I BERNOULLI: una grande famiglia Firenze, 30 maggio 2012 Sala de Dugento - Palazzo Vecchio...

I BERNOULLI: una grande famiglia Firenze, 30 maggio 2012 Sala de Dugento - Palazzo Vecchio Premiazione provinciale delle Olimpiadi della Matematica e della Fisica

LA FAMIGLIA BERNOULLI La famiglia Bernoulli discende da una famiglia protestante originaria delle Fiandre; nel 1576 fugg da Anversa per sottrarsi ai massacri degli Ugonotti da parte dei Cattolici. Dopo un periodo di rifugio a Francoforte, la famiglia Bernoulli si trasfer in Svizzera, dove si stabil a Basilea nel 1583 e dove il capostipite divent un commerciante di successo. Anche Nicolaus Bernoulli fu un commerciante come lo erano stati suo nonno e il suo bisnonno; tutti questi uomini avevano sposato delle figlie di commercianti e, tranne il bisnonno, avevano accumulato ingenti fortune. Il primo che si allontan dalla tradizione fece il medico; il genio matematico, tuttavia, forse latente da qualche generazione, si manifest improvvisamente a partire dai suoi figli. Nessuna famiglia nella storia della matematica ha prodotto tanti matematici celebri come la famiglia Bernoulli. Fra i membri di questa famiglia circa una dozzina si affermarono nel campo della matematica e della fisica e quattro furono eletti membri stranieri dell'Acadmie des Sciences. Diversi membri della famiglia hanno contribuito notevolmente alle scienze, al punto che spesso nello studio di tali discipline si incontra il cognome Bernoulli, pur riferito a componenti diversi di tale famiglia. Con Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler e Joseph Lagrange, i Bernoulli dominarono la matematica e la fisica del XVII e XVIII secolo dando contributi critici al calcolo differenziale, geometria, meccanica, balistica, termodinamica, idrodinamica, ottica, elasticit, magnetismo, astronomia e teoria della probabilit.

Contrariamente ad altri scienziati della loro epoca, poco o nulla conosciuti, la famiglia Bernoulli fu una vera dinastia di geni e scienziati che godette, gi all'epoca, di una enorme fama e popolarit, fino a costituire sinonimo, nell'immaginario popolare, di portatori di inarrivabile scienza. Erano tanto geniali e brillanti quanto arroganti e presuntuosi che spesso dettero vita ad aspre rivalit l'uno contro l'altro. Il primo a raggiungere una posizione preminente nel campo della matematica fu Jacob Bernoulli, conosciuto anche come Jacques o James. Vista la ricorrenza dei nomi all'interno della famiglia, alcuni dei personaggi vengono citati con un numero progressivo, come i membri di una dinastia; inoltre, tenuto conto sia delle origini che di altri aspetti della storia, vengono citati sia con i nomi tedeschi che con i nomi francesi. Alla famiglia Bernoulli stato dedicato un asteroide: 2034 Bernoulli. Oggi ci occuperemo dei tre maggiori esponenti di questa famiglia: Jacob, Johann e Daniel.

Nicolaus commerciante Jacob I geometria,teoria delle probabilit, statistica Nicolaus Nicolaus I probabilit applicate a questioni legali, equazioni differenziali Johann I calcolo e cinetica Nicolaus II geometria ed equazioni differenziali Daniel I botanica e fluidodinamica Johann II luce e di calore Johann III teoria della probabilit Daniel II Jakob II elasticit, idrostatica, balistica

JACOB BERNOULLI Jacob Bernoulli (noto anche come Jacques Bernoulli o Giacomo Bernoulli) (Basilea, 27 dicembre 1654 Basilea, 16 agosto 1705). Jacob Bernoulli segu la volont di suo padre cominciando gli studi in teologia, ma nel 1676 incontr Robert Boyle durante un viaggio in Inghilterra, e si dedic cos alle scienze e alla matematica. Nel 1682 divenne rettore all'Universit di Basilea e nel 1687 professore di matematica. Fece molti viaggi per incontrare scienziati di altri paesi. I suoi interessi erano orientati verso le ricerche sugli infinitesimi dalla lettura delle opere di Wallis e di Barrow; tenne una corrispondenza con Gottfried Leibniz negli anni 1684-1686 dai cui primi scritti sull'argomento apprese il calcolo differenziale che svilupp nei decenni successivi, con la collaborazione del fratello, Johann, e sempre sotto la supervisione dello stesso Leibniz.

I suoi primi scritti sulle curve trascendenti (1696) e isoperimetria (1700, 1701) sono i primi esempi di tali applicazioni. Nel 1690, allorch sugger a Leibniz il termine di integrale, pubblicava gi propri scritti sull'argomento sugli Acta Eruditorum. Fra le altre cose, egli mise in rilievo che in un punto di massimo o di minimo la derivata di una funzione non necessariamente uguale a 0, ma pu assumere un valore infinito, oppure pu assumere una forma indeterminata. Si interess fin dall'inizio alle serie infinite, e nel suo primo scritto sull'argomento nel 1689 presentava la nota disuguaglianza di Bernoulli Lavor anche su vari tipi di equazioni differenziali (riducibili ad omogenee, a variabili separabili) e in particolare sull'equazione che porta il suo nome l'idea di risolverla riconducendola ad un'equazione lineare del fratello Johann.

LA LEMNISCATA Jakob Bernoulli fu affascinato dai problemi delle curve e dal calcolo infinitesimale: una curva porta il suo nome: la lemniscata di Bernoulli. Essa si presenta come una figura simile ad un otto coricato o a un nastro annodato (lemniscus). La sua equazione cartesiana questa La lemniscata fu descritta per la prima volta sugli Acta Eruditorum nel 1694 da Jacob Bernoulli, come modificazione dellellisse, che il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi costante. Una lemniscata, viceversa, il luogo dei punti per i quali il prodotto di queste distanze costante. La lemniscata era in effetti gi stata trattata da Giovanni Cassini nel suo studio del 1680 sullovale che porta il suo nome, di cui la lemniscata costituisce un caso particolare. Giovanni Fagnano dei Toschi nel 1750 ne studi le principali propriet.

LISOCRONA Egli riconobbe nel 1690 che la parabola semicubica l'isocrona ossia la curva piana lungo la quale un punto materiale scende per effetto della gravit da un qualunque punto al punto pi basso esattamente nello stesso tempo.

LA BRACHISTOCRONA Un altro problema affrontato da Jacob e la cui soluzione si trova in un testo del 1701 quello della brachistocrona, che fu proposto per la prima volta in forma ufficiale dal fratello Johann nel 1697. Si tratta della ricerca della curva del tempo pi corto: fissati due punti A e B, e si considera una massa puntiforme M che si muove in un piano verticale su una guida senza attrito che connette i punti A e B; la massa M soggetta alla forza peso. Il tempo che M impiega per andare dal punto A al punto B (con velocit iniziale nulla) dipende dalla traiettoria, che determinata dalla forma della guida. La soluzione del problema un arco di cicloide che passa per i due punti A e B. La cicloide una curva piana tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta.

TEORIA DELLE PROBABILITA La sua opera principale Ars Conjectandi pubblicato postumo nel 1713, un lavoro fondamentale della teoria delle probabilit. I concetti campionamento bernoulliano, variabile aleatoria bernoulliana, teorema di Bernoulli sono legati ai suoi lavori e nominati in suo onore. In statistica si definiscono campioni bernoulliani quei campioni che si ottengono, in un'indagine campionaria, quando le unit della popolazione sono estratte a caso, una per volta, e con reinserimento. Si parla di schema di campionamento con ripetizione perch una unit della popolazione, una volta estratta, pu ripetersi nel campione (si pu estrarre pi volte lo stesso elemento). Ci equivale a dire che, in ogni estrazione, la probabilit che si verifichi un evento costante. In teoria delle probabilit la distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana) una distribuzione di probabilit su due soli valori, 0 e 1; si tratta della distribuzione di probabilit di una variabile aleatoria che assume valore 1 con probabilit p quando un certo evento si realizza (successo) valore 0 con probabilit q (probabilit contraria 1p) quando l'evento non si realizza (fallimento o insuccesso)

Il teorema di Bernoulli detto anche legge debole dei grandi numeri o legge empirica del caso. Si considerano: la probabilit p del verificarsi di un evento la frequenza a/n dellevento (a numero delle volte in cui l'evento si presentato, n numero delle prove eseguite) la probabilit che la differenza fra a/n e p sia in valore assoluto minore di (numero positivo arbitrariamente piccolo) tende a 1 al crescere di n.

PREMIAZIONE GARA A SQUADRE DI FIRENZE

Istituto Superiore Russell-Newton Istituto Aeronautico Militare Douhet Liceo Scientifico Leonardo da Vinci Liceo Scientifico Castelnuovo

JOHANN BERNOULLI Johann I Bernoulli o Jean I Bernoulli (Basilea, 27 luglio 1667 Basilea, 1 gennaio 1748) stato un matematico svizzero, uno dei pi importanti scienziati della famiglia Bernoulli, fratello minore di Jakob, il capostipite della famiglia. Educ il grande matematico Eulero ed conosciuto per i suoi contributi al calcolo infinitesimale.Basilea 27 luglio 1667 Basilea 1 gennaio 1748 matematico svizzero famiglia Bernoulli Jakob Eulero calcolo infinitesimale

Johann cominci a studiare medicina allUniversit di Basilea. Suo padre cerc di costringerlo ad occuparsi del negozio, ma Johann disert e convinse suo padre a fargli studiare medicina.Universit di Basilea A diciottanni (1690) ottenne il diploma di Magister artium, con una dissertazione sulleffervescenza e sulla fermentazione, ma poco tempo dopo (1691-1692) cap di aver fatto un errore scegliendo la medicina e cominci a studiare la matematica al fianco di suo fratello maggiore Jakob, componendo due piccoli manuali sul calcolo differenziale e su quello integrale; tuttavia nessuno dei due stato pubblicato per molto tempo.Jakob Dopo la laurea allUniversit di Basilea Johann Bernoulli insegn equazioni differenziali. Successivamente, nel 1694 Johann Bernoulli spos Dorothea Falkner e subito dopo, nel 1695, accett il posto di professore di matematica allUniversit di Groninga. Nel 1705, alla morte del fratello Giacomo dovuta a tubercolosi, gli succedette nella cattedra di matematica a Basilea.equazioni differenzialiUniversit di Groningatubercolosi

Johann Bernoulli fu pi proficuo del fratello in matematica e contribu molto a diffondere il calcolo differenziale e integrale in Europa; il suo campo dattivit comprendeva oltre la matematica, la fisica, la chimica e lastronomia. Come studente del calcolo infinitesimale di Leibniz, egli infatti ebbe con lui una fitta corrispondenza e nel 1713 difese la sua causa contro Newton.calcolo infinitesimaleLeibniz Sebbene Jakob e Johann lavorassero insieme prima che Johann si laureasse allUniversit di Basilea, i due svilupparono in seguito una relazione di gelosa competizione. Johann fu geloso della posizione di Jakob e i due spesso tentarono di farsi fuori a vicenda. Dopo la morte di Jakob la gelosia di Johann si rivers nei confronti del suo figlio talentuoso, Daniel. Nel 1738 il duo padre-figlio pubblic quasi simultaneamente lavori separati sullidrodinamica.Danielidrodinamica

Contributi alla matematica Nel 1691 Johann Bernoulli accentu ancora le tensioni con i suoi fratelli nel momento in cui riusc a risolvere il problema della catenaria proposto da Jakob. catenaria Si definisce catenaria una particolare curva piana iperbolica (dall'aspetto simile alla parabola), il cui andamento quello caratteristico di una fune omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso.curva pianaparabola

Nel 1696 Johann Bernoulli propose il problema della brachistocrona (per questo viene spesso considerato l inventore del calcolo delle variazioni), sebbene l avesse gi risolto lui stesso. In due anni egli ricevette cinque risposte, una delle quali da suo fratello maggiore, Jakob. Apparecchio conservato all'Istituto e Museo di Storia della Scienza di Firenze. Permette di verificare sperimentalmente che un grave impiega minor tempo a discendere lungo l'arco di una cicloide che non lungo la corda corrispondente.

Johann Bernoulli inoltre diede contributi alla geometria differenziale con le sue ricerche intorno alle linee geodetiche di una superficie. A lui viene spesso attribuita anche linvenzione del calcolo esponenziale. Johann conosceva anche le relazioni esistenti tra funzioni trigonometriche e logaritmi immaginari. In lettere scambiate con altri matematici discusse anche la questione dei logaritmi di numeri negativi. Egli cerc di sviluppare la trigonometria e la teoria dei logaritmi da un punto di vista analitico. Johann Bernoulli aveva pubblicato anche moltissimi scritti su parecchi aspetti avanzati dellanalisi (lisocrona, i solidi di minima resistenza, la catenaria, la trattrice, le traiettorie, le curve caustiche, i problemi isoperimetrici), conquistandosi una buona fama.catenariatrattrice

Trattrice con oggetto posizionato inizialmente nel punto (4,0)

Controversie con Guillaume de lHpital Bernoulli fu scelto dal marchese de l'Hpital per essere aiutato a studiare matematica. de l'Hpital Bernoulli e de l Hpital firmarono un contratto che, dietro il compenso di un salario regolare, corrispondente alla met dello stipendio di un professore universitario dell epoca, dava a de l Hpital il diritto di usare le scoperte di Bernoulli come meglio credeva. Ma c era per questo il patto con il diavolo: Jean Bernoulli si impegnava a risolvere tutti i problemi che De L Hopital gli avrebbe sottoposto, a non rivelare a nessuno le sue scoperte e non parlare con nessuno del loro accordo.

Tale contratto ebbe come risultato uno dei principali contributi di Bernoulli, risalente al 1694, che da allora fu sempre conosciuto come la regola di de l'Hpital sulle forme indeterminate.regola di de l'Hpital Nell'analisi matematica la regola di de l'Hpital un procedimento che permette di calcolare vari limiti di quozienti di funzioni reali di variabile reale che convergono a forme indeterminate delle formeanalisi matematicafunzioni reali di variabile realeforme indeterminate con l'aiuto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore.derivata La regola si pu estendere per cercare di calcolare limiti di funzioni appartenenti ad altre forme indeterminate. 0/00/0

La regola prende il nome da Guillaume de l'Hpital, matematico francese del XVII secolo, che la pubblic per la prima volta nel suo libro Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696).Guillaume de l'HpitalXVII secolo1696 stato in seguito provato che la regola da attribuirsi a Johann Bernoulli, suo insegnante; di conseguenza viene talora chiamata regola di Bernoulli.Johann Bernoulli Questa regola, oggi molto nota, fu incorporata da de lHpital nel primo manuale di calcolo differenziale che sia mai stato stampato, intitolato Analyse des infiniment petits e pubblicato a Parigi nel 1696. Nella prefazione lautore ammette di dovere molto a Leibniz e ai Bernoulli, specialmente al giovane professore di Groningen.

Johann Bernoulli scrisse al marchese de lHpital per ringraziarlo di avere fatto il suo nome nel libro, ma dopo la morte del marchese, avvenuta nel 1704, Bernoulli in numerose lettere ad altri matematici accus sostanzialmente lautore di plagio. I contemporanei consideravano infondate le pretese di Bernoulli: la pubblicazione recente della corrispondenza tra Bernoulli e de lHpital mostra per che gran parte del lavoro era evidentemente dovuto a Johann Bernoulli. Bernoulli non pubblic mai il suo manuale sul calcolo differenziale (esso vide finalmente la luce soltanto nel 1924), mentre il testo sul calcolo integrale apparve cinquantanni dopo che era stato scritto, nelledizione delle sue Opera omnia nel 1742.

La disuguaglianza di Bernoulli afferma che: per ogni intero n 0 e ogni numero reale x -1.interonumero reale La disuguaglianza di Bernoulli un passo cruciale nella dimostrazione di altre disuguaglianze. Dimostrazione La disuguaglianza banalmente vera per n = 0. Dimostriamola allora per induzione. Supponiamo che sia vera per n: allora dobbiamo dimostrare che vera anche per n + 1. Moltiplichiamo entrambi i membri per (1 + x), fattore che sempre maggiore di 0 per ipotesi.disuguaglianzainduzione Otteniamo: Poich nx 2 0, l'omissione di questo termine pu solo rendere pi forte la relazione di disuguaglianza, quindi:

Grafico delle funzioni y = x x ed y = x - x sull'intervallo x (0, 1]. In matematica, il sogno del sophomore un nome usato occasionalmente per le identit identit scoperto nel 1697 da Johann Bernoulli

PREMIAZIONE OLIMPIADI DELLA MATEMATICA (Firenze e Prato)

TOMMASO CORTOPASSI (Enriques) LEONARDO MARINI (Buzzi) Gara provinciale (biennio) SIMONE MAZZOLINI (Pontormo)

Gara provinciale (triennio) MARCO AFFORTUNATI (Castelnuovo) ANDREA BRACONI (Leonardo da Vinci) MARCO CASINI (Leonardo da Vinci) FRANCESCO COLASANTO (Leonardo da Vinci) ROBERTO BUONAFEDE (Leonardo da Vinci) CLAUDIO DATTOLO (Leonardo da Vinci)

Gara provinciale (triennio) EDOARDO DINI (Gobetti) LUDOVICA FAZIO (Leonardo da Vinci) TOMMASO GIULIANI (Leonardo da Vinci) FRANCESCO LEONE (Copernico) LORENZO FAZZINI (Rodolico) ANGELICA LOSSI (Rodolico)

Gara provinciale (triennio) CHIARA LUCARELLI (Agnoletti) FRANCESCO A. MANCARI (Leonardo da Vinci) ALBERTO MARCANTONIO (Copernico) LUCIO MESSINA (Buzzi)

Finale nazionale CAMILLA BRIZZI (Leonardo da Vinci) SIMONE GIANTOMASI (Leonardo da Vinci) LORENZO LUGO (Leonardo da Vinci)

Finale nazionale Medaglia di bronzo CARLO AKIRA BEMPORAD (Castelnuovo) ZHANG CHEN (Copernico)

Finale nazionale Medaglia dargento CARLO FOSCHI (Castelnuovo)

DANIEL BERNOULLI Figlio di Johan, nato l8 Febbraio del 1700 a Groningen nei Paesi Bassi, insieme al padre e allo zio Jacob stato un importante studioso di matematica e a differenza del padre e dello zio si interess anche delle sue applicazioni in alcuni settori della fisica. Dal 1725 al 1733 fu professore a Pietroburgo insieme al fratello maggiore Nicolaus. Di questo periodo sono ricordate le discussioni tra i due fratelli su un problema che divenne famoso come il paradosso di Pietroburgo Nel 1738 Daniel Bernoulli pubblica un lavoro sulla idrodinamica Hydrodynamica Questo lavoro contiene per la prima volta la corretta analisi del moto dellacqua che fluisce da un foro di un contenitore. Questa analisi si basava sul principio di conservazione dell'energia che aveva studiato con suo padre nel 1720. Una notevole scoperta appare nel capitolo 10 del Hydrodynamica dove Daniel ha esposto la base per la teoria cinetica dei gas e in qualche modo ha anticipato l'equazione di stato dei gas reali di Van der Waals realizzata un secolo pi tardi. Daniel Bernoulli si interessato anche di altri aspetti della fisica come mostrano gli scritti che li sono valsi per ben 10 volte il premio dellAccademia di Parigi. Argomenti di astronomia e argomenti nautici. Ha vinto nel 1740 (insieme con Eulero ) per lavori sulle maree, nel 1743 e 1746 per i saggi sul magnetismo, nel 1747 per aver introdotto un metodo per determinare il tempo in mare, nel 1751 per un saggio sulle correnti oceaniche, in 1753 per gli effetti delle forze sulle navi, e nel 1757 per le proposte per ridurre il beccheggio. E morto il 17 marzo del 1782 a Basilea in Svizzera

IL TEOREMA DI BERNOULLI a cura di MARTA IACCARINO

ENUNCIATO: In un fluido in movimento e costante la somma di pressione p, energia cinetica per unita di volume 1/2dv 2 e energia potenziale gravitazionale per unita di volume dgh. p+1/2dv 2 +dgh=costante

lavoro forze di pressione L p =F 1 x 1 F 2 x 2 = p 1 A 1 x 1 p 2 A 2 x 2 =(p 1 p 2 )V spinge il fluido si oppone al moto del fluido V = A 1 x 1 = A 2 x 2 = m/d la massa si conserva d costante

teorema dellenergia: lavoro netto e pari a variazione energia cinetica conservazione energia meccanica per un fluido ideale

TEOREMA DI BERNOULLI IN PILLOLE a cura di NICOLO GUARDUCCI

Alettoni Il principio fisico che sta alla base del funzionamento di un alettone automobilistico esattamente lo stesso che permette agli aerei di volare, ma viene utilizzato nella maniera opposta. Invece di sostenere il mezzo in aria, lo spinge maggiormente verso terra, ovvero lavora per creare deportanza invece che portanza come negli aeromobili.

Arterosclerosi l'Arterosclerosi una malattia provocata dall'accumulo di materiale lipidico nello strato pi interno delle arterie. Per l'equazione di Bernoulli ad una diminuzione della sezione della cavit dove scorre il liquido (in questo caso sangue) corrisponde un aumento di velocit di quest'ultimo il quale provoca un abbassamento della pressione interna in quel punto. Di conseguenza la pressione esterna sar maggiore di quella interna e tender a schiacciare l'arteria cos da diminuire ulteriormente il flusso di sangue.

Respirazione degli squali Come gli altri pesci, lo squalo estrae l'ossigeno dall'acqua marina al passaggio nelle branchie. Un'apertura modificata, chiamata "sfiatatoio", posizionata proprio dietro gli occhi. Questa apertura ha lo scopo principale di agevolare l'ingresso dell'acqua durante la respirazione e gioca un ruolo assai importante per gli squali che vivono sui fondali.

Durante il movimento, l'acqua pu passare attraverso la bocca e quindi raggiungere le branchie dello squalo in un processo noto come ventilazione ad ingoio. Anche a riposo, molti squali continuano a pompare acqua attraverso le branchie per assicurarsi una riserva costante di acqua ossigenata. Una piccola parte delle specie di squalo trascorre l'intera vita nuotando in immersione. Gli squali con queste caratteristiche hanno perso la facolt di pompare acqua attraverso le branchie, e sono permanentemente costretti alla respirazione per ingoio, anche durante le fasi di riposo. Se per qualche motivo accade che non si possano mantenere in movimento, ad esempio perch sono ferite, queste specie sono condannate all'asfissia.

Porte che sbattono Una corrente daria che passa davanti ad una porta aperta crea un abbassamento della pressione dellaria che preme su quel lato della porta, mentre la pressione sul lato opposto resta invariata. La porta comincia quindi a chiudersi lentamente, poi, una volta perpendicolare alla corrente, si chiude di botto. Anche il fastidioso fenomeno delle porte che sbattono quando c corrente si pu spiegare con il principio di Bernoulli.

Tiro a effetto Anche i calciatori e i tennisti sfruttano il principio di Bernoulli quando provano il cosiddetto tiro a effetto.

A causa della viscosit dellaria una pallina che ruota tende a trascinare nel suo moto anche laria che la circonda. Il moto complessivo dellaria rispetto al centro della palla quindi dato dalla composizione di una rotazione e di una traslazione. Poich da una parte le due velocit si sommano, mentre dallaltra si sottraggono, l dove sar minore la velocit dellaria sar maggiore la pressione, e la pallina subir quindi una deviazione. La peluria sulle palline da tennis ha proprio la funzione di trascinare con s quanta pi aria possibile

Gli effetti del vento sui capelli Siamo spesso portati a credere che quando siamo colpiti dal vento i nostri capelli si muovano seguendo la corrente del vento, come mostra lillustrazione qui a lato. Ci non del tutto vero, poich il vento crea un abbassamento di pressione ai lati della nostra testa, e i capelli si drizzano quindi lateralmente.

Una tipica applicazione dellequazione di continuit e dellequazione di Bernoulli si osserva in un getto dacqua che fuoriesce da un rubinetto. La sua velocit cresce man mano che il getto cade: poich la portata deve essere la stessa in tutte le sezioni, lungo la caduta il getto si deve assottigliare. In alcuni tipi di fontane avviene esattamente il contrario. Lo zampillo che sale verso lalto perde man mano velocit per lequazione di Bernoulli, di conseguenza per lequazione di continuit la sezione del getto aumenta

abbiamo precedentemente detto che il flusso dacqua durante una caduta si restringe. Nellistante iniziale, ovvero quando lacqua appena uscita rubinetto il flusso dacqua avr una sua sezione, una sua pressione e una sua velocit caratteristica. Dopo un certo tratto di caduta per le equazioni di bernoulli e di continuit la sezione del flusso sar diminuit, la velocit aumentata ma la pressione esterna sar rimasta la stessa poich il flusso rimane sempre in contatto con latmosfera. Quindi andiamo a quantificare: per lequazione di bernuolli: Per p1=p2= pressione atmosferica A cura di Luca Barbieri

PREMIAZIONE OLIMPIADI DELLA FISICA (Firenze, Prato, Arezzo)

GLI STUDENTI CLASSIFICATI DALLA 4 ALLA 9 POSIZIONE NELLA GARA PROVINCIALE AFFORTUNATI MARCO (Castelnuovo) SANDRUCCI MATTEO (Castelnuovo) MANCARI FRANCESCO (L.Da Vinci) DE SANTIS ARTURO (L.Da Vinci) BOCINI SAVERIO (Copernico) ZOLFANELLI LORENZO (Castelnuovo)

Finale nazionale SENIGALLIA GUIDO GIACHETTI L.S.Agnoletti NUTI ALESSIO BUONAFEDE ROBERTO L.S. Leonardo Da Vinci

Questa presentazione si trova su www.lsgobetti.it www.liceodavincifi.it www.liceocastelnuovo.it

A cura di Eliano Addamiano Andrea Paoletti Maria Angela Vitali Con la partecipazione di Luca Barbieri Sofia Corraddossi Marco DellOmo Duccio Giorgetti Nicol Guarducci Rocco Greppi Marta Iaccarino Ilenia Pieri L.S.Gobetti Bagno a Ripoli L.S. Guido Castelnuovo Firenze L.S. Leonardo da Vinci Firenze

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