“Il Piano cartesiano e la retta”

realizzato dagli studenti della 2ª BAielli Luca

Pasquini DanieleRosato Anna

Le coordinate di un punto• Le coordinate servono per

determinare un punto all’interno di un piano.

• La prima coordinata si riferisce all’asse delle ascisse e la seconda all’asse delle ordinate.

Esistono due forme generiche per rappresentare l’equazione della retta:

• Forma implicita →• Forma esplicita →

dove:

il coefficiente angolare →

termine noto →

0cbxax

qmxy

ba

m

bc

q

Il coefficiente angolare

• Indica l’inclinazione della retta rispetto all’asse X; se è positivo l’inclinazione sarà < di 90°, se è negativo l’inclinazione sarà > di 90°

• Avendo due punti può essere calcolato attraverso la seguente formula:

• avendo l’equazione della retta (in forma esplicita) si calcola facendo il rapporto tra a e b

XA-XBYA-YB

Il termine noto

• Viene indicato con la lettera “q” e indica il punto d’intersezione con l’asse delle ordinate.

Come si rappresenta una retta?

Avendo due o più punti:• Si disegnano all’interno del piano e si

traccia la retta passante per essi.

Esempio:A (3;5)

B (1;2)

Avendo l’equazione della retta:• Si dà un valore a una delle due incognite e

si trova il valore dell’altra incognita risolvendo l’equazione. Questa operazione va svolta almeno 2 volte. I dati si riportano in tabella

Esempio:

• se x vale 1

• se x vale 2

21)(3x

y

211)*(3

y

212)*(3

y

Avendo l’equazione della retta in forma esplicita:

• Si trova il punto d’intersezione con l’asse y (che è il valore della q).

• Il secondo punto si trova utilizzando il coefficiente angolare m, infatti il denominatore di esso indica lo spostamento in orizzontale partendo dal punto (o;q), mentre il numeratore indica lo spostamento in verticale.

• Infine si unicono i due punti e si trova la retta.

Esempio:• • il numero “-b” ci dice lo

spostamento in verticale partendo dal punto (0;-c/a) e il numero “a” lo spostamento in orizzontale partendo sempre dal punto

(0;-c/a).• Rappresentiamo ora

• ci spostiamo di 3 in verticale e 2 in orizzontale partendo dal punto d'intersezione con l'asse y che sarà 1/2

acbx

y

213x

y

Come si rappresenta una retta parallela agli assi ?

• Sappiamo che quando un retta è parallela all’asse x l’equazione è by+c=0 e quando una retta è parallela all’asse y l’equazione è ax+c=0.

• quindi se una retta sarà parallela all’asse x si ricava y e si uniscono tutti i punti che hanno quella y, e viceversa se una retta è parallela all’asse y si ricava x e si uniscono tutti i punti che hanno quella x.

Determinare una retta sapendo che è parallela a una data e noto un punto

• Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare.

• Quindi • Sfruttando questo concetto sapendo il

coefficiente angolare della prima retta è uguale a quello della seconda, ricavo tramite fomula inversa il termine noto

• y=mx+q → q=yp-mx• Questo non vale per le rette parallele

all’asse delle ordinate. Se la retta è parallela all’asse y basta scrivere x=xp → q=yp-mxp

1mm

Determinare una retta sapendo che è perpendicolare a una data e noto un

punto• Quando due rette sono perpendicolari il prodotto

dei loro coefficienti angolari è -1, da questo deriva che un coefficiente angolare è il reciproco opposto dell’altro. Quindi se

• Dopo aver ricavato il secondo coefficiente angolare trovo il termine noto tramite formula inversa. →

• Il teorema non si può applicare nelle rette parallele agli assi.

2m1 21

m2

qmxY mxyq

Come si trova l’equazione di una retta avendo 2 punti ?

• Si utilizza la formula per ricavare il coefficiente angolare. Successivamente si ricava q tramite formula inversa ( q=mxa-ya o q=mxb-yb) ottenendo così l’equazione della retta.

Se la retta è parallela all’asse y

x = xa oppure x = xb

XbXaYbYa

m

Come si calcola il punto medio di un segmento ?

• Conoscendo i due estremi di un segmento: per calcolare il punto medio si utilizzano 2 differenti formule

• la prima per ricavare l’ascissa del punto medio :

• la seconda per ricavare l’ordinata del punto medio :

2xx

xm 21

2yy

ym 21

Come si determina l’estremo di un segmento noto il punto medio

e l’altro estremo ?• Si utilizza la formula inversa del punto medio

•

•

x1-xm)*(2x22

x2x1xm

y1-ym)*(2y22

y2y1ym

Come si determina la distanza di una retta da un punto ?

• La prima cosa da sapere è che la distanza è sempre perpendicolare alla retta.

• Prendiamo per esempio la retta

e il punto P (4;6)3

103x4

ym

• tracciamo le parallele agli assi fino ad incontrare la nostra retta in due punti, che andiamo a chiamare A e B.

• il punto A ha la stessa ordinata di P (6) e il punto B ha la stessa ascissa di P (4). Calcoliamo le coordinate mancanti sostituendo nell'equazione della retta.

•

• quindi →

• →

•

310

3x4

ym

310

3xA4

yA

43

310

yAxA

43

310

6xA

43

38

xA

2xA

• y = -4/3x+10/3 quindi yB = -4/3xB+10/3• yB = (-4/3)*4+10/3• yB = -16/3+10/3 • yB = -6/3• yB = -2• quindi A ha coordinate (-2;6) e B (4;-2)• troviamo la lunghezza AP: 4-(-2)=4+2=6• troviamo la lunghezza BP:6-(-2)=6+2=8• consideriamo il triangolo rettangolo ABP dove PH è

l'altezza, che troviamo con la formula inversa per trovare l'area:

• A = (b*h)/2 → h = (2A)/b• A è l' area e b la base.

• Ricaviamo la base del triangolo ( l'ipotenusa AB)

• √AP^2+BP^2= √6^2+8^2= √36+64= √100= 10• Ricaviamo l' area utilizzando i cateti.• A=(6*8)/2=48/2=24• utilizziamo la formula inversa per ricavare l'altezza.• h=(2A)/b• PH=(2*24)/10=48/10=4,8• quindi la distanza del nostro punto P dalla retta è 4,8.• Tutto questo può essere però riassunto in una semplice

formula, che è la seguente:• d=|ax0+by0+c|

√a^2+b^2

• svolgiamo l'esercizio precedente utilizzando questa formula. Per prima cosa ci scriviamo l' equazione della retta in forma implicita.

• -4/3x-y+10/3=0• Sostituiamo nella formula a, b, c, della retta ed xp e yp

del punto P.• (-4/3)*4-(1*6)+10/3 = • -4/3^2+(-1)^2• -16/3-6+10/3 =• 16/9+1• 24/3 =• 25/9• 8*3/5= 24/5 =4,8• questo è un metodo più veloce da applicare per trovare la

distanza di un punto da una retta.

Come si determina il punto d’intersezione di due rette?

Il punto d’intersezione di due rette si ottiene mettendo a sistema le due rette.

Esistono 4 metodi per risolvere un sistema:• metodo di sostituzione • metodo di confronto• metodo di riduzione• metodo di Cramer