Gruppo1-2 INFN FIRENZE - Amperehep.fi.infn.it/chimica/Elettrologia_2013.pdfVolt, Ampere e Watt Se...

2012/Fall R.D'Alessandro, Chiara Fort, Renato TorreLaboratorio di Fisica (CdL Chimica)

Ampere

● Due fili di sezione infinitesima e di lunghezza infinita, paralleli e posti a 1 metro di distanza uno dall'altro:

● In ambedue circola una corrente uguale ma in verso opposto:

– Campo magnetico (Legge di Ampère: B=m0*I/2pr )

– La corrente è 1 A, quando i due fili si respingono con una forza = 2*10-7 N .


Altre unità di misura ● Potenziale elettrico : Volt - [V] - [ N m C-1 ]

● Resistenza elettrica : Ohm - [W] - [ V A-1 ]● Potenza elettrica : Watt - [W] - [ V A ]● Energia elettrica : Joule* - [J] - [ V A s ] - [ N m ]● Capacità elettrica : Farad - [F] - [ C V-1 ]● Campo magnetico : Tesla -[T] - [ N A-1 m-1 ]● Induttanza elettrica : Henry - [ H ] - [ T m2 A-1 ]● Non è necessario sempre rapportarsi a Kg,m,s,A. Si può (e sicuramente è

più immediato) ricorrere alle unità sopra citate.


● Elettroscopi - esistenza di un “qualcosa” con due segni possibili [ + , -] .

● Forza di Coulomb:● Millikan, dimostra che la carica

elettrica è quantizzata e il quanto

minimo è la carica dell'elettrone.

● Qe = -1,602 * 10-19 C

● , e0 è la permittività del vuoto o

costante dielettrica del vuoto, uguale a:

8,854 187 817 * 10−12 F m−1 .

Carica elettrica


Campo elettrico e potenziale● Associata alla distribuzione di carica Q

2, si può

definire un campo elettrico E:

● Tale che FCoulomb

= Q1E

● Per muovere la carica Q1 all'interno di un campo E

dal punto A al punto B si deve compiere un lavoro:

● Dove fA(B)

è il potenziale nel punto A (B).


Carica elettrica● La carica elettrica si conserva: ad oggi NON

abbiamo alcuna indicazione sperimentale che questo non sia vero. (L'attrazione gravitazionale tra un elettrone e tutti quelli presenti nella terra è 10-38 volte più piccola della loro repulsione elettrostatica ..... ma la carica dei protoni bilancia esattamente ...)

● Esistono materiali in cui la carica (elettroni) è libera di muoversi. CONDUTTORI. Tipicamente i metalli. I superconduttori ad alta temperatura sono ceramici (ossido di bismuto-stronzio-calcio-rame).

● Nei conduttori le cariche si dispongono in maniera tale da annullare il campo elettrico all'interno e quindi rendere il potenziale costante.


Corrente● Quando due corpi carichi vengono posti in contatto

tra loro, ad esempio tramite un conduttore, le cariche passano da un corpo all'altro fino a raggiungere il bilanciamento.

● Questo passaggio di carica per unità di tempo costituisce quello che chiamiamo corrente elettrica. Un Ampere è un Coulomb di carica al secondo.

● In generale, delle cariche in movimento, equivalgono a una corrente. Pensate non solo ai fili elettrici, ma anche ai plasmi, ai cannoni elettronici, agli acceleratori, agli ioni in un elettrolita.


Corrente● In maniera più appropriata si ragiona in termini di

campo elettrico E che agisce sulle cariche.

● La forza che agisce sulla carica è data da FE = qE.

● Il quadro di riferimento è quello di una distribuzione di cariche che dà origine a un certo campo elettrico E, che a sua volta influisce sulla particella carica sotto esame.

● Noi non ci dobbiamo preoccupare di come viene generato (e mantenuto) E, ma solo dei suoi effetti.


Conduzione elettrica (metallo)

● Elettroni in un metallo sono liberi

● Urtano continuamente sugli atomi del reticolo

● Resistenza “viscosa” al loro movimento

● La distanza media percorsa tra due collisioni si chiama libero cammino medio

● Sotto l’azione di un campo elettrico, la velocità (di deriva) non cresce indefinitivamente ma assume un valore stazionario

a=qEm

v=μΕ Legge di Ohm


Conduzione elettrica (metallo)● Con quale velocità si muovono queste cariche ?

● Quindi, applicando un campo elettrico, abbiamo una velocità di deriva (drift) v

d = mE

d .

● La densità di corrente è comunque data da:

– j = qnvd q=carica dell’elettrone, n densità numerica dei portatori di carica

– I = j*S S=superficie del conduttore (d'ora in poi useremo i moduli)

● vd = I/Sqn , se I = 1 A, avremo:

– S = 1mm2 = 10-6 m2 ; q=1.6 10-19 C ; n(rame)= 9 1028 atomi/m3

– vd = 1/(10-6 *1.6*10-19 *9 1028 )=1/(1.6*9 103 )= 7 10-5 m/s

● Da confrontarsi con vtermica di circa 105 m/s12

mv 2= 32

kTT temperatura, k costante di Boltzmann, m massa dell’elettroneMassa elettrone = 9.10938188 × 10-31 kgCostante di Boltzmann = 1.3806503 × 10-23 m2 kg s-2 K-1


Corrente● Quindi definiamo la corrente come:

● Se i è costante nel tempo avremo una corrente stazionaria o continua, se i invece è una funzione del tempo f(t) avremo una corrente variabile.

● La corrente alternata è un caso particolare di corrente variabile:

– deve essere periodica e a media nulla! Ad esempio f(t) = I

0 sin(wt+f).


Potenziale e generatori● Le cariche si spostano sotto l'azione di un campo elettrico.

● Per spostare una carica in un campo elettrico io devo compiere un “lavoro” : dL = Fdx = qEdx =Variazione di energia del sistema .

● Dall'elettrostatica si deriva che l'energia potenziale associata alla carica è pari al lavoro necessario per spostare la carica dall'infinito a quel punto nello spazio = qf ; il potenziale f è definito a meno di una costante.

● Quello che conta è la differenza di potenziale tra due punti nello spazio, come ad esempio ai capi di un conduttore. Il lavoro associato allo spostare una carica dal punto A al punto B è quindi: L = q(f

A - f

B)

● Questa differenza di potenziale viene mantenuta per mezzo di dispositivi chiamati: GENERATORI.


Potenziale e generatori● Quindi in un conduttore, le cariche si muovono

sotto l'azione del campo elettrico E.● Chi genera (e mantiene) E ?

● In generale una distribuzione di cariche r .● Ad esempio su un condensatore, le cariche

sulle armature a e b, generano una differenza di potenziale tale che:


Generatori● Quindi, potremmo pensare di spostare delle

cariche, ad esempio sulle armature di un condensatore, in maniera da raggiungere la differenza di potenziale voluta.

● Ma una volta attaccato il condensatore carico a un circuito, ad esempio un conduttore, le cariche (in movimento sotto l'azione di E) alla fine si neutralizzerebbero tra loro.

● Quindi dobbiamo rifornire costantemente di cariche le nostre armature.


Generatori● Un dispositivo che tramite processi fisici e/o chimici riesce a

mantenere una differenza di potenziale ai suoi capi fornendo corrente a un “carico”, si chiama generatore:

– Elettrochimici = batterie, accumulatori

– Elettromeccanici = alternatori, dinamo

● Due classi fondamentali:

– Generatore di tensione

– Mantiene la differenza di potenziale ai suoi capi indipendente dal carico !

– Impedenza nulla (resistenza d'uscita nulla).

– Generatore di corrente

– Eroga una corrente dai suoi capi indipendente dal carico !

– Impedenza infinita (resistenza d'uscita infinita).


Simboli● Generatori di tensione:

● Generatori di corrente:

● Distinguere tra “Terra” e “ Comune”!– Il terminale “Comune” è il terminale di riferimento del circuito, rispetto

al quale vengono misurate ad esempio le tensioni.

Ground


Legge di Ohm● v

drift = mE !

– Dovuto al moto “viscoso” delle cariche all'interno del conduttore.

– E = 0, in un conduttore ma in elettrostatica!

– m mobilità degli elettroni nel conduttore (rame)

● j (densità di corrente) = I/S * n (normale alla superficie)

● j = nqv --> j = nqmE = sE (s conducibilità)

● Idx/S = sEdx --> I (1/s) dx/S = Edx

● Irdx/S (r resistività [Wcm]) = Edx --> IR=V


Resistenze● Resistività r [Wm]

● Resistenza rL/S [W], diminuisce con la sezione !

● [W] = [VA-1]●

● Simbolo:

● Conduttori: Ag: 1.59 10-8 [Wm], Cu: 1.72 10-8 [Wm], Au: 2.44 10-8 [Wm]

● Semiconduttori: Si: 6.4 102 [Wm]

● Isolanti: Vetro: 1012 [Wm]

S

L

r


Unità di misura in elettrologia.

● Sistema di misura MKSA:– Lunghezza: Metro - [m]

– Massa: Chilogrammo - [Kg]

– Tempo: Secondo - [s]

– Corrente elettrica: Ampere - [A]

● Di conseguenza:– La forza si misura in Newton [N] - [Kg m s-2]

– La carica in Coulomb [C] - [A s]


Resistenze


Circuiti a costanti concentrate● Circuiti in cui gli effetti dovuti allo spostamento

delle cariche sono confinati ai singoli elementi del circuito e non ai collegamenti tra elementi.

● Le linee di collegamento sono “ideali”.● Convenzioni (disegna come vuoi, ma poi

rispetta i segni) :– La corrente positiva scorre da + a - .

– Se V>0 , I > 0

– Se V<0 , I < 0


Volt, Ampere e Watt● Se abbiamo una forza d'attrito che ostacola il

movimento delle cariche, avremo anche del calore dissipato. EFFETTO JOULE.

● L'energia è data da qV, la potenza da d/dt (qV) cioè da IV e si misura in Watt [W] = 1V x 1A = 1J/s --> [W] = [VA] = [Js-1]

● Convenzionalmente la potenza assorbita è > 0, la potenza erogata < 0 .

● Nel circuito R utilizza (assorbe) la

potenza erogata del generatore:

PR=VI > 0 ; P

G = -VI ( I scorre da - a + ) < 0.

● Si P

i = 0 (Conservazione dell'energia, )


Legge di Ohm (2)

● V = IR, ma in generale ogni volta che troviamo una relazione lineare tra corrente e tensione, passante per l'origine, parliamo di comportamento Ohmico, e R assume il significato di coefficiente di proporzionalità.

● La potenza dissipata dalla resistenza:– W = VI = IRI = I2R = V2/R

– NON è lineare

– La potenza viene dissipata in calore, luce, radiazione elettromagnetica in generale.


Calcolo potenza dissipata da una resistenza e dipendenza temporale

● V=5V, R=1KW, PMAX

= 250mW

● I = ? , P = ? -->– VI = ?, I2R = ?, V2/R = ?

● Se V == V(t) cosa cambia ?● R è un numero reale positivo, che non dipende

dalla frequenza!● R NON introduce sfasamenti, quindi:

– I=V/R avrà la stessa fase di V


Circuiti● Rami, Nodi, Maglie

– Ramo è un tratto di circuito

– Nodo è un punto dove convergono 2 o più rami

– Maglia è un tratto chiuso di circuito

– 2 elementi che condividono un nodo si dicono in SERIE.

– 2 elementi che condividono due nodi si dicono in PARALLELO.

● Gli elementi del circuito (generatori, resistenze, ecc.) hanno due terminali. Ci possono essere elementi con 3 o piu' terminali (esempio potenziometro). In generale sono riconducibili ad aggregati di elementi con 2 soli terminali.


Circuiti (2)

● Utile scomporli in tante maglie.● Tanti elementi in serie e in parallelo.


Leggi di Kirchhoff● Currents Law: S

i I

i = 0, la carica si conserva.

– La somma delle correnti entranti in un nodo è nulla.

– Deriva dalla conservazione della carica e dal fatto che nei circuiti si presume nulla la corrente di spostamento (DIV J = 0)

● Voltages Law: Si V

i = 0

– La somma delle differenze di potenziale (tensioni) lungo una maglia è nulla.

– Deriva dalla conservazione dell'energia.

– Si evince anche dal fatto che il campo elettrico è conservativo.

● Attenti ai segni!


R1

R2

Serie e parallelo di resistenze● R

SERIE = R

1 + R

2

● RPARALL

= R1R

2/(R

1 + R

2)

= 1/(1/R1 + 1/R

2)

● Perchè ? Siamo in regime stazionario e vale la legge di Ohm. Calcoliamo V e I nei due casi.

– IR1=V

1, IR

2=V

2 --> V

1 + V

2 = V --> I(R

1 + R

2) = V

RSERIE

= R1 + R

2

– I1R

1=V, I

2R

2= V --> I

1 + I

2 = I --> I

2(1+R

2/R

1) = I --> V/I =

RPARALL

=V/ I2(1+R

2/R

1) = R

2/(1+R

2/R

1)=R

1R

2/(R

1 + R

2)

R1

R1

R1

R2


Partitore di tensione

I

+

0V

● Prima applicazione di una serie di resistenze:

● I = Vin/R

SERIE , R

SERIE = R

1 + R

2

● I = Vin/(R

1 + R

2)

● Vin- V

out = IR

1 , V

out- 0V = IR

2

● Vout

= VinR

2/(R

1 + R

2)

● -Vin + (V

in- V

out ) + (V

out- 0V) = 0; ( KVL )

● Vin - (IR

1) - (IR

2) = 0; V

in = I(R

1 + R

2) ecc.ecc.

● Potenziometro .........

-


I

+

0V

Rload

Partitore di tensione● V

out è un generatore di tensione ideale ?....

● Ecco cosa succede quando collego una resistenza di carico R

load all'uscita.

●Rload

si trova in parallelo a R2, quindi cambia il valore di I

●Vout

= VinR

2//load /(R

1 + R

2//load)

●Utili per fare Voltage References di valore arbitrario (purché approssimativamente si abbia I

out = 0).


Partitore di corrente● Prima applicazione di un parallelo di resistenze:

● I = Vin/R

// , R

// = R

1R

2/(R

1 + R

2)

● I = Vin(R

1 + R

2)/(R

1R

2)

● I1R

1= V

in, I

2R

2= V

in

● I = I2(1+R

2/R

1) = I

1(1+R

1/R

2)

● I2 = I R

1/(R

1+R

2) ; I

1 = I R

2/(R

1+R

2)

● I = I1 + I

2 ; KCL --> La somma delle correnti

entranti in un nodo è zero.

+-

R1

R2

I

I2

I1

Vin


Calcolo di una maglia

● Determinare V12

● R// = R

1R

2/(R

1 + R

2)

● I = Vin/(R

3 + R

//)

● ecc.

● Determinare I2 in funzione di V

in

● ecc.

+-

R1

R2

I

I2

I1

R3

Vin

V12

+

-


Voltmetri e Amperometri

● Voltmetro ideale: – Legge la tensione tra due nodi senza perturbare il circuito.

– Rinput

= infinito

● Amperometro ideale:– Legge la corrente che scorre in un ramo senza perturbare il

circuito.

– Rinput

= 0

Il voltmetro è in parallelo all'elemento, l'amperometro in serie!


Multimetro● Voltmetro, Amperometro, Ohmmetro.

– Ohmmetro ?

● Precisione: 0.5% + (1-2 digit).● Continua e alternata.● Portata (schema partitore di ingresso)

● Autoranging!

ADCIN

1

2

3

4

9M

900K

90K

10K


Trasformazione delle maglie● Circuiti lineari:

– Esiste una relazione lineare tra “ingresso” e “uscita”

– Iout

= KVin + I

0 ; V

out = aI

in + V

0 ; ecc. ecc.

● Vale quindi il principio di sovrapposizione:– Il contributo di ogni generatore presente nel circuito

può essere considerato indipendentemente dagli altri. Il risultato finale si ottiene poi sommando tutti i contributi.

– Sostituire “correttamente” i generatori .......


Esempio:● Circuito con generatore di tensione e generatore di

corrente:

– Valutare la Iout

che scorre nella resistenza di carico

– Iout

sarà data dalla somma di I1 e I

2 dovute

rispettivamente al generatore di tensione Vin e al

generatore di corrente I0 .

+-

Vin

I0 R

load

Iout


Thevenin e Norton● Un circuito lineare può essere sostituito dal suo

equivalente, costituito da un generatore di tensione con una resistenza in serie.

– La tensione del generatore è quella misurata in uscita al circuito in assenza di carico

– La resistenza serie si calcola sostituendo ogni generatore del circuito con la sua impedenza (ovvero spegnendo i generatori).

● Esempio: partitore di tensione .....● Norton è il duale di Thevenin: Generatore di

corrente e resistenza in //. VTh

= IN*R

N ; R

N= R

Th


● Generatore di tensione rimpiazzato da un corto circuito

● Generatore di corrente rimpiazzato da un circuito aperto (R = inf. )

Thevenin e Norton (2)

+-

Vth

Rth

Rth

=


Esempio Thevenin● Partitore di tensione:

– Vth = V

out (misurata/calcolata in assenza di

carico)

● Rimane da calcolare Rth

I

+

0V

+

-

+-

Vth

Rth


Rthevenin

● Si sostituisce a Vin la sua impedenza interna con V=0 (cortocircuito)

● L'impedenza “vista” da Vout

è data

quindi dal parallello di R1 e R

2 .

– Immaginate che Vout

sia un

generatore esterno collegato al circuito. V

out /I è appunto

l'impedenza cercata !

● Rth quindi diventa: R

th = R

1R

2/(R

1+R

2)

I

+

0V

+

-


Rload

Dall'esterno si comportano alla stessa maniera

● Infatti attacchiamo un carico Rload

ad entrambi i

circuiti e calcoliamo il nuovo valore di Vout

.

● Caso A: partitore iniziale● Caso B: equivalente di Thevenin

I

+

0V

+

-

+-

Vth

Rth

Rload

Vout

+

-

Caso A

Caso B


Calcolo di Vout

● Caso A: V

out = V

in R

2//R

load / (R

1 + R

2//R

load) ;

Poiché : R2//R

load = R

2R

load / (R

2 + R

load)

Si ha: Vout

= Vin R

2R

load / (R

1(R

2 + R

load) + R

2R

load)

● Caso B: Vout

= Vth R

load / (R

th + R

load) ;

Poiché : Rth = R

1R

2/(R

1+R

2) e V

th = V

in R

2 / (R

1 + R

2)

Si ha: Vout

= Vin R

2 R

load /(R

1 + R

2)(R

th + R

load)

Cioè sostituendo anche Rthsi ha :

Vout

= Vin R

2R

load / (R

1R

2 + R

1R

load + R

2R

load)

● In entrambi i casi abbiamo la stessa tensione in uscita, come ci si aspettava.

● Caveat potenza dissipata! L'equivalenza vale solo per grandezze LINEARI!


Diagramma I-V per una resistenza ● Usiamo un partitore costituito da un potenziometro, che

alimenta una serie di resistenze.

– Una calibrata di valore noto e l'altra incognita.

– Due Voltmetri connessi, uno a R0 e uno a R

X.

● Non superate

PMAX

(R0)= V

0I !

PMAX

(RX)= V

XI!

● Tracciate I=f(Vx)

● I = (1/R)Vx


CELLA

● CILINDRO GRADUATO● 4 TERMINALI● 1 E 4 PER LA

CORRENTE● 2 E 3 PER LEGGERE LA

TENSIONE

1

2

3

4

Livello della soluzione


Diagramma I-V per la cella ● Usiamo un partitore costituito da un potenziometro, che

alimenta una serie di resistenze.

– Una calibrata di valore noto e l'altra incognita.

– Due Voltmetri connessi, uno a R0 e uno ai terminali B e C

della cella.

● Non superate

PMAX

(R0)= V

0I !

PMAX

(Cella)= V14

I !

● Tracciate V23

=f(I)

● V23 = RCELLA

*I


Istogramma V23

● Fissato un valore di I (e.g. 1 mA) leggiamo V23

più

volte e annotiamo i valori letti.

● V23

ha un errore a priori ovvero sistematico

● Riempiano un istogramma con bin di larghezza comparabile con DV

23 (sistematico)

● C'è dispersione ? Oppure tutti i valori stanno in unico bin ?

● Calcolare quindi <V23

> (medio) e sV23

.


IV● Si usano le formule complete del c2 . L'errore

infatti non è costante (ricordatevi 12-1/2 ).

● Valutate il c2 ottenuto in funzione dei gradi di libertà.

● I = DI/I = DV0/V

0 + DR

0/R

0

● Errore del multimetro : 0.5% +/- 1 digit

● Vx viene assunta precisa !!

● Valutate l'errore su RX e R

D ottenuto dal fit, e

quello che invece risulterebbe da una singola misura (solo per R

x).


Formule (errore costante) !● I = y ; D

y = s2

y ; V

x = x ; D

x = 0 !

● a = 1/Rx oppure a = 1/R

D ; b = 0 oppure b = ?

● Se b = 0:● Se b <> 0:


Spreadsheet● Il nostro errore in realtà non è costante (terza

colonna) ...... è costante l'errore relativo.

V(Volt) I (A) DI (A) Termini Valori1 0.00102 0.000006100 Vmedio 3.00000

2 0.00198 0.000010900 Imedio 0.00300

3 0.00302 0.000016100 Sx2 55.00000

4 0.00399 0.000020950 Sxy 0.05505

5 0.00501 0.000026050 1/R=Sxy/Sx2 0.00100

R 999.09173 Sigma(1/R) 0.000002 Sigma(R)=2.17


Misura di una tensione in uscita da un circuito.

● Nella maggior parte dei casi, il multimetro (o l'oscilloscopio) sono più che adeguati.

● Con quale parametro ci si confronta ?– Impedenza di ingresso dello strumento e

impedenza d'uscita del circuito

● Nel caso in cui questo confronto fosse o sfavorevole o “sconosciuto” si possono utilizzare 2 tecniche.


Doppio multimetro

● Impedenza d'ingresso di un multimetro 10MW.● Prima si attacca un multimetro all'uscita e si

misura V1, poi se ne aggiunge ancora un'altro e

si rimisura la tensione in uscita V2 = V

1.

● Si assume che i 2 voltmetri abbiano la stessa impedenza.

● Ricavare Vx e R

x e propagare gli errori.


Derivazione di Vx e Rx.● L'unica differenza nei due casi e il parallelo tra le due r

V


Propagazione degli errori● Derivata logaritmica:


Metodo potenziometrico● Appartiene a quella classe di metodi di misura ad

azzeramento.– Si cambia un parametro (e.g. la tensione di un

generatore) fino ad ottenere l'azzeramento della variabile misurata (e.g. la corrente in un ramo).

● All'inizio R0 viene tolta.

+-

Vx

I0

Rx

V

rV

Rx

R0

+-

V0


Metodo potenziometrico● Quando la tensione V misurata ai capi di r

V è

uguale a zero, vuol dire che I0 è nulla.

– V = I0r

V

– Vx -I

0R

x-I

0r

V-V

0= 0 --> V

x = V

0 (quando I

0 = 0)

● L'errore può essere di sensibilità, cioè si varia V0

ma V non varia; oppure di precisione su V che in questo caso essendo V = 0 si limita agli 1-2 digit di troncatura. A questi si somma l'errore sulla lettura di V

0.

– DVx = DV

0 + DV


Metodo potenziometrico● Per misurare R

x, inseriamo R

0 nel circuito.

● Riazzeriamo I0. Troveremo un nuovo valore di

V0 che indicheremo con V'

0.

● Per la legge del partitore, avremo:

– V'0 = V

xR

0/(R

0 + R

x) = V

0R

0/(R

0 + R

x)

– (R0 + R

x)V'

0 = V

0R

0

– Rx = R

0(V

0 - V'

0)/V'

0

● L'errore su Rx:


● Errore su Rx = R

0 (V

0 - V'

0)/V'

0 :

●

● Derivata logaritmica:

Metodo potenziometrico


BREAK!

● Usiamo il CHI2 con errori a priori e NON costanti.

● Errore percentuale e 1-2 digit ....● Errore relativo o assoluto ?


Diodo a semiconduttore (accenni)● Atomi, livelli energetici (discreti):

Fermioni (Principio di esclusione di Pauli)Spin (quarto numero quantico),s = ± 1/2.

Atomo d’idrogenoOrbitali elettroniciIn generale 3 numeri quantici descrivono la funzione d’onda dell’elettrone:

– n=1,2,3,…... K,L,M,N,….. shell– l= 0,1,2,….,n-1 s,p,d,f,….. subshell– ml=0,+-1, +-2,… +- l– E = F(n,l,m,s)– DE = h– Si ha emissione di radiazione solo nelle transizioni tra livelli energetici.

Proprietà dipendono soprattutto dagli elettroni di valenza (occupano gli orbitali più esterni).


Bande energetiche● Avviciniamo gli atomi● Guardiamo cosa succede agli elettroni più esterni

Silicio (A=14):1s22s22p63s23p2

Germanio (A=32):1s22s22p63s23p63d104s24p2


Bande energetiche

● Riarrangiamento dei livelli in bande.

● A seconda del passo reticolare, cambia radicalmente la struttura.


Banda proibita(a)Isolante

(b)Semi-conduttore

(c)Metallo


Semiconduttori● Due tipi di portatore

– Elettroni– Lacune

● Meccanismo di conduzione bipolare

● Agitazione termica, libera coppie elettrone-lacuna, che successivamente si ricombinano

● A regime si ha una situazione stazionaria con un certo numero di portatori liberi


Due portatori di carica● L’elettrone mancante nei legami covalenti, può essere

schematizzato a tutti gli effetti come una particella di carica positiva e massa mh con mobilità mh .

L’elettrone che si muove a sinistra per riempire un legame covalente, equivale al movimento di una carica positiva verso destra.

Sono veramente due tipi di conduzione diversa, (schematizzabili come sopra).Verifica sperimentale con l’effetto Hall.

+

+

t

+

+


Caratteristiche, silicio e germanio

Germanio Silicio

Numero atomico

32 14

Densità (g/cm3) 5.3 2.3

Atomi/cm3 4.4 1022 5.0 1022

EGAP (eV) T = 300 0K 0.72 1.1

ni (cm-3) T = 300 0K 2.5 1013 1.5 1010

Resistività (Wcm) T = 300 0K

45 230000

mn (cm2/Vs) T = 300 0K

3800 1300

mh (cm2/Vs) T = 300 0K

1800 500

• n (concentrazione di elettroni) = p (concentrazione di lacune) = ni ( concentrazione intrinseca)

• ni2=A0T3exp-(Egap/kT) ; dipende fortemente dalla temperatura.

• j = (nmn + pmp)qE = sE • EGAP dipende da T (10-4)• m oltre a dipendere da Tdipende anche da E.i. Per E<103V/cm, m è cost.ii. Per 103<E<104, mE-1/2 iii. Per E>104, mE-1 La velocità di saturazione ècirca 107 cm/s.


Drogaggio n● Donori (P,As,Sb)● Atomi con 5 elettroni negli

orbitali esterni● Uno dei 5 elettroni, risulta poco

“legato” al suo atomo nel reticolo

● Nella descrizione a bande, viene introdotto un livello energetico discreto (numero di donori

comunque piccolo) vicino alla banda di conduzione.


Drogaggio p ● Accettori (B,Ga,In)● Atomi con 3 elettroni negli

orbitali esterni● Uno dei 4 legami covalenti,

risulta “vuoto” e tende a prendere l’elettrone mancante dagli atomi vicini.

● Nella descrizione a bande, viene introdotto un livello energetico discreto (numero di

accettori comunque piccolo) vicino alla banda di valenza.


Drogaggio

● Con il drogaggio, cambiano le proprietà di conduzione elettrica del conduttore.

● L'aggiunta di 1 atomo donore su 106 atomi di silicio, riduce le lacune presenti nel materiale a valori prossimi a zero; rimangono solo gli elettroni per condurre la corrente.

● Se vengono usati atomi accettori, i ruoli si scambiano e nel materiale rimangono solo lacune.


Drogaggio● Possiamo quindi cambiare le caratteristiche del

semiconduttore (es. silicio)● La concentrazione ND di donori (tutti praticamente

ionizzati) e la concentrazione NA di accettori si devono sommare alle concentrazioni di lacune ed elettroni presenti nel semiconduttore. Poichè il materiale è neutro si deve avere:

– ND + p = NA + n

● In un semiconduttore di tipo n (NA = 0) p è molto piccola e quindi n ≈ ND

● Inoltre: np = ni2 (Legge di azione di massa)

p ≈ ni2/ND


Qualche numero (silicio)● Aggiungiamo donori; una parte in 108 atomi di

silicio:

– ND = 5.0 1022 /108 = 5.0 1014

– n ≈ 5 1014

– p ≈ ni2/ND=2.25 1020/5 1014 = 4.5 105

● La resistività diventa:

– s = nqmn = 5 1014 * 1.6 10-19 * 1300 =

= 1.04 10-1 (Wcm)-1

– r = 1/s = 10 Wcm


Effetto Hall● Sono davvero due tipi di portatori!

– Effetto HALL– F = qvB diretta lungo -Y


Effetto Hall● Se il silicio è di tipo n, la corrente sarà data da

elettroni liberi (carica negativa) che si muovono da destra a sinistra. Se di tipo p da lacune (carica positiva) che si muovono da sinistra a destra. In ogni caso migrano sulla faccia 1.

– Vhall = V21 > 0 se di tipo n

– Vhall = V21 < 0 se di tipo p

● Se la conduzione nel materiale di tipo p fosse dovuta ad elettroni legati che si muovono da destra a sinistra Vhall sarebbe uguale nei due casi. La lacuna si comporta classicamente come un portatore libero di carica positiva.


Effetto Hall (tipo n)● E = VHall/d , le cariche accumulate sulle superfici

generano un campo elettrico E tale da contrastare un ulteriore spostamento di cariche dovuto alla forza di Lorentz.

– VHall = Ed = Bvd ; j = nqv = I/wd

– VHall = BI/nqw da cui si ricava la densità di portatori nq.

– RHall = 1/nq, coefficiente di Hall.

● Se viene misurata anche la conducibilità s = nqm si ricava anche il valore della mobilità m.

● Vale ovviamente anche per materiale di tipo p; si ricava la mobilità delle lacune.


Giunzione p-n

● Le lacune che si diffondono nella zona N si ricombinano con gli elettroni presenti, lasciando ionizzati gli ioni donori. Si viene a creare quindi una zona “fissa” di carica positiva. Lo stesso accade per gli elettroni che diffondono nella zona P.

● Queste cariche nude, danno origine ad un campo elettrico E che ostacola l’ulteriore diffusione di portatori.


Diodo a giunzione

• Polarizzazione diretta (figura)– Generatore “abbassa” la barriera e favorisce il

flusso dei portatori di carica “maggioritari”

Giunzione asimmetrica p>>n


Circuito con il diodo

● Caratteristica V-A (Volt-Ampere) del diodo


Caratteristica V-A del diodo

• I = I0 (eV/Vt -1)– I0 = Corrente di saturazione inversa

– V = Tensione di polarizzazione esterna

– Vt = Volt equivalente della temperatura

– = Coefficiente di correzione silicio/germanio

Determinare, nella approssimazione a linea spezzata (“piecewise approximation”), i parametri Vg e Rd

(nel range 1mA < I < 3mA).

1/RD

Vg


Tipi di diodo


Circuito rettificatore a mezza onda e a onda intera (ponte).

● Generatore alternata, R di carico, ecc. ecc.● Grafici: Vin Vout


BREAK!


Correnti Variabili● Limitiamoci ai casi in cui le variazioni sono

“lente” rispetto ai tempi di propagazione dei segnali nel circuito.

● Quanto è il tempo di propagazione (lampadina a 1 metro dall'interruttore) ?

● Accensione lampadina, velocità termica 106 m/s, velocità di drift 10-5 m/s, propagazione campo E.M. 2/3 velocità della luce (3x108 m/s).

● Corrente e tensione si propagano con il campo E.M.

● I nostri casi sono detti: “Quasi-stazionari”.


Quasi-stazionarietà● Non vuol dire che non ci interessano i transitori.

A volte cercheremo soluzioni per il transitorio a volte soluzioni a “regime”.

● Implicazioni per i “tempi” di variazione (o lunghezze d'onda dei segnali).

● T(periodo) = 2p/w ; w = 2p/T (w = pulsazione) ; (frequenza) = w/2p = 1/T.

● l(lunghezza d'onda) = vE.M.

(velocità di fase)/.

● vE.M.

tipiche nei cavi, 2/3 c (velocità della luce) -->1 metro in 5 ns .


Nuovi elementi circuitali (reattanza)● Condensatori e induttanze diventano importanti

quando consideriamo correnti variabili nel tempo.● Al contrario delle resistenze (che dissipano calore

per effetto Joule), questi elementi sono “conservativi”, cioè non dissipano energia ma l'accumulano per poi cederla al circuito.

● Questo non vuol dire che non si “oppongano” al passaggio della corrente (che varia nel tempo)!

● Questa “resistenza” al passaggio della corrente si chiama reattanza e si misura in Ohm.


Condensatore● Il condensatore è costruito da due armature

metalliche separate da un dielettrico.


Condensatore● Se attacco un generatore di tensione V

0 (DC) ai

capi di un condensatore, sulle armature si accumulerà una carica elettrica tale da rendere la tensione ai capi del condensatore uguale a quella del generatore. A questo punto non fluisce più corrente nel circuito.

● Il fatto che la carica immagazzinata dal condensatore sia proporzionale alla tensione applicata è l'essenza dell'effetto capacitivo. In questo caso la relazione è lineare, e la costante di proporzionalità è detta: capacità del condensatore.


Capacità● C = Q/V-->[C](Coulomb)/[V](Volt) = [F] (Farad)● Questa costante di proporzionalità e determinata

dalle caratteristiche geometriche e materiali del condensatore.

– Un condensatore a facce piane e parallele:

– C = e0e

rA/d

● A volte, pur essendoci una proporzionalità tra tensione e carica, questa non è lineare. In questo caso si preferisce definire C come dQ/dV.

● Ad esempio la CT di un diodo contropolarizzato.


Calcolo della capacità di un condensatore

● Facce piane e parallele (superficie A, distanza d)

● La carica superficiale s è uguale a Q/A .

● V= Ed = sd/e = Qd/eA

● C = Q/V = eA/d● Dipende solo dalla geometria!


Relazione V-A per un condensatore● Partiamo da C = Q/V:

– Q = CV

– Ma: I = dQ/dt

– Quindi se deriviamo a destra e a sinistra rispetto al tempo otteniamo:

● I = C dV/dt – Quando V è costante I = 0!

● E' una equazione differenziale che possiamo integrare:


Grafici corrente tensione● L'uso di v e i minuscolo per esprimere

“piccole” variazioni nel tempo. Qui non necessario ma in altri contesti sì.

● Variazione istantanee di i, ma mai variazioni istantanee di v.

t

i(t) v(t)

t


Energia immagazzinata● E' l'energia (il lavoro) necessaria a caricare il

condensatore.● Questa non viene persa in calore (a meno di

effetti secondari legati alla “realtà”).● Rimane immagazzinata sotto forma di campo

elettrico all'interno del condensatore stesso.● La potenza:● L'energia quindi:


Energia (2)● In termini di carica si calcola il lavoro compiuto

dal generatore per spostare una carica infinitesima dq da un'armatura all'altra del condensatore C posto alla tensione V .

● dL = Vdq ; ma V = q/C● Di conseguenza: dL = dU (Variazione dell'energia

elettrostatica) = q/C dq● L'integrale ci fornisce: U = 1/2 q2/C = 1/2 CV2


Serie di condensatori● Quasi-stazionario: DivJ=0, la corrente è uguale

(istante per istante) in tutto il circuito.● Condensatori in serie:

● Si applica la KVL: v-v1-v

2-.....v

n = 0

● Quindi:


Parallelo di condensatori● Sempre caso quasi-stazionario. Si applica la KCL.

● i = i1 + i

2 + .... + i

n

● Quindi:

● L'opposto che per le resistenze .......


Induttanza● Legge di Faraday (legge dell'induzione elettromagnetica):

in un circuito chiuso posto in un campo magnetico variabile si genera una f.e.m. indotta (e quindi una corrente che scorre nel circuito).

– Si ha lo stesso fenomeno per un circuito in movimento in un campo magnetico costante.

– Legge di Lenz: la corrente è tale da dar luogo a un campo magnetico che si oppone alla variazione che l'ha generata (conservazione dell'energia).

B(t)

I

si oppone ...


Induttanza● Legge di Biot-Savart (magneto-statica): un conduttore

percorso da corrente genera un campo magnetico d'induzione B.

● Legge di Ampère:

● Quindi un circuito chiuso in cui circola corrente si ha anche l'induzione di un campo magnetico.

● Se questo, varia nel tempo, a sua volta avremo una f.e.m. autoindotta che si oppone alla variazione della corrente stessa.


Induttanza● Si genera quindi una tensione V

B, dovuta appunto

alla variazione del campo magnetico indotto, proporzionale a dI/dt (alla variazione della corrente che genera il campo magnetico).

● Il coefficiente di proporzionalità si chiama induttanza: L -> Henry -> [H] = [V][s]/[A]

● Il flusso si misura in weber: una variazione di flusso di un weber al secondo, induce una f.e.m. di un Volt. [Wb].


Induttanza del solenoide● Solenoide di sezione A e lunghezza d con N spire.● Il campo magnetico B è diretto lungo l'asse del

solenoide. Usiamo la legge di Ampere.

– Bd = mNI (campo esterno al solenoide = 0, approx. d >> r)

– B = mNI/d

● F(B) = NAB ●

● VL=(NAmN/d) dI/dt = LdI/dt (V

L ostacola la crescita di I)

● L = mN2A/d , dipende solo dalla geometria.


Induttanza del solenoide (2)● Simmetria (riflessione/rotazione/traslazione lungo z):

B vettore assiale, quindi possibile solo direzione lungo z.

● Conservazione energia linee di campo B esterne molto rarefatte. Per d --> inf. allora B --> 0. Quindi loop esterno B = 0.

● Loop interno: corrente circuitata I=0, quindi B*l in su sarà uguale a B*l in giù. Poichè le dimensioni del loop sono variabili si ha che B = costante.

● Loop a cavallo delle spire: Bext

= 0, Bint

*l = m0NI

● Il flusso di B concatenato del soleinode è dato da: A (superficie) * N (numero di spire) * B.


Relazione V-A per un'induttanza● v = L di/dt● Analoga a quella del condensatore, solo che

adesso se i = cost. allora v = 0.● Per circuiti in continua L si comporta come un

corto circuito mentre il condensatore come un circuito aperto.

● Integrando otteniamo:● Le variazioni di i sono proporzionali a 1/L e

all'integrale di v!


● Variazione istantanee di v, ma mai variazioni istantanee di i.

Grafici corrente tensione

t

v(t)i(t)

t

t

i(t)v(t)

t

v=Kt i=1/2Kt2


Energia immagazzinata● E' l'energia (il lavoro) necessaria a far circolare

una certa corrente i nell'induttanza.● Questa non viene persa in calore (a meno di

effetti secondari legati alla “realtà” resistiva).● Rimane immagazzinata sotto forma di campo

magnetico. ● La potenza:● L'energia:


Serie di induttanze● Quasi-stazionario: DivJ=0, la corrente è uguale

(istante per istante) in tutto il circuito.● Induttanze in serie:

● Si applica la KVL: v-v1-v

2-.....v

n = 0

● Quindi:


Parallelo di induttanze● Sempre caso quasi-stazionario. Si applica la KCL.

● i = i1 + i

2 + .... i

n

● Quindi:● Analogamente alle resistenze .......


Convenzione segni per gli elementi circuitali

● Il generatore è un'oggetto a se, è responsabile del flusso di corrente nel circuito.

● Gli elementi circuitali hanno, per convenzione, il segno + e il segno - nel verso della corrente. Cioè la corrente scorre da + a - .

– R: la corrente provoca una caduta di tensione IR che si sottrae alla d.d.p del generatore

– C: una I entrante aumenta le cariche sull'armatura del condensatore(+) e quindi dv/dt >0

– L: se dI/dt>0 allora si ha una f.e.m. che si sottrae alla d.d.p. del generatore che fa fluire I nel circuito.


Circuiti RC● Primo circuito: C è il generatore di tensione

+

-

VC

I

R VRC

+

-

Q0/C =

Interruttore chiuso a t0

+

-V

C

I

R

VR

C

+

-

= Q0/C

Interruttore chiuso a t0

+

VGEN

-

IC

IR


Primo circuito RC ● Caso semplice, un condensatore (C) carico (Q

0),

che viene chiuso su una resistenza R da un interruttore all'istante t

0.

– Per t <= t0 si ha: V

C = Q

0/C, V

R = 0, I = 0 .

– Per t > t0 si ha: V

C = V

R = Q/C = ?, I = ?

● Scriviamo l'equazione della maglia:

– VC + IR = Q/C + IR = 0

– Ma I = dQ/dt quindi:

– dQ/dt + Q/RC = 0 Equazione omogenea del primo ordine.


Primo circuito RC● Raggruppando, troviamo:● Integrando:

● Facendo l'esponente otteniamo:

● V = Q/C, I = dQ/dt ........


● La quantità di carica sulle armature del condensatore decade esponenzialmente con una costante di tempo t = RC !

● Passato un tempo t , Q si è ridotta a:

– 0.3679 Q0 ( cioè si è ridotta a Q

0/e )

– VC segue lo stesso andamento di Q, ovviamente

– I essendo uguale a dQ/dt, segue lo stesso andamento di Q. La corrente massima si ha per t = t

0. ed è: I

MAX = I(t

0) = V

C(t

0)/R = Q

0/RC

Primo circuito RC


Corrente● dQ/dt è la corrente I

C che fluisce nelle armature

del condensatore, per questo è negativa!

– -Q0/t e-(t-t0)/t = -V

0/R e-(t-t0)/t

● IC = - I

R , se applicate la legge dei nodi

all'interruttore.

● Quindi IR = I, è uguale, come ci si aspetta, a:

– V0/R e-(t-t0)/t

– Dovuta al fatto che C è il nostro generatore di tensione (che si scarica ....)


Secondo circuito RC● Generatore in continua. Assumiamo che il

condensatore (C) sia inizialmente scarico (Q(0) = 0). All'istante t

0(= 0) viene chiuso l'interruttore e

inizia a fluire la corrente I.

– Per t <= 0 si ha: VC = Q(0)/C = 0, V

R = 0, I = 0 .

– Per t > 0 si ha: VC = Q/C = ?, I = ?

● Scriviamo l'equazione della maglia:

– VGEN

- VC - IR = V

GEN - Q/C - IR = 0

– Ma I = dQ/dt quindi:

– dQ/dt + Q/RC = 0 Equazione omogenea del primo ordine.


● La soluzione sarà data dall'omogenea più una particolare.

– Q(t) = K e-t/RC + ?

– Una soluzione particolare è data da Q = cost. = CV

GEN !

– Q(t) = K e-t/RC + CVGEN

! K ?

– K viene determinata dalle condizioni iniziali, per t = 0 Q(0) = 0 (condensatore scarico), quindi

– Q(0) = K + CVGEN

= 0 -> K = - CVGEN

● Q(t) = CVGEN

(1 - e-t/RC) --> V(t) = VGEN

(1 - e-t/RC)

Secondo circuito RC


● Quindi il condensatore si carica e, una volta raggiunta la tensione V

GEN, la corrente smette di

fluire (I decade exp... : IMAX

= I(0) = VGEN

/R ).

● Se il generatore in continua viene sostituito da uno a onda quadra che oscilla tra V

1 e V

2 (>V

1) con un

periodo T >> t = RC, osserveremo il condensatore caricarsi fino a raggiungere V

2 e successivamente

scaricarsi fino a raggiungere V1 e così via con

periodo T .

Secondo circuito RC


Carica scarica di un condensatore● I(t) ?

t

VGEN

VC

V

90%

10%

T

e-t/t


Come risalire a t da una misura all'oscilloscopio

● Si misura il tempo in cui il segnale passa dal 10% (t1) al 90%

(t2) della sua ampiezza massima (V

in) :

– Vout = Vin (1-exp(-t/τ))

– 0.1 Vin = Vin (1-exp(-t1/ τ)) → 0.9 Vin=Vin exp(-t1/ τ)

– 0.9 Vin = Vin (1-exp(-t2/ τ)) → 0.1 Vin=Vin exp(-t2/ τ)

● Dividiamo membro a membro ottenendo:

● 9 = exp(t2 - t1 / τ) → τ = (t2-t1) / ln9


OSCILLOSCOPIO● E' un Voltmetro! Quindi impedenza d'ingresso

elevata (ma non infinita ....) schematizzabile come un parallelo tra un resistenza (1 MW) e una capacità (10-20 pF).

● Permette di visualizzare l'andamento della tensione in funzione del tempo su uno schermo a fosfori (analogico) oppure televisivo (digitale).

● Due controlli fondamentali:– Scala delle tensioni

– Scala dei tempi


● E' meno preciso di un multimetro, tipicamente si ha un 3% di errore di calibrazione oltre all'errore di lettura (analogico).

– Il multimetro però anche quando misura l'alternata può al massimo misurare il valore R.M.S. di una sinusoide e per di più limitata a una frequenza massima di 500Hz.

● Indispensabile ogni volta che si vuole “vedere” lo sviluppo temporale di un segnale.

● Il segnale viene visualizzato su uno schermo con un reticolo sovrapposto.

– Tutte le unità di misura sono riferite ai “quadretti” dello schermo. 20mV a quadretto, 10us a quadretto ecc. ecc.

OSCILLOSCOPIO


● Poichè sullo schermo si possono vedere anche più tracce, normalmente si hanno almeno due ingressi indipendenti per i segnali.

OSCILLOSCOPIO

Ingresso 1

Ingresso 2

Controllo V/div 2

Controllo V/div 1

Controllo secondi/div


● Circuito di trigger:– Problema: decidere quale intervallo del segnale

mostrare **.

– Normalmente si usa un circuito a soglia, cioè che scatta quando il segnale supera un certo livello di tensione minima (oppure “scende” sotto un certo livello).

– Al superamento della soglia il circuito di trigger farà visualizzare all'oscilloscopio il segnale in ingresso.

** Negli oscilloscopi analogici, affinchè l'occhio umano possa vedere la traccia luminosa bisogna che questa passi

ripetutamente sui fosfori dello schermo stimolandoli. Quindi è assolutamente indispensabile che si mostri sempre lo stesso identico spezzone temporale del segnale. Negli oscilloscopi digitali questa sincronizzazione non è necessaria (misura “one shot”) ma nel caso di segnali ripetitivi permette di migliorare la misura.

OSCILLOSCOPIO


Tubo catodico e placchette di deflessione

● Cannone elettronico

● Accelerazione

● Placche di deflessione

● Impatto sul fosforo e

● Visualizzazione traccia


Convertitore ADC e computer ...

Amplificatore/adattatore in ingresso.Convertitore Analogico Digitale (ADC)

Memoria, Computer per la visualizzazione dei dati in memoria.

Circuito di trigger !! La cosa più difficile.


Campionamenti● Il generatore d'onda quadra parte solo con il consenso del

circuito di trigger (i.e. quando Vin > V

th).

● Il periodo dell'onda quadra T è legato alla scala dei tempi (s/DIV.) In generale T<= di una divisione.

● T stabilisce la cadenza dei campionamenti (conversioni) del segnale in ingresso fatti dall'ADC e scritti in memoria.

V

t

Tonda quadra

Campionamenti


BREAK!


Correnti alternate● Corrente (tensione) alternata, si riferisce a:

– una grandezza periodica

– a media nulla

– V(t) = V0cos(wt + f) - funzione periodica con

pulsazione w e sfasamento f.

● Una funzione periodica è rappresentabile come somma di funzioni armoniche semplici:


Funzione sinusoidale● f(x) = sin(x) ; periodo 2p ;

● Definiamo x = wt (t=tempo)

● w = freq. angolare. [rad./s]

● T = periodo = 2p/w

● f = 1/T = w/2p = = frequenza ciclica [Hz]● Una tensione che varia sinusoidalmente :

– V(t) = V(t + nT) = V0 sin(wt + f)

– f è la fase iniziale della sinusoide (al tempo t=0)

– f > 0, t0 deve essere < 0 (anticipo) e viceversa


Numeri complessi● Un numero complesso è costituito da una parte

Reale e una parte Immaginaria ( i = sqr(-1) ) e può essere rappresentato in vari modi:

– z = a + ib (notazione algebrica)

– z = r eif (notazione esponenziale)

– z = r /_f (notazione polare)

z = r cosf + i r sinf

eif = cosf + i sinf (vedere dopo)

r = (a2 + b2)1/2

f = arctg(b/a)fa

b

r

z

ℜ

ℑ


Numeri complessi● Vantaggi del formalismo con numeri complessi:● Semplificazione dei calcoli

● Le eqz. differenziali vengono riportate ad eqz. algebriche.

● Una volta finiti i calcoli dobbiamo però ritrovare la soluzione “Reale”!

● Il complesso coniugato di un numero complesso:– z = a + i b --> z* = a - i b

● Modulo quadro di un numero complesso:– zz* = a2 + i ba - i ba + b2 = a2 + b2 (REALE !)

– z + z* = 2a (REALE .. MA ..NON è il modulo!)


Funzione sinusoidale● Rappresentazione complessa. Serie di Taylor:

x ---> z = ix

eif = cosf + i sinf● La somma delle due serie (cos + i sin) è uguale

allo sviluppo in serie dell'esponenziale complesso.● Le operazioni con gli

esponenziali sono più semplici:

eg. il prodotto di due coseni


Rappresentazione complessa● V(t) = V

0cos(wt + f) = Re (V

0ei(wt + f))

● V(t) = Re (V0eifeiwt) = Re (V^eiwt)

● V^ è un numero complesso chiamato fasore .● L'uso della rappresentazione complessa ci permette

di riportare ad equazioni algebriche, le equazioni differenziali che regolano l'impiego di condensatori e induttanze.

● Caveat: grandezze lineari (la frequenza rimane univoca), soluzioni a regime (non vi è dipendenza dal tempo)!


Derivate e integrali di tensioni (correnti) alternate

● V(t) = V0cos(wt + f) = Re (V

0ei(wt + f)) = Re (V^eiwt)

● dV/dt = -wV0sin(wt + f) = Re (iwV^eiwt) quindi:

– per i fasori: V^ --d/dt--> iwV^

● Integrali:

– per i fasori: V^ -- --> V^/iw

● Rappresentazione grafica:– wt è la rotaz. dipendente dal tempo

– f è l'angolo di fase a t=0.

– eip/2 = i ; e-ip/2 = -i f

ℑ

ℜ

V0eif

wt


Elementi circuitali in C.A.● Resistenze: NON introducono sfasamenti!

– tensione e corrente sono in fase

– l'impedenza è puramente reale (rappr. con i fasori)

– I(t) = V(t)/R (Legge di Ohm) = V0cos(wt + f)/R

– I(t) = I0cos(wt + f) , con I

0 = V

0/R

● Con i fasori:

– V^ = I^R , con V^ = V0eif , e I^ = I

0eif (stessa fase)!

f

ℑ

ℜ

V0eif

I0eif


● Induttanze (i = eip/2):

– I(t) = I0cos(wt + f) = Re(Iêiwt)

– V(t) = L dI(t)/dt

– V(t) = -wL I0sin(wt + f) = wL I

0cos(wt + f + p/2)

– V(t) = wL Re(Iêi(wt+ p/2)) = wL Re(iIêiwt) – Le ultime 2 espressioni sono identiche tra loro (i = eip/2).

● Quindi l'induttanza introduce uno sfasamento di p/2 . Cioè la tensione anticipa la corrente di 90 gradi. Con i fasori :

– Vêiwt = iwLIêiwt --> V^ = iwLI^

Elementi circuitali in C.A.


● Capacità:

– V(t) = V0cos(wt + f) = Re(Vêiwt)

– I(t) = C dV(t)/dt

– I(t) = -wC V0sin(wt + f) = wC V

0cos(wt + f + p/2)

– I(t) = wC Re(Vêi(wt+ p/2)) = wC Re(iVêiwt) ● Le ultime 2 espressioni sono identiche tra loro (i = eip/2).

● Quindi la capacità introduce uno sfasamento di p/2 . Cioè la corrente anticipa la tensione di 90 gradi. Con i fasori :

– Iêiwt = iwCVêiwt --> I^ = iwCV^



● La generalizzazione della resistenza è l'impedenza.– V = RI --> Z = R (puramente Re.)

– V^ = iwLI^ --> Z = iwL (puramente Imm.)

– V^ = I^/iwC-->Z=1/iwC=-i/wC(puramente Imm.)

– Usando solo onde sinusoidali, soluz. a regime, non abbiamo più la dipendenza dal tempo.

● Legge di Ohm generalizzata: V^ = Z^I^


f

ℑ

ℜ

I0eif

f

ℑ

ℜ

V0eif

I0ei(f+p/2)V

0ei(f+p/2)

wtwtL C


Leggi di Kirchhoff● Impedenze complesse:

– ZC(w) = 0 per w che va a infinito.

– ZC(w) = inf. per w che va a zero.

– ZL(w) = inf. per w che va a infinito.

– ZL(w) = 0 per w che va a zero.

● Ai fasori si applicano pari pari le leggi di Kirchhoff viste per le correnti in continua:

– KVL: V^1 + V^

2 + V^

3 + .... + V^

n = 0

– KVC: I^1 + I^

2 + I^

3 + .... + I^

n = 0


● Come conseguenze diretta della validità delle leggi di Kirchhoff (slow varying signals!), avremo anche:

– Serie di impedenze:● Z^

eq = Z^

1 + Z^

2 + Z^

3 + ..... + Z^

n

– Parallelo d'impedenze:● 1/Z^

eq = 1/Z^

1 + 1/Z^

2 + 1/Z^

3 + ..... + 1/Z^

n

● Partitore di tensione: V^1 = V^

GEN Z^

1/(Z^

1 + Z^

2)

● Partitore di corrente: I^1 = I^

GEN Z^

2/(Z^

1 + Z^

2)

Leggi di Kirchhoff


Circuito RC in alternata

● VGEN

= V0cos(wt)

● Fase iniziale = 0.

● Ci interessa la tensione ai capi del condensatore V^C

● L'equazione differenziale è data da:

equivalente (con i fasori e le impedenze complesse) a:

– V^GEN

- I^(Z^R + Z^

C) = 0, con: Z^

R = R e Z^

C = 1/iwC

– V^C

= I^Z^C

= I^/iwC

+

-V

C

I

R

VR

C

+

-

= Q/C

+

VGEN

-


● Definiamo wC = 1/RC = frequenza di taglio del circuito.

● Questa è la tipica risposta di un filtro passa-basso. Cioè di un circuito che lascia passare la tensione in continua e/o in alternata con frequenza minore di w

C, ma attenua/blocca

(sempre di più al crescere della frequenza) la tensione con frequenza superiore a w

C.



● Vediamo separatamente il modulo e la fase di V^C rispetto a

V^GEN

= V0GEN .

(abbiamo supposto senza perdere generalità che la fase iniziale del generatore sia nulla)

– Sappiamo che a+ib può essere scritto come Aeif.

– A = (a2+b2)1/2, e f = arctg(b/a)

● Quindi (V^C = |V^

C|eif , e V^

GEN = V0

GEN) :


f


● Fase: per w = wC(freq. di taglio)--> f = -p/4,

per w = 0--> q = 0 e per w = inf.--> f = -p/2 .

● Modulo del guadagno (G = |V^C|/|V^

GEN| ): G = 1 per w = 0, G = 0 per

w = inf., e G = 1/21/2 = 0.71 per w = wC.


w

f

0

-p/4

-p/2

wC

w0

G

0

1

0.7

wC


● G guadagno del circuito, è più generalmente nota come funzione di trasferimento (di solito complessa).

– G = V^C/V^

GEN = V

Ceifeiwt / V0

GENeiwt

● Nel campo reale:

– VGEN

(t) = V0GEN

cos(wt)

– VC(t) = V0

GEN/(1+(w/w

C)2)1/2 cos(wt + f)

● Quindi la tensione ai capi del condensatore sarà oltre che attenuata anche sfasata di un angolo f dipendente da w.



Decibel e Diagrammi di Bode● I grafici mostranti G e la fase f, normalmente non sono

riportati in scala lineare bensì log-log e log-lin.

● Sia per il guadagno G che per la fase f, la frequenza w è sempre mostrata in scala logaritmica (base 10).

● La fase f viene messa in ordinata con una scala lineare, per

cui il grafico della fase in funzione di w risulta lin-log.

● Il modulo del guadagno |G| normalmente viene espresso in decibel (dB).

– GdB

= 20 log10

(|G|) = 20 log10

(VC/V0

GEN)

– Se VC

< V0GEN

(come nel nostro caso) allora GdB

< 0.

● Grafici costruiti a questa maniera sono chiamati diagrammi di Bode.


Diagrammi di Bode per il filtro passa-basso (Circuito RC)

● Facile identificare la frequenza di taglio.

● La pendenza di GdB

dopo

il polo a w = wC è di 6dB

per ottava, ovvero di 20dB per decade.

● Nei grafici a lato la frequenza di taglio è 100 Hz.

● Alla frequenza di taglio G

dB è a -3dB e f = -45o.

● -3dB = 20 log10

(|G|) quindi |G| = 1/21/2 che è infatti il valore assunto quando w = w

C.


Esperienza C (Circuito RC).Oscilloscopio – Caratterizzazione di un circuito RC

Vout=Vin (1-exp(-t/τ))

0.1 Vin =Vin (1-exp(-t1/ τ)) → 0.9 Vin=Vin exp(-t1/ τ)

0.9 Vin =Vin (1-exp(-t2/ τ)) → 0.1 Vin=Vin exp(-t2/ τ)

da cui dividendo m. a m. V0 e con facili passaggi si ottiene:

τ = (t2-t1) / ln9 --> Dt/t = Dt2/t2 + Dt1/t1 .t = RC (CONFRONTARE)! --> Dt/t = DR/R + DC/C


● In questa seconda parte dell’esperimento, il generatore di funzioni deve

generare un’onda sinusoidale della forma: Vin = Ain cos (2πνt)

● La differenza di potenziale ai capi del condensatore visualizzata sull’oscilloscopio

sarà della forma: Vout = Aout cos (2πνt + f)

● Il guadagno si misura facendo il rapporto tra le ampiezze picco-picco delle due

sinusoidi.

● Lo sfasamento si misura prendendo l'intervallo di tempo Dt tra le due sinusoidi (a

metà del fronte di salita). f = 2pDt/T = wDt = 2pDt ( letta dal generatore, molto

più precisa del periodo letto sull'oscilloscopio).

● Riportate i risultati in due Bode plot (guadagno e fase) dai quali ricavare la

frequenza di taglio, e confrontatela con quanto trovato precedentemente.

Esperienza C (Circuito RC).

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