GUM

Guida ISO all’espressione dell’incertezza di misura (GUM) –

ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement

Esercizi

Incertezza di misura

Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza

Approcci diversi conducono alla stessa conclusione: Il valore vero non esiste, o Se il valore vero esiste è sconosciuto

Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura

Spostamento Testing Mass - Direzione Y

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

495 496 497 498 499 500 501 502 503

Spostamento [mm]

Dis

trib

uzi

on

e

Istogramma

media

Distribuzione Normale

Box Plot

Six Sigma

Incertezza di misura

L’incertezza può essere stimata:Per mezzo di valutazioni basate sull’esperienza

(storico di dati, analisi della documentazione tecnica, esperienze precedenti …)

[CATEGORIA B] FDP ipotizzataPer mezzo di misure ripetute dello stesso

misurando (analisi statistica dei risultati) [CATEGORIA A] FDP misurata

Per mezzo della propagazione dell’incertezza, nel caso di misure indirette [incertezza combinata] FDP combinata

Propagazione dell’incertezza (GUM)

FORMA SEMPLIFICATA:Viene utilizzata quando i parametri sono fra loro

indipendenti (non vi sono incertezze correlate)

ii

i

ji

xux

yyu

ji

jixxr

2

2

2

1

0,

Approccio basato sulla GUM

1) IDENTIFICARE L’EQUAZIONE RISOLVENTE- controllare l’applicabilità dell’approccio semplificato

2) IDENTIFICARE LE GRANDEZZE COINVOLTE- categoria, incertezza, coefficienti di influenza

3) CALCOLARE IL VALORE STIMATO

4) CALCOLARE L’INCERTEZZA COMBINATA- propagare le incertezze

5) CALCOLARE L’INCERTEZZA ESTESA - scegliere un opportuno fattore di copertura,

adeguato al livello di fiducia richiesto

6) SCRIVERE IL RISULTATO IN FORMA RIGOROSAG=704±38 MPa (P=99%) oppure G=704±38 MPa (k=2.58) oppureG=704 MPa U99% (G)=38 MPa

P k60% 0.8495% 1.9699% 2.58

Analisi approfondita: UMF

UMF: Fattore di amplificazione (Uncertainty Magnification Factor)

Indica di quanto viene amplificata l’incertezza di ciascuna grandezza in ingresso in funzione dell’equazione che descrive il fenomeno.

DIPENDE SOLO DALL’EQUAZIONE SCELTA Utile nell’analisi che precede l’acquisto di un

trasduttore, in modo da identificare le grandezze più (UMF>1) o meno (UMF<1) critiche

2

22

y

xcUMF iii

Analisi approfondita: UPC

UPC: Uncertainty Percentage Contribution Indica quanta dell’incertezza combinata dipende

dall’incertezza della grandezza in ingressoTiene conto sia dell’equazione che rappresenta il

modello sia delle incertezze realmente coinvolteUtile per controllare se vi siano alcune grandezze

la cui misura vada migliorata

yu

xucUPC ii

i 2

22

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Dalle misure di un edificio ottenute utilizzando un odometro avente diametro = 300 mm e 100 divisioni ed un inclinometro, avente passo pari a 1/10 di grado, si sono ottenuti i seguenti valori

ϑ1=61.5° ϑ2=-8.0° L=15m

h1 =Ltgϑ1

h2 =Ltgϑ2

H=h1+h2

H=L(tgϑ1+tgϑ2)

Ricavare l’altezza dell’edificio come misura indiretta, scrivendo il risultato in forma rigorosa, riportando l’incertezza di misura estesa al 95%

ϑ1

ϑ2

L

H

H=29.73 ± 0.14 m (k=1.96)

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Equazione risolvente:H = L(tg|ϑ1|+tg|ϑ2|)

Grandezze coinvolte:- L - distanza – incertezza di categoria B- ϑ1 – angolo – incertezza di categoria B - ϑ2 – angolo – incertezza di categoria B

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Grandezze coinvolte: L=15m[m] incertezza di categoria Bmisurata per mezzo di un odometro(diametro = 300 mm, 100 divisioni)1 division= *p 300mm/100=9.4mm=0.0094msi assume una distribuzione uniforme con semiampiezza a pari alla divisione piùpiccola

a

x ma

xu 0054.03

La semiampiezza a sarebbe dovuta essere uguale a metà della divisione più piccola, ma come regola pratica, se la misura è poco accurata si usa l’ampiezza intera della divisione più piccola.

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Grandezze coinvolte: ϑ1=61.5°=1.073 rad[rad] incertezza di categoria Bmisurata per mezzo di un inclinometro(divisione = 1/10 di grado)1 divisione = 0.1° = 0.0017 rad si assume una distribuzione uniforme con semiampiezza a pari alla divisione più piccola

Lo stesso per ϑ2 = -8° = -0.140rad

a

x

rada

xu 0010.03

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Coefficienti di influenza

=2.0

=66 m

=15 m

)(cos

)(cos

)tan()tan(

)tan()tan(

22

2

12

1

21

21

2

1

LHc

LHc

L

Hc

LH

L

Esercizio 2: Altezza di un edificio

INCERTEZZA COMBINATA,INCERTEZZA ESTESA e RISULTATI DELLA MISURA

H = 29.73 m U95%(H) = 0.14mH = (29.73 ± 0.14) m (k = 1.96)H = (29.73 ± 0.14) m (P = 95%)

Analisi critica: UMF, UPC

Risultati della misuraH 29.73m

u(H) 0.07mU(H) 0.14m

k 1.96 u(H)/H 0.2% 

Nome UMF UPCL 1.00 2.6%θ1 2.38 92.5%θ2 0.07 5.0%

Incertezza di misura

Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza

Approcci diversi conducono alla stessa conclusione: Il valore vero non esiste, o Se il valore vero esiste è sconosciuto

Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura

Spostamento Testing Mass - Direzione Y

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

495 496 497 498 499 500 501 502 503

Spostamento [mm]

Dis

trib

uzi

on

e

Istogramma

media

Distribuzione Normale

Box Plot

Six Sigma

Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza

Misure diverse della stessa grandezza risultano compatibile, con un certo livello di fiducia, quando i loro intervalli fiduciari si sovrappongono

Es.velocità della mia automobile misurata per mezzo di un segnale GPS:72 ± 1km/h (P = 95%)velocità della mia automobile misurata per mezzo di un tachimetro

75±7km/h (P=95%)velocità della mia automobile misurata dalla polizia80±8km/h (P=95%)

i risultati delle tre misure si riferiscono allo stesso misurando? Le tre misure sono COMPATIBILI?

Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza

Sì, le misure sono compatibili con un livello di fiducia del 95%, perché esiste un intervallo (in rosso) in comune fra le tre misure

Si può affermare che le tre misure non sono diverse, con un livello di fiducia del 95%GPS Speedometer Police

65

70

75

80

85

90

Velocità

km/h

Un ulteriore esempio:il sistema di controllo di sistema di serraggio indica il valore di

F = 89N con tolleranza al 95% data, pari a 1 Nla forza dello stesso sistema di serraggio viene misurata con misure ripetute utilizzando una cella di carico, ottenendo il seguente risultato: F = {89,91,90,92,89,89,91} N

le due misure sono COMPATIBILI al 99%?

Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza

Un ulteriore esempio:F = 89 N con tolleranza al 95% data, pari a 1 N

Incertezza estesa al 95% = 1 N: se si suppone una distribuzione normale, si può calcolare l’incertezza standard (k=1) dividendo per k95%=1.96 => u(F) = 0.51 N =>=> U99%(F) = k99% u(F) = 2.58 x 0.51 N = 1.3 N

intervallo di fiducia = {87.7 N; 90.3 N}

misure ripetute F = {89,91,90,92,89,89,91} Nmedia: F = 90.14 N; deviazione standard: σ = 1.215 Nnumero di campioni: n = 7 => v = n-1 = 6 gradi di libertàPer estendere l’incertezza di misure ripetute con n < 30 si usa la distribuzione t di Student => k = t99%,v = 3.71 => U99%(F) = 1.7 N

intervallo di fiducia: {88.4 N; 91.8 N}Sì, le misure sono compatibili con un livello di fiducia del 99%: i due intervalli si sovrappongono fra 88.4 N e 90.3 N

Esercizio 3: Punta su un disco

Viene chiesto di misurare il carico applicato ad una punto che striscia su un disco che ruota in una prova volta a determinare il coefficiente di attrito fra i due oggetti, in funzione del materiale di cui sono costituiti. Il carico viene esercitato per mezzo di un attuatore idraulico, utilizzando un moltiplicatore di pressione rappresentato in figura. Sapendo che il diametri sono stati misurati utilizzando un calibro ventesimale e considerando le pressioni in figura, quale trasduttore è il più adatto allo scopo, sapendo che hanno lo stesso prezzo?Quale incertezza può essere associata alla misura dal carico?

Trasduttore 1: fondo scala = 300 kPa, incertezza complessiva = 1%FS

Trasduttore 2: fondo scala = 10 MPa, incertezza complessiva 2%FS

p2≈200kPa p1=p2 (d2/d1)²

d2=200mm

d1=40mm d0=10mm1

2

0

2p

dF

Esercizio 3: Punta su un disco

Ipotesi A:- si utilizza il trasduttore 1 per misurare p2 con un’incertezza di 6 kPa

Ipotesi B:- si utilizza il trasduttore 2 per misurare p1 con un’incertezza di 100 kPa

Risultato della misuraH 393 N

u(H) 8 NU(H) 16 N

k 1.96 u(H)/H 2.1% 

Risultato della misuraH 393 N

u(H) 12 NU(H) 23 N

k 1.96 u(H)/H 3.1% 

La miglior soluzione è data dall’ipotesi B, perché l’incertezza che ne deriva è inferioreCosa accadrebbe se l’incertezza relativa del trasduttore 1 fosse pari a 1%FS?