G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Cambiamento del Sistema di Riferimento Il moto dipende dal...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Cambiamento del Sistema di Riferimento

• Il moto dipende dal sistema di riferimento dal quale viene osservato:– Un viaggiatore seduto sul sedile di una carrozza ferroviaria non si muove

rispetto al vagone

– Se osservato dal marciapiede della stazione, egli invece percorre diversi metri al secondo.

– Il viaggiatore, se lascia cadere un oggetto nel vagone, descriverà il moto come un moto rettilineo (uniformemente accelerato)

– Lo stesso moto apparirà parabolico (moto del proiettile) ad un osservatore sul marciapiede della stazione.

x

y

z

Ox'

y'z'

O'

PrrOrr'O

• Come si fa a trasformare le grandezze cinematiche, posizione , velocità, accelerazione da un sistema di riferimento ad un altro?

r r =

r r '+OO'

⏐ → ⏐


Sistemi di riferimento in moto traslatoriotrasformazioni della posizione

r r =

r r '+OO'

⏐ → ⏐

r r =x

r i +y

r j +z

r k

r r '=x'

r i '+y'

r j '+z'

r k '=x'

r i +y'

r j +z'

r k

OO'→

=xO'

r i

⇔

x =x'+xo'

y =y'

z =z'

y y'

x≡x'

zz

z'

O O'

rrrr'Studieremo il caso molto particolare in cui gli assi del sistema O’x’y’z’ sono costantemente paralleli a quelli corrispondenti nel sistema Oxyz e l’origine O’ del secondo sistema si muove sull’asse delle x.


Sistemi di riferimento in moto traslatoriotrasformazioni della velocità

r v =

dr r

dt=

d xr i +y

r j +z

r k ( )

dt=

dxdt

r i +

dydt

r j +

dzdt

r k

r v '=

dr r 'dt

=d x'

r i '+y'

r j '+z'

r k '( )

dt=

dx'dt

r i +

dy'dt

r j +

dz'dt

r k

r v O' =

dOO'→

dt=

d xO'

r i ( )

dt=

dxO'

dt

r i

r v =

dr r

dt=

dr r '+OO'

→⎛ ⎝

⎞ ⎠

dt=

dr r '

dt+

dOO'→

dt=

dr r '

dt+

r v O'

r v =

r v '+

r v O' ⇔

vx =v'x' +vxO'

vy =v'y'

vz =v'z'

y y'

x≡x'

zz

z'

O O'

rrrr'


Sistemi di riferimento in moto traslatoriotrasformazioni dell’accelerazione

r a =

dr v

dt=

d r v '+r v O'( )dt

=dr v '

dt+

dr v O'

dt=

dr v '

dt+

r a O'

r a =

r a '+

r a O'

ax =a'x' +axO'

ay =a'y'

az =a'z'

Solo se ao=0 l’accelerazione nei due sistemi di riferimento è la stessa!

r a =

r a '+

r a O'

ax =a'x' +axO'

ay =a'y'

az =a'z'

r a O' =0 ⇒

r a =

r a '

y y'

x≡x'

zz

z'

O O'

rrrr'


Tasformazioni di Galileiy y'

x≡x'

zz

z'

O O'

rrrr'Se O’ si muove lungo l’asse x con velocità costante e O’ coincide con O a t=0:

x =x'+vxO't

y =y'

z =z'

ax =a'x'

ay =a'y'

az =a'z'

vx =v'x' +vxO'

vy =v'y'

vz =v'z'

r r =

r r '+OO'

⏐ → ⏐

r v =

r v '+

r v O'

r a =

r a '


Applicazione

• Consideriamo un sistema di riferimento con l’origine O nel semaforo e l’asse x lungo la strada rettilinea orientato nel verso del moto dei due veicoli.

• Le rispettive leggi orarie saranno:

Un camion ed un’automobile sono partiti insieme da un semaforo e percorrono una strada rettilinea a velocità costante (va=80km/h, vc=60km/h). Come appare il moto dell’automobile rispetto al camion?

xa =vxat

xc =vxct'

• Per studiare il moto dell’automobile rispetto al camion, consideriamo un secondo sistema di riferimento con l’origine O’ coincidente con il camion e l’asse x’ diretto come l’asse x (vxO’=vc).

• Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei

x =x'+vxO't

y =y'

z =z'

x'a =xa −vxO't=vat−vct =(va −vc)t

Si tratta di un moto che avviene lungo l’asse

x’ (rettilineo) a velocità costante data da va- vc. Alla stessa conclusione si arriva usando le trasformazioni della velocità.vx =v'x' +vxO'

vy =v'y'

vz =v'z'

v'x' =vx −vxO' ⇒ v'a =va −vc


r v '

−r v O'

x’

Applicazione

• Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al suolo co n l’asse x diretto lungo la strada e il sistema O’x’y’z’ fermo rispetto al guidatore.

• il sistema O’x’y’z’ si muove con velocità costante rispetto al sistema Oxyz

• Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei:

La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve per il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h?

• La velocità dei ficchi di neve rispetto alla macchina (sistema O’x’y’z’ ) sarà:

r v =

r v '+

r v O'

x

y

O

y’

O’

50kmh

=501000m3600s

=13,9m/s r v

r v O'

r v '=

r v −

r v O'

r v

θtanθ =

va

v=

13.98.0

=1.737

θ=60°


Le cause del moto: la situazione prima di Galilei e di Newton

• Ogni elemento ha una sua posizione naturale: la terra e l’acqua sotto, l’aria e il fuoco sopra.

• Ogni elemento cerca di raggiungere la sua posizione naturale dopo di che rimane in quiete

• Lo stato naturale dei corpi è la quiete

• Per far muovere un corpo o per mantenerlo in moto occorre esercitare un’azione su di esso!

• Il moto dei corpi celesti era assicurato da schiere di angeli(o dei) che spingevano i pianeti, il sole (Apollo con il carro) e le stelle nel loro moto attorno alla terra.


Le cause del moto: la visione attuale • La visione attuale è condensata

nelle tre leggi di Newton.

• Questi vanno considerati come dei postulati, dei principi fondamentali, non dimostrabili, formulati sulla base delle intuizioni di grandi fisici, Galilei, Newton, da cui si possono far discendere tutte le altre leggi che descrivono i fenomeni particolari.

• E’ dunque il confronto delle previsioni dedotte dai principi fondamentali con i risultati di esperimenti che ci permette di apprezzare la correttezza dei postulati iniziali.

I le

gge

di N

ewto

n

II le

gge

di N

ewto

n

III

legg

e di

New

ton


La prima legge di Newton o legge di inerzia

• I corpi isolati conservano il loro stato di moto rettilineo uniforme

• o di quiete (caso particolare del moto rettilineo uniforme)• Lo stato naturale dei corpi non è la quiete ma il moto rettilineo uniforme

(a velocità costante): non è necessaria alcuna azione per mantenere in moto (rettilineo uniforme) un corpo.

• Se non ci sono interazioni con altri corpi (oggetto isolato) non c’è alcuna possibilità di cambiare la sua velocità.

• Solo le interazioni con altri corpi possono far cambiare la velocità (il suo modulo o la sua direzione) di un corpo.

• Se mi accorgo che un corpo cambia il suo stato di moto (la sua velocità cambia in modulo o in direzione) allora vuol dire che nell’ambiente circostante esiste almeno un altro corpo che sta esercitando un’azione sul corpo sotto osservazione.

• Le azioni esercitate dagli altri corpi, capaci di far cambiare la velocità di un corpo, si chiamano forze.

• I corpi possiedono l’inerzia (la massa) : la capacità di resistere a cambiamenti del loro moto.


Definizione operativa della massa inerziale

• La massa inerziale misura la capacità di un corpo di opporsi a cambiamenti del suo stato di moto (cambiamenti di velocità).

• Prendiamo due corpi e provochiamo delle variazioni del loro stato di moto

molla

rv1rv2v1i = v2i = 0v1= v1f - v1i = v1f

v2 = v2f-v2i = v2f Δv1

Δv2

=costanteOsservazione sperimentale• Ragionamento

– I due corpi subiscono una differente variazione di velocità perché hanno una diversa capacità di opporsi a cambiamenti del loro stato di moto (una diversa massa inerziale)

– Allora:m2

m1

=Δv1

Δv2

Relazione inversa: Il corpo con massa maggiore subisce una minore variazione di velocità

m2 =m1Δv1

Δv2

= 1kg( )Δv1

Δv2

=Δv1

Δv2

kg La massa è uno scalareScegliendo m1 come campione di massa:


La seconda legge di Newton

• La risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla massa del corpo per l’accelerazione subita

r F ∑ =m

r a

– Poiché l’accelerazione è un vettore e la massa è uno scalare– La forza è un vettore.

• La seconda legge di Newton è una relazione vettoriale:– Equivalente a tre equazioni scalari:

r F ∑( )

x= Fx∑

r F ∑( )

y= Fy∑

r F ∑( )

z= Fz∑

mr a ( )x =max

mr a ( )y =may

mr a ( )z =maz

Fx∑ =max

Fy∑ =may

Fz∑ =maz

r F [ ] = m[ ]

r a [ ]

SI : kgms2 =N


La terza legge di Newton• Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e

contraria

• Formulazione più professionale:

“Se il corpo C esercita sul corpo B una forza, FBC , allora anche il corpo B esercita sul corpo C una forza, FCB . Le due forze sono uguali in modulo e direzione, ma opposte in verso”.

r F BC =−

r F CB

• N.B.: L e forze di azione e reazione agiscono sempre su corpi diversi.– Forze uguali ed opposte, ma agenti sullo stesso corpo, non possono essere

quelle previste dalla terza legge di Newton.


I sistemi di riferimento inerziali• In cinematica noi non abbiamo posto molta attenzione al sistema di

riferimento usato per descrivere il moto.– In genere abbiamo scelto un sistema di riferimento in cui la descrizione

del moto risultava la più semplice possibile.

• I sistemi di riferimento in cui valgono le tre leggi di Newton si chiamano “Sistemi di riferimento inerziali”.

– Nei “Sistemi di riferimento inerziali” i corpi isolati si muovono di moto rettilineo uniforme (accelerazione nulla).

• Newton aveva ipotizzato l’esistenza di un sistema di riferimento assoluto, legato alle stelle fisse, in cui valgono con precisione le leggi di Newton (i corpi isolati hanno accelerazione nulla).

– La relatività Galileana ci dice che tutti i sistemi in moto traslatorio uniforme rispetto a quello assoluto (legati cioè a corpi isolati) misurano la stessa accelerazione, quindi sono anch’essi inerziali.

• Il Sistema del Laboratorio, il sistema geocentrico e quello eliocentrico non sono inerziali (sono legati a corpi non isolati, che non si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse).

– Per moti di breve durata rispetto al ciclo del sistema, questi sistemi possono essere considerati inerziali.


Osservazioni sulla seconda legge di Newton

• Se si conoscono le forze come funzione del tempo, della posizione , delle proprietà dei corpi interagenti (massa, carica, etc.), etc.,

• la seconda legge della dinamica ci permette di determinare l’accelerazione

• una volta nota l’accelerazione, con i metodi che abbiamo discusso in cinematica (risoluzione dell’eq. diff.), è possibile arrivare alla legge oraria

• arrivare a conoscere la posizione del corpo in funzione del tempo, a descrivere il moto.

• Occorre quindi determinare le espressioni delle forze!


Ulteriori osservazioni sulla seconda legge di Newton

• La seconda legge di Newton richiede che tutte le forze agenti su un corpo siano prese in considerazione.

r F ∑ =m

r a

• Come si fa ad includere tutte le forze?– Nei sistemi di riferimento inerziali le forze sono dovute ad altri corpi

presenti nell’ambiente attorno al corpo di cui si vuol studiare il moto.

– Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che la subisce e qual è il corpo che la genera

• Questo rende più facile anche l’applicazione della terza legge di Newton

– Per ricercare tutte le forze bisognerà cercare i corpi presenti nell’ambiente circostante e che possono interagire con il corpo sotto osservazione.

– Alcune forze agiscono a distanza, altre per agire richiedono che ci sia contatto tra i corpi interagenti.

– Massima attenzione sui corpi a contatto con quello sotto osservazione.


Le leggi delle forze: la forza peso– Galilei ha osservato che tutti i corpi nelle vicinanza della superficie

terrestre cadono verso il basso con la stessa accelerazione g=9,81 m/s-2

– Conosciamo quindi l’accelerazione subita da un corpo quando agisce la sola forza peso.

– Applicando la seconda legge di Newton possiamo ricavare la forza subita dal corpo:

r P =m

r g

– il vettore g ha modulo 9,81 m/s-2, direzione verticale e punta verso il basso.

– Qual è il corpo che esercita la forza peso?• La forza peso è dovuta alla presenza della Terra, è esercitata dalla Terra

ed è una delle forze che agisce a distanza, non è necessario il contatto del corpo con la Terra.

– Nel caso di un punto materiale la forza peso si indica con una freccia che parte dal punto ed è diretta verso il basso

– Per corpi complessi il peso si applica al baricentro (centro di massa)


La legge della gravitazione universale• Due masse, m1 ed m2 a distanza d, si attraggono con una forza data da:

FG =Gm1m2

d2 G =6.67×10−11m3

s2kg

• La forza di gravitazione universale agisce a distanza.

• Se m1 = m2 =1 kg e d=1m, la forza di attrazione è di 6.67x10 -11 N (del tutto trascurabile rispetto alla forza peso 9.81 N)

• Quando consideriamo corpi sulla superficie terrestre, trascureremo sempre la mutua attrazione tra di essi, perché molto più piccole delle rispettive forze peso

• Questa forza è importante per lo studio del moto dei pianeti

• Il peso dei corpi può essere derivato da questa forza:

P =mg=FG =GmMT

RT2 ⇒ g=G

MT

RT2


La forza elettrostatica o di Coulomb• Ha una espressione simile a quella di gravitazione universale, ma coinvolge le cariche.

FC =1

4πεo

q1q2

d2 εo =8.85×10−12Fm

• Anche la forza elettrostatica agisce a distanza

• ed è abbastanza intensa

• Le differenze con quella di gravitazione universale– Esistono due tipi di cariche: positive e negative

– Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono

• In Fisica I non faremo molto uso della forza elettrostatica, ma le interazioni elettromagnetiche sono l’origine delle altre forze che ora introdurremo: la forza elastica, le reazioni vincolari, la tensione nelle corde, le resistenze passive etc.


La forza elastica• I corpi solidi tendono a conservare la loro forma

(pensate alla struttura cristallina)

• Se sono sottoposti ad una sollecitazione subiscono una deformazione.

• Per conservare la loro forma, applicano, a chi ha prodotto la deformazione, una forza che, per piccole deformazioni, è proporzionale alla deformazione stessa (comportamento elastico).

• Una volta rimossa la sollecitazione ritornano allo stato normale.

O

asse x

O

asse x

x

rFrFel

O

asse x

x

rFrFel

r F el =−kx

r i

Felx =−kx

• Il caso della molla:– k = costante elastica della molla

– La forza elastica agisce per contatto.

– La forza elastica è una forza di richiamo: se l’estremo libero della molla viene spostato da x=0, la forza elastica tende a riportarlo in quella posizione.

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