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Corso di Idraulica dei mezzi porosiProff A. Carravetta e R. MartinoUltimo aggiornamento 30/04/2013

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DISPENSE

DEL CORSO DI

IDRAULICA DEI MEZZI POROSI


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INDICE

1. Introduzione al corso.................................................................................................................1-42. Le falde acquifere......................................................................................................................2-6

2.1. Legge di Darcy..................................................................................................................2-72.2. Falde freatiche e falde artesiane......................................................................................2-13

3. Estensione della legge di Darcy al continuo ...........................................................................3-154. Macroporosit in mezzo saturo...............................................................................................4-17

4.1. Mezzi omogenei..............................................................................................................4-174.2. Mezzi fratturati................................................................................................................4-24

5. Variabilit spaziale..................................................................................................................5-275.1. Classificazioni.................................................................................................................5-275.2. Mezzi statisticamente omogenei .....................................................................................5-315.2.1. Approccio deterministico............................................................................................5-315.2.2. Approccio stocastico...................................................................................................5-32

6. Equazioni indefinite ................................................................................................................6-436.1. Equazioni indefinite del moto .........................................................................................6-436.2. Equazioni di continuit ...................................................................................................6-476.3. Equazioni del moto uniforme di un fluido pesante incomprimibile ...............................6-486.4. Equazioni del moto vario di un fluido pesante incomprimibile......................................6-50

7. Campi di moto in falda artesiana ............................................................................................7-537.1. Emungimento da falda artesiana confinata .....................................................................7-537.2. Prove di emungimento per falde artesiane......................................................................7-547.2.1. Misure di livello allinterno dei piezometri ................................................................7-697.3. Cambio di permeabilit in falda artesiana.......................................................................7-707.4. Cuneo salino....................................................................................................................7-737.5. Trattazione con interfaccia netta .....................................................................................7-777.5.1. Ipotesi di interfaccia stazionaria .................................................................................7-807.5.2. Legge di Ghyben-Herzberg.........................................................................................7-817.5.3. Rilassamento della condizione di valle.......................................................................7-837.5.4. Modello di Glover (1959) ...........................................................................................7-837.5.5. Modello di Edelman (1972) ........................................................................................7-847.5.6. Modello di Mualem e Bear (1974)..............................................................................7-897.5.7. Effetti della marea sulla superficie libera ...................................................................7-897.5.7. Modelli numerici con interfaccia netta .......................................................................7-907.6. Misure di livello allinterno dei piezometri: trattazione con strato di transizione..........7-917.6.1. Equazioni di governo ..................................................................................................7-927.6.2. Equazione di governo: conservazione della massa.....................................................7-937.6.3. Equazione di governo: legge di Darcy........................................................................7-957.6.4. Concetto di quota piezometrica di acqua dolce ..........................................................7-967.6.5. Equazioni in termini di quota piezometrica di acqua dolce........................................7-98

8. Moti a potenziale...................................................................................................................8-1008.1. Definizione di moti a potenziale ...................................................................................8-100


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8.1.1. Propriet delle funzioni armoniche...........................................................................8-1068.2. Metodi di risoluzione ....................................................................................................8-1078.2.1. Esempio di metodo analitico.....................................................................................8-108

9. Campi di moto in falda freatica.............................................................................................9-1159.1. Teoria di Dupuit ............................................................................................................9-1159.1.1. Flusso bidimensionale su fondo impermeabile.........................................................9-1189.1.2. Superficie libera soggetta a pioggia o evaporazione (ricarica o esaurimento) .........9-1199.2. Cambio di permeabilit in falda freatica.......................................................................9-1229.3. Condizioni di moto lungo un pendio.............................................................................9-1259.4. Soluzione integrale completa del profilo di acquiferi non darciani a frontiera libera ..9-1289.4.1. Limiti allapplicabilit della soluzione integrale ......................................................9-1319.5. Dighe in terra ................................................................................................................9-1329.6. Emungimento da falda freatica .....................................................................................9-135

10. Terreni non saturi ............................................................................................................10-13810.1. Risalita capillare......................................................................................................10-13810.1.1. Effetti della capillarit su un terreno.......................................................................10-13910.1.2. Curve di tensione ....................................................................................................10-14410.1.3. Conducibilit idraulica............................................................................................10-147

11. Equazioni del moto in mezzi non saturi..........................................................................11-15011.1. Equazione di continuit...........................................................................................11-15011.2. Valutazione dei parametri caratteristici di un mezzo non saturo............................11-154

12. Cenni sul trasporto di inquinanti in falda........................................................................12-164


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1. Introduzione al corso

Molti aspetti dellIngegneria sono legati alle condizioni di deflusso sotterraneo dellacqua nei moti

detti di filtrazione. Nella terminologia tecnica ogni materiale che presenta dei vuoti nei quali si pu

muovere un fluido detto mezzo poroso. NellIngegneria Civile ed Ambientale dinteresse il

flusso nei mezzi porosi, sia naturali, quali sono ad esempio, gli orizzonti geologici costituiti da

depositi sabbiosi, sia artificiali, come nel caso del materiale grossolano con cui si realizzano i

sistemi di drenaggio.

Molte delle motivazioni che inducono a studiare in maniera approfondita i moti di filtrazione sonogi noti agli studenti che abbiano seguiti i Corsi di base di Idraulica e di Costruzioni Idrauliche.

Una delle principali motivazioni rappresentata dalla necessit di fornire un adeguato

approvvigionamento di acqua, ad uso potabile, irriguo o industriale, sfruttando i volumi di acqua

contenuti nel sottosuolo, le cosiddette falde acquifere. La progettazione dei sistemi di prelievo e la

tutela di queste acque dallinquinamento rappresentano gli obiettivi perseguiti per una gestione

sostenibile delle risorse idriche naturali.

Altra motivazione rappresentata dalla regimentazione delle acque sia superficiali che sotterranee.Ad esempio, il dimensionamento degli spechi dei sistemi di drenaggio risulta fortemente legato alla

partizione dei volumi di pioggia, tra ruscellamento superficiale e infiltrazione nel terreno. I

coefficienti udometrici che si utilizzano nella progettazione sono per lo pi di natura empirica e

derivano da soluzioni approssimate che interpretano le dinamiche del movimento nei primi

orizzonti del suolo. Nelle situazioni pi critiche possibile risolvere in maniera accurata le

equazioni del moto dellacqua anche in terreni parzialmente saturi.

Il controllo delle acque sotterranee , spesso fondamentale anche nella costruzione di nuove operecivili, parzialmente o totalmente interrate, onde evitare affioramenti di acqua sia nelle fasi di

realizzazione dellopera che nel corso dellesercizio.

Anche lanalisi della stabilit di un pendio o di un rilevato, in generale, deve preventivamente

valutare la presenza di moti di filtrazione che rappresenta, molto spesso, una causa di rottura

influenzando i valori di pressione neutra e quindi le resistenze a taglio del terreno.

Il programma del corso segue una suddivisione logica tra due dinamiche del movimento la prima

relativa ai mezzi porosi saturi, nei quali cio tutti i vuoti risultano essere pieni dacqua, la seconda

relativa ai mezzi non saturi, nei quali i vuoti risultano solo parzialmente pieni dacqua.


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Per ciascuna delle due parti, verranno sviluppate le equazioni indefinite del moto e della continuit

e verranno fornite le soluzioni analitiche nei casi pi semplici di mezzo omogeneo e isotropo,

sfruttando spesso particolari condizioni di simmetria. Sempre separatamente, per mezzo saturo e

non saturo, saranno descritti i metodi per la determinazione dei parametri idraulici che sono presenti

nelle suddette equazioni.

Infine, saranno mostrate alcune tecniche per il controllo delle acque sotterranee, al fine di una

gestione sostenibile delle stesse, sia in termini quantitativi che qualitativi.

Una terza parte del corso sar finalizzata a descrive alcuni programmi di calcolo commerciali che

consentono la risoluzione numerica di campi di moto pi complessi e a sviluppare applicazioni

semplici da confrontare con le soluzioni analitiche precedentemente descritte.


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2. Le falde acqui fere

Il ciclo dellacqua, rappresentato in Figura 2.1, un diagramma ben noto che sintetizza i flussi idrici

che si sviluppano sulla superficie terrestre, sottoterra e nellatmosfera.

Figura 2.1 Ciclo dellacqua

Evidentemente la percentuale pi rilevante dellacqua complessivamente presente sul globo

raccolta nei mari e negli oceani.

Figura 2.2 Distribuzione percentuale dell'acqua sulla Terra


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2-7

Lacqua presente nelle falde acquifere pu avere due diverse origini. Nel caso di rocce profonde

lacqua pu rappresentare un derivato di reazioni chimiche complesse che hanno avuto luogo

durante i fenomeni tettonici: solo in pochi punti della superficie terrestre queste acque trovano

recapito naturale con sorgenti in superficie.

Pi superficiali sono le falde acquifere che si alimentano con le acque provenienti dal piano

campagna per infiltrazione di acque meteoriche o per percolazione da fiumi e laghi (sub-alvea).

Queste falde sono evidentemente poco profonde e possono essere facilmente sottoposte ad

emungimento.

Prima di continuare la descrizione dei caratteri del deflusso nelle falde acquifere pu convenire

definire alcune grandezze proprie dei mezzi porosi.

2.1.Legge di Darcy

Verso la fine dell800 un Ingegnere francese Henry Darcy cerc di determinare le resistenze al

moto in un campione di terreno costipato, realizzando un apposito apparato sperimentale oggi dettopermeametro, schematicamente rappresentato in Figura 2.3. e Figura 2.4.

Figura 2.3


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2-8

Figura 2.4

Il permeametro pu essere disposto orizzontalmente o verticalmente (figura 2.1.3.) ed

caratterizzato dalla presenza di un condotto circolare contenente terreno, detto filtro, di lunghezza L

e sezione trasversale S, nel quale defluisce un fluido newtoniano, generalmente acqua, per effetto

della differenza di quota piezometrica Y esistente tra gli estremi del filtro.

Figura 2.5 Permeametri

La prova, svolta in condizioni di moto permanente, per unassegnata geometria del filtro, prevede la

misura della portata circolante Q e del dislivello piezometrico Y.


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Darcy verific che la portata risultava direttamente proporzionale alla cadente piezometrica ed alla

sezione trasversale del filtro ed inversamente proporzionale alla lunghezza del filtro stesso.

L

YQ (2.1)

Introducendo la velocit di filtrazione:

=

QV (2.2)

la legge di Darcy si scrive:

IV f= (2.3)

dove il coefficiente di permeabilit f ha le dimensioni di una velocit ed funzione delle

caratteristiche del mezzo poroso e delle propriet del fluido filtrante. Il legame lineare tra velocit di

filtrazione e cadente piezometrica dimostra che il deflusso avviene in condizione di moto laminare.

Attraverso il criterio dellomogeneit meccanica possibile distinguere linfluenza sul coefficiente

di permeabilit delle caratteristiche del mezzo da quelle del fluido. Per analogia con la soluzione del

problema della determinazione delle resistenze nel moto uniforme laminare in un condotto

cilindrico (Legge di Poiseuille):

208

1IrV

= (2.4)

possibile assumere che il coefficiente di filtrazione debba anchesso dipendere dal peso specifico

del fluido ge dallinverso della viscosit . Una dimensione caratteristica dei meati potr essere

rappresentata da un diametro efficace dei granelli, d. Di conseguenza, dal punto di vista

dimensionale, avendo e dimensioni, rispettivamente pari a:

3L

F , FT

L2

(2.5)

E tenuto conto che il coefficiente di filtrazione ha le dimensioni di una velocit, dovr essere:

FT

L

L

FL

T

L 2

32= (2.6)

Pertanto, esplicitando la dipendenza del coefficiente di filtrazione dal quadrato di un diametro

caratteristico del mezzo poroso ed introducendo il coefficiente di permeabilit intrinseca, k, risulter

in definitiva:


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2-10

kf = (2.7)

Il coefficiente di filtrazione, attraverso il coefficiente di permeabilit intrinseca, dipender inoltre

dalle caratteristiche del mezzo poroso, in particolare dallassortimento granulometrico del terreno

Figura 2.6 e dal grado di costipamento, il cui effetto per un materiale monogranulare

rappresentato in Figura 2.7.

Figura 2.6 Curva granulometrica

Figura 2.7 Grado di costipamento

Entrambi questi parametri contribuiscono a determinare la porosit del mezzo, definita come

rapporto tra il volume dei vuoti (Wv) e il volume totale (Wt):

t

v

W

Wn= (2.8)

Evidentemente, risulta impossibile esprimere in maniera analitica la dipendenza del coefficiente di

permeabilit intrinseca dalla struttura di un mezzo poroso naturale. Di conseguenza solo prove di

laboratorio con permeametro su campioni di terreno non rimaneggiato possono consentire una

valutazione attendibile del coefficiente di filtrazione.


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2-11

In Tabella 2-1sono riportati i campi di valori del coefficiente di filtrazione riscontrati per materiali

aventi diversa classificazione geotecnica.

Tabella 2-1

La velocit di filtrazione una velocit fittizia tramite la quale viene sintetizzato il movimento

dinsieme del fluido nel terreno. Questo movimento si esplica secondo percorsi tortuosi,

riconducibili alle interconnessioni esistenti tra i pori del mezzo. In Figura 2.8. riportato un insieme

di traiettorie percorse dal fluido, nonch lingrandimento di un ipotetica distribuzione di velocit

allinterno di un meato (Figura 2.9).

La velocit effettiva, con cui mediamente viaggia lacqua nei pori evidentemente maggiore della

velocit di filtrazione, ci in quanto, parte della sezione trasversale del campione occupata dai

granelli. La velocit effettiva legata alla velocit di filtrazione dalla relazione:

an

Vv= (2.9)

in cui na la porosit areale, cio la quota parte della superficie trasversale del campione occupata

dai pori. Spesso la porosit areale posta pari alla porosit.


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2-12

Figura 2.8

Figura 2.9


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2-13

2.2.Falde freatiche e falde artesiane

Ogni mezzo poroso caratterizzabile idraulicamente mediante un valore medio del coefficiente di

filtrazione. Come si evince dalla Tabella 2-1, il coefficiente di filtrazione varia di diversi ordini di

grandezza a secondo del tipo di terreno. I terreni naturali saturi pi permeabili sono detti acquiferi,

mentre quelli meno permeabili possono costituire strati di confinamento per gli acquiferi stessi.

Generalmente sar sempre possibile individuare uno strato di confinamento inferiore di un

acquifero. Viceversa, superiormente un acquifero potr essere limitato o no da un secondo strato di

confinamento. Questa differenza consente unimportante distinzione tra falde artesiane e falde

freatiche:

- Le falde artesiane (Figura 2.10. B) sono acquiferi completamente racchiusi tra due

formazioni impermeabili o semi-impermeabili (rocce, argille, etc.), che presentano una

quota piezometrica maggiore della quota geodetica misurata in corrispondenza della

formazione impermeabile superiore (tetto della falda).

- Le falde freatiche (Figura 2.10. A) sono acquiferi confinati inferiormente da una formazione

impermeabile o semi-impermeabile, ma caratterizzati dalla presenza di una superficie libera

della falda a pressione atmosferica al disopra della quale lammasso filtrante solo

parzialmente saturo.

Figura 2.10 A- falda freatica, B- falda artesiana

In Figura 2.10sono schematicamente rappresentati in sezione due acquiferi nei quali si sviluppa un

campo di moto piano, la falda A una falda freatica, mentre la falda B una falda artesiana. La


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linea b-b rappresenta la piezometrica della falda artesiana, invece la piezometrica della falda

freatica coincide, ovviamente, con la traccia della superficie libera della falda.

E interessante notare come la falda artesiana possa presentare una quota piezometrica maggiore

della falda freatica sovrastante. In tal caso, anche in presenza di un collegamento tra le due falde, il

flusso allinterno dello strato di confinamento andrebbe dalla falda artesiana a quella freatica.

Altro punto da chiarire che concettualmente possibile avere una falda freatica anche al disotto di

altre falde pi superficiali, freatiche o artesiane.

Dal punto di vista della qualit delle acque contenute nelle due falde, va rilevato che le falde

freatiche che si sviluppano al disotto del piano campagna e che sono direttamente alimentate per

infiltrazione delle acque meteoriche risultano pi vulnerabili dal punto di vista qualitativo perapporto di nutrienti o di sostanze di origine agricola -erbicidi, pesticidi, etc.-. Viceversa le falde

artesiane, specie se caratterizzate da elevati valori di quota piezometrica sono pi salvaguardate,

sempre che non vi siano interventi che modifichino lassetto della falda, come prelievi da pozzi che

determinano forti riduzioni della quota piezometrica.

Nellambito del corso studieremo largamente le falde idriche sotterranee, sia per la loro importanza

come fonte di approvvigionamento idrico, sia per verificarne le interazioni con manufatti.


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3. Estensione della legge di Darcy al continuo

Lesigenza ingegneristica di applicare equazioni analitiche per la soluzione dei problemi inerenti il

movimento dellacqua nei mezzi porosi saturi implica la definizione di funzioni analitiche continue

e derivabili. Le propriet dei mezzi porosi, ad esempio la porosit, non rientrano a rigore tra le

grandezze di quel tipo: osservando la porosit facile riconoscere che il suo limite puntuale vale 0 o

1, a seconda se il punto ricada allinterno di un poro o della matrice solida. Le grandezze di tipo

idraulico, quali la velocit o la quota piezometrica, addirittura non risultano definite allinterno della

matrice solida.Per ovviare a questo problema si soliti operare una media mobile su un volume centrato in ciascun

punto del campo di moto, in modo da riferire al punto il valore che la grandezza assume nel volume

sui cui si operata la media. Tale volume detto Volume Elementare di Riferimento (REV,

Reference Elementary Volume).

Figura 3.1 REV

La sua dimensione convenzionale si assume essere quella minima per mediare le variabilit di

piccola scala in modo da rendere definite le grandezze che intervengono nella modellazione

analitica del comportamento idraulico del mezzo poroso (Figura 3.1).

E facile osservare che al crescere della dimensione del REV, tali grandezze raggiungono

rapidamente un valore stabile in corrispondenza del volume U0 in figura. Ulteriori incrementi

della dimensione del REV, portano poi a nuove pi significative variazioni, dal momento che

cominciano ad intervenire le variabilit proprie dei mezzi naturali (inhomogeneous medium).

La legge di Darcy, con il suo riferimento alla velocit di filtrazione, ben si presta ad una estensione

ai mezzi continui, basta riferire al REV le due grandezze: quota piezometrica e coefficiente di

filtrazione, ed esprimere la stessa in forma vettoriale:


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+=

+=

pzgradf

pzfV

r

(3.1)

AB

A B

Figura 3.2 Estensione legge di Darcy ad un continuo

La risoluzione del problema idrodinamico passa, pertanto, per la determinazione del valore della

quota piezometrica in ogni punto del campo di moto. Allinterno della falda si pu immaginare la

presenza di superfici isopieziche che uniscono punti con egual valore di quota piezometrica. Ilvettore velocit di filtrazione normale in ogni punto alle isopieziche. In figura 3.2. le linee AA e

BB rappresentano, tratti di isopiezica. Il valore di questa piezometrica associato a ciascuna delle due

isopieziche evidenziato dalla presenza di due piezometri infissi nel terreno, in particolare ciascun

valore di quota piezometrica rappresentato ovviamente dalla distanza tra il menisco del

piezometro e la quota di riferimento z=0.

Generalizzando lespressione di Darcy per un mezzo anisotropo si ottiene:

[ ]gradhfV =

r

(3.2)

dove [f] un tensore.

Se si considerano gli assi principali x, y e z

;x

hfV xx

= ;

y

hfV yy

=

z

hfV zz

= (3.3)

Se il mezzo si presenta isotropo fx= fy= fz=f.


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4. Macroporosit in mezzo saturo

Nei mezzi a piccola granulometria la legge di Darcy esprime un legame di proporzionalit diretta

tra la velocit di filtrazione V e la cadente piezometrica J, tramite il coefficiente di filtrazione che

dipendente dalle caratteristiche del mezzo poroso e del fluido. La legge di Darcy non descrive, per,

adeguatamente i moti di filtrazione attraverso filtri a grana grossa o attraverso le fratture che

possono essere presenti allinterno di formazioni rocciose, di piccole o grandi dimensioni.

4.1.Mezzi omogenei

Nel laboratorio del DIGA (Dipartimento di Idraulica, Geotecnica, Ambientale) stata realizzata un

particolare permeametro (Figura 4.1) che consente di effettuare prove per la determinazione dellf

saturo su campioni di notevole dimensioni, sottoposti a forti valori della cadente piezometrica.

Figura 4.1 Permeametro

La condotta di prova stata riempita con materiale a granulometria grossolana (Figura 4.1), ricavato

in situ da un banco di pomici lungo un pendio dellentroterra campano, proveniente da processi


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eruttivi del complesso Somma-Vesuvio (Figura 4.3). La necessit di operare su campioni di

diametro notevolmente maggiore della dimensione media delle pomici e la bassissima coesione

naturale di queste ultime non hanno consentito il prelievo di campioni indisturbati.

Figura 4.2 Materiale di riempimento della condotta

Figura 4.3 Complesso Somma-Vesuvio

Il bilancio idrogeologico di questi pendii caratteristici dellarea campana, lungo i quali possono

determinarsi distacchi del materiale di copertura con conseguenti fenomeni di colata rapida,

fortemente condizionato dalla capacit drenante degli strati a granulometria grossolana, lungo i

quali si sviluppano falde freatiche o artesiane con movimento prevalente parallelo al pendio (Figura

4.4).


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Figura 4.4 Falda parallela al pendio

Una stratigrafia tipica rappresentata in Figura 4.5mostra lalternanza di strati di pomici e di cineriti

paralleli al pendio.

Figura 4.5 Stratigrafia tipica

Le prove mostrano che al crescere della cadente piezometrica, il legame in moto uniforme tra V e J

tende rapidamente a non presentarsi pi lineare in quanto al crescere di J la V ha un incremento

minore rispetto a quello che avrebbe avuto nel caso di un mezzo con un comportamento di tipo

darciano.


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4-20

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20V (m/s)

J (-)

Figura 4.6 Legane non lineare tra J e V

Lo scostamento dal regime lineare, proprio della legge di Darcy, dipende inizialmente (regime di

transizione) dallinstaurasi di effetti di scia a tergo degli elementi che costituiscono lammasso, solo

per valori molto elevati della velocit di filtrazione possono manifestarsi meccanismi turbolenti.

Questi fenomeni sono affini a quelli noti in idrodinamica che si osservano a tergo di una sfera o di

un cilindro investiti da una corrente.

Figura 4.7 Campo di moto di una corrente che investe una sfera e al crescere del numero di Reynolds

Quindi a prescindere se il moto sia laminare o turbolento si determinano delle dissipazioni,

aggiuntive a quelle dovute al solo attrito del fluido con la parete dei singoli elementi, dovute alla

presenza di particolari fenomeni di scia a tergo di ogni particella.

Numerose sono state nel tempo, le leggi di resistenza proposte in sostituzione della legge di Darcy,

per descrivere i moti di filtrazione in regime non lineare (regime di transizione e turbolento). Qui si

ricordano le:

Relazioni in forma esponenziale (J = aV)

Relazioni in forma di serie (J = aV+bV+cV+....)


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Relazione di Forchheimer (J = aV+bV)

Queste relazioni consentono facilmente di interpolare i dati sperimentali e possono essere usate in

fase di risoluzione dei problemi di deflusso della falda in moto uniforme o in moto permanente, per

determinare il legame Q(h) tra la portata e lo spessore della falda per unassegnata pendenza

dellacquifero. In Figura 4.8vengono mostrate le scale di deflusso di una falda che defluisce in

moto uniforme (i=j) in un acquifero costituito dal materiale precedentemente descritto. Vengono

confrontati i risultati ottenuti utilizzando il modello di Foirchheimer sulla serie completa di dati

sperimentali e la legge di Darcy tarata sui dati sperimentali per bassi valori della cadente

piezometrica che verifica la legge lineare.

Dalla Figura 4.8 facile osservare che gi per piccoli angoli di inclinazione () del pendio, valutarele resistenze al moto con la legge lineare comporta una fortissima sovrastima della velocit di

filtrazione, e, quindi, per assegnato spessore della falda, una fortissima sovrastima della portata

defluente.

Figura 4.8 Legame tra e V

Con procedimento analogo a quello che si utilizza per lintroduzione dellabaco di Moody,

possibile riportare la legge di resistenza di Forchheimer in forma dimensionale. Il procedimento

descritto da Ward consiste nella introduzione di due raggruppamenti dimensionali:

kVRk= e

1w

k

k CR

f += (4.1)


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Rk una forma particolare del numero di Reynolds, mentre fk una forma particolare dellindice di

resistenza in cui 1/Rkrappresenta linfluenza degli effetti viscosi, mentre Cwrappresenta gli effetti

delle forze dinerzia e delle turbolenze ad alti numeri di Reynolds).

Rked fksono legati ai parametri a e b della legge di Forchheimer:

gka = e

kg

Cb w= (4.2)

In tal modo la legge di Forcheeimer, o direttamente i dati sperimentali possono essere rappresentati

nel diagramma bilogaritmico (Rk, fk) (Figura 4.9). Dalla rappresentazione appare evidente il

comportamento delle resistenze al moto ed possibile darne uninterpretazione.

Figura 4.9 Legame tra fke Rk

Per Rk


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4-23

costanti a e b della relazione: J = aV+bV.

I tre parametri geometrici fondamentali sono:

La tortuositpari al rapporto tra la lunghezza L dei pori e la lunghezza del filtro di prova

H,H

L= ;

La superficie specifica dinamica avd(superficie per unit di volume) pari al rapporto tra la

superficie del filtro bagnata dal flusso e il volume del solido del filtro, ;solido

vdVolume

Sa =

Il diametro dei pori pari a

)1(

4

na

nd

vd

pori

= in cui n la porosit del filtro.

Comiti e Renaud forniscono le relazioni che legano e avdad a e b, da cui possibile facilmente

ricavare anche il diametro dei pori.

Per le prove condotte presso il laboratorio del DIGA sono stati ottenuti i valori: : =1,030; avd

=1264,9 1/m; dpori= 1,558 mm.

Ottenuti i parametri possono essere calcolati i valori della velocit interporo Vp e del numero di

Reynolds interporo Rp:

VVpori = (4.3)

poriporiporip

VddVR == (4.4)

e del relativo indice di resistenza

194,016

+=p

pR

f (4.5)

Le coppie di valori sperimentali (Rp-fp) sono state diagrammate in un piano bilogaritmicorappresentato in Figura 4.10.


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Diagramma sperimentale Rk-fk

0.0100

0.1000

1.0000

10.0000

100.0000

0.01 0.10 1.00 10.00

Rk

fk

Diagr.

Rk-fk

Regime

darciano

Diagr.

Rk-fk

speriment

ale

Figura 4.10 Legame tra fpe Rp

Per Rp>830 il regime di moto pienamente turbolento

Per Rp


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Questi casi sono pi difficili da affrontare in quanto molto difficile determinare la dimensione e la

giacitura delle fratture.

Dal momento che linterpretazione delle prove di carotaggio molto dubbia spesso si desumono le

caratteristiche delle fratture dallosservazione diretta di strutture geologiche simili in affioramento.

Si utilizzano pertanto dei modelli semplici in cui compaiono le caratteristiche del mezzo che

possono essere misurate, come per es. la dimensione media delle fratture e il numero di

interconnessioni che ci sono tra una frattura e laltra.

Il pi comune di tali modelli la legge cubica in cui il deflusso nella frattura associato a quello

tra due lastre parallele, dove Q la portata per unit di larghezza e b la distanza tra le lastre.

Jb

Q12

3= (4.6)

E evidente che questa equazione tiene conto unicamente degli sforzi viscosi.

Figura 4.12 Legame tra fke Rk

Come mostrato paragrafo precedente, nel caso di macroporosit nei terreni sciolti le perdite di

carico aggiuntive si hanno a causa degli effetti di scia a tergo dei granelli, mentre in presenza di

lastre piane cio rocce fratturate non si hanno effetti di scia ma si ha un movimento tra le lastre con

valori di cadenti piezometriche modeste ben interpretate dalla (4.6).

Generalmente in un mezzo naturale le interconnessioni tra le fratture determinano apprezzabili

dissipazioni aggiuntive. Alle macroscale, per, l legame tra q e J rimane lineare.


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4-26

Figura 4.13 Diagramma polare del coefficiente di filtrazione Legame tra fke Rk

Frequentemente, per, si presentano altri due tipi di problemi:

- presenza di spaccature in pi direzioni,

- spaccature anisotrope.

Yang et al. (1989) hanno mostrato che una larga percentuale delle perdite di carico nelle fratture di

maggiori dimensioni ha luogo per le variazioni di forma e larghezza delle stesse. Cook et al. (1990)

hanno proposto una forma modificata della legge cubica

Jfd

dbQ

1

1

1

12

3

+

=

(4.7)

In questa equazioneftiene conto della tortuosit fuori piano,invece il fattore (1 - d)/(1 + d) tiene

conto della tortuosit nel piano.


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5-27

5. Variabil it spaziale

Nel capitolo II si definito un mezzo continuo equivalente di un mezzo poroso naturale. Nella

deduzione delle equazioni indefinite del moto e della continuit, che sono saranno ricavate per

mezzo saturo nel successivo VI capitolo e verranno ricavate per mezzo non saturo nel capitolo XI,

si far largo uso del concetto di Volume di Riferimento Elementare (REV). Si gi detto che

tramite lintroduzione del REV possibile eliminare gli effetti di variabilit di piccola scala.

In questo capitolo cercheremo di indicare come affrontare il problema delle variabilit di grande

scala propria degli acquiferi naturali.Esistono due tipi di variabilit:

1- stratigrafica: sulla base delle propriet geologico strutturale medie dello strato possibile

identificare diversi strati con caratteristiche diverse,

2- propria di ogni strato.

La determinazione delle propriet statistiche (pi propriamente, come vedremo in seguito

stocastiche) dei mezzi naturali essenziale per i problemi di tipo ambientale.

5.1. Classif icazioni

Numerose sono le classificazioni dei mezzi porosi naturali definite nelle diverse discipline tecniche.

Queste classificazioni devono essere note anche nellambito dellIdraulica dei mezzi porosi in

quanto orizzonti che presentano differente classificazione, su base agronomica, pedologica, etc.,

possono presentare propriet idrauliche anchesse differenti e, di conseguenza, possono dovere

essere trattati in maniera separata nellambito della modellazione idrodinamica e di trasporto.

Molto spesso losservazione diretta del mezzo ad un occhio non esperto non consente di

differenziare tali orizzonti, mentre queste differenze emergono solo allanalisi di un esperto delle

diverse discipline. Pertanto, la disponibilit di pi descrizioni dello stesso mezzo, sulla base delle

diverse classificazioni tecniche non ridondante, bens essenziale per la predisposizione del

modello idrodinamico e di trasporto.


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5-28

1- Classificazione geologica: consente di distinguere nel sottosuolo orizzonti con

caratteristiche geologiche differenti. Evidentemente in questo caso non sipu che rimandare

lo studente a testi specialistici sulla disciplina.

2- Classificazione geotecnica: consente di suddividere i terreni in base alle loro caratteristiche

strutturali e meccaniche.

Per i nostri fini la caratterizzazione ci interessa senzaltro la curva granulometrica.

Figura 5.1 Curva granulometrica

Figura 5.2 Classificazione granulometrica

Altro elemento di interesse il risultato di prove meccaniche, in particolare quelle effettuate

con penetrometro, in quanto la variazione delle propriet meccaniche di resistenza del

materiale associabile, a pari contenuto dacqua, ad una variazione delle caratteristiche

strutturali (granulometria o grado di costipazione).


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5-30

Figura 5.4 Diagramma triangolare

Nel diagramma rappresentato nella Figura 5.4si entra con le tre coordinate: % argilla, %

sabbia, % limo e si trova un punto che posizionato in un raggruppamento che prende il

nome dellelemento pi rappresentativo (quello in % maggiore).

4- Classificazione pedologica: viene fatta in base al riconoscimento di alcune caratteristiche

che riguardano il manifestarsi di colorazioni particolari, di tessiture e strutture diverse, la

presenza o assenza di carbonati, di crepacciature, screziature o altro, originate dallaconcomitanza di combinazioni di fattori pedogenetici.

Figura 5.5 Classificazione pedologica


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5-31

La classificazione pedologica viene effettuata attraverso un catalogo sistematico dei suoli

secondo criteri e principi specifici. La tassonomia pedologica, risentendo ancora delle

diverse impostazioni delle pi importanti scuole di scienza del suolo (Stati Uniti, Francia e

Russia), non propone un linguaggio unico e univoco, come le pi universalmente

riconosciute classificazioni di Linneo per il mondo animale e vegetale. Attualmente le

classificazioni pi utilizzate sono la Soil Taxonomy dellUSDA (Unites States Department

of Agriculture) e il WRB (World Reference Base), anche se ancora oggi sono diffusi termini

e criteri desunti dalle vecchie classificazioni nazionali (Francia, Germania, Russia, ecc.)

5.2. Mezzi statis ticamente omogenei

A seconda del tipo di problema e delle caratteristiche dellacquifero dovr tenere pi o meno conto

delle eterogeneit. Utilizzando le classificazioni riportate nel paragrafo precedente (5.1.) si pu

effettuare una suddivisione in pi strati. Le maggiori complicazioni si hanno nel momento in cui si

vuole determinare la variabilit allinterno di ciascun strato.

Lo studio della variabilit spaziale delle propriet pu essere affrontato secondo due tipi di approcci

differenti: un approccio deterministico e uno stocastico.

5.2.1. Approccio deterministico

Nellapproccio deterministico occorre, tramite sondaggi e prove, stabilire:

lo spessore corrispondente ad ogni strato riconosciuto tramite le precedenti classificazioni,

le propriet medie strutturali ed idrauliche di ogni strato

assumendo che le caratteristiche di ogni strato siano omogenee. Quindi la realt fisica semplificata

in quanto si sono determinate solo le macro-differenze.

Lapproccio deterministico presuppone la conoscenza dei valori assunti dai diversi parametri in

ogni punto del mezzo poroso. Tali valori possono essere assunti attraverso due diverse

schematizzazioni:


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5-32

1- mezzo omogeneo equivalente: si suppone che un acquifero possa essere trattato come un

equivalente omogeneo, con propriet costanti nello spazio,

2-

mezzo con struttura eterogenea conosciuta: si cerca di fornire una descrizione pi dettagliata

del comportamento del dominio, mediante la conoscenza dei valori assunti dalle sue

propriet in regioni in cui siano state effettuate misure dirette. In questo modo si conoscono

le propriet in n punti del dominio. Per conoscere la variazione di un parametro in tutto il

dominio si effettua uninterpolazione (ad esempio lineare) tra i punti in cui noto il

parametro desiderato (es. permeabilit).

Evidentemente anche utilizzando metodi di interpolazione pi sofisticati propri della seconda

schematizzazione proposta il mezzo poroso naturale sicuramente presenter tra luno laltro deglin punti noti propriet diverse da quelle determinate attraverso linterpolazione.

5.2.2. Approccio stocastico

Alla base di questa metodologia vi la consapevolezza della impossibilit di fatto di conseguire una

descrizione dettagliata dell'acquifero alle varie scale di interesse. Lo scopo non quindi quello di

descrivere il comportamento reale dellacquifero ma di fornirne la migliore previsione possibile

sulla base degli elementi (misure) disponibili.

Il metodo che si sta cercando un metodo di stima.

Uno dei vantaggi dellapproccio stocastico quello di poter quantificare in qualche modo il grado

di incertezza connesso con la mancanza di una "puntuale" conoscenza del mezzo. La descrizione

dell'andamento nello spazio di una data propriet (come la permeabilit) viene conseguita tramite la

conoscenza della distribuzione di probabilit congiunta dei valori assunti da detta propriet nelle

diverse localizzazioni nel dominio. Lobbiettivo di questo metodo consiste nel ricavare una

distribuzione statistica della propriet in esame che legata a come essa distribuita nello spazio.

Se si riesce a creare questa funzione densit di probabilit, in cui c una componente spaziale, si

in grado di generare un campo di moto che sia simile a quello in studio. Questa la base per avere

una risoluzione probabilistica.


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5-33

Si consideri la permeabilit f e con P il generico punto del campo di indagine, f(P) una funzione

numerica che rappresenta quindi la permeabilit nei punti del sito. In questo quadro si possono dare

le seguenti definizioni:

Variabile regionalizzata (VR)

Si intende la funzione matematica f(P) sopra introdotta. Il termine regionalizzata specifica che si

tratta di una funzione numerica il cui valore dipende dalla localizzazione, espressa normalmente

dalle coordinate spaziali, e che si presenta strutturata spazialmente

Campo:

E' il dominio nel quale la variabile f suscettibile di assumere determinati valori e, allinterno del

quale, se ne studia la variabilit. Coincide con lo spazio di osservazione (o di indagine) delfenomeno in esame.

Supporto:

E' lentit geometrica sulla quale la variabile f definita od anche misurata; essa caratterizzata

dalle sue dimensioni e dalla sua forma. Quando le dimensioni sono molto piccole (rispetto alla scala

del lavoro) il supporto pu considerarsi puntuale (per es. un campione areale di suolo di qualche

decina di dm2pu essere considerato puntuale rispetto ad una distanza tra campioni successivi di

alcune decine di m). Il concetto di supporto e le sue implicazioni giocano un ruolo importante nellateoria e nelle applicazioni geostatistiche. Data una variabile regionalizzata riferita ad un determinato

supporto, si ha che, cambiando la forma e le dimensioni di esso, si ottiene una variabile

regionalizzata diversa dalla prima, ma non senza analogia con essa. Si osservi, a titolo di esempio,

la Figura 5.6. In essa riportato landamento della conducibilit idraulica misurata su campioni

successivi di terreno di dimensioni 10 cm; in tratto pi grosso riportato landamento dei valori

mediati su un metro (su 10 campioni). Nel primo caso la VR ha un supporto 10 cm e nel secondo ha

come supporto 1m. Si tratta di due variabili che presentano un andamento molto diverso tra di loro.


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5-34

Figura 5.6

In base alla definizione data, una VR una variabile puramente deterministica; da un punto di vista

matematico una funzione f(P) che assume in ogni punto dello spazio un determinato valore

numerico. Si pu osservare, da una parte, un andamento irregolare alla piccola scala che non

incoraggia uno studio matematico diretto, e dallaltra, una variabilit strutturata, cio una variabilit

che sembra ubbidire a delle regole. Vi si notano infatti tratti con elevati valori della conducibilit e

tratti con medi e bassi valori. Pertanto, campioni prelevati in vicinanza dei tratti ad alto valore

avranno unelevata probabilit di avere una conducibilit elevata, mentre vi avranno una media e

bassa probabilit i campioni prelevati negli altri tratti.

Un approccio corretto allo studio dei fenomeni spaziali deve considerare entrambi gli aspetti della

variabilit e fornire degli strumenti operativi alla risoluzione dei problemi. Un tale approccio

quello probabilistico, cio basato sulle Funzioni Aleatorie.

Prima di passare ad illustrare lapproccio probabilistico vediamo come possibile, facendo uso dei

concetti di varianza, covarianza e coefficiente di correlazione empirici, caratterizzare intuitivamente

la variabilit spaziale di una VR.

Sia f(P) una VR, di supporto puntuale, definita in unarea S avente unestensione di alcune centinaia

di metri (fig. 3.3) e nota in tutti i punti. Si consideri una coppia di punti distanti h(vettore) di

posizione x e x+ h, con |h| = h1 piccolo rispetto alle dimensioni di S, per es. un metro (fig. 3.3 A1).

In corrispondenza dei due punti la VR assume i valori z(x) e z(x+h).


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5-35

Si introduce la funzione random che identifica le propriet del domini e che rappresenta una

realizzazione di un processo stocastico che costituito da uninsieme di variabili casuali che

concorrono al medesimo processo.

Si immagini di fare una serie di fori nel terreno e di andare a misurare ad una certa profondit delle

grandezze (ad es. permeabilit, porosit etc.), di questi n punti considerati chiaro che si possono

elaborare delle statistiche (media, scarto quadratico, simmetria, etc.). in questo modo si conoscono

le probabilit statistiche dellinsieme del dominio.

In realt le variabili considerate possono assumere uno qualunque dei valori della funzione di

probabilit. Nel diagramma riportato nella Figura 5.7 sono riportati i valori di permeabilit

determinati lungo un allineamento in un acquifero.

Figura 5.7 Valori di permeabilit lungo un allineamento

Il valore della permeabilit ad un punto x0viene interpretato come uno dei possibili valori dellapropriet.

La distribuzione spaziale della permeabilit viene intesa come un processo stocastico K(x0, w), in

cui w indica l'esistenza di molteplici possibilit nei valori di K al punto x0 (w definisce la

realizzazione particolare in cui si manifesta un dato valore di K nella posizione x0).

Pertanto, la permeabilit K lungo lallineamento una variabile random: in particolare, se questa

osservata nelle varie localizzazioni x1, x2, ........., xN, allora K(x1, w), K(x2, w), ......., K(xN, w), sono


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5-36

tutte variabili random, ciascuna con una propria distribuzione di probabilit, che possono essere tra

loro correlate.

La probabilit di riscontrare una particolare sequenza, K(x, w1), nei valori di permeabilit lungo un

allineamento dipende, quindi, non soltanto dalla funzione di densit di probabilit (pdf) di questa in

una data posizione, ma anche da quelle corrispondenti ad altre posizioni, in quanto esistono dei

legami forti tra il valore che assume il parametro in un punto e quello che assume nel punto

adiacente. La distribuzione reale, di campo, della permeabilit allora una particolare delle infinite

sequenze possibili.

Naturalmente, nelle situazioni pratiche la pdf congiunta della variabile in esame non identificabile

nel senso sopra indicato, in quanto si ha a disposizione un insieme di misure derivanti da ununicadelle infinite sequenze possibili, cio quella reale.

Gli studiosi hanno elaborato una tecnica che permette di determinare le propriet di un sistema

partendo da questa singola realizzazione.

Questo possibile solo se sono rispettate due propriet:

stazionariet: una Random Function stazionaria in senso stretto soddisfa il requisito per cui

ogni propriet statistica del processo in studio (pdf congiunta, media, varianza) si mantiene

costante nello spazio. ergodicit: presuppone che le caratteristiche statistiche d'insieme del processo possano

essere desunte dalla conoscenza del comportamento di una singola realizzazione.

Una volta verificate queste due ipotesi per rappresentare la variabilit della funzione random si

possono utilizzare in modo equipollent, la funzione covarianza o la funzione variogramma.

La funzione covarianza esprime lo scarto che mediamente si osserva tra i valori delle grandezze

assunte in un punto e nei punti distanti h dal punto stesso.

Partendo dalla media o valore atteso di N osservazioni:

=

=n

i

iip1

V (5.1)

conpiprobabilit di occorrenza dellevento ni, si pu ricavare la varianza:

{ } [ ]== 22V VVVar (5.2)

e successivamente la covarianza:

{ } [ ] [ ]>+


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5-37

( ) ( ){ } ( )=== xVVarxVxVCovhC )0( (5.4)

Y1

Y2

Y3

Y4

Yn-1Yn

h1

h1

hn

Covarianza

0 h1 h2 hn

1. Valuto nel dominio2. In ogni punto, calcolo Y'=Y-3. Calcolo le varie distanze d1 e le divido in classi4. In ciascuna classe avr un dato numero di punti e , quindi, un certo numero di prodotti Y'(x) Y'(y)5. Per ogni classe calcolo il valore atteso (la media) dei prodotti delle fluttuazioni x

Figura 5.8 Variazione della covarianza in funzione della distanza h

Seguendo i cinque punti riportati nella Figura 5.8si ricava, per ogni classe di distanza, un valore di

covarianza.

Questa funzione covarianza ha un massimo per h=0 in quanto non c differenza tra il valore che

assume il parametro nel punto ed il punto stesso (non c varianza).

La funzione covarianza indica il grado di correlazione tra i valori della propriet al variare della

distanza tra i punti.

Al crescere della distanza h la covarianza pu portarsi a zero pi o meno rapidamente.

Nel caso in cui c il crollo immediato della covarianza non c affinit tra quello che accade in unpunto e quello che accade nei punti adiacenti ad esso. Invece se la covarianza resta invariata si ha

un legame tra la propriet in un punto ed un altro posto ad una certa distanza h (le differenze sono

pi sfumate).


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5-38

AFFINITA MAGGIORE

Figura 5.9 Parentela tra covarianza e distanza

Leffetto del maggiore o minore grado di affinit riportato in Figura 5.9 sulla distribuzione di

permeabilit riportato in Figura 5.10 dove i valori di permeabilit sono espressi in tonalit di

grigio. Evidentemente in caso di minore affinit si osservano passaggi bruschi tra valori massimi e

minimi di permeabilit.

Aumentalaffinit

Figura 5.10

La funzione variogramma consente di esprimere le stesse informazioni discusse per la funzione

covarianza.

{ } { } >+


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5-39

La funzione covarianza e variogramma sono confrontate in Figura 5.11.

Figura 5.11 Diagramma di C(h) e (h)

I valori della funzione variogramma, calcolata sulla base di rilievi disponibili, possono essere

interpolati sulla base di funzioni analitiche semplici quali quelle espresse in (Figura 5.12).

Figura 5.12 Esempi di funzioni variogramma

Va osservato che i vario grammi sperimentali non partono da zero, per leffetto cosiddetto

nuggett dovuto alla variabilit di piccola scala che non pu essere risolta con le misure disponibili

(Figura 5.13). La distanza alla quale i variogrammi diventano orizzontali detta campo e

rappresenta il limite spaziale oltre il quale rappresenta il limite spaziale oltre il quale il valore tra

due punti praticamente scorrelato.


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5-40

Figura 5.13 Esempi di funzioni variogramma

La struttura della variabilit spaziale che stata trovata nel precedente paragrafo ed in particolare la

funzione variogramma consentono di ricreare realizzazioni della falda reale aventi le stesse

propriet geostatistiche. Per svolgere questa operazione esistono programmi commerciali. Nessuna

delle realizzazioni che ricreate la realizzazione reale in quanto la probabilit di riuscire a trovare

lesatta sequenza del dominio originario praticamente nulla.

Fatta questa operazione possibile risolvere n problemi deterministici, in quanto possibile

stabilire la risoluzione della minima distanza indagata con lanalisi statistica, determinando nsoluzioni del problema.

Si stabiliscono dei criteri (ad es. media della soluzione ottenuta, intervalli fiduciari) per verificare

quanto cambiato il fenomeno tra una singola realizzazione e laltra.

Quindi se alla fine non si in grado di raggiungere una definizione deterministica del campo

naturale si pu almeno affermare che esso si trova a 2s rispetto alla media di tutti i possibili

valori della funzione random.


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5-41

5.2.3. Modellazione numerica

La possibilit di una caratterizzazione stocastica degli acquiferi ha aperto grandi prospettive ai

metodi di modellazione numerica degli acquiferi. Esistono infatti numerosi problemi di idraulica

delle acque sotterranee nei quali la schematizzazione di mezzo omogeneo equivalente risulta

insufficiente ad ottenere risposte ingegneristicamente utili. Il principale di questi problemi quello

legato alla qualit delle acque sotterranee in quanto il movimento e la dispersione degli inquinanti

sono fortemente legati alla variabilit delle propriet locali del mezzo poroso, tra le quali le

propriet idrauliche.Il presupposto alla modellazione numerica in questi casi la consapevolezza della impossibilit di

determinare la conoscenza in tutti i punti della falda del valore assunto dalla propriet in esame, ad

esempio la permeabilit. Anzich individuare arbitrariamente il valore di questa propriet nei punti

della falda compresi tra i punti di misura attraverso tecniche di interpolazione, si preferisce

utilizzare le propriet geostatistiche precedentemente introdotte e determinabili se si dispone di un

adeguato numero di misure.

La conoscenza delle propriet statistiche complessive del mezzo -media, varianza- e della funzioneinterpolare dei punti del variogramma, consentono di generare singole realizzazioni dell'acquifero

(ad esempio mediante il software PMWIN di Modflow, o altri).

Su ciascuna -esima realizzazione possibile, quindi, risolvere il campo di moto mediante le

equazioni dell'idraulica dei mezzi porosi (mezzo saturo o parzialmente saturo, moto permanente o

moto vario) e in maniera disaccoppiata le equazioni di trasporto del soluto.

Figura 5.14 Schema di modellazione numerica calcolo i-esimo


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5-42

La risposta al problema idraulico verr fornita in termini probabilistici, in quanto si potr ottenere

per ciascuna grandezza idraulica del campo di moto (quota piezometrica, velocit, concentrazione)

la media delle soluzioni delle N realizzazioni considerate e lo scarto quadratico medio. La statistica

ci fornir le probabilit relative al comportamento del campo di moto reale.

Questo metodo di risoluzione, detto Montecarlo, consente di ottenere stime accurate della media gi

dopo un numero abbastanza ridotto di iterazioni (Figura 5.14).

Figura 5.15 Legame tra valore medio e numero di iterazioni


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6-43

6. Equazioni indefini te

6.1. Equazioni indefinite del moto

Si consideri un prisma elementare di terreno (Figura 6.1) nellipotesi di mezzo poroso

indeformabile

Figura 6.1 Prisma elementare

Il volume del fluido nel parallelepipedo :

ndxdyd (6.1)

dove n=Vv/Vtot la porosit.

La massa del fluido nel parallelepipedo :

dxdydn (6.2)

Valutiamo le forze che contribuiscono allequilibrio dinamico del volume di fluido contenuto nelcubetto.

FORZE di SUPERFICIE

Si ricavi il termine delle forze di superficie al contorno del volume elementare.

- Azione del fluido sui pori


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6-44

Per conoscere lazione del fluido sui pori bisogna moltiplicare il valore di pressione per la

superficie dydze per nsche diverso da n in quanto n rappresenta la porosit volumetrica mentre ns

la porosit areale cio la porosit che ottengo se seziono una faccia con una superficie.

dydzdx

x

ppns

2

(6.3)

- Azione dei granelli sul fluido

E evidente che c anche unazione dei granelli sul fluido pari a:

( ) dydzdx

x

ppn

s

21 (6.4)

lazione totale a sinistra pari a:

dydzdx

x

pp

2

(6.5)

A destra si ha analogamente:

dydzdx

x

pp

+2

(6.6)

Per cui lazione globale (lungo lasse x) delle forze di superficie su sezioni normali allasse x :

dxdydzx

pdydz

dx

x

ppdydz

dx

x

pp

=

+

22

(6.7)

FORZE di MASSA

Detta Fla forza di massa per unit di massa di componenti X, Y, Z e rla densit del fluido, lungo

lassex, se si considera che il fluido occupa solo la parte porosa dellammasso, si ha:n Xdxdyd (6.8)

analogamente le altre due componenti rispetto agli assi y, z sono pari a:

n Ydxdy (6.9)

e

n Zdxdyd (6.10)


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6-45

Tale forza di massa per unit di massa comprensiva anche delle forze di pressione che i granelli,

allinterno del volume, esercitano sul fluido, come si vedr meglio successivamente.

FORZE di TRASCINAMENTO

Tra i termini che contribuiscono allequilibrio dinamico del fluido oltre alle forze di pressione e al

peso c da considerare lazione di trascinamento che i granelli esplicano sul fluido e viceversa:

infatti il fluido si muove tra le pareti dei pori. Si considera la forza di trascinamento complessiva, in

quanto non si analizza cosa accade su piccola scala ma cosa avviene a livello del REV.

Nella direzione x si ha:

dxdydRn x (6.11)

Analogamente nelle direzioni y e z si ha:

Rn ydxdyd (6.12)

e

dxdydRn z (6.13)

FORZE di INERZIA

In ultimo occorre considerare le forze inerziali. Lungo la direzionexlaccelerazione del fluido :

+

+

+

=dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

t

v

ndt

dv

n

xxxxx 11 (6.14)

in cui al primo membro compare il termine 1/n in quanto bisogna considerare le velocit effettive e

non quelle di filtrazione e, quindi, per passare dalla velocit di filtrazione a quella effettiva si divide

per la porosit. Moltiplicando la (6.14)per la massa del fluido si ha la forza di inerzia lungo lassex

dxdydzdt

dv

dt

dv

nndxdydz xx =

1 (6.15)

Scrivendo lequilibrio di tutte le forze lungo lassex:

dxdydzRnXdxdydzndxdydzx

pdxdydz

dt

dvx

x ++

(6.16)

Cio, in definitiva, per le tre direzioni cartesiane, lequazione indefinita del moto si scrive:


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6-46

++

=

++=

++

=

zz

y

y

xx

nRnZz

p

dt

dv

nRnYy

p

dt

dv

nRnXx

p

dt

dv

1

1

1

(6.17)


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6-47

6.2. Equazioni di continuit

Lequazione di continuit si scrive ponendo che la differenza fra la massa entrante e la massa

uscente nellintervallo di tempo dt dal prisma elementare deve essere uguale alla variazione di

massa allinterno del prisma nello stesso intervallo temporale.

La massa entrante (lungox) pari a:

dydzdtvx (6.18)

La massa uscente (lungox) pari a:

( )dxdydzdtvdydzdtv xx

+ (6.19)

Facendo lipotesi di mezzo indeformabile (fondamentale in quanto se il mezzo fosse deformabile si

dovrebbe tener conto anche delleffetto della porosit noltre che di :t

n

), la variazione di massa

nel tempo pari a:

ndxdydzdt

t

(6.20)

In definitiva:

( ) ( ( )ndxdydzdt

tdxdydzdt

z

v

y

v

x

v zyx

=

+

+

(6.21)

cio :

( ) ( )0=

+

+

+

tn

z

v

y

v

x

v zyx (6.22)

Associando:

- le equazioni del moto (6.17),

- lequazione di continuit (6.22),

- lequazione di stato =(p)

si ottiene un sistema completo di equazioni del moto di un fluido comprimibile filtrante attraverso

un mezzo poroso indeformabile. Una volta determinate le funzioni forze di trascinamento R

possibile, con lintegrazione determinare le cinque incognite:vx, vy, vz,p, .


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6-48

6.3. Equazioni del moto uniforme di un fluido pesante incomprimibi le

Si consideri si consideri un moto di filtrazione che avvenga con traiettorie rettilinee e uniformi,

sicch laccelerazione media nulla. Sui granelli agisce la spinta archimedea, che vale:

( )dWn1 (6.23)

uguale e contraria a quella che i granelli esercitano sul fluido.

Il fluido poi soggetto alla forza di gravit:

dWn (6.24)

quindi in totale, la forza verticale diretta verso il basso agente sul fluido :

( ) dWdWndWn =+1 (6.25)

e quindi la forza di volume F per unit di massa (di fluido) ha modulo:

n

g

dWn

dWF ==

(6.26)

E da notare che tale forza di massa, sarebbe stata pari a g se il volume fosse stato pieno di solo

fluido (n=1).Considerando un sistema cartesiano con lasse z diretto verso lalto ne consegue:

=

==

n

gZ

YX 0 (6.27)

Quindi le equazioni del moto (6.17)diventano:

+

=

=

=

n

g

z

p

nR

y

p

nR

x

p

n

R

z

y

x

1

01

01

(6.28)

Introducendo la quota piezometrica:

Pzh +=

(6.29)

essendo g= cost per un fluido incomprimibile si ha:


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6-49

;1

x

p

x

h

=

;

1

y

p

y

h

=

z

p

z

h

+=

11 (6.30)

quindi le (28) diventano:

=+

=

=

=

=

=

z

h

n

g

n

g

z

h

nR

y

h

n

g

y

h

nR

x

h

n

g

x

h

nR

z

y

x

1

(6.31)

In forma vettoriale si pu pertanto scrivere:

ss

h

n

gh

n

gk

z

hj

y

hi

x

h

n

gR

==

+

+

= (6.32)

essendo s la coordinata curvilinea lungo una linea di corrente.

In questo modo si determina lespressione della forza di trascinamento per unit di massa. La

cadente piezometrica :

s

hJ= (6.33)

Quindi la (6.33)diventa:

Jn

gR = (6.34)

Utilizzando la legge di Darcy per un campo omogeneo ed isotropo, la (6.32)diventa:

k

V

n

gR = (6.35)

Le componenti della resistenza dattrito per unit di massa sono quindi:

=

=

=

zz

yy

xx

Vnf

gR

Vnf

gR

Vnf

gR

(6.36)

agenti in ogni punto del campo di filtrazione in direzione opposta a quella della velocit.


50/166


6-50

La forza di trascinamento per unita di volume, denominata dal Terzaghi Forza di filtrazione,

quindi pari a:

JJnn

gF == (6.37)

Le espressioni della forza di filtrazione sono state ottenute nellipotesi di moto stazionario e

uniforme: esse si ritengono valide anche nel caso pi generale di moto vario e non uniforme.

6.4. Equazioni del moto vario di un fluido pesante incomprimibile

Per la regola di derivazione euleriana si ha:

zz

y

y

xxxzyxxx V

z

VV

y

VV

x

V

t

V

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

t

V

dt

dV

+

+

+

=

+

+

+

= (6.38)

Nella maggior parte dei casi nei moti di filtrazione il termine delle accelerazioni convettive

trascurabile in quanto risultano piccole sia le velocit di filtrazione che le loro derivate parziali

rispetto allo spazio. Quindi si possono trascurare i termini:

zz

y

y

xx V

z

VV

y

VV

x

V

,, (6.39)

Pertanto le equazioni (6.17), tenuto conto delle equazioni (6.36), possono essere scritte nella

seguente forma:

x

x

x Vf

g

x

p

t

V

=

1 (6.40)

y

y

yV

f

g

y

p

t

V

=

1

(6.41)

z

z

z Vf

gg

z

p

t

V

=

1

(6.42)

o in termini di quota piezometrica:


51/166


6-51

=+

+

=++

=+

+

01

01

01

z

zz

y

yy

x

xx

f

V

z

h

t

V

g

f

V

y

h

t

V

g

f

V

x

h

t

V

g

(6.43)

Alle equazioni del moto cos ottenute va aggiunta lequazione di continuit (6.22)che nel caso di

fluido incomprimibile (=cost.) assume la seguente forma:

0=

+

+

z

V

y

V

x

V zyx (6.44)

Notevoli ulteriori semplificazioni al sistema di equazioni precedente possono essere effettuate per i

seguenti casi particolari:

1- moto permanente,

2- moto piano,

3- moto a simmetria radiale.

Nel caso di moto permanente le velocit sono indipendenti dal tempo e pertanto dalla (6.43) si

ottengono le espressioni delle tre componenti di velocit:

,h

fV xx

=y

hfV yy

=

z

hfV zz

= (6.45)

Se si introducono tali equazioni nellequazione di continuit (6.44)si ottiene:

0=

+

+

z

hk

zy

hk

yx

hk

x zyx (6.46)

che nel caso di mezzo isotropo si riduce all'EQUAZIONE DI LAPLACE:

02

2

2

2

2

2

=

+

+

z

h

y

h

x

h (6.47)

Lequazione di Laplace pu essere risolta con svariate tecniche di risoluzione delle quali si parler

nel seguito. Di particolare importanza, per la semplicit formale delle soluzioni il caso delle falde

artesiane. Basta qui accennare che esistono due metodi di risoluzione pi diffusi.

- La teoria dei moti a potenziale, che sar trattata nel capitolo 8, particolarmente idonea alla

soluzione dellequazione di Laplace nelle falde artesiane.

- Lequazione integrata nei modelli numerici per le acque sotterranee.


52/166


6-52

Nel caso di moto piano velocit e pressione sono funzione solo di due coordinate. Vi sono numerosi

casi importanti in cui le caratteristiche principali del moto di filtrazione (velocit e pressione) sono

funzioni di due sole coordinate. In tal caso ogni particella fluida si muove in un piano, le linee di

corrente sono linee curve contenute in un piano, e le superfici isopiezometriche sono superfici

cilindriche con generatrici perpendicolari a tali piani.

Le equazioni del moto sono quindi:

;x

hfV xx

=

y

hfV yy

= (6.48)

e lequazione di continuit:

0=+

y

v

x

v yx (6.49)

Ovvero in definitiva:

02

2

2

2

=

+

y

h

x

h (6.50)

La soluzione di tale equazione differenziale fornisce la funzione: h = f (x, y) e le linee

isopiezometriche hanno equazione: f (x, y) = cost

Nel caso dei moti assialsimmetrtrici le coordinate che entrano in gioco sono polari. Il raggio

langolo:

;r

hkvr

=

=r

hkv (6.51)

E quindi lequazione del moto diventa:

01

2

2

=

+

h

rr

hr

r (6.52)

in una forma molto pi semplice.


53/166


7-53

7. Campi di moto in falda artesiana

7.1. Emungimento da falda artesiana conf inata

Si consideri una falda artesiana sub-orizzontale di notevole estensione planimetrica, di spessore

costante e costituita da un mezzo poroso omogeneo ed isotropo (Figura 7.1).

Figura 7.1 Falda artesiana confinata

Facendo le seguenti ipotesi:

La falda ipotizzata originariamente in quiete,

il piano dei carichi idrostatici relativo orizzontale (a-a),

si considera un pozzo che attraversa completamente la falda,

si emunge dal pozzo, tramite una pompa, una portata Q,

per le caratteristiche della falda e del pozzo le velocit di filtrazione saranno vettori

orizzontali e diretti verso il pozzo.Si in presenza di un problema a simmetria radiale: quelle in figura (fig. 7.1.) sono le tracce della

stratigrafia, delle pareti del pozzo e della superficie piezometrica su uno degli infiniti piani verticali

passanti per lasse del pozzo.

Le isopieziche sono verticali anche in presenza di emungimento,

la superficie piezometrica si deprime verso il pozzo,

si chiami labbassamento della piezometrica rispetto alla piezometrica statica allinterno

del pozzo.


54/166


7-54

Per determinare landamento della piezometrica corrispondente allemungimento della portata Q si

applichi lequazione di continuit al volume di falda compreso tra il pozzo ed una superficie

isopiezica a distanza r dallasse del pozzo.

La superficie isopiezica considerata rappresentata dalla superficie esterna di un cilindro di altezza

s e raggio r:

rs2Vrs2nVQ == (7.1)

La velocit di filtrazione infatti ortogonale alla superficie isopiezica

Ed ancora per la legge di Darcy risulta:

rs2dr

dhQ f= (7.2)

Riordinando si ottiene:

dhQ

s2

r

dr f= (7.3)

Ed integrando per parti si ha:

costrlns2

Qh +=

f (7.4)

Dalla fig. 7.1. si nota che la superficie piezometrica un conoide di rivoluzione intorno allasse del

pozzo. Se si assume che ad una distanza sufficientemente grande (r=R) la piezometrica sia

indisturbata (h=H), risulta:

Rlns2

Q-Hcost

f= (7.5)

Da cui lespressione della superficie piezometrica:

rRln

s2QHh

f= (7.6)

7.2. Prove di emungimento per falde artesiane

Lobiettivo finale di una prova di emungimento consiste nel determinare dei parametri della falda su

una scala piuttosto ampia (fig. 7.2.1.). Infatti quando si caratterizzano le falde generalmente non si


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7-55

caratterizza un solo campione di terreno mediante un permeametro, ma si cerca di caratterizzare la

falda nel suo insieme sfruttando le relazioni tra gli abbassamenti alle diverse distanze dal pozzo e la

portata emunta dal pozzo. La dimensione dellarea che andiamo a caratterizzare confrontabile con

il raggio di influenza del pozzo.

Figura 7.2 Passaggio da campi eterogenei a dominio omogeneo

Esistono due modi per caratterizzare un acquifero.Il primo consiste nel fare una prova di emungimento in condizioni di moto permanente. Si realizza

un pozzo di prova oppure si pu utilizzare un pozzo gi esistente dal quale si emunge una portata

sufficiente a determinare un abbassamento del pozzo stesso per trovare una relazione tra Q,

labbassamento e la trasmissivit idraulica.

Se ci si trova in condizioni di moto permanente, esiste un legame tra labbassamento nel pozzo, la Q

emunta e il prodotto tra il coefficiente di filtrazione e lo spessore dell acquifero.

Ad ogni distanza r dal pozzo esiste una quota piezometrica (h) ridotta rispetto a quella del livelloindisturbato secondo il logaritmo tra la distanza a cui viene misurato labbassamento e il raggio di

influenza del pozzo (Figura 7.3).


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7-56

Figura 7.3 Variazione quota piezometrica (h) in funzione della distanza r

Nelle falde di piccolo spessore, basta conoscere la trasmissivit dellacquifero per caratterizzare in

ogni punto lacquifero. In questo modo basterebbe misurare labbassamento dellacqua nel pozzo a

regime durante la prova.

Questa prova per imprecisa, uno dei problemi che c un condizionamento del foro, per la

presenza del ghiaietto, del tubo con le sfinestrature, di conseguenza ci sono dei fenomeni per cui il

livello dellacqua nel pozzo non rappresenta la quota piezometrica nel mezzo poroso. Quindi se si

operasse in questo modo per determinare il coefficiente di filtrazione per la trasmissivit, si

commetterebbe un errore, in quanto si andrebbe a sovrastimare il dislivello complessivo tra la quota

piezometrica allesterno del pozzo e quella indisturbata.

Un modo per ovviare a questo problema non fare affidamento sul livello interno del pozzo, ma di

realizzare due piezometri ad una certa distanza dal pozzo e di valutare labbassamento tra i

piezometri (Figura 7.4) utilizzando il metodo di Thiem.

Figura 7.4 Dislivello piezometrico d tra una coppia di piezometri alle distanze r1ed r2


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7-57

Gli abbassamenti tra i due livelli piezometri nei singoli piezometri rispetto alla falda indisturbata

sono dati da:

11 ln2 r

R

T

Qh

= (7.7)

22 ln2 r

R

T

Qh

=

(7.8)

Sottraendo le due relazioni membro a membro, si ottiene lespressione del dislivello dtra le letture

dei due piezometri:

1

212 ln2 r

r

T

Qhh

==

(7.9)

Nellespressione (7.9) si osserva un effetto benefico perch compare il dislivello tra i due

piezometri dh1-dh2e scompare il raggio di influenza del pozzo, quindi scompare lassunzione fatta

sulle condizioni al contorno. Il risultato di questa prova d un valore che non affetto da ipotesi sul

raggio di influenza. Dalla lettura di de dalla misura della portata emunta si ricava si ricava il valore

della trasmissivit T utilizzando lespressione:

1

2ln2 r

rQT

=

(7.10)

Il difetto di questa prova (anche se semplice perch consente di conoscere la trasmissivit nota la

Q emunta, il dislivello tra i 2 piezometri e la distanza dei piezometri dallasse del pozzo) che si

deve operare in condizioni di moto permanente, che generalmente si raggiungono in tempi molto

lunghi e difficilmente stimabili in quanto se si vedono le relazioni tra il tempo e labbassamento, gli

abbassamenti saranno molto rapidi allinizio e poi il livello tende a stabilizzarsi in maniera

asintotica. Per questo anche difficile stabilire quanto si distanti dalle condizione di regime.

Generalmente non sufficiente fare le prove con solo due piezometri perch nel mezzo ci saranno

sicuramente delle anisotropie, delle disomogeneit. Quindi anche se si vuole trattare il mezzo come

omogeneo ed isotropo conviene determinare la trasmissivit su pi coppie di piezometri.

Generalmente si dispongono quattro coppie di piezometri (Figura 7.5) e si valuta la trasmissivit

separatamente per le quattro coppie. Ci permette di verificare se ci sono anisotropie e

disomogeneit, e di conseguenza permette di fare la media dei valori ed inoltre permette di


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7-58

confrontare i valori ottenuti in una direzione con quelli in unaltra e vedere se si differenziano di

ordini di grandezza.

Figura 7.5 Disposizione tipica di quattro coppie di piezometri

Per risolvere il problema del tempo di attesa possibile svolgere delle prove che non sono effettuate

in condizioni di moto permanente, ma in condizioni di moto vario al costo per di una maggiore

complessit nella elaborazione dei risultati (metodo del Theis). Tale metodo importante perch

mette in evidenza alcune problematiche che hanno luogo nelle falde artesiane. Nel caso di moto

vario non basta pi la misura statica allinterno del pozzo che veniva fornita immettendo un cavo

con degli elettrodi dove nel momento in cui cera il contatto con lacqua, veniva inviato il segnale insuperficie. Nel caso del moto vario, infatti, occorre avere una persona che ripete le misure svariate

volte oppure un apparecchio che rileva in maniera automatica e memorizza i dati.

Utilizzando il metodo di Theis la difficolt di interpretare il fenomeno deriva dal fatto che nel

momento in cui c il transitorio, ci saranno delle variazioni sia delle caratteristiche morfologiche

del mezzo poroso, ma anche delle caratteristiche del fluido. In particolare quando, facendo variare

in un certo punto la quota piezometrica (ad esempio emungendo o ripompando), aumenta o

diminuisce la pressione (Figura 7.6). Se varia la pressione ci possono essere degli effetti sia sulladensit del fluido che sulla porosit dellammasso. Ovviamente si stanno considerando variazioni di

pressione consistenti, che si possono verificare nelle falde artesiane, perch in quelle freatiche

generalmente le variazioni di pressione sono dellordine dello spessore dellacquifero perch pi

che deprimere la superficie della falda non si pu fare. Invece nelle falde in pressione possiamo

rilevare delle forti variazioni di pressione.


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7-59

Figura 7.6

Per comprendere gli effetti sullo scheletro

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