Il meccanismo di HiggsIl meccanismo di Higgs

Lezione 12Lezione 12

riferimento capitolo 8 Kaneriferimento capitolo 8 Kane

Le masse delle particelle nel Le masse delle particelle nel Modello StandardModello Standard

come assegnare una massa ai bosoni di come assegnare una massa ai bosoni di gaugegauge

come assegnare una massa ai fermionicome assegnare una massa ai fermioni la matematica connessala matematica connessa l’idea di simmetria nascosta o rottura l’idea di simmetria nascosta o rottura

spontanea di simmetriaspontanea di simmetria solo cenni qualitativi sul problema degli solo cenni qualitativi sul problema degli

infiniti della teoria e la sua infiniti della teoria e la sua rinormalizzazionerinormalizzazione

rottura spontanea di rottura spontanea di simmetriasimmetria

Quando si parla di rottura di simmetria di una Lagrangiana,di Quando si parla di rottura di simmetria di una Lagrangiana,di solito si pensa ad una Lagrangiana che è la somma di due solito si pensa ad una Lagrangiana che è la somma di due Lagrangiane. UnaLagrangiane. Una L L00 che è invariante per un certo gruppo di che è invariante per un certo gruppo di trasformazioni ed unatrasformazioni ed una L L11 che non lo è.Se che non lo è.Se LL11 è piccola rispetto è piccola rispetto ad ad LL00 e può essere trattata come una perturbazione, le e può essere trattata come una perturbazione, le conseguenze della simmetriaconseguenze della simmetria L L00 sono poco violate e sono poco violate e continuano ad essere importanti (vedi spin isotopico)continuano ad essere importanti (vedi spin isotopico)

Questa è una simmetria Questa è una simmetria rotta esplicitamente,rotta esplicitamente, o ” o ”brokenbroken”” Una Una rottura spontanearottura spontanea è una cosa del tutto diversa. è una cosa del tutto diversa.

In caso di rottura spontanea, la Lagrangiana In caso di rottura spontanea, la Lagrangiana continua ad essere simmetrica, ma si scopre che continua ad essere simmetrica, ma si scopre che le variabili adatte a descrivere il sistema non lo le variabili adatte a descrivere il sistema non lo sono!sono!

Se si usano tali variabili,anche la Lagrangiana diventa Se si usano tali variabili,anche la Lagrangiana diventa asimmetrica ma è simmetrica nelle varibili “originaliasimmetrica ma è simmetrica nelle varibili “originali””

Come può essere che abbiamo una Lagrangiana simmetrica,in Come può essere che abbiamo una Lagrangiana simmetrica,in funzione di certe variabili, ma che si scopre che le variabili funzione di certe variabili, ma che si scopre che le variabili adatte a descrivere il sistema non lo sono?adatte a descrivere il sistema non lo sono?

un esempio : il ferromagnetismo le forze tra gli spin sono invarianti per rotazione,

quindi lo è L. il ferromagnete sarà però magnetizzato in una il ferromagnete sarà però magnetizzato in una

certa direzione, anche se casuale, e dovuta ad certa direzione, anche se casuale, e dovuta ad una fluttuazione statisticauna fluttuazione statistica

se il magnete è finito, e per esempio fatto di se il magnete è finito, e per esempio fatto di pochi spin,l’asse di magnetizzazione può pochi spin,l’asse di magnetizzazione può ruotare facilmenteruotare facilmente

nello stato fondamentale il momento orbitale nello stato fondamentale il momento orbitale totale L= 0 all’interno del sistema.totale L= 0 all’interno del sistema.

Per un sistema finirto non esiste una direzione Per un sistema finirto non esiste una direzione privilegiata = uguale ampiezza di probabilità di privilegiata = uguale ampiezza di probabilità di trovare l’asse di magnetizzazione in ogni trovare l’asse di magnetizzazione in ogni direzionedirezione

Ma se il magnete è costituito da Ma se il magnete è costituito da spin, il tempo spin, il tempo di riallineare gli spin è infinitodi riallineare gli spin è infinito

se il magnete è infinito,una volta che l’asse di se il magnete è infinito,una volta che l’asse di magnetizzazione ha una certa direzione non magnetizzazione ha una certa direzione non può ruotare anche se l’energia di rotazione è può ruotare anche se l’energia di rotazione è nullanulla

In tali circostanze occorre un tempo infinito per In tali circostanze occorre un tempo infinito per una rotazione comunque piccolauna rotazione comunque piccola

Se un piccolo ago magnetico si trova accanto ad Se un piccolo ago magnetico si trova accanto ad un ferromagnete infinito esso avrà una un ferromagnete infinito esso avrà una direzione di equilibrio ben determinata e per direzione di equilibrio ben determinata e per descrivere le sue oscillazioni converrà descrivere le sue oscillazioni converrà introdurre l’angolo introdurre l’angolo rispetto a tale direzione rispetto a tale direzione

un blocco di materiale ferromagnetico a T=0 (stato quantistico puro)

Lagrangiane e ParticelleLagrangiane e Particelle Ricordiamo il ruolo delle Lagrangiane Ricordiamo il ruolo delle Lagrangiane LL nella fisica delle nella fisica delle

particelleparticelle LL definisce la teoria.É scritta nei termini delle particelle definisce la teoria.É scritta nei termini delle particelle

elementari della teoria. Ogni oggetto composto deve apparire elementari della teoria. Ogni oggetto composto deve apparire come uno stato legato della teoria che emerge come una come uno stato legato della teoria che emerge come una soluzione della teoriasoluzione della teoria

Più precisamente è la parte di Più precisamente è la parte di energia potenziale di energia potenziale di L L che che rende specifica la teoria. Le parti relative alla energia cinetica rende specifica la teoria. Le parti relative alla energia cinetica sono generali e dipendono solo dallo spin delle particelle. sono generali e dipendono solo dallo spin delle particelle. L’energia potenziale dipende dalle forze. È la Lagrangiana di L’energia potenziale dipende dalle forze. È la Lagrangiana di interazione interazione LLintint

Perchè la fisica delle particelle è formulata con le Lagrangiane Perchè la fisica delle particelle è formulata con le Lagrangiane LL ? ? LL è una unica funzione che determina la dinamica. Inoltre è è una unica funzione che determina la dinamica. Inoltre è uno scalare in ogni spazio , e quindi invariante per uno scalare in ogni spazio , e quindi invariante per trasformazioni. trasformazioni.

In particolare , rendendo In particolare , rendendo LL invariante per trasformazioni di invariante per trasformazioni di Lorentz, ci garantiamo che tutte le previsioni della teoria siano Lorentz, ci garantiamo che tutte le previsioni della teoria siano Lorentz invariantiLorentz invarianti

Nella teoria quantistica, minimizzando il potenziale, si determina Nella teoria quantistica, minimizzando il potenziale, si determina lo stato fondamentale, cioè il lo stato fondamentale, cioè il vuotovuoto

Le particelle sono le eccitazioni del vuotoLe particelle sono le eccitazioni del vuoto

il meccanismo di Higgsil meccanismo di Higgs essenzialmente, si fa l’ipotesi che tutto l’universo sia essenzialmente, si fa l’ipotesi che tutto l’universo sia

riempito da un campo scalare (spin 0),chiamato campo riempito da un campo scalare (spin 0),chiamato campo di Higgs.di Higgs.

il campo di Higgs è un doppietto in SU(2) ed ha una il campo di Higgs è un doppietto in SU(2) ed ha una ipercarica in U(1),ma è un singoletto di coloreipercarica in U(1),ma è un singoletto di colore

fermioni e gauge-bosoni possono interagire con questo fermioni e gauge-bosoni possono interagire con questo campo, ed in sua presenza acquistano massacampo, ed in sua presenza acquistano massa

stati con bosoni di Higgs sono non- ortogonali al stati con bosoni di Higgs sono non- ortogonali al ““vuoto”vuoto”, (stato fondamentale del sistema) anche se , (stato fondamentale del sistema) anche se questi stati hanno numeri quantici di U(1) e SU(2) questi stati hanno numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi da 0. diversi da 0.

Il “Il “vuoto” vuoto” ha quindi numeri quantici di U(1) e SU(2) ha quindi numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi da 0; le simmetrie di U(1) e SU(2) sono rottediversi da 0; le simmetrie di U(1) e SU(2) sono rotte

la simmetria è valida per la Lagrangiana ma è rotta per la simmetria è valida per la Lagrangiana ma è rotta per lo stato fondamentale del sistema (cioè per il lo stato fondamentale del sistema (cioè per il vuotovuoto);); : :

è una è una rottura spontanea di rottura spontanea di simmetriasimmetria

vari esempi di rottura vari esempi di rottura spontanea di simmetriaspontanea di simmetria

Un campo scalare reale - una simmetria Un campo scalare reale - una simmetria per riflessioneper riflessione

Il campo scalare complesso-una Il campo scalare complesso-una simmetria globale. Il bosone di simmetria globale. Il bosone di

GoldstoneGoldstone

Sommario delle LagrangianeVector field, mass=0Vector field, mass=0

(elettromagnetismo)(elettromagnetismo)

Real Scalar or Real Scalar or Pseudoscalar field Pseudoscalar field Campo reale di Campo reale di massa m e spin=0massa m e spin=0

Complex scalar or Complex scalar or pseudoscalar field of pseudoscalar field of mass mmass m

massive abelian vector field massive abelian vector field termine di massatermine di massa

AJFFL

4

1

22

2

1 mL 02 m

*2*

2

1mL 2/;2/ 21

*21 ii

0;0 *2*2

mm

BBm2

2

1

non abelian vector field non abelian vector field

aa

aa WWmWWL

2

2

1

4

1

cbabcaaa WWgfWWW

Teoria dei campi e tecniche Teoria dei campi e tecniche perturbativeperturbative

Lo Lo stato fondamentalestato fondamentale del sistema si trova del sistema si trova minimizzando l’energia potenziale ( o il minimizzando l’energia potenziale ( o il potenziale)potenziale)

Convenzionalmente questo stato si chiama Convenzionalmente questo stato si chiama il vuotoil vuoto

Si trovano tutti gli altri Si trovano tutti gli altri stati eccitatistati eccitati espandendo le funzioni di campo ( o espandendo le funzioni di campo ( o potenziale) attorno al minimopotenziale) attorno al minimo

Convenzionalmente gli stati eccitati Convenzionalmente gli stati eccitati corrispondono alle corrispondono alle particelleparticelle

L’insieme degli stati eccitati è lo L’insieme degli stati eccitati è lo spettrospettro

richiamirichiami

rottura spontanea di simmetria: un esempiopotenzial

potenzialee

simmetria per simmetria per riflessioneriflessione

per per cominciare cominciare consideriamo consideriamo e e come come semplici semplici parametri parametri matematici;matematici;

questa questa LL è più generale di quello che potrebbe sembrare,perchè è è più generale di quello che potrebbe sembrare,perchè è possibile dimostrare che potenze >4 introdurrebbero degli infiniti possibile dimostrare che potenze >4 introdurrebbero degli infiniti negli osservabilinegli osservabili

422

4

1

2

1

2

1 VTLLL

Lrif

rappresenta una rappresenta una interazione di forzainterazione di forza

4

poniamo poniamo >0 (limite >0 (limite inf. inf. potenziale potenziale per per ))

per per 22 > 0, il > 0, il vuoto vuoto corrisponde a corrisponde a =0, che =0, che minimizza il minimizza il potenziale. potenziale. 22 è è il termine di il termine di massamassa

per per 22 < 0, < 0, il il minimo del minimo del potenziale si trova potenziale si trova minimizzando V(minimizzando V(). ). =0 non è un =0 non è un minimominimo

;0V

il minimo il minimo dell’energia si dell’energia si ha quando ha quando sono minime sono minime sia l’energia sia l’energia potenziale che potenziale che la cinetica.la cinetica.

per per minimizzare minimizzare l’energia l’energia cinetica, cinetica, (x)=cost(x)=cost

(x) è (x) è un un campo campo di Higgsdi Higgs

2

minx

022

energia

energia cinetica

cinetica

valore di valore di aspettaziaspettazione del one del vuotovuoto

valore di valore di aspettaziaspettazione del one del vuotovuoto

2

minx

422

4

1

2

1 V xx

422

4

1

2

1

2

1xxL

LL

422

4

1

2

1

2

1 VTLLL Lrif

V

4222

4

12

2

1

2

1xL

LL

espandiamo la funzione espandiamo la funzione attorno a attorno a =0=0

4222

4

12

2

1

2

1xvvvL

LL

432234

222

4644

1

22

1

2

1

vvvv

vvLLL

43222

22222

4

13

2

2

1

22

1

vv

vvvv

LLL

kostvvL

4322

4

1

2

1 LL

22

2

2

1

2v

v

LL

22 vv

2

2 vricordando ricordando

cheche

scompare il termine scompare il termine lineare in lineare in

raccogliaraccogliamo i mo i fattori fattori delle delle potenze di potenze di

kostvvL

4322

4

1

2

1 LL

interpretazione di questo interpretazione di questo risultatorisultato La LagrangianaLa Lagrangiana L(L() ) rappresenta una particella di massa rappresenta una particella di massa

mm22=2=2vv22=-2=-222, , e con due interazioni: una cubica di forza e con due interazioni: una cubica di forza vv, ed , ed

una quartica, di forza una quartica, di forza /4. /4. kostkost può essere ignorato, ridifinendo il livello 0 della potenzialepuò essere ignorato, ridifinendo il livello 0 della potenziale LLe Lagrangianee Lagrangiane L( L()) e e L(L()) devono essere equivalenti, se il devono essere equivalenti, se il

problema è risolto in modo consistente. problema è risolto in modo consistente. Se vogliamo una descrizione perturbativa, dobbiamo perturbare Se vogliamo una descrizione perturbativa, dobbiamo perturbare

attorno ad un minimo, per avere convergenza.attorno ad un minimo, per avere convergenza. La particella definita dalla teoria con La particella definita dalla teoria con 22<0 è un campo scalare <0 è un campo scalare

reale,con una massa ottenuta dall sua self-interaction con altri reale,con una massa ottenuta dall sua self-interaction con altri scalari, perchè al minimo della sua energia potenziale,c’è un scalari, perchè al minimo della sua energia potenziale,c’è un valore di aspettazione del vuoto v ≠ 0valore di aspettazione del vuoto v ≠ 0

Non c’è traccia della simmetria di riflessione Non c’è traccia della simmetria di riflessione - -. É stata . É stata rotta la simmetria quando si è scelto un vuoto specifico (rotta la simmetria quando si è scelto un vuoto specifico ( =+v, piuttosto che =+v, piuttosto che =-v) =-v)

LLrifrif

Un secondo esempioUn secondo esempio

Il campo scalare complessoIl campo scalare complesso

Una simmetria globaleUna simmetria globale

campo scalare complessocampo scalare complesso 221 iinvariante invariante

per per trasformaziotrasformazione di gaugene di gauge

ie '

La La lagrangialagrangia

na na LL ha ha una una

simmetria simmetria globale globale

U(1)U(1)22>0>0 L L ha ha

chiaramente un chiaramente un minimo nell’origine minimo nell’origine

del piano del piano 11, , 22

22< 0< 0 L L ha minimi sul ha minimi sul cerchio di raggiocerchio di raggio

22

22

21 v

**2* LLL

222

21

22

21

222

21 42

1

2

1

2

1 LLL

scegliendo un punto sul scegliendo un punto sul cerchio,si rompe la simmetria!cerchio,si rompe la simmetria!

2

0; 21

xixv

v

scegliamo arbitrariamente

due particelle ,

kost

vL

4422

322222

442

2

1

2

1

LL

questo è il questo è il termine di massa termine di massa di una particella di una particella (x) con massa (x) con massa mm

22=2=2||22|. |. (x) non ha massa: è il (x) non ha massa: è il bosone di bosone di GOLDSTONE. GOLDSTONE.

lungo il cerchio il potenziale è un lungo il cerchio il potenziale è un minimo; una eccitazione radiale minimo; una eccitazione radiale spinge in sù il potenziale ed una spinge in sù il potenziale ed una

massa è associata con la curvatura massa è associata con la curvatura del potenziale. del potenziale. lungo il cerchio non c’è resistenza al lungo il cerchio non c’è resistenza al

moto, e questo è il senso moto, e questo è il senso dell’eccitazione (particella) senza dell’eccitazione (particella) senza

massamassa

il termine in 2 è scomparso

E’ emerso un bosone senza E’ emerso un bosone senza massa , diverso dal fotone, massa , diverso dal fotone,

che nessuno ha mai che nessuno ha mai osservatoosservato

??

Applichiamo adesso questo Applichiamo adesso questo metodo matematico alla metodo matematico alla lagrangiana della QEDlagrangiana della QED

Local gauge Abelian Local gauge Abelian symmetrysymmetry

Che cosa succede?Che cosa succede?

The Abelian Higgs Mechanism Local Gauge The Abelian Higgs Mechanism Local Gauge SymmetrySymmetry

igAD

xg

AAA 1'

abbiamo abbiamo considerato considerato invarianze di invarianze di gauge gauge globaliglobali

introduciamo introduciamo ora una ora una invarianza di invarianza di gauge localegauge locale

campo vettoriale campo vettoriale privo di massa privo di massa e e derivata covariantederivata covariante

trasforamazion

trasforamazion

e del campo di

e del campo di

gaugegauge

xexx xi ' è invariante perè invariante per

The Abelian Higgs Mechanism Local Gauge The Abelian Higgs Mechanism Local Gauge SymmetrySymmetry

La Lagrangiana per La Lagrangiana per 22 > 0 rappresenta l’interazione > 0 rappresenta l’interazione di una particella di massa di una particella di massa con il campo con il campo elettromagnetico Aelettromagnetico A. . è uno scalare carico con g=e. è uno scalare carico con g=e.

questa lagrangiana contiene 4 campi indipendenti:questa lagrangiana contiene 4 campi indipendenti: i due scalari reali i due scalari reali 11 e e 22

e i due stati di polarizzazione trasversa del bosone di e i due stati di polarizzazione trasversa del bosone di gaugegauge

Vediamo cosa succede per Vediamo cosa succede per 22 < 0 < 0

FFDDL

4

12**2* L

termini di energia termini di energia cinetica del campo e.m. cinetica del campo e.m. che è privo di massache è privo di massa

2

xhvx

xiexx

FFhvhv

hvigAhvigAL

4

1

42

2

1

422

FFAAhgAvhAg

hvhhvAAvghhL

222

432222

2

14

1

2

1

2

1

xexx xi 'sappiamsappiamo che o che è è invariantinvariant

e pere per

usando il formalismo

già visto

, sono reali

possiamo possiamo scrivere,con h scrivere,con h realereale

sapendo che possiamo sempre sapendo che possiamo sempre utilizzare questa trasformazione utilizzare questa trasformazione

e ci sarà comunque un e ci sarà comunque un che che rende possibile questa rende possibile questa

trsformazionetrsformazionesostituiamo nella sostituiamo nella LagrangianaLagrangiana

FFDDL4

12**2*

FFAAhgAvhAg

hvhhvAAvghhL

222

432222

2

14

1

2

1

2

1 AAvg 22

2

1

termine di massa del termine di massa del bosone di Gaugebosone di Gauge

gvM A gvM A gvM A

il termine di massa del il termine di massa del bosone di gaugebosone di gauge è è diverso da zero solo diverso da zero solo quando la simmetria è quando la simmetria è rotta spontaneamenterotta spontaneamente dal dal bosone di Higgsbosone di Higgs che acquista il valore che acquista il valore di aspettazione del di aspettazione del vuotovuoto

la Lagrangiana è gauge-invariante, ma il vuoto non lo è; per minimizzare il la Lagrangiana è gauge-invariante, ma il vuoto non lo è; per minimizzare il potenziale abbiamo dovuto scegliere una particolare direzione nello spazio potenziale abbiamo dovuto scegliere una particolare direzione nello spazio 1122

termine di massa termine di massa del bosone di del bosone di HiggsHiggs

2vM h

lo spettro lo spettro contiene contiene solo h, il solo h, il bosone di bosone di Higgs, che Higgs, che ha varie ha varie self-self-interactionsinteractions

4322

4

1hvhhv

2vM h 2vM h

h ha anche h ha anche interazioni interazioni cubiche e cubiche e quartiche quartiche con il con il bosone di bosone di gaugegauge

il bosone di il bosone di goldstone goldstone

della simmetria della simmetria U(1) è U(1) è

diventato la diventato la polarizzazione polarizzazione

longitudinale longitudinale del bosone di del bosone di

gauge Agauge A

AAhgAvhAg 222

2

1

Lo spettro è adesso

un singolo bosone di Higgs h, con massa 2v2 , con varie self-interactions, più interazioni cubiche e quartiche con il bosone di gauge A

piu un bosone di gauge massivo A, con 3 stati di spin .

Si hanno quindi sempre 4 “stati” indipendenti

Questo è il meccanismo di Higgs

The Higgs mechanism and The Higgs mechanism and the STANDARD MODELthe STANDARD MODEL

il bosone di Higgs il bosone di Higgs deve deve essere assegnato ad un essere assegnato ad un

doppietto di SU(2)doppietto di SU(2)

0

2

21 i

2430 i

22 L

0*0*

0

*0*

2

222210*0** 432

22 V xexx xi 2'

22

22 v

xHvx 0

2

1

0; 1343 v

il campo il campo di Higgs di Higgs

deve deve essere essere

un un doppiettdoppiett

o di o di SU(2)SU(2)

in uno spazio SU(2) i due campi di in uno spazio SU(2) i due campi di Higgs Higgs ++ 00 sono legati da una sono legati da una

rotazionerotazione

la Lagrangiana di la Lagrangiana di

studiamo studiamo il il potenzialepotenzialeè invariante è invariante per rotazioneper rotazione

il potenziale V(il potenziale V() ha un minimo per ) ha un minimo per 22 < 0< 0

si studia lo si studia lo spettro di spettro di Higgs (Higgs (), ),

espandendo espandendo attorno al attorno al

vuoto, vuoto,

xexx xi 2'

scegliamo un scegliamo un punto di punto di minimo, minimo, rompendo la rompendo la simmetriasimmetria

molti molti punti punti

soddisfasoddisfano no

questa questa condizioncondizion

ee

v

0

2

10

xexx xi 2'

vie '

Possiamo farlo, per l’invarinza per rotazionePossiamo farlo, per l’invarinza per rotazione

possiamo fare una possiamo fare una “gauge -“gauge -trasformation”trasformation”

e ruotare e ruotare nella forma nella forma

v

0

2

10

v

0

2

10

00 è il è il vuotovuotola la simmetriasimmetria originale originale

eraera inv 2222

1 432

scegliendo una direzione abbiamo 3 simmetrie globali rotte: scegliendo una direzione abbiamo 3 simmetrie globali rotte: abbiamo gauged way 3 campi ( 3 bosoni privi di massa)abbiamo gauged way 3 campi ( 3 bosoni privi di massa)

e si cercano le equazioni e si cercano le equazioni soddisfatte da H.soddisfatte da H.

la simmetria originale era una simmetria O(4):

scegliendo una direzione abbiamo tre simmetrie globali rotte

abbiamo “gauged way” tre bosoni di gauge con massa 0 e tre campi

abbiamo eliminato i bosoni di Goldstone

inv 24

23

22

21

0

il bosone di Higgs ha due componenti, + (carica elettrica 1), e 0, (carica elettrica nulla)

HY

T

Q

3

carica elettricacarica elettrica

autovalore di isospin autovalore di isospin deboledebole

ipercarica di U(1)ipercarica di U(1)23 HYTQ 1HY

soltanto la soltanto la componente neutracomponente neutra 00 può avere un valore di può avere un valore di aspettazione del vuoto aspettazione del vuoto ++ non può, altrimenti non può, altrimenti non si conserverebbenon si conserverebbe la la carica elettricacarica elettrica

l’assegnazione della

carica elettrica al

doppietto di Higgs

equivale a porre

il fotone

questo rompe la si mmetria di questo rompe la si mmetria di SU(2) SU(2)

0HY rompe U(1)rompe U(1)

02 030 HYTQPerò, se operiamo sul vuotoPerò, se operiamo sul vuoto con l’operatore con l’operatore carica elettricacarica elettrica

così il vuoto è invariante per così il vuoto è invariante per

000'

0 Qxie

il vuoto è invariante per un il vuoto è invariante per un particolare particolare U’(1),U’(1), i cui i cui generatori sono una generatori sono una particolare combinazione particolare combinazione lineare dei generatori lineare dei generatori originali di SU(2) e U(1)originali di SU(2) e U(1)

questo U’(1) è questo U’(1) è l’U(1) l’U(1) dell’elettromagdell’elettromagnetismo, ed il netismo, ed il bosone che bosone che resta senza resta senza massa è il massa è il fotone. fotone.

conseguenza conseguenza necessaria della necessaria della conservazione della conservazione della carica elettrica che ci carica elettrica che ci ha costretto a ha costretto a scegliere un vuoto scegliere un vuoto neutro elettricamenteneutro elettricamente

il meccanismo di Higgs all’opera

WigB

YigD

22 21

WigB

YigWigB

Yig

2222 2121

2

321

212

212

321 0

8

1

vWgBgiWWg

iWWgWgBg

2321

2222122

2

8

1

8

1 WgBgvWWgv

2321

22

2 8

1

2

1

WgBgvWWvg

22vgMW

22

212 ggvM Z

0M

si trasformano come U(1) si trasformano come U(1) e SU(2e SU(2)

solita derivta solita derivta covariantecovariante si studia V()

1;0

2

1

Y

v

WWvg2

22

1

termine termine di massadi massa

massa massa WW

21

22

021

22

gg

Wg

Bg

Z

ZZggvWWvg2

22

12

2

2 2

1

2

1

massamassa ZZ

ZZggv

2

22

12

2

1

massa massa

30

21

21

,2/

,2/

WW

iWWW

iWWW

22

212 ggvM Z 22vgMW

22

21

2

2

2

ggv

vg

M

M

Z

W

wZ

W

M

M cos wZ

W

M

M cos

il mixing di B e il mixing di B e WW33 garantisce garantisce

che lo stato che lo stato neutro non sia neutro non sia degenerato in degenerato in

massa con il massa con il carico, fino a che carico, fino a che

l’angolo di l’angolo di Weinberg è Weinberg è

diverso da 0diverso da 0

wZ

W

M

M

cosmisurare misurare

la quantitàla quantità

dovrebbe essere dovrebbe essere =1=1

qualsiasi deviazione è un qualsiasi deviazione è un segnale di un discostamento dal segnale di un discostamento dal Modello StandardModello Standard

le masse dei fermioni dato che abbiamo il campo di Higgs come doppietto dato che abbiamo il campo di Higgs come doppietto

in SU(2), possiamo scrivere un’interazione SU(2) in SU(2), possiamo scrivere un’interazione SU(2) invariante con i fermioni e Higgs bosoninvariante con i fermioni e Higgs boson

al solito si definisce un doppietto,in cui ci sia il al solito si definisce un doppietto,in cui ci sia il valore di aspettazione del vuoto di Higgs v e la valore di aspettazione del vuoto di Higgs v e la particella di Higgs neutra Hparticella di Higgs neutra H

sostituendo nella Lagrangiana per i leptoni si sostituendo nella Lagrangiana per i leptoni si osserva che resta un termine di massa per osserva che resta un termine di massa per l’elettrone ed un termine di vertice ( di interazione) l’elettrone ed un termine di vertice ( di interazione) elettrone-H, di cui si può calcolare l’accoppiamento, elettrone-H, di cui si può calcolare l’accoppiamento, che determina la probabilità di un elettrone o che determina la probabilità di un elettrone o positrone di radiare un Higgs, o per un Higgs di positrone di radiare un Higgs, o per un Higgs di decadere in e+e-. decadere in e+e-.

si è supposto che i neutrini abbiano massa=0, il che si è supposto che i neutrini abbiano massa=0, il che implica che non interagiscono con il bosone di Higgsimplica che non interagiscono con il bosone di Higgs

é possibile scrivere una Lagrangiana di interazione é possibile scrivere una Lagrangiana di interazione anche per quarkanche per quark

L

e

eL

0

LeeLgL RRe Lagrangiana interazione

leptoni,Higgs Lggee è un è un termine termine arbitrarioarbitrario

SU(2) invarianteSU(2) invariantemoltiplicare moltiplicare per il per il singoletto singoletto eeRR non non cambia cambia l’invarianzal’invarianza

questo questo termine è termine è ll’Hermitianll’Hermitiano coniugato o coniugato del primodel primo

2

0

Hv

eHev

meemL e

e

2/vgm ee

vmg ee /2

0 ReL eL

Heeeeg

eeeevg

L LRRLe

LRRLe

22

valore di aspettazio

ne del vuoto di Higgs

particella neutra di

Higgs(fisica)

massa massa elettroneelettrone

H

ee

vmg

ee /2

forza diaccoppiamento

eH

calcolo della probabilità di due calcolo della probabilità di due elettroni di annichilitrsi in Helettroni di annichilitrsi in H

o di un elettrone di emettere o di un elettrone di emettere un Hun H

Non c’è un termine di massa per il Non c’è un termine di massa per il neutrino neutrino massa massa = 0= 0

Formalmente, non possiamo scrivere Formalmente, non possiamo scrivere una una LL che contenga termini con il che contenga termini con il neutrino destrorso,che per ipotesi neutrino destrorso,che per ipotesi non esiste non esiste non interagisce con H. non interagisce con H.

RR, se esiste, è difficile da trovare . , se esiste, è difficile da trovare . Ha infatti THa infatti T33=0,Q=0, e non si =0,Q=0, e non si accoppia a Waccoppia a W,Z,Z00 o o

LR

Lagrangiana di interazione Lagrangiana di interazione elettrone-bosone di Higgselettrone-bosone di Higgs

eHev

meemL e

e L

masse dei quarkmasse dei quark Notare che se Notare che se

è un doppietto è un doppietto di SU(2), allora di SU(2), allora lo è anche lo è anche cc

Possiamo scrivere la L di interazione usando c

L’ipercarica di , Y=1 per c Y=-1 Q=T3+Y/2

b

a

*

*

2 *a

bic

*0

c

0

2

Hv

c

CHuQgdQgL RcLuRLd .int L

uuv

mdHd

v

muumddmL ud

ud intL