IL FASCINO DELLE SIMMETRIE INFRANTE -...

IL FASCINO DELLESIMMETRIE INFRANTE

Quasicristalli, tassellature e antichimosaici

Tesina diArianna Magni

Liceo scientifico Alessandro Volta Milano

IndiceIntroduzione.........................................................................................................3

1. La cristallografia tradizionale.........................................................................5

Gruppi cristallografici.......................................................................................6

Le isometrie...................................................................................................6

Cristalli..........................................................................................................7

Tassellature...................................................................................................7

I fregi.............................................................................................................8

Le restrizioni cristallografiche..........................................................................11

2. I quasicristalli..............................................................................................13

La scoperta.....................................................................................................13

Quasicristalli in natura...................................................................................14

Le proprietà fisiche dei quasicristalli...............................................................14

Applicazioni tecnologiche................................................................................14

3. Quasicristalli in matematica........................................................................16

La tassellatura di Penrose...............................................................................16

La storia delle tassellature aperiodiche............................................................18

4. Le tassellature nell’arte islamica..................................................................20

Le tessere girih................................................................................................20

Anticipazioni delle tessere di Penrose?............................................................25

Bibliografia.........................................................................................................31

Opere citate....................................................................................................31

Fonti delle immagini...........................................................................................32

2

Introduzione

Sfogliando un libro di matematica1 sono rimasta colpita da un

approfondimento dal titolo “Trasformazioni geometriche e tassellature del piano” e

mi ha incuriosito molto leggere che esiste un numero finito di tipi di tassellature

del piano, ovvero modi di ricoprire un piano ripetendo per un numero infinito di

volte una figura geometrica, senza buchi o sovrapposizioni. Questa scoperta risale

al 1891 e avvenne per opera di E.S. Federov, un cristallografo russo che dimostrò

che sono possibili sono 17 tipi di tassellature del piano. Mi ha sorpreso molto

sapere che essi sono stati tutti realizzati dagli arabi, circa cinque secoli prima

degli studi del cristallografo russo, nelle decorazioni musive dell’Alhambra di

Granda che ho visitato circa tre anni fa. Approfondendo la ricerca ho scoperto che

esiste un’analogia nello spazio tridimensionale: è, infatti, possibile individuare

230 tipi di disposizioni di solidi regolari nello spazio, che corrispondono alle

possibili disposizioni di atomi in un solido cristallino con una struttura periodica.

Non tutti i materiali hanno però struttura cristallina. Nel 1984 David

Schechtman2 scoprì dei materiali che prendono il nome di quasicristalli. Come

suggerisce il nome essi hanno una struttura simile a cristallina, ma non

perfettamente regolare. La disposizione degli atomi nei quasicristalli è di tipo

aperiodico. Curiosamente per fornire un modello che descriva adeguatamente i

quasicristalli si fa ricorso a un particolare tipo di tassellatura aperiodica,

inventata quasi per gioco dal fisico Roger Penrose. Questo genere di tassellatura

contiene figure pentagonali e dodecagonali che sono proibite nelle tassellature

periodiche del piano.

Mi ha impressionato un articolo3 pubblicato sulla rivista Science nel 2007

scritto da Peter J. Lu e Paul J. Steinhardt, fisici americani. Essi hanno notato che

in molti edifici arabi medievali sono presenti mosaici geometrici decorativi che

contengono figure pentagonali e dodecagonali. Tra questi hanno studiato con

particolare attenzione il tempio Darbi Imam di Isfahan, Iran: le decorazioni

musive presentano una struttura aperiodica che può essere ricondotta, con lievi

3

imprecisioni, alla tassellatura di Penrose, inventata in occidente cinque secoli

dopo la realizzazione del tempio islamico.

Il lavoro è così strutturato. Il primo capitolo è dedicato alla cristallografia

tradizionale, alla spiegazione del modello classico che consiste nella

classificazione dei cristalli in 230 gruppi spaziali; per semplificare il discorso farò

riferimento riferirò ai casi bidimensionale e unidimensionale. Particolare

attenzione è posta sulle restrizioni cristallografiche, sul motivo per cui è limitato il

numero di modi in cui è possibile tassellare un piano e uno spazio

tridimensionale.

Il secondo capitolo è riservato ai quasicristalli e all’importanza della loro

scoperta che ha costretto il mondo scientifico a rivedere i fondamenti della

cristallografia tradizionale. Verranno date, inoltre, alcune informazioni sulle

proprietà fisiche e sulle applicazioni tecnologiche di questi materiali.

Il terzo capitolo tratta la tassellatura di Penrose, vista come modello utile per

comprendere la struttura dei quasicristalli.

L’ultimo capitolo è dedicato interamente all’arte islamica. Seguendo lo studio

proposto da Peter J. Lu e Paul J. Steinhardt3 esaminerò alcuni mosaici arabi

medievali.

Buona lettura!

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1. La cristallografia tradizionale

La materia è formata da atomi legati tra loro da legami chimici di natura

diversa. A volte gli atomi sono disposti in ordine perfetto, regolare, geometrico,

altre volte no. Nel primo caso si parla di cristalli, ovvero di materiali in cui gli

atomi sono disposti in modo ordinato. La forma della struttura cristallina che essi

assumono a livello microscopico si riflette spesso nelle forme geometriche che essi

assumono a livello macroscopico. È il caso dei diamanti, del quarzo o dei cristalli

di ghiaccio, tutti costituiti da facce piane che formano tra loro angoli caratteristici

per ogni materiale. Esistono poi altri materiali, come il vetro, in cui gli atomi sono

disposti in modo disordinato; per questo motivo sono detti amorfi.

Nei cristalli gli atomi si dispongono in modo diverso a seconda della dimensione

dei diversi atomi e delle forze interatomiche che agiscono tra di essi. Lo studio

della disposizione degli atomi può essere, in alcuni casi, molto complicato.

L’analisi e la classificazione dei cristalli è stato uno dei problemi che ha

maggiormente interessato fisici, chimici e matematici tra la fine dell’800 e l’inizio

del ‘900.

Inizialmente lo studio della geometria della struttura cristallina fu effettuato

osservando la geometria cristallina, ovvero attraverso la misura degli angoli tra le

facce dei cristalli. Solo a inizio del 1900 fu introdotto un nuovo metodo di

indagine cristallografica: la diffrazione ai raggi X prodotta dal reticolo atomico in

un cristallo. Nella cristallografia a raggi un fascio di raggi X colpisce il cristallo e

viene quindi diffratto in direzioni specifiche. Dallo studio delle figure di diffrazione

prodotte è possibile costruire un'immagine tridimensionale della densità di

elettroni nel cristallo da cui si ricava le posizione degli atomi. Questa tecnica è

oggi ampiamente utilizzata per lo studio e la descrizione di molecole organiche

(proteine e acidi nucleici) e per materiali nuovi; inoltre le tecnologie attuali

consentono di effettuare diffrazioni con fasci di elettroni o neutroni, a seconda

dello scopo che ci si prefigge e dei materiali da studiare.

Il risultato più interessante raggiunto in cristallografia agli inizi del ‘900 è

quello dell’individuazione di 230 gruppi spaziali di simmetria. A questa

5

conclusione si giunse in seguito a teorie matematiche, che furono supportate da

fatti sperimentali.

Alcuni studiosi, come il cristallografo russo Fedorov (1891), provarono a

combinare tutte le classi di simmetria possibili con le operazioni traslazionali e

ottennero tutte le possibili disposizioni in uno spazio a tre dimensioni di oggetti

tridimensionali. Si poté così dimostrare che ciascun oggetto ordinato e periodico

nelle tre dimensioni deve necessariamente appartenere ad uno di 230 gruppi

spaziali.

Gruppi cristallografici

Lo studio dei gruppi di simmetria in tre dimensioni risulta essere molto

complesso e lungo. Può essere però ridotto a casi più semplici, in una o due

dimensioni.

Per affrontare questa classificazione è necessario introdurre alcuni concetti

fondamentali della geometria piana.

Le isometrie

Per isometria del piano intendiamo quelle trasformazioni di punti del piano tali

che, a movimento avvenuto, ogni coppia di punti si trovi a distanza uguale a

quella che aveva inizialmente, anche se i punti potranno chiaramente occupare

posizioni diverse da quelle di partenza. Sono movimenti di questo tipo le

traslazioni, le rotazioni intorno a un punto, le riflessioni (o ribaltamenti) rispetto a

una retta, e le glissoriflessioni, ovvero la composizione di una traslazione e di una

riflessione rispetto una retta parallela alla direzione di traslazione.

Secondo il teorema di Chasles (1831), tutte le isometrie del piano rientrano in

uno di questi quattro tipi. Possiamo quindi eseguire una sequenza lunga a

piacere di rotazioni, traslazioni e riflessioni, ottenendo alla fine lo stesso risultato

che avremmo ottenuto se avessimo applicato una sola delle quattro isometrie

precedenti, anche se non sempre è facile scoprire quale.

Per individuare quale isometria è stata applicata, secondo il Teorema di

Chasles, è necessario osservare che se la trasformazione lascia fisso almeno un

punto si tratta di una rotazione oppure di una riflessione, mentre se non ne

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lascia fisso alcuno è una traslazione oppure una glissoriflessione. Nel primo caso

è una rotazione se fissa un solo punto ed è una riflessione se ne fissa più di uno.

L’insieme infinito delle isometrie costituisce un gruppo; si può, infatti,

verificare che l’operazione di composizione tra isometrie gode delle seguenti

proprietà:

è associativa ha elemento neutro, detto l’isometria identica o identità, cioè il movimento

che lascia tutti i punti del piano fissi ogni elemento ha un unico inverso. Infatti a ogni isometria m corrisponde

una isometria inversa m’, ossia il movimento che eseguito dopo m fa

ritornare tutti i punti nella loro posizione di partenza.

La composizione di movimenti non è sempre commutativa ossia il risultato può

cambiare se eseguiamo le stesse isometrie, ma in ordine diverso.

Cristalli

La classificazione sistematica dei cristalli si basa sul riconoscimento degli

elementi geometrici di simmetria della struttura cristallina; tali elementi di

simmetria sono:

gli assi di simmetria i piani di simmetria i centri di simmetria.

L’analisi in tre dimensioni è molto lunga perché il numero di possibili

simmetrie è molto elevato, tanto che i gruppi cristallografici sono 230.

Concentriamoci quindi sul caso bidimensionale.

Tassellature

Si chiama tassellatura o pavimentazione la ripetizione su un piano, ottenuta

attraverso isometrie, di una stessa figura, detta tassello o modulo, per un numero

infinito di volte senza che ci siano sovrapposizioni o parti del piano non ricoperte.

Valgono inoltre le proprietà di invarianza traslazionale e invarianza rotazionale; in

altre parole immaginando di spostarci su un pavimento di questo tipo da una

piastrella all’altra con passi di lunghezza e in direzione opportuna, o ruotando su

se stessi di angoli adeguati si osserva che la disposizione delle piastrelle non

varia. In altre parole una tassellatura è periodica se può essere divisa in infinite

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regioni congruenti, che prendono il nome di cella fondamentale o modulo, che

hanno le seguenti proprietà:

1) Due regioni non hanno punti interni in comune

2) Per ogni coppia di regioni R1 e R2 esiste un vettore che trasla l’una nell’altra e

l’intera tassellatura su se stessa

3) Nessuna coppia di punti interni a una regione gode della proprietà di

invarianza traslazionale.

Non ci sono limitazioni alla nostra fantasia per quanto riguarda la scelta del

motivo decorativo da applicare alla cella fondamentale della tassellatura. Al

contrario è limitato il numero di modi nei quali è possibile sviluppare la

tassellatura combinando opportune isometrie. In particolare esistono diciassette

gruppi di simmetria in due dimensioni rappresentati in figura 1.

Figura 1 Schema dei diciassette gruppi cristallografici nel piano

Per dare un’idea di come sono state ottenute queste classificazioni esaminiamo

il caso più semplice, in una sola dimensione. Questo genere di “tassellatura”

prende il nome di fregio.

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I fregi

Il termine fregio in matematica indica una striscia di piano (regione di piano

compresa tra due rette parallele) coperta da copie ripetute di un motivo “base”. Le

copie sono ottenute mediante isometrie, una delle quali è necessariamente una

traslazione.

Vi sono sette possibili gruppi di simmetria per un fregio. Questi si possono

elencare mediante un nome simbolico che indica le isometrie utilizzate. Esso è

composto da quattro caratteri:

il primo segno è sempre una p che indica la traslazione il secondo segno può essere 1 o m: è una m (che sta per mirror = specchio) se

il gruppo di simmetria della figura contiene riflessioni (simmetrie assiali)

rispetto a rette verticali, altrimenti è un 1. il terzo segno può essere 1 o m o a: è una m se il gruppo di simmetria della

figura contiene una riflessione rispetto ad una retta orizzontale, è una a se il

gruppo di simmetria della figura contiene una glissoriflessione rispetto ad una

retta orizzontale, altrimenti è un 1. il quarto segno può essere 1 o 2: è 2 se il gruppo di simmetria della figura

contiene rotazioni di 180°, altrimenti è un 1.

Lo schema in figura 2 mostra come viene effettuata questa nomenclatura e i

sette gruppi di simmetria possibili nei fregi lineari.

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SÌ SÌ SÌ NONONO

SÌ SÌ NONO

SÌ

SÌ NO

Figura 2 Schema che mostra come ottenere la classificazione dei fregi.

Analizziamo i sette gruppi, rappresentati in figura 3, nel dettaglio:

il fregio di tipo p111 (figura 3A) è ottenuto mediante la semplice traslazione del

modulo base di un vettore orizzontale di modulo maggiore alla lunghezza dello

stesso. Il fregio di tipo p1a1 (figura 3B) è ottenuto mediante glissoriflessione. Il fregio di tipo pm11 (figura 3C)è ottenuto mediante riflessioni verticali. La

prima orma azzurra sulla sinistra è l’immagine riflessa della prima orma rossa,

rispetto all’asse verticale passante tra le due. Traslando la prima coppia si

ottengono le successive. Si noti che l’orma rossa della seconda coppia è il

simmetrico di quella azzurra, rispetto all’asse che divide le due coppie. Ciò

mostra che la traslazione è il risultato della composizione tra simmetrie assiali

con assi paralleli. Il fregio di tipo p1m1 (figura 3D) è ottenuto tramite riflessioni orizzontali

dell’orma rossa, ripetute con traslazioni di vettore parallelo all’asse. Il fregio del tipo p112 (figura 3E) è ottenuto con una rotazione di 180° (simmetria

centrale) rispetto al punto segnato in verde e con traslazioni ripetute della prima

coppia. La terza orma può anche essere ottenuta mediante una traslazione della

prima rispetto ad un vettore orizzontale o con una simmetria centrale della

seconda orma rispetto al punto segnato in viola.

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è un fregio?è un

fregio?

ci sono simmetrie verticali?

ci sono simmetrie verticali?

ci sono simmetrie orizzontali?


pmm2pmm2 ci sono rotazioni di 180°?

ci sono rotazioni di 180°?

pma2pma2 pm11pm11

ci sono simmetrie orizzontali o

glissoriflessioni?

ci sono simmetrie orizzontali o

glissoriflessioni?



p1m1p1m1 p1a1p1a1



p112p112 p111p111

Il fregio di tipo pma2 (figura 3F) è ottenuto mediante rotazione di 180° dell’orma

azzurra rispetto al punto verde segnato in figura, simmetria rispetto ad un asse

verticale per ottenere l’orma rossa, un’ulteriore rotazione rispetto al punto viola

e così via. Considerando la coppia formata da un’orma azzurra ed una rossa, si

può invece notare una glisso simmetria. Il fregio del tipo pmm2 (figura 3G) è ottenuto mediante rotazioni di 180°

dell’orma rossa per ottenerla seconda orma rossa, opposta al centro di rotazione,

ed una simmetria orizzontale rispetto all’asse passante tra i talloni delle orme,

che dà origine ad immagini di colore diverso. Si può notare anche una simmetria

verticale tra le orme. Questa è una conseguenza della composizione di

trasformazioni. Infatti, componendo due simmetrie assiali con assi

perpendicolari, si ottiene una rotazione di angolo 180°. Traslando il primo

gruppo di quattro orme, si ottiene poi l’intero fregio.

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(A) (B)

(C)

(D)

(E)

(F)

(G)

Figura 3 Schema dei sette tipi di fregi possibili: (A) fregio p111; (B) fregio p1a1;(C) fregio pm11; (D) fregio p1m1; (E) fregio p112; (F) fregio pma2; (G) fregio pmm2.

Le restrizioni cristallografiche

Per quale motivo esiste un numero limitato di gruppi? Se per quanto riguarda il

caso dei fregi può essere semplice verificare che non esiste un altro modo per

ripetere in una sola dimensione, la verifica empirica in due o tre dimensioni è

molto più complicata.

Esiste una dimostrazione matematica che verifica l’impossibilità di tassellare

un piano (o uno spazio tridimensionale) in un modo alternativo a quelli mostrati

in precedenza. Qui limitiamo a notare che la limitazione dei gruppi di simmetrie

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possibili in un piano è conseguenza del teorema di Barlow che dimostra che è

possibile ottenere simmetrie dividendo l’angolo giro in 2, 3, 4 o 6, ma non in 5.

La periodicità è incompatibile con la simmetria rotazionale di ordine 5 σ5 e

con simmetrie di ordine superiore al sesto. Assumiamo per assurdo che esista

una tassellatura che sia periodica con una rotazione di ordine N σ N . Sia x il

centro di rotazione. Poiché si tratta di una tassellatura periodica essa contiene

infiniti centri di rotazione che si trovano a una distanza minima d tra loro. Sia

quindi y un altro centro di rotazione tale che ¿ x− y∨¿d . Applicando una

rotazione di 2ΠN intorno a x, si ottiene un altro centro di rotazione y’

(trasformato di y) la cui distanza da x deve essere maggiore di d: ¿ x−y'∨≥d .

Ciò è possibile solo se N ≤6 , come mostra la figura 4A. Se N=5 allora

¿ x− y∨¿d , ma sorge un altro problema. Poiché y è un altro centro di rotazione

è possibile effettuare una rotazione intorno ad esso che porti x in x’. Ma

¿x'−y'∨¿ d (vedi figura 4B) Risulta quindi impossibile la simmetria σ5 .

(A) (B)Figura 4 (A) L’angolo di rotazione non può essere inferiore a

Π 3 ; (B) L’angolo di rotazione non può essere 2Π5 .

Analogamente, nello spazio tridimensionale sono impossibili simmetrie

rotazionali di ordine 5; in particolare è impossibile avere come cella fondamentale

l’icosaedro (solido regolare con 20 facce triangolari). Queste limitazioni prendono

il nome di restrizioni cristallografiche.

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x

y'x'

y

y'

d

d d

x yd

d

d

d

72

2. I quasicristalli

La scoperta

Tornando alla cristallografia, verso la

metà del ‘900 la maggior parte delle

problematiche relative allo studio e alla

classificazione dei cristalli sembravano

essere risolte, supportate da numerose

teorie algebriche. Fino al 1984 si credeva

che non ci fossero alternative tra lo stato

cristallino e quello amorfo, tra il perfetto

ordine e il disordine. In quell’anno il

ricercatore israeliano David Schechtman2

osservò al microscopio elettronico alcuni

campioni di una lega di alluminio e

manganese che aveva preparato. Egli notò

la presenza di una simmetria icosaedrica o quinaria all’interno del materiale,

analoga a quella visibile in figura 5.

Tali materiali furono chiamati quasicristalli. Questa scoperta sconvolse

l’ambiente scientifico e per alcuni anni non fu accettata. Nel dicembre 2011 David

Schechtman ha ricevuto il premio Nobel per la chimica per la scoperta dei

quasicristalli. Nella motivazione si legge che «A differenza di quanto si riteneva,

Schechtman ha scoperto che gli atomi possono disporsi in una forma non periodica,

una scoperta estremamente controversa tanto che per questo motivo gli venne

chiesto di lasciare il suo gruppo di ricerca. Tuttavia la sua battaglia a difesa delle

sue idee ha costretto gli scienziati a riconsiderare le loro concezioni sulla natura

stessa della materia». Infatti, l’osservazione di Schechtman metteva in crisi quelli

che ormai erano considerati i fondamenti della cristallografia, ovvero

l’inconciliabilità tra simmetrie rotazionali quintuple e periodicità, nel piano, e tra

simmetrie icosaedriche e periodicità, nello spazio tridimensionale. Negli anni

successivi furono scoperti molti altri materiali che presentavano caratteristiche

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Figura 5 Immagine al microscopioelettronico di un quasicristallo diuna lega alluminiorame e ferro,che mostra una forma consistentecon una simmetria icosaedrica.

analoghe a quelle della lega di Schechtman. Attualmente sono stati trovati, nei

laboratori di tutto il mondo, molti cristalli con simmetrie proibite dal teorema di

restrizione cristallografica che presentano una struttura a periodica e per questo

chiamati quasicristalli.

Quasicristalli in natura

La maggior parte dei campioni di quasicristalli conosciuti sono stati sintetizzati

in laboratorio in condizioni controllate e in piccole quantità. Nel 2009 un gruppo

di ricercatori guidati dal mineralologo Luca Bindi4 ha trovato sull’Altopiano dei

Coriacchi, nella Siberia orientale, una lega di alluminio, rame e ferro che presenta

una struttura icosaedrica tipica dei quasicristalli. Questo quasicristallo è l’unico

campione trovato finora in natura e si presenta in frammenti microscopici

contenuti in minerali di khatyrkite e cupalite. Il ritrovamento suggerisce che i

quasicristalli si formano e rimangono stabili in determinate condizioni geologiche,

ma non è chiara l’origine di questo campione.

Le proprietà fisiche dei quasicristalli

Le proprietà fisiche e chimiche dei quasicristalli sono state ampiamente

studiate, ma molte di esse rimangono ancora misteriose. I quasicristalli sono delle

leghe metalliche che hanno scarsa capacità di condurre sia calore sia elettricità.

Un quasicristallo ha capacità di condurre calore cento volte inferiore all’alluminio

e capacità di condurre corrente elettrica un miliardo di volte inferiore a rame o

alluminio (resistenza elettrica elevata). Il motivo è che, a differenza dei metalli

come l’alluminio, di cui sono prevalentemente formati, non hanno atomi disposi

con la massima regolarità. Tuttavia la spiegazione dettagliata di questi fenomeni

è ancora poco conosciuta.

Inoltre i quasicristalli hanno una scarsa reattività chimica e tendono a non

combinarsi con altri materiali e sono quindi molto resistenti alla corrosione;

hanno anche una bassa capacità di adesione a altre sostanze, ovvero hanno un

coefficiente d’attrito molto basso.

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Applicazioni tecnologiche

Per le loro proprietà non convenzionali i quasicristalli sono materiali molto

promettenti per potenziali applicazioni: in un non lontano futuro i quasicristalli

potrebbero comparire nella nostra vita quotidiana.

Per esempio per la scarsa reattività chimica e la resistenza meccanica

potrebbero essere utilizzati per ottenere rivestimenti antiaderenti resistenti. Per lo

stesso motivo si stanno sviluppando materiali compositi per l’industria

aerospaziale, per l’immagazzinamento dell’idrogeno. Le proprietà elettriche dei

quasicristalli fanno pensare alla realizzazione di dispositivi elettronici di nuova

concezione. Un altro importante campo d’applicazione è quello degli utensili da

taglio. L’inserimento di piccoli quasicristalli all’interno di metalli leggeri come

l’alluminio conferirebbe a questi ultimi un’adeguata resistenza meccanica per

realizzare lame leggere ma al tempo stesso robuste.

16

3. Quasicristalli in matematica

Alla luce della scoperta dei quasicristalli nel 1984 era chiaro che era necessario

rivedere e sviluppare nuove teorie. In particolare si era alla ricerca di opportuni

modelli matematici per descrivere un reticolo cristallino dal momento che non era

più possibile definire un cristallo come un solido con una struttura atomica

periodica.

Nonostante ad oggi siano stati scoperti numerosissimi quasicristalli e la ricerca

avanzi molto rapidamente, non è ancora stato definitivamente individuato un

modello matematico pienamente soddisfacente che descrivi adeguatamente

queste strutture a periodiche.

La descrizione dettagliata delle strutture aperiodiche in tre dimensioni risulta

essere molto complessa, ma, come avevamo fatto per i gruppi spaziali, è possibile

fare un parallelo con delle strutture aperiodiche bidimensionali che prendono il

nome di tassellature di Penrose.

La tassellatura di Penrose

Nel 1976 il fisico, cosmologo e matematico inglese Roger Penrose5 inventò una

tassellatura aperiodica. Egli la concepì quasi per gioco, senza immaginare che da

lì a qualche anno avrebbe potuto essere molto utile per lo studio della struttura

dei quasicristalli.

Prima di procedere con la descrizione della tassellatura di Penrose è importante

sottolineare che per questo genere di tassellatura vale la proprietà di invarianza

rotazionale per alcuni angoli, ma non quella traslazionale: è infatti impossibile

trovare un vettore che trasli la tassellatura su se stessa. Esistono però gruppi di

punti, disposti casualmente, nei quali si riscontrano uguaglianze, almeno

nell’intorno dei punti stessi.

La tassellatura di Penrose è uno schema formato da una coppia di figure che

consente di ricoprire il piano in modo aperiodico. Esaminiamola ora nel dettaglio.

Esistono più insiemi possibili di tasselli di Penrose. Uno dei più utilizzati è

composto una coppia di tasselli che può essere costruita a partire da un rombo

17

avente angoli acuti di 72° e angoli ottusi di 108°. La figura 6 mostra come

ottenere i due tasselli. Riportando uno dei lati sulla diagonale maggiore su questa

si individua un punto P che la divide in due segmenti che stanno tra loro in

rapporto aureo φ=1+√5

2. Unendo P ai vertici degli angoli ottusi, si ottengono i

due tasselli, che prendono il nome di "dardo" (dart) ed "aquilone" (kite).

Figura 6 Come ottenere i tasselli di Penrose “dardo” e “aquilone”

I tasselli devono essere uniti rispettando un'unica regola: nessuna coppia di

tasselli deve essere unita in modo che formi un singolo parallelogramma, per non

incorrere nella periodicità. I tasselli possono essere modificati con rientranze e

denti in modo da forzare l'applicazione della regola ma la tassellatura ha un

aspetto migliore se i tasselli hanno i lati lisci. È possibile disegnare degli archi di

circonferenza sulle tessere come in figura. In questo caso la regola di

composizione consiste nell’avvicinare due tessere in modo che si formino linee

continue.

Curiosamente il numero di “aquiloni”, in qualsiasi schema che ricopra il piano,

è esattamente φ =1,618... volte quello dei “dardi”.

È possibile derivare i tasselli

“aquilone” e “dardo” da un secondo

insieme di tasselli detti “rombi sottili” e

“rombi spessi”. Siano T e t due rombi

aventi i lati di lunghezza unitaria.

Supponiamo che la misura degli angoli

acuti di t sia Θ e la misura degli

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Figura 7 I tasselli di Penrose “rombospesso” e “rombo sottile”

angoli acuti di T sia 2Θ , dove Θ=2Π5 . I rombi di Penrose sono ottenuti da T e

t aggiungendo frecce singole e doppie ai loro bordi come mostrato in figura 7.

L’unica regola di composizione è che nel caso in cui due tasselli condividano un

intero lato è richiesto che, lungo il lato in comune, i tasselli abbiano lo stesso tipo

di frecce con la stessa direzione. Senza

regole di composizione, i rombi T e t

ammettono tassellature periodiche.

Le tassellature rivelano una

simmetria rotazionale a cinque

movimenti, e cinque simmetrie assiali

rispetto a cinque assi passanti per il

centro come in figura 8. Non esiste,

però, simmetria traslazionale: questo

significa che le tassellature sono

aperiodiche, lo schema non si ripete

mai nello stesso modo. Comunque, data

una regione di schema, per quanto sia

grande, questa sarà ripetuta un numero infinito di volte nella tassellatura.

La storia delle tassellature aperiodiche

Lo studio delle tassellature aperiodiche proviene dal confluire di diverse

scoperte e linee di ricerca. Da un punto di vista filosofico, l’interesse verso la

materia comincia a prendere forma quando Hao Wang si pose il problema sulla

decidibilità di una tassellatura: dato un insieme di tasselli fondamentali, è

possibile che tale insieme formi una tassellatura del piano infinita? Nel 1961, Hao

Wang6 provò l’esistenza di un algoritmo per decidere se un dato insieme di tasselli

può tassellare o meno il piano sotto la seguente condizione: ogni insieme di

tasselli che tassella il piano, deve poter tassellare il piano anche periodicamente.

Cinque anni più tardi, Robert Berger7 scoprì che nessun algoritmo fissato può

determinare se un dato insieme di tasselli arbitrari può tassellare il piano.

Pertanto, la dimostrazione di Berger implica che devono esistere insiemi di tasselli

che ricoprono il piano soltanto non periodicamente. Il primo esempio di insieme

19

Figura 8 Esempio di tassellatura diPenrose con simmetria rotazionalequintupla

aperiodico è stato scoperto da Berger e consiste di 20426 forme di tasselli; tale

insieme successivamente è stato ridotto a 104 tasselli. Nel 1970, Raphael

Robinson8 trovò un insieme aperiodico relativamente semplice, composto da

appena sei tasselli di forma quadrata con varie incisioni ed estensioni sui bordi

per impedire la disposizione periodica. Nel 1974, Roger Penrose5 scoprì il più

semplice esempio di insieme aperiodico; esso era composto da appena due

tasselli.

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4. Le tassellature nell’arte islamica

Com’è noto le tassellature periodiche hanno avuto un ruolo significativo

nell’arte e nei motivi decorativi.

Il credo islamico vieta la

rappresentazione pittorica di

figure di esseri umani e di

soggetti religiosi. L'ingegno

artistico islamico si è quindi

rivolto soprattutto alla

decorazione, all'architettura, al

perfezionamento dell'arte

calligrafica e ai mosaici. Tra gli

esempi più celebri ricordiamo i

mosaici arabi dell’Alhambra di

Granada e del Real Alcazar di

Siviglia.

L’Alhambra è un enorme

palazzo costruito tra il XII e il XV

secolo su un’altura alle spalle della cittadina andalusa di Granada. È famoso in

tutto il mondo per i vivaci mosaici che decorano le pareti, i pavimenti e i soffitti

come quelli in figura 9. Le decorazioni musive dell’Alhambra sono tassellature del

piano ed è possibile ritrovarvi tutti i diciassette gruppi di simmetria del piano

sparsi nelle varie ali del palazzo.

Le tessere girih

Nel 2007 Peter J. Lu, dell’università di Harvard, e Paul J. Steinhardt,

dell’università di Princeton, hanno pubblicato3 un articolo sulla rivista Science in

cui sostengono che gli arabi avevano utilizzato sistemi decorativi che richiamano

le tassellature di Penrose già nel Medioevo.

21

Figura 9 Mosaici dell’Alhambra

Una parte consistente dell’arte islamica è costituita dalla cosiddetta

piastrellatura girih. Generalmente si pensava che, con l’ausilio di strumenti

matematici, le piastrellature girih fossero state realizzate disegnando un insieme

di linee con riga e compasso. In questi mosaici compaiono frequentemente figure

pentagonali e dodecagonali che decorano una cella di una tassellatura formata da

poligoni regolari ripetuti. Un esempio è mostrato in figura 10 dove la cella

fondamentale è evidenziata dalla linea gialla.

Figura 10 Tempio Darbi Kushk a Isfahan, Iran (1496d.C.)

Alcuni motivi semplici possono essere realizzati senza grosse difficoltà con riga

e compasso. Tuttavia nell’arte islamica sono frequenti motivi dodecagonali molto

complessi, in cui un’unica cella fondamentale contiene centinaia di dodecagoni e

viene ripetuta su un’area molto ampia. La realizzazione di decorazioni di questo

genere con il semplice uso di riga e compasso sarebbe molto laboriosa e

verosimilmente ricca di imprecisioni che non sono però osservate.

Per questo motivo Lu e Steinhardt sostengono che intorno al 1200 d.C. ci fu

una svolta nell’arte decorativa islamica: fu infatti inventato un modo nuovo di

realizzare motivi girih grazie all’uso di cinque tipi di tessere o piastrelle, chiamate

tessere girih. Ogni tessera girih è decorata con linee molto semplici da realizzare

con gli strumenti utilizzati all’epoca di cui si ha notizia. Inoltre accostando diverse

tessere le linee decorative di ciascuna si uniscono formando un unico motivo

decorativo.

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Le cinque piastrelle in figura 11 sono equilatere, ma hanno forme diverse:

un decagono regolare con angoli interni di 144° decorato con una stella a 10

punte (azzurro) un esagono allungato (convesso) con

angoli interni di 72°, 144°, 144°, 72°,

144°, 144° (verde) un esagono irregolare concavo con

angoli interni di 72°, 72°, 216°, 72°, 72°,

216° decorato con due quadrilateri

(rosso) un rombo con angoli interni di 72° e

108° (viola) un pentagono regolare con angoli interni

di 108° decorato con una stella a 5 punte (giallo)

Ogni lato ha la stessa lunghezza e due linee della decorazione interna si

intersecano nel punto medio di ogni lato con angoli di 72° e 108°. Questo fa sì che

avvicinando due tessere le linee siano continue. Inoltre tutti gli angoli che si

formano hanno ampiezza multipla di 36°. Per questo motivo le linee sono

parallele ai cinque lati di un pentagono regolare. Infine ogni tessera ha una

simmetria interna rotazionale: di ordine 10 per il dodecagono, di ordine 5 per il

pentagono e di ordine 2 per il rombo e per i due esagoni.

La figura 12 mostra come la decorazione precedente (tempio Darbi Kushk a

Isfahan) possa essere realizzata sia ripetendo più volte il quadrilatero giallo

(sinistra), sia accostando tre delle cinque tessere girih (destra).

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Figura 11 Le cinque tessere girih

Figura 12 Decorazione musiva del tempio DarbiKushk a Isfahan, sulla sinistra è evidenziata in giallo lacella fondamentale, sulla destra la ricostruzione delmosaico con tessere girih.

Alcuni motivi decorativi girih possono essere realizzati usando tutte le cinque

tessere girih, altri solo alcune di esse. In ogni caso ci sono moltissime possibilità

differenti che danno origine a fantasie diverse. Alcuni esempi nelle figure 13, 14 e

15.

Figura 13 Interno dell’arco all’ingresso della Grande Moschea, Bursa,Turchia (1424 d.C.); fotografia e ricostruzione

24

Figura 14 Mamluk Quran di Aydughdi ibn Abdallah alBadri (1313 d.C.);fotografia e ricostruzione

Figura 15 Pennacchi del portale della Grande Moschea di Neyriz, Iran (decorazioneXV secolo)

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Una testimonianza significativa in questo ambito sono degli schizzi del XV

secolo di motivi decorativi da riprodurre poi nelle mosche contenuti nei rotoli

TimuridTurkmen oggi conservati al Museo Topkapi di Istanbul di cui un esempio

è in figura 16.

Figura 16 Riquadro 28 del rotolo Topkapi, fotografia ericostruzione

L’utilizzo delle tessere girih permette di realizzare questo tipo di decorazioni

velocemente e ridurre le imprecisioni degli artigiani.

Anticipazioni delle tessere di Penrose?

Uno degli aspetti più significativi delle decorazioni girih è l’uso delle

trasformazioni auto similari, ovvero la suddivisione di grandi tessere girih in

tessere più piccole per creare due motivi girih sovrapposti, ma a scale differenti.

Un esempio di questa tecnica è presente sui portali del tempio Darbi Imam a

Isfahan, Iran (1453 d.C.) nelle figure 17 e 18.

26

Figura 17 portale del tempio Darbi Imam a Isfahan, Iran (1453 d.C.), fotografia ericostruzione

Figura 18 A Pennacchio del portale del tempio Darbi Imama Isfahan, Iran (1453 d.C.), fotografia

27

Figura 18 B Ricostruzione su piccola scala della decorazione del portale del tempioDarbi Imam

C Ricostruzione su larga scala della decorazione del portale del tempioDarbi Imam

E e F Come scomporre due tessere girih in utilizzando altre tessere girihdi dimensioni inferiori

La piastrellatura del portale del Drabi Imam può essere ricondotta alla

tassellatura di Penrose. È possibile infatti ottenere le tre tessere girih utilizzate

per decorare questo portale accostando le due tessere di Penrose (“aquilone” e

“dardo”) come mostrato in figura 19.

28

Figura 19 Come scomporre le tessere girih utilizzando letessere di Penrose “dardo” e “aquilone” di dimensioniopportune

Notiamo che questa suddivisione spezza la simmetria decorativa presente nelle

tessere verdi e blu osservata in precedenza.

Nonostante sia ragionevole credere che gli arabi avessero tutti gli strumenti

necessari per realizzare motivi decorativi quasicristallini, non ci sono elementi

che assicurano che

avessero a quei tempi

piena consapevolezza

della portata delle loro

scoperte. Inoltre nei

mosaici del Drabi Imam

ci sono alcune

imperfezioni.

Scomponendo le tessere

girih in tessere di

Penrose è possibile

individuare 11 errori su

oltre 3700 tessere di Penrose. Questi errori possono essere eliminati

29

Figura 20 Particolare della ricostruzione contessere di Penrose della decorazione del portale deltempio Darbi Imam in cui a sinistra è presente unerrore nel posizionamento delle piastrelle eliminabileriposizionando le piastrelle come mostratonell’immagine a destra.

riposizionando alcune tessere senza sconvolgere il resto della tassellatura come si

vede nella figura 20.

Infine gli artigiani che realizzarono le decorazioni del Drabi Imam non

utilizzarono singole tessere girih, ma tasselli più ampi formati da un gruppo girih.

Il lavoro di Lu e Steinhardt non può quindi essere considerato una prova del fatto

che gli arabi conoscessero già quello che potrebbe essere considerato un antenato

della tassellatura di Penrose, ma lascia aperta questa possibilità. Nel mondo

arabo ci sono, infatti, molti monumenti e mosaici ancora da analizzare che

potrebbero fornire una risposta definitiva.

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capitolo 1 (Past as prologue), pag 17 L. BINDI, P. J. STEINHARDT, N. YAO e P. J. LU, Natural Quasicrystals, Science, vol.

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12 novembre 1984, pag 19511953

3. P.J. LU e P.J. STEINHARDT, Decagonal and quasicrystalline tilings in Medieval Islamic

Architecture, Science, vol. 315, 23 febbraio 2007, pag 11061110

4. L. BINDI, P. J. STEINHARDT, N. YAO e P. J. LU, Natural Quasicrystals, Science, vol.

324, 5 giugno 2009, pag. 1306–1309

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Fonti delle immagini

Figura 1 https://sites.google.com/site/cristallografia/appunti/cristallografia

geometrica/gruppidisimmetriainduedimensioni/completamentodella

derivazionedeigruppidelpianoFigura 3 http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&im=766Figura 5 http://www.treccani.it/scuola/lezioni/scienze_naturali/quasicristalli.htmlFigura 6 http://intendo.net/penrose/info.htmlFigura 7 http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Penrose_tilingFigura 8 http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling

Figura 9 http://math.ucr.edu/home/baez/week267.html

Figure 1020 da P.J. LU e P.J. STEINHARDT, Decagonal and quasicrystalline tilings in

Medieval Islamic Architecture, Science, vol. 315, 23 febbraio 2007, pag 1106

1110 e Supporting Online Material scaricabile all’indirizzo http://www.science

mag.org/content/suppl/2007/02/20/315.5815.1106.DC1/Lu.SOM.pdf

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IL FASCINO DELLE SIMMETRIE INFRANTE -...

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