IL CONFRONTO TRA LE VARIANZE DI DUE POPOLAZIONI

Perchè confrontare le varianze stimate in due campioni? Torniamo all'esempio dei frinosomi

Per poter applicare il test t avevamo detto che le varianze, e quindi le deviazioni standard, nelle due popolazioni (frinosomi vivi e frinosomi uccisi) devono essere uguali. Adesso vediamo come testare questa ipotesi

Le ipotesi nulla e alternativa possono essere formalizzate come segue

Come abbiamo sempre fatto in tutti i test statistici, dobbiamo trovare una statistica test la cui distribuzione teorica è nota quando è vera l'ipotesi nulla o Per esempio, per testare l'ipotesi nulla di uguaglianza tra due medie usavamo le

statistiche test z o t, le cui distribuzioni nulle sono note in certe condizioni

o Oppure, per testare se una proporzione si discosta da un valore previsto, e non si poteva usare il chi-quadrato o z, avevamo usato come statistica test il numero di individui con la caratteristica di interesse, la cui distribuzione nulla è la distribuzione binomiale

Nel caso di due varianze, la statistica test è il rapporto tra le varianze nel campione

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ssFcalc

Se è vera l'ipotesi nulla che le due varianze nelle popolazioni sono uguali, e se la variabile

segue una distribuzione normale in entrambe le popolazioni, il rapporto tra due varianze campionarie segue la distribuzione nulla di Fisher, detta anche distribuzione F (o F di Fisher)

La distribuzione teorica F:

o E' continua o Varia tra zero e infinito o Dipende dai gradi di libertà del numeratore (gdl1 = n1-1) e quelli del denominatore (gdl2 =

n2-1) o E' circa centrata sul valore 1 o Ci permette di definire le regioni di accettazione/rifiuto o il P-value per il nostro test sulle

varianze

Tabella della distribuzione F a una coda con α = 0.01 Le colonne identificano i gdl al numeratore. Le righe i gdl al denominatore.

I numeri interni alla tabella identificano i valori della statistica F che separano, alla loro destra, l’1% dell’area distributiva.

Attenzione! La struttura di questa tabella è diversa da tutte quelle viste finora (ci sono due gradi di libertà da conoscere in ogni analisi, e c'e' una tabella per ogni valore di P)

Praticamente, visto che la distribuzione F è asimmetrica, e le tabelle dei valori critici riportati in tabella si riferiscono al lato destro della distribuzione, conviene sempre mettere a numeratore nel calcolo di F dai dati (Fcalc) la varianza maggiore

Il valore F critico con 9 e 8 gradi di libertà (9 al numeratore e 8 al denominatore), con = 0.05 e quindi /2 = 0.025, è pari a 4.36

o Non ci sono evidenze per rifiutare l'ipotesi nulla

o Le varianze calcolate dai campioni sono compatibili con l'ipotesi nulla che i campioni provengano da popolazioni con varianze uguali

o Se dovessi confrontare le medie dei due campioni, il test t sarebbe appropriato

Il calcolo del P-value richiede un computer o Oppure, almeno per approssimarlo e definire un intervallo in cui cade, tante tabelle

ognuna per diversi valori di probabilità

Esempio con i frinosomi: le varianze erano significativamente diverse?

L'ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA)

L'ANOVA è un metodo molto potente e flessibile per valutare le medie di più di due popolazioni con una singola analisi

E' quindi un metodo per studiare variabili quantitative Attenzione! L'ipotesi nulla riguarda medie, ma viene testata confrontando varianze

Un esempio con dati sperimentali: la variabile altezza viene misurata in individui suddivisi in 4 gruppi; i gruppi sono sottoposti a diversi trattamenti per il fattore ph

Un esempio con dati osservazionali: la variabile peso viene misurata in individui che provengono da 4 gruppi; i 4 gruppi differiscono per il fattore origine geografica

Ipotesi nulla e alternativa nell'ANOVA

Ovviamente l'ANOVA si applica nello stesso modo a 2,3,4,5,...k gruppi

o Per k = 2, equivale a svolgere un test t

Un esempio di dati nel caso di H0 vera

Un esempio di dati nel caso di H1 vera

Attenzione! Sull'asse delle X ci sono 4 "posizioni" che indicano i 4 gruppi;

sull'asse delle Y c'e' la variabile studiata

Prima di vedere come si procede nell'ANOVA, vediamo perchè svolgere un'ANOVA Per esempio, con 3 popolazioni da confrontare (per esempio, tre livelli di pH) non potrei semplicemente fare 3 test t? O con 4 popolazioni 6 test t?

o Come si calcola il numero di test a coppie? No, perchè

1. Sembra logico prima di tutto testare l'ipotesi nulla che prevede che tutti i gruppi siano uguali 2. Non posso semplicemente fare tanti test t perchè aumenterebbe molto l'errore complessivo di primo tipo

Il problema dei test multipli e l'errore complessivo di primo tipo Se scegliamo in un singolo test un livello di significatività , sappiamo che esiste una probabilità di rifiutare un'ipotesi nulla vera (errore di primo tipo) Questo significa anche che se facciamo 100 test nei quali l'ipotesi nulla è sempre vera, 5 volte (mediamente) la rifiutiamo erroneamente

Qual'è la probabilità che facendo c test di ipotesi nulle vere almeno uno risulti significativo per puro effetto del caso?

o Se l'ipotesi nulla è vera, la probabilità che un test singolo non porti al suo rifiuto è pari a (1-è il livello di protezione in un singolo test

o Se l'ipotesi nulla è vera, la probabilità che non venga mai rifiutata in c test è pari a (1-)c Sono eventi indipendenti e vale la regola del prodotto delle probabilità

o Quindi, 1-(1-)c è la probabilità che cerchiamo: la probabilità che uno o più dei c test (cioè,

almeno uno) sia significativo anche se l'ipotesi nulla è sempre vera

Gli esempi citati sono casi ANOVA unifattoriale e univariata

o C'era un fattore (per esempio, pH) e una variabile (per esempio, altezza)

L'ANOVA può anche essere multifattoriale (più fattori) e/o multivariata (più variabili) o Vedremo alcuni cenni di analisi bifattoriale univariata alla fine del corso