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1

I Derivati

I derivati sono strumenti il cui «valore» dipende dai «valori» di altre più fondamentali variabili sottostanti

Esempi di derivati– Contratti Forward (o Forwards)– Contratti Futures (o Futures)– (swaps)

• Coperti in un successivo corso– Opzioni

An

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2

Perché si Usano i Derivati

Per proteggersi dai rischi

Per «concretizzare un’opinione» circa la futura evoluzione del «mercato»

Per «bloccare» un profitto di arbitraggio

Per «cambiare la natura» di una «passività»– Es. da tasso fisso a variabile

Per «cambiare la natura» di un «investimento» senza incorrere nei costi connessi con la vendita di un portafoglio e l’acquisto di un altro

An

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st

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3

Contratti Forward

I contratti forward sono«accordi» per acquistareacquistare o venderevendere un’«attività» ad una «certa data futura», ad un «certo prezzo»«diversi» dai contratti spot nei quali ci si accorda per acquistare o vendere un’attività «immediatamente»(o entro un breve periodo di tempo)

An

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st

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4

Esempi di Contratti Forward

Accordi per– «comprare» 5.000 once d’oro a $400 per oncia tra 1 anno– «vendere» £1.000.000 a $1,5 per sterlina tra 6 mesi– «ottenere» un tasso d’interesse del 4% su un deposito in

dollari per un periodo di 3 mesi che inizia tra 6 mesi– «vendere» 1.000.000 di barili di petrolio a $20 per barile

tra 9 mesi

An

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5

Come Funzionaun Contratto Forward

Il «contratto forward» è un accordo tra 2 società sul mercato over the counter (OTC)Di solito il prezzo del contratto è scelto in modo che il «valore iniziale di mercato» del contratto sia nulloPertanto, nonnon c’è alcuno scambio di denaro nel momento in cui il contratto viene stipulatoIl contratto viene «liquidato a scadenza»

An

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6

Prezzi e posizioni

Il prezzo forward di un contratto è il prezzo di consegna che si applica ad un contratto concluso «adesso»– può essere «diverso» per contratti con «diverse» scadenze

La parte che ha deciso di comprarecomprareha una posizione lungalungaLa parte che ha deciso di venderevendereha una posizione cortacorta

An

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7

Esempio8 maggio 2000: una società entra in un contratto forwardlungo per acquistareacquistare tra 90 giorni £1.000.000 a K=$1,6056 per sterlina8 agosto 2000: il «tasso di cambio spot» della sterlina è pari a ST = $1,6500In base alle «condizioni» contrattuali, la società

pagapaga $1.605.600 e ricevericeve £1.000.000Il «profitto» della società è pari a $44.400, dato che le sterline possono essere immediatamente rivendute a $1.650.000

tempo8 maggio 2000 8 agosto 2000

An

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8

Posizione Lunga su un Forward

Nota: figura 1.1 p. 3(a)

0

Profitto

S TK

Posizione lunga

= 1,6056

1,55 1,65

E’ l’esempiodel lucidoprecedente

An

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9

Posizione Corta su un Forward

0

Profitto

S TK

Posizione cortaNota: figura 1.1 p. 3

An

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10

Operatori

Hedgers: coprono una posizione

– Es. imprese industriali, a fronte di acquisti/vendite future

Speculatori: creano una posizione

– I derivati riducono l’impiego di capitale necessario

Arbitraggisti: “incrociano” due posizioni sfruttando momentanee incoerenze nei prezzi– Es. la stessa azione quota $1,6 a NY e £1 a Londra

– Il cambio $/£ è 1,5

– Acquisto a Londra e vendo a NY

An

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11

Esempio di arbitraggio

Si supponga che:– il prezzo spot dell’oro sia di $390– il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $425– il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuo

C’è un’opportunità di arbitraggio?

An

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12

Esempio di arbitraggio

Se il prezzo spot dell’oro è S e il prezzo forward è F, allora, per un contratto con consegna dopo T anni, vale la relazione

F = S(1 + r)T

dove r è il tasso d’interesse privo di rischio

Nel nostro esempio T = 1 e quindi F = $390(1 + 0,05) = $409,5

E’ dunque possibile una strategia di cash and carry

An

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13

Conseguenze dell’arbitraggioSe vi sono possibilità di arbitraggio è possibile fare profitti illimitati senza rischio (free lunch)I prezzi si aggiusteranno in modo da chiudere le possibilità di arbitraggio:– Es. la forte domanda di azioni a Londra farà salire i prezzi, la forte

offerta a NY li farà scendere– Es. la forte offerta di contratti forward sull’oro farà scendere il prezzo

da $425 a $409.5

Il prezzo di equilibrio su un contratto è il prezzo di non arbitraggioCon ragionamenti di non arbitraggio è quindi possibile ricavare i prezzi “equi” dei contratti derivati

An

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14

Contratti Futures

Simili ai forwards:– i futures sono «accordi» per acquistareacquistare o venderevendere

un’«attività» ad una «certa data futura», ad un «certo prezzo» (il prezzo futures)

Diversi dai forwards:– i futures sono trattati in «borsa»– Ogni operatore ha come controparte una cassa di

compensazione e garanzia– Vengono richiesto il deposito di un margine

cauzionale a fronte di possibili perdite future

An

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15

Esercizi consigliati

1.11.21.41.91.161.171.23

a pagina13 del libro di Hull(seconda edizione italiana)

An

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16

Pricing di forward e futures

Iniziamo dal pricing dei forward– Non c’è effetto finanziario del margine– E’ facile stabilire relazioni di non arbitraggio

Dimostreremo che il prezzo di un future è vicino a quello del corrispondente contratto forwardPasseremo ad occuparci dei contratti futures

…ma per prima cosa facciamo un ripasso sui regimi di capitalizzazione…

An

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17

Capitalizzazione composta e continua

Se investo S al tasso R composto per n anni ottengo

(capitalizzazione composta annua)

(composta m volte all’anno)

Se investo S al tasso RC continuo ottengo

mnm

n

mRS

RS

+

+

1

)1(

nRcSe

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18

Ovvio, se uso lo stesso tassoottengo montanti diversi…

Se investo 100 al tasso 12% composto per 2 anni ottengo

(capitalizzazione composta annua)

(composta m volte all’anno)

Mentre al tasso continuo ottengo:

25,126212,01100

44,125)12,01(1004

2

≅

+

≅+

12,127100 24,0 =e

An

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19

Se voglio ottenere uguali montanti devo calcolare tassi equivalenti

Equivalenza tra composto e continuo:

( )

−=−=⇒

+=⇒

=

+

11

1log

1

mR

m Rm

mC

nRmn

m

C

C

C

ememR

mRmR

SemRS

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20

Se voglio ottenere uguali montanti devo calcolare tassi equivalenti/2

Equivalenza tra composti con diversa periodicità:

−

+=⇒

+=

+

11

11

1

2

21

2

211

2

2

1

1

mm

mm

nm

m

nm

m

mRmR

mRS

mRS

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21

Capitalizzazione composta e continua

E’ dunque sempre possibile passare dal tasso composto al continuo preservando il montante finaleNoi utilizzeremo il tasso continuo, ampiamente usato e utile quando si considerano variazioni del montante in unità di tempo molto piccole:

Nota: ho sostituito Rc con r, n con t, adottando la simbologia standard che ci seguirà d’ora in poi.

rSe

rSetM

dttdMrt

rt

==)(

)(

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22

Pricing di forward e futures:le ipotesi di lavoro

Non esistono costi di transazioneTutti sono soggetti alla stessa aliquota fiscaleTassi attivi e passivi privi di rischio sono uguali tra loro, e uguali per tutti i soggetti sul mercato– Tasso r sulle operazioni pronti contro termine,

detto anche repo rateLe opportunità di arbitraggio vengono colte appena si presentanoSono ammesse vendite allo scoperto– E’ sufficiente che queste ipotesi valgano per un sottoinsieme

di grandi operatori che “fanno” i prezzi guidando il mercato

An

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23

Tasso di Riporto

Il tasso di riporto (repo rate) è il tasso d’interesse rilevante per molti arbitraggistiI contratti di riporto (repos o repurchase agreements) sono accordi con i quali un’istituzione finanziaria vende titoli spot ad un’altra istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo che in genere è lievemente più altoLa «differenza» tra il prezzo di riacquistoriacquisto a termine e il prezzo di venditavendita spot è l’«interesse» percepito dalla controparte Si tratta di contratti a basso rischio (i titoli fanno da garanzia)

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24

Vendita allo Scoperto

La vendita allo scoperto consiste nel venderevendere titoli che nonnon si posseggono

I titoli vengono «presi in prestito» attraverso un broker e vengono vendutivenduti nel modo consueto

Chi vende allo scoperto– dovrà prima o poi ricomprarericomprare i titoli per «restituirli» al

broker da cui li ha presi in prestito– deve pagare i «dividendi» e gli altri eventuali proventi al

legittimo proprietario dei titoli durante la vita del contratto

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25

Pricing dei forward: terminologia

Tempoin annit T

Prezzo del sottostante: S -> ST

Prezzo forward: F -> ST

Valore di uncontratto forward: f

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Terminologia/2

t T

Prezzo forward: F -> ST

Nasce un contratto

K=Ff=0

Stessocontratto

F≠Kf ≠ 0

Prezzo di consegna: KUguale al prezzo forward solo quando il contratto nasce (così ha valore nullo)

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27

Un forward su un titoloche non offre redditi

Se r è il tasso a (T − t) anni composto continuamente e S il prezzo spot del titolo, la relazione

F = Ser(T − t)

rappresenta il prezzo forward di equilibrio

Se F > Ser(T − t) andrei lungo sul sottostante e corto sul forward

Se F < Ser(T − t) andrei corto sul sottostante (dopo essermi assicurato al possibilità di ricomprarlo a F, stando lungo sul future) e investirei il ricavato ottenendo a scadenza Ser(T − t)

An

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28

Più formalmente: confronto tra due portafogli

Un forwardlungo

e un depositof + Ke-r(T − t)

Un’unitàdi sottostante

SST

ST Il valore deidue portafoglisarà, certamenteil medesimo

Devono valereuguale anche ora

An

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29

Più formalmente: confronto tra due portafogli

S=f + Ke-r(T − t)

f = S - Ke-r(T − t)

Se voglio f=0:S = Ke-r(T − t)

K = Ser(T − t)Prezzo di

consegna dei nuovicontratti future,

dunque prezzo futuregiorno dopo giorno

An

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30

Esercizio 1

Viene concluso un contratto forward a 3 mesi su una merce che non comporta utili, né costi di stoccaggio.Il prezzo della merce oggi è S=$10Il tasso di interesse composto continuamente è il 4%– Qual è il prezzo di consegna equo?

– Se già posseggo un forward lungo con prezzo di consegna $ 11, quanto vale il contratto?

101,1010 25,004,0)( ==== ⋅− eSeFK tTr

8905,01110 25,004,0)( −=−=−= ⋅−−− eKeSf tTr

An

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31

Un forward su un titoloche offre redditi noti (es. cedola)

Vale la relazione

F = (S − I)er(T − t)

dove I è il valore attuale dei redditi distribuiti

Se fosse F > (S − I)er(T − t) comprerei il sottostante indebitandomi per S-I (con I rimborso in parte il prestito);a scadenza pago rimborso ma incasso F

Se fosse F < (S − I)er(T − t) venderei allo scoperto il sottostante versando I al proprietario dei titoli ed investendo la differenza; a scadenza ricaverò (S − I)er(T − t) e pagherò Fper comprare i titoli che devo restituire.

An

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32

Più formalmente: confronto tra due portafogli

Un forwardlungo

e un depositof + Ke-r(T − t)

Un’unitàdi sottostante e un debito di I

S-I

ST

ST Il valore deidue portafoglisarà, certamenteil medesimo

Devono valereuguale anche ora

An

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33

Più formalmente: confronto tra due portafogli

S-I=f + Ke-r(T − t)

f = S-I - Ke-r(T − t)

Se voglio f=0:S-I = Ke-r(T − t)

K(=F)= (S-I)er(T − t)Prezzo di

consegna dei nuovicontratti future,

dunque prezzo futuregiorno dopo giorno

An

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34

Esercizio 2

Viene concluso un contratto forward a 6 mesi su un titoloIl valore del titolo, oggi, è S=$10Il tasso di interesse composto continuamente è il 4%Tra tre mesi, il possessore del titolo incasserà una cedola pari a 1– Qual è il prezzo di consegna equo?

192,901.9)(99.01

5,004,0)(

25.004.0

≅≅−=

≅=⋅−

⋅−

eeISKeI

tTr

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Un forward su un titolo che offre un «Dividend Yield Noto»

Si assume che l’attività sottostante offra un reddito pari a qS∆t nel periodo ∆tSi assume che l’erogazione di questo dividend yield qavvenga nel continuo (come nella capitalizzazione continua…). Ipotesi realistica per divise e indici di borsa.– Se Q è il prezzo di carico dell’azione, il valore

dell’investimento aumenta, perché ogni istante vengono pagati dividendi pari a qQdt

– Di conseguenza (dQ/Q)/dt=q, dunque Q(T)= Q(t) e q(T-t)

Vale la relazione

F = Se(r − q)(T − t)

An

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36

Più formalmente: confronto tra due portafogli

Un forwardlungo

e un depositof + Ke-r(T − t)

e-q(T − t) unitàdi sottostante, con dividendi

reinvestiti:[e-q(T − t) ] S

ST

ST Il valore deidue portafoglisarà, certamenteil medesimo

Devono valereuguale anche ora

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Più formalmente: confronto tra due portafogli

e-q(T − t)S=f + Ke-r(T − t)

f = e-q(T − t) S - Ke-r(T − t)

Se voglio f=0:e-q(T − t) S = Ke-r(T − t)

K(=F)= Se(r-q)(T − t)Prezzo di

consegna dei nuovicontratti future,

dunque prezzo futuregiorno dopo giorno

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38

Esercizio 3

Viene concluso un contratto forward a 4 mesi su un titoloIl valore del titolo, oggi, è S=$10Il tasso di interesse composto continuamente è il 4%Il titolo paga un dividend yield continuo del 3% annuo– Qual è il prezzo di consegna equo?

03,1010 124)03,004,0())(( ≅≅=

−−− eSeK tTqr

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39

Valore di un forwardsuccessivamente all’emissione

Ho in tasca un forward con prezzo di consegna KOggi il prezzo forward equo è F, diverso da KQuanto vale il mio forward?

)()( tTreKFf −−−=

Prezzo di oggi(rende f=0)

…scontato ad oggi

Prezzo a cuiho diritto io

Beneficiofuturo…

Valoredel forward

An

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40

Torniamo all’esercizio 1…

– Prezzo di consegna equo, cioè prezzo forward corrente:

– Se il prezzo di consegna è K=$ 11, il contratto vale:

– Infatti, con la formula appena derivata:

101,1010 25,004,0)( === ⋅− eSeF tTr

8905,0899,0)11101,10()(

01,0

25,004,0)(

−=−=

=−=−=−

⋅−−−

eeeKFf tTr

8905,01110 25,004,0)( −=−=−= ⋅−−− eKeSf tTr

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41

Contratti Futures

Disponibili per un’ampia gamma di sottostanti– Merci, valute, indici di borsa, titoli di stato, depositi

Trattati in borsa

Specificazione del contratto:– «cosa» si può consegnare

– Dimensione del contratto, tipo di merce o di titoli– «dove» si può consegnare

– Molto importante per le merci– «quando» si può consegnare

– In genere in un arco di tempo (es. mese) a scelta del venditore. Il compratore è tenuto ad accettare

An

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Margini di garanzia: un esempio

Il 3 giugno 1996 viene assunta una posizione lunga su 2 contratti futures sull’oro con scadenza a dicembreLa dimensione del contratto è di 100 onceIl prezzo futures a cui si entra nel contratto è di $400/onciaI contratti comportano un esborso finale di $80.000Il deposito di garanzia è di soli $2.000 per contratto($4.000 in totale) perché inizialmente il contratto vale zeroMa se il valore del contratto si fa significativamente negativo e scende sotto il margine di mantenimento (es. $1.500 per contratto, $3.000 in totale) scatta la margin call, la controparte è chiamata a ricostituire il deposito

An

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43

Tutto il contratto minuto per minuto…

Cfr. anche tavola 2.1 p. 22 (questa è una versione semplificata) ———————————————————————— Profitto Profitto Saldo Prezzo (Perdita) (Perdita) Deposito Margin Data Futures Giorn. Cumul. Garanzia Call ———————————————————————— 400,00 4.000 3 giu. 96 397,00 (600) (600) 3.400 -

4 giu. 96 393,00 (800) (1.400) 2.600 + 1.400 = 4.000

5 giu. 96 387,00 (1.200) (2.600) 2.800 + 1.200 = 4.000

6 giu. 96 392,00 1.000 (1.600) 5.000 - ————————————————————————

Facoltà di prelevare dal deposito

An

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44

Altri punti fondamentali

I soci delle stanze di compensazione hanno margini di mantenimento pari all’ammontare del deposito inizialeI futures vengono liquidati giornalmente– Il rischio di credito è prossimo a zero

La «chiusura» di una posizione su un contratto futurescomporta la stipula di un contratto di segno opposto

La maggior parte dei contratti futures viene chiusa«prima» della scadenza

An

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45

Terminologia

Open interest: numero complessivo dei contratti in essere– è uguale al numero dei contratti lunghilunghi o al numero dei

contratti corticorti

Prezzo di liquidazione: il prezzo rilevato immediatamente prima del segnale che determina la fine delle contrattazioni– è usato per la procedura di marking to market

Volume degli scambi: il numero dei contratti stipulatiin un giorno

An

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46

Domande

Quando si stipula un «nuovo contratto» quali sono i possibili «effetti» sull’open interest?– Tizio e Caio aprono una nuova posizione: +1– Tizio aveva una posizione con* Caio, la chiude facendo un

contratto di segno opposto con* Sempronio: 0– Tizio e Caio fanno un contratto, ognuno per chiudere una

posizione: -1

Il volume degli scambi effettuati in una giornata può essere «maggiore» dell’open interest a fine giornata?

– Sì, se ci sono molti contratti giornalieri (day trades)

* In realtà ognuno dei due opera con la stanza di compensazione

An

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47

Futures e Forwards

—————————————————————————— Forwards Futures —————————————————————————— Contratti «privati» «Trattati in borsa»

tra due controparti Contratti «non standardizzati» Contratti «standardizzati» In genere viene specificata Scelta tra «diverse»

«una sola» data di consegna date di consegna Regolati alla «fine» del contratto Regolati «ogni giorno» In genere si verifica la «consegna» In genere vengono chiusi

o il regolamento di un saldo finale prima della scadenza ——————————————————————————

An

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48

Convergenza del prezzo futuresverso il prezzo spot

Prezzofutures

Prezzospot Tempo

Prezzo futures sopra al prezzo spot(b)

Prezzofutures

Prezzospot

Tempo

Prezzo futures sotto al prezzo spot

Periodidi consegna

Diversamentecomprerei il future

e consegnerei la merce

Diversamentecomprerei la merce

e consegnerei il future

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Coperture Lunghe e Corte

Una copertura «lunga» mediante futures è appropriata quando si sa di dover acquistareacquistare un’attività in futuro e si vuole «bloccare» il prezzo di acquisto– Se l’attività rincara, aumenta il valore del future che ho in

tasca e il saldo tra i due effetti è (circa) nullo

Una copertura «corta» mediante futures è appropriata quando si sa di dover venderevendere un’attività in futuro e si vuole «bloccare» il prezzo di vendita

– Se l’attività si svaluta, aumenta il valore del future che ho intasca e il saldo tra i due effetti è circa nullo

In entrambi i casi evito perdite e rinuncio a profitti

An

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50

Rischio base

La base è la differenza tra il prezzo «spot» e il prezzo «futures»: Bt=St-FtQuando l’operazione di copertura verrà chiusa, la base potrebbe non essere nulla (rischio base)– Il future può non essere ancora giunto a scadenza

(dunque il prezzo non coincide con quello del sottostante)• Soprattutto per le merci non conviene usare la scadenza

esatta• L’hedger può non conoscere l’esatta data di chiusura

– Il sottostante può non essere esattamente lo stesso• Es. future sul petrolio per coprire combustibile

An

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51

Rischio base: esempi

Ciccio deve vendere petrolio e vuole “bloccare” il prezzo future attuale F1. Vende future il petrolio. Tra due mesi:– Vende petrolio e incassa S2– Sul future può guadagnare F1-F2

• Es. se il prezzo è sceso, lui l’ha bloccato più alto.– Il suo payoff totale è: S2+F1-F2=F1+b2=F1+base

An

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Rischio base: esempi

Nonna Papera deve acquistare carburante per il trattore tra due mesi, e vuole “bloccare” il prezzo future attuale, F1. Compra un future sul petrolio. Tra due mesi– Acquista carburante e paga S2– Sul future, può perdere F1-F2

• Es. se il prezzo è sceso, lei l’ha bloccato più alto!– Il suo payoff totale è: S2+F1-F2=F1+b2=F1+base

Più precisamente, considerato che il carburante (prezzo S) non costa come il petrolio (prezzo S*), il payoff è:

F1+b2=F1+(S2-F2)=F1+(S*2-F2)+(S2-S*2)

Effetto del sottostanteEffetto scadenza

An

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53

Rapporto di Copertura

E’ la quota di esposizione coperta con contratti futuresNon necessariamente è pari a 100%Consideriamo la variazione di valore della posizione di un hedger lungo sul sottostante e corto sul future (“Ciccio”):

∆W = ∆S - h ∆FCalcoliamone la varianza:Var(∆W) = Var(∆S) + h2 Var(∆F) - 2hCov(∆S,∆F))

= σS2 + h2 σF

2-2h ρ σSσF

L’atteggiamento naturale per un’hedger è minimizzare questa varianza

An

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54

Rapporto di Coperturaa varianza minima

Var(∆W) = h2 σF2-2h ρ σSσF + σS

2

– È una parabola convessa, nel semipiano positivo– Esiste un valore di h che la rende minima– Lo si ottiene annullando la derivata prima:

2h σF2-2 ρ σSσF =0

h S

F= ρ

σσ

Vari

anza

h

Per una copertura lunga ∆W è l’opposto, mala formula dellavarianza rimanela stessa…

An

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Esempio

Tra un mese Tizio dovrà comprare un kg d’oro, e decide di coprirsi (copertura lunga) con un future Le variazioni mensili dei prezzo spot dell’oro hanno varianza Var(∆S)=0,12, le variazioni mensili del prezzo future hanno varianza Var(∆F)=0,16, la correlazione tra le variazioni mensili è del 90%Il rapporto di copertura ottimale è:

Tizio compra un future su (circa) 779 grammi d’oro

779,0239,0

16,012,09,0 ====

F

Shσσρ

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Riaprire un’operazione di copertura

Spesso viene scelto un future con scadenza superiore al periodo di copertura, per evitare la consegna fisicaSpesso viene scelto un future con scadenza più breve, perché è più liquido, o più convenienteSe il periodo di copertura eccede la scadenza del future prescelto è necessario “concatenare” diversi futuresOgni volta che passiamo da un contratto futures ad un altro siamo soggetti al rischio base– Possiamo ridurre questo rischio scegliendo noi quando

chiudere e riaprire la copertura

An

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Riaprire un’operazione di copertura: esempio

Il 1/1/2000 la Canistracci s.r.l. vuole una copertura lunga sul rame, in vista di un acquisto il 31/10/2000Decide di usare un future semestrale, ad esempio perché l’annuale non esiste, o non è abbastanza liquidoQuindi la Canistracci s.r.l.1. Compra future con scadenza giugno 20002. Nel giugno 2000 chiude la posizione e compra un future

(sempre semestrale) con scadenza novembre 20003. Il 31/10/2000 chiude il secondo future.– Non solo sub 3, ma anche sub 2 ha un rischio di base.

An

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58

Riaprire un’operazione di copertura: esempio

1/1 12/6 31/10

Future 6/00Prezzo spot

F1(6/00)=-120 F2(6/00)=+130F1(11/00)=-140 F2(11/00)=142

S2=-135

Future 11/00

Payoff finale totale: F1+prima base+seconda base120 + (140-130) + (135-142) = 123

An

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59

Riaprire un’operazione di copertura: altro modo

1/1 12/6 31/10

Future 6/00Prezzo spot

F1(6/00)=-120 F2(6/00)=+130F1(11/00)=-140 F2(11/00)=142

S2=-135

Future 11/00

Payoff finale totale: S2+primo future+secondo future-135 + (-120+130) + (-140+142) = -123

An

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60

Esercizi consigliati

Regimi di interesse composto e continuo:– 3.1, 3.8, 3.9, 3.10

Coperture con futures– 2.7, 2.9, 2.15, 2.20, 2.21, 2.22, 2.24, 2.25

Costituzione e mantenimento dei margini– 2.10, 2.12, 2.13, 2.14

An

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61

Il prezzo future “prevede” quello spot? Dipende…

[1] Dalla natura del sottostante: – Se è correlato con il mercato (beta positivo) tenerlo in

portafoglio aumenta i rischi (per scambiarlo con il future pago volentieri un premio)

– Se contribuisce fortemente a diversificare i rischi (beta negativo) tenerlo in portafoglio riduce i rischi (per scambiarlo con il future voglio un premio)

Formalmente, il tasso richiesto per investire in un sottostante è

(quindi è < o > di r a seconda del segno del suo beta)

)( rrrk m −+= β

An

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62

Il prezzo future “prevede” quello spot? Dipende…

Ora consideriamo un signore che: – Investe al tasso r un importo Fe-r(T-t)

– Compra un future su S (alla scadenza avrà esattamente il capitale F necessario per onorare il contratto)

Il valore attuale del suo investimento è:

– dove per S abbiamo usato il tasso k appropriatoAssumiamo che tutti i progetti di investimento su un mercato perfetto abbiano valore attuale nullo:

)()( )( tTktTr eSEFe −−−− =

)()( )( tTktTr eSEFe −−−− +−

An

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63

Il prezzo future “prevede” quello spot? Dipende…

Da cui:

Il secondo fattore è:>1 se k<r, quindi beta<0 e il sottostante è uno scudo contro

il rischio– per cederlo contro un prezzo fisso voglio un premio

<1 se k>r, quindi beta>0 e il sottostante accresce il rischio non diversificabile (me ne libero volentieri…)

)(SEF >

)(SEF <

))(()( tTkreSEF −−=

An

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64

Il prezzo future “prevede” quello spot? Dipende…

[2] Dall’attitudine psicologica dei partecipanti al mercato. Secondo Keynes e Hicks:

– F < E(ST) (deporto, o normal backwardation) se chi vende future è un hedger (e chi compra uno

speculatore), quindi si accontenta di un guadagno minore, purché certo

– F > E(ST) (riporto o contango) se chi vende future è uno speculatore e vuole un premio

per partecipare all’affare (premio che gli hedgers sono disposti a pagare)

An

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65

Prezzi forward e prezzi futuresIn teoria, il prezzo futures dovrebbe essere quasi «uguale» al prezzo forward di un contratto che ha la «stessa» scadenza ed è scritto sulla «stessa» attivitàLa principale differenza è dovuta al “costo” finanziario del margine immobilizzato presso la stanza di compensazioneTuttavia, il margine può essere versato in titoli fruttiferi, e ciò riduce lo scostamento tra i prezzi teorici dei due contrattiIl prezzo teorico è il medesimo se:– Il tasso d’interesse è costante per tutte le scadenze– Il tasso d’interesse è una funzione nota del tempo

In ogni caso è “comodo” pensare che i prezzi siano equivalenti (in questo corso lo faremo)

An

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66

Prezzi forward e prezzi futuresIl prezzo teorico NON è il medesimo se:– Il tasso d’interesse è variabile e varia insieme al sottostante

Infatti, chi ha una posizione lunga sul future:– Quando S aumenta, realizza un guadagno e riceve parte del

deposito di garanzia, che può investire a tassi più alti– Quando S diminuisce, realizza una perdita e deve ricostituire

il margine indebitandosi, ma a tassi più bassi– In pratica, ha un beneficio finanziario che il possessore di un

contratto forward non ha, e che fa salire il valore del future– Se la correlazione fosse negativa, il valore del future sarebbe

più basso di quello del corrispondente forwardSono stati svolti numerosi confronti empirici tra prezzi forward e futures, ed in diversi casi non si sono trovate differenze statisticamente significative

An

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67

Pricing dei futures

Applicheremo le regole già derivate per i forward, e in particolare:

F = Se(r − q)(T − t)

Studieremo il prezzo dei futures su– Indici di borsa– Valute– Merci (commodities)

An

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68

Indici azionari

Sono panieri di titoli azionari, scelti in base ad un criterio di rappresentatività, ad esempio– Appartenenza ad un mercato o ad un settore– Liquidità o capitalizzazione

Il peso dei singoli titoli è di norma fisso nel breve termineGli indici azionari di solito non considerano il reinvestimento dei dividendi sui singoli titoli che quindi– Sono pagati in modo abbastanza graduale nel tempo– Vengono “persi per strada” e assegnati ai risparmiatori

possono quindi essere considerati alla stregua di titoli che offrono un dividend yield continuo

An

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69

Indici azionari

Se gli indici azionari offrono un dividend yield continuo, allora la relazione tra prezzo futures e prezzo spot è

F = Se(r − q)(T − t)

dove q è il dividend yield del paniere che è alla base dell’indice

Esempio: l’indice S&P500 (500 titoli del NYSE) vale S=$300 ed i titoli dell’indice pagano un dividend yield del 2% annuo composto continuamente. Se r=5%, quanto vale un future a 4 mesi?

F = 300e(5% − 2%) . 4/12= 303,02

An

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70

Arbitraggi su Indici

Se F > Se(r − q)(T − t) l’arbitraggio comporta:– l’acquistoacquisto delle azioni sottostanti l’indice– la venditavendita del futures

Se F < Se(r − q)(T − t) l’arbitraggio comporta:– la venditavendita delle azioni sottostanti l’indice– l’acquistoacquisto del futures

An

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71

Arbitraggi su indici/2

Affinché la formula sia valida è «importante» che l’indicerappresenti un bene d’investimentoIn altri termini, le variazioni dell’indice devono corrispondere alle variazioni del «valore di un portafoglio negoziabile»Gli arbitraggi su indici comportano negoziazioni «simultanee» su futures e su diverse azioniMolto spesso è il computer che suggerisce le operazioni da effettuare, da cui il termine computer tradingL’indice Nikkei (¥) visto come un’attività in dollari ($) non rappresenta un bene d’investimento

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72

Futures su indici con scadenze diverse

Dalla formula per il pricing dei futures su indici

F = Se(r − q)(T − t)

Segue che, per due futures con scadenze diverse (diciamo: T e T+∆t) prezzati entrambi oggi il prezzo è

F(T) = Se(r − q)(T − t)

F(T+∆t) = Se(r − q)(T+∆ t − t)=Se(r − q)(T − t)+(r - q)∆ t

F(T+∆t) = F(T) e(r − q) ∆ t

Cioè il prezzo, passando da una scadenza all’altra, varia in ragione di (r-q)

An

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73

Futures su indici con scadenze diverse

Prezzi del future su S&P500 (esempio, tav. 3.2 p. 58)

Giugno 526.65

Settembre 530.90 = 526.65 x 1.0081 = 526.65 x e0.25x3.20%

Dicembre 535.00 = 530.90 x 1.0077 = 530.90 x e0.25x3.08%

Marzo 539.30 = 535.00 x 1.0080 = 535.00 x e0.25x3.20%

r - q ≅ 3,1 – 3,2%

An

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74

Evoluzione nel tempo delprezzo di un dato future

Dalla formula per il pricing dei futures su indici

F = Se(r − q)(T − t)

Segue che, in un istante τ tale che t<τ<T il prezzo diventa

Fτ = Sτe(r − q)(T − τ)

Se (r+x) è il rendimento del paniere di azioni nell’indice (comprensivo dei guadagni in conto capitale e dei dividendi che vengono “staccati” dall’indice) allora

Sτ = Se (r + x − q)(τ − t)

e sostituendo, con un po’ di pazienza, si ottiene

Fτ = Fe x (τ − t)

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75

Evoluzione nel tempo delprezzo di un dato future

La formula ora trovata (Fτ = Fe x (τ − t)) dice che il prezzo di un future cresce in ragione x, cioè pari all’extrarendimento dell’indice rispetto al tasso risk-free r– In pratica, per periodi di tempo brevi:

Questa x è una grandezza molto simile a quella presente nell’equazione fondamentale del CAPM: “l’extrarendimento di un portafoglio dipende dal suo beta e dall’extra rendimento di mercato”

txFFtxFF ∆≅

∆⇒∆⋅⋅≅∆

FFxrrrr m

∆≅≅−=−Π βββ )(

An

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76

Utilizzo di questa relazioneper finalità di copertura

Π≅∆Π

−Π

≅∆

−

Π

Π

rFF

r

rFFr

β

β1. Riordino la relazioneprecedente

2. Moltiplico per ilvalore del portafoglio

Guadagno da una posizione lunga sul

portafoglio Guadagno da una posizione corta su un

certo numero di futures sull’indice

Guadagno al tasso risk-free

(immunizzato)

An

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77

Copertura mediante futures su indici

La relazione precedente mi suggerisce quindi di andare corto su un numero di contratti futures pari a

volte l’indice. Ai fini pratici, possono servire

contratti, se ogni contratto riguarda m volte l’indice

(nota: Π è il valore del portafoglio, F è il valore del futures)

FΠβ

mFΠβ

An

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78

Copertura mediante futures su indici: esempio

43,6280500

000.000.19,0=

⋅⋅

=Π

mFβ

La Sarchiaponi Ltd. possiede titoli per un valore di un milione di dollari, con un beta, riferito al NYSE, di 0,9Desidera coprirsi con un future sullo S&P, contratto che riguarda 500 volte l’indice. Il prezzo future dell’indice è, oggi, $280Per proteggersi, deve vendere un numero di contratti future pari a:

cioè sei contratti, arrotondando all’intero più vicino.

An

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79

Utilizzo della relazioneper cambiare beta al portafoglio

FF

rr ∆Π

+Π=ΠΠβ1. Riordino

la relazioneprecedente

2. Aggiungo al portafoglio uno certo n. di futures

FF

rFF

r ∆Π

+Π=∆Π−

+ΠΠ

** )( βββ

Portafoglio di partenzapiù posizione future

(lunga se β*>β,corta se viceversa)

Guadagno similea quello di un

portafoglio conbeta pari a β*

An

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80

Futures su valute estere

Una valuta estera, in fondo, è un titolo che offre un dividend yield continuo.E’ infatti possibile depositarla in banca, ottenendo un tasso di interesse rf che, in generale, è diverso da rAllora la relazione tra prezzo (cambio) futures e prezzo (cambio) spot è

F = Se(r − rf)(T − t)

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81

Futures su valute estere:esempio

La relazione tra prezzo (cambio) futures e prezzo (cambio) spot è

F = Se(r − rf)(T − t)

Esempio: una sterlina vale 1,25 dollari, ed i tassi risk-free(composti continui) sono del 4% sul dollaro e del 3% sulla sterlina. Quanto vale un future a 2 mesi?

F = 1,25e(4% − 3%) . 2/12= 1.252

An

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82

Più formalmente: confronto tra due portafogli

Un future lungo

e un depositof + Ke-r(T − t)

e-rf(T − t) unitàdi valuta estera:

e- rf(T − t) SST

ST Il valore deidue portafoglisarà, certamenteil medesimo

Devono valereuguale anche ora

An

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83

Più formalmente: confronto tra due portafogli

e- rf(T − t)S=f + Ke-r(T − t)

f = e- rf(T − t) S - Ke-r(T − t)

Se voglio f=0:e- rf(T − t) S = Ke-r(T − t)

K(=F)= Se(r- rf)(T − t)Prezzo di

consegna dei nuovicontratti future,

dunque prezzo futuregiorno dopo giorno

An

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84

Tassi di interesse,prezzi spot e prezzi future

Se i tassi domestici (r) sono più elevati di quelli esteri (rf), allora la formula per F contiene un fattore di montante, e F è maggiore di SSe i tassi domestici (r) sono più bassi di quelli esteri (rf), allora la formula per F contiene un fattore di sconto, e F è minore di SIn pratica, il “cambio a termine” (future) segnala un deprezzamento della valuta con i tassi di interesse più alti

An

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85

Futures su merci

Non sono possibili vendite allo scopertoE’ necessario distiguere tra merci detenute per1. Finalità d’investimento (oro, argento): gli investitori sono

pronti a venderle se vedono la possibilità di profitti di arbitraggio

2. Finalità di consumo/produzione (petrolio, succo d’arancia):i proprietari sono restii a venderle, anche in presenza di profitti da arbitraggio

Nel primo caso, la merce può essere vista come un titolo con costi di immagazzinamento fissi (il cui valore attuale oggi è U) o continui (un dividend yield negativo, u) e si applicano le consuete formule

An

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86

Futures su merci: beni di investimento (es. oro)

Vale la relazione F = (S + U)er(T − t)

dove U è il valore attuale dei costi di «immagazzinamento» dell’attività sottostante, o in alternativa:

F = Se(r + u)(T − t)

dove u è il costo di «immagazzinamento» per unità di tempo espresso in proporzione al valore dell’attività sottostanteSe fosse F > (S + U)er(T − t) comprerei spot e venderei future, se fosse F < (S + U)er(T − t), non essendoci vendite allo scoperto, qualche investitore che possiede oro lo venderebbe spot per ricomprarlo a termine, spendendo meno

An

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87

Futures su merci:beni di consumo (es. petrolio)

Vale la relazione F ≤ (S + U)er(T − t)

dove U è il valore attuale dei costi di «immagazzinamento» dell’attività sottostante, o in alternativa:

F ≤ Se(r + u)(T − t)

dove u è il costo di «immagazzinamento» per unità di tempo espresso in proporzione al valore dell’attività sottostante

Infatti, se fosse F > (S + U)er(T − t) comprerei spot e venderei future, ma può essere che F < (S + U)er(T − t) e nessuno dei produttori di benzina che posseggono petrolio trova conveniente cederlo spot per ricomprarlo future

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88

Tasso di convenienza(convenience yield)

Se, per un bene di consumo, si osserva cheF ≤ (S + U)er(T − t) o F ≤ Se(r + u)(T − t)

Allora evidentemente detenere il bene è, per qualche ragione “conveniente” rispetto a possedere un future– Ad esempio per fronteggiare rialzi nella domanda

Il tasso di convenienza di questo bene è il tasso istantaneo y che “manca” al future per uguagliare il valore del bene:

F ey(T − t) = (S + U)er(T − t) o F ey(T − t) = Se(r + u)(T − t)

o ancora F = Se(r + u – y )(T − t)

e misura il “beneficio” connesso al possesso diretto della merce (è pari a zero per i titoli ed i beni di investimento).

An

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89

Costo di trasferimento(cost of carry)

Il costo di trasferimento, c, è uguale al «costo di immagazzinamento» più le «spese per interessi» meno il «reddito percepito»– Ad esempio c = u + r - d per un titolo la cui custodia costa,

istantaneamente u, ma che paga un dividend yield dE’ solo un modo più generale per esprimere i concetti e le logiche che già conosciamoPer i tutti i titoli ed i beni d’investimento vale la relazione

F = Sec(T − t)

Per i beni di consumo vale la relazione F ≤ Sec(T − t) o anche F = Se(c − y)(T − t)

An

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90

Esercizi consigliatiSui prezzi forward– 3.3, 3.4, 3.11

Sui futures su merci– 3.5, 3.6, 3.17

Sui futures su indici azionari– 3.12, 3.13, 3.14,

Sui futures su cambi– 3.15, 3.16, 3.17, 3.18

Sul legame tra prezzi future e previsioni dei prezzi spot– 3.7, 3.20

Sulle strategie di hedging con futures su indici– 3.24, 3.25

Un po’ più difficili:– 3.18, 3.19, 3.26, 3.27, 3.28