G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Accelerazione tangenziale fa cambiare il modulo della velocità...

G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Accelerazione tangenziale

fa cambiare il modulo della velocità

L’accelerazione riferita alla traiettoria

• Partendo dalla velocità riferita alla traiettoria

• Ci calcoliamo l’accelerazione

?

Per valutare la seconda componente studiamo un moto in cui varia la direzione della velocità ma non il suo modulo: il moto circolare uniforme


Il moto circolare

• Il punto P percorre una traiettoria circolare

• Il modulo di r è costante.

O Asse x

Asse y

rx

y

s


Moto circolare uniforme• La traiettoria è una circonferenza ed il modulo della velocità è costante.

• Come appare dal disegno la velocità (come vettore) non è costante.

O Asse x

Asse y

r(t)r(t+ t)

v(t)v(t+t)

v(t)v(t+t)

v

Sonouguali


Accelerazione nel moto circolare uniforme

• L’accelerazione media nell’intervallo t è:

• L’accelerazione all’istante di tempo t si ottiene facendo il limite dell’accelerazione media per t che tende a zero.

v(t)v(t+t)

v

Vettore cheha la direzione ed il verso di v. (t >0)



• Direzione e verso– Quando t tende a zero anche tende a zero

– Poiché la somma degli angoli interni in un triangolo è sempre 180, se tende a zero, gli angoli alla base tendono a 90°. (Il triangolo è isoscele)

– L’accelerazione è perpendicolare a v(t)

– Poiché v(t) è tangente alla circonferenza, l’accelerazione è radiale diretta verso il centro (accelerazione centripeta)

v(t)v(t+t)

v



• modulo

v(t)v(t+t)

v

O Asse x

Asse y

r(t)r(t+ t)r

s

Poiché i due triangoli isosceledella figura sono simili (hannolo stesso angolo al vertice)


Accelerazione nel moto su traiettoria non rettilinea

• Abbiamo trovato che nel moto circolare uniforme (velocità costante in modulo) c’è solo l’accelerazione centripeta.

• Se il modulo della velocità non è costante ci sarà:

– L’accelerazione normale (centripeta) an

• responsabile del cambiamento della direzione della velocità

– L’accelerazione tangenziale at

• responsabile del cambiamento del modulo

• Ogni volta che un punto materiale si muove su una traiettoria curva (la velocità cambia direzione) c’è un’accelerazione centripeta,


Problema

• Un’automobile di 1000 Kg affronta una curva avente un raggio di 40 m alla velocità di 36 km/h. Determinare il valore dell’accelerazione centripeta.


Il moto circolare uniforme ed il moto armonico

O Asse x

Asse y

rx

y

sa


Applicazione

La lancetta dei minuti di un orologio misura 12.0 cm dal suo perno all’estremità libera. Qual è lo spostamento della sua estremità A) da 15 a 30 minutiB) nella successiva mezzoraC) nella successiva oraD) calcolare la velocità angolare media ed istantaneaE) calcolare la velocità media nel caso AF) il modulo della velocità istantanea e dell’accelerazione.


Applicazione

Il treno veloce francese, TGV, compie viaggi ad una velocità media di 216 Km/h. Se abborda una curva a questa velocità e la massima accelerazione centripeta accettabile dai passeggeri è 0.050g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve dei binari.Se una curva ha un raggio di 1.00 km, a quale valore deve essere ridotta la velocità per rispettare il limite di accelerazione consentito?


Applicazione

Una ruota panoramica di un luna park ha un raggio di 15 m e compie ogni minuto cinque giri attorno al proprio asse orizzontaleQual è il periodo di rotazione?A quale accelerazione centripeta è sottoposto un passeggero nel punto più alto? E nel punto più basso?


Applicazione

Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0.Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo.Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa.

x

y

v

r

a

Considerando le condizioni iniziali, la legge oraria diventa:

Ma la coordinata y è anche data da:

La velocità a sua voltà sarà data da:

Possiamo ricavare la velocità angolare:


Applicazione

Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0.Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo.Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa.

x

y

v

r

a

Esprimendo il cos in funzione di a e di y si ottiene:

Il vettore posizione si può esprimere:

Il suo versore vale:


Cambiamento del Sistema di Riferimento

• Il moto dipende dal sistema di riferimento dal quale viene osservato:– Un viaggiatore seduto sul sedile di una carrozza ferroviaria non si muove rispetto al

vagone– Se osservato dal marciapiede della stazione, egli invece percorre diversi metri al

secondo.– Il viaggiatore, se lascia cadere un oggetto nel vagone, descriverà il moto come un

moto rettilineo (uniformemente accelerato)– Lo stesso moto apparirà parabolico (moto del proiettile) ad un osservatore sul

marciapiede della stazione.

• Come si fa a trasformare le grandezze cinematiche, posizione , velocità, accelerazione da un sistema di riferimento ad un altro?


Sistemi di riferimento in moto traslatoriotrasformazioni della posizione

Studieremo il caso molto particolare in cui gli assi del sistema O’x’y’z’ sono costantemente paralleli a quelli corrispondenti nel sistema Oxyz e l’origine O’ del secondo sistema si muove sull’asse delle x.


Sistemi di riferimento in moto traslatoriotrasformazioni della velocità


Sistemi di riferimento in moto traslatoriotrasformazioni dell’accelerazione

Solo se ao=0 l’accelerazione nei due sistemi di riferimento è la stessa!


Trasformazioni di GalileiSe O’ si muove lungo l’asse x con velocità costante e O’ coincide con O a t=0:


x’

Applicazione

• Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al suolo co n l’asse x diretto lungo la strada e il sistema O’x’y’z’ fermo rispetto al guidatore.

• il sistema O’x’y’z’ si muove con velocità costante rispetto al sistema Oxyz

• Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei:

La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve per il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h?

• La velocità dei ficchi di neve rispetto alla macchina (sistema O’x’y’z’ ) sarà: x

y

O

y’

O’


Applicazione

Un fiume largo 200 m ha una corrente che scende a velocità uniforme di 1.1 m/s verso est attraverso al giungla.Un esploratore vuole lasciare la sua radura posta sulla sponda sud per raggiungere la riva nord con la sua barca a motore capace di navigare a velocità costante di 4.0 m/s rispetto all’acqua.Sulla riva nord c’è un’altra radura situata a 82 m più a monte rispetto al punto posto di fronte alla posizione iniziale dell’esploratore.In quale direzione occorre puntare la barca per raggiungere la radura sulla sponda opposta con una traversata in linea retta?Quanto dura questa traversata?

x

y

O

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