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Corso di Modelli Matematici per i Mercati Finanziari – Prof.ssa Rosella Giacometti

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ModelliModelli MatematiciMatematici per i per i MercatiMercati FinanziariFinanziariAnnoAnno accademicoaccademico 2005/062005/06

Prof.ssa Rosella Giacometti


2Il Il ValueValue at at riskrisk

Nuove metriche di rischio: il VaR-Cosa è il VaR -Come si calcola:La stima dei parametri di un modello VaR multinormale

-Misure di VaR marginale-Il VaR dei portafogli gestiti a benchmark


3Da quale esigenza e’ nato il VaR?Da quale esigenza e’ nato il VaR?

•Cattura, in un solo numero, un importante aspetto del rischio.

•Risponde alla semplice domanda: “Quanto male possono andare le cose?”

•Introduce il concetto di distribuzione di probabilità

•Permette di misurare strumenti diversi con lo stesso metro

•È facile da comprendere


4Misurazione del rischio di mercato. Misurazione del rischio di mercato.

Istogramma profitti/perdite giornalieri, JP Morgan 1995

02468

101214161820

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

Profitti perdite giornaliere ($m)

Num

ero

di g

iorn

i

m=7.6m$m=7.6m$

2


5ValueValue at at riskrisk. Analisi dell’istogramma. Analisi dell’istogramma

– Consideriamo l’istogramma di Profit & Loss (P&L) giornaliere della JP Morgan.

– Siamo concentrati sulle perdite estreme possibili e una stima monetaria di quanto è possibile perdere il giorno successivo (o alcuni giorni successivi) con una data probabilità.

– Fissiamo un livello di confidenza α che ci permette di individuare un punto di cut-off. Con α=95%, individuiamo la massima perdita W* giornaliera realizzabile il 95% delle volte (19 giorni su 20).

– Livello di confidenza 95% ∆W* =-11,4 m$– Livello di confidenza 99% ∆W* =-16,5m$


6Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?

Il calcolo del VaR mira a consentire un’affermazione del seguente tipo: “Siamo certi all’ α per cento che non perderemo più di W Euro nei prossimi N giorni”.

La variabile ∆W* è il VaR del portafoglio.

Il VaR è funzione di due parametri: N, l’orizzonte temporale, e α, il livello di confidenza.

La scelta di N dipende dal grado di liquidità dei mercati in cui gli operatori lavorano dalla frequenza con cui viene ricalibrato il portafoglio gestito


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Elementi fondamentali nel calcolo del VAR sono

livello di confidenza αorizzonte temporale N (dipende dalla liquidità delle posizioni)In genere si lavora con rendimenti R* (perdite percentuali) e

si deduce la perdita monetaria associata ∆W* .

Indichiamo con R(N) il rendimento aleatorio del portafoglio in [0,N].

Il valore critico R* è quel valore del rendimento per il quale vale

Pr[R(N)<R*]=1-α

Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?


8

RR*

99%

GraficamenteGraficamente

3


9

Siano

W0 valore dell’investimento inizialeE(WN) valore dell’investimento dopo N giorniW* dell’investimento valutato al livello critico

VaR= ∆W* = E(WN)-W*=W0 (1+ µ)-W0 (1+R*)= +µW0 -R*W0

Poiché l’orizzonte N è breve si pone µ =0 e

∆W* =-R*W0

Nella definizione di perdita e’ implicito un segno meno Var= |R*W0 |

Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?Cos’è il Valore a Rischio (VaR)?


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RData una distribuzione di probabilità P&L, il Var Data una distribuzione di probabilità P&L, il Var corrispondente ad un corrispondente ad un αα=99% ad N giorni =99% ad N giorni e’ e’ determinato dal punto di cut off R*, determinato dal punto di cut off R*, VAR=|R*WVAR=|R*W00||

R*

99%

GraficamenteGraficamente


11Come si calcola il VAR?Come si calcola il VAR?

– La metodologia VAR differisce principalmente nel modo in cui viene costruita la funzione di densità di probabilità.

– Le classiche tecniche per approssimare la distribuzione di probabilità sono:

• 1.Metodi parametrici o varianza covarianza• 2.Simulazioni storiche• 3.Simulazioni Montecarlo


12Metodo parametricoMetodo parametrico

VAR ad un giorno di una posizione unica con ipotesi di normalità

Dove σ è la volatilità giornaliera. Ipotizzando µ=0 e considerando α=99% questo si traduce nel dire che

e quindi

VAR=2,33σW0

Il VaR a N giorni si ottiene ipotizzando

VAR=2,33σW0√N

σσ 33,2* %1 == ZR

µσ

ασ

µσ

µα

α +=

−=−

<−

−=<

−1

*

*

1)Pr(1*)Pr(

ZR

RRRR

4


13Graficamente Graficamente αα=99% =99%

W*=2.33 σW0 √N

99%


14bibliografiabibliografia

Hull “Opzioni futures e e altri derivati” terza edizione il sole 24 oreCap 16 (VaR)Cap 26 (rischio di credito)


15PrevisionePrevisione delladella volatilitàvolatilità

•Come si calcola la volatilità?

Per semplicità possiamo usare la volatilità storica.

RiskMetrics usa l’ exponentially weighted moving averagemodel (EWMA) con utilizza λ = 0,94 .

A seguito di uno shock (un rendimento grande in valore assoluto), la volatilità reagisce velocemente allo shock, in base al peso dato all’informazione piu’ recente. Inoltre la volatilità decresce esponenzialmente nel tempo, rimanendo come patrimonio storico.

)( 21

21

21

2−−− −+= nnnn rr σλσ


16PrevisionePrevisione delladella volatilitàvolatilità

5


17Volatilità GiornaliereVolatilità Giornaliere

Nel calcolo del VaR si usa una misura di “volatilità giornaliera”Se ci sono 252 giorni lavorativi in un anno, la relazione tra la

volatilità giornaliera, σg e quella annuale, σa, è

Ricordiamo che se X∼N((µ1,σ12) e Y∼N((µ2,σ2

2) sono normali indipendenti allora X+Y ∼ N((µ1+ µ2,σ1

2 +σ22)

Questa formula è esatta quando le variazioni di valore del portafoglio in giorni successivi sono normali indipendenti, a media nulla e il rendimento è logaritmico.

252a

gσσ =


18VAR per attività che dipendono VAR per attività che dipendono da un solo fattoreda un solo fattore

Esempio Valute e Azioni. Ipotizziamo che il rendimento sia distribuito normalmente

Esempio con Azioni IBM

Abbiamo una posizione lunga su azioni IBM del valore di 10.000 Euro. La volatilità giornaliera dell’IBM è del 2% (circa il 32% su base annua)

Usiamo N = 10 e α = 99%

VaR=2,33σW0√N=1.473,621Euro


19Esempio con Azioni AT&TEsempio con Azioni AT&T

Valore della posizione: 5 mila EuroVolatilità giornaliera dell’AT&T: 1%

VaR decadale con un livello di confidenza del 99%:

VaR=2,33σW0√N= 368,405 Euro


20Il VaR di un portafoglioIl VaR di un portafoglio

Consideriamo un portafoglio con 2 azioni

dove σi è la volatilità dell’i-esima variabile xi è il valore della posizione i-esimaρ è il coefficiente di correlazione

Il Var del portafoglio di valore W è

2122

21 2 VARVARVARVARVARp ρ++=

σp2 = x1

2σ12 + x2

2σ22 + 2x1x2 ρσ1σ2

6


21Il VAR di un portafoglioIl VAR di un portafoglio

Considerando due titoli rischiosi

– se ρ=1

– se ρ=0

– se ρ=-1

E’ facile estendere ad un portafoglio ad n titoli

21VARVARVARp +=

2122

21 VARVARVARVARVARp +<+=

21VARVARVARp −=

2122



22Il VAR di un portafoglio: esempioIl VAR di un portafoglio: esempio

Consideriamo ora un portafoglio composto dalle azioni IBM e dalle azioni AT&T

Supponiamo che la correlazione tra i tassi di rendimento delle due azioni sia pari a 0,7


23Il VAR di un portafoglio: esempioIl VAR di un portafoglio: esempio

Dalla formula della varianza

Il VaR delle azioni IBM e AT&T è pari, rispettivamente, a 1.473,6 e a 368,4, il coefficiente di correlazione ρ = 0,7

quindi

4,17514,3686,14737,024,3686,1473 22 =×××++

2122



24VaR di un Portafoglio: esempioVaR di un Portafoglio: esempio

Il VaR delle azioni IBM e AT&T è pari, rispettivamente, a 1.473,621 e a 368,405

I benefici della diversificazione sono pari a

Qual è l’effetto marginale delle azioni AT&T sul VaR?

1.751,4 - 1.473,6 = 277,8

( ) 6,904,751.14,3686,473.1 =−+

7


25VaR marginale di un titoloVaR marginale di un titolo

Se voglio studiare il contributo marginale di un titolo A al VaR del portafoglio, devo:

1) Calcolare il VaR del portafoglio completo2) Calcolare il VaR del portafoglio completo - A3) calcolare la differenza tra i due VaR

Il VaR marginale può essere – positivo => contributo positivo al rischio– negativo => il nuovo titolo costituisce un “hedge”– nullo


26VaR di un Portafoglio: esempioVaR di un Portafoglio: esempio

il calcolo del VaR in forma matriciale è

Dove C è la matrice delle correlazioniIl VaR dell’esempio precedente puo’ essere calcolato come

' '1 0 V ( ) ( )pVaR Z W N x x VaR C VaRα−= =

[ ]1 0.7 1.473,6

1.473,6 368,4 1751,40.7 1 368,4pVaR

= =


27Il Modello LineareIl Modello Lineare

Abbiamo lavorato fino ad ora con un modello lineare in cui– la variazione di valore del portafoglio dipende

in modo lineare dalle variazioni di alcune variabili di mercato

– le variazioni di valore delle variabili di mercato si distribuiscono in modo normale


28Come risolviamo le non Come risolviamo le non linearita’linearita’

Se nel portafoglio sono presenti titoli il cui valore non varia in modo lineare rispetto al sottostante?

Esempio: Rendimenti su opzioni e obbligazioni non sono funzioni lineari delle variazioni nei fattori di rischio

S

Max(0,S-K)

i

P

8


29Il VAR per opzioni su azioniIl VAR per opzioni su azioni

Consideriamo un’opzione call C che dipende dal prezzo, S, di un’azione

Sia

SC

∆∆=δ SC ∆≈∆ δ

δδ SkSSCC o +=−+≈ )( 0

con k trascurabile perché costante1( )C sVAR VAR Z S Nαδ δ σ−= =


30Opzioni su IBM Opzioni su IBM

Consideriamo un’opzione su azioni IBM (il prezzo unitario del titolo è di Euro 120)

Il delta delle opzioni rispetto al prezzo del titolo è 0,6

il VAR della singola opzione su IBM con δ=0,6

VAR=2,33 × 120 × 0,02 × δ × √10=10,61 Euro


31Obbligazioni e tassi d’interesseObbligazioni e tassi d’interesse

Come vengono trattate le obbligazioni?due approcci1) linearizzazione2) clumping

Sia P il valore di una obbligazione, allora vale

La volatilità di tassi influenza la volatilità dell’obbligazione, secondo la relazione

ΜDP iip i

∆ ∆≈ − ⋅ ⋅

P iMD iσ σ≅ ⋅ ⋅

i tassi

P


32Obbligazioni e tassi d’interesseObbligazioni e tassi d’interesse

Il VaR viene calcolato come al solito

P iMD iσ σ≅ ⋅ ⋅

1 iVAR Z MD i P Nα σ−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Questo mi permette di calcolare il VAR in funzione della volatilità dei tassi invece che della volatilità del rendimento del titolo,

NPZVAR pσα−= 1

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33Cash Flow Mapping (clumping)Cash Flow Mapping (clumping)

Abbiamo visto un metodo per calcolare il VaR di un’obbligazione basato sulla approssimazione lineare.

Un approccio alternativo consiste nello scegliere come variabili di mercato tassi di rendimento spot di titoli senza cedola con scadenze standard (1m, 3m, 6m, 1a, 2a, 5a, 7a, 10a, 30a)

il problema diventa distribuire i flussi ct relativi a scadenze τ-1<t< τdiverse dalle scadenze scelte come riferimento, in flussi c τ-1e c τ

criteri– uguale segno dei flussi– uguale valore attuale (valore di mercato)– uguale rischio di mercato ( Riskmetrics suggerisce che i

flussi abbiano la stessa volatilità)



Occupiamoci di un flusso alla volta. Supponiamo di avere un flusso di 10000 Euro all’anno 6,5 e che le

scadenze di riferimento siano 5 e 7 anni

Per tali scadenze sono stati stimati i seguenti valori: • I tassi a 5 e a 7 anni sono pari al 6% e al 7%• Le volatilità giornaliere dei due tassi sono pari, rispettivamente,

allo 0,5 e allo 0,58%• La correlazione tra i tassi a 5 e a 7 anni e’ pari a 0,6


35GraficamenteGraficamente

5 6,5 7

i5=6%

i7=7%

σ5=0,5%

σ7=0,58%

scadenzeCorso di Modelli Matematici per i Mercati Finanziari – Prof.ssa Rosella Giacometti


Un metodo per procedere e’ l’interpolazione lineare delle curve dei tassi e delle volatilità

Il tasso a 6,5 anni, ottenuto mediante interpolazione dei tassi a 5 e 7 anni, è del 6,75%

La volatilità giornaliera del titolo a 6,5 anni, ottenuta mediante interpolazione delle volatilità dei titoli a 5 e 7 anni, è dello0,56%

10



5 6,5 7

i5=6%

i7=7%

σ5=0,5%

σ7=0,58%

scadenze

σ6,5=0,56%

i6,5=6,75%



Criterio 1: stessi segniCriterio 2: stesso valore di mercatoIl valore attuale del pagamento di 10.000 tra 6,5 anni è pari a

Allochiamo ai titoli a 5 e a 7 anni una quota del valore attuale dei 10.000 pari, rispettivamente, ad α e 1 - α

540.60675,1

000.105,6 =



Criterio 3 : stessa volatilita’

Supponiamo che la correlazione tra le variazioni dei prezzi dei titoli a 5 e a 7 anni sia pari a 0,6

Affinché la varianza del portafoglio sia uguale alla varianza del titolo a 6,5 anni occorre che

0,52α2 + 0,582(1-α)2 +2×0,6×0,5×0,58×α(1-α)=0,56 2

Risolvendo si ottiene α = 0,074Corso di Modelli Matematici per i Mercati Finanziari – Prof.ssa Rosella Giacometti

40Cash Flow MappingCash Flow Mapping (clumping)(clumping)

Il pagamento di 10.000 Euro tra 6,5 anni viene sostituito da duepagamenti:

- Euro 648=6.540×1,065×0,074 tra 5 anni

- Euro 9.725 =6.540 × 1,077 × 0,926 tra 7 anni

Il valore e la varianza del portafoglio così costruito sono uguali al valore e alla varianza del titolo a 6,5 anni.

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5 6,5 7

i5=6%

i7=7%

Euro 648

Euro 9725

scadenze

Euro10.000


42Se ho un BTP ?Se ho un BTP ?

Ipotizziamo che le scadenze di riferimento siano 3 mesi, 6 mesi e 1 anno. Il valore attuale della posizione sia W0.

- Scompongo il primo flusso in flussi a 3 e 6 mesi.- Scompongo il secondo flusso in 2 flussi a 6 mesi e 1 anno.- Sommo i flussi relativi alle scadenze 3 mesi, 6 mesi e 1 anno.- Le volatilità e le correlazioni dei tassi a 3 mesi, 6 mesi e 1 anno sono

note.- Calcolo la volatilità del portafoglio .- Calcolo il VaR come 2,33 × σ × √10 ×W0. - Oppure calcolo il VaR delle singole posizioni e aggrego i VaR…..

0,3 0,80,3 0,8

500001050000


43EsempioEsempio

flusso in 0,3 flusso in 0,8 totale volatilita'50000 1050000

3 mesi 37397 37397 0.0006

6 mesi 11793 319589 331382 0.001

1 anno 678074 678074 0.002

Noti ρ3mesi,6mesi=0,9 ρ3mesi,1anno=0,6 ρ6mesi,1anno=0,7

σ=0.003

VaR= 2,33 × 0.003 × √10 × W0Corso di Modelli Matematici per i Mercati Finanziari – Prof.ssa Rosella Giacometti

44RiassumendoRiassumendo

ho due nodi e un flusso ct da ripartire α e 1- α

1. dati i tassi nei due nodi, calcolo il tasso yt in t 2. dati i due nodi, calcolo la volatilità σt in t 3. calcolo il valore attuale W0=W(1+yt)-t

4. determino le percentuali di ripartizione α e 1- α in modo che la volatilità pesata dei 2 flussi sia uguale alla volatilità del flusso originale

5. determino i valori dei due flussi scomposti • W1= α W0(1+yτ-1)τ-1

• W2= (1-α) W0(1+yτ)τ

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45Procedura per il calcolo del VARProcedura per il calcolo del VAR

1. Valuto le posizioni a rischio e dei diversi fattori• posizioni in valuta• posizioni in azioni e indici azionari• posizioni in obbligazioni• prodotti derivati con pay-off non lineari

2. calcolo delle volatilità e correlazioni tra i fattori di rischio

3. Valuto l’orizzonte in base al tempo di liquidazione4. Scelgo il livello di confidenza5. calcolo del VaR per ogni classe6. aggrego i singoli VaR utilizzando le correlazioni


46Esempio 1Esempio 1

Supponiamo di essere un investitore italiano e di possedere un portafoglio in titoli azionari ($100) e obbligazionari statunitensi ($200). In nostro portafoglio e’ soggetto a 3 fonti di rischio.

Scomponiamo operazioni finanziari complesse in operazioni semplici

– Rischio di cambio USA ⇒300$× cambio €/$– Rischio di interesse USA ⇒ 200$ × cambio €/$– Rischio azionario USA ⇒ 100$ × cambio €/$

– cambio $/€=1/1.2



Stimiamo la volatilità del tasso di cambio, delle obbligazioni edelle azioni

Calcoliamo il Var di ogni posizione

Supponiamo, per semplicità, che la correlazione tra i diversi comparti sia nulla allora

3223

22

211

VARVARVARVARVARVARVARp ++<++=



Supponiamo che le volatilità delle singole posizioni siano pari a

– Volatilità del tasso di cambio 10%- Volatilità della posizione in obbligazioni 7% ( )- Volatilità delle azioni 15%

Calcoliamo, usando un foglio excel il Var del portafoglio

Inserire le correlazioni corrette

3223

22

211

VARVARVARVARVARVARVARp ++<++=

rP rMD σσ ⋅⋅≅

13



Il contributo di un titolo al VaR complessivo di un portafoglio dipende dalla composizione pregressa.

Esempio Due investitori A e B inseriscono in portafoglio titoli IBM con VAR=20L’investitore A ha un portafoglio prevalentemente azionario USA con VaR=100L’investitore B ha un portafoglio prevalentemente obbligazionario con VAR= 100

Cosa mi aspetto?



Supponiamo che

la correlazione delle azioni IBM con il portafoglio esistente USA sia 0.8 la correlazione delle azioni IBM con il portafoglio esistente obbligazionario sia 0.2

2122




Il Var del portafoglio A diventa

Con un VaR marginale di 16.62

Il Var del portafoglio B diventa

Con un VaR marginale di 5.83

62.116100208.0220100 22 =×××++=AVAR

83.105100202.0220100 22 =×××++=BVAR


52Osservazioni finaliOsservazioni finali

Il rischio marginale di un nuovo titolo in portafoglio dipende dalla composizione pregressa.

Il VaR di portafoglio può subire delle variazioni a causa di un aumento della volatilità del mercato, anche a parità di composizione.

Ricordiamoci la scomposizione del rischio in

Rischio totale= Rischio specifico+ rischio sistematico

Anche in questo caso la “diversificazione” agisce solo sul rischio specifico

14


53Vantaggi e Svantaggi Vantaggi e Svantaggi

Questo approccio è molto facile e trattabile tuttavia:

il calcolo della matrice di varianza covarianza non è banale per grandi portafogli,

le ipotesi di normalità sono molto limitative,

è possibile ipotizzare altre distribuzioni (esempio gamma) ma non tutte hanno la stessa versatilità della normale,

le non linearità degli assets rimangono un problema se il portafoglio non è quasi lineare in partenza (con poche opzioni)


54Simulazioni StoricheSimulazioni Storiche

Idea alla base del metodo

Questo metodo si basa sull’ipotesi che l’andamento dei prezzi segue un moto che si ripete nel tempo

Seguendo questo approccio, la costruzione della variazione nel valore del portafoglio viene effettuata in base ai dati storici e non in base a delle ipotesi sulla distribuzione dei rendimenti (per questo motivo viene spesso chiamato metodo non parametrico)



Passi

1. Individuati i fattori di rischio e data la loro serie storica, viene costruito il database e delle variazioni percentuali giornaliere dei fattori di rischio su un orizzonte τ.

2. Partendo dal valore attuale del fattore di rischio, si costruisce una serie di fattori di rischio futuri, moltiplicando tra loro il valore attuale e le variazioni passate.

3. Per ogni variazione cosi’ ottenuta, si valuta il valore finale del portafoglio considerando la composizione odierna.



Passi….. ( continua)

4.Si valuta la variazione percentuale nel valore del portafoglio o rendimento

5. Si costruisce la distribuzione empirica del portafoglio.

6. Infine si calcoli il VAR a τ

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57Simulazioni Storiche Simulazioni Storiche --VantaggiVantaggi

– estremamente semplice (basta uno spread-sheet),– non richiede il calcolo della matrice di varianza e covarianza,– non richiede l’ipotesi di distribuzione normale,– non ha problemi con non linearità

– richiede la disponibilità di molti dati,– l’ipotesi che il passato è una accurata immagine del futuro è

molto forte,– i dati passati hanno tutti lo stesso peso nel determinare il

futuro.– la scelta della lunghezza del database influenza i risultati


58Simulazioni Monte CarloSimulazioni Monte Carlo

L’idea alla base del metodoL’idea di base di questo metodo è la simulazione di un grande

numero di scenari di evoluzione dei prezzi. Consideriamo una sola azione

Si consideri un’azione che non paga dividendi con tasso di rendimento atteso µ e volatilità annua ρ

Possiamo simulare un «sentiero» scegliendo un intervallo di lunghezza ∆t e usando la versione discreta del processo:

dove ε è un’estrazione casuale da N(0, 1)

ttSS ∆+∆=∆ σεµ

tStSS ∆+∆=∆ εσµ


59Metodo Monte Carlo Metodo Monte Carlo -- Un Sentiero Un Sentiero

σ=20%σ=20% µ=14% ∆µ=14% ∆tt =0.01 =0.01 annianni

————————————————————————————————————————————Prezzo Shock effetto Shock Variazione

S ε η = ( µ ∆t + σ ε √ ∆t ) ∆S = Sη————————————————————————————————————————————20,000 0,52 0,0118 0,23620,236 1,44 0,0302 0,61120,847 −0,86 −0,0158 −0,32920,518 1,46 0,0306 0,62821,146 −0,69 −0,1240 −0,26220,883 −0,74 −0,0134 −0,28020,603 0,21 0,0056 0,11520,719 −1,10 −0,0206 −0,42720,292 0,73 0,0160 0,32520,617 1,16 0,0246 0,50721,124 2,56 0,0526 1,111————————————————————————————————————————————

(0.14 0,2 )0.01

S S t tt

ε∆ = ∆ + ∆∆ =


60Metodo Monte Carlo Metodo Monte Carlo -- Un Sentiero Un Sentiero

1) Questo è solo uno dei possibili scenari

Scenario

19.820

20.220.420.620.821

21.221.4

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

tempo

Pre

zzo

azio

ne

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61Estrazioni da una Normale BivariataEstrazioni da una Normale Bivariata

Per ottenere un’estrazione casuale da una normale bivariata si devono generare, da N(0, 1), due estrazioni indipendenti, x1 ed x2

Quindi si pone

dove ρ è il coefficiente di correlazione tra le variabili della distribuzione bivariata (SI VEDA FOGLIO EXCEL)

Una procedura nota come scomposizione di Cholesky può essere utilizzata per estrarre campioni da distribuzioni normali multivariate

221211 1 e ρρεε −+== xxx


62Simulazioni Monte CarloSimulazioni Monte Carlo

Passi

1. Specifica il “meccanismo casuale” che governa i fattori di rischio.

2. Stima i parametri dai dati storici3. Simula diversi scenari di evoluzione dei fattori di rischio4. Considera le correlazioni5. Calcola i prezzi dei singoli asset che costituiscono il portafoglio6. Calcola e ‘memorizza‘ il rendimento del portafoglio7. Ripeti i punti 3,4,5,6 molte volte(NSIM)8. Calcola il VAR della distribuzione empirica


63Metodo Monte Carlo: Vantaggi e SvantaggiMetodo Monte Carlo: Vantaggi e Svantaggi

L’approccio è simile alle simulazioni storiche ma qui gli scenari sono ottenuti grazie ad un processo stocastico

E’ un approccio molto potente tuttavia– e’ molto oneroso perché una buona stima del VAR richiede molte

simulazioni (N_SIM),– un portafoglio di 100 titoli richiede 100*N_SIM simulazioni,– il rischio di modello ha un peso notevole.


64RiassumendoRiassumendo

Paramet Simul. Storiche

Montecarlo

Asset non lineari

no si si

Distribuzioni normale qualsiasi qualsiasi Calcolo Σ si no si Correlazioni si si si Valuation partial Full Full Model risk si no si Facile implement.

si si no

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65BackBack--Testing e Stress Tests Testing e Stress Tests

Le procedure di back-testing verificano, in via retrospettiva, l’accuratezza delle misure di VaR

Rispondono alla domanda: “Quanto spesso si sono verificate perdite superiori al VaR decadale con un livello di confidenza del 99 per cento?”

Gli stress tests consistono nella stima della performance del portafoglio in presenza di alcuni tra i più estremi movimenti dimercato verificatisi negli ultimi 10 o 20 anni


66VaR e CVaR e C--VaRVaR

Il VaR è il livello delle perdite che, ad un certo livello di probabilità,non verrà superato

Varα=(R*| Prob(R<R*)=1-α)

Il C-VaR ( o expected shortfall) è la perdita attesa, condizionata dal fatto che la perdita sia superiore al VaRIl C-VaR non è molto usato, anche se è teoricamente più attraente del VaR

C-Varα=E(R|R<Varα)


67VaR e Requisiti PatrimonialiVaR e Requisiti Patrimoniali

Le autorità di vigilanza chiedono alle banche di avere un capitale minimo pari al prodotto tra la media dei VaR stimati negli ultimi 60 giorni lavorativi (con N = 10 e X = 99) e un coefficiente moltiplicativo

Di solito, il coefficiente moltiplicativo è pari a 3

Il Valueat risk - UniBG at risk.pdf · Hull “Opzioni futures e e altri derivati” terza edizione...

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