I Sistemi di riferimento

Un Sistema di Riferimento (SR) è un insieme di regole e misure che ci permettono di rispondere ai quesiti

dove si trova un punto? quando è avvenuto un evento?

Un sistema di riferimento deve permettere di vincolare tutti i gradi di libertà del quesito.

Esigenze storiche e strumentali,

nonché differenti applicazioni hanno portato alla definizione di differenti SR per georeferenziare punti e per temporeferenziare eventi.

Noi misuriamo angoli e distanze fra punti al suolo o verso stelle o satelliti, non posizioni

rispetto a geocentro, asse di rotazione e meridiano fondamentale.

I sistemi di riferimento sono materializzati mediante reti di punti fondamentali le cui posizioni sono state già stimate e rispetto ai quali vengono stimate sottoreti di punti

Caposaldi e stazioni permanenti.

Alcuni cenni di dinamica terrestre

Per la successiva discussione dei SR adottati in geodesia è necessario introdurre alcuni cenni

di dinamica e fisica terrestre.

Il nostro pianeta compie ciclicamente un’orbita ellittica intorno al Sole (moto di rivoluzione): il periodo di rivoluzione è di 365.25 giorni solari; il piano contenente l’orbita

terrestre è detto piano dell’eclittica;

Il pianeta inoltre ruota intorno al proprio asse (moto di rotazione): il periodo di rotazione è di 1 giorno solare; asse di rotazione terrestre e asse ortogonale al piano dell’eclittica formano

un angolo di circa 23° 27’.

I moti dell’asse di rotazione terrestre

L’asse di rotazione terrestre compie due moti conici nello spazio:

Moto di precessione: un moto con angolo al centro di 23°27’ e con periodo di 25800 anni;

Moto di nutazione:

un moto oscillatorio intorno al moto di precessione: con ampiezza angolare di 9.2” e con periodo di 18.6 anni.

Inoltre il pianeta “oscilla” rispetto al proprio asse di rotazione; ovvero, per un osservatore solidale al pianeta, la posizione del polo rispetto alla superficie terrestre cambia nel tempo: il moto è solo approssimativamente conico, ha periodo di circa 435 giorni e ampiezza di circa

0.1”-0.2”. Tale fenomeno prende nome di

fenomeno di polar motion o Chandler Wobble:

(© 1997 Dr. Sten Odenwald)

EOP del 2004 Posizione dell'asse di rotazione

Nota: 0.1''≅ 3 m

Lunghezza del giorno

La Terra In prima approssimazione è composta di strati concentrici

Nucleo interno solido, raggio di circa 1225 Km ferro e nichel, ρ ≅ 13gr / cm3

Nucleo esterno fluido, spessore 2270 Km, ferro e nichel, ρ ≅ 11gr / cm3

Mantello interno, 2200 Km, molte componenti, ρ ≅ 5gr / cm3

Mantello esterno, 645 Km, silicati di magnesio, ρ ≅ 3.5gr / cm3

Crosta, da 5 a 60 Km, ρ ≅ 2.8gr / cm3 Significativi spostamenti interni: la crosta si muove 'galleggiando' sul mantello Significative eterogeneità: il campo di gravità terrestre non è sferico

Alcune definizioni

Sfera celeste: sfera di raggio unitario centrata sulla Terra (considerata puntiforme) sulla quale vengono proiettati gli astri; per un osservatore solidale alla Terra la sfera appare ruotare da est a ovest intorno all’asse di rotazione terrestre.

Equatore celeste: proiezione del piano equatoriale sulla sfera celeste. Eclittica: proiezione dell’orbita apparente del Sole sulla sfera celeste. Punti equinoziali: intersezione dell’eclittica con l’equatore celeste; γ: equinozio di primavera, γ’ equinozio d’autunno.

Per i moti di precessione e nutazione equatore celeste e punti equinoziali variano nel tempo; data un’epoca, sottraendo all’equatore celeste e ai punti equinoziali effettivi gli effetti della

nutazione si ottengono Equatore Celeste Medio e Punti Equinoziali Medi per quell’epoca. In particolare si definiscono:

Equatore Celeste e Punto Equinoziale γγ di riferimento.

Equatore e punto equinoziale di primavera medi per le ore 12 del 01.01.2000 (epoca J2000).

Posizione convenzionale del polo per un certo intervallo La media delle posizioni del polo rispetto alla superficie del pianeta (ovvero la media

rispetto al Chandler Wobble) in un determinato intervallo di tempo.

In particolare:

Origine Convenzionale Internazionale (CIO): media sugli anni 1900-1905;

Polo Convenzionale Terrestre (CTP): ridefinizione del 1984 del Bureau International dell’Heure (BIH).

Altri moti della massa costituente il pianeta

Fenomeni periodici maree oceaniche; oscillazioni della distribuzione delle acque dovute

all’attrazione gravitazionale di Sole e Luna: da pochi decimetri a diversi metri

maree terrestri; oscillazioni della distribuzione delle masse solide dovute all’attrazione gravitazionale di Sole e Luna: alcuni decimetri!

carico oceanico e atmosferico; deformazioni della crosta terrestre, dovute alle oscillazioni di

massa oceanica e atmosferica: alcuni centimetri!

Periodi fondamentali dei precedenti fenomeni: sottomultipli dei periodi di orbita relativa di sole e luna rispetto a un osservatore solidale alla terra

Fenomeni non periodici

La crosta del pianeta è interessata da fenomeni di: moto orizzontale (tettonica delle placche, 2-3 cm/anno), moto verticale (teoria dell’isostasia, fino a 40 cm/anno).

Quindi:

i SR per il posizionamento terrestre devono descrivere una realtà fisica variabile nel tempo, realizzare un SR implica la stima o la conoscenza esatta a priori di tutti questi fenomeni.

La variazione nel tempo delle coordinate di punti

A causa della geodinamica globale e delle deformazioni locali, ogni punto della superficie terrestre si muove e le sue coordinate sono funzione del tempo

x P = x P (t)

Un ipotesi di modello lineare viene usualmente adottata per descrivere il moto geodinamico.

x(t) = x0 + (t − t0 ) !x

Chiaramente in caso di terremoti, rotture o deformazioni strutturali, frane stagionali l'ipotesi di moto lineare cade.

Definita tD l'epoca della discontinuità

x(t) = x0 + (t − t0 ) !x, t < tD

x(t) = x0 +δx + (tD − t0 ) !x + (t − tD )( !x +δ !x), t ≥ tD

⎧⎨⎩⎪

Arequipa (Perù)

IGS estimated coordinates.

The discontinuity (35 cm) corresponds to the June 2001

earthquake.

(in this case, the depicted linear regression is meaningless.

Sistemi di Riferimento in Geodesia

Viene data una definizione formale, cui segue la realizzazione del SR,

mediante osservazioni fisiche e geometriche (campo di gravità, distanze, angoli), al suolo e dallo spazio (livellazioni, osservazioni a stelle fisse).

Per realizzare un SR si deve fornire

un catalogo di punti fondamentali di coordinate stimate coerenti con la definizione del SR,

rispetto ai quali determinare la posizione di nuovi punti.

Poiché ogni realizzazione di un SR dipende dalle osservazioni utilizzate, realizzazioni diverse della stessa definizione di SR possono differire fra loro.

Sistemi di riferimento astronomici (inerziali o quasi inerziali)

Origine nel centro di massa dei corpi celesti, direzioni degli assi definite da direzioni astronomiche fisse; vengono utilizzati per lo studio del moto degli astri e dei satelliti.

Sistema di Riferimento Convenzionale Celeste (SRCC)

E’ definito da:

origine nel baricentro terrestre; asse Z ortogonale all’Equatore Celeste di Riferimento; asse X definito dal Punto Equinoziale γ di riferimento, asse Y tale da completare una terna destrorsa. Il SRCC viene utilizzato per il calcolo e la descrizione delle orbite dei satelliti terrestri, come quelli GPS. Il SRCC non è solidale alla rotazione della Terra,

quindi non è adatto per rappresentare la posizione di punti materializzati sulla sua superficie.

I Sistemi di Riferimento Terrestri

SR globali Definiti e coerenti su scala planetaria, realizzati mediante reti globali di stazioni permanenti che utilizzano metodi della geodesia satellitare (VLBI, SLR e GNSS) per stimare la propria

posizione e il proprio spostamento nel tempo.

SR locali Orientati e definiti su scala locale mediante reti locali, regionali, nazionali, continentali di

stazioni permanenti GNSS oppure punti fondamentali planimetrici e altimetrici, la cui posizione relativa viene stimata mediante misure di angoli, distanze e dislivelli.

I sistemi di riferimento locali hanno diverse applicazioni, dalla cartografia al monitoraggio, anche di strutture

SR continuamente monitorati

Materializzati mediante reti di stazioni in osservazione quasi continua Le coordinate e quindi gli spostamenti vengono monitorate con continuità

SR statici Realizzati mediante caposaldi rilevati in una singola campagna: le coordinate sono stimate

per quell'epoca ma non sono monitorate.

Il SR di Riferimento Convenzionale Terrestre (International Terrestrial Reference System)

L’ITRS è definito da:

origine nel centro di massa convenzionale della Terra; asse Z passante per il Polo Convenzionale Terrestre (BIH 1984); asse X definito dall’intersezione fra piano meridiano di riferimento (piano meridiano passante per il punto fondamentale di Greenwich, BIH 1984) e piano equatoriale terrestre (BIH 1984); asse Y tale da completare la terna destrorsa.

Le reti di stazioni permanenti per la realizzazione dell’ITRS

Sostanzialmente 3 metodi affini (ma non uguali) di osservazione:

VLBI: Very Long Baseline Interferometry

SLR: Satellite Laser Ranging

GPS: Global Positioning System

realizzati da stazioni di osservazione monumentate in modo stabile, che operano continuativamente nel tempo.

La rete globale VLBI (International VLBI Service)

http://ivscc.gsfc.nasa.gov/ivs.html

Circa 30 stazioni, realizzate mediante appositi radiotelescopi Le stazioni effettuano contemporaneamente misure a quasar:

sostanzialmente le osservazioni derivate sono: angoli di osservazione dalle singole stazioni, differenze di distanza dai quasar alle stazioni.

La rete globale SLR (International SLR Service)

http://ilrs.gsfc.nasa.gov/

Circa 90 stazioni attive nel pianeta, realizzate mediante cannoni laser orientabili

Le singole stazioni effettuano misure sui tempi di andata e ritorno del fascio laser dal cannone a satelliti artificiali in orbita geocentrica

Nuovamente un’osservazione derivata di distanza

La rete globale GPS (International GPS Service)

http://igscb.jpl.nasa.gov/

Circa 400 stazioni realizzate mediante ricevitori GPS operanti 24 ore su 24 che effettuano osservazioni di pseudo-distanza ai satelliti della costellazione GPS.

Una stazione permanente GNSS

Un ricevitore GNSS operante in continuo

che pubblica i dati grezzi,

se correttamente monitorato, pubblica le serie di coordinate .

Gli scopi geodetici delle reti globali

Dal 1988 i risultati forniti dalle singole metodologie vengono analizzati congiuntamente presso lo IERS (International Earth Rotation Service),

http://hpiers.obspm.fr/

sottocommissione di IAG e IAU, i cui scopi sono di determinare

i parametri di orientamento e di rotazione terrestre (EOP)

il Sistema di Riferimento Internazionale Celeste il Sistema di Riferimento Internazionale Terrestre

le deformazioni in atto sulla crosta terrestre

La realizzazione dell’ITRS: l’ITRF (ITR Frame)

http://lareg.ensg.ign.fr/

Il numero di SP (VLBI, SLR, GPS) aumenta; gli algoritmi di stima si raffinano. Quindi le stime di ITRF (ovvero i cataloghi) si evolvono; si sono avuti:

ITRF89, …, ITRF2005, ITRF2008.

Una realizzazione di ITRS (ITRF) consiste nel catalogo delle coordinate delle Stazioni Permanenti che hanno contribuito alla soluzione Nell’immagine, le SP utilizzate nella soluzione ITRF2008

Per ogni stazione del catalogo vengono stimate e fornite posizione cartesiana geocentrica X0 (e relativa covarianza), velocità annuale

!X0 (e covarianza) all’epoca di riferimento per la

soluzione 0t .

Posizione e velocità ITRF2008 di alcune stazioni permanenti GPS italiane

Nome ( )X m ( )Y m ( )Z m !X (m / y) !Y (m / y) !Z(m / y) Bolzano 4312657.485 864634.660 4603844.443 -0.0153 0.0172 0.0120 Matera 4641949. 557 1393045.422 4133287.465 -0.0181 0.0189 0.0149 Cagliari 4893378.822 772649.783 4004182.164 -0.0133 0.0197 0.0125

La stima della posizione della stazione a una generica epoca 0tt ≠ , è data dalla

)()( 000 ttt −⋅+= XXX , Cxx (t) = Cx0x0 + (t − t0 )2C !x !x

Il sistema di riferimento adottato per l’Europa: European Terrestrial Reference System 1989.0, ETRS89 Definizione: Coincidente con ITRS nel 1989.0, ma solidale al moto della placca media Europea (ovvero centro Europa). Realizzato dalla commissione IAG European Reference Frame (EUREF), mediante la rete di SP GPS European Permanent Network (EPN) Per ogni realizzazione ITRFyy una realizzazione ETRFyy fino a ITRF2000/ERTF2000:

Stima delle coordinate e delle velocità. (rispetto alla placca media Europea) delle SP europee in ETRS89, stima dei parametri di trasformazione da ITRS a ETRS, distribuzione di coordinate e dei parametri di trasformazione. Finalità di ETRS89 Fornire una descrizione statica del territorio Europeo per tutte le applicazioni cartografiche/geomatiche

La transformazione da ITRF a ETRF Le coordinate ITRF sono trasformate mediante la

x(t)P,E = t(t)+ (1+ µ(t))R(t)x(t)P,I

R(t) = R(t0 )+ (t − 2000.0) !R,t(t) = t0 + (t − 2000.0)!t,µ(t) = µ0 + (t − 2000.0) !µ

In questo modo il moto medio dell'Europa dal 1989.0 all'epoca corrente viene sottratto: il moto dal 1989.0 al 2000.0 è nei parametri di trasformazione costanti; il moto dal 2000.0 a oggi è la parte lineare nel tempo. I parametri di trasformazioni ufficiali e le loro derivate sono date nei documenti ufficiali EUREF In alternativa le procedure sono implementate nel sito WEB di EUREF

Realizzazioni europea e italiana dell’ITRF: ETRF89 e IGM95

ETRF89 rappresenta la realizzazione 1989 di ETRS89. La nuova rete geodetica fondamentale italiana, monumentata e rilevata dall’Istituto Geografico Militare Italiano (IGMI) e denominata IGM95, si compone di circa 1250 caposaldi sul territorio nazionale le cui coordinate sono calcolate e monografate in ETRF89: quindi IGM95 è un raffittimento nazionale di ETRF89.

Nell’immagine, il quadro d’unione per IGM95 http://www.nettuno.it/fiera/igmi/igmit.htm

Esempio di monografia per un caposaldo di raffittimento IGM95

Problemi di ETRS89 e di ETRF89-IGM95 ETRS89 rappresenta staticamente un mondo dinamico: esigenza cartografica reale? In Italia differenze fra ETRS89 e ITRS dell’ordine di 50-60 cm in planimetria. L’Italia non appartiene omogeneamente alla placca Europea: per il nostro territorio ETRS89 è concettualmente deformante. Deformazioni di alcuni centimetri fra Nord e Sud della nazione. ETRF89-IGM95 presenta ulteriori deformazioni, perché strumenti, metodi di elaborazione, vincoli utilizzati in compensazione, erano meno accurati di quanto oggi potenzialmente ottenibile con il GPS. Deformazioni di ETRF89-IGM95 rispetto a (alle realizzazioni più. recenti di) ETRS89: su scala regionale 2-3 cm, localmente errori sino a 10 cm. Difficilmente riconducibili a una trasformazione di similarità. su scala nazionale.

Il nuovo sistema di riferimento nazionale: Rete Dinamica Nazionale http://87.30.244.175/rdn/rdn.php La Rete Dinamica Nazionale (RDN) ha lo scopo di organizzare, sul territorio italiano, un network di stazioni permanenti GPS stabilmente materializzate, che osservano con continuità. i segnali satellitari GNSS e li trasmettono per via telematica ad un Centro di Calcolo appositamente istituito presso IGM. RDN è composta da 99 stazioni permanenti GPS di proprietà. di Enti Pubblici, omogeneamente distribuite in modo da consentire in seguito l’accesso al Riferimento Globale su tutto il territorio nazionale Lo scopo fondamentale del progetto è quello di permettere all'IGM la materializzazione ed il

monitoraggio di precisione, sul territorio nazionale, del Sistema di Riferimento Globale. La rete è stata inquadrata in ETRF2000. Come riferimento temporale è stato scelto, secondo le più. recenti direttive EUREF, un'epoca attuale: la 2008.0. RDN è stata infine utilizzata per inquadrare nuovamente la rete IGM95 Aggiornamento delle coordinate dei punti IGM95 dalla realizzazione ETRF89 alla nuova realizzazione ETRF2000 (http://87.30.244.175/rdn/calcola_differenze.php) Per aggiornare le coordinate dei punti IGM95 dalla realizzazione ETRF89 alla nuova realizzazione ETRF2000, è sufficiente inserire il codice del punto in una maschera on-line. Vengono restituite 5 quantità (Δφ, Δλ e Δh ; ΔN e ΔE) da sommare algebricamente ai valori di latitudine, longitudine, quota ellissoidica e coordinate piane UTM (Nord ed Est) della scheda monografica del punto in ETRF89. I valori forniti per il punto principale (CT-GPS) sono validi anche per gli eventuali punti associati.

Il geoide

La forza gravitazionale generata da una massa M puntiforme su un corpo di massa unitaria posto a distanza r è data dalla

rF 3rMG−=

ove G è la costante di gravitazione universale, 2139 sec107.66 −−−⋅= gcmG .

Alla forza gravitazionale è possibile associare un potenziale (potenziale gravitazionale)

rMGV =

tale per cui

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

∂∂==

ZV

YV

XVgradV ,,F

Caso Terrestre: corpo esteso e disomogeneo, in rotazione

Il potenziale gravitazionale che la Terra esercita in un punto P è dato dall’integrale esteso a

tutta la distribuzione di massa del pianeta

∫∫∫=Terra PQr

dmGV )()( QP

Si consideri inoltre il moto di rotazione, supponendo che avvenga intorno all’asse Z con velocità angolare costante ω. Alla forza gravitazionale si aggiunge la forza centrifuga che, in

un punto ],,[ ZYX=P solidale al moto di rotazione, è data da

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ω=

0

2 YX

f

Anche alla forza centrifuga si può associare un potenziale

)(2

),,( 222

YXZYX +ω=Φ

Si consideri ora la somma delle forze agenti su un punto, dovute alla gravitazione del pianeta

e alla rotazione del SR; si consideri la somma dei potenziali associati a tali forze:

),,(),,(),,( ZYXZYXVZYXW Φ+=

W prende il nome di potenziale di gravità terrestre;

il suo gradiente )(Wgrad=g è definito forza di gravità terrestre;

le unità di misura usualmente adottate in geodesia per g=g sono

il gal, 211scmgal = e il mgal, galmgal 3101 −= .

Le superfici equipotenziali per W e il geoide

Si considera il potenziale di gravità W(X,Y,Z). Dato uno spostamento infinitesimale dX

( TdZdYdX ],,[=dX ) nello spazio si ha sempre

dXgdXdX ⋅=⋅= gradWdW )(

Si consideri ora la generica superficie equipotenziale per W, ovvero la superficie di equazione

cost),,( 0 ==WZYXW

per uno spostamento dX sulla superficie 0WW = si ha 0)( 0 =WdW dX ; quindi 0WdXg⊥ ovvero

),,(0 ZYXW⊥g

ovvero una superficie equipotenziale di gravità è ortogonale in ogni suo punto

alla forza di gravità stessa.

Evidentemente, considerata la forza di gravità terrestre, esistono infinite superfici equipotenziali, in funzione della scelta del valore W0.

Quella particolare superficie equipotenziale passante per un insieme di punti definenti il livello medio dei mari è definita geoide.

La Terra è un corpo disomogeneo e di forma solo approssimatamente simmetrica; quindi la superficie del geoide, pur essendo abbastanza liscia, è irregolare e non descrivibile mediante

semplici funzioni analitiche: si ricorre in genere a sviluppi in armoniche sferiche.

Si definisce ondulazione del geoide N(ϕϕ ,λλ) rispetto a un ellissoide di riferimento nel punto di coordinate geodetiche (ϕ, λ) lo scostamento del geoide rispetto all’ellissoide.

Dato un ellissoide di rotazione i cui parametri di forma siano scelti opportunamente, lo scostamento massimo fra geoide e tale ellissoide è di 100 m

Nota

Il geoide non coincide mai con il livello istantaneo degli oceani: su di essi infatti, oltre alla forza di gravità terrestre , agiscono continuamente

altre forze perturbative, periodiche (maree) e non (correnti oceaniche); si può però affermare che, il geoide coincide con la superficie ideale che

assumerebbero gli oceani se su di essi agisse solo la forza di gravità terrestre e se essi potessero prolungarsi sotto le terre emerse.

Ondulazione del geoide secondo il modello globale EGM96, dal sito:

http://cddisa.gsfc.nasa.gov/926/egm96/egm96.html

Le stime di geoide globali e locali

La conoscenza di N (e di altri funzionali del potenziale di gravità) può essere fornita tramite stime (modelli) globali e stime (modelli) locali.

Stime/modelli globali (per l’intero pianeta):

vengono determinate facendo uso di dati derivati da misure a terra e da satellite per l’intero pianeta. Hanno validità globale e sono riferite ad un ellissoide geocentrico (generalmente il

GRS80). Sono tipicamente disponibili liberamente e hanno precisioni circa metriche.

Stime/modelli locali (per una regione limitata): vengono determinate a partire da dati ricoprenti un certo territorio di interesse,

tipicamente a scala continentale o nazionale: hanno ambito limitato, ovvero il territorio cui si riferiscono i dati,

ma sono in genere più accurate delle stime globali.

Un esempio di modello globale

La maschera di calcolo di N secondo il modello globale EGM96, presso il sito WEB del NIMA.

Modelli locali: il modello ITALGEO per l’Italia ITALGEO è il modello locale ufficiale per l’Italia. Viene stimato e periodicamente aggiornato dal DIIAR del Politecnico di Milano, su convenzione per l’IGMI, che ne cura la distribuzione al pubblico. La stima più recente è ITALGEO99. Le ondulazioni N sono stimate e memorizzate per i nodi di una griglia regolare in ϕ e λ (con passo di 2' x 2') e sono riferite all’ellissoide GRS80. Per un generico punto del territorio la stima può essere ricavata (mediante interpolazione non banale) a partire dalle stime nei nodi circostanti il punto. La precisione è decimetrica in assoluto, di circa 1 parte per milione (ppm) in relativo. In figura, ondulazione del geoide secondo il modello ITALGEO95 (Barzaghi et al., 1995)

Le coordinate geodetiche in un SR 3D: l’ellissoide di riferimento

Nelle applicazioni di posizionamento terrestre occorre una superficie geometrica di riferimento descritta da pochi parametri che ben approssimi la forma della Terra, rispetto alla

quale sia definibile e utilizzabile in pratica un sistema di coordinate:

l’ellissoide di rotazione

L’ellissoide di rotazione è una figura geometrica che coniuga semplicità d’uso e consistenza con la forma del pianeta.

L’ellissoide si presta dunque per descrivere le coordinate planimetriche di punti rispetto alla superficie terrestre.

Definiamo ellissoide di rotazione con centro nell’origine del SR il luogo dei punti X, Y, Z

tali che

12

2

2

22=++

bZ

aYX

ove a semiasse maggiore o equatoriale; b semiasse minore o polare. In funzione dei parametri a e b si possono definire:

l’eccentricità

e lo schiacciamento

Forma e dimensioni di un ellissoide sono determinate dalla scelta dei suoi parametri: in

applicazioni di posizionamento terrestre l’ellissoide viene scelto in modo da approssimare al meglio il geoide terrestre (vedi oltre); nella storia, con il miglioramento delle stime della

forma del geoide, si sono progressivamente adottati differenti ellissoidi; fra questi

Ellissoide a (m) f

Internazionale (Hayford, 1924)

6378388 1/297

WGS84 6378137 1/298.257223563 GRS80 6378137 1/298.257222101

A titolo di esempio si ricorda che, rispetto all’ellissoide GRS80, il geoide presenta

scostamenti a media nulla e con valori massimi di ≅ 100 m.

Geoide e ellissoide: gli scostamenti sono magnificati di un fattore 1000 per permetterne la

percezione visiva.

Le coordinate geodetiche di un punto P

Dato un SR e il relativo ellissoide associato le coordinate geodetiche di P sono definite da

ϕ: (latitudine geodetica): angolo fra la

normale all’ellissoide passante per P e il piano equatoriale [X,Y]; λ: (longitudine geodetica): angolo antiorario fra il piano meridiano per P

e il piano meridiano origine [X,Z]; h: (quota ellissoidica)

distanza lungo la normale all’ellissoide fra l’ellissoide stesso e P.

La relazione fra coordinate cartesiane e geodetiche di P è data da

PPP

PPPP

PPPP

heNZ

hNYhNX

ϕ+−=

λϕ+=λϕ+=

sin])1([

sincos)(coscos)(

2

ove ,

N è definito grannormale (da non confondere con l’ondulazione del geoide).

Il passaggio [ϕ, λ, h]P → [X, Y, Z]P è immediato; il passaggio inverso richiede qualche conto, ma è comunque ben definito.

In genere viene svolto in modo iterativo:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=λXYarctan

per ϕ e h si considera la seguente uguaglianza:

ϕ+

+−=

+ ϕ

ϕ tan)1( 2

22 hNheN

YX

Z

alla prima iterazione si trascura la quota, ottenendo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+=ϕ 2221

1

1arctaneYX

Z , )sin1( 1

221ϕe

aN−

= , 11

221 cos

NYXh −ϕ+=

quindi si itera, utilizzando per ogni iterazione

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+

+=ϕ

−−

−−

12

1

1122 )1(

arctanii

iii

heNhN

YX

Z , )sin1( 22i

ie

aNϕ−

= , ii

i NYXh −ϕ+=

cos

22

il procedimento si arresta allorché stime successive di ϕ e h non differiscono in modo

significativo.

La trasformazione di Molodensky.

Si è visto come trasformare le coordinate cartesiane di un punto da un SR ad un altro mediante una rototraslazione con fattore di scala (R.T.c.f.s.). Esiste anche un metodo per il calcolo diretto della trasformazione delle coordinate geodetiche fra SR (trasformazione di

Molodensky), sempre a 7 parametri, ovvero, anziché la SRISRI ZYXZYX ],,[RTcfs],,[ ⇔⇔

si può usare la

SRISRI hh ],,[Molodensky],,[ λϕ⇔⇔λϕ

Svantaggi Formulazione più complessa e meno intuitiva (non affrontata in questa sede).

Vantaggi

Viene disgiunta la componente planimetrica [ϕ, λ] da quella altimetrica (h). Questa necessità è legata alla trasformazione fra SR con quote ellissoidiche e

SR con quote ortometriche (vedi oltre).

Una nota su Sistemi di riferimento e Sistemi di coordinate

Definiti due SR la trasformazione delle coordinate di un punto da uno all’altro è realizzata mediante una trasformazione fra SR. Tale trasformazione è geometricamente ben definita

qualora si conoscano i parametri di trasformazione, il che, in ambito geodetico, non è sempre vero: spesso i parametri di trasformazione fra SR sono noti solo con approssimazione e quindi qualunque trasformazione di SR implica una perdita di precisione delle stime di

posizione.

Definito un SR la posizione di un punto P in quel SR può essere espressa mediante diversi Sistemi di Coordinate: abbiamo visto le coordinate cartesiane geocentriche e le coordinate

geodetiche. La scelta su quale sistema di coordinate utilizzare è basata su motivi di comodità interpretativa e computazionale: la trasformazione fra diversi sistemi di coordinate

all’interno di un unico SR è sempre calcolabile esattamente.

Coordinate locali Dato un punto origine ( P0)

P0 ≡

ϕ0

λ0

h0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

↔

X0

Y0

Z0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

= x P0

si può definire un sistema orientato rispetto al piano orizzontale, con assi ortogonali Est, Nord e Up

Data la base da P0 a un altro punto P

Δx P0,P =

X P − X0

YP −Y0

ZP − Z0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Le coordinate locali di P sono calcolate mediante la

0

0 0

0

P

P

PP

E X XN Y YU Z Z

−⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

R

,

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

sin cos 0sin cos sin sin coscos cos cos sin sin

λ λϕ λ ϕ λ ϕϕ λ ϕ λ ϕ

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

R

Propagazione della covarianza da coordinate cartesiane a locali

Sia CΔΔ la matrice di covarianza della base Δx P0,P . Le accuratezze delle coordinate Est,

Nord e Up possono rigorosamente essere ricavate mediante propagazione della covarianza.

Cll = R0CΔΔR0T ⇒

σ E = cll11

σ N = cll22

σ N = cll33

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Note finali

La componente Up delle coordinate locali non coincide con l'altezza o il

dislivello rispetto a P, poichè è la proiezione normale al piano tangente

nell'origine:

per punti distanti 500 m la differenza fra Up e dislivello è di circa 2 cm.

Il problema della quota

Per applicazioni ingegneristiche e ambientali, sono richiesti dislivelli e quote ortometriche, poiché esse rappresentano grandezze fisiche mentre le quote ellissoidiche sono puramente

geometriche. Le differenze fra quote / dislivelli ellissodici e ortometrici non è mai trascurabile: la trasformazione è comunque facilmente calcolabile con un modello di

ondulazione del geoide.

Conversione di quote

( , ) ( , ) ( , )H h Nϕ λ ϕ λ ϕ λ= −

Conversione di dislivelli

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )ij j i

j i j i

ij ij

H H Hh h N Nh N

ϕ λ ϕ λϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ

Δ = −

= − − +

= Δ −Δ

I SR topografici storici

Tipicamente si vincola il SR vincolando l’ellissoide di riferimento, senza definire assi e coordinate cartesiane: si impone la forma (a, b) per l’ellissoide di riferimento; quindi si impongono 6 condizioni per vincolare l’ellissoide: Orientamento locale Si considera un punto fondamentale P e si impone che in tale punto lo scostamento fra normale all’ellissoide e normale al geoide (deviazione della verticale) sia annullato (2 vincoli di traslazione e 2 di rotazione); Si impone che la quota ellissoidica sia uguale alla quota ortometrica (1 vincolo di traslazione). L’ultimo vincolo di rotazione viene imposto fissando la rotazione attorno alla normale in P; ad esempio imponendo l’azimut A da P a un secondo punto Q: A(PQ)geodetico= A(PQ)astronomico

SR topografico italiano: Roma40

Sistema di Riferimento Nazionale Italiano fondamentale per la cartografia nazionale Ellissoide: internazionale (Hayford)

Orientamento locale, nel punto fondamentale di Roma M.Mario

con imposizione dell’azimut con il punto di M. Soratte. Realizzazione e disseminazione:

rete di triangolazione fondamentale I.G.M. (compensazione a blocchi 1908-1919)

e reti di raffittimento.

Ancora oggi molti dati sono in Roma 40 e richiedono trasformazione a ETRF

La trasformazione ufficiale, basata su formula di Molodensky e modello di geoide Italgeo è implementata nel programma Verto, realizzato e distribuito da IGM

Le scale temporali

Servono per definire la temporeferenziazione di un evento; si possono raggruppare in tre famiglie principali. Segue un elenco e la definizione delle scale temporali fondamentali

nell’ambito del rilievo geodetico.

Scale di Tempo dinamico

Vengono realizzate mediante un confronto fra le posizioni osservate di Sole, Luna e altri pianeti con valori calcolati in funzione del tempo a partire da regole analitiche o numeriche. Presentano stabilità di circa 10-10, ovvero un errore accumulato di circa 0.05s/10y. Fra queste

si hanno le due scale fondamentali:

Ephemeris Time e Terrestrial Time

Scale di tempo siderale e solare Sono legate al moto di rotazione terrestre rispetto a una direzione di riferimento nello spazio: le scale siderali rispetto alla direzione dell’equinozio; le scale solari rispetto alla direzione del Sole; La direzione di riferimento può essere quella vera o una direzione media, depurata degli effetti perturbativi (ad esempio l’equinozio depurato della nutazione). Possono essere espresse come angolo orario fra: meridiano di Greenwich e direzione fissa (Greewich time); meridiano in un altro punto del pianeta e direzione fissa (Local Time del punto).

Si ricordano in particolare GMST (Greenwich Mean Sidereal Time): angolo orario fra meridiano di Greenwich e equinozio medio, aumentato di 12 ore; UT1 (Universal Time 1): angolo orario fra meridiano di Greewich e direzione del Sole medio, depurato degli effetti del polar motion, aumentato di 12 ore.

Note su scale di tempo solari e siderali

A causa dell’irregolarità del moto di rotazione terrestre (attualmente la rotazione terrestre rallenta di circa 1 s/y) queste scale di tempo presentano irregolarità significative. Tempo solare e tempo siderale differiscono poiché, a causa della moto di rivoluzione terrestre intorno al Sole, la direzione di questo vista dalla Terra retrocede di giorno in giorno. In un anno (tempo tra due passaggi del Sole al punto γ), vi sono 365.2422 giorni solari, 366.2422 giorni siderali.

Scale di tempo Atomico

Definite da un certo numero di orologi atomici al Cesio 133. Sono le scale di tempo più accurate, con una stabilità stimata di 10-13, in prospettiva 10-16

TAI (Tempo atomico Internazione), definita dal BIPM di Parigi UTC (Tempo Universale Coordinato): ha stessa cadenza del TAI ma è periodicamente aggiornato sottraendogli 1 s per mantenerlo sincronizzato entro il secondo con la scala UT1. GPST (GPS Time): tempo atomico introdotto per il sistema GPS, coincide con il TAI a meno di un offset, definito in modo che al 6 gennaio 1980, ore 00.00, il GPST coincidesse con l’UTC.

Si ha GPST = TAI – 19 s Attualmente GPS = UTC + 16 s

Acronimi BIH: BUREAU INTERNATIONAL DE L’HEURE BIPM: BUREAU INTERNATIONAL DES POIDS ET MESURES CIO: CONVENTIONAL INTERNATIONAL ORIGIN CTP: CONVENTIONAL TERRESTRIAL POLE ED50: EUROPEAN DATUM 50 ETRF: EUROPEAN TERRESTRIAL REFERENCE FRAME EUREF: EUROPEAN REFERENCE FRAME GRS: GEODETIC REFERENCE SYSTEM IERS: INTERNATIONAL EARTH ROTATION SERVICE ITRF: INTERNATIONAL TERRESTRIAL REFERENCE FRAME ITRS: INTERNATIONAL TERRESTRIAL REFERENCE SYSTEM IGMI: ISTITUTO GEOGRAFICO MILITARE ITALIANO IGS: INTERNATIONAL GPS SERVICE NIMA: NATIONAL IMAGERY AND MAPPING AGENCY SLR: SATELLITE LASER RANGING VLBI: VERY LONG BASELINE INTERFEROMETRY WGS84: WORLD GEODETIC SYSTEM 1984