Grandezze Grandezze omogeneeomogenee

La MisuraLa Misura

Misurare una grandezza significa Misurare una grandezza significa confrontarla con un’altra scelta confrontarla con un’altra scelta come un’unità di misura e come un’unità di misura e associare ad essa, mediante il associare ad essa, mediante il confronto, un numero che confronto, un numero che permetta di ricostruire la permetta di ricostruire la grandezza data.grandezza data.

A B

U

AB=3U3 è la misura di AB rispetto ad U

Ad ogni grandezza AB possiamo associare una misura?

A B

U

AA1 < AB < AB1

A1 B1

Ma se con la misura U non ricopriamo interamente AB….

3U < AB < 4U

A B

U1

AB=36U1 = 3,6 U

A1 B1

Dividiamo U in parti più piccole , ad esempio indieci parti. U1=U/10

A B

U1

AA1 < AA2 < AB < AB2 < AB1

A1 B1

Ma se nemmeno con la misura U1 ricopriamo Interamente AB….

A2 B2

Possiamo continuare questo Possiamo continuare questo procedimento e possono procedimento e possono verificarsi due casi:verificarsi due casi:

1.1. Il procedimento ha Il procedimento ha termine…abbiamo trovato termine…abbiamo trovato la misura di AB rispetto la misura di AB rispetto un sottomultiplo di U un sottomultiplo di U Ad esempio AB=3,678 UAd esempio AB=3,678 U

2.2. Il procedimento non ha Il procedimento non ha termine….termine….

Nel secondo caso determino Nel secondo caso determino due insiemi di grandezze due insiemi di grandezze

- AA1, AA2, AA3, AA4,….- AA1, AA2, AA3, AA4,….- AB1, AB2, AB3, AB4,….AB1, AB2, AB3, AB4,….

A BA1 B1

A2 B2A3B3

Tali che le misure delle prime sono tutte Tali che le misure delle prime sono tutte più piccole delle misure delle secondepiù piccole delle misure delle seconde( infatti i punti A1, A2, A3…precedono ( infatti i punti A1, A2, A3…precedono tutti i punti B1, B2, B3….)tutti i punti B1, B2, B3….)

Quale sarà la misura di AB?Quale sarà la misura di AB?

Un numero tale da essereo il massimo delle misure della prima classe o il minimo delle misure della seconda classe.

Esiste tale numero?

A BA1 B1

A2 B2A3B3

Richiamo : Richiamo : Postulato di DedekindPostulato di Dedekind (continuità della retta)(continuità della retta)

““Due parti complementari e separate di Due parti complementari e separate di una retta hanno sempre l’elemento di una retta hanno sempre l’elemento di separazione”separazione”

ComplementariComplementari: l’unione da tutta la retta: l’unione da tutta la retta SeparateSeparate: ogni punto della prima precede : ogni punto della prima precede

i punti della secondai punti della seconda Elemento separatoreElemento separatore: l’ultimo punto : l’ultimo punto

della prima parte o il primo della secondadella prima parte o il primo della seconda

Postulato di Dedekind per le grandezzePostulato di Dedekind per le grandezze

““Divisa una classe di grandezze in due Divisa una classe di grandezze in due insiemi complementari e separati, o il insiemi complementari e separati, o il primo insieme ha massimo o il secondo primo insieme ha massimo o il secondo insieme ha minimo.”insieme ha minimo.”

Quindi la misura di AB esiste ed è o la grandezza massima del primo insieme o la grandezza minima del secondo….

A BA1 B1

A2 B2A3B3

Questo numero può essere:Questo numero può essere:

1.1. Un numero razionaleUn numero razionale

2.2. Un numero irrazionaleUn numero irrazionale

Ad ogni grandezza quindi possiamo associare un numero reale che è la sua misura rispetto ad una unità di misura U.AB=rU con r numero reale

Grandezze Grandezze omogeneeomogenee

Grandezze Grandezze commensurabili e commensurabili e incommensurabiliincommensurabili

Def. : Due grandezze aventi un Def. : Due grandezze aventi un sottomultiplo in comune si dicono sottomultiplo in comune si dicono commensurabilicommensurabili..AB/n=CD/m con n e m naturaliAB/n=CD/m con n e m naturali

In questo caso AB=n/m CDOvvero se due grandezze sono commensurabili la misura di una rispetto all’altra è un numero razionale.

TeoremaTeorema

Il lato del quadrato e la sua diagonale Il lato del quadrato e la sua diagonale non sono commensurabili.non sono commensurabili.

l d

Def. : Due grandezze (della stessa Def. : Due grandezze (della stessa specie) si dicono incommensurabili specie) si dicono incommensurabili quando non hanno sottomultipli comuni.quando non hanno sottomultipli comuni.

In questo caso la misura di una rispetto In questo caso la misura di una rispetto all’altra è un numero irrazionaleall’altra è un numero irrazionale

AB = i CD (i numero irrazionale)AB = i CD (i numero irrazionale)