSS per il quale si individua una procedura iterativa che conduce alla soluzione esatta. Per una più completa trattazione si rimanda alla bibliografia specifica.

2.2 LA RESISTENZA La RESISTENZA rappresenta la capacità della struttura, configurata secondo l’equilibrio, cioè secondo lo schema statico, di sostenere i carichi con i diversi comportamenti virtuosi dei materiali scelti per realizzarla. La resistenza è definita dai modi di resistere dei materiali alle sollecitazioni indotte nello schema statico dai carichi da sostenere. La verifica della resistenza delle strutture, come detto in premessa, è eseguita utilizzando il modello agli Stati Limite che verifica la sicurezza e le prestazioni di un’opera in relazione agli stati limite ultimi e di esercizio che si possono verificare durante la vita nominale dell’opera. Lo stato limite è la condizione superata la quale l’opera non soddisfa più i requisiti per cui è stata progettata. La verifica finalizzate al predimensionamento delle strutture può essere condotte nelle condizioni di esercizio utilizzando il modello alle tensioni ammissibili per il materiale con comportamento elastico lineare Il modello alle tensioni ammissibili rappresenta un valido strumento per il predimensionamento e la prima verifica delle strutture, lasciando però la completa verifica strutturale al metodo degli stati limite che è in grado di interpretare gli aspetti comportamentali delle strutture e di indagare in modo più efficace i livelli di sicurezza raggiunti. Con il modello agli stati limite l’approccio alla progettazione strutturale diventa di tipo prestazionale e non più prescrittivo e l’analisi del comportamento della struttura viene spinto fino alla sua condizione ultima d’impiego indagando gli aspetti legati alla duttilità locale e d’insieme. Secondo il modello alle tensioni ammissibili le verifiche sono condotte in campo elastico. In particolare le azioni sulla struttura sono rappresentate dai carichi in esercizio, il calcolo delle sollecitazioni viene eseguito in campo elastico, le tensioni e le deformazioni sono definite dalla


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teoria elastica. Per una completa verifica del predimensionamento delle strutture inflesse è necessario affiancare alla verifica a RESISTENZA del materiale anche la verifica della compatibilità delle deformazioni massime in esercizio (DEFORMABILITA’). La tensione ammissibile è la tensione limite in campo elastico e la verifica alle tensioni ammissibili rappresenta la verifica allo stato limite delle tensioni in esercizio. La determinazione della tensione ammissibile avviene applicando un coefficiente di sicurezza globale alla tensione di riferimento del materiale. Tale coefficiente di sicurezza è comprensivo dei coefficienti di sicurezza dei carichi, del materiale e del modello di calcolo adottato. La verifica alla RESISTENZA (secondo il metodo alle tensioni ammissibili) è positiva quando, per la condizione di carico in esercizio, per ogni sezione, la tensione massima σmax risulta minore della tensione ammissibile σadm :

σmax < σadm Le tensioni massime sono calcolate secondo la teoria per il comportamento elastico lineare del materiale nelle ipotesi di mantenimento delle sezioni piane (andamento lineare del diagramma delle deformazioni) e di linearità del diagramma delle tensioni.

2.3 LA DEFORMABILITA’ La DEFORMABILITA’ è la capacità della struttura di sostenere i carichi senza eccessive deformazioni che potrebbero rendere la struttura non utilizzabile per gli scopi e gli usi per cui è stata realizzata. La deformazione di una struttura viene valutata in campo elastico con i carichi di esercizio, cioè nelle condizioni in cui il materiale si deforma con legge elastico-lineare. La deformazione è quindi governata dall’equazione della linea elastica:

JE

M

dx

d

·2

2

±=η

dove: η è la deformazione della struttura lungo x M è il momento flettente sulla struttura lungo x E è il modulo elastico del materiale di cui è composta la struttura J è il momento d’inerzia della sezione della struttura M/EJ è la curvatura Per determinare le deformazioni si può : - risolvere la doppia integrazione dell’equazione differenziale della linea elastica utilizzando i tradizionali metodi di integrazione della matematica; - utilizzare il Principio dei lavori Virtuali che fa riferimento ad un sistema di forze e tensioni virtuali equilibrato e un sistema di spostamenti e deformazioni congruente; - utilizzare il teorema di Mohr che consente di risolvere la doppia integrazione con l’aiuto di una trave ausiliaria caricata con il diagramma di curvatura per la quale il momento equivale alla freccia della trave principale e il taglio equivale alla rotazione.


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Per la verifica della DEFORMABLITA’ viene fissata l’ampiezza delle deformazioni compatibili per la struttura. Tali limiti sono indicati dalla normativa tecnica di riferimento ma spesso sono

definiti dagli appaltatori delle opere. Il valore delle deformazioni verticali compatibili δ viene fissato per i carichi totali (permanenti + variabili) e per i soli carichi variabili. Tali valori limite sono riportati nella tabella seguente in funzione della luce L della struttura inflessa e della tipologia di utilizzo dell’elemento strutturale:

Limiti massimi di deformazione δ delle strutture inflesse di luce L tipologia strutturale Per i carichi totali Per i carichi variabili Copertura in generale L/200 L/250 Coperture praticabili L/250 L/300 Travi e solai in generale L/250 L/300 Solai che reggono tramezze o pavimentazioni e materiali di finitura fragili L/250 L/350

Travi che reggono pilastri L/400 L/500 La luce L in tabella rappresenta la distanza tra gli appoggi delle strutture a trave, mentre per gli sbalzi la luce L in tabella è pari a 2·Ls , dove Ls è la luce dello sbalzo. La verifica della DEFORABILITA’ per le strutture a trave soggette a flessione risulta positiva quando, per la condizione di carico in esercizio, la deformazione verticale massima, valutata in

campo elastico, δmax risulta minore della deformazione limite compatibile δ :

δmax < δ


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N

N

xS

3. IL MODELLO IDEALE ELASTICO-LINEARE Il comportamento delle strutture secondo il modello elastico lineare si basa sull’ipotesi che il materiale ideale sia omogeneo, isotropo, elastico e lineare. La teoria elastico-lineare che interpreta le tensioni e le deformazioni per le strutture ha origine dalla relazione di Hooke

εσ ·E= che stabilisce che un materiale ha comportamento elastico-lineare quando il rapporto, tra la tensione σ (la forza ortogonale su un area unitaria) e la deformazione unitaria (dilatazione) ε, è costante e vale E, detto modulo di elasticità o modulo di Young del materiale. L’altra ipotesi (detta ipotesi di Navier) che sta alla base del modello elastico-lineare stabilisce che le sezioni di un elemento strutturale, dopo la deformazione prodotta da flessione e sforzo normale, rimangono piane ovvero la distribuzione delle dilatazioni ε sulla sezione è lineare. Queste due ipotesi consentono di definire la distribuzione delle tensioni σ che sono prodotte dalle sollecitazioni di flessione, sforzo normale e taglio sulla generica sezione di una struttura. SFORZO NORMALE Per un elemento strutturale continuo, di sezione retta costante, soggetto a due forze esterne N uguali

e contrarie, normali alle sezioni e passanti per i baricentri delle sezioni, lo sforzo assiale risulta costante in tutte le sezioni trasversali S e vale N. Se si indica con x l’asse dell’elemento soggetto a Sforzo normale N, in ogni sezione retta S di area A si hanno le tensioni normali σx la cui risultante deve fare equilibrio alla forza esterna N, quindi:

NdAx =∫σ

e utilizzando le ipotesi sopra dette di linearità delle tensioni e delle deformazioni si ricava:

A

Nx =σ

Lo sforzo normale N, applicato ad un elemento strutturale di lunghezza L, fa variare la lunghezza di una quantità ∆L e l’allungamento o l’accorciamento unitario ε , detto anche dilatazione, risulta:

L

Lx

∆=ε

e utilizzando la legge di Hooke che stabilisce la linearità tra tensioni e dilatazioni si ricava:

xx E εσ ·= A

N

L

LEx =∆= ·σ

AE

LNL

··=∆


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L

P

x

CARICO DI PUNTA Per un’asta realizzata con un materiale elastico lineare, soggetta ad uno sforzo normale centrato P, la sollecitazione, nell’ipotesi di asta indeformata, vale semplicemente σ=P/A. In condizioni particolari, quando l’asta è snella, cioè lunga e con sezione trasversale ridotta, si può innescare un fenomeno di instabilità per carico di punta che deforma l’asta non solo a compressione ma anche a flessione.

Supponendo che l’asta subisca uno sbandamento in modo che la sua linea d’asse (deformata) sia descritta dalla curva di equazione η(x), la forza P produce nella sezione generica il momento

M= P·η(x)

a questo momento esterno si oppone il momento interno dovuto alla deformata

M= EJ·η’’(x) Per la condizione di equilibrio si scrive:

EJ·η”(x) + P· η(x) = 0

la cui soluzione o integrale generale risulta :

η (x) = C1·cos(α x) + C2·sen(α x)

dove si è posto EJP /=α , mentre C1 e C2 sono le costanti di integrazione, che dipendono dalle condizioni al contorno, cioè dalle condizioni di vincolo dell’asta.

Nel caso di figura, la condizioni di vincolo η(0)=0 permette di trovare C1=0, mentre, per la condizione di vincolo η(L)=0 risulta:

η (L) = C2·sen(α L)=0 che ha due soluzioni possibili:

• se sen(α L)≠0 deve risultare C2=0 e in questo caso la soluzione dell’equilibrio è la configurazione dell’asta indeformata senza instabilità per carico di punta.

• se sen(α L)=0 allora la condizione al contorno è soddisfatta per qualunque valore di C2.

La condizione sen(α L)=0 è soddisfatta per α·L=n·π , dove n è un qualsiasi numero intero positivo. Ricordando la definizione di α possiamo scrivere:

222 ·πnLEJ

P =

e questa si verifica per quei valori di P tali che :

222 ··

L

EJnP π=


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Il più piccolo dei valori di P, per n = 1, corrisponde al carico di compressione che provoca il passaggio da una condizione di equilibrio stabile ad una instabile ed è detto il carico critico euleriano dell’asta compressa:

2

0

min2·L

EJPE π=

dove Jmin è il minore dei momenti d’inerzia della sezione trasversale, E è il modulo di elasticità del materiale L0=β·L è la lunghezza libera d’inflessione da porre in relazione con il coefficiente β alla lunghezza effettiva L dell’asta a seconda dei vincoli di questa . Per l’espressione del carico critico euleriano la lunghezza libera di inflessione L0 assume i seguenti valori teorici in relazione alle condizioni di vincolo per l’asta di lunghezza L : L0 = β·L= 2·L per l’asta incastrata ad un estremo e libera all’altro; L0 = β·L= L per l’asta incernierata alle due estremità; L0 = β·L= 0.7·L per l’asta incastrata ad un estremo e incernierata all’altro; L0 = β·L= 0.5·L per l’asta incastrata ad entrambi gli estremi.

β=2 β=1 β=0,7 β=0.5 Il carico critico eureliano PE provoca nella sezione trasversale dell’asta la tensione critica σcr

2

2

20

2min

2

2

0

min2 ···

·

··λ

πππσ E

L

iE

AL

JE

A

PEcr ====

dove: imin è il raggio d’inerzia minimo della sezione e vale AJi /minmin =

λλλλ=Lo/imin è la snellezza dell’asta compressa. La snellezza dell’asta è una grandezza che dipende solo dalle caratteristiche geometriche dell’asta e assume una particolare importanza nella valutazione delle condizioni di criticità per il carico di punta per aste realizzate con vari materiali.


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FLESSIONE

Una trave soggetta al momento flettente M si deforma in modo evidente assumendo una configurazione curva caratterizzata in ogni punto dalla curvatura 1/r, cioè dall’inverso del raggio del cerchio tangente alla curva nel punto.

max

yy

max

My

Le sezioni trasversali (perpendicolari all’asse di deformazione) rimangono piane (ipotesi di Navier) e la distribuzione delle dilatazioni ε è lineare:

yymaxεε =

La tensione normale σ in corrispondenza alla dilatazione ε risulta, per la legge di Hooke: σ=E·ε

sostituendo nella relazione delle dilatazioni, dopo aver semplificato E si ottiene:

yymaxσσ = ; y

y·maxσσ =

La distribuzione delle tensioni normali σ deve rispettare le condizioni di equilibrio con il momento flettente M. L’equilibrio delle forze orizzontali, esteso all’area A della sezione, risulta:

0·· max == ∫∫AA

dAyy

dAσσ

L’equilibrio si annulla quando l’integrale di y·dA vale zero. Tale integrale rappresenta il momento statico della sezione trasversale A rispetto l’asse con le tensioni uguali a zero (detto asse neutro) e stabilisce che tale asse è baricentrico per la sezione trasversale. L’equilibrio dei momenti delle σ, rispetto l’asse neutro e baricentrico, risulta:

MdAyy

dAyAA

== ∫∫ ··· 2maxσσ

dove l’integrale di y²·dA rappresenta il Momento d’inerzia J della sezione trasversale A rispetto l’asse baricentrico. Possiamo perciò scrivere:

MJy

=·maxσ ; MJ

y=·

σ

otteniamo così l’importante equazione di Navier, che individua la legge di variabilità delle tensioni σ nella sezione soggetta a momento flettente M.

J

yM ·=σ


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s s

sr

n n

n

r

rTM M1

S S 1

dx

b1

x

y

h

SFORZO NORMALE E FLESSIONE Per il materiale ideale, omogeneo, isotropo, elastico, lineare è possibile ricavare le tensioni prodotte, sulla generica sezione trasversale di una struttura sollecitata a sforzo normale N e flessione M, utilizzando il principio della sovrapposizione degli effetti.

J

yM

A

N ·±=σ

Lo sforzo normale di compressione con la flessione rappresentano una sollecitazione di presso-flessione, mentre lo sforzo normale di trazione con la flessione rappresentano una sollecitazione di tenso-flessione. Per i materiali da costruzione che non rispettano le ipotesi di comportamento del materiale ideale non è possibile utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti. Per le aste soggette a presso-flessione il fenomeno del carico di punta diventa particolarmente pericoloso per la presenza del momento flettente esterno M che favorisce l’instabilità. TAGLIO Gli sforzi di taglio agenti su una sezione sono equilibrati dalle tensioni tangenziali τ distribuite sulla sezione stessa.

Consideriamo una trave di sezione rettangolare e determiniamo, nella sezione S, la tensione tangenziale verticale media τy che agisce lungo la linea r-r . Nella sezione S agisce il momento flettente M e il taglio T; in una sezione S1, che dista dx da S, il momento flettente è M1=M+dM, dove l’incremento dM è uguale a Tdx. Per le tensioni tangenziali vale il principio di reciprocità che stabilisce che le tensioni tangenziali, agenti su due piani ortogonali e dirette verso lo spigolo comune, sono uguali, quindi possiamo scrivere

τy= τx dove τy è la tensione tangenziale che agisce sul piano S verticale, mentre, τx è la tensione tangenziale che agisce

sul piano orizzontale r-r . Scriviamo l’equazione di equilibrio delle forze orizzontali che agiscono sul solido di larghezza dx individuato dai piani r-r e s-s:

0·)( 1 =−−∫ bdxdA x

Ar

τσσ

dove Ar è la porzione di area della sezione S individuata dalle rette r-r e s-s. Poiché:

J

yTdx

J

ydM

J

My

J

yM ··)( 1

1 ==−=−σσ


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n n

r ry

maxh

b

y

G

si trova:

bdxdAyJ

Tdxx

Ar

·· τ=∫

Perciò il valore medio delle tensioni tangenziali nei punti della retta r-r risulta:

bJ

ST ryx ·

·=== τττ

dove: T è lo sforzo di taglio che agisce sulla sezione S Sr è il momento statico rispetto l’asse neutro n-n dell’area Ar definita dalle rette r-r e s-s J è il momento d’inerzia dell’intera sezione b è la larghezza della sezione l’equazione che determina il taglio è nota come espressione di Jourawski. Per una sezione rettangolare l’espressione del taglio fornisce un andamento delle tensioni τ che varia con legge di tipo parabolico con il valore massimo in corrispondenza all’asse baricentrico n-n e valore nullo sui bordi.

Il valore del momento statico dell’area individuata dalla retta r-r , da inserire nella formula di Jourawski, risulta:

2

2/)·

2·(

yhy

hbSr

+−=

il valore massimo di Sr in corrispondenza all’asse baricentrico risulta:

8

·

2

02/)·0

2·(

2

max

hbhhbS =+−=

e, considerando J=bh3/12, il valore della tensione tangenziale massima in corrispondenza all’asse baricentrico della sezione risulta:

A

T

bhb

hbT·

2

3

)·12/·(

)8/²··(3max ==τ


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4. IL MODELLO DI VERIFICA ALLE TENSIONI AMMISSIBILI Il modello alle tensioni ammissibili per le verifiche di predimensionamento delle strutture si basa sul comportamento elastico-lineare dei materiali quando le sollecitazioni sulla struttura sono dovute ai carichi in esercizio. Il calcolo delle sollecitazioni, delle tensioni e delle deformazioni viene eseguito secondo la teoria dell’elasticità-lineare. Per verificare in fase di predimensionamento una struttura è necessario eseguire la Verifica delle Tensioni e la Verifica delle Deformazioni

LA VERIFICA DELLE TENSIONI La prima verifica per le strutture è la verifica delle tensioni, per la quale la tensione massima in ogni sezione della struttura deve essere minore della tensione ammissibile del materiale. La verifica alle tensioni è positiva quando, per la condizione di carico in esercizio, per ogni sezione, la tensione massima σmax risulta minore della tensione ammissibile σadm:

σmax < σadm

Le tensioni massime sono calcolate, secondo la teoria per il comportamento elastico lineare del materiale, nelle ipotesi di mantenimento delle sezioni piane (andamento lineare del diagramma delle deformazioni) e di linearità del diagramma delle tensioni.

La tensione ammissibile (o tensione di sicurezza) è, secondo il metodo alle tensioni ammissibili utilizzato per il predimensionamento delle costruzioni, la tensione limite a cui un materiale può essere sottoposto con sicurezza nelle condizioni di esercizio. Essa si ottiene con prove di laboratorio di tipo monoassiale, a trazione o a compressione, ed è definita dalla tensione di rottura (nei materiali fragili) oppure da quella di snervamento (per i materiali duttili) dividendo per un opportuno coefficiente di sicurezza diverso a seconda del materiale.

LA VERIFICA DELLE DEFORMAZIONI La verifica delle deformazioni, per le strutture a trave soggette a flessione, risulta positiva quando, per la condizione di carico in esercizio, la deformazione verticale massima, valutata in campo

elastico, δmax risulta minore della deformazione limite compatibile δ :

δmax < δ

Il valore delle deformazioni verticali compatibili δ viene fissato per i carichi totali (carichi permanenti + carichi variabili) e per i soli carichi variabili. Tali valori limite sono riportati nella tabella seguente in funzione della luce L della struttura inflessa e della tipologia di utilizzo dell’elemento strutturale:


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Limiti massimi di deformazione delle strutture inflesse di luce L Per i carichi totali Per i carichi variabili

elemento strutturale δ δ

Copertura in generale L/200 L/250

Coperture praticabili L/250 L/300 Travi e solai in generale L/250 L/300 Solai che reggono tramezze o pavimentazioni e materiali di finitura fragili L/250 L/350

Travi che reggono pilastri L/400 L/500 La luce L in tabella rappresenta la distanza tra gli appoggi delle strutture a trave, mentre per gli sbalzi la luce L in tabella è pari a 2xLs dove Ls è la luce dello sbalzo.


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5. LE STRUTTURE IN ACCIAIO LAMINATO Gli acciai utilizzati per la realizzazione dei profilati metallici sono definiti dalle loro caratteristiche meccaniche. Una prova a trazione di tipo monoassiale, eseguita su un acciaio laminato, si sviluppa secondo le progressioni riportate nel grafico (deformazioni-tensioni) seguente:

Nel grafico si individua la tensione di snervamento σs (indicata nelle norme con fyk ) e la tensione di rottura σR (indicato nelle norme con ftk) . In funzione di questi valori della tensione la normativa tecnica italiana definisce i tipi di acciaio per i laminati:

Acciai per profili laminati UNI EN 10025-2

tipo

Tensione di Snervamento

fyk

Tensione di Rottura

ftk

Limite elastico ammissibile

σadm

S 235 2350 3600 1500 [daN/cm²]

S 275 2750 4300 1750 [daN/cm²] S 355 3550 5100 2250 [daN/cm²]

Le resistenze caratteristiche fk sono trasformate in resistenze di calcolo fd attraverso la relazione:

fd = fk /γm dove il coefficiente di sicurezza γm dipende dal materiale in relazione al modello di calcolo utilizzato per le verifiche. Per le strutture in acciaio con il modello di calcolo alle tensioni ammissibili si può utilizzare il coefficiente γm=1.05

Dalla tensione di calcolo fd è possibile ricavare la tensione normale ammissibile σadm σadm= fyd / γ

dove il coefficiente di sicurezza γ è il coefficiente di sicurezza globale e vale circa 1.5.

Dalla tensione ammissibile normale σadm si ricava la tensione tangenziale ammissibile τadm

admadm στ ·3

1=

Per il calcolo delle deformazioni in campo elastico viene fissato il valore del modulo elastico normale dell’acciaio:

E = 2.100.000 [daN/cm²]


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5.1 FLESSIONE La flessione è la sollecitazione che si ritrova principalmente nelle strutture orizzontali a trave. In una sezione sollecitata a flessione le tensioni sono definite dalla nota espressione di Navier:

J

yM ⋅=σ

dove: M è il momento flettente sulla sezione y è la distanza della generica fibra dall'asse neutro baricentrico J è il momento d'inerzia della sezione L'espressione fornisce il valore della tensione normale σ per la generica fibra individuata dall'ordinata y (distanza dall’asse baricentrico detto asse neutro) come riportato in figura :

max

min

asse neutro

Msup

inf

Per la verifica della sezione si fa riferimento alle tensioni massime e minime che sono fornite dalle seguenti relazioni:

sup

supmax

·

W

M

J

yM+=+=σ

inf

infmin

·

W

M

J

yM −=−=σ

dove: Wsup=J/ysup e Winf =J/yinf sono i moduli resistenti della sezione; J è il momento d’inerzia baricentrico; ysup e yinf sono le distanze dei bordi dall’asse baricentrico. Ovviamente, per sezioni simmetriche i moduli resistenti, superiore ed inferiore, sono uguali. VERIFICA RESISTENZA A FLESSINE La verifica a flessione di una trave viene fatta quando si conosce il valore del momento massimo Mmax lungo la trave e le dimensioni della sezione della trave con il suo modulo resistente W. La verifica è positiva quando la tensione massima σmax è minore della tensione ammissibile σadm dell'acciaio:

admW

M σσ ≤= maxmax

VERIFICA DELLE DEFORMAZIONI Per le strutture inflesse è necessario eseguire la verifica della deformazione massima secondo la relazione:

δmax< δ


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dove: δmax è lo spostamento verticale massimo della trave inflessa in campo elastico nelle condizioni di carico in esercizio.

δ è la deformazione limite ammissibile fornita dalla tabella precedente in funzione della luce L dell’elemento inflesso. PROGETTO A FLESSIONE Il progetto a flessione di una trave viene fatto quando si conosce il momento massimo ma non si conosce la sezione della trave. Per trovare la sezione della trave è necessario utilizzare la formula di progetto nel seguente modo:

adm

MAXMIN

MW

σ≥

Sulla scorta del valore del modulo resistente WMIN minimo necessario si sceglie il profilo utilizzando i prontuari dei profili metallici laminati.

5.2 TAGLIO Per l’acciaio le tensioni tangenziale τ prodotte da un sforzo di taglio sono definite dall’espressione di Jourawski:

bJ

ST

·

·=τ

dove: T è il taglio sulla sezione S è il momento statico rispetto l’asse baricentrico della parte di sezione individuata J è il momento d'inerzia della sezione b è la larghezza individuata L'espressione fornisce il valore della tensione tangenziale τ per la generica fibra individuata dall'ordinata y (distanza dall’asse baricentrico detto asse neutro) come riportato nel disegno :

asse neutroT max

a

Per la verifica della sezione si individua la tensione massima in corrispondenza all’asse baricentrico che è fornita dalla seguente relazione:

bJ

ST

·

· maxmax =τ

dove : Smax è il momento statico di mezza sezione b è la larghezza dell’anima J è l’inerzia dell’intera sezione T è lo sforzo di Taglio


18

VERIFICA RESISTENZA A TAGLIO La verifica a taglio di una sezione viene eseguita quando si conosce lo sforzo di taglio massimo lungo la trave Tmax e le caratteristiche della sezione. La verifica è condotta secondo il criterio di Von Mises esposto nel paragrafo 5.6.

La tensione biassiale τmax viene trasformata in tensione ideale σid per poter essere confrontata nella verifica con la tensione monoassiale σadm:

admid σσ <

max2max ·33 ττσ =⋅=id

sostituendo i valori si ricava :

admid στσ <= max·3

admστ ·3

1max <

La tensione di verifica admσ·

3

1 è definita tensione tangenziale ammissibile τadm:

admadm στ ·3

1=

Quindi, la verifica a taglio risulta positiva quando:

admadmaJ

ST σττ ·3

1

·

· maxmax =<=

Per eseguire la verifica si deve calcolare il valore del momento statico di mezza sezione rispetto l’asse baricentrico (asse neutro):

Smax= ½ b·(h/2)² - ½ (b-a)·(h/2-e)²

T maxaasse neutro

b

e

h/2

VERIFICA DELLE DEFORMAZIONI Le deformazioni a Taglio sono trascurabili


19

5.3 TRAZIONE La trazione è la sollecitazione che si ritrova per esempio nelle aste tese delle strutture reticolari. In una sezione della struttura in trazione la tensione è definita dall'espressione:

A

N=σ

dove: N è lo sforzo di trazione A è l'area della sezione del tirante L'espressione fornisce il valore della tensione normale σ costante su tutta la sezione. VERIFICA A TRAZIONE La verifica a trazione per un tirante viene fatta quando si conosce lo sforzo normale di trazione e la sezione A del tirante stesso. La verifica è positiva quando:

admA

N σσ ≤=max

la tensione massima σmax è minore della tensione ammissibile a trazione dell'acciaio σadm. PROGETTO A TRAZIONE Il progetto a trazione per un tirante viene fatto quando si conosce lo sforzo normale di trazione ma non si conosce la sezione del tirante. Per trovare la sezione del tirante è necessario utilizzare la formula di progetto nel seguente modo:

admMIN

NA

σmax≥

Trovata l'area AMIN minima necessaria si sceglie il profilo utilizzando i prontuari dei profili.


20

5.4 COMPRESSIONE La compressione è la sollecitazione che si ritrova nei pilastri e nei puntoni (aste compresse) delle strutture reticolari. La verifica a compressione potrebbe essere condotta come quella a trazione ma per la compressione c'è il pericolo che l'asta ceda per instabilità elastica (fenomeno chiamato anche carico di punta). Il fenomeno è tipico delle strutture in acciaio perché, a causa dell'elevata resistenza del materiale, il dimensionamento per sola compressione porterebbe a sezioni molto piccole e, quindi, instabili quando caricate di punta. Sotto il carico di compressione l'asta sbanda e la rottura avviene a causa della flessione innescata dalla deformazione di instabilità (rottura per presso-flessione). Nel disegno seguente si evidenziano le deformate di strutture soggette a carico di punta in diverse ipotesi di vincolo degli estremi:

Nell’ambito delle costruzioni la normativa utilizza, per i coefficienti β, valori maggiori di quelli teorici per tener conto del fatto che nella realtà i vincoli non sono perfetti, Per verificare un'asta compressa è necessario far riferimento alla teoria di Eulero che permette di individuare il valore della tensione (detta tensione critica di Eulero) per la quale l'asta entra nel campo dell’instabilità dove la rottura avviene per presso-flessione (compressione più flessione indotta dalla deformazione innescata dall’instabilità):

2

2 ·

λπσ E

cr =

dove : π è il numero 3.14 E è il modulo elastico dell'acciaio λ è la snellezza dell'asta

La tensione critica σcr non dipende dal carico di compressione, ma dipende dal materiale (E=modulo elastico) e dalla snellezza dell'asta (λ=snellezza dell’asta). La snellezza è una proprietà dell'asta definita dalle caratteristiche geometriche dell'asta stessa secondo la seguente espressione:

i

L

i

L o== ·βλ

dove: β è un coefficiente che dipende da come è vincolata l’asta agli estremi e, per le aste reali vale β = 1 se i vincoli agli estremi sono assimilabili a cerniere β = 0.7 se i vincoli agli estremi sono assimilabili ad incastri β = 0.8 se un vincolo è assimilabile all’incastro e uno alla cerniera β = 2 se l'asta è vincolata solo da un lato con un incastro L è la lunghezza dell'asta Lo= β·L è la lunghezza libera di inflessione dell'asta e dipende dai vincoli agli estremi i è il raggio d'inerzia minimo della sezione dell'asta e vale AJi /=


21

Per le strutture in acciaio la normativa tecnica delle costruzioni fissa un limite alla snellezza λmax :

massima snellezza per le strutture principali : λmax = 200 massima snellezza per le strutture secondarie: λmax = 250

VERIFICA A COMPRESSIONE La verifica a compressione per carico di punta di un’asta in acciaio viene eseguita secondo il metodo omega. Come prima cosa si determina la snellezza λ dell’asta (rapporto tra la lunghezza libera di inflessione e il raggio minimo d’inerzia della sezione) e si verifica che sia minore del limite fissato dalla normativa:

maxλλ <=i

L o

quindi, in funzione della snellezza λλλλ si individua il coefficiente (omega) ω:

cr

yf

σω =

Il coefficiente (omega) ω individua, per un’asta compressa, il rapporto tra la tensione fy di snervamento dell’acciaio e la tensione critica σcr per cui l’asta diventa instabile. Per le strutture reali il coefficiente (omega) ω viene individuato in funzione della snellezza dell’asta, ma anche del tipo di acciaio, della forma della sezione trasversale e delle imperfezioni nella lavorazione dei profilati. I valori del coefficiente (omega) ω sono evidenziati nelle tabelle riportate a fine paragrafo in funzione del tipo di profilato, del tipo di acciaio e della snellezza dell’asta. Il coefficiente ω, rapporto tra la tensione di snervamento e la tensione critica di Eulero, è anche il rapporto tra la tensione ammissibile e la tensione critica di riferimento in campo elastico. Infatti, dividendo entrambi i termini della frazione per il coeff. di sicurezza globale γ=1.5 si ottiene:

elcr

adm

cr

y

cr

y ff

./

/

σσ

γσγ

σω ===

quindi la tensione critica di riferimento in campo elastico diventa:

ωσσ adm

elcr =,

La verifica a compressione in campo elastico nell'ipotesi di instabilità per carico di punta è quindi rappresentata dalla seguente espressione:

ωσσσ adm

elcrA

N =≤= ,

dove: N è la compressione sull'asta A è l'area della sezione trasversale dell'asta σadm è la tensione ammissibile a compressione ω è il coefficiente omega (ω >1) che considera il carico di punta

L’espressione che rappresenta la verifica a compressione semplice di un'asta secondo il metodo omega si trova comunemente scritta anche nel seguente modo:

admA

N σωσ ≤⋅=


22

Dove il coefficiente (omega) ω assume il significato di coefficiente moltiplicatore del carico, piuttosto che coefficiente di riduzione della tensione ammissibile per carico di punta. Ricapitolando, per la verifica a compressione di un'asta è necessario trovare il parametro ω che dipende dalla snellezza λ dell'asta, dal tipo di sezione e dalla tensione ammissibile dell'acciaio. Per facilitare il calcolo il parametro ω è stato tabulato in funzione della snellezza λ dell'asta per diverse sezioni e per diversi acciai. Di seguito si riportano le tabelle dei valori omega ω per l’acciaio tipo S275, per profili cavi quadrati, rettangolari o tondi e per profili laminati tipo IPE e HE.

Coefficienti ω per profilati cavi quadri, rettangolari o tondi (acciaio tipo S275 ex Fe430 )

Coefficienti ω per profilati tipo IPE e HEA (acciaio tipo S275 ex Fe430)

PROGETTO A COMPRESSIONE Il progetto a compressione di un'asta viene fatto quando si conosce lo sforzo normale a compressione ma non si conosce la sezione dell'asta. In questo caso non è possibile trovare il parametro ω perché non si conosce la snellezza dell'asta. Si dovrà quindi procedere per tentativi individuando la sezione dell'asta semplicemente con la relazione [Amin ≥ N/σadm ] e poi aumentarla progressivamente verificando con il metodo omega le varie scelte.


23

5.5 PRESSO-FLESSIONE La presso-flessione è la sollecitazione che si ritrova nelle aste delle strutture reticolari con carichi ortogonali lungo l’asse dell’asta e nei pilastri con carichi eccentrici. La presso-flessione è la sollecitazione composta di compressione centrata e flessione semplice. Tale sollecitazione è anche definita come pressione eccentrica dove l’eccentricità vale e=M/N. Poiché l’acciaio è un materiale che si comporta nello stesso modo a compressione e trazione, le tensioni massime e minime prodotte dalle due sollecitazioni (Sforzo normale N e Momento flettente M) possono essere semplicemente trovate per sovrapposizione degli effetti mediante le relazioni :

N

L

e N

N

L

M

NM

W

M

A

N ±=minmaxσ

W

eN

A

N ⋅±=minmaxσ

Come nel caso della compressione semplice le strutture in acciaio sono soggette al problema dell’instabilità per compressione a carico di punta, quindi l’espressione sopra riportata si modifica per considerare tale fenomeno e la tensione massima diventa:

)1( )/(

max

γσσ

ωσcr

NW

M

A

N

−⋅+⋅=

dove: N è lo sforzo normale sull’asta M è il momento flettente (pari anche a N·e) sull’asta A è l’area della sezione trasversale dell’asta W è il modulo resistente della sezione trasversale dell’asta ω è il coefficiente omega >1 che considera l’instabilità per lo sforzo di compressione N (1-σN/(σcr/γ)) è il coefficiente < 1 che considera il contributo all’instabilità della flessione M σN è la tensione N/A dovuta alla sola compressione N

σcr è la tensione critica definita dalla : 2

2 ·

λπσ E

cr = ; dove λ è la snellezza dell’asta

γ è il coefficiente di sicurezza globale pari a 1.5 per la verifica alle tensioni ammissibili VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE La verifica a presso-flessione viene fatta quando si conosce lo sforzo normale e il momento flettente sulla struttura e si conosce la sezione A e suo modulo resistente W. La verifica è positiva quando la tensione σmax è minore della tensione ammissibile σadm:


24

adm

cr

NW

M

A

N σωσγσ

σ ≤−⋅

+⋅=)1( )/(

max

Ovviamente per determinare la tensione σmax è necessario individuare, in funzione della snellezza λ dell’asta, il coefficiente ω e la tensione critica σcr. Per aste con snellezza λ compresa tra 20 e 50 la verifica, per considerare i problemi di instabilità per carico di punta, può essere condotta in fase di predimensionamento con l’espressione semplificata:

admW

M

A

N σσ ≤±= ·4.1·2.1max

PROGETTO A PRESSO-FLESSIONE

Il progetto a presso-flessione per un'asta viene fatto quando si conosce lo sforzo normale e il momento flettente ma non si conosce la sezione dell'asta. In questo caso non è possibile trovare i parametri ω e σcr perché non si conosce la snellezza dell'asta. Si dovrà quindi procedere per tentativi individuando la sezione dell'asta semplicemente con la relazione della compressione [Amin≥N/σadm ] oppure, con la relazione della flessione [Wmin≥M/σadm] e poi aumentarla progressivamente verificando con il metodo omega le varie scelte.

5.6 TAGLIO e FLESSIONE La sollecitazione di taglio e flessione è la sollecitazione che si ritrova in tutte le travi. In particolare possiamo suddividere le due sollecitazioni (Taglio e Momento flettente) e determinare per ciascuna lo stato tensionale prodotto nella sezione trasversale della trave. Quindi per la generica sezione trasversale della trave avremo i seguenti stati di tensione:

per il Momento flettente M e la formula di Navier : J

yM ⋅=σ

dove: M è il momento flettente sulla sezione y è la distanza della generica fibra dall'asse baricentrico J è il momento d'inerzia della sezione

Per il Taglio T e la formula di Jourawski : bJ

ST

⋅⋅=τ

dove: T è il taglio sulla sezione S è il momento statico rispetto l’asse baricentrico di una parte della sezione J è il momento d'inerzia della sezione b è la larghezza della sezione Lo stato di tensione (σ, τ) è uno stato biassiale di tensione per il quale non è possibile stabilire un collegamento diretto con la tensione ammissibile σadm che è definita da una prova di laboratorio per uno stato monoassiale di trazione. Per definire la relazione di verifica tra lo stato biassiale e lo stato monoassiale è necessario individuare un criterio di resistenza idoneo per il materiale. Per le strutture in acciaio si utilizza il criterio di Von Mises basato sul confronto tra l’energia di distorsione per lo stato monoassiale ФD1 e l’energia di distorsione per lo stato biassiale ФD2 . Si stabilisce, quindi, che la resistenza nei due casi equivale quando le energie di distorsione sono


25

uguali: ФD1 = ФD2

quindi: [ ])(212

1

6 2122

21

2

σσσσσ ⋅−+⋅⋅⋅

=⋅ GG

Dall’uguaglianza tra le due energie di distorsione si ricava la corrispondenza, a parità di resistenza, tra la tensione nello stato monoassiale (che viene detta tensione ideale σid) e le tensioni nello stato biassiale:

2122

21 σσσσσ ⋅−+±=id

Le tensioni σ1 e σ2 della relazione precedente sono le tensioni principali nello stato di tensione piana definito da sollecitazioni di taglio e flessione. La relazione può essere riscritta utilizzando, invece delle tensioni principali, le tensioni sui piani X,Y (σx , τxy , τyx) prodotte da flessione e taglio:

22 3 xyxid τσσ ⋅+±=

Nel caso in cui ci sia solo la tensione tangenziale si ottiene la relazione max·3 τσ =id

VERIFICA A TAGLIO e FLESSIONE In ogni punto della sezione la verifica alla resistenza del materiale è eseguita semplicemente confrontando la tensione ideale σid , prodotta dalle tensioni di taglio τ e di flessione σ, con la tensione ammissibile σadm :

admid σσ ≤

PROGETTO A TAGLIO e FLESSIONE Il progetto della sezione di una trave soggetta a Momento e Taglio è eseguito principalmente per la flessione secondo quanto già riportato, verificando successivamente la sollecitazione tagliante e i vari punti soggetti agli stati biassiali di tensione.


26

5.7 LE FORZE ORIZZONTALI

Tra le azioni sulle costruzioni, particolare importanza assumono le forze orizzontali prodotte dal vento e dal sisma. Il vento produce azioni di pressione e depressione sulle superfici verticali delle costruzioni e queste azioni sono nella pratica costruttiva assimilate a forze orizzontali posizionate solitamente nei baricentri geometrici delle superfici verticali. Il sisma produce delle accelerazioni sulle masse della costruzione. Le accelerazioni imposte sono frazioni dell’accelerazione gravitazionale terrestre a seconda dell’intensità del sisma e della capacità di risposta della struttura. Tali azioni possono essere schematizzate come forze orizzontali posizionate nei baricentri delle masse dei vari elementi costruttivi. Ad esempio per un solaio piano di massa uniforme la forza sismica è posizionata nel baricentro della massa che equivale al baricentro dell’area. Per poter ripartire queste forze orizzontali tra le strutture verticali è necessario che il piano di solaio su cui agiscono sia perfettamente indeformabile. L’indeformabilità del piano di solaio si ottiene con solai dotati di soletta di calcestruzzo armata oppure con elementi di controventamento di piano. Le strutture verticali che si fanno carico di sopportare le forze orizzontali trasmesse dai piani di solaio indeformabili sono rappresentate dai controventi. Nelle costruzioni in acciaio i CONTROVENTI sono realizzati mediante strutture triangolari dove l’elemento inclinato funziona da tirante. In particolare la tipologia di controvento più diffusa è quella a croce di sant’Andrea dove i due tiranti incrociati funzionano a trazione a seconda del verso della forza orizzontale.

FORZA ORIZZONTALE DI PIANO

G

1 2

534

Fig.1 – costruzione con controventi

I pilastri 1 e 3 non hanno alcuna capacità di resistere alle forze orizzontali, mentre, i controventi 4 e 2 funzionano lungo la direzione X e il controvento 5 funziona lungo la direzione Y. In particolare le strutture verticali assorbiranno una quota di Forza proporzionale alla propria Rigidezza K . La rigidezza è definita dal rapporto tra la forza e lo spostamento:


27

δF

K =

Nell’ipotesi che i nodi siano tutti cerniere (ipotesi realistica per le strutture in acciaio) la rigidezza K i dei controventi risulta

δi

i

FK =

dove: Fi è la forza che assorbe il controvento δ è lo spostamento orizzontale del controvento Per i pilastri la rigidezza risulta nulla poiché essi sono labile per gli spostamenti orizzontali.

Fi F

K= F K=0

H

L

T

FT

Fig.2- funzionamento dei controventi

La geometria dei tre controventi 2-4-5 è per tutti uguale, quindi, possiamo affermare che K2=K4=K5 e, in questo caso, non è necessario determinare il valore numerico delle rigidezze. Tuttavia per i controventi a croce di sant’Andrea è facile determinare il valore numerico della rigidezza nel seguente modo: Lunghezza del tirante = T [cm] Area del tirante = AT [cm²] Elasticità del tirante = E [daN/cm²] Altezza del controvento = H [cm] Lunghezza del controvento = L [cm]

Forza orizz. sul controvento F

Trazione sul tirante FT = F·T/L

Allungamento del tirante ∆T = FT·T / E·AT = F·T·T / L·E·AT

Componente orizzontale δ = ∆T·L/T = F·T / E·AT

Rigidezza del controvento K = F/δ = E·AT / T [daN/cm]

La forza orizzontale può agire in qualsiasi direzione, perciò, ai fini della stabilità della struttura, è necessario che sia garantita la stabilità lungo le due direzioni ortogonali X e Y.


28

STABILITA’ LUNGO X

K

L

L

L

Fx

L L

piano di solaio non deformabile

F4x

F2x

CM

2X

K5Y

K4X

x

asse CRxasse CMx

x

x

Y

X

x

XCM

CM

Y YC

R

Fig.3- traslazione del piano per Fx

La forza orizzontale Fx, lungo la direzione X, è applicata nel centro delle masse CM individuato dalle coordinate XCM e YCM. Lungo la direzione X si oppongono allo spostamento δx del piano i due controventi con rigidezza K2x e K4x. I controventi reagiscono rispettivamente allo spostamento con le due forze reattive:

F2x = K2x·δx F4x = K4x·δx

I due controventi sono geometricamente uguali, quindi, K2x=K4x quindi : F2x=F4x per l’equilibrio delle forze orizzontali: Fx=F2x+F4x si ricava: F2x=F4x= ½ Fx L’Asse baricentrico delle Forze reattive F2x e F4x per lo spostamento lungo X coincide con l’asse baricentrico delle rigidezze, asse CRx . Poiché l’asse baricentrico delle forze attive (asse CMx) coincide con l’asse baricentrico delle forze reattive (asse CRx) la costruzione è in equilibrio per gli spostamenti lungo la direzione X.


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STABILITA’ LUNGO Y

Fy

CM

L L L

L

L

piano di solaio non deformabile asse

CR

y

asse

CM

y

ex= 2/3 L

K5Y5YF

K2X

K4X

CMX

Y

X

CRasse CRx

Y

Fig.4- traslazione del piano per Fy

La forza orizzontale Fy, lungo la direzione Y, è applicata nel centro delle masse CM individuato dalle coordinate XCM e YCM. Lungo la direzione Y si oppongono allo spostamento δy del piano l’unico controvento con rigidezza K5y il quale dovrà assorbire l’intera forza Fy

F5y=Fy

Gli assi di applicazione della forza attiva Fy e della forza reattiva F5y non coincidono e, quindi, il sistema non è in equilibrio ma è soggetto ad un momento torcente MT paria a

MT= Fy·ex

Dove ex è l’eccentricità della forza rispetto il centro delle rigidezze, cioè la distanza tra gli assi Y del centro delle masse e del centro delle rigidezze. Questo momento impone al piano una rotazione rispetto al Centro delle Rigidezze.

Fy

piano di solaio non deformabileL

CM

L

K

L

Y

asse

CM

y

4X

XCM

L

asse CRx

K2X

asse

CR

y

X

CR

ex= 2/3 L

L

5YK

x

x

4xF

2xF

5YF

Fig.5 - rotazione del piano per Fy


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Per equilibrare il Momento torcente MT=Fy·ex entrano in gioco i due controventi K2x e K4x lungo la direzione X che devono reagire con una coppia equilibrante:

MT = Fy·ex = F2x·(2·L) = F4x·(2·L) E quindi le forze sui controventi risultano:

F2x= -F4x= (Fy·ex)/2L

RICAPITOLANDO Per la costruzione di Fig.1 fissiamo, a titolo di esempio, le dimensioni in pianta 1200x800 cm, ponendo il modulo L=400 cm. Il controventamento, cioè la stabilità agli sbandamenti laterali, si ottiene mediante l’inserimento di tre controventi di tipo a croce di sant’Andrea: due controventi lungo la direzione X e uno lungo la direzione Y. Il punto di applicazione della forza orizzontale (forza attiva) è il baricentro della pianta e viene indicato come centro delle masse CM con coordinate (600,400). La risultante delle forze reattive prodotte dai controventi passa per il Centro di rigidezza CR con coordinate (1200,400). Le distanze tra i punti CM e CR risultano: lungo l’asse X ex=1200-600=600 cm lungo l’asse Y ey=400-400 = 0 cm. Per la forza orizzontale F=Fx=1000 daN che agisce nella direzione X il momento torcente risulta

M t= Fx·ey = 1000·0=0

quindi, le forze reattive sui controventi sono: F2 = ½· F = 500 daN F4 = ½· F = 500 daN F5 = 0 daN

Per la forza orizzontale F=Fy=1000 daN che agisce nella direzione Y il momento torcente risulta

M t= Fy·ex = 1000·600 daNcm

quindi, le forze reattive sui controventi sono:

F5 = F = 1000 daN F2 = (F·ex)/2L= (1000·600)/800)= 750 daN F4 = -(F·ex)/2L = -(1000·600)/800)=-750 daN


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CASO GENERALE Nel caso più generale di una distribuzione di controventi più articolata lungo le direzioni X e Y, dopo aver determinato la posizione del centro delle masse CM (baricentro delle masse quale punto di applicazione delle forze attive) e la posizione del centro delle rigidezze CR (baricentro delle rigidezze quale punto di applicazione delle forze reattive), si possono scrivere le relazioni per individuare le forze Fi di ciascun controvento.

CMCR

ex

ey X

Gi (Xi , Yi)

Y

Ki (Kx,i , Ky,i)

Fig.6 : distribuzione dei controventi in pianta

Il controvento i-esimo è individuato dal suo baricentro Gi , con coordinate xi e yi del sistema cartesiano con origine in CR, ed è caratterizzato dalle sue rigidezze Kx,i e Ky,i rispettivamente per le direzioni X e Y (entrambe le rigidezze saranno diverse da zero per controventi inclinati rispetto gli assi ortogonali). Le relazioni che forniscono le reazione Fi del controvento i-esimo sono formate da due componenti: il primo termine rappresenta la risposta dei controventi per la traslazione del piano, mentre il secondo termine la risposta dei controventi alla rotazione del piano. La reazione Fi dell’ i-esimo controvento per la forza Fx orizzontale risulta:

Kp

iiYiiXyX

X

iXXi J

xKyKeF

K

KFF

,

,,, )··()·(

++=

∑

La reazione Fi dell’ i-esimo controvento per la forza Fy verticale risulta:

Kp

iiYiiXxY

Y

iYYi J

xKyKeF

K

KFF

,

,,, )··()·(

++=

∑

dove: xi yi sono le coordinate del controvento i-esimo nel sistema cartesiano con origine in CR

ex ey sono le distanze tra CM e CR (eccentricità) Fx·ey è il momento di rotazione del piano per la forza diretta lungo X Fy·ex è il momento di rotazione del piano per la forza diretta lungo Y

KX,i è la rigidezza del controvento i-esimo nella direzione X KY.i è la rigidezza del controvento i-esimo nella direzione Y ΣKY è la somma delle rigidezze KY,i dei controventi disposti lungo Y ΣKX è la somma delle rigidezze KX,i dei controventi disposti lungo X Jp,K è il momento d’inerzia polare rispetto CR di tutte le rigidezze


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6 ESEMPI DI PROGETTO E VERIFICA DI STRUTTURE IN ACCIAIO

6.1 ESEMPIO 1 - SOLAIO Progetto e verifica di un solaio di abitazione per una superficie rettangolare di dimensioni 5,20x7.50 m con pareti perimetrali portanti. Il solaio scelto è del tipo lamiera grecata-calcestruzzo con travi in acciaio tipo IPE poste ad interasse di 150 cm secondo lo schema di figura. Una pianta strutturale che rappresenta il solaio (fig.1) è per convenzione una vista dal basso verso l’alto, quindi, le pareti in muratura rappresentate sono quelle che sostengono il solaio e le travi di solaio sono viste da sotto.

trav

e IP

E

trav

e IP

E

trav

e IP

E

trav

e IP

E

fig.1- Pianta strutturale del solaio

Nella figura seguente è visibile un solaio tipo lamiera grecata-calcestruzzo come quello previsto, l’immagine rappresenta il solaio in corso di costruzione dove sono visibili le puntellazioni costruttive di rompitratta. Per la tipologia del solaio è utile una ricerca in Internet con “solaio con lamiera grecata”.

fig.2 - Vista di un solaio con lamiera grecata in fase di costruzione


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IL SOLAIO ANALISI DEI CARICHI L'analisi dei carichi è la fase del progetto per valutare il peso dell'opera e per individuare le modalità di ripartizione del carico tra le varie componenti strutturali. Nella fase di dimensionamento l’analisi della struttura può essere condotta con la sola ipotesi di carico che individui le condizioni più frequenti di utilizzo della struttura stessa. Per il nostro solaio di abitazione l’ipotesi di carico è rappresentata dalla somma tra i pesi propri della struttura , i pesi propri degli elementi costruttivi (massetti, controsoffitto, pavimento, ecc.) e il carico di utilizzo o di esercizio previsto per il solaio stesso. Le scelte tecnologiche e tipologiche per la definizione del solaio consentono di valutare il carico unitario , cioè il carico su ciascun metro-quadrato di solaio. Tale carico distribuito su ogni metro-quadro del solaio viene, poi, trasformato in carico a metro-lineare sulle travi e, quindi, in carico concentrato sulle murature di appoggio.

pavimento in marmo

masseto cls. 4 cmalleggerito 12 cm

isolamenti vari

solaio lamiera grecata calcestruzzo 9 cm

travi IPE controsoffitto

fig.3 - Sezione tipo dell’intero solaio per l’analisi dei carichi

Il carico reale sulla struttura non è un valore assoluto, infatti, se pesiamo cento mattoni troveremo cento pesi diversi, ma per considerare il peso del mattone possiamo riferirci al peso più probabile che, per definizione, è quello che ha la probabilità del 95% di essere superiore al peso di ciascun mattone. Questo peso è detto caratteristico ed è riportato per tutti i materiali da costruzione nel capitolo 3 (Azioni sulle costruzioni) della normativa tecnica D.M. 14.01.2008 - "Norme tecniche per le costruzioni". Per una corretta analisi dei pesi è quindi necessario far riferimento alle dimensioni del progetto e ai pesi caratteristici. Il carico di esercizio, cioè il carico che deve sopportare ciascuna struttura in esercizio è fissato anch’esso dalla normativa Tecnica in funzione delle condizioni di utilizzo dei vari ambienti. In particolare i carichi sono riportati nella Tabella 3.1.II del capitolo 3.1.4. della norma. Nel nostro caso, trattandosi di un solaio di abitazione ricadiamo nella categoria A “Ambienti ad uso residenziale” e il carico di esercizio risulta :

qk=2.00 kN/m2= 200 kg/m2.


34


35

Quindi l’analisi dei carichi, nell’ipotesi che il solaio sia realizzato come in figura 3, fornisce il carico unitario: - pavimentazione in marmo 70 kg/mq - massetto di posa 4 cm 100 kg/mq - massetto alleggerito per impianti 12 cm 110 kg/mq - isolamenti vari 30 kg/mq - contro soffitto 50 kg/mq - tramezze di suddivisione spazi 120 kg/mq - CARICO ELEMENTI COSTRUTTIVI 480 kg/mq - PESO PROPRIO SOLAIO H=9 cm 165 kg/mq (vedi dimensionamento solaio) CARICO PERMANENTE TOTALE 645 kg/mq (carico sempre presente) CARICO DI ESERCIZIO Cat.A 200 kg/mq (carico massimo di utilizzo) CARICO UNITARIO 845 kg/mq (carico unitario totale massimo) DIMENSIONAMENTO SOLAIO Per dimensionare il solaio è facile trovare in Internet le diverse tipologie e anche alcune tabelle che consentono il primo dimensionamento dello spessore del solaio.

Solaio TIPO A55/P 600 – HI-BOND

fig.4. - Tipologia di un solaio in lamiera grecata con spessore variabile tra 9 e 12 cm

Con la tabella di fig.4 è possibile individuare il peso e le caratteristiche geometriche di verifica per il solaio scelto nel progetto con l’aiuto della tabella di figura 5.


36

fig.5 - Tabella di predimensionamento del solaio

Nel nostro caso la luce del solaio in appoggio tra le travi e pari a 150 cm e il carico complessivo risulta 845 kg/m ², quindi dalla tabella di fig.5 valida per lamiere di spessore 0.8 mm, verifichiamo che è sufficiente un solaio con spessore 9 cm che porta, secondo tabella, un carico di 1000 kg/m² su una luce di 206 cm . Di seguito si riportano le verifiche alla tensione e alla deformazione dove, come era ovvio dato il predimensionamento, il solaio risulta verificato.

luce di calcolo 150 cm

HI-BOND A55/P600 Altezza 9 cm

spessore lamiera 0,8 mm

modulo elastico lamiera 2.100.000 daN/cm²

tensione ammissibile lamiera σadm 1.500 daN/cm²

VERIFICA IN FASE DI ESERCIZIO

modulo resistente SUPERIORE Ws 1046 cm^3

modulo resistente INFERIORE Wi 53,35 cm^3

momento d'inerzia solaio Ji 318 cm4

PESO PROPRIO DEL SOLAIO 165 daN/m²

CARICO Permanente di utilizzo 480 daN/m²

CARICO Accidentale di utilizzo 200 daN/m²

Carico totale 845 daN/m²

Momento M=1/8 ql² 238 daN·m

VERIFICA CALCESTRUZZO σ=M/Wsup<σadm 22,7 <80 daN/cm²

VERIFICA LAMIERA σ=M/W inf<σadm 510 < 1500 aN/cm²

freccia limite fmax= 150/250 = 0.60 cm

deformazione massima fmax= 5/384 ql^4/EJ fmax= 0,07 < 0.60 cm

Taglio massimo 634 daN < 1000·2.06/2 =1030 daN


37

LE TRAVI DI SOLAIO CARICHI SULLE TRAVI tipo IPE Possiamo ora passare al dimensionamento delle travi IPE, ma prima bisogna trovare il carico che le travi devono sopportare. Tale carico è rappresentato dalla porzione di solaio evidenziata in rosso che ciascuna trave sopporta (vedi figura 6):

trav

e IP

E

trav

e IP

E

trav

e IP

E

trav

e IP

E

fig.6. - In rosso la quota di solaio che compete alla trave IPE

Complessivamente il carico risulta : Q= 845x(0.75+0.75)x5.20 = 6591 kg Questo carico totale (area rossa) è distribuito lungo la trave IPE di luce 5.20 m, quindi, il carico uniformemente distribuito lungo la trave risulta:

CARICO UNIFORMEMENTE DISTRIBUITO SULLA TRAVE q = 6591/5.2 =1268 kg/m

a questo carico si dovrà aggiungere il peso proprio della trave IPE che può essere approssimativamente considerato pari a p.p.= 20 kg/ml. Il carico uniformemente distribuito sulla trave IPE risulta infine:

carico trasmesso dal solaio 1268 kg/m peso proprio trave IPE 20 kg/m carico complessivo 1288 kg/m

LO SCHEMA STATICO La definizione dello schema statico rappresenta, assieme all'analisi dei carichi, la fase più importante del progetto. Lo schema statico è il modello interpretativo della realtà e come tale deve riprodurre il più possibile il comportamento reale della struttura. Le deformazioni dello schema statico devono corrispondere alle deformazioni reali della struttura. Nel nostro caso lo schema statico delle travi è molto semplice: possiamo ipotizzare che le travi in appoggio sulla muratura siano vincolate a cerniera (rotazione libera), infatti, la parete in laterizio non è in grado di produrre un impedimento alla rotazione della testa della trave, tale da poter ipotizzare l’incastro (rotazione completamente impedita). Lo schema statico per le travi è, quindi, la trave in semplice appoggio con carico uniforme q=1288 kg/m:

fig.7. - Schema statico trave IPE


38

VERIFICA E DIMENSIONAMENTO DELLE TRAVI Per dimensionare e verificare la trave devono essere soddisfatte le tre condizioni base: EQUILIBRIO, RESISTENZA e DEFORMABILITA’ EQUILIBRIO L’equilibrio è garantito dallo schema statico di fig.8 che rappresenta una struttura isostatica, per la quale si possono facilmente determinare le reazioni vincolari di equilibrio e i diagrammi di momento e di taglio.

diagramma del TAGLIO

diagramma del MOMENTO

fig.8.- Diagrammi di Momento e Taglio

L’andamento del diagramma di momento è parabolico con momento massimo nella sezione di mezzeria pari a:

Mmax = 1/8·1288·5.2² = 4353 kgm

L’andamento del diagramma di taglio è lineare con valori massimi agli appoggi e valore nullo in corrispondenza alla mezzeria dove il momento è massimo:

Vmax = ½ · 1288·5.2 =3348 kg Le Reazioni vincolari risultano: RA = Rb = 3348 kg RESISTENZA La resistenza è garantita e verificata in funzione delle caratteristiche di resistenza del materiale utilizzato. Nel nostro caso le travi IPE sono realizzate con acciaio tipo S275 che, secondo quanto riportato al paragrafo 5, ha le seguenti caratteristiche per la verifica: tensione ammissibile normale σadm = 1750 [daN/cm²] tensione ammissibile tangenziale τadm = (1/√3)·1750=1010 [daN/cm²] modulo elastico E = 2.100.000 [daN/cm²] La verifica a resistenza deve essere garantita per il momento massimo Mmax= 4353 kgm e per il taglio massimo Vmax=3348 kg. RESISTENZA A FLESSIONE Dimensioniamo la trave cercando il modulo resistente minimo necessario per resistere al momento massimo:

Wmin=Mmax / σadm = 435300/1750 = 249 cm³ Cercando tra i profilati metallici tipo IPE, individuiamo quello che ha un modulo resistente maggiore di quello minimo necessario W > Wmin=249 cm³. Dalla tabella di figura 9 individuiamo il profilato IPE220 con modulo resistente W=252 cm³ (maggiore di Wmin=249 cm³ ) e inerzia J=2770 cm4


39

fig.9.- Caratteristiche dei profilati tipo IPE

Verifichiamo ora il profilo IPE220 per il momento Mmax=4353 kgm :

σmax = Mmax / W < σadm

σmax =435300 / 252 = 1727 < 1750 kg/cm²

La verifica a resistenza per flessione è positiva. RESISTENZA A TAGLIO Verifichiamo il profilo IPE220 per il taglio massimo Vmax=3348 kg con l’espressione:

admaJ

ST ττ <=·

· maxmax

dove : Smax = 137 cm³ è il momento statico di mezza sezione IPE220 a = 0.59 cm è la larghezza dell’anima dell’IPE220 J = 2772 cm^4 è l’inerzia dell’intera sezione IPE 220 T =3348 daN è lo sforzo di Taglio Il momento statico di mezza sezione per il profilo IPE220 è calcolato con l’espressione precedentemente illustrata:

Smax= ½ b·(h/2)² - ½ (b-a)·(h/2-e)² Smax= ½ 11·(22/2)²- ½ (11-0.59)·(22/2-0.92)² = 665-528=137 cm³

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

28059.0·2772

137·3348max ==τ daN/cm²

La verifica a Taglio risulta positiva: τmax=280 < τadm =1010 daN/cm²

DEFORMABILITA’ Il progetto non è concluso, dobbiamo anche verificare che la trave sia in grado di sopportare il carico senza eccessive deformazioni.


40

I limiti di deformabilità sono fissati dalla normativa, come riportato nella tabella del capitolo 4, e nel nostro caso il limite della deformazione massima ammissibile (freccia massima in mezzeria) risulta:

famm = 520/250 = 2.08 cm La freccia massima in mezzeria per la trave appoggiata con carico uniforme è facilmente determinabile per lo schema statico di trave semplicemente appoggiata e carico uniforme.

f max

fig.10. deformata della trave

La freccia massima per la trave di solaio di figura 10 risulta:

JE

lqf

⋅⋅⋅⋅=

384

5 4

max

e sostituendo i valori : carico q=1288 kg/m = 12.88 kg/cm

luce L=5.20 m = 520 cm modulo elastico E=2.100.000 daN/cm2 momento d’inerzia IPE 220 J=2770 cm4 si ricava :

cmf 10.227702100000384

52088.125 4

max =⋅⋅

⋅⋅=

Per il profilo IPE 220 la freccia massima (fmax=2.10 cm) è maggiore della freccia ammissibile (f lim=2.08 cm), quindi, la trave NON è VERIFICATA per la DEFORMABILITA’

fmax > famm Si dovrà, perciò, utilizzare un profilo con dimensioni maggiori e, cercando nella tabella di figura 9, scegliamo il profilo IPE 240 con le seguenti caratteristiche:

momento d’inerzia J=3890 cm4 modulo resistente W=324 cm³.

Per il nuovo profilo scelto IPE240, la verifica a Resistenza risulta ovviamente garantita, poiché il suo modulo resistente è maggiore del modulo resistente necessario Wmin=249 cm³. Calcoliamo, quindi, la nuova freccia massima per la verifica della deformabilità del profilo IPE240:

admff =<=⋅⋅

⋅⋅= 08.250.138902100000384

52088.125 4

max

Questa volta la verifica della deformabilità è positiva.


41

6.2 ESEMPIO 2 - CONTROVENTI Progetto e verifica della costruzione, adibita ad uffici (Cat.B1), realizzata con una struttura in acciaio che sostiene un volume prefabbricato in alluminio e vetro. La struttura è composta da un solaio di superficie 8x12 m, sostenuto da una maglia 4x4 di pilastri di altezza 3 metri , e controventata con strutture a croce di sant’Andrea.

300

400 400 400

300

solaio uffici

pilastri

controvento travi

volume prefabbricato in alluminio e vetro

fig.1a – Sezione schematica dell’edificio

Il solaio scelto è del tipo a lamiera grecata-calcestruzzo con travi secondarie in acciaio tipo IPE poste ad interasse di 200 cm e travi principali tipo HEA di luce 400 cm, secondo lo schema di figura.

HE

A

sola

io

IPE IPE IPE

IPEIPEIPE

IPEIPEIPE

sola

io

sola

io

HE

A

HE

AH

EA

HE

AH

EA

HE

AH

EA

Pilastri HEA

Pila

stri

HE

A

400400400

200

200

200

200

controvento 1

controvento 2

cont

rove

nto

3co

ntro

vent

o 4

fig.1b - Pianta strutturale del solaio


42

IL SOLAIO ANALISI DEI CARICHI Il primo passo è la determinazione dei pesi in gioco, cioè dei carichi che agiscono sulla struttura. Per il nostro solaio l’ipotesi di carico è rappresentata dalla somma tra i pesi propri della struttura , i pesi propri degli elementi costruttivi (massetti, controsoffitto, pavimento, ecc.) e il carico di utilizzo o di esercizio previsto per il solaio stesso.

alleggerito 10 cm

controsoffittotravi

isolamenti varimasseto cls. 4 cmpavimento in legno

solaio lamiera grecata calcestruzzo 9 cm

prefabbricato

fig.2 - Sezione tipo solaio

La struttura prefabbricata, realizzata con pannelli in alluminio e vetro viene considerata globalmente come peso uniformemente distribuito sul solaio: q1= 220 kg/m². Quindi l’analisi dei carichi, nell’ipotesi che il solaio sia realizzato come in figura 2, fornisce il seguente carico unitario: - pavimentazione in legno 20 kg/mq - massetto di posa 4 cm 100 kg/mq - massetto alleggerito per impianti 10 cm 80 kg/mq - isolamenti vari 30 kg/mq - contro soffitto 30 kg/mq - prefabbricato 220 kg/mq - CARICO ELEMENTI COSTRUTTIVI 480 kg/mq - PESO PROPRIO SOLAIO H=9 cm 165 kg/mq (vedi dimensionamento solaio) CARICO PERMANENTE TOTALE 645 kg/mq (carico sempre presente) CARICO NEVE 100 kg/mq (carico di utilizzo) CARICO DI ESERCIZIO Cat B1 200 kg/mq (carico di utilizzo) CARICO UNITARIO 945 kg/mq (carico unitario totale massimo) DIMENSIONAMENTO del SOLAIO Per dimensionare il solaio si utilizza la stessa procedura utilizzata nell’esercizio precedente. In particolare dalle tabelle di fig.4 e 5 (vedi esercizio precedente) si ricava che, per il nostro solaio con carico totale 945 kg/mq e interasse travi 200 cm, possiamo ancora utilizzare il solaio in lamiera grecata-calcestruzzo di tipo HI-BOND di altezza h=9 cm. Di seguito si riportano le verifiche alle tensioni e alla deformazione per il solaio:


43

luce di calcolo 200 cm

HI-BOND A55/P600 Altezza 9 cm

spessore lamiera 0,8 mm

modulo elastico lamiera 2.100.000 daN/cm²

tensione ammissibile lamiera σadm 1.500 daN/cm²

VERIFICA IN FASE DI ESERCIZIO

modulo resistente SUPERIORE Ws 1046 cm^3

modulo resistente INFERIORE Wi 53,35 cm^3

momento d'inerzia solaio Ji 318 cm4

PESO PROPRIO DEL SOLAIO 165 daN/m²

CARICO Permanente di utilizzo 480 daN/m²

CARICO Accidentale di utilizzo 300 daN/m²

Carico totale 945 daN/m²

Momento M=1/8 ql² 473 daN·m

VERIFICA CALCESTRUZZO σ=M/Wsup<σadm 45.2 <80 daN/cm²

VERIFICA LAMIERA σ=M/W inf<σadm 886 < 1500 aN/cm²

freccia limite fmax= 150/250 = 0.80 cm

deformazione massima fmax= 5/384 ql^4/EJ fmax= 0,25 < 0.80 cm

Taglio massimo 945 daN < 1130 daN LE TRAVI SECONDARIE CARICHI sulle TRAVI SECONDARIE tipo IPE Il carico complessivo che grava su ciascuna trave IPE posta ad interasse 200 cm risulta:

Q = 945x(1+1)x4 = 7560 kg

sola

io IPE IPE

controvento 1

IPE

Pilastri HEA

IPE

cont

rove

nto

3

HE

A

HE

A

cont

rove

nto

4

HE

A

HE

A

IPE

400

200

IPE

200

200

sola

io

IPE

200

100

100

400

sola

io

HE

A

HE

A

controvento 2

HE

A

Pila

stri

HE

A

HE

A

IPE IPE

400 400

fig.3.- In rosso la quota di solaio che compete alla trave IPE


44

Il carico totale Q=7560 kg (area rossa) è distribuito lungo la trave IPE di luce 4.00 m, quindi, il carico uniformemente distribuito lungo la trave risulta:

q =7560/4 =1890 kg/m

al quale si dovrà aggiungere il peso proprio della trave IPE e il carico uniformemente distribuito risulta:

carico trasmesso dal solaio q = 1890 kg/ml peso proprio trave IPE p.p.= 20 kg/ml carico complessivo = 1910 kg/ml

LO SCHEMA STATICO lo schema statico delle travi secondarie è la trave in semplice appoggio con carico uniformemente ripartito q=1910 kg/ml:

400

fig.4. - Schema statico trave IPE

VERIFICA e DIMENSIONAMENTO delle TRAVI tipo IPE EQUILIBRIO L’equilibrio è garantito dallo schema statico di fig.5 che rappresenta una struttura isostatica, per la quale si possono facilmente determinare le reazioni vincolari di equilibrio e i diagrammi di momento e di taglio.



fig.5. - Diagrammi di Momento e Taglio della trave IPE

il momento massimo in mezzeria risulta: Mmax = 1/8·1910·4² = 3820 kgm il taglio massimo all’appoggio risulta : Vmax = ½ · 1910·4 =3820 kg Le Reazioni vincolari risultano: RA = RB = 3820 kg RESISTENZA La resistenza è garantita e verificata in funzione delle caratteristiche di resistenza del materiale utilizzato. Nel nostro caso le travi IPE sono realizzate con acciaio tipo S275 che, secondo quanto riportato al paragrafo 5, ha le seguenti caratteristiche per la verifica: tensione ammissibile normale σadm = 1750 [daN/cm²] tensione ammissibile tangenziale τadm = (1/√3)·1750=1010 [daN/cm²] modulo elastico E = 2.100.000 [daN/cm²]


45

La Verifica a RESISTENZA deve essere garantita per il momento massimo Mmax= 3820 kgm e per il taglio massimo Vmax=3820 kg. RESISTENZA A FLESSIONE Dimensioniamo la trave cercando il modulo resistente minimo necessario per resistere al momento massimo:

Wmin=Mmax / σadm = 382000/1750 = 218 cm³ Dalla tabella di figura 6 individuiamo il profilato IPE220 con modulo resistente W=252 cm³ e inerzia J=2770 cm4

fig.6 - Caratteristiche dei profilati tipo IPE

Verifichiamo il profilo IPE220 per il momento momento Mmax=3820 kgm :


σmax =382000 / 252 = 1516 < 1750 kg/cm²

La verifica a resistenza per flessione è positiva.

RESISTENZA A TAGLIO Verifichiamo il profilo IPE220 per il taglio massimo Vmax=3820 kg con l’espressione:

admaJ

ST ττ <=·

· maxmax

dove : Smax = 137 cm³ è il momento statico di mezza sezione IPE220 a = 0.59 cm è la larghezza dell’anima dell’IPE220 J = 2772 cm^4 è l’inerzia dell’intera sezione IPE 220 T =3820 daN è lo sforzo di Taglio Sostituendo i valori numerici si ottiene:

32059.0·2772

137·3820max ==τ daN/cm²

La verifica a Taglio risulta positiva: τmax=320 < τadm =1010 daN/cm²


46

DEFORMABILITA’ Il limite di deformabilità massimo ammissibile (freccia massima in mezzeria) risulta:

famm = 400/250 = 1.60 cm

maxf

400

fig.7. - Deformata della trave

La freccia massima per la trave di solaio di figura 7 risulta: JE

lqf

⋅⋅⋅⋅=

384

5 4

max

e sostituendo i valori : carico q=1910 kg/m = 19.10 kg/cm

luce L=4.00 m = 400 cm modulo elastico E=2.100.000 daN/cm2 inerzia IPE 220 J=2770 cm4 si ricava la freccia massima da confrontare con la freccia ammissibile:

cmfcmf amm 60.109.127702100000384

40010.195 4

max =<=⋅⋅

⋅⋅=

quindi, la trave IPE220 è VERIFICATA alla DEFORMABILITA’. LE TRAVI PRINCIPALI CARICHI sulle TRAVI PRINCIPALI tipo HEA Le travi secondarie IPE220 sono sostenute dalle travi principali HEA. Il carico trasmesso alla trave principale è rappresentato dalle reazioni vincolari delle travi secondarie IPE (area rossa di figura 8)

HE

AH

EA

Pila

stri

HE

A

cont

rove

nto

4co

ntro

vent

o 3

400400controvento 2

IPE

IPE

sola

io

IPEHE

A

IPE

400

sola

io

HE

A

sola

ioIPE

IPE HE

A

400

Pilastri HEA

controvento 1

IPE

100

100

HE

A

IPE

HE

A

IPE

HE

A

200

200

200

200

fig.8. - In rosso la quota di solaio che compete in mezzeria alla trave HEA

Il carico concentrato trasmesso dalle travi IPE nella mezzeria della trave HEA risulta:


47

P=3820x2 =7640 kg

a questo carico si dovrà aggiungere il peso proprio della trave HEA che può essere approssimativamente considerato pari a p.p.= 50 kg/ml. LO SCHEMA STATICO lo schema statico delle travi principali è la trave in semplice appoggio con il carico concentrato P=7640 kg in mezzeria e il carico uniformemente distribuito q=50 kg/ml:

400

Pq

A B



fig.7 - Schema statico trave HEA

VERIFICA e DIMENSIONAMENTO delle TRAVI tipo HEA EQUILIBRIO L’Equilibrio è garantito dalla isostaticità dello schema statico di fig.7. L’andamento del diagramma di momento è parabolico con una cuspide in mezzeria dovuta al carico concentrato. Il momento massimo nella sezione di mezzeria per sovrapposizione degli effetti dei carichi risulta:

Mmax = 1/4·7640·4+1/8·30·4² = 7700 kgm

L’andamento del diagramma di taglio è lineare con un salto in mezzeria: Il taglio in mezzeria risulta: V1/2 = P/2 =7640/2= 3820 kg Il taglio massimo agli appoggi risulta: Vmax = ½ · 50·4+ ½ ·7640 =3920 kg Le reazioni vincolari risultano: RA = Rb = 3920 kg RESISTENZA La resistenza è garantita e verificata in funzione delle caratteristiche di resistenza del materiale utilizzato. Nel nostro caso le travi HEA sono realizzate con acciaio tipo S275 che, secondo quanto riportato al paragrafo 5, ha le seguenti caratteristiche per la verifica: tensione ammissibile normale σadm = 1750 [daN/cm²] tensione ammissibile tangenziale τadm = (1/√3)·1750=1010 [daN/cm²] modulo elastico E = 2.100.000 [daN/cm²] La Verifica a resistenza deve essere garantita nella sezione di mezzeria dove agiscono contemporaneamente il momento massimo Mmax= 7700 kgm e il taglio V1/2 = 3820 kg e nelle sezioni di appoggio dove agisce solo il taglio massimo Vmax=3920 kg. RESISTENZA a FLESSIONE Dimensioniamo la trave cercando il modulo resistente minimo necessario per resistere al momento massimo:


48

Wmin=Mmax / σadm = 770000/1750 = 440 cm³ Dalla tabella di figura 8 individuiamo il profilato HEA220 con modulo resistente W=515 cm³ e inerzia J=5410 cm4

fig.8. - Caratteristiche dei profilati tipo HEA

Verifichiamo il profilo HEA220 per il momento Mmax=7700 kgm :


σmax =770000 / 515 = 1495 < 1750 kg/cm²

La verifica a resistenza per flessione è positiva.

RESISTENZA A TAGLIO Verifichiamo il profilo HEA220 per il taglio massimo Vmax=3820 kg con l’espressione:

admaJ

ST ττ <=·

· maxmax

dove : Smax = 252 cm³ è il momento statico di mezza sezione HEA220 a = 0.7 cm è la larghezza dell’anima dell’HEA220 J = 5410 cm^4 è l’inerzia dell’intera sezione HEA220 T =3820 daN è lo sforzo di Taglio Il valore del momento statico di mezza sezione per il profilo HEA 200 risulta:

Smax= ½ 22·(21/2)²- ½ (22-0.7)·(21/2-1.1)² = 1213-961=252 cm³ Sostituendo i valori numerici si ottiene la verifica a taglio positiva:

τmax=250 < τadm =1010 daN/cm²


49

RESISTENZA a TAGLIO e FLESSIONE Nella sezione di mezzeria agisce contemporaneamente la sollecitazione di taglio V1/2 = 3820 kg e di flessione Mmax = 7700 kgm. Le tensioni normali e tangenziali risultano quelle di figura 9:

asse neutroT

M

max

min

sSS

a

max

s

b

e

h/2ys

fig.9. - Sollecitazione M+T in mezzeria per il profilo HEA220

Osservando i diagrammi delle tensioni normali e tangenziali si evince che il punto maggiormente sollecitato è la sezione S-S (attacco ala-anima) dove agiscono contemporaneamente le tensioni σs e τs con valori elevati, anche se non massimi. I profili commerciali in queste sezioni hanno dei raccordi di rinforzo. Trattandosi di uno stato di tensione biassiale la verifica va condotta con il criterio di Von Mises per il quale si determina la tensione ideale per il confronto con la tensione ammissibile:

admssid στσσ <⋅+±= 22 3

dalla figura 9, per un profilo HEA220 si individuano i seguenti dati: - larghezza ala b = 22 cm - altezza sezione h = 21 cm - spessore ala e = 1.1 cm - larghezza anima a = 0.7 cm - momento d’inerzia J = 5410 cm^4 - distanza dell’attacco ala-anima dall’asse neutro ys = 21/2-1.1 = 9.4 cm - momento statico dell’ala rispetto l’asse neutro Ss = (22·1.1)·(21/2-0.7/2)=246 cm³ Si possono così ricavare la tensione normale σs e la tensione tangenziale τs :

- tensione normale σs = 770000·9.4/5410 =1338 daN/cm²

- tensione tangenziale τs = 3820·246/(5410·0.7)= 248 daN/cm²

Si ricava, quindi, la tensione ideale σid per la verifica che risulta positiva:

1750140524831338 22 =<=⋅+±= admid σσ


50

DEFORMABILITA’ I limiti di deformabilità massima ammissibile (freccia massima in mezzeria) risulta:

famm = 400/250 = 1.60 cm

maxf

400

Pq

fig.10. deformata della trave

La freccia massima per la trave di solaio di figura 10 si ricava per sovrapposizione tra la freccia del carico concentrato e la freccia del carico distribuito:

JE

Lq

JE

LPf

⋅⋅⋅⋅+=

384

5

··384

··8 43

max

e sostituendo i valori : carico concentrato P=7640 kg carico distribuito q=50 kg/m = 0.5 kg/cm

luce L=4.00 m = 400 cm modulo elastico E=2.100.000 daN/cm2 inerzia HEA 220 J=5410 cm4 si ricava : fmax = 0.897 + 0.015 = 0.912 cm < famm=1.60 cm

quindi, la trave HEA 220 è VERIFICATA anche per la DEFORMABILITA’. I PILASTRI

CARICHI sui PILASTRI I pilastri centrali sorreggono le travi principali HEA220 e le travi secondarie IPE220 che concorrono sui pilastri stessi. Il carico trasmesso ai pilastri centrali è rappresentato dalle reazioni vincolari delle travi principali HEA e delle travi secondarie IPE (area rossa di figura 11)

400

400

HE

AH

EA

Pila

stri

HE

A

IPE

controvento 2400

HE

A

IPE

IPE

sola

io IPE

IPE

HE

A

IPE

cont

rove

nto

3co

ntro

vent

o 4

HE

A

HE

A

IPE

400

IPE

HE

A

200

200

HE

A

IPE

sola

io

200

200

200

200

Pilastri HEA

controvento 1

pilastro

fig.11.- In rosso la quota di solaio che compete ai pilastri centrali


51

Il carico concentrato sui pilastri risulta: P=3920x2+3820x2 =15480 kg

Per controprova verifichiamo l’area rossa di solaio, detta area di carico sul pilastro:

P=4x4x945=15120 kg . La differenza di 360 kg è dovuta al peso proprio delle travi non conteggiato nella controprova. LO SCHEMA STATICO lo schema statico del pilastro è l’asta compressa di figura 12 con carico P=15480 kg:

P

H=

300

cm

Fig.12. schema statico pilastri

I vincoli alle estremità sono rappresentati da cerniere. La cerniera, infatti, per le strutture costruite con profili in acciaio, rappresenta la modalità di collegamento delle aste più semplice e più economica da realizzare. In figura 12 sono indicati anche dei carrelli i rosso che raffigurano l’impedimento alla traslazione orizzontale del piano del solaio. E’ evidente che se il piano di solaio potesse traslare orizzontalmente l’intera struttura sarebbe labile e cadrebbe a terra. L’impedimento alla traslazione orizzontale del piano avviene ad opera delle strutture di controvento che analizzeremo nel paragrafo successivo. La struttura del pilastro, così come rappresentata dallo schema statico di figura 12, è un asta compressa da verificare al carico di punta secondo la deformazione di instabilità indicata in rosso. VERIFICA e DIMENSIONAMENTO dei PILASTRI tipo HEA Per il predimensionamento del pilastro si può far riferimento alle necessità geometriche di costruzione della struttura, infatti, per realizzare in modo efficace il nodo pilastro-travi è utile usare per il pilastro un profilo HEA220 uguale a quello delle travi principali, come illustrato in figura 13.

Trave IPE220

Trave HEA220Trave HEA220

Pilastro HEA220

solaio in lamiera grecata-calcestruzzo

9022

0

Fig.13. - Nodo pilastro-travi


52

La verifica del pilastro a compressione per carico di punta è eseguita secondo il metodo omega. Per il pilastro realizzato con profilo HEA220 secondo lo schema statico di figura 12 si individuano le seguenti grandezze geometriche: raggio d’inerzia minimo i = 5.51 cm (vedi tabella profili HEA di fig.8) lunghezza pilastro L=300 cm coefficiente di vincolo β = 1 lunghezza libera d’inflessione Lo=β·L= 300 cm Determiniamo la snellezza λ dell’asta e verifichiamo che sia minore del limite massimo λmax=200 fissato dalla normativa per le strutture principali:

maxλλ <=i

L o

2004,5451.5

300 <==λ

In funzione della snellezza λλλλ=54.4 individuiamo coefficiente omega ω nella tabella per i profili tipo HE riportata nel paragrafo 5.4

ω = 1,215 L’espressione di verifica con il metodo omega:

admA

N σωσ ≤⋅=

fornisce il seguente risultato positivo:

²1750292

3.64

15480215,1

cm

daNadm =≤=⋅= σσ

Per il pilastro non sono necessarie altre verifiche. I CONTROVENTI La struttura è composta da un piano orizzontale (piano di solaio) sostenuto da una maglia 4x4 di pilastri. In assenza di controventi, la struttura è labile e una forza orizzontale porterebbe al crollo secondo il meccanismo di figura 14.

Fig.14. – Struttura labile per forze orizzontali

Per bloccare tale labilità e rendere la struttura resistente alle forze orizzontali si introducono i controventi, realizzati con tipologia a croce di sant’Andrea mediante tiranti costituiti da piatti in acciaio di dimensioni 4x1 cm, come rappresentato i figura15.


53

400 400 400

300

Fig.15. – Controvento per resistere alle forze orizzontali

La rigidezza del controvento è definita come rapporto tra la trazione sul tirante e lo spostamento orizzontale e vale:

cm

daN

T

AEK 16800

500

4·2100000· ===

dove: T=500 cm è la lunghezza del tirante A=4 cm² è la sezione del tirante piatto 4x1 E=2.100.000 è il modulo elastico dell’acciaio Per la nostra costruzione introduciamo 4 controventi uguali di rigidezza K=16800 daN/cm distribuiti in pianta come riportato in figura 16.

controvento 2

400 400

controvento 1

400

cont

rove

nto

4

400

cont

rove

nto

3

400

CM CRX

Y

ex=600

ey=0

G1

G2

G4

G3

Fig.16. – Distribuzione dei controventi in pianta

Nella figura 16 si individua il punto CM, centro delle masse e baricentro geometrico del piano. In questo punto si applicano le forze orizzontali di piano prodotte dal vento e dal sisma che agiscono sulla costruzione come azioni esterne. Inoltre, si individua il punto CR, baricentro delle rigidezze Kx per icontroventi 1 e 2 e Ky per i controventi 3 e 4. Nel punto CR (baricentro delle forze reattive) viene posizionato un sistema di assi cartesiani X,Y e si ricavano le distanze in X e in Y del punto CM (baricentro delle forze attive): ex = 600 = 6,00 m ey = 0 m Le distanze tra CM e CR rappresentano le eccentricità delle forze attive Fx e Fy rispetto il baricentro delle forze reattiva. Rispetto il sistema di assi cartesiani X,Y in CR si determinano, per ciascun controvento, le coordinate dei baricentri e i momenti statici e i momenti d’inerzia delle rigidezze. I valori sono riportati nella tabella seguente.


54

controvento n. 1 2 3 4 somme Rigidezza lungo X Kx 16.800 16.800 0 0 Σ KX = 33.600 Rigidezza lungo Y Ky 0 0 16.800 16.800 Σ KY = 33.600 Coordinata X xG -10,00 -10,00 0 0 Coordinata Y yG +4,00 -4,00 +2,00 -2,00 Momento statico Ky·xG 0 0 0 0 Momento statico Kx·yG 67.200 -67.200 0 0 Momento d’inerzia Jx,K Ky·xG² 0 0 0 0 Σ Jx,K =0 Momento d’inerzia Jy,K Kx·yG² 268.800 268.800 0 0 Σ Jy,K =537.600

I momenti d’inerzia delle rigidezze Jx,K e Jy,K servono per calcolare il momento d’inerzia polare Jp,K da utilizzare nell’espressione generale per il calcolo delle forze sui controventi :

Jp,K = Jx,K + Jy,K = 0 + 537.600 = 537.600 Le forze reattive sui singoli controventi per una forza FX diretta lungo X nel punto CM si determinano con l’espressione generale precedentemente illustrata:

Kp

iiYiiXyX

X

iXXi J

xKyKeF

K

KFF

,

,,, )··()·(

++=

∑

quindi, sostituendo i valori riportati nella tabella otteniamo:

- controvento 1 : XXX FFFF ·5.0537600

67200)·0·(

33600

16800·1 =+=

- controvento 2 : XXX FFFF ·5.0537600

67200)·0·(

33600

16800·2 =−+=

- controvento 3 : 0537600

0)·0·(

33600

0·3 =+= XX FFF

- controvento 4 : 0537600

0)·0·(

33600

0·4 =+= XX FFF

Le forze reattive sui singoli controventi per una forza FY diretta lungo Y nel punto CM si determinano con l’espressione generale:

Kp

iiYiiXxY

Y

iYYi J

xKyKeF

K

KFF

,

,,, )··()·(

++=

∑

quindi, sostituendo i valori riportati nella tabella otteniamo:

- controvento 1 : YYY FFFF ·75.0537600

67200)·6·(

33600

0·1 =+=


67200)·6·(

33600

0·2 −=−+=


0)·6·(

33600

16800·3 =+=


0)·6·(

33600

1800·4 =+=


55

IL VENTO L’azione del vento sulle costruzioni è esposta nel paragrafo 3.3 delle “Norme Tecniche per le Costruzioni”, D.M. 14.1.2008. Il vento induce sulle superfici verticali delle costruzioni una pressioni secondo la relazione :

dpe cccv

p ····2

2

ρ=

dove: v = velocità di riferimento del vento [m/s] ρ = densità dell’aria 1.25 [kg/m³] ce = coefficiente di esposizione cp = coefficiente aerodinamico di forma cd = coefficiente dinamico La velocità del vento (vb) viene fissata dalla normativa in funzione dell’area geografica (Zona) dove si trova la costruzione, ma anche in funzione dell’altitudine (as) sul livello del mare del sito dove sorge la costruzione. Il coefficiente di esposizione (ce) dipende dall’altezza della costruzione (z) e dalla categoria di esposizione del sito. La categoria di esposizione del sito dipende dalla distanza dal mare e dalla classe di rugosità del terreno (Aree urbane densamente costruite, aree suburbane, aree con ostacoli diffusi, aree prive di ostacoli, ecc). Il coefficiente di forma (cp) per gli edifici a pianta rettangolare con copertura piana vale cp1=+0.8 sulla superficie esposta sopravento e cp2= - 0.4 per la superficie sottovento.

VENTO

1200

800

600

XY

FX

150

150

300

Fig.17. – l’effetto del vento

Per il nostro esempio consideriamo un edificio posizionato a Venezia per il quale si determina la seguente azione del vento:

EDIFICIO SITO IN COMUNE DI VENEZIA CARATTERIZZAZIONE DEL SITO: ZONA 1- Veneto -altitudine < 1000 m.

PARAMETRI ao = 1.000 m velocità di riferimento del vento vb,o= 25 m/s ka= 0,010 1/s pressione cinetica di riferimento qb= 391 N/m²

CLASSE DI RUGOSITA' classe A CATEGORIA DI ESPOSIZIONE Categoria di esposizione : IV kr= 0,22

zo= 0,30 m zmin= 8 m

COEFFICIENTI DI ESPOSIZIONE coefficiente topografico ct= 1,000 ce(zmin)= 1,6342

altezza massima della struttura z= 6,0 m ce(z)= 1,634

COEFFICIENTI DI FORMA sopravento cp1= 0,800 sottovento cp2= -0,400

COEFFICIENTI DINAMICO coefficiente dinamico cd= 1,000

PRESSIONI DEL VENTO pressione a quota z = 6 q( 6 )= 51,1 daN/m² depressione a quota z = 6 q( 6 )= -25,5 daN/m²


56

Si possono ora determinare le forze orizzontali prodotte dal vento e le forze ripartite sui controventi: in direzione X: forza del vento Fx = (51.1+25.5)·(4.50x8) = 2758 daN controvento 1 F1 = 0.5·Fx = 1379 daN controvento 2 F2 = 0.5·Fx = 1379 daN controvento 3 F3 = 0·Fx = 0 controvento 4 F4 = 0·Fx = 0 in direzione Y: forza del vento Fy= (51.1+25.5)·(4.50x12) = 4136 daN controvento 1 F1 = 0.75·Fy = 3102 daN controvento 2 F2 = - 0.75·Fy = - 3102 daN controvento 3 F3 = 0.5·Fy = 2068 daN controvento 4 F4 = 0.5·Fy = 2068 daN VERIFICA dei CONTROVENTI per il VENTO Il controvento a croce di sant’Andrea con dimensioni 4x3 metri è realizzato con tiranti in acciaio realizzato con piatto 4x1 cm con area A=4 cm² e lunghezza T=5 metri.

300

400

F

F N500

T

Fig.18. – il funzionamento del controvento

La massima forza orizzontale applicata al controvento per effetto del vento risulta F=3102 daN, quindi, la trazione massima sul tirante in acciaio risulta:

FT = F·T/L = 3102·5/4 = 3877 daN

Per la verifica a trazione del tirante risulta positiva:

admA

T σσ =≤=== 17509694

3877max

La forza F orizzontale sul controvento crea anche una forza di compressione sul pilastro:

N=F·H/L = 3102·3/4 = 2326 daN

Tale compressione si somma, per la verifica del Pilastro, alla compressione prodotta dai carichi verticali. IL SISMA L’azione del sisma sulle costruzioni è esposta nel capitolo 7 delle “Norme Tecniche per le Costruzioni”, D.M. 14.1.2008. Per il nostro esercizio facciamo riferimento all’analisi lineare statica per la quale la forza d’inerzia indotta dal sisma è assimilata ad una forza equivalente statica. La forza statica è una accelerazione per una massa, quindi, definendo con Sd l’accelerazione orizzontale imposta alla struttura dal sisma e con W/g la massa del carico W, possiamo scrivere :

F = accelerazione x massa = Sd · W / g


57

dove: F è la forza statica orizzontale W è il peso della costruzione g è l’accelerazione di gravità W/g è la massa del peso della costruzione Sd è lo spettro di risposta in accelerazione orizzontale per la struttura L’accelerazione Sd viene determinata in funzione della zonizzazione sismica, della categoria del sottosuolo, delle condizioni topografiche, della tipologia della struttura, della risposta elastica della struttura per le azioni orizzontali, della classe d’uso della costruzione. Per il nostro edificio che si trova in comune di Venezia, con grado si sismicità molto basso, possiamo in prima approssimazione utilizzare un’accelerazione di risposta Sd = 0.04 g. I pesi da considerare per valutare la massa della forza inerziale sono il 100% dei pesi permanenti della struttura e una quota del 30 % dei carichi di esercizio accidentali, inoltre bisogna aggiungere anche il peso proprio delle travi in acciaio che possiamo quantificare nel 10% del carico permanente: Carico permanente 645x100% = 645 kg/m² Carico di esercizio 300x30% = 90 kg/m² Peso proprio travi 645x10% = 65 kg/m² Carico per l’effetto sismico = 800 kg/m² Considerando il peso dell’intero piano di solaio risulta:

W = 800x12x8 = 76.800 kg

La forza statica orizzontale da applicare al baricentro delle masse CM per simulare la forza inerziale sismica risulta:

F = Sd · W / g = 0.04·76.800 = 3072 daN Si possono ora determinare le forze orizzontali prodotte dal sisma e le forze ripartite sui controventi: in direzione X: forza del sisma Fx = 3072 daN controvento 1 F1 = 0.5·Fx = 1536 daN controvento 2 F2 = 0.5·Fx = 1536 daN controvento 3 F3 = 0·Fx = 0 controvento 4 F4 = 0·Fx = 0 in direzione Y: forza del sisma Fy = 3072 daN controvento 1 F1 = 0.75·Fy = 2304 daN controvento 2 F2 = - 0.75·Fy = - 2304 daN controvento 3 F3 = 0.5·Fy = 1536 daN controvento 4 F4 = 0.5·Fy = 1536 daN VERIFICA dei CONTROVENTI per il SISMA Le forze nei controventi prodotte dal sisma sono inferiori a quelle prodotte dal vento. Ciò accade spesso quando si opera con costruzioni che si trovano nelle zone sismiche 4 caratterizzate da grado di sismicità molto basso. In questo caso, quindi, per le verifiche dei controventi è sufficiente quanto già riportato per il vento.


58

6.3 ESEMPIO 3 - RETICOLARE

Progetto e verifica di una grande copertura per un’area di dimensioni 36x12 metri con una zona a sbalzo di 12 metri. La copertura è sostenuta da 4 pilastri.

fig.1 – schematizzazione delle strutture di copertura

Si sceglie di costruire la copertura con strutture in acciaio come riportato in figura. In particolare la struttura della copertura è realizzata con due travi reticolari principali (rosse) sostenute dai pilastri, tali travi principali sono collegate e sostengono le travi secondarie (blu) di luce 12 metri. Le travi reticolari secondarie sostengono le travi (verdi) di piano (arcarecci) poste ad interasse 3 metri. Il solaio di copertura è appoggiato a questi arcarecci ed è realizzato con lamiera grecata e calcestruzzo. L’altezza di 300 cm delle travi reticolari e il passo di 300 cm dei nodi delle travi reticolari sono scelte iniziali dettate dalla modularità del disegno. Il compito del progetto è quello di verificare queste scelte iniziali e di modificarle in funzione delle necessità strutturali che incontreremo. ANALISI DEI CARICHI Come primo passo definiamo le scelte tipologiche della copertura per individuare i carichi permanenti e accidentali. In particolare per il manto di copertura si sceglie una tipologia leggera realizzato in lamiera e il solaio è del tipo lamiera grecata-calcestruzzo. La struttura deve sostenere tutte le condotte, tubazioni e canalizzazioni e apparecchi degli impianti tecnologici, sotto il solaio è presente un controsoffitto di tipo leggero. La copertura è del tipo non praticabile e l’unico carico accidentale da considerare è il carico della neve. Tra i carichi permanenti dobbiamo considerare anche il peso proprio delle strutture che possiamo approssimare pari a 40 kg/mq, trattandosi di una struttura leggera in acciaio. I carichi permanenti risultano: manto in lamiera 15 kg/m² Solaio H=9 cm 165 kg/m² (vedi esercizio 1) Peso proprio strutture 40 kg/m²

Isolamenti vari 20 kg/m² Impianti tecnologici 30 kg/m² Controsoffitto 20 kg/m² CARICO PERMANENTE 290 kg/m² Per i carichi accidentali da neve si ipotizza che l’edificio sia situato in provincia di Venezia, quindi il carico neve sulla copertura è quello previsto dalla normativa per la Zona II :


59

carico neve a terra qsk = 100 kg/m² carico neve sul tetto qs = µ · qsk =0.8 · 100 = 80 kg/m² I carichi totali risultano: CARICO PERMANENTE 290 kg/m² CARICO NEVE 80 kg/m² CARICO TOTALE 370 kg/m² DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE RETICOLARE PRINCIPALE Come primo passo del progetto proviamo a dimensionare la trave principale per controllare soprattutto se l’altezza di 300 cm scelta sia corretta. Lo schema statico della trave principale è quello riportato in figura 2 dove le frecce blu indicano i carichi trasmessi dalle travi secondarie, mentre le frecce rosse indicano le reazioni fornite dai pilastri di appoggio.

fig.2 – schema statico della trave reticolare principale

Si tratta di una trave appoggiata con uno sbalzo per la quale il diagramma complessivo di momento è del tipo riportato in figura 3:

A B

C

fig.3 – andamento del diagramma di momento per la trave principale

In corrispondenza all’appoggio B il momento è negativo e mette in trazione le aste superiori della reticolare e in compressione le aste inferiori. In campata, tra gli appoggi A e B, il momento diventa positivo e, quindi, vanno in compressione le aste superiori e in trazione quelle inferiori. Nelle prime pagine di questo scritto abbiamo visto che le aste compresse devono essere verificate per problemi di instabilità alla compressione e che tale fenomeno è influenzato anche dalla lunghezza dell’asta. Ciò ci suggerisce di disporre le aste diagonali (le più lunghe) in modo tale che siano tese e non compresse. Per ottenere questo risultato, visto l’andamento del diagramma di momento, le aste diagonali vanno disposte come in figura 2. CARICHI SULLA STRUTTURA RETICOLARE PRINCIPALE Per iniziare la verifica della struttura principale è ora necessario individuare i carichi blu che sono trasmessi alla reticolare principale dalle reticolari secondarie. In particolare dalla figura 4 si evince che la porzione di solaio, e quindi il carico trasmesso dalle strutture secondarie risulta quello evidenziato con il reticolo blu: Q= 370x6x6 = 13320 kg


60

fig.4 – carico della porzione di solaio trasmessa dalla reticolare secondaria alla reticolare principale

Possiamo ora rappresentare in figura 5 la reticolare principale con i carichi assegnati. Per facilitare la lettura dello schema statico sono stati numerati tutti i nodi (numeri neri da 1 a 26) e sono state numerate tutte le aste (numeri magenta da 1 a 49).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

Q/2 =6660 kg Q =13320 kgQ =13320 kgQ =13320 kgQ =13320 kgQ =13320 kg Q/2 =6660 kg

fig.5 – schema statico della trave reticolare principale

PROGETTO E VERIFICA Per dimensionare e verificare la struttura reticolare devono essere soddisfatte le tre condizioni base: EQUILIBRIO, RESISTENZA e DEFORMABILITA’. EQUILIBRIO Nel nostro caso l’EQUILIBRIO è garantito dallo schema statico di fig.5 che altro non è che una trave appoggiata con uno sbalzo, isostatica ed equilibrata. Per questa trave si possono facilmente determinare le reazioni agli appoggi e il diagramma di momento con semplici condizioni di equilibrio delle forze attive (carichi) e passive (reazioni). La reazione in A si determina con l’equilibrio delle forze in B:

RA = (+6660·12+13320·6-13320·6-13320·12-13320·18-6660·24) / 24 = - 19980 kg La reazione in B si può determinare con l’equilibrio verticale

RB = (-6660-13320·5-6660)+19980 = - 59940 kg Ovviamente il carico sul pilastro B è molto maggiore al carico sul pilastro A e di ciò si dovrà tener conto nel dimensionamento dei pilastri. Anche il diagramma di momento, il cui andamento è riportato in figura 3, è facilmente individuabile con semplici valutazioni di equilibrio:

Momento nella sezione definita dai nodi 26-13: M= 0 kgm

Momento nella sezione definita dai nodi 24-11 con l’equilibrio da destra: M= -6660·6= -39960 kgm

Momento nella sezione definita dai nodi 22-9 con l’equilibrio da destra: M= -6660·12-13320·6= -159840 kgm

Momento nella sezione definita dai nodi 20-7 con l’equilibrio da destra : M= -6660·18-13320·12+(59940-13320)·6= 0 kgm oppure facendo l’equilibri da sinistra:


61

M=(19980-6660)·18-13320·12-13320·6 = 0 kgm Momento nella sezione definita dai nodi 18-5 con l’equilibrio da destra :

M= -6660·24-13320·18+(59940-13320)·12-13320·6= +79920 kgm oppure facendo l’equilibri da sinistra: M=(19980-6660)·12-13320·6 = +79920 kgm

Momento nella sezione definita dai nodi 16-5 con l’equilibrio da sinistra: M=(19980-6660)·6 = +79920 kgm

Momento nella sezione di appoggio definita dai nodi 14-1: M= 0 kgm Nella figura 6 si riporta il diagramma di momento e i valori calcolati:

29

1 2

25 26

13

27 28

14 17

3 4

30

15

31 32

16

33

5 6 7

3534 36

18

37 38

19

44

8 9

40

20

39 41 42

21

43

10 11 12

23

45

22

46 47 48

24

49

M=

1598

40

M=

3996

0

R=59940R=19980 M=

7992

0

M=

7992

0

M=

0

S2

BA

A BM

=99

900

M=

7992

0

S3S1

fig.6 – diagramma di momento della reticolare principale

Analogamente, sommando in successione le forze, partendo da destra o da sinistra, è possibile calcolare e disegnare il diagramma di taglio della struttura riportato in figura 7. A titolo di esempio calcoliamo il taglio massimo che si trova a sinistra dell’appoggio B, sommando le forze partendo da destra: V=+6660+13320+13320-59940 = -26640 kg

R=19980A

R=59940B

V=13320V=0

V=-13320

V=19980

V=-26640

V=6660

fig.7 – diagramma dei tagli della reticolare principale

E’ facile con il diagramma di momento individuare le aste tese e quelle compresse: se il momento è negativo le aste tese sono sopra e quelle compresse sotto, se il momento è positivo le aste tese sono sotto mentre le compresse sono sopra. Nella figura 6 le aste tese della reticolare sono colorate in rosso, mentre le aste compresse sono colorate in blu.


62

GLI SFORZI DI COMPRESSIONE E TRAZIONE SULLE ASTE Con il diagramma di momento di figura 6 e il diagramma di taglio di figura 7 è facile calcolare gli sforzi sulle aste utilizzando ancora le semplici condizioni di equilibrio. La zona della struttura maggiormente sollecitata è quella dell’appoggio B dove c’è il massimo momento M=159840 kgm e anche il massimo Taglio V=26640 kg. Le aste di questa zona sono, quindi, le più sollecitate a compressione e a trazione dell’intera struttura. Se l’ipotesi di progetto è quella di dimensionare tutte le aste con sezione uguale, sarà sufficiente dimensionare le aste maggiormente sollecitate cioè quelle vicine all’appoggio B. Dobbiamo perciò determinare gli sforzi delle aste n.20, 21 (aste a trazione del corrente superiore), delle aste n.40, 42 (aste diagonali a trazione), delle aste n.8, 9 (aste a compressione del corrente inferiore) e delle aste n. 39, 41 e 43 (aste compresse verticali di parete). Il calcolo degli sforzi delle aste di una struttura reticolare può essere condotto utilizzando diversi metodi grafici o analitici che sono di seguito elencati:

- metodo dei poligoni di equilibrio ai nodi (grafico) - metodo dell’equilibrio dei nodi (analitico) - metodo dei diagrammi reciproci o cremoniani (grafico) - metodo di Ritter o metodo delle sezioni (analitico) - metodo di Culmann (grafico)

Tra questi utilizziamo il METODO di RITTER e come esempio proviamo a calcolare lo sforzo dell’asta 2 della reticolare di figura 6. Per prima cosa individuiamo una linea di sezione S che divida la reticolare in due parti tagliando tre aste della reticolare (asta 14,28 e 2). Consideriamo ora solo la parte di sinistra rappresentata nella figura 8.

X F14

F2

F28

P

RA

S

fig.8 – Metodo di RITTER o Metodo delle Sezioni

Questa parte di struttura è in equilibrio, cioè, tutte le forze applicate ad essa sono un sistema di forze equilibrato. Le forze in gioco sono: le forze blu che conosciamo (P=6660 kg , RA=19980 kg), e le forze rosse incognite (F14, F28 e F2) che rappresentano gli sforzi nelle aste individuate dalla sezione S. Poiché le forze blu e rosse, assieme, sono un sistema equilibrato per esse vale la legge dell’equilibrio rispetto qualsiasi punto del piano. Se facciamo l’equilibrio rispetto il punto X (incontro delle rette d’azione delle due forze incognite F14 e F28) è possibile trovare la terza forza incognita F2. L’espressione dell’equilibrio in X risulta: RA·3-P·3-F2·3+F14·0+F28·0 = 0 dove 3 è la distanza in metri delle forze dal punto X, e sostituendo i valori delle forze note si ottiene: 19980·300-6600·300 = F2·3

39960 = F2·3 F2= 13320 kg


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E’ interessante notare che nella equazione di equilibrio il numero 39960 rappresenta il momento di tutte le forze a sinistra di X ed è, quindi, individuabile anche dal diagramma di momento di figura 6, perciò, lo sforzo F2 è determinato anche da MX/3 = 39960/3 = 13320 kg. Se vogliamo invece calcolare lo sforzo dell’asta F28 sarà sufficiente fare l’equilibrio rispetto il punto d’incontro delle rette d’azione delle forze F14 e F2. Le forze sono parallele e il loro punto d’incontro è all’infinito quindi l’equilibrio rispetto tale punto è l’equilibrio verticale delle forze:

RA-P – F28·cos·α = 0 dove α =45° e cos·α=0.707 e sostituendo: 19980-6660=F28·0,707 quindi: F28=18840 kg Lo sforzo F14 dell’asta 14 può essere determinato mediante un’altra sezione di Ritter oppure facendo l’equilibrio orizzontale della componente della forza F28 e della forza F2 :

F14 + F28·sen·α +F2 = 0 da cui si ricava: F14= -18840·0,707-13320 = -26640 kg Il segno negativo indica semplicemente che il verso della forza F14 indicato in figura 8 è opposto, cioè la forza F14 comprime l’asta. ASTE COMPRESSE CORRENTE INFERIORE n.8 e n.9 Per trovare la compressione sulle aste 8 e 9 utilizziamo le condizioni di equilibrio poste dal Metodo di Ritter o Metodo delle sezioni. La sezione S1 di figura 6 taglia le aste 21, 42, 9 e consente di determinare lo sforzo nell’asta 9 con l’equilibrio alla rotazione della parte destra della struttura nel punto d’incontro delle aste 21 e 24. In questo punto l’equilibrio alla rotazione delle forze della parte a destra della sezione è rappresentato dall’espressione:

M-N9·H =0 dove M=159840 kgm è il momento e H=3m è la distanza tra l’asta 9 e il punto di equilibrio, sostituendo risulta : N9 = 159840/3 = 53280 kg (compressione) Analogamente, la sezione S2 di figura 6 consente di determinare lo sforzo dell’asta 8:

N8 = 159840/3 = 53280 kg (compressione) ASTE DIAGONALI TESE n.40 e n.42 Le aste diagonali maggiormente sollecitata sono quelle che si trova nella zona dove il taglio è massimo, cioè l’asta diagonale n. 40. Per trovare lo sforzo sull’asta è sufficiente osservare la sezione S2 (vedi figura 6) per comprendere che, per l’equilibrio verticale, la componente verticale dello sforzo dell’asta n. 40 è uguale alla risultante di tutte le forze verticali, cioè allo sforzo di taglio V=26640 kg. Quindi, poiché l’asta è inclinata a 45° rispetto la verticale lo sforzo sull’asta N40 risulta: N40 = 26640 / sen(45°) = 26640/0.707 = 37680 kg Analogamente con la sezione S1 di figura 6 possiamo trovare la componente verticale dello sforzo sull’asta n.42 che è uguale al taglio V=19980 kg, quindi lo sforzo sull’asta 42 risulta: N42 = 19980 / sen(45°) = 19980/0.707 = 28260 kg ASTE TESE CORRENTE SUPERIORE n.20 e n.21 Per determinare lo sforzo nell’asta n.21 utilizziamo la sezione S1 e scriviamo l’equilibrio con il metodo di Ritter nel punto d’incontro delle aste 42 e 9, ottenendo:

N21 = 99900/3 = 33300 kg (trazione) Analogamente per trovare lo sforzo dell’asta n,20 utilizziamo la sezione S2 e scriviamo l’equilibrio con il metodo di Ritter nel punto d’incontro delle aste 40 e 8, ottenendo:

N20 = 79920/3 = 26640 kg (trazione)


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ASTE COMPRESSE VERTICALI DI PARETE n. 39 , n. 41 e n.43 Per determinare lo sforzo sulle aste di parete possiamo analizzare l’equilibrio della sezione S3 di figura 6. E’ facile capire che per determinare lo sforzo dell’asta n.43 è necessario fare l’equilibrio rispetto il punto d’incontro delle aste n.21 e n.10. Queste aste sono parallele, quindi il loro punto d’incontro è all’infinito e l’equilibrio da considerare diventa la traslazione verticale. Sapendo che le forze verticali altro non sono che gli sforzi di taglio del diagramma di figura 7 possiamo immediatamente individuare gli sforzi:

N43 =19980 kg (compressione) N39 =26640 kg (compressione)

Per l’asta n.41 lo sforzo è la somma dei due tagli quindi la reazione in B N41 =59940 kg (compressione)

RICAPITOLANDO Dai diagrammi di momento e taglio riportati nelle figure 6 e 7 è facile individuare le aste maggiormente sollecitate a compressione e a trazione e determinare gli sforzi con semplici considerazioni di equilibrio. In particolare abbiamo determinato le seguenti massime sollecitazioni nelle aste:

Corrente orizzontale superiore asta n. 21 : N21 = 33300 kg (trazione) Corrente orizzontale inferiore aste n.8 e 9 : N8= N9 = 53280 kg (compressione) Aste diagonali di parete – asta n.40: N40 = 37680 kg (trazione) Aste verticali di parete – asta n.39: N39 = 26640 kg (compressione) Asta verticale all’appoggio – asta n.41: N41 = 59940 kg (compressione)

RESISTENZA Il passo successivo del progetto riguarda il dimensionamento resistente della struttura cioè riguarda l’individuazione delle sezioni resistenti delle singole aste a partire dalle sollecitazioni (forze di compressione o trazione) precedentemente individuate. Una prima ipotesi di dimensionamento semplificato può essere quella di utilizzare per tutte le aste della struttura reticolare, siano esse tese o compresse, lo stesso profilo. In questo caso si dovrà determinare la sezione del profilo per sopportare la condizione più gravosa rappresentata dall’asta maggiormente compressa. Nel nostro caso l’asta maggiormente compressa è la n. 41 con uno sforzo di compressione N=59940 kg e una lunghezza di 300 cm. In sintonia con quanto detto nella prima parte del presente scritto si dovrà scegliere la sezione rispettando il limite della snellezza posto dalla normativa :

λ < 200 Utilizziamo per le aste dei profilati metallici cavi di sezione quadrata, possiamo individuare il raggio d’inerzia imin minimo necessario sapendo che:

200<=i

loλ

e quindi, poiché la lunghezza libera di inflessione vale lo=300 cm, si ottiene: imin= 300/200 = 1.5 cm

Inoltre la sezione dovrà essere verificata a compressione cioè dovrà rispettare la relazione di verifica di pagina 10 :

ωσσσ adm

crA

N =≤=

dove: N=59940 kg sforzo di compressione A= area del profilo da trovare σadm = 1750 kg/cm² tensione ammissibile dell’acciaio S275 wwww = coefficiente che dipende dalla sezione scelta


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poiché non conosciamo l’area del profilo A non possiamo trovare w e quindi dobbiamo procedere per tentativi con l’aiuto delle tabelle dei profilati quadrati cavi (vedi fig.9). Scegliamo il profilo 120x120x10 con le seguenti carateristiche:

A = 39.62 cm² J=741.69 cm4 i =4.33 > 1.5 λ=300/4.33=69.3 w = 1.26

σ = ω·N/A = 1.26·59940/39.62 = 1906 > 1750 kg/cm² La verifica del profilo non risulta positiva e, quindi, dobbiamo utilizzare un profilo più robusto e scegliamo il profilo 140x140x10 con le seguenti caratteristiche:

A = 47.62 cm² J=1263.97 cm4 i=5.15 > 1.5 λ=300/5.15=58.2 w = 1.17 σ =ω· N/A = 1.17·59940/47.62 = 1472 < 1750 kg/cm²

Questa volta la verifica del profilo è positiva e il profilo è verificato a resistenza .

fig.9 – Tabella di alcuni profilati metallici quadrati cavi in commercio

Poiché il profilato scelto di dimensioni 140x140x10 mm è stato dimensionato per lo sforzo massimo di compressione, che rappresenta la condizione più gravosa, lo possiamo utilizzare per tutte le altre aste senza dover eseguire altre verifiche.


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DEFORMABILITA’ Per concludere il progetto dobbiamo verificare la deformabilità della nostra struttura secondo i limiti fissati dalla normativa. La deformata della nostra struttura sarà del tipo riportato in figura 10, dove probabilmente la massima deformazione (abbassamento) fC si verificherà in corrispondenza allo sbalzo C. Per la deformazione degli sbalzi la normativa stabilisce che la lunghezza L deve essere pari a 2 volte la lunghezza dello sbalzo, quindi nel nostro caso, trattandosi di copertura avremo come limite della freccia in C:

fmax = 2·L2 /200 = 2·1200/200 = 12 cm

A B

C

fig.10 – Deformazione della reticolare principale

Per una struttura reticolare con un numero di aste così elevato, il calcolo della freccia massima in C rappresenta un ostacolo numerico non tanto per la complicazione del calcolo ma sicuramente per la lunghezza. La soluzione può essere ricercata utilizzando ad esempio il Principio dei Lavori Virtuali che fa riferimento ad un sistema di forze e tensioni virtuali EQUILIBRATO e un sistema di spostamenti e deformazioni CONGRUENTE. Rimandiamo per la soluzione alla bibliografia specifica.

Il calcolo della freccia massima nel vertice C (nodo 13) di figura 10 risulta:

f13 = 3.56 cm < 12 cm

La verifica alla deformabilità per la reticolare di altezza 300 cm è ampiamente positiva. La deformazione in C è molto più piccola di quella limite ammissibile per la struttura. Ciò significa che la reticolare di altezza 3 metri è molto rigida e sovradimensionata. Proviamo a ridimensionarla con un’altezza minore pari a 150 cm. Conducendo il calcolo nello stesso modo sopra esposto, dopo aver ridimensionato le aste, otteniamo la seguente freccia in C (nodo 13):

f13 = 10,53 cm < 12 cm Riducendo l’altezza della capriata otteniamo ancora per il punto C una deformata compatibile, ma troviamo anche degli sforzi sulle aste molto maggiori. In particolare l’asta maggiormente compressa, questa volta risulta l’asta 8 e 9, ha un carico di compressione: N8,9 =M/H = 159840/1,5= 106.500 kg e, verificando il profilo precedentemente utilizzato 140x140x10 per la reticolare di altezza 3 metri, otteniamo:

A = 47.62 cm² J=1263.97 cm4 i=5.15 > 1.5 λ=300/5.15=58.2 w = 1.17 σ = ω·N/A = 1.17·106500/47.62 = 2616 > 1750 kg/cm²


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La verifica non è positiva, il profilo 140x140x10 è troppo piccolo e va aumentato. Per ottenere una verifica positiva dobbiamo utilizzare un profilo tipo 200x200x10:

A = 71.62 cm² J=4154 cm4 i=7.62 > 1.5 λ=300/7.62=39.4 w = 1.07 σ =ω· N/A = 1.07·106500/71.62 = 1591 < 1750 kg/cm²

CONCLUSIONI Per progettare la trave reticolare abbiamo provato due soluzioni diverse tra le infinite possibili. Entrambe le reticolari dimensionate sono riportate in figura 11. La prima, con altezza 300 cm, è realizzata con profili 140x140x10 e nel punto C ha una deformazione massima di 3.56 cm. La seconda di altezza 150 cm è realizzata con profili 200x200x10 e nel punto C ha una deformazione massima di 10.53 cm. La prima pesa complessivamente Q=37.38 x(36+36+13x3+12x4.23)= 6030 kg La seconda pesa complessivamente Q=56.22x(36+36+13x1.5+12x3.35)=7404 kg La seconda struttura avrà un costo di costruzione superiore di circa il 20% della prima.

C

C

fig.11 – Due reticolari a confronto

Entrambi i progetti sono validi poiché non esiste un progetto strutturale migliore o peggiore in assoluto, il progetto migliore è semplicemente quello che meglio risponde alle necessità architettoniche, economiche, costruttive e impiantistiche dell’opera.


68

7. LE STRUTTURE IN LEGNO MASSICCIO Le caratteristiche del legno massiccio sono riportate nelle norme UNI EN 338:2004 e sono definite per le classi di resistenza i valori del Modulo elastico caratteristico E0,0.5 , del Modulo Elastico Emedio, della resistenza a flessione fm,k , della resistenza a taglio fv,k , della resistenza a trazione (parallela alle fibre) ft,0,k e della resistenza a compressione (parallela alle fibre) fc,0,k .

Classificazione del Legno Massiccio per Classi di R esistenza

Classe di resistenza

E0,0.5 Emedio f m,k f v,k f t,0,k f c,0,k

C18 60000 90000 180 20 110 180 kg/cm²

C20 64000 95000 200 22 120 190 kg/cm²

C22 67000 100000 220 24 130 200 kg/cm²

C24 74000 110000 240 25 140 210 kg/cm²

C27 77000 115000 270 28 160 220 kg/cm²

C30 80000 120000 300 30 180 230 kg/cm²

C35 87000 130000 350 34 210 250 kg/cm²

C40 94000 140000 400 38 240 260 kg/cm² Per determinare la resistenza del legno di progetto è necessario apportare alle resistenze di tabella alcune correzioni. Secondo la relazione:

m

kd

kff

γmod⋅=

dove: fd è la resistenza ultima di progetto fk è la resistenza di prova di laboratorio riportata in tabella kmod è un coefficiente correttivo che tiene conto della durata del carico e dell’umidità γm è il coefficiente parziale di sicurezza del materiale che per il legno vale 1.5 Il legno può essere utilizzato in ambienti diversi per umidità e temperatura che definiscono tre classi di servizio: Classe di servizio 1 : umidità relativa dell’aria non superiore al 65% alla temperatura di 20°, se non per poche settimane all’anno. Classe di servizio 2 : umidità relativa dell’aria non superiore al 85% alla temperatura di 20°, se non per poche settimane all’anno. Classe di servizio 3 : umidità più elevate La resistenza del legno è quindi legata all’ambiente in cui si trova e alla durata del carico. In particolare il coeff. kmod correttivo della resistenza viene fornito dalla seguente tabella:

Valori del coefficiente k mod

Classe di servizio Durata del carico

permanente lunga media breve istantanea

1 e 2 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

3 0.5 0.55 0.65 0.7 0.9


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Se una condizione di carico comprende azioni appartenenti a differenti classi di durata del carico si dovrà utilizzare il valore di kmod che corrisponde all’azione di minor durata. Per determinare la resistenza del legno in campo elastico, cioè la tensione ammissibile da utilizzare nel modello di verifica, bisognerà dividere il valore fd per il coefficiente di sicurezza γ=1.50

γσ df=

Per il calcolo delle deformazioni in campo elastico si dovrà utilizzare il Modulo elastico che risulta dalla seguente relazione:

dev

medioelastico k

EE

+=

1

dove: Eelastico è il modulo estatico da utilizzare per il calcolo delle deformazioni Emedio è il modulo elastico medio della tabella precedente kdev è un coefficiente che tiene conto della deformabilità viscosa nel tempo del legno secondo la tabella seguente:

Valori del coefficiente k dev

Classe di servizio

1 2 3

0.6 0.8 2.0

Nella tabella seguente si riportano le tensioni ammissibili e il modulo elastico per il legno con classe di servizio 1 e carico breve kmod=0.9, kdev=0.6 :

Tensioni ammissibili per il legno massiccio

Classe di resistenza Eelastico

mσ flessione

τ taglio

tσ trazione

cσ compressione

C18 56.250 72 8 44 72 kg/cm²

C20 59.370 80 8.8 48 76 kg/cm²

C22 62.500 88 9.6 52 80 kg/cm²

C24 68.750 96 10 56 84 kg/cm²

C27 71.875 108 11.2 64 88 kg/cm²

C30 75.000 120 12 72 92 kg/cm²

C35 81.250 140 13.6 84 100 kg/cm²

C40 87.500 160 15.2 96 104 kg/cm²


70

7.1 FLESSIONE La flessione è la sollecitazione che si ritrova principalmente nelle strutture orizzontali a trave. In una sezione della struttura le tensioni sono definite dalla nota espressione di Navier:

J

yM ⋅=σ

dove: M è il momento flettente y è la distanza della generica fibra dall'asse baricentrico J è il momento d'inerzia della sezione rispetto l’asse baricentrico Per la verifica della sezione bisogna far riferimento alla tensione massima che è fornita dalla seguente relazione:

W

M

J

yM MAX ±=±= ·

minmaxσ

dove W=J/ymax è il modulo resistente della sezione che, per una sezione rettangolare di dimensioni b·h, vale W= b·h²/6

VERIFICA A FLESSIONE La verifica a flessione di una trave viene fatta quando si conosce il momento massimo lungo la trave Mmax e la sezione della trave con il suo modulo resistente W. La verifica è positiva quando:

mW

M σσ ≤= maxmax

la tensione massima σmax è minore della tensione ammissibile a flessione mσ del legno. VERIFICA DELLE DEFORMAZIONI Per le strutture inflesse è necessario eseguire anche la verifica della deformazione massima secondo la relazione:

δmax< δ Per la valutazione della deformazione δmax si deve utilizzare il modulo elastico Eelastico della tabella

precedente. Per i limiti di deformabilità δ si possono utilizzare i valori già riportati nella tabella a pagina 3. PROGETTO A FLESSIONE Il progetto a flessione di una trave viene fatto quando si conosce il momento massimo ma non si conosce la sezione della trave. Per trovare la sezione della trave è necessario utilizzare la formula di progetto nel seguente modo:

m

MW

σmax

min≥

per le travi in legno rettangolari il modulo resistente è W=b·h2/6, quindi si potranno scegliere le dimensioni b e h della trave per garantire il valore di Wmin .


71

7.2 TRAZIONE La trazione è la sollecitazione che si ritrova per esempio nelle aste tese delle capriate. In una sezione della struttura la tensione è definita dall'espressione:

A

N=σ

dove: N è lo sforzo di trazione A è l'area della sezione del tirante

L'espressione fornisce il valore della tensione normale σ costante su tutta la sezione. VERIFICA A TRAZIONE La verifica a trazione per un tirante viene fatta quando si conosce lo sforzo normale di trazione e la sezione A del tirante stesso. La verifica è positiva quando:

tA

N σσ ≤=max

la tensione massima σmax è minore della tensione ammissibile tσ a trazione del legno. PROGETTO A TRAZIONE Il progetto a trazione viene fatto quando si conosce o sforzo normale di trazione ma non si conosce la sezione della tirante. Per trovare la sezione del tirante è necessario utilizzare la formula di progetto nel seguente modo:

t

NA

σ≥

Trovata l'area A minima necessaria si scelgono le dimensioni b e h dell’elemento in legno a trazione.

7.3 COMPRESSIONE La compressione è la sollecitazione che si ritrova nei puntoni (aste compresse) delle capriate. Raramente si utilizza il legno per realizzare pilastri. La verifica a compressione potrebbe essere condotta come quella a trazione ma per la compressione c'è il pericolo che l'asta ceda per instabilità elastica (fenomeno chiamato anche carico di punta). La verifica a compressione nell'ipotesi di rottura per presso-flessione, innescata dalla deformazione per carico di punta, è rappresentata dalla seguente espressione:

ccrkA

N σσ ⋅≤=

dove: N è la compressione sull'asta A è l'area dell'asta

cσ è la tensione ammissibile a compressione per il legno kcr è il coefficiente riduttivo <1 che considera il carico di punta


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Il valore 1/kcr corrisponde al valore wwww delle strutture in acciaio e anche tale valore dipende dalla snellezza λ dell’elemento compresso. La snellezza dell'asta è definita dalle caratteristiche geometriche dell'asta stessa secondo la seguente espressione già vista per l’acciaio:

i

Lo=λ

dove: Lo è la lunghezza libera d’inflessione che dipende dalle condizioni di vincolo i è il raggio d’inerzia che per la sezione rettangolare b·h vale:

12

hi =

I valori del coefficiente kcr sono riportati nella tabella seguente in funzione della classe di resistenza del legno e in funzione della snellezza λ della struttura. Per i problemi di instabilità nella valutazione del kcr si utilizza il modulo elastico caratteristico E0,0.5. Per le snellezze non evidenziate si possono interpolare i valori di tabella.

valori kcr per le verifiche a compressione Classi di

Resistenza C18 C20 C22 C24 C27 C30 C35 C40 λ = 10 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

λ = 20 0,989 0,989 0,989 0,991 0,991 0,991 0,991 0,992

λ = 30 0,943 0,944 0,944 0,948 0,947 0,947 0,947 0,950

λ = 40 0,878 0,880 0,879 0,887 0,886 0,885 0,885 0,890

λ = 50 0,781 0,784 0,782 0,796 0,794 0,793 0,793 0,803

λ = 60 0,655 0,659 0,657 0,676 0,674 0,671 0,672 0,686

λ = 70 0,531 0,535 0,533 0,554 0,551 0,548 0,549 0,564

λ = 80 0,429 0,433 0,431 0,450 0,447 0,445 0,445 0,459

λ = 90 0,351 0,354 0,352 0,368 0,366 0,364 0,364 0,376

λ =100 0,290 0,293 0,291 0,305 0,303 0,302 0,302 0,312

λ =110 0,244 0,246 0,245 0,256 0,255 0,253 0,253 0,263

λ =120 0,207 0,209 0,208 0,218 0,217 0,216 0,216 0,223

λ =130 0,178 0,180 0,179 0,188 0,186 0,185 0,185 0,192

λ =140 0,155 0,156 0,155 0,163 0,162 0,161 0,161 0,167

λ =150 0,136 0,137 0,136 0,143 0,142 0,141 0,141 0,147


73

7.4 TAGLIO Per il legno le sollecitazioni tangenziali prodotte dal taglio sono valutate secondo la teoria di Jourawski mediante l’espressione:

bJ

ST

⋅⋅=τ

dove: T è lo sforzo di taglio S è il momento statico della parte di sezione confinata J è il momento d’inerzia baricentrico della sezione b è la larghezza della sezione confinata Per le strutture in legno di sezione rettangolare con altezza h e larghezza b, il valore della tensione tangenziale massimo, in corrispondenza all’asse baricentrico, risulta:

hb

T

⋅⋅=

2

3maxτ

La verifica a Taglio è quindi rappresentata dalla seguente espressione:

ττ ≤max dove: τmax è la tensione tangenziale massima sulla sezione

τ è la tensione ammissibile per il legno riportate nelle tabelle precedenti.


74

8. La MURATURA

8. 1 CARATTERISTICHE DELLA MURATURA Le murature portanti sono realizzate con elementi squadrati in pietra o elementi artificiali pieni o semipieni, confezionati con malte di diversa resistenza. Si tratta quindi di un materiale non omogeneo costituito da due componenti.

Per le malte si possono individuare le seguenti classi di resistenza:

Classe delle Malte M 15 M 10 M 5 M 2.5 Resistenza a compressione

daN/cm² 150 100 50 25

La resistenza a compressione fk della muratura è quindi determinata dal tipo di malta utilizzata in funzione della resistenza a compressione dell’elemento utilizzato fbk . Nella tabella seguente si riportano le resistenze delle murature realizzate con elementi artificiali pieni e semipieni e con elementi in pietra squadrata:

Resistenza fk [daN/cm²] della muratura Tipo di malta Resistenza a compressione

fbk dell’elemento daN/cm² M 15 M 10 M 5 M 2.5

50 35 34 33 30 75 50 45 41 35 100 62 53 47 41 150 82 67 60 51 200 97 80 70 61

La resistenza al Taglio per le murature è riportata nella tabella seguente in funzione della tipologia utilizzata. Tale resistenza è valutata in assenza di carico verticale.

Resistenza caratteristica a taglio in assenza di carico fvko Tipo di elemento

resistente Resistenza a

compressione fbk dell’elemento

Classe di malta fvko [daN/cm²]

fbk > 150 M10 – M15 3,0 75< fbk ≤ 150 M5 2,0

Laterizio pieno e semipieno

fbk ≤75 M 2.5 1,0 fbk > 150 M10 – M15 2,0

75< fbk ≤ 150 M5 1.5 Calcestruzzo, cemento

autoclavato, pietra naturale fbk ≤75 M 2.5 1,0

La presenza di un carico verticale sulla muratura modifica e incrementa la resistenza a taglio della muratura stessa, secondo la relazione:

fvk = fvko + 0.4 σn


75

dove: fvk è la resistenza a taglio in presenza di compressione fvko è la resistenza a taglio in assenza di compressione σn è la compressione dovuta ai carichi verticali sulla muratura Il Modulo elastico normale E e il modulo elastico tangenziale G per la muratura possono essere dedotti dalle seguenti relazioni utilizzando la resistenza a compressione fk :

E=1000·fk G=0.4·E

Per determinare le resistenze della muratura di progetto è necessario introdurre il coefficiente di sicurezza del materiale γm e le resistenze di progetto risultano:

per la compressione fd=fk/γm per il taglio fvd=fvk/γm

dove il coefficiente di sicurezza per la muratura vale γm= 3.33 Per determinare le tensioni limite in campo elastico dette anche “tensioni ammissibili” si dovranno dividere le resistenze di progetto per il coefficiente di sicurezza del modello di calcolo adottato γ=1.5 . Per le verifiche delle murature, secondo il modello delle tensioni ammissibili, le tensioni limite in campo elastico da utilizzare risultano definite dal coefficiente di sicurezza complessivo γm·γ= 3.33·1.5= 5 :

per la compressione σ = fk/5

per il taglio oτ = fvko /5

possiamo quindi riportare le seguenti tabelle delle tensioni ammissibili:

Tensione ammissibile a compressione σ [daN/cm²] della muratura Tipo di malta Resistenza a compressione

fbk dell’elemento daN/cm²

M 15 M 10 M 5 M 2.5

50 7.0 6.8 6.6 6.0 75 10 9.0 8.2 7.0 100 12.4 10.6 9.4 8.2 150 16.4 13.4 12.0 10.2 200 19.4 16.0 14.0 12.2

Tensione ammissibile a taglio oτ in assenza di carico normale Tipo di elemento

resistente Resistenza a

compressione fbk dell’elemento

Classe di malta oτ

[daN/cm²]

fbk > 150 M10 – M15 0.6 75< fbk ≤ 150 M5 0.4

Laterizio pieno e semipieno

fbk ≤75 M 2.5 0.2 fbk > 150 M10 – M15 0.4

75< fbk ≤150 M5 0.3 Calcestruzzo, cemento

autoclavato, pietra naturale fbk ≤75 M 2.5 0.2


76

La presenza di un carico verticale sulla muratura modifica e incrementa la tensione ammissibile a taglio della muratura stessa e risulta :

τ = oτ + 0.4 σn

dove: τ è la tensione ammissibile a taglio in presenza di compressione

oτ è la tensione ammissibile a taglio in assenza di compressione σn è la compressione dovuta ai carichi verticali sulla muratura

8.2 COMPRESSIONE La muratura è un materiale che non resiste a trazione quindi, in caso di eccentricità trasversale del carico, la sezione reagirà solo a compressione e avremo, per una sezione di spessore “t” e larghezza “a” le seguenti situazioni:

N

N

N

N

N

N

N

max max

asse

neu

tro

asse

neu

tro

carico perfettamente centrato: eccentricità trasversale e=0 tensione uniforme σ =N/A = N/t·a carico interno al nocciolo centrale d’inerzia (terzo medio per le sezioni rettangolari): eccentricità trasversale 0<e<t/6 la sezione è tutta compressa tensione massima σmax = N/A + N·e/W tensione minima σmin = N/A-N·e/W dove il modulo resistente W=a·t²/6 carico esterno al nocciolo centrale d’inerzia : eccentricità trasversale t/6<e<t/2 distanza dal bordo u=(t/2-e) la sezione è parzializzata, la parte compressa è pari a 3·u tensione massima σmax= 2·N/(3u·a) tensione minima σmin = 0 carico esterno alla sezione: in questo caso il muro si ribalta


77

ECCENTRICITA’ TRASVERSALE DEI CARICHI L’eccentricità trasversale del carico N è dovuta a vari fattori: e= es+ea+ev

1) eccentricità dei carichi verticali es dovuta alla reazione di appoggio dei solai o ai carichi superiori

2) eccentricità di esecuzione del muro ea che deve essere assunta pari a h/200 (cm) 3) eccentricità dovuta al vento in direzione normale al piano della muratura ev=Mv/N

Il coefficiente mt è definito come coefficiente di eccentricità trasversale:

mt=6·e/t

dove: e è l’eccentricità trasversale del carico N t è lo spessore del muro per mt =0 il carico è centrato e=0 per mt =1 il carico è sul limite del nocciolo d’inerzia e la sezione è tutta reagente e=t/6 per mt =3 il carico è sul bordo della sezione e=t/2 VERIFICA A RIBALTAMENTO TRASVERSALE DEL MURO Per la verifica al ribaltamento del muro dovrà sempre risultare un’eccentricità trasversale complessiva minore di 0.33 dello spessore del muro che equivale a :

mt < 2

VERIFICA ALL’INSTABILITA’ DEL MURO Per verificare il muro contro la possibilità di instabilità elastiche per l’eccessiva snellezza della muratura si dovrà verificare che :

h/t ≤ 12

dove: h/t è la snellezza convenzionale del muro h è l’altezza interpiano del muro t è lo spessore del muro 12 è il limite accettabile VERIFICA A COMPRESSIONE DEL MURO Quando le due verifiche sopra riportate risultano positive è possibile verificare la resistenza a compressione per la muratura secondo l’espressione:

σσ ≤Φ

=A

N

t ·

dove: N è lo sforzo normale sulla muratura A è la sezione del muro A=t·a Фt è coefficiente ≤ 1 di riduzione della sezione A per l’eccentricità del carico

σ è la tensione ammissibile a compressione per la muratura


78

Il coefficiente di riduzione della resistenza Фt è valutato in funzione alla snellezza h/t e al coefficiente di eccentricità mt del muro. I valori di Фt sono riportati nella seguente tabella dove i valori non contemplati possono essere calcolati mediante interpolazione lineare:

Valori del coefficiente Фt di riduzione dell’area A per l’eccentricità trasversale Coefficiente di eccentricità mt = 6·e/t Snellezza

h/t 0 0.5 1.0 1.2 2.0 0 1.00 0.74 0.59 0.44 0.33

5 0.97 0.71 0.55 0.39 0.27

10 0.86 0.61 0.45 0.27 0.15

15 0.69 0.48 0.32 0.17 -

20 0.53 0.36 0.23 - -

8.3 AZIONI ORIZZONTALI e TAGLIO La muratura svolge la funzione statica di sostenere i carichi verticali (Resistenza a compressione) e svolge anche la funzione statica di controventamento alle azioni orizzontali (Resistenza a taglio). Le azioni orizzontali sono dovute al vento e/o alle azioni sismiche che in prima analisi possono essere assimilate a forze orizzontali proporzionali alle masse.

X

Y

GF

1 2

9

3

8

4 5

107

6

F

x

y

R

Nella figura è riportato lo schema delle murature che sostengono un solaio di dimensioni 9x6 metri. La forza F rappresenta la forza sismica orizzontale proporzionale alla massa del piano e quindi si può considerarla concentrata nel baricentro geometrico del piano G (450,300) e orientata una volta lungo X (Fx) e una volta lungo Y (Fy). La forza F viene ripartita in forze orizzontali taglianti sulle pareti che sostengono il piano. Perché ciò avvenga è essenziale che il solaio sia rigido sul suo piano. Il sistema reattivo di forze orizzontali applicate ai setti murari ha come centro di applicazione il Centro delle Rigidezze R (nell’esempio in figura le coordinate sono R(398, 297). Per Sistemi murari non perfettamente simmetrici il Centro delle Rigidezze R non coincide con il Baricentro delle Masse G, quindi oltre alla traslazione rigida del piano si genera anche una rotazione aumentando le forze reattive. Per limitare la rotazione del piano e assorbire le forze sismiche orizzontali in modo più efficace è necessario che i due centri G e R siano il più vicino possibile.


79

Le forze reattive sui setti murari sono ripartite in funzione della loro rigidezza che può essere espressa dalla seguente relazione:

+=

GA

h

EJ

hK

·2.112

/13

dove: h è l’altezza del setto murario J è il momento d’inerzia della sezione in pianta A è l’area della sezione in pianta E è il modulo elastico normale G è il modulo elastico tangenziale Le forze su ciascun setto murario Fi , quando agisce la forza orizzontale FX , sono ricavabili dalle seguente espressione:

R

iyiixiyX

x

Xxii J

xKyKeF

K

FKF

)··()·(

· ++

Σ=

Le forze su ciascun setto murario Fi , quando agisce la forza verticale FY , sono ricavabili dalle seguente espressione:

R

iyiixixY

y

Yyii J

xKyKeF

K

FKF

)··()·(

· ++

Σ=

dove: FX è la componente lungo X della Forza sul piano FY è la componente lungo Y della Forza sul piano Kxi è la rigidezza del setto in esame lungo X ΣKx è la somma di tutte le rigidezze lungo X Kyi è la rigidezza del setto in esame lungo Y ΣKy è la somma di tutte le rigidezze lungo Y xi è la distanza dalla parete dal centro di rigidezza R yi è la distanza dalla parete dal centro di rigidezza R ex , ey sono le eccentricità delle forze Fx ed Fy JR è il momento polare delle rigidezze rispetto al centro R Il calcolo per individuare le forze Fi risulta relativamente semplice ma per eseguirlo è più facile organizzare il calcolo con l’aiuto di un foglio elettronico. A titolo di esempio, nel caso di figura, per una forza F=10.000 kg si possono ottenere i seguenti carichi taglianti su ciascun maschio murario:

Sforzi di Taglio Maschio murario

dovuti alla Fy

dovuti alla Fx

1 66 638

2 347 3.342

3 10 2.061

4 377 3.525

5 46 434

6 3.580 14

7 295 1

8 2.434 0

9 3.146 13

10 544 2

La verifica per ciascun maschio murario sarà condotta per lo sforzo di Taglio assegnato, ma anche per sforzo di compressione N e per la flessione M=T·h prodotta nelle sezioni di base dalla sforzo di taglio stesso.


80

8.4 PRESSOFLESSIONE LONGITUDINALE La verifica va condotta nella sezione superiore e nella sezione di base, dove il Taglio produce il momento M=T·h (Modello a mensola) e la sollecitazione è la presso-flessione longitudinale per le forze agenti sul piano del muro.

NT

N

TM

a

t

h

ECCENTRICITA’ LONGITUDINALE DEI CARICHI L’eccentricità longitudinale del carico N è dovuta alla presenza del momento M e vale

e=M/N

Il coefficiente ma è definito come coefficiente di eccentricità longitudinale e vale:

ma=6·e/a

dove: e è l’eccentricità longitudinale M/N a è la lunghezza del muro per ma =0 il carico è centrato e=0 per ma =1 il carico è sul limite del nocciolo d’inerzia e la sezione è tutta reagente e=a/6 per ma =3 il carico è sul bordo della sezione e=a/2 VERIFICA AL RIBALTAMENTO LONGITUDINALE Per la verifica al ribaltamento longitudinale del muro dovrà sempre risultare un’eccentricità longitudinale minore di 0.22 della lunghezza del muro che equivale a :

ma < 1.3


81

VERIFICA ALLA RESISTENZA La verifica a resistenza per eccentricità longitudinale del carico sarà espressa dalla relazione:

σσ ≤Φ⋅Φ

=A

N

at ·

dove: N è lo sforzo normale sulla muratura A è la sezione del muro A=t·a Фt è il coefficiente ≤ 1 di riduzione dell’area A per l’eccentricità trasversale Фa è il coefficiente ≤ 1 di riduzione dell’area A per l’eccentricità longitudinale

σ è la tensione ammissibile a compressione per la muratura Il coefficiente di riduzione Фa è valutato in funzione del coefficiente di eccentricità longitudinale ma=6·e/a . I valori di Фa sono riportati nella seguente tabella dove i valori non contemplati possono essere calcolati mediante interpolazione lineare:

Valori del coefficiente Фa di riduzione dell’area A per l’eccentricità longitudinale

Coefficiente di eccentricità ma= 6·e/a ma 0 0.5 1.0 1.2 2.0 Фa 1.00 0.74 0.59 0.44 0.33

8.5 TAGLIO Per la verifica a Taglio nel piano orizzontale del muro la tensione tangenziale τ è considerata uniformemente ripartita sulla sezione reagente e per la verifica dovrà essere rispettata la seguente relazione:

τβ

τ ≤⋅

=A

T

dove: T è lo sforzo di taglio sulla sezione A è la sezione totale del muro A=t·a β è il coefficiente di parzializzazione della sezione che tiene conto delle zone di muro non soggette a compressione a causa del momento M=T·h Il coefficiente di parzializzazione β risulta: β = 1 per 6·el/a ≤1 la sezione longitudinale è tutta compressa β = 3/a·( ½ a - el) per 1< 6·el/a ≤1.3 la sezione è parzializzata e la zona compressa risulta 3·u=3·(½ a – el)


82

8.6 VERIFICA SEMPLIFICATA In alternativa alle verifiche sopra riportate si può eseguire, per edifici “semplici”, la verifica semplificata. Gli edifici “semplici” devono rispettare le seguenti condizioni: - numero dei piani ≤ 3 ; - rapporto tra le dimensioni in pianta Lmin /Lmax > 1/3 ; - Aree dei setti murari lungo X Ax> 4% A (dove A=Lmin·Lmax è l’area in pianta dell’edificio); - Aree dei setti murari lungo Y Ay> 4% A - Snellezza massima dei setti murari h/t ≤12; - due sistemi di pareti resistenti per la direzione X e per la direzione Y con sviluppo non inferiore al

50% della dimensione della costruzione nella medesima direzione; - l’interasse massimo tra i setti murari non deve superare 7 metri . Per la verifica semplificata deve essere rispettata la seguente relazione:

σσ ·65.0≤=totA

N

dove: N è il carico verticale totale Atot l’area totale dei muri portanti Atot=Ax+Ay

σ è la tensione ammissibile della muratura Per l’edificio riportato in pianta all’inizio del paragrafo è possibile fare la verifica semplificata poiché sono rispettate tutte le condizioni di edificio “semplice”. In particolare: - il rapporto Lmin/Lmax= 0.67>1/3 - l’area dei muri lungo X risulta Ax=54300 cm² - l’area dei muri lungo Y risulta Ay=34800 cm² - l’area in pianta dell’edificio è A=9x6=36 m² - il 4% dell’area A risulta pari a 14400 cm² - l’area dei muri lungo X risulta maggiore del 4% dell’area A : Ax=54300>14400 - l’area dei muri lungo Y risulta maggiore del 4% dell’area A : Ay=34800>14400 - la snellezza dei muri risulta h/t=300/30=10 ≤12.


83

9. LE STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO NORMALE

Il calcestruzzo armato normale (c.a.n.) è un materiale non omogeneo composto da calcestruzzo e acciaio in barre. Genericamente il calcestruzzo reagisce alle forze interne di compressione (la piccola resistenza a trazione del calcestruzzo viene trascurata) mentre l’acciaio reagisce alle forze interne di trazione. L’acciaio è distribuito all’interno del calcestruzzo formando un gabbia con armature longitudinali e armature chiuse trasversali dette staffe. La collaborazione dei due materiali è resa possibile dall’aderenza che si realizza tra essi e che impedisce i movimenti di scorrimento. Questo comportamento consente di mantenere l’ipotesi di linearità delle deformazioni ε formulata per le sezioni di materiale omogeneo.

barre longitudinali

staf

fe M

s

c

s

c

n

s

Figura- per una sezione in c.a.n. sono riportati: il diagramma lineare delle deformazioni,

il diagramma delle tensioni e il diagramma lineare delle tensioni per la sezione ideale omogeneizzata. Si può quindi affermare che la deformazione ε della generica fibra in una sezione in c.a.n. può appartenere all’acciaio εs oppure al calcestruzzo εc e vale la relazione:

ε=εs=εc . Le tensioni σ relative alle deformazioni ε saranno invece diverse a seconda che si tratti di una fibra di acciaio oppure di calcestruzzo e, in particolare, mantenendo l’ipotesi di comportamento elastico-lineare per i due materiali, avremo:

per l’acciaio σs= Es · ε per il calcestruzzo σc= Ec · ε

Ponendo il coefficiente n uguale al rapporto dei moduli elastici dell’acciaio e del calcestruzzo:

n= Es/Ec

per le fibre in acciaio possiamo scrivere la seguente relazione:

σs= Es·ε= Es · σc/Ec = n·σc

cioè le tensioni su una fibra di acciaio sono n volte maggiori delle tensioni sulla stessa fibra se fosse in calcestruzzo. Le forze interne per la generica fibra dA·σ saranno, quindi:

per l’acciaio dAs·σs=dAs·n·σc=(n·dAs)· σc per il calcestruzzo dAc·σc


84

Possiamo in questo modo definire, anche per le tensioni, un legame di linearità, trasformando le aree di acciaio dAs in aree ideali di calcestruzzo n·dAs , semplicemente moltiplicandole per il rapporto dei moduli elastici n. Questa operazione, definita omogeneizzazione delle aree, trasforma il c.a.n. in un materiale omogeneo per il quale la sezione diventa l’ area ideale reagente composta dall’area di calcestruzzo a compressione e dall’area di acciaio a trazione, moltiplicata per il coefficiente n. Il coefficiente n è detto coefficiente di omogeneizzazione e vale convenzionalmente:

n=15 Tale valore, maggiore del rapporto dei moduli elastici istantanei dell’acciaio e del calcestruzzo, considera anche gli effetti delle deformazioni viscose (deformazioni lente e variabili nel tempo) alle quali è soggetto il calcestruzzo ma non l’acciaio. Per l’area ideale reagente vale l’ipotesi di linearità delle tensioni e quindi valgono le relazioni delle tensioni definite per il modello elastico lineare delle strutture di materiale omogeneo.

9.1 IL CALCESTRUZZO Il calcestruzzo è un conglomerato artificiale costituito da una miscela di cemento, acqua e aggregati (sabbia e ghiaia) e con l'aggiunta, secondo le necessità, di additivi che influenzano le caratteristiche fisiche o chimiche del conglomerato sia fresco che indurito. Le caratteristiche meccaniche che più ci interessano sono la resistenza a compressione, la durabilità e la lavorabilità della miscela fresca. Per ottenere un buon calcestruzzo è quindi necessario eseguire il “progetto della miscela”. Le caratteristiche meccaniche sono scelte in fase di progettazione e vanno controllate in fase di esecuzione dei lavori. Il Calcestruzzo viene quindi classificato secondo Classi di Resistenza a Compressione, Classi di Esposizione (durabilità) e Classi di Consistenza (lavorabilità), Nell’ambito delle verifiche delle sezioni, la classificazione che più ci interessa è quella per Classi di Resistenza riportata in tabella:

Classi di Resistenza a Compressione del Calcestruzzo

Classe Resistenza cilindrica fck [daN/cm²]

Resistenza cubica Rck [daN/cm²]

C20/25 200 250 C25/30 250 300 C30/37 300 370

dove: Rck è la resistenza caratteristica cubica, cioè ottenibile con prove a schiacciamento su provini di forma cubica. fck è la resistenza caratteristica cilindrica, cioè ottenibile con prove a schiacciamento su provini di forma cilindrica. Le due resistenze in assenza di prove a confronto sono legate dalla relazione: fck= 0.83· Rck Le tensioni ammissibili in campo elastico sono fornita dalle seguenti relazioni:

per la flessione : 4

15060,

−+= ck

mc

Rσ [daN/cm²]


85

per la compressione: mccc ,, ·7.0 σσ = [daN/cm²]

Il Taglio è una sollecitazione che produce due tensioni principali, rispettivamente di compressione e di trazione. Nel c.a.n. la sollecitazione di compressione è affidata al calcestruzzo mentre quella a trazione è affidata alle barre d’acciaio. Per il taglio nel c.a.n. sono previste per il calcestruzzo due tensioni ammissibili di riferimento:

75

1504

−+= ck

co

Rτ [daN/cm²]

35

150141

−+= ck

c

Rτ [daN/cm²]

dove:

coτ rappresenta il limite superiore per cui non è necessario una specifica progettazione

delle armature che sopportano la componente a trazione del taglio.

1cτ rappresenta il limite superiore per la componente a compressione prodotta dal taglio.

Per le classi di resistenza del Calcestruzzo si ricavano le seguenti tensioni ammissibili:

Tensioni ammissibili [daN/cm²] per Classi di Resistenza del Calcestruzzo

Calcestruzzo flessione compressione taglio

Classe Rck mc ,σ cc ,σ coτ 1cτ

C20/25 250 85 59.5 5.33 16.86 C25/30 300 97.5 68.2 6.00 18.29 C30/37 370 115 80.5 6.93 20.29

Il Modulo elastico normale istantaneo Ec per il calcestruzzo può essere determinato dalla seguente relazione utilizzando la resistenza a compressione Rck :

Ec =18.000· ckR [daN/cm²]

9.2 L’ ACCIAIO IN BARRE Gli acciai in barre, utilizzati per le strutture in calcestruzzo armato normale, sono definiti dalle loro caratteristiche meccaniche. Una prova a trazione eseguita su una barra d’acciaio si sviluppa secondo le progressioni riportate nel grafico (deformazioni-tensioni) seguente:


86

il grafico individua la tensione di snervamento σs ,comunemente riportata nelle norme come fyk , e la tensione di rottura σR , comunemente riportata dalla norma come ftk. Per le strutture in c.a.n. la normativa definisce due tipi di acciai con le stesse caratteristiche di tensione ma con diversa duttilità:

tipo

Tensione di Snervamento

fyk

Tensione di Rottura

ftk

Allungamento minimo

Agt,k

B450C 4500 5400 7.5% [daN/cm²]

B450A 4500 5400 2.5% [daN/cm²] Per entrambi gli acciai, nel modello di verifica alle tensioni ammissibili, si utilizza la tensione ammissibile limite in campo elastico:

sσ = 2600 [daN/cm²]

9.3 IL CALCESTRUZZO ARMATO NORMALE Acciaio e Calcestruzzo sono i due materiali che compongono la sezione in c.a.n. Il Calcestruzzo, in una prova a rottura per compressione, ha un comportamento definito fragile, mentre l’Acciaio, in una prova a rottura per trazione, ha un comportamento definito duttile, dove la rottura fisica avviene con deformazioni molto più elevate dello snervamento. Per le costruzioni il comportamento duttile rappresenta un requisito fondamentale per la sicurezza, in quanto permette alle strutture il superamento della fase elastica, consentendo agli elementi strutturali ampie deformazioni in campo plastico. Questa proprietà è fondamentale nel caso di eventi sismici poiché le deformazioni in campo plastico dissipano grandi quantità di energia senza che si verifichi il crollo della struttura. Il modello di verifica agli stati limite analizza proprio il comportamento della sezione oltre il campo elastico e valuta la duttilità della singola sezione e dell’intera struttura. Il modello di verifica alle tensioni ammissibili analizza, invece, solamente il campo elastico e quindi non è in grado di fare nessuna valutazione nei riguardi della duttilità e delle riserve di sicurezza e resistenza che tale proprietà fornisce alle costruzioni. Una sezione in cemento armato normale assumerà un comportamento fragile o duttile a seconda della quantità di acciaio presente in rapporto alle dimensioni della sezione in calcestruzzo. In particolare per le sezioni sollecitate a flessione, l’incremento dell’acciaio teso provoca una perdita di duttilità. Infatti, le sezioni in c.a.n. fortemente armate raggiungono la rottura per cedimento del calcestruzzo e quindi in modo fragile, mentre, sezioni in c.a.n. poco armate raggiungono la rottura per superamento della fase elastica dell’acciaio e quindi in modo duttile. La duttilità viene penalizzata anche dalla presenza di sollecitazioni a compressione che impegnano principalmente il calcestruzzo e, per pilastri soggetti a presso-flessione, il controllo della duttilità assume particolare importanza. Ogni progettazione di strutture in c.a.n. dovrà privilegiare le dimensioni del calcestruzzo piuttosto che l’incremento delle armature in acciaio. Per consentire sufficienti riserve di duttilità alle strutture è perciò preferibile progettare strutture con spessori maggiori e minor quantità di acciaio, piuttosto che strutture sottili con elevate quantità di acciaio. Un predimensionamento eseguito con il metodo delle tensioni ammissibili per le strutture in c.a.n. deve assolutamente essere controllato con il metodo agli stati limite al fine di non realizzare strutture fragili.


87

9.4 FLESSIONE Per il c.a.n. la relazione di Navier, per trovare le tensioni normali a flessione, è ancora valida nell’ipotesi di operare con l’area ideale reagente:

idJ

yM ⋅=σ

dove: M è il momento flettente sulla sezione y è la distanza della generica fibra dall'asse baricentrico della sezione ideale reagente Jid è il momento d'inerzia della sezione ideale reagente La sezione ideale reagente è rappresentata dall’area di calcestruzzo compresso e dall’area di acciaio teso moltiplicata per il coefficiente di omogeneizzazione n=15.

c,max

sn

asse neutro

M

s n

n sFc

Fs

La figura rappresenta una sezione in c.a.n sollecitata a momento flettente M dove: b è la larghezza della sezione di calcestruzzo H è l’altezza competa della sezione in calcestruzzo n·As è l’area delle armature tese omogeneizzata n·A’s è l’area delle armature compressa omogeneizzata d è la distanza delle armature tese dal bordo della sezione (copriferro d=4 cm) h=H-d è l’altezza utile della sezione in c.a. (distanza dal bordo compresso alle armature tese)

y è la distanza dell’asse baricentrico G della sezione ideale reagente detto anche asse neutro Nella sezione di figura sono rappresentati: il diagramma delle deformazioni ε, il diagramma delle tensioni σ, la risultante delle compressioni Fc e delle trazioni Fs e il braccio di leva interno z. Per determinare la posizione dell’asse baricentrico o asse neutro è sufficiente scrivere la condizione di annullamento del momento statico per la sezione ideale reagente:

( ) ( ) 0···'·2

·2

=−−−+ yhAndyAnyb

ss

Si tratta di una banale equazione di secondo grado con incognita y e quindi di facile soluzione. Trovato l’asse neutro possiamo determinare le tensioni massima del calcestruzzo con la relazione di Navier applicata alla sezione ideale reagente:


88

idc J

yM ⋅=max.σ

dove Jid è il momento d’inerzia baricentrico della sezione ideale reagente e vale:

223

)·(·)·('·3

·yhAndyAn

ybJ ssid −+−+=

Per determinare la tensione sulle barre d’acciaio si può ancora utilizzare l’espressione di Navier:

id

scs J

yMnn

⋅== ··σσ

dove )( yhy s −= è la distanza delle armature dall’asse neutro.

VERIFICA A FLESSIONE La verifica di una trave soggetta a flessione viene fatta quando si conosce il momento massimo lungo la trave Mmax , la sezione in calcestruzzo e le aree delle armature tese e compresse. La verifica è positiva quando la tensione massima a compressione nel calcestruzzo σc,max è minore

della tensione ammissibile mc,σ del calcestruzzo e quando la tensione sull’acciaio σs è minore della tensione ammissibile per l’acciaio:

mcc .max, σσ ≤

ss σσ ≤

PROGETTO A FLESSIONE Il progetto a flessione di una sezione in c.a.n. riguarda le dimensioni della sezione in calcestruzzo e il dimensionamento della quantità di acciaio As. E’ possibile dividere le operazioni di progetto in due fasi distinte: - dimensionamento della sezione in calcestruzzo - dimensionamento della quantità di acciaio. DIMENSIONAMENTO DELLA SEZIONE IN CALCESTRUZZO Per ipotesi di progetto poniamo la condizione che la tensione massima del calcestruzzo sia pari alla

tensione ammissibile σc,amm e la tensione massima nell’acciaio sia pari alla tensione σs,amm . Queste ipotesi di progetto individuano l’altezza della sezione detta “altezza normale”: altezza della sezione soggetta a flessione per la quale le tensioni massime a compressione nel calcestruzzo e a trazione nell’acciaio equivalgono ai valori ammissibili di progetto (σc,amm; σs,amm). La sezione in c.a.n. potrà avere anche sezioni con altezza minore di quella normale, ma ciò non permette di sfruttare l’armatura al massimo. La tensione massima nell’acciaio risulterà inferiore alla tensione di progetto per contenere la tensione massima nel calcestruzzo entro il valore di progetto. Altezze inferiori all’altezza normale rendono la sezione meno duttile. Se si progetta una sezione


89

con altezza molto minori dell’altezza normale si creano situazioni di fragilità non compatibili con il progetto delle sezioni in c.a.n.

c,amm

s,amm

M

s n

Fc

Fs

asse neutro

Fig. - ricerca dell’altezza normale della sezione

Per individuare l’altezza normale, per una sezione soggetta a Flessione, nel caso in cui ci sia l’armatura As solo sul lato teso (armatura compressa A’s=0), il diagramma delle tensioni è univocamente determinato. Geometricamente, dal diagramma di figura, si può individuare la

distanza y dell’asse neutro dal bordo compresso:

hn

ny

ammsammc

ammc ··

·

,,

,

σσσ

+= ponendo

ammsammc

ammc

n

ns

,,

,

·

·

σσσ

+= si ottiene hsy ·=

dove: h è l’altezza utile (normale) della sezione in c.a. n è il coefficiente di omogeneizzazione tra acciaio e calcestruzzo s è un parametro che dipende dalle tensioni ammissibili e da n

y è la distanza dell’asse neutro dal bordo compresso Possiamo, quindi, scrivere l’equilibrio per le risultanti a compressione e a trazione:

by

F ammcc ·

2

·,σ= sammss AF ·.σ=

Il braccio della coppia interna z risulta:

3y

hz −=

Possiamo ora scrivere l’equilibrio ai momenti rispetto il baricentro delle trazioni:

My

hby

zF ammcc =−= )

3·(·

2

·· ,σ

In questa equazione, in fase di progetto, sono noti il momento M , le tensioni ammissibili di

progetto del calcestruzzo e dell’acciaio e anche la posizione dell’asse neutro y ( che è funzione del parametro s e dell’altezza utile h).

Possiamo elaborare l’espressione sostituendo hsy ·= per ricavare:

bM

h

ssammc

·)3·(·

6 2

,

=−σ


90

dove h è l’altezza utile normale della sezione di calcestruzzo; b è la larghezza della sezione di calcestruzzo; M è il momento flettente. S è il parametro delle tensioni ammissibili di progetto σc,amm è la tensione ammissibile di progetto del calcestruzzo Il termine sinistro dell’espressione è formato solo dalle tensioni ammissibili poste a base del progetto, mentre il termine destro contiene la sollecitazione M e i due lati (h e b) della sezione in c.a.n. da progettare. Ponendo:

)3·(·

6

, ssr

ammc −=

σ

definiamo il coefficiente “r” come coefficiente per il progetto della sezione normale e l’espressione sopra scritta diventa la formula di progetto a flessione:

b

M

hr =

Ad esempio: per n=15, σc,amm=97.5 e σs,amm=2600 si ottengono i seguenti valori (vedi tabella successiva) :

s =0.360 ; r =0.254 Il valore del parametro “r” permette il progetto della sezione in c.a.n.. La formula di progetto a flessione contiene due incognite, l’altezza utile h e la larghezza b della sezione, si potrà quindi fissare una delle due dimensioni per trovare l’altra. Il coefficiente di progetto “r” può essere calcolato per diverse tipologie di armatura e per diverse classi di calcestruzzo. Per tipologia di armatura si intende il rapporto tra la quantità di armatura in compressione A’s e la quantità di armatura in trazione As. Nella tabella si riportano i valori di “r” per le classi di calcestruzzo C20/25, C25/30, C30/37, con tensione ammissibile dell’acciaio σs,amm=2600 e con vari rapporti tra l’armatura tesa As e l’armatura conpressa A’s:

Valori del coefficiente r Calcestruzzo Tipologia di armatura rapporto A’s/As

Classe mc ,σ A’s = 0 A’s= 0.25·As A’s =0.5·As A’s=1·As

C20/25 85 0.283 0.267 0.250 0.214 C25/30 97.5 0.254 0.237 0.219 0.179 C30/37 115 0.224 0.206 0.186 0.141


91

Scelto il valore del coefficiente “r”, in funzione della classe di calcestruzzo e della tipologia di armatura, si potrà, con la formula di progetto, determinare le dimensioni h e b della sezione. Si evidenzia che l’altezza h così trovata rappresenta l’altezza utile, cioè la distanza dell’armatura tesa dal bordo compresso, quindi, per determinare l’altezza totale H della sezione di calcestruzzo bisognerà aggiungere lo spessore del copriferro d=4 cm:

H=h+d

DIMENSIONAMENTO DELLA QUANTITA’ DI ACCIAIO Dopo aver determinato le dimensioni della sezione normale H=(h+d) e b della sezione in calcestruzzo è possibile trovare la quantità di acciaio teso As necessaria. Scriviamo l’equazione di equilibrio alla rotazione delle tensioni rispetto il centro di applicazione della forza di compressione Fc, che risulta:

Fs · z = M

dove: Fs=As· sσ è la trazione nelle barre di acciaio

z=~0.9·h è il braccio di leva delle forze interne Sostituendo i valori nell’espressione precedente ed evidenziando As si ottiene l’area delle armature necessarie a flessione:

ss h

MA

σ··9.0=

Le aree di acciaio As sono introdotte nel calcestruzzo mediante l’utilizzo di barre per le quali si riportano le aree unitarie in funzione del diametro della barra:

TABELLA DELLE AREE DELLE BARRE IN ACCIAIO Diametro

barre 8 mm 10 mm 12 mm 14 mm 16 mm 18 mm 20 mm 22 mm 24 mm

Area di una barra

0.50 cm²

0.79 cm²

1.13 cm²

1.54 cm²

2.01 cm²

2.54 cm²

3.14 cm²

3.80 cm²

4.52 cm²

VERIFICA DELLE DEFORMAZIONI Per travi a sezione rettangolare in c.a.n. la verifica a deformazione viene condotta semplicemente rispettando i limiti dimensionali riportati in tabella. I rapporti l/h tra la luce della trave e l’altezza totale devono risultare inferiori o uguali ai valori di cui in tabella.

Limiti per la deformazione a flessione Schema statico trave l/h Travi a sbalzo 7 Travi semplicemente appoggiate 20 Travi continue 26 Solette piene semplicemente appoggiate 20 Solette piene continue o incastrate 26 Solai in latero cemento 25


92

9.5 TAGLIO

Dal comportamento fessurativo delle travi inflesse in c.a. si deduce che il modello resistente è formato da una struttura reticolare interna costituita da un corrente compresso, corrispondente al calcestruzzo reagente a compressione, da un corrente teso, corrispondente all'armatura metallica reagente a trazione e da un reticolo di aste di parete, formate da conci compressi di calcestruzzo isolati dalle fessure a 45° e dalle armature trasversali tese ovvero dalle staffe e/o dai ferri piegati distribuiti lungo la trave. Questa struttura reticolare rappresenta il traliccio di Morsch che individua il modello resistente per sollecitazioni di flessione e taglio nelle travi in c.a.n.

La resistenza di una trave sollecitata a taglio è collegata alla resistenza dei conci compressi in calcestruzzo e alla resistenza delle armature tese in acciaio definite dal traliccio di Morsch. Gli sforzi di compressione nel calcestruzzo si possono determinare a partire dalle tensioni tangenziali prodotte dal taglio che sono valutate, per la sezione ideale reagente, secondo la teoria di Jourawski mediante l’espressione:

bJ

ST

id ⋅⋅=τ

dove: T è lo sforzo di taglio S è il momento statico della parte di sezione confinata Jid è il momento d’inerzia baricentrico della sezione ideale reagente b è la larghezza della sezione confinata In particolare il diagramma delle tensioni tangenziali per una sezione in c.a.n. risulta:

asse neutromax

Dal diagramma si nota che la zona di calcestruzzo che non reagisce a trazione (sotto l’asse neutro) in realtà deve sopportare il massimo sforzo tangenziale e la τmax assume il valore:


93

bh

T

⋅=

·9.0maxτ

è facile determinare il valore della τmax se si considera che il momento d’Inerzia J è il momento Statico dei momenti Statici e quindi J=S·z (dove z=0.9·h è il braccio delle forze interne ma anche il braccio dei momenti statici). Le tensioni tangenziali sul piano verticale e le tensioni tangenziali reciproche sul piano orizzontale provocano uno stato di tensione con due tensioni principali, di trazione e di compressione, su piani inclinati di 45 ° in corrispondenza all’asse neutro. Le forze di compressione prodotte dal taglio sono facilmente assorbite dal calcestruzzo, ma le forze di trazione devono essere assorbite da armature metalliche disposte nell’anima della trave. Tali armature sono rappresentate dalle staffe. VERIFICA A TAGLIO Per la verifica a taglio di una sezione in c.a.n. si evidenziano due condizioni, che riguardano la tensione di trazione e la tensione di compressione prodotte dal taglio. Nel primo caso possiamo ipotizzare che le tensioni di trazione dovute al taglio siano assorbite dal calcestruzzo o da una quantità minima di staffe di acciaio. Questa condizione si verifica quando:

coττ ≤max

dove coτ è la tensione ammissibile a taglio e rappresenta la tensione di trazione principale assorbibile in assenza di uno specifico progetto delle armature a taglio . In questo caso non è necessario eseguire un progetto delle armature a taglio perché le tensioni di trazione sono sufficientemente piccole per essere assorbite dal calcestruzzo e da una quantità minima di armature prevista dalle norme tecniche. La normativa prevede almeno tre staffe a metro con passo minimo pari a 0.8·h , al fine di intercettare qualsiasi lesione a 45° provocata dal taglio sul calcestruzzo. Nelle zone di trave dove la tensione a taglio massima τmax risulta

1max cco τττ <<

si dovrà procedere al progetto delle armature a taglio cioè delle staffe. Tradizionalmente gli sforzi di taglio venivano assorbiti da barre piegate a 45° e da staffe verticali, oggi le barre piegate a 45° non si utilizzano più per il loro eccessivo costo di realizzazione, e si utilizzano solo le staffe verticali. Per una trave in calcestruzzo di larghezza b , in un tratto di trave di lunghezza L1 , con taglio massimo nel tratto pari a τmax , la forza di trazione Sst da affidare alle staffe risulta:

Sst = τmax·b·L1


94

dove: L1 è il tratto di lunghezza di trave per il quale si calcolano le staffe necessarie b è la larghezza della trave τmax è il valore della tensione massimo nel tratto L1

L1

MAX

L 1

b

pst

staffa a 2 bracci

Solitamente le staffe hanno 2 bracci verticali che assorbono la forza prodotta dal taglio, quindi il numero complessivo delle staffe necessarie nel tratto L1 di trave risulta:

n°staffe = Sst / (2·ast·σs) e il passo delle staffe risulta

pst. = L1 / n°st. dove: 2 è il numero dei bracci verticali delle staffe ast è l’area del tondino con cui sono realizzate le staffe σs è la tensione ammissibile dell’acciaio delle staffe

La resistenza a taglio della trave può essere aumentata con l’aumento del numero di staffe o del diametro delle stesse (usualmente per le staffe si utilizzano diametri 8, 10 o 12 mm). La sollecitazione di taglio produce sulla sezione in calcestruzzo armato una forza di trazione, che è assorbita dalle staffe, e una forza di compressione che è assorbita dal calcestruzzo. Il calcestruzzo è in grado di assorbire la forza di compressione provocata dal taglio fino a quando la

tensione tangenziale massima raggiunge il valore τc1 (valore fissato dalla normativa per le varie classi di calcestruzzo). L’aumento delle armature al taglio, per aumentare la resistenza della sezione, può essere fatto fino a quando le tensioni di compressione conseguenti possono essere assorbite dal calcestruzzo. Per verificare questa ipotesi limite di resistenza del calcestruzzo alle compressione dovute al taglio si esegue la seguente verifica:

1max cττ ≤

Se la τmax supera il valore τc1 la sezione non ha più riserve di resistenza ed è inutile aumentare ancora le armature, ma è necessario aumentare le dimensioni della sezione di calcestruzzo.


95

9.6 COMPRESSIONE Per il c.a.n. la relazione per trovare le tensioni normali a COMPRESSIONE è :

idsc A

N

AnA

N =+

=)·(

σ

dove: N è lo sforzo di compressione Ac è l’area della sezione in calcestruzzo As è l’area delle barre di acciaio n è il coefficiente di omogeneizzazione tra acciaio e calcestruzzo e vale n=15 Aid è l’area della sezione ideale reagente (Calcestruzzo + n volte Acciaio) VERIFICA A COMPRESSIONE La verifica a compressione per un pilastro in c.a.n. è condotta con la seguente espressione:

ccid

c A

N,σσ ≤=

Si determina la tensione a compressione nel calcestruzzo considerando un’area di calcestruzzo ideale pari all’area del calcestruzzo effettiva più n=15 volte l’area dell’acciaio. Questa operazione viene detta omogeneizzazione della sezione. La tensione ammissibile di confronto cc,σ è fornita dalla tabella riportata nel paragrafo 9.1 in

funzione della classe di calcestruzzo utilizzata. Per un pilastro in c.a.n. con armature verticali, soggetto ad uno sforzo normale, lo sforzo di compressione sulle barre d’acciaio è elevato poiché la tensione sull’acciaio è 15 volte superiore alla tensione sul calcestruzzo:

σs = n · σc = 15·σc

Le barre di acciaio, se non opportunamente bloccate, possono diventare instabili e uscire dalla massa di calcestruzzo. Per evitare tale problema la normativa impone l’uso di staffe orizzontali che legano le barre d’acciaio. Il passo di queste staffe nei pilastri non deve essere maggiore di 15 volte il diametro delle barre longitudinali, con un massimo di 25 centimetri. VERIFICA DELL’INSTABILITA’ A COMPRESSIONE Anche i pilastri in c.a.n. possono avere problemi di instabilità dovuti al fenomeno del carico di punta. Quindi, come per i pilastri in acciaio, la verifica va condotta individuando prima la snellezza del pilastro che deve risultare minore di 100:

100≤=i

L oλ

dove: Lo è la lunghezza libera d’inflessione che dipende dalle condizioni di vincolo i è il raggio d’inerzia che per la sezione rettangolare in calcestruzzo b·h vale:

12

hi =


96

In funzione del valore della snellezza λ è possibile trovare il coefficiente wwww che tiene conto dei fenomeni di instabilità , come riportato in tabella:

Snellezza λ

Coefficiente wwww

50 1.00 70 1.08 85 1.32 100 1.62

La verifica a compressione è quindi condotta con la seguente relazione:

cc

idA

N,

· σωσ ≤=

dove: N·wwww è il carico di compressione amplificato dal coefficiente wwww per considerare l’instabilità Aid è l’area ideale della sezione pari all’area del calcestruzzo più n volte l’area di acciaio.

cc ,σ è la tensione ammissibile a compressione per il calcestruzzo

9.7 PRESSO-FLESSIONE Lo studio di una struttura in c.a.n. sollecitata a presso flessione, come ad esempio i pilastri in presenza di azioni orizzontali come vento o sisma, risulta particolarmente complesso poiché non è possibile utilizzare l’espressione di sovrapposizione degli effetti del momento (σ=My/J) e dello sforzo normale (σ=N/A) L’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti non è applicabile poichè le sezioni ideali che reagiscono alle sollecitazioni di compressione N e di flessione M sono tra loro diverse. L’individuazione dell’asse neutro, attraverso il legame di antipolarità con il centro di applicazione del carico, risulta particolarmente complesso in quanto viene espresso mediante una relazione alla terza potenza. In queste note possiamo solo rilevare che la resistenza del pilastro soggetto a presso-flessione può essere aumentata incrementando la quantità di acciaio introdotta, ma tale aumento ha come limite la resistenza a compressione del calcestruzzo e, quindi, la possibile rottura della struttura in modo fragile. Ciò risulta estremamente negativo per la sicurezza complessiva dell’opera. Il modo più corretto di procedere risulta invece quello di aumentare la dimensione della sezione di calcestruzzo del pilastro. Partendo perciò dalla dimensione del pilastro per il carico centrato N si devono aumentare le dimensioni della sezione in calcestruzzo per fornire al pilastro la possibilità di assorbire eventuali flessioni M senza per questo aumentare eccessivamente le quantità di acciaio e in modo da garantire un comportamento duttile e perciò efficace e sicuro della struttura.


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INDICE 1. PREMESSA …………………………………………….…..…………. pag. 2 2. LA STRUTTURA……………………………………………………… pag. 3 2.1 L’EQUILIBRIO………………………………………………… pag. 3 2.2 LA RESISTENZA……………………………………………… pag. 4 2.3 LA DEFORMABILITA’ ………………………………………. pag. 5 3. IL MODELLO IDEALE ELASTICO-LINEARE…………………….. pag. 7 4. IL MODELLO di VERIFICA alle TENSIONI AMMISSIBILI……….. pag. 13 5. LE STRUTTURE IN ACCIAIO LAMINATO..………………………. pag. 15 5.1 FLESSIONE…………………………………………………… pag. 16 5.2 TAGLIO…………………………………………….….………. pag. 17 5.3 TRAZIONE……………………………………………………. pag. 19 5.4 COMPRESSIONE…………………………………………….. pag. 20 5.5 PRESSO FLESSIONE………………………………………… pag. 23 5.6 TAGLIO E FLESSIONE……………………………………… pag. 24 5.7 LE FORZE ORIZZONTALI …………………………………. pag. 26 6. ESEMPI DI PROGETTO E VERIFICA DI STRUTTURE IN ACCIAIO… pag. 32 6.1 ESEMPIO 1 – SOLAIO………………………………………. pag. 32 6.2 ESEMPIO 2 – CONTROVENTI…………………………….. pag. 41 6.3 ESEMPIO 3 – RETICOLARE ………………………………. pag. 58 7. LE STRUTTURE IN LEGNO MASSICCIO…………....…………... pag. 68 7.1 FLESSIONE…………………………………………………… pag. 70 7.2 TRAZIONE……………………………………………………. pag. 71 7.3 COMPRESSIONE…………………………………………….. pag. 71 7.4 TAGLIO…..…………………………………………………… pag. 73 8. LA MURATURA …………………………....……………….............. pag. 74 8.1 CARATTERISTICHE DELLA MNURATURA……………… pag. 74 8.2 COMRESSIONE………………………………………………. pag. 76 8.3 AZIONI ORIZZONTALI E TAGLIO………………………… pag. 78 8.4 PRESSOFLESSIONE LONGITUDINALE…………………… pag. 80 8.5 TAGLIO…..…………………………………………………… pag. 81 8.6 VERIFICA SEMPLIFICATA………………………………… pag. 82 9. LE STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO NORMALE...... pag. 83 9.1 IL CALCESTRUZZO………………………………………… pag. 84 9.2 L’ACCIAIO IN BARRE……………………………………… pag. 85 9.3 IL CALCESTRUZZO ARMATO NORMALE ……………… pag. 86 9.4 FLESSIONE …………………………………………………. pag. 87 9.5 TAGLIO…..………………………………………………….. pag. 92 9.6 COMPRESSIONE………………………………………….... pag. 95 9.7 PRESSO FLESSIONE………………………………………... pag. 96

Il Predimensionamento Delle Strutture Prof.bruno Zan

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