G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne Si consideri un punto materiale –posto ad un altezza h dal...
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G.M. - Edile A 2002/03
Applicazio
ne
• Si consideri un punto materiale– posto ad un altezza h dal suolo, – posto su un piano inclinato liscio di altezza h,– attaccato ad un filo di lunghezza h il cui altro estremo è attaccato ad un soffitto che dista h dal suolo: quando il filo si trova in posizione verticale, il corpo sfiora il pavimento,– posto su una guida liscia di forma qualsiasi di altezza h
• In tutti e quattro i casi, inizialmente il corpo si trova ad altezza h, e viene abbandonato con velocità nulla da questa posizione• Determinare la velocità con cui il corpo raggiunge il pavimento.
h
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G.M. - Edile A 2002/03
Applicazio
ne
• Nel primo caso– Agisce solo la forza peso (che è conservativa)
– Posso applicare la conservazione dell’energia
h
ΔE =0 ⇒ Ei =Ef
K i +Ui =K f +Uf
K i =0
U i =mgh
K f =12mvf
2
U f =0
Abbiamo scelto il pavimento come punto di riferimento ed assegnato al pavimento energia potenziale nulla
0+mgh=12 mvf
2 +0
vf = 2gh
L’energia potenziale iniziale viene trasformata in energia cinetica
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G.M. - Edile A 2002/03
Applicazio
ne
• Nel secondo caso agiscono– Sia la forza peso, che è conservativa, – E la reazione vincolare del piano inclinato,
• Solo la componente normale, perché per ipotesi il piano è liscio
• Possiamo applicare la relazione lavoro energia:
h
ΔE =Wnc ⇒ Wnc=WN
La normale è perpendicolare allo
spostamento: quindi il suo lavoro è nullo
ΔE =Wnc=0 ⇒ Ei =Ef
Si ritorna la caso precedente K i +Ui =K f +Uf
K i =0
U i =mgh
K f =12mvf
2
U f =00+mgh=1
2 mvf2 +0 vf = 2gh
La velocità finale è la stessa del caso precedente
N
P
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G.M. - Edile A 2002/03
Applicazio
ne
• Nel terzo caso agiscono– Sia la forza peso, che è conservativa,
– E la tensione nella corda.
• Possiamo applicare la relazione lavoro energia: h
P
TΔE =Wnc ⇒ Wnc=WT
dWT =r T ⋅d
r r =0 perchè
r T ⊥d
r r
Il lavoro infinitesimo fatto dalla tensione
T è nullo, ma anche il lavoro complessivo ΔE =Wnc=0 ⇒ Ei =Ef
Si ritorna la caso precedente K i +Ui =K f +Uf
K i =0
U i =mgh
K f =12mvf
2
U f =00+mgh=12 mvf
2 +0 vf = 2gh
La velocità finale è la stessa del caso precedente
dr r
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G.M. - Edile A 2002/03
Applicazio
ne
• Nell’ultimo caso agiscono– Sia la forza peso, che è conservativa, – E la reazione vincolare della guida,
• Solo la componente normale, perché per ipotesi la guida è liscia
• Possiamo applicare la relazione lavoro energia:
h d
r r
N
P
ΔE =Wnc ⇒ Wnc=WN
dWN =r N ⋅d
r r =0 perchè
r N ⊥d
r r
Il lavoro infinitesimo fatto dalla Normale
N è nullo, ma anche il lavoro complessivo
ΔE =Wnc=0 ⇒ Ei =Ef
Si ritorna la caso precedente K i +Ui =K f +Uf
K i =0
U i =mgh
K f =12mvf
2
U f =00+mgh=12 mvf
2 +0 vf = 2gh
Conclusione: la velocità finale è sempre la stessa in tutti e quattro i casi esaminati.
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Consigli sull’uso della conservazione dell’energia nella risoluzione dei problemi
• Utilizzare la conservazione dell’energia ogni volta che è possibile (quando non è richiesto di determinare intervalli di tempo o trovare funzioni del tempo (legge oraria))– L’approccio energetico è più semplice della seconda legge della dinamica:
• la conservazione dell’energia è un’equazione scalare mentre le seconda legge di Newton è vettoriale corrispondente a ben tre equazioni scalari
• la seconda legge di Newton è un’equazione differenziale del secondo ordine, la conservazione dell’energia è solo del primo ordine.
• Introdurre un sistema di riferimento inerziale
• Individuare tutte le forze agenti sul punto materiale o sui punti materiali
– Ricercare i corpi dell’ambiente circostante che possono esercitare forze
• Tener presente che alcune forze agiscono a distanza• Altre agiscono per contatto
– Attenzione ai corpi a contatto
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Consigli sull’uso della conservazione dell’energia nella risoluzione dei problemi
• Separare le forze tra forze conservative e forze non conservative.
• le forze conservative– Forza peso
– Forza elastica
– Forza di gravitazione universale
– Forza di Coulomb
• Tutte le altre forze vanno considerate non conservative
• Scrivere l’equazione della conservazione dell’energia meccanica totale.– E = 0 se tutte le forze sono conservative
– E = Wnc se non tutte le forze sono conservative
U x,y,z( ) =−GmM
r
U(x,y,z) =12
kx2
U x,y,z( ) =mgy=mgh
U x,y,z( ) =1
4πεo
q1q2
r
h = quota
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Consigli sull’uso della conservazione dell’energia nella risoluzione dei problemi
• Scegliere l’istante iniziale e quello finale tra cui valutare la conservazione dell’energia
– Ottimizzate i calcoli e la precisione del risultato
– Partite sempre istanti iniziali e finali i cui dati sono derivabili dalla traccia.
• Valutare il lavoro delle forze non conservative (se presenti)– La forza di attrito statico non fa lavoro
– La forza di attrito dinamico fa sempre un lavoro negativo
– La Normale compie lavoro nullo perché perpendicolare allo spostamento
– La tensione nelle corde con uno dei capi fissi compie lavoro nullo (caso del pendolo)
– Il lavoro complessivo delle tensioni ai due capi di una corda ideale è nullo• Ad un capo la forza e lo spostamento sono concordi (lavoro positivo)• All’altro capo sono discordi (lavoro negativo)• Nelle corde ideali le forze ai due capi della corda sono uguali così come gli
spostamenti dei due capi.
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Consigli sull’uso della conservazione dell’energia nella risoluzione dei problemi
• Valutare l’energia cinetica e potenziali negli stati selezionati come iniziale e finale.– Per calcolare l’energia potenziale occorre fissare il punto di riferimento
(arbitrariamente) a cui assegnare un valore arbitrario dell’energia potenziale (solitamente il valore zero).
– Mi raccomando: il punto di riferimento e il valore arbitrario assegnato all’energia potenziale del punto di riferimento deve essere lo stesso sia nel calcolo delle quantità iniziali che per quelle finali.
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L’integrale primo del moto• La legge di conservazione dell’energia può anche essere usata per
determinare la legge oraria quando le forze agenti sono conservative.
• Con un certo numero di vantaggi sulla seconda legge della dinamica– Equazione scalare e non vettoriale
– Equazione differenziale del primo ordine e non del secondo
• Come si fa?– Consideriamo un moto unidimensionale: l’energia potenziale sarà solo
funzione di x, U(x).
E =K +U(x) =costante E =12mvx
2 +U(x)
vx =±2 E −U(x)( )
mdxdt
=±2 E −U(x)( )
m
dx
±2 E −U(x)( )
m
=dtChe può essere integrata separando le variabili
E è una costante
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G.M. - Edile A 2002/03
P
N
Fel
Il diagramma dell’energiadell’oscillatore armonico
Felxdx=−dU Felx =−dUdx
U =12
kx2
L’energia meccanica totale
Punto di equilibrio stabile
La normale N e la forza peso non fanno lavoro
K<0Punti di inversione del moto
K<0
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La determinazione della forza dall’energia potenziale
• Nota l’espressione dell’energia potenziale possiamo determinare la forza (direzione verso ed intensità)
• Superfici equipotenziali– Sono il luogo dei punti in cui l’energia potenziale assume lo stesso valore
• Forza peso: piani orizzontali (h=cost)• Forza elastica: piani perpendicolari all’asse x (x=cost)• Forza di gravitazione universale e forza di Coulomb: superfici sferiche con centro
nell’origine della forza.
• La forza è perpendicolare alle superfici equipotenziale– Consideriamo un qualsiasi spostamento infinitesimo su una superficie
equipotenziale (dr tangente alla superficie).– Poiché la superficie è equipotenziale dU=0
dU=−dW=−r F ⋅d
r r =0 ⇒
r F ⊥d
r r
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G.M. - Edile A 2002/03
La determinazione della forza dall’energia potenziale
• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse x:
dU=−dW=−Fxdx ⇒ Fx =−dUdx
• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse y:
dU=−dW=−Fydy ⇒ Fy =−dUdy
• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse z:
dU=−dW=−Fzdz ⇒ Fz =−dUdz
r F =−gradU=−
dUdx
r i −
dUdy
r j −
dUdz
r k
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G.M. - Edile A 2002/03
Il diagramma dell’energia
Fx =−dUdx
Punti di equilibrio instabile
Punti di equilibrio stabile
equilibrio indifferente