HALLIDAY - capitolo 4 problema 4

HALLIDAY - capitolo 4 problema 4

Un treno viaggia alla velocità costante di 60,0 km/h per 40,0 min verso est, quindi per 20,0 min nella direzione che forma un angolo di 50° verso est rispetto al nord, e infine per 50,0 min verso ovest. Qual è la sua velocità vettoriale media su tutto il tragitto?

x

y

O

N

S

EW

Δr1

Δr2

Δr3

α=50°Δr

v=60km/h=1km/min

i40,0 rΔ

40,0kmt vΔr

1

11

ˆ

j 12,9i 15,3

j )20,0cos(50i )20,0sin(50rΔ

20,0kmt Δ vΔr

2

22

ˆˆ

ˆˆ

i50,0 rΔ

50,0kmt vΔr

3

33

ˆ

j12,9i5,3rΔrΔrΔrΔ 321ˆˆ

Spostamento totale:

Intervallo di tempo: 110mint Δt Δt Δt Δ 321

Velocità media:

km/min) (in j 0.117i 0.0482t Δ

r ΔvM

ˆˆ

Modulo: 7,62km/hn0,127km/mi0,1170,0482v 22M

Direzione e verso: 67,60,0482

0,117arctg


La velocità v di una particella in moto nel piano xy è data dall’espressione v=(6,0t - 4,0t2) î + 8,0 ĵ, ove v è in metri al secondo e t (>0) in secondi. Qual è l’accelerazione per t=3,0s? Quando (se ciò avviene) l’accelerazione si annulla? Quando (se ciò avviene) si annulla la velocità? E quando (se ciò avviene) la velocità ha modulo 10m/s?

j8,0 i )4,0t(6,0tv 2 ˆˆ

i 8,0t)(6,0a ˆ

Al tempo t=3,0s: i18,0 a ˆ

0a0a0a0a zyx

0,75st08,0t6,00ax

0v0v0v0v zyx

impossibile (vy≠0 sempre)

Modulo della velocità:2222 8)4t(6tv

64t6t64t6t36)4t(6t

10064)4t(6t100v10v

2

222

222

La prima equazione non ammette soluzioni (Δ<0)La seconda equazione ammette le soluzioni t1= -0,686s (non

accettabile perchè la traccia richiede che sia t>0) e t2=2,19s che rappresenta l’istante in cui v=10m/s


Un aeroplano, volando alla velocità di 290km/h con un angolo di 30° verso il basso rispetto al piano orizzontale, sgancia un falso bersaglio radar. La distanza orizzontale fra il punto di rilascio ed il punto in cui il falso bersaglio colpisce il terreno è di 700m. Per quanto tempo è rimasto in aria il falso bersaglio? A che quota si trovava l’aereo al momento dello sgancio?

(v0=290km/h=80,6m/s)

x

y

h

Posizione iniziale: (0,h)

Velocità iniziale: (v0cosθ, -v0sinθ)

v0

Moto del falso bersaglio: 2gt2

1t sinθ vhy

t cosθ vx

0

0

All’istante di caduta tc il bersaglio ha percorso la distanza orizzontale d

10,0scosθ v

dtt cosθ vd

0cc0

L’altezza da cui il bersaglio è stato lanciato si ricava imponendo y(tc)=0 897m

θcos2v

gddtgθh

0cosθv

dg

2

1

cosθv

dsinθvh

220

2

2

000


Un tennista serve la palla orizzontalmente da un’altezza (riferita al centro della palla) sul campo di 2,37m a una velocità di 23,6m/s. Riuscirà la palla a passare sopra la rete, alta 0,90m, che si trova ad una distanza di 12,0m? Se sì, a che altezza sulla rete (riferita al centro della palla)? Supponiamo ora che il tennista serva con un’inclinazione verso il basso di 5,00° rispetto al piano orizzontale. La palla riuscirà ancora a passare la rete? Se sì, a che altezza?

x

y

H=

2,37

m

D=12,0m

h=0,90m

P0(0,H) v0

La palla supera la rete se nell’istante in cui x=D è y>h (traiettoria verde)

Equazioni del moto della palla: 2gt2

1Hy

t vx 0

Calcoliamo l’istante di tempo t1 in cui x=D:

0110 v

DttvD

L’altezza della palla sulla rete è y(t1):

1,10m2v

gDHgt

2

1H)y(t

20

2211

Poichè y(t1)>h la palla supera la rete

x

y

H=

2,37

m

D=12,0m

h=0,90m

P0(0,H)

v0

θ=5,00°

2gt2

1 t sinθvHy

t cosθ vx

0

0

Equazioni del moto:

Calcoliamo l’istante di tempo t1 in cui x=D: cosθv

Dtt cosθvD

0110

L’altezza della palla sulla rete è y(t1):

0,043mθcos2v

gDDtgθHgt

2

1t sinθvH)y(t

220

221101

Poichè y(t1)<h la palla non riesce a superare la rete


Dall’estremità sinistra dell’edificio alto h in figura si lancia verso sinistra una palla che cade a terra dopo 1,50s alla distanza d=25,0m dalla base del palazzo, arrivandovi con direzione che forma un angolo θ=60° rispetto al piano orizzontale. Trovare l’altezza h. Determinare il modulo della velocità e l’angolo di lancio rispetto al piano orizzontale. La palla è stata lanciata verso l’alto o verso il basso?

h

dθ=60°v

x

yv0α

Moto della palla:

20

0

gt2

1 tα sin vhy

tα cos vx

gtα sin vv

α cos vv

0y

0x

All’istante di caduta (tc=1,50s) x=d:c

0c0 t

dcosαvtα cos vd

L’angolo del vettore velocità con l’asse x nell’istante tc è -60° :

3cosαv

gtsinαv)60tan(

)(tv

)(tv

0

c0

cx

cy

Incognite: h, v0, α

cc00c0 t

d3gtsinαvcosαv3gtsinαv

c0 t

dcosαv

Elevando al quadrato le due equazioni e sommando:

21,9m/sgd32t

4dtgv

t

d

t

d3gtv

2c

22c

202

c

22

cc

20

Dalla seconda equazione:

40,3α0,647

t

d3gt

v

1sinα

cc

0

Quando la palla arriva al suolo, al tempo tc, è y=0:

32,3mgt2

1 tα sin vh0)y(t 2

cc0c


Un ragazzino fa ruotare un sasso legato ad una cordicella lunga 1,5m su una circonferenza orizzontale ad altezza di 2,0m dal suolo. La cordicella si rompe ed il sasso fila via orizzontalmente andando a cadere a 10m di distanza orizzontale. Quale era l’accelerazione centripeta del sasso in moto circolare?

h=2,0m

x

y

O

R

d=10m

v0

Moto del sasso:2

0

gt2

1 hy

tvx

Il sasso arriva al suolo nell’istante t1 in cui y=0:

g

2ht0gt

2

1 h0y 1

21

2h

gdv

g

2hvtv)x(td 00101

All’istante di caduta t1 dovrà essere x=d:

L’accelerazione centripeta del moto circolare è ac=v02/R:

222

0c 163m/s

2hR

gd

R

va


Il treno francese TGV compie viaggi ad una velocità di 216km/h. Se abborda una curva a questa velocità e la massima accelerazione accettabile dai passeggeri è 0,050g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve dei binari? Se una curva ha raggio di 1,00km, a quale valore deve essere ridotta la velocità del treno per rispettare il limite di accelerazione consentito?

Se v=216km/h(=60,0m/s):

7347m0,050g

vR0,050g

R

v0,050ga

22

c

Se R=1000m:

80,0km/h22,1m/s0,050gRv0,050gRv

0,050gR

v0,050ga

2

2

c


Qual è l’accelerazione centripeta dovuta alla rotazione della Terra per un oggetto che si trova sull’equatore? Quale dovrebbe essere il periodo di rotazione della Terra affinchè questa accelerazione sia uguale a 9,8m/s2?

Raggio della Terra: R=6,37106mPeriodo di rotazione: 1giorno=86400s

PR

T

Rπ 2v 22

2

22

c m/s103,37T

R π4

R

va

Se fosse ac=g: 8min27sec507sg

R2πTg

T

R π4 ga

2

2

c

Per avere ac=g sull’equatore la velocità di rotazione della Terra dovrebbe essere di circa 170 volte maggiore!

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