GUM
Guida ISO all’espressione dell’incertezza di misura (GUM) –
ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement
Esercizi
Incertezza di misura
Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza
Approcci diversi conducono alla stessa conclusione: Il valore vero non esiste, o Se il valore vero esiste è sconosciuto
Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura
Spostamento Testing Mass - Direzione Y
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
495 496 497 498 499 500 501 502 503
Spostamento [mm]
Dis
trib
uzi
on
e
Istogramma
media
Distribuzione Normale
Box Plot
Six Sigma
Incertezza di misura
L’incertezza può essere stimata:Per mezzo di valutazioni basate sull’esperienza
(storico di dati, analisi della documentazione tecnica, esperienze precedenti …)
[CATEGORIA B] FDP ipotizzataPer mezzo di misure ripetute dello stesso
misurando (analisi statistica dei risultati) [CATEGORIA A] FDP misurata
Per mezzo della propagazione dell’incertezza, nel caso di misure indirette [incertezza combinata] FDP combinata
Propagazione dell’incertezza (GUM)
FORMA SEMPLIFICATA:Viene utilizzata quando i parametri sono fra loro
indipendenti (non vi sono incertezze correlate)
ii
i
ji
xux
yyu
ji
jixxr
2
2
2
1
0,
Approccio basato sulla GUM
1) IDENTIFICARE L’EQUAZIONE RISOLVENTE- controllare l’applicabilità dell’approccio semplificato
2) IDENTIFICARE LE GRANDEZZE COINVOLTE- categoria, incertezza, coefficienti di influenza
3) CALCOLARE IL VALORE STIMATO
4) CALCOLARE L’INCERTEZZA COMBINATA- propagare le incertezze
5) CALCOLARE L’INCERTEZZA ESTESA - scegliere un opportuno fattore di copertura,
adeguato al livello di fiducia richiesto
6) SCRIVERE IL RISULTATO IN FORMA RIGOROSAG=704±38 MPa (P=99%) oppure G=704±38 MPa (k=2.58) oppureG=704 MPa U99% (G)=38 MPa
P k60% 0.8495% 1.9699% 2.58
Analisi approfondita: UMF
UMF: Fattore di amplificazione (Uncertainty Magnification Factor)
Indica di quanto viene amplificata l’incertezza di ciascuna grandezza in ingresso in funzione dell’equazione che descrive il fenomeno.
DIPENDE SOLO DALL’EQUAZIONE SCELTA Utile nell’analisi che precede l’acquisto di un
trasduttore, in modo da identificare le grandezze più (UMF>1) o meno (UMF<1) critiche
2
22
y
xcUMF iii
Analisi approfondita: UPC
UPC: Uncertainty Percentage Contribution Indica quanta dell’incertezza combinata dipende
dall’incertezza della grandezza in ingressoTiene conto sia dell’equazione che rappresenta il
modello sia delle incertezze realmente coinvolteUtile per controllare se vi siano alcune grandezze
la cui misura vada migliorata
yu
xucUPC ii
i 2
22
Esercizio 2: Altezza di un edificio
Dalle misure di un edificio ottenute utilizzando un odometro avente diametro = 300 mm e 100 divisioni ed un inclinometro, avente passo pari a 1/10 di grado, si sono ottenuti i seguenti valori
ϑ1=61.5° ϑ2=-8.0° L=15m
h1 =Ltgϑ1
h2 =Ltgϑ2
H=h1+h2
H=L(tgϑ1+tgϑ2)
Ricavare l’altezza dell’edificio come misura indiretta, scrivendo il risultato in forma rigorosa, riportando l’incertezza di misura estesa al 95%
ϑ1
ϑ2
L
H
H=29.73 ± 0.14 m (k=1.96)
Esercizio 2: Altezza di un edificio
Equazione risolvente:H = L(tg|ϑ1|+tg|ϑ2|)
Grandezze coinvolte:- L - distanza – incertezza di categoria B- ϑ1 – angolo – incertezza di categoria B - ϑ2 – angolo – incertezza di categoria B
Esercizio 2: Altezza di un edificio
Grandezze coinvolte: L=15m[m] incertezza di categoria Bmisurata per mezzo di un odometro(diametro = 300 mm, 100 divisioni)1 division= *p 300mm/100=9.4mm=0.0094msi assume una distribuzione uniforme con semiampiezza a pari alla divisione piùpiccola
a
x ma
xu 0054.03
La semiampiezza a sarebbe dovuta essere uguale a metà della divisione più piccola, ma come regola pratica, se la misura è poco accurata si usa l’ampiezza intera della divisione più piccola.
Esercizio 2: Altezza di un edificio
Grandezze coinvolte: ϑ1=61.5°=1.073 rad[rad] incertezza di categoria Bmisurata per mezzo di un inclinometro(divisione = 1/10 di grado)1 divisione = 0.1° = 0.0017 rad si assume una distribuzione uniforme con semiampiezza a pari alla divisione più piccola
Lo stesso per ϑ2 = -8° = -0.140rad
a
x
rada
xu 0010.03
Esercizio 2: Altezza di un edificio
Coefficienti di influenza
=2.0
=66 m
=15 m
)(cos
)(cos
)tan()tan(
)tan()tan(
22
2
12
1
21
21
2
1
LHc
LHc
L
Hc
LH
L
Esercizio 2: Altezza di un edificio
INCERTEZZA COMBINATA,INCERTEZZA ESTESA e RISULTATI DELLA MISURA
H = 29.73 m U95%(H) = 0.14mH = (29.73 ± 0.14) m (k = 1.96)H = (29.73 ± 0.14) m (P = 95%)
Analisi critica: UMF, UPC
Risultati della misuraH 29.73m
u(H) 0.07mU(H) 0.14m
k 1.96 u(H)/H 0.2%
Nome UMF UPCL 1.00 2.6%θ1 2.38 92.5%θ2 0.07 5.0%
Incertezza di misura
Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza
Approcci diversi conducono alla stessa conclusione: Il valore vero non esiste, o Se il valore vero esiste è sconosciuto
Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura
Spostamento Testing Mass - Direzione Y
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
495 496 497 498 499 500 501 502 503
Spostamento [mm]
Dis
trib
uzi
on
e
Istogramma
media
Distribuzione Normale
Box Plot
Six Sigma
Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza
Misure diverse della stessa grandezza risultano compatibile, con un certo livello di fiducia, quando i loro intervalli fiduciari si sovrappongono
Es.velocità della mia automobile misurata per mezzo di un segnale GPS:72 ± 1km/h (P = 95%)velocità della mia automobile misurata per mezzo di un tachimetro
75±7km/h (P=95%)velocità della mia automobile misurata dalla polizia80±8km/h (P=95%)
i risultati delle tre misure si riferiscono allo stesso misurando? Le tre misure sono COMPATIBILI?
Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza
Sì, le misure sono compatibili con un livello di fiducia del 95%, perché esiste un intervallo (in rosso) in comune fra le tre misure
Si può affermare che le tre misure non sono diverse, con un livello di fiducia del 95%GPS Speedometer Police
65
70
75
80
85
90
Velocità
km/h
Un ulteriore esempio:il sistema di controllo di sistema di serraggio indica il valore di
F = 89N con tolleranza al 95% data, pari a 1 Nla forza dello stesso sistema di serraggio viene misurata con misure ripetute utilizzando una cella di carico, ottenendo il seguente risultato: F = {89,91,90,92,89,89,91} N
le due misure sono COMPATIBILI al 99%?
Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza
Un ulteriore esempio:F = 89 N con tolleranza al 95% data, pari a 1 N
Incertezza estesa al 95% = 1 N: se si suppone una distribuzione normale, si può calcolare l’incertezza standard (k=1) dividendo per k95%=1.96 => u(F) = 0.51 N =>=> U99%(F) = k99% u(F) = 2.58 x 0.51 N = 1.3 N
intervallo di fiducia = {87.7 N; 90.3 N}
misure ripetute F = {89,91,90,92,89,89,91} Nmedia: F = 90.14 N; deviazione standard: σ = 1.215 Nnumero di campioni: n = 7 => v = n-1 = 6 gradi di libertàPer estendere l’incertezza di misure ripetute con n < 30 si usa la distribuzione t di Student => k = t99%,v = 3.71 => U99%(F) = 1.7 N
intervallo di fiducia: {88.4 N; 91.8 N}Sì, le misure sono compatibili con un livello di fiducia del 99%: i due intervalli si sovrappongono fra 88.4 N e 90.3 N
Esercizio 3: Punta su un disco
Viene chiesto di misurare il carico applicato ad una punto che striscia su un disco che ruota in una prova volta a determinare il coefficiente di attrito fra i due oggetti, in funzione del materiale di cui sono costituiti. Il carico viene esercitato per mezzo di un attuatore idraulico, utilizzando un moltiplicatore di pressione rappresentato in figura. Sapendo che il diametri sono stati misurati utilizzando un calibro ventesimale e considerando le pressioni in figura, quale trasduttore è il più adatto allo scopo, sapendo che hanno lo stesso prezzo?Quale incertezza può essere associata alla misura dal carico?
Trasduttore 1: fondo scala = 300 kPa, incertezza complessiva = 1%FS
Trasduttore 2: fondo scala = 10 MPa, incertezza complessiva 2%FS
p2≈200kPa p1=p2 (d2/d1)²
d2=200mm
d1=40mm d0=10mm1
2
0
2p
dF
Esercizio 3: Punta su un disco
Ipotesi A:- si utilizza il trasduttore 1 per misurare p2 con un’incertezza di 6 kPa
Ipotesi B:- si utilizza il trasduttore 2 per misurare p1 con un’incertezza di 100 kPa
Risultato della misuraH 393 N
u(H) 8 NU(H) 16 N
k 1.96 u(H)/H 2.1%
Risultato della misuraH 393 N
u(H) 12 NU(H) 23 N
k 1.96 u(H)/H 3.1%
La miglior soluzione è data dall’ipotesi B, perché l’incertezza che ne deriva è inferioreCosa accadrebbe se l’incertezza relativa del trasduttore 1 fosse pari a 1%FS?
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