HALLIDAY - capitolo 21 problema 6

Tre particelle si trovano sull’asse x. La particella 1 ha carica q1 ed è situata in x=-a, mentre la particella 2 ha carica q2 ed è collocata in x=+a. Che rapporto q1/q2 occorre affinchè una terza particella di carica +Q risenta di una forza elettrostatica nulla quando si trova (a) in x=+0,500a e (b) in x=+1,50a?

0

q1

x=-a

q2+Q

x=+ax=+0,500ax

Forza elettrostatica agente su Q: 21 FFF

Perchè sia F=0 deve essere F1=F2 in modulo, mentre le direzioni di F1 e F2 devono essere opposte

9

q

q

0,500a

qQk

1,500a

qQkFF

2

12

22

121

F1F2

I vettori F1 e F2 sono diretti in verso opposto se q1 e q2 hanno lo stesso segno: deve quindi essere q1/q2=+9

0

q1

x=-a

q2 +Q

x=+a x=+1,50ax

Forza elettrostatica agente su Q: 21 FFF

Come prima, perchè sia F=0 deve essere F1=F2 in modulo, mentre le direzioni di F1 e F2 devono essere opposte

25

q

q

0,500a

qQk

2,500a

qQkFF

2

12

22

121

F1F2

I vettori F1 e F2 sono diretti in verso opposto se q1 e q2 hanno lo segno opposto: deve quindi essere q1/q2=-25

HALLIDAY - capitolo 21 problema 18

Due goccioline d’acqua, aventi un’identica carica di -1,00×10-16 C hanno i loro centri distanti 1,00cm. Calcolare l’intensità della forza elettrostatica presente tra di loro. A quanti elettroni corrisponde la carica in eccesso posseduta da ciascuna goccia?

Modulo della forza elettrostatica: N109,00r

qqkF 19

2

21

Numero di elettroni: elettroni625 C101,60

C101,00

e

qn

19

161

e

HALLIDAY - capitolo 21 problema 40

Due palline uguali di massa m sono appese con fili di seta di lunghezza L e hanno uguale carica q come mostrato in figura. Si assuma che θ sia così piccolo che tanθ possa essere sostituito con sinθ. Si mostri che in questa approssimazione, all’equilibrio si ha:

1/3

0

2

mg επ 2

Lqx

dove x è la distanza tra le palline. Se L=120cm, m=10g e x=5,0cm qual è il valore di q?

T T

mg mg

Fel Fel

x

y

Applichiamo la prima legge di Newton a una delle due sferette:

0FgmT el

0mgTcosθ

0TsinθFel

Dalla seconda equazione ricaviamo la tensione e sostituendo nella prima si trova il valore della forza elettrostatica:

cosθ

mgT mgtanθTsinθFel

Tenendo conto che sinθ=x/2L e ponendo tanθ≈sinθ=x/2L si ha: 2L

mgxTsinθFel

Legge di Coulomb: 2

2

0el x

q

επ 4

1F

1/3

0

2

0

23

2

2

0 mgεπ 2

Lqx

mgεπ 2

Lqx

2L

mgx

x

q

επ 4

1

Mettendo a confronto i secondi membri:

La carica q si ricava dall’espressione trovata per la distanza x:

C102,4L

mgxεπ 2q

mgεπ 2

Lqx 8

30

0

23

HALLIDAY - capitolo 22 problema 7

Due cariche puntiformi q1=2,0×10-8C e q2=-4,0q1 sono collocate rispettivamente alle coordinate x=20cm e x=70cm. Trovate le coordinate del punto in cui il campo è nullo.

x0

q1=20nC q2=-80nC

x1=20cm x2=+70cm

Principio di sovrapposizione: 21 EEE

Campo elettrico generato da q1:

1

12

1

1

01 r

r

r

q

επ 4

1E

ixxr 11ˆ

1

1

1

1

1

1

xxse i

xxse i

xx

ixx

r

rˆ

ˆˆ

121

1

0

121

1

01

xxse ix-x

q

επ 4

1

xxse ix-x

q

επ 4

1

Eˆ

ˆ

Il campo generato da q2 si calcola allo stesso modo:

222

2

0

222

2

02

xxse ix-x

q

επ 4

1

xxse ix-x

q

επ 4

1

Eˆ

ˆ

E1 E1 E1

E2E2 E2

Il campo complessivo, somma vettoriale dei due campi E1 e E2, si può eventualmente annullare solo dove E1 ed E2 sono discordi, ossia per x<x1 oppure per x>x2

x0

q1=20nC q2=-80nC

x1=20cm x2=+70cm

Cerchiamo una soluzione all’equazione E=0 nella regione x<x1:

36,7cmx30cmx3

x4x3x4xx4xx

0x4xx4x2x3x0x-x4x-x

0x-x

4q-

x-x

q0i

x-x

q

x-x

q

επ 4

1

0ix-x

q

επ 4

1i

x-x

q

επ 4

10E

22

21

22121

22

2121

221

22

22

12

1

12

2

22

1

1

0

22

2

02

1

1

0

ˆ

ˆˆ

Solo la soluzione x=-30cm è accettabile perchè è minore di x1=-20cm. L’altra soluzione non è invece accettabile.

Cerchiamo ora una soluzione dell’equazione E=0 nella regione x>x2:

36,7cmx30cmx3

x4x3x4xx4xx

0x4xx4x2x3x0x-x4x-x

0x-x

4q-

x-x

q0i

x-x

q

x-x

q

επ 4

1

0ix-x

q

επ 4

1i

x-x

q

επ 4

10E

22

21

22121

22

2121

221

22

22

12

1

12

2

22

1

1

0

22

2

02

1

1

0

ˆ

ˆˆ

Entrambe le soluzioni non vanno bene perchè in entrambi i casi è x<x2.

Si noti che i valori di q1 e q2 non servono a risolvere il problema!

HALLIDAY - capitolo 22 problema 33

Due grandi piatti di rame paralleli sono posti a una distanza di 5,0cm e instaurano un campo elettrico uniforme tra di loro, come mostrato in figura. Un elettrone (carica –e, massa m=9,11×10-31kg) viene rilasciato dal piatto carico negativamente nello stesso momento in cui un protone (carica +e, massa M=1,67×10-27kg) è liberato dal piatto carico positivamente. Si trascuri l’azione tra le particelle e si determini la loro distanza dal piatto positivo quando si incrociano.

x0 d

Moto del protone: paMEeF

M

eEaMaeE pp

Moto dell’elettrone: eamEeF

m

eEamaeE ee

Leggi orarie:22

ee

22pp

tm

eE

2

1dta

2

1d(t)x

tM

eE

2

1ta

2

1(t)x

Il protone incontra l’elettrone nell’istante t1 in cui xp=xe:

m1

M1

eE

2dtdt

m

1

M

1eE

2

1t

m

eE

2

1dt

M

eE

2

11

21

21

21

La posizione in cui le due particelle si incontrano è xp(t1)=xe(t1):

cm102,73

mM

1

d

m1

M1

eE

2d

M

eE

2

1t

M

eE

2

1)(tx 32

11p

HALLIDAY - capitolo 23 problema 22

Due grandi piatti metallici di area 1,0m2 si affacciano l’un l’altro. Si trovano ad una distanza di 5,0cm ed hanno cariche uguali ma di segno opposto sulle superfici interne. Se E fra i piatti vale 55N/C, qual è l’intensità delle cariche sui piatti? Si trascuri l’effetto di bordo.

+ -

E

Campo elettrico tra i piatti:

0ε

σE Eεσ 0

Carica sui piatti:

C104,9EAεσAq 100

Si noti che il valore della distanza tra i piatti non è necessario per risolvere il problema!

HALLIDAY - capitolo 23 problema 23

Una piccola sfera di massa m=1,0mg e carica q=2,0×10-8C è appesa in equilibrio a un filo isolante che forma un angolo θ=30° con un grande piatto isolante carico uniformemente. Considerando la forza di gravità agente sulla sfera e assumendo che il piatto si estenda a grande distanza in tutte le direzioni, si determini la densità di carica superficiale σ sul piatto.

T

mg

Fel

x

y

Applichiamo la prima legge di Newton alla sfera:

0FgmT el

0mgTcosθ

0TsinθFel

Dalla seconda equazione si calcola la tensione e sostituendo nella prima si trova la forza elettrostatica:

cosθ

mgT mgtanθTsinθFel

La forza elettrostatica è anche data da:0

el 2ε

σqqEF

Mettendo a confronto le due espressioni di Fel si ha:

260

0

C/m105,0q

tanθ2mgεσmgtanθ

2ε

σq