I ludi geometrici di Leonardo da Vinci. Equivalenza …...classe un laboratorio matematico...
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I ludi geometrici di Leonardo da Vinci. Equivalenza di aree di Franco Ghione e Daniele Pasquazi Università di Roma Tor Vergata – Dipartimento di Matematica
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I ludi geometrici di Leonardo da Vinci.
Equivalenza di areedi Franco Ghione e Daniele Pasquazi
Università di Roma Tor Vergata – Dipartimento di Matematica
Il Codice Atlantico 1478 - 1519
AnatomiaAstronomiaBotanicaChimica GeografiaMeccanicaArchitetturae….Matematica!
Leonardo e la matematica
Leonardo e la matematica
Il suo pensiero– fortemente immaginifico, – intuitivo – dinamico, – non irrigidito nella griglia di una logica formale
Confinante con
Pensiero degli adolescenti– ingenuo, – creativo,– entusiasta – veloce
Leonardo e la matematica
• Poca matematica e semplice
• Disegni geometrici e decorativi
• dinamicità
• Coraggio
Per questo si è ritenuto interessante sperimentare in classe un laboratorio matematico incentrato su alcune idee, pensieri e forme immaginate da Leonardo.
Leonardo e la matematica
Prerequisiti (scuola media)
• Teorema di Pitagora
• Area del quadrato
• area del cerchio
• Equivalenze
• Calcolo algebrico (proprietà distributiva)
Prerequisiti (scuola primaria)
• Teorema di Pitagora (un caso)
• Concetto di area
• Concetto di equivalenza
Il teorema di Pitagora (un caso particolare)
Il teorema di Pitagora
T. di Pitagora per i rettangoli I lati corrispondenti dei rettangoli
hanno lo stesso rapporto
N1 + N2 = N3
R1 + R2 = R3
(N1 + R1) + (N2 + R2) = N3 + R3
Teorema di Pitagora per i rettangoli
N1 + N2 = N3
R1 + R2 = R3
G1 + G2 = G3
(N1+R1 + G1) + (N2 + R2+ G2) = N3 + R3 + G3
I lati corrispondenti dei rettangoli
hanno lo stesso rapporto
Teorema di Pitagora sui rettangoli: una generalizzazione
In sostanza vale il teorema di Pitagora se il rettangolo rossoIl verde ed il blu sono simili tra di loro.
T. di Pitagora per i poligoni regolari
… insomma vale sempre se si costruiscono sui lati figure simili
T. di Pitagora per cerchi
La spirale di Leonardo: Costruire quadrati doppi, tripli…
Ne ricaviamo una visione
figurativa e dinamica!
Con la stessa logica:
Una spirale per i cerchi! Dato un cerchio si costruisce quello di area doppia, tripla…
Pitagora dinamico 1
Pitagora dinamico_2
Come riproporre la dinamicità….
Come riproporre la dinamicità….
Tutto raddoppia….
Il quadrato..
Il cerchio
Gli interstizi
Le porzioni
Formalmente per il triangolo rettangolo e isoscele ….
4A+4B+4C = 2(4a+4b+4c).
4B+4C = 2(4b+4c).
4A = 8a
A =2a
Teorema di Pitagora per interstiziL’area dell’ interstizio costruito sull’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele è la somma delle aree degli interstizi costruiti sui cateti.
Da A+B+C = 2(a+b+c)
B = 2b
Formalmente per il triangolo rettangolo e isoscele ….
Teorema di Pitagora per porzioniL’area del segmento circolare costruito sull’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele è uguale alla somma delle aree dei segmenti costruiti sui cateti.
…terminologia di Leonardo
Equivalenze
Come sono tra di loro le aree nere?
Che relazione sussiste tra le aree
evidenziate?
Equivalenze
Il gioco
= + + + +=
+ + +
Un esempio : determinare la misura dell’area nera
Strumenti utilizzabili : la riga
Strumenti utilizzabili : la riga
Un esempio : determinare la misura dell’area nera
Le aree nere sono equivalenti. Così quelle bianche
Un altro esempio : determinare la misura dell’area nera
Le aree nere sono equivalenti. Così quelle bianche.
Un altro esempio : determinare la misura dell’area nera
Le aree nere sono equivalenti. Così quelle bianche
Un altro esempio : determinare la misura dell’area nera
Le Lunule
Le Lunule
L = T
Una magnifica equivalenza!!!
Un primo esempio di area curvilinea calcolata esattamente!
Teorema di Pitagora per Lunule
Il gioco
= + + + +=
+ + +
Le somma delle aree nere e quella rossa sono equivalenti
Un esempio : determinare la misura dell’area nera
Un esempio: video
Clicca per il video
E per i piccoli?
Riconoscere i pezzi e ricoprire le figure
E per i piccoli?
Inventare nuove figure!!!
Meglio ancora se si prende spunto da quelle di Leonardo.
E per i piccoli?
…..ripassare il tratteggio
E per i piccoli?
…rifare i disegni di Leonardo
E per i piccoli?
… usando le cornici
E per i piccoli?
1) Il bordo della superficie 1
3) Le figure
2) Il bordo della superficie 2
5) Colorare
6) Conclusione
4) Ripassa il bordo
Il Kit
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