G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lavoro ed energia cinetica: introduzione Consideriamo un...

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Lavoro ed energia cinetica: introduzione

• Consideriamo un punto materiale che si muove di moto rettilineo sotto l’azione di una forza costante parallela alla traiettoria (per esempio moto di caduta di un grave)

x xo vxot 12 axt

2

vx vxo axt

xO F

F m

a F ma x ax

F

mcos tan te Moto uniformemente

accelerato

Eliminando il tempo:

t vx vxo

ax

x xo vxovx vxo

a x

12 ax

vx vxo

ax

2

x xo 2vxovx 2vxovxo vx

2 vxo2 2vxovx

2ax

vx

2 vxo2

2ax

vx2

2

vxo2

2ax x xo

1

2mvx

2 1

2mvxo

2 max x xo


Lavoro ed energia cinetica: introduzione

• Si definisce

• Energia cinetica della particella

Le dimensioni

1

2mvx

2 1

2mvxo

2 max x xo

1

2mvx

2 1

2mvxo

2 F x xo

• Lavoro effettuato dalla forza costante sul percorso tra xo e x

K 1

2mvx

2 1

2mv2

W F x xo

W F L Nel SI: Nm=kgm2s-2=J (joule)

K M v 2 Nel SI: kgm2s-2=J (joule)


Generalizzazione della definizione di lavoro

• Nello studio del moto rettilineo uniformemente accelerato abbiamo ottenuto:– La variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale quando

si sposta tra xo e x risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso tra xo e x

– Teorema delle forze vive.• Vediamo se è possibile generalizzare questo risultato al caso generale.

– Se la traiettoria non è rettilinea o se la forza non è parallela allo spostamento, solo la componente tangenziale della forza è responsabile della variazione del modulo della velocità:

dv

dta t

Ft

m

Occorre fare in modo, nella definizione di lavoro di una forza, che esso dipenda solo

dalla componente tangenziale della forza.

r

F

Ft Fcos


Il prodotto scalare tra vettori• Dati vettori F e r, si definisce prodotto scalare

• Modulo del primo vettore per modulo del secondo vettore per il coseno dell’angolo compreso

F

r Fr cos

r

F

F

r F r cos

– Il modulo del secondo vettore per la proiezione del primo sul secondo

F

r r F cos

r

F

F cos

r cos

r

F

F

r r

F Commutativo

Il risultato di un prodotto scalare è uno scalare

• Che può anche essere interpretato come

– Il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo vettore lungo il primo


Alcune proprietà del prodotto scalare

• Vettori paralleli

– Positivo Fr

• Vettori antiparalleli– Negativo - Fr

• Vettori ortogonali– Uguale a zero

r

F

r

F

r

F

i

i 1

j

j 1

k

k 1

i

j

i

k

j

k 0

Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso

a a a2

F Fx

i Fy

j Fz

k

r x

i y

j z

k

F

r Fxx Fyy Fzz



• Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo

r

F

W F

r FrcosIl lavoro è una grandezza scalare

• Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo sempre – dividere il percorso in tratti così piccoli (infinitesimi) da poter considerare

• il tratto rettilineo e

• la forza costante su quel tratto,

– Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti

– Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti

W

F d

r

i ,

f

dW

F d

r

i

f



• Calcolo del lavoro utilizzando le componenti cartesiane

W

F d

r

i ,

f

Fxdx Fydy Fzdz i,

f

F Fx

i Fy

j Fz

k

dr dxi dy

j dz

k

dr ds modulo di d

r

W

F d

r

i ,

f

Fdscosi,

f

F

i

f

• Calcolo del lavoro utilizzando i moduli della forza e dello spostamento

• I lavoro della risultante

R

F i

i1

n

WR

R d

r i,

f

F i d

r

i1

n

i ,

f

F i d

r

i ,

f

i1

n

Wi

i1

n


Applicazione

• Una donna tira, a velocità costante, una slitta carica di massa m= 75 kg su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra i pattini e la neve è d=0.10, e l’angolo è di 42°.

• Calcolare il lavoro effettuato per spostare la slitta di 10 m.

La forza applicata dalla donna è uguale alla tensione T (possiamo calcolare il lavoro della tensione T).Il lavoro effettuato dalla donna sarà:

W T

r Trcos

rT

Bisogna calcolare il modulo di T.

N

F g

T

f k m

a

x : T cos fk max 0

y : N T sen mg may 0

Forza costanteSpostamento rettilineo


Applicazione

Il lavoro effettuato dalla donna (dalla tensione):

x : T cos dN 0

y : N T sen mg 0 N mg T senT cos d(mg T sen ) 0

T cos d sen dmgT

dmg

cos d sen 90.8 N

N mg T sen 75kg 9.81m

s2 91Nsen 42 675 N

fk dN 0.10 675 N 67.5 N

Wfkfkrcos 67.510 1 675J

costante

WN Nr cos 675 10 0 0J

WT Trcos dmg

cos d sen r cos 90.8 N *10m * cos 42 675 J

WFgFgr cos 735.710 0 0J

WR WFg WN WT Wfk

0 0 675 675 0J


Potenza

• Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo t

• si definisce potenza media nell’intervallo t il rapporto :

Pmedia W

t

• La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza istantanea), si ottiene facendo il limite per t che tende a zero:

P dW

dt

dW F d

r F v dt

P

dW

dt

F dr

dt

F

dr

dt

F v

Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3]Nel SI si misura in watt (W)

Altre unità cavallo vapore (Cv)

Kilovattora come unità di misura del lavoro1kwattora=3.6MJ


Generalizzazione del teorema delle forze vive

• Consideriamo il generico intervallo di tempo dt

– La variazione dell’energia cinetica

dK d

1

2mv2

1

2m d v2 1

2m d

v v

F

i

f

1

2m d

v v

v dv

1

2m2

v d

v m

v a dt

v dt ma d

r m

a

dr m

a d

r

R dWR

• La relazione vale per tutti gli intervalli infinitesimi: quindi anche quando si somma su tutti gli intervalli. K WR

• La variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della risultante (la somma dei lavori fatto da tutte le forze agenti sul punto materiale)


Applicazione

• Un sollevatore di pesi solleva un manubrio di massa complessiva m=260kg per un dislivello di 2 m

• Determinare il lavoro fatto dalla forza peso durante il sollevamento• Determinare il lavoro fatto dal sollevatore di peso.• Se il sollevatore abbandona l’attrezzo mentre è in alto (h=2m) determinare

la velocità con cui arriva sul pavimento.

Osserviamo che l’energia cinetica iniziale è nulla, ma anche quella finale.La variazione di energia cinetica è nulla.Utilizzando il teorema delle forze vive:

K K f Ki 0

Per quanto riguarda l’ultima domanda: osserviamo che il moto avviene sotto l’azione della sola forza peso.Il lavoro fatto dalla forza peso in questo caso:

P

Fs

JmmskgmghWP 2.51011281.9260180cos 2 rP

K WR WP WFs0 JWW PFs

2.5101

JmmskgmghWP 2.51011281.92600cos 2 rP

K K f Ki WR WP

K f12

mvf2

Ki0 J WP

v f 2WP

m

2mgh

m 2gh 6.26

m

s


L’energia• È una grandezza che caratterizza il punto materiale

– Dipende dal suo stato (posizione, velocità, temperatura, etc)– Esistono varia forme di energia– Per es. l’energia cinetica dipende dallo stato di moto del corpo

• I corpi possono scambiarsi l’energia:– Il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia.– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza

motrice, concorde con il moto), allora l’energia cinetica del punto materiale aumenta.

• Si dice che l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale• il punto materiale ha acquisito energia cinetica dall’ambiente esterno.

– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza resistente, opposta al moto), allora la sua energia cinetica diminuisce.

• si dice che il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente esterno• a spese della sua energia cinetica

• L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro– Trasferire cioè il movimento ad altri corpi.

• La corrente del fiume che fa muovere le macine di un mulino


L’energia cinetica e i sistemi di riferimento

• Il valore dell’energia cinetica, come quella di altre grandezze dipende dal sistema di riferimento usato.

• Anche le distanze percorse dipendono dal sistema di riferimento usato

• Ma anche se i valori numerici cambiano, la eguaglianza tra il lavoro fatto dalla risultante e la variazione dell’energia cinetica risulta valida in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

y y'

xx'

zz

z'

O O'

r r'

x x'vxO' t

y y'

z z'vx v' x' vxO'

vy v' y'

vz v'z'


Applicazione

• Un oggetto di massa m=10 kg viene portato in un treno dalla velocità nulla alla velocità di 2 m/s percorrendo (sul treno) un tratto di 5 m. Il treno si muove con una velocità di 20 m/s rispetto al marciapiede della stazione. Verificare il teorema delle forze vive rispetto al treno e rispetto al marciapiede.

y y'

xx'

zz

z'

O O'

r r'

x x'vxO' t

y y'

z z'vx v' x' vxO'

vy v' y'

vz v'z'

v' f2 v' i

2 2a' (x' f x' i ) a' v' f

2 v' i2

2(x' f x' i )

4

2 50.4

m

s2

R ma' 10kg 0.4m

s2 4.0N t v' f v' i

a'

2

0.45s

K' f K' i 1

2mv' f

2 1

2mv' i

2 1

210kg 4

m2

s2 20J

W' Rx'4.0N 5m 20J

K f Ki 1

2mvf

2 1

2mv i

2 1

2m v' f vo 2

1

2m v' i vo 2

K f Ki 1

210 22 2

1

210 20 2 420J

W Rx R xf x i R x' f vot x' i R x' f x' i vot W R x' f x' i vo t 4(5 20 5) 4 105 420J

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