G.M. - Edile A 2002/03

Applicazio

ne

• Una sfera di raggio r =1 m è poggiata su un piano orizzontale e mantenuta fissa. Un cubetto di piccole dimensioni è posto in equilibrio instabile sulla sommità della sfera. Il cubetto, spostato di pochissimo dalla posizione di equilibrio, comincia a scivolare sulla sfera con velocità iniziale nulla. Calcolare a che distanza cadrà sul piano orizzontale dal punto di appoggio della sfera.

N

P

vh

r P +

r N =m

r a

r u n mgcosθ−N =m

v2

R

N =mgcosθ−mv2

R

Questo termine diminuisce all’aumentare di

Questo termine aumenta (in valore assoluto) all’aumentare di

Per un certo valore di N si annullerà: in quel momento avverrà il distacco tra il cubetto e la sfera.

Troviamo l’espressione della velocità in funzione di e imponiamo che N sia nulla.

ΔE =Wnc=WN =0r N ⊥dr r

1 2 4 3 4

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Applicazio

ne

N

P

vh

Poniamo l’energia potenziale uguale a zero quando il cubetto si trova alla sommità della sfera.

La normale N si annullerà quando

Ef =Ei

K f +Uf =K i +Ui

12 mvf

2 −mgh=0+0 h =R 1−cosθ( )

v2 θ( ) =2gR1−cosθ( )

N =mgcosθ−m2gR1−cosθ( )

R=mg3cosθ−2( )

3cosθd −2( )=0 ossia cosθd =23

senθd = 1−cos2θd = 1−49 = 5

9 =53

x

y

Il distacco avverrà nel punto:xd =Rsenθd =

53

R =.74m

yd =R +Rcosθd =53

R =1.67m

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Applicazio

ne

N

P

vh

La velocità al momento del distacco

Il moto dopo il distacco avverrà sotto la sola azione della forza peso (moto del proiettile)

v2 θ( ) =2gR1−cosθ( ) =2gR 1−23

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

23

gR ⇒ vd =23

gR

x

y

Facendo ripartire il cronometro nel momento del distacco.

x =xd +vxdt

y =yd +vydt−12gt2

Le cui componenti x e y valgono

vxd =vd cosθd =23

23

gR =1.70ms

vyd =−vdsenθd =−53

23

gR =−1.90ms

P =m

r a

x: 0=max

y: −mg=may

L’istante in cui il cubetto impatta al suolo si ottiene imponendo y=0.

yd +vydt −12gt2 =0 t=

−vyd ± v2yd +2gyd

−gt1 =0.42s

t1 =−0.81s x =xd +vxdt =.74+1.70×.42=1.45m

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Applicazio

ne

• Un blocchetto di massa m può scorrere lungo una pista, priva di attrito, a spirale mostrata in figura.

Da quale altezza sopra il punto più basso si dovrebbe lasciar cadere il blocchetto (con velocità iniziale nulla), per far si che riesca a fare un il giro completo del “ricciolo”?

Quanto vale la forza complessiva agente sul blocchetto quando passa per il punto Q della figura?

r P +

r N =m

r a

r u n mgcosθ+N =m

v2

R

N =mv2

R−mgcosθ

Affinché ci sia il contatto occorre che N sia sempre maggiore di zeroIl punto più delicato è la sommità del ricciolo in quanto in quella posizione

• v è minima• Mentre il secondo termine diventa in modulo uguale a

mgOccorre quindi imporre che N sia al massimo nulla al vertice del ricciolo: imporre cioè che, in quella posizione, la forza centripeta sia fornita dalla sola forza peso

P

N

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Applicazio

ne

• La velocità alla sommità del ricciolo deve quindi essere almeno:

N =0 ⇒ 0=mv2

R−mg ⇒ v2 =gR

Tenendo conto del limite minimo su v, si ottiene:

ΔE =Wnc=WN =0r N ⊥dr r

1 2 4 3 4

Imponendo la relazione lavoro-energia tra il punto di partenza, ad altezza h e la sommità del ricciolo, si ottiene

Ef =Ei

K f +Uf =K i +Ui12 mvf

2 +mg2R =0+mgh

vf2 =2g h−2R( )

gR=2g h−2R( ) ⇒ h=R2

+2R =52

R

La velocità in Q: 12 mvQ

2 +mgR=0+mg52

R

vQ2 =5gR−2gR=3gR

r R =

r P =

r N

P =mg

N =mv2

R=m

3gRR

=3mg

P

N

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Applicazio

ne

• Due bambini stanno facendo una gara a chi riesce a centrare una scatoletta sul pavimento con una biglia sparata da una pistola a molla, montata su un tavolo orizzontale. Come si vede dalla figura, il bersaglio è piazzato a 2.20 m in orizzontale dal bordo del tavolo. Orazio comprime la molla di 1.10 cm, ma il suo tiro risulta corto di 27 cm.

Di quanto deve comprimerla Giustina per fare centro? Ignorate gli attriti.

La biglia una volta rilasciata dalla molla ed abbandonato il tavolo si muove sotto l’azione della sola forza peso (moto del proiettile).Se si comincia a contare il tempo nel momento in cui la biglia abbandona il tavolo, le condizioni iniziali sono

xo=0, yo=hvxo=? vyo=0vxo è la velocità con cui la biglia

abbandona la molla

La legge oraria sarà:x =voxt

y =h−12

gt2

Indichiamo con t l’intervallo di tempo impiegato per cadere.Il percorso orizzontale effettuato sarà:

d1 =vox1Δt

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Applicazio

ne

• Dato che il primo lancio è corto, occorre aumentare la velocità vxo affinchè la biglia colpisca il bersaglio:

La velocità vxo1 è la velocità acquistata dalla biglia er una compressione di 1,1 cm della molla. Quale deve essere la compressione della molla per ottenere la velocità vxo2 che ci consentirà di colpire il bersaglio?Determiniamo la relazione tra compressione e velocità orizzontale della biglia.Durante l’espansione della molla, la biglia è sottoposta alla forza elastica, alla forza peso e alla Normale.Le ultime due forze compiono lavoro nullo, la forza elastica è conservativa.

Si conserva l’energia meccanca totale ΔE =Wnc=0

d2 =vox2Δt

• Dividendo membro a membro si ottiene:

d2

d1

=vox2

vox1

⇒ vox2 =vox1d2

d1

12

kx12 =

12

mvxo12

12

kx22 =

12

mvxo22

x12

x22 =

vxo12

vxo22 =

d12

d22

x2 =x1d2

d1

=1.1cm2.20

2.20−27.0=1.25cm

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Applicazio

ne

• Tarzan, che pesa 688 N, salta da una roccia appeso ad una provvidenziale liana lunga 18 m (vedi figura). Dall’alto della roccia al punto più basso della sua oscillazione cala di 3.2 m. La liana è soggetta a rompersi se la tensione supera 950 N.

Determinare se la fune si romperà

Se sì, determinare l’angolo rispetto alla verticale a cui avviene la rottura

Se no, determinare il suo valore massimo.

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Applicazio

ne

• Un blocco di legno da 0.520 kg è saldamente attaccato ad una leggerissima molla orizzontale (k=180 N/m), ed è appoggiato su un tavolo orizzontale come mostrato in figura.

Il blocco viene spostato in maniera da comprimere la molla di 5.0 cm e quindi rilasciato con velocità nulla. Si osserva che il blocco supera la posizione di equilibrio di 2.3 cm prima di fermarsi per poi tornare indietro. Determinare il coefficiente di attrito tra il tavolo ed il blocco di legno.

O

mk

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Applicazio

ne

• Le due masse mostrate in figura inizialmente sono poste ciascuna a 1.80 m dal suolo e la carrucola, priva di massa e di attrito, è a 4.80 m dal suolo. Qual è l’altezza massima raggiunta dal corpo più leggero una volta che il sistema viene lasciato libero di muoversi?

2,2 kg 3,2 kg1,80 m

4,80 m

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Applicazio

ne

• Un pattinatore di massa m = 52 kg sta ruotando su una circonferenza di raggio r=20 m ad una velocità di 3 m/s. Egli si mantiene su questa traiettoria reggendo una fune attaccata mediante un cuscinetto privo di attrito ad un palo posto al centro del cerchio.

• Calcolare la tensione T esercitata dalla fune.

• Il ghiaccio su cui egli pattina può essere considerato privo di attrito, ma per una parte del moto attraversa una pozza sabbiosa di lunghezza 48 cm dove il coefficiente di attrito è = 0.10. Quanto vale la velocità subito dopo aver attraversato la pozza sabbiosa? Quanto deve valere la tensione nella fune affinché continui a percorrere la stessa traiettoria dopo aver attraversato la pozza sabbiosa?

Vista dall’alto Vista laterale

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Applicazione

Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva di raggio costante r=80 m con una velocità di 60 km/h. Determinare l’angolo di cui deve essere sopraelevato l’esterno della curva rispetto all’interno perché l’automobile si mantenga sulla traiettoria curva senza far ricorso alla forza

di attrito. Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.

Determiniamo le forze agenti sull’automobile

• La forza peso• La reazione vincolare esercitata

dalla strada• Solo la Componente

Normale

V

N

P

un

jut

Il diagramma del corpo libero

Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile.

r P +

r N =m

r a

r m

vN

PFs un

jut

Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Come nei casi precedenti utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:

r u nr u tr j

Nsenθ=man =mv2

r0=mat

N cosθ−mg=may

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Applicazione

Nsenθ=mv2

R⇒

mgcosθ

senθ =mv2

R⇒ tanθ =

v2

gR=

16.72

9.81*80=.35

θ =arcotan0.35( ) =19.2°

N cosθ=mg ⇒ N =mg

cosθ

r u nr u tr j

Nsenθ=man =mv2

r0=mat

N cosθ−mg=may

Poiché l’automobile si muove su una traiettoria orizzontale

ay =0

L’accelerazione tangenziale è nulla:Il moto avviene con velocità di modulo costanteDalla prima ottenaimo: