Glossario Ed Esercizi

Corso di Microeconomia – III Canale

GLOSSARIO ED ESERCIZI SVOLTI

DI MICROECONOMIA

di

Saverio M. Fratini

e

Daria Pignalosa

Giugno 2010

1

Indice

GLOSSARIO di MICROECONOMIA........................................................................................ 3

ESERCIZI SVOLTI di MICROECONOMIA............................................................................. 8

Teoria della Produzione ............................................................................................................ 8

Esercizio 1. .............................................................................................................................. 8

Esercizio 2. .............................................................................................................................. 9

Esercizio 3. ............................................................................................................................ 11

Esercizio 4. ............................................................................................................................ 13

Esercizio 5. ............................................................................................................................ 15

Esercizio 6. ............................................................................................................................ 17

Esercizio 7. ............................................................................................................................ 19

Esercizio 8. ............................................................................................................................ 21

Esercizio 9. ............................................................................................................................ 23

Esercizio 10. .......................................................................................................................... 25

Teoria classica della distribuzione e del valore ...................................................................... 27

Esercizio 11. .......................................................................................................................... 27

Esercizio 12. .......................................................................................................................... 28

Esercizio 13. .......................................................................................................................... 29

Esercizio 14. .......................................................................................................................... 31

Teoria del Consumatore.......................................................................................................... 33

Esercizio 15. .......................................................................................................................... 33

Esercizio 16. .......................................................................................................................... 34

Esercizio 17. .......................................................................................................................... 35

Esercizio 18. .......................................................................................................................... 36

Esercizio 19. .......................................................................................................................... 37

Esercizio 20. .......................................................................................................................... 38

Esercizio 21. .......................................................................................................................... 39

Esercizio 22. .......................................................................................................................... 40

Esercizio 23. .......................................................................................................................... 41

Esercizio 24. .......................................................................................................................... 42

Teoria Marginalista della Produzione .................................................................................... 43

Esercizio 25. .......................................................................................................................... 43

Esercizio 26. .......................................................................................................................... 46

2

Esercizio 27. .......................................................................................................................... 47

Esercizio 28. .......................................................................................................................... 48

Esercizio 29. .......................................................................................................................... 49

Concorrenza Perfetta .............................................................................................................. 50

Esercizio 30. .......................................................................................................................... 51

Esercizio 31. .......................................................................................................................... 52

Monopolio ................................................................................................................................ 54

Esercizio 32. .......................................................................................................................... 54

Esercizio 33. .......................................................................................................................... 55

Esercizio 34. .......................................................................................................................... 56

Oligopolio di Cournot.............................................................................................................. 57

Esercizio 35. .......................................................................................................................... 57

Esercizio 36. .......................................................................................................................... 58

3

GLOSSARIO di MICROECONOMIA

A ALLOCAZIONE = Distribuzione di date dotazioni di beni di consumo tra diversi individui; oppure

distribuzione di date dotazioni di fattori produttivi tra diverse imprese o industrie.

ALLOCAZIONE PARETO-OTTIMALE = Vedi “Ottimo di Pareto”.

ALLOCAZIONE SUPERIORE IN SENSO PARETIANO = Facendo riferimento al caso di una

economia di puro scambio, una allocazione T è un superiore nel senso di Pareto rispetto ad

un’altra allocazione R se in T almeno un individuo migliora la sua posizione (cioè si colloca

su una curva di indifferenza più alta) e nessun individuo peggiora la propria posizione (cioè

tutti gli individui rimangono almeno sulla stessa curva di indifferenza su cui si trovavano

nella allocazione R).

B BENI CAPITALE = Vedi “mezzi di produzione”.

BENI CAPITALE CIRCOLANTI = Mezzi di produzione che vengono interamente consumati

nell’ambito di un singolo ciclo produttivo (come materie prime, combustibili, ecc.).

BENI CAPITALE FISSI = Mezzi di produzione la cui durata utile si estende sopra più cicli

produttivi (come macchinari, automezzi, capannoni, ecc.).

BENI di GIFFEN = per un certo individuo, il bene X è un bene di Giffen se la domanda del bene X

da parte di questo individuo aumenta (oppure: diminuisce) al crescere (oppure: al diminuire)

del prezzo relativo di X in Y Px/Py. Tutti i beni che non sono beni di Giffen, sono detti

“ordinari”.

BENI INFERIORI = per un certo individuo, il bene X è un bene inferiore se la domanda del bene X

da parte di questo individuo diminuisce (oppure: aumenta) al crescere (oppure: al diminuire)

del suo reddito. Tutti i beni che non sono inferiori, sono detti “normali”.

BENI NORMALI = per un certo individuo, il bene X è un bene normale se la domanda del bene X

da parte di questo individuo aumenta (oppure: diminuisce) al crescere (oppure: al diminuire)

del suo reddito. Tutti i beni che non sono normali, sono detti “inferiori”.

BENI ORDINARI = per un certo individuo, il bene X è un bene ordinario se la domanda del bene X

da parte di questo individuo diminuisce (oppure: aumenta) al crescere (oppure: al diminuire)

4

del prezzo relativo di X in Y Px/Py. Tutti i beni che non sono ordinari, sono detti “beni di

Giffen”.

BILANCIO. Dato il reddito dell’individuo e dati i prezzi dei beni:

INSIEME di BILANCIO = insieme formato da tutti i panieri che comportano una spesa non

eccedente il reddito dell’individuo;

VINCOLO di BILANCIO = insieme formato da tutti i panieri che comportano una spesa

esattamente pari al reddito dell’individuo.

C COSTO MARGINALE (Marginal Cost, MC) = incremento dei costi totali derivante dalla

produzione di una unità aggiuntiva di output.

COSTO MEDIO (Average Cost, AC) = costo unitario, cioè rapporto tra il costo e la quantità

prodotta. Nel breve periodo si distingue il costo medio variabile dal costo medio totale.

CURVA dei CONTRATTI = insieme di tutte le allocazioni Pareto-ottimali.

CURVA di DOMANDA = curva che mette in relazione la quantità domandata di un bene con il suo

prezzo.

CURVA di ENGEL = curva che mette in relazione la quantità domandata di un bene da parte di un

individuo con il suo reddito.

CURVA di INDIFFERENZA = insieme di panieri che l’individuo giudica equivalenti (indifferenti)

ad un dato paniere iniziale.

CURVA di ISO-COSTO = insieme delle combinazioni di capitale e lavoro che, dati il tasso

dell’interesse ed il saggio del salario, possono essere impiegate sostenendo lo stesso livello

di costo.

CURVA di ISO-QUANTO = insieme delle combinazioni di capitale e lavoro che, date le condizioni

tecniche di produzione, consentono di ottenere lo stesso livello di output.

CURVA PREZZO-CONSUMO = insieme dei panieri ottimali per un individuo a prezzi diversi di

un bene, ma tenendo fermi il reddito ed il prezzo dell’altro bene.

E ECONOMIA con SOVRAPPIU’ = Economia il cui prodotto sociale lordo, oltre a consentire la

reintegrazione delle merci necessarie come mezzi di produzione e come sussistenze dei

lavoratori, lascia una eccedenza detta appunto “sovrappiù”.

ECONOMIA di SUSSISTENZA = Economia il cui prodotto sociale lordo è esattamente pari alle

quantità di merci che servono per riprodurre i mezzi di produzione impiegati e le sussistenze

5

per i lavoratori (ovvero il suo prodotto netto è pari alle sussistenze per i lavoratori

impiegati).

ELASTICITA’ della DOMANDA al PREZZO = rapporto tra la variazione percentuale della

quantità domandata e la variazione percentuale del prezzo che l’ha generata.

F FUNZIONE della PRODUZIONE = funzione che a ciascuna combinazione di input (lavoro e

capitale, oppure lavoro, capitale e terra), associa la quantità di output con essa ottenibile.

FUNZIONE di REAZIONE = Nel caso con due sole imprese, la funzione di reazione dell’impresa 1

è quella funzione che a ciascuna quantità Q2 prodotta dall’impresa 2 associa la quantità Q1*

che l’impresa 1 deve produrre al fine di massimizzare i suoi profitti.

FUNZIONE di UTILITA’ = funzione che a ciascun paniere associa un numero reale, in maniera

tale che il numero associato al paniere D risulta maggiore del numero associato al paniere E

se e solo se l’individuo preferisce D ad E. Ovvero, se u(x, y) è una funzione di utilità che

rappresenta le preferenze di un consumatore, allora: u(xD; yD) > u(xE; yE) ⇔ D � E {cioè

anche: u(xD; yD) ≥ u(xE; yE) ⇔ D � E}.

M MAPPA di INDIFFERENZA = rappresentazione delle preferenze individuali attraverso le curve di

indifferenza: i panieri appartenenti a curve di indifferenza più alte sono preferiti a quelli

appartenenti a curve più basse.

MERCI BASE = Merci impiegate direttamente o indirettamente come mezzi di produzione di tutti i

prodotti dell’economia.

MEZZI di PRODUZIONE (o BENI CAPITALE) = Merci impiegate come input nel processo

produttivo (il loro valore costituisce, in tutto o in parte, il valore del capitale impiegato).

N NUMERARIO = Merce utilizzata come unità di misura del valore delle altre merci. Se una merce

viene scelta come numerario, tutti i prezzi sono quantità di questa merce (ad esempio se il

grano è il numerario ed il prezzo dell’acciaio è 150, ciò significa che occorrono 150 quintali

di grano per acquistare una tonnellata di acciaio). Può essere una merce singola oppure una

merce composita (cioè un paniere di molte merci prese in quantità fissate).

6

O OTTIMO di PARETO = Facendo riferimento al caso di una economia di puro scambio, una

allocazione è un ottimo di Pareto se non esiste altra allocazione che consenta di aumentare il

benessere di un individuo senza diminuire quello di qualcun altro.

P PREZZI di MERCATO o EFFETTIVI = Prezzi a cui avvengono effettivamente gli scambi in un

certo e limitato periodo di tempo.

PREZZI NATURALI o NORMALI = Prezzi teorici, caratterizzati dall’essere compatibili con

l’emergere dello stesso saggio del profitto in tutti i settori dell’economia. Rappresentano il

“centro di gravitazione” attorno cui oscillano i prezzi effettivi in tempi diversi.

PREZZO RELATIVO = prezzo di una merce espresso, invece che in termini monetari (cioè in

euro), in termini di un’altra merce. Ad esempio, se il prezzo monetario di un libro è � 18,00

e quello di un litro di latte è � 1,50, allora il prezzo di un libro in termini di latte è 18/1,50 =

12, ovvero ci vogliono 12 litri di latte per comperare un libro.

PRODOTTO MARGINALE di un FATTORE = incremento (ovvero: diminuzione) di prodotto

derivante dall’impiego di una unità in più (ovvero: in meno) di un fattore, ferme restando le

quantità impiegate di tutti gli altri fattori produttivi.

PRODOTTO MEDIO di un FATTORE = rapporto tra la quantità di prodotto ottenuta e la quantità

impiegata di un fattore produttivo.

PRODOTTO SOCIALE LORDO = Quantità di merci prodotte dall’economia nel suo complesso

durante un ciclo produttivo.

PRODOTTO SOCIALE NETTO = Quantità di merci prodotte dall’economia nel suo complesso, al

netto delle quantità di merci impiegate nell’economia come mezzi di produzione.

R RENDIMENTI di SCALA. Data la funzione di produzione Q = F(K, L), si assuma che, rispetto ad

una situazione iniziale Q0 = F(K0, L0), le quantità impiegate di entrambi i fattori aumentino

in una stessa percentuale δ. Ovvero, ponendo λ = (1+δ), si impieghino, dopo l’aumento,

quantità λ K0 di capitale e λ L0 di lavoro. Distinguiamo tre casi:

RENDIMENTI di SCALA COSTANTI = se anche la quantità prodotta aumenta nella stessa

percentuale δ. Ovvero: λ Q0 = F(λ K0, λ L0)

7

RENDIMENTI di SCALA CRESCENTI = se la quantità prodotta aumenta in percentuale

maggiore di δ. Ovvero: λ Q0 < F(λ K0, λ L0)

RENDIMENTI di SCALA DECRESCENTI = se la quantità prodotta aumenta in

percentuale minore di δ. Ovvero: λ Q0 > F(λ K0, λ L0)

RICAVO MARGINALE (Marginal Revenue, MR) = incremento dei ricavi totali derivante dalla

produzione e vendita di una unità aggiuntiva di output (oppure: diminuzione dei ricavi totali

dovuta alla produzione e vendita di una unità in meno di output).

S SAGGIO MARGINALE di SOSTITUZIONE (Marginal Rate of Substitution, MRS) = è la

pendenza (in valore assoluto) della curva di indifferenza in un punto ed esprime la quantità

massima del bene y che l’individuo è disposto a cedere per avere una unità in più del bene x

(oppure: la quantità minima del bene y che l’individuo è disposto ad accettare in cambio

della cessione di una unità del bene x). Quando le preferenze sono rappresentate attraverso

una funzione di utilità, il saggio marginale di sostituzione è pari al rapporto tra l’utilità

marginale del bene x e quella del bene y.

SAGGIO MARGINALE di SOSTITUZIONE TECNICA (Marginal Rate of Technical Substitution,

MRTS) = (con L sulle ascisse e K sulle ordinale) è la quantità di capitale che serve per

compensare la diminuzione dell’impiego di lavoro di una unità, mantenendo ferma la

quantità prodotta (oppure: è la quantità di capitale che può essere sostituita dall’impiego

aggiuntivo di una unità di lavoro, ferma restando la quantità prodotta).

SAGGIO del PROFITTO (o tasso del profitto) = Profitto per una unità di capitale impiegata per un

ciclo produttivo. Si calcola attraverso il rapporto tra l’ammontare complessivo dei profitti ed

il valore complessivo del capitale impiegato.

SAGGIO del SALARIO = Salario per una unità di tempo di lavoro.

SOVRAPPIU’ = Eccedenza del prodotto sociale lordo rispetto alle merci necessarie per la

reintegrazione dei mezzi di produzione e delle sussistenze dei lavoratori.

U UTILITA’ MARGINALE di un BENE = incremento di utilità derivante dal consumo aggiuntivo di

una unità di un bene, fermo restando il consumo di tutti gli altri beni.

8

ESERCIZI SVOLTI di MICROECONOMIA

Teoria della Produzione

Esercizio 1:

Considerate una economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:

900 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 130 di L → 2000 q di G

100 q di G ⊕ 15 t di F ⊕ 70 di L → 100 t di F

Assumendo che l'economia sia di sussistenza, e cioè che il prodotto netto sia esattamente pari alle

sussistenze per i lavoratori impiegati, determinate le sussistenze per un lavoratore.

Svolgimento:

Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

900 + 100 = 1000 q di G;

e analogamente il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

20 + 15 = 35 t di F.

Per ottenere il prodotto sociale netto, pari alle sussistenze, occorre sottrarre al prodotto

sociale lordo le merci impiegate come mezzi di produzione:

PROD. SOC. LORDO −−−− M. di P. = PROD. SOC. NETTO

��

��

�

1002000

−−−− ��

��

�

351000

= ��

��

�

651000

Abbiamo così calcolato le sussistenze complessive per 200 lavoratori (200 = 130 + 70).

Perciò le sussistenze per un lavoratore ammonteranno a ��

��

�=�

�

��

�

325,05

200:651000

Ad ogni lavoratore impiegato vengono corrisposti 5 q di G e 0,325 t di F.

9

Esercizio 2:

Considerate una economia con tre sole merci: Arance (A), Biscotti (B) e Camicie (C). Si assuma la

seguente produzione:

300 di A ⊕ 100 di B ⊕ 130 di L → 2000 di A

100 di A ⊕ 25 di B ⊕ 50 di L → 1000 di B

100 di A ⊕ 25 di B ⊕ 20 di L → 8000 di C

Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 2 di A, 1 di B e 8 di C,

calcolate:

a) le quantità di merci impiegate come mezzi di produzione nell’economia nel suo complesso

b) il prodotto sociale netto

c) il sovrappiù

Svolgimento:

a) Le Arance impiegate come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso sono:

300 + 100 + 100 = 500 di A;

e analogamente i Biscotti impiegati come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso

sono:

100 + 25 + 25 = 150 di B;

mentre le Camicie non sono impiegate come mezzo di produzione in nessuna industria.

b) Per ottenere il prodotto sociale netto, occorre sottrarre al prodotto sociale lordo le merci

impiegate come mezzi di produzione:


��

�

�

��

�

�

800010002000

−−−− ��

�

�

��

�

�

0150500

= ��

�

�

��

�

�

80008501500

c) Per ottenere il sovrappiù, occorre sottrarre al prodotto sociale netto le merci che

costituiscono le sussistenze dei lavoratori. Cominciamo quindi col calcolare le sussistenze

complessive di 200 lavoratori (200 = 130 + 50 + 20):

10

SUSS. = ��

�

�

��

�

�

=×��

�

�

��

�

�

1600200400

200812

PROD. SOC. NETTO −−−− SUSS. = SOVRAPPIU’

��

�

�

��

�

�

80008501500

−−−− ��

�

�

��

�

�

1600200400

= ��

�

�

��

�

�

64006501100

11

Esercizio 3:

Considerate una economia con tre sole merci: grano (G), ferro (F) e acciaio (A). Si assuma la


400 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 100 t di A ⊕ 100 di L → 2000 q di G

200 q di G ⊕ 10 t di F ⊕ 50 t di A ⊕ 60 di L → 200 t di F

200 q di G ⊕ 10 t di F ⊕ 200 t di A ⊕ 40 di L → 5000 t di A

Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 3 q di G, 0,5 t di F e 10 t

di A, calcolate:



c) il sovrappiù

Svolgimento:

a) Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

400 + 200 + 200 = 800 q di G;


20 + 10 + 10 = 40 t di F;

mentre l’acciaio impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

100 + 50 + 200 = 350 t di A.




��

�

�

��

�

�

50002002000

−−−− ��

�

�

��

�

�

35040800

= ��

�

�

��

�

�

46501601200




12

SUSS. = ��

�

�

��

�

�

=×��

�

�

��

�

�

2000100600

20010

5,03


��

�

�

��

�

�

46501601200

−−−− ��

�

�

��

�

�

2000100600

= ��

�

�

��

�

�

265060600

13

Esercizio 4:

Considerate una economia con tre sole merci: grano (G), ferro (F) e acciaio (A). Si assuma la


500 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 100 t di A ⊕ 80 di L → 1500 q di G

250 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 200 t di A ⊕ 80 di L → 200 t di F

250 q di G ⊕ 10 t di F ⊕ 400 t di A ⊕ 40 di L → 4000 t di A

Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 2,5 q di G, 0,5 t di F e 15

t di A, calcolate:



c) il sovrappiù

Svolgimento:


500 + 250 + 250 = 1000 q di G;


20 + 20 + 10 = 50 t di F;

mentre l’acciaio impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:

100 + 200 + 400 = 700 t di A.




��

�

�

��

�

�

40002001500

−−−− ��

�

�

��

�

�

700501000

= ��

�

�

��

�

�

3300150500




14

SUSS. = ��

�

�

��

�

�

=×��

�

�

��

�

�

3000100500

20015

5,05,2


��

�

�

��

�

�

3300150500

−−−− ��

�

�

��

�

�

3000100500

= ��

�

�

��

�

�

300500

15

Esercizio 5:

Considerate una economia con tre sole merci: grano (G), ferro (F) e tela (T). Si assuma la seguente

produzione:



100 q di G ⊕ 15 t di F ⊕ 20 di L → 7000 m di T

Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 2 q di G, 0,2 t di F e 10 m

di T, calcolate:



c) il sovrappiù

Svolgimento:


800 + 100 + 100 = 1000 q di G;


20 + 5 + 15 = 40 t di F;

mentre la tela non è impiegata come mezzo di produzione in nessuna industria.




��

�

�

��

�

�

70001002000

−−−− ��

�

�

��

�

�

0401000

= ��

�

�

��

�

�

7000601000




SUSS. = ��

�

�

��

�

�=×

��

�

�

��

�

�

200040400

20010

2,02

16


��

�

�

��

�

�

7000601000

−−−− ��

�

�

��

�

�

200040400

= ��

�

�

��

�

�

500020600

17

Esercizio 6:

Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:

1/3 q di G ⊕ 1/80 t di F ⊕ 1/8 di L → 1 q di G

2 q di G ⊕ 1/5 t di F ⊕ 2 di L → 1 t di F

costruite una economia il cui prodotto netto è esattamente pari alle sussistenze per un lavoratore,

cioè a 2 q di G e 0,1 t di F.

Svolgimento:

Per definizione si ha che:

Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione = Prodotto Netto.

Avendo come dati i coefficienti tecnici unitari, le quantità di merci impiegate come mezzi di

produzione dipenderanno esclusivamente dalle quantità prodotte lorde. In particolare, se indichiamo

con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in tonnellate), allora le

quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione nell’economia saranno

rispettivamente:

y2x31 + e y

51

x801 +

si noti infatti che per produrre x q di G servono x31

q di G e x801

t di F; mentre analogamente per

produrre y t di F servono 2y q di G e y51

t di F.

Quindi, se x e y sono le quantità prodotte lorde di grano e ferro, allora:

Prodotto netto di grano = y2x31

x −−

Prodotto netto di ferro = y51

x801

y −−

Ora, noi vogliamo costruire una economia il cui prodotto netto sia esattamente 2 q di G e 0,1

t di F. Quindi, al fine di determinare le quantità lorde x e y, il sistema da risolvere è:

(1) 2y2x31

x =−−

(2) 1,0y51

x801

y =−−

Dalla equazione (1) otteniamo:

18

1x31

1x62

16x

2x

y −=−=−−=

così, sostituendo questa espressione nella (2) abbiamo:

101

51

x151

x801

1x31 =+−−−

da cui:

102101

x240

16380 −+=−−

quindi:

54098,361

216610

2409x ==⋅= q di G

e pertanto:

18033,0161

21631

y =−⋅= t di F

Una volta determinato il prodotto lordo, visto che conosciamo i coefficienti tecnici unitari,

possiamo determinare i mezzi di produzione ed il lavoro necessari. In particolare:

18033,1183216

61216

31 ==⋅ G ⊕ 04426,0

4880216

61216

801 ==⋅ F ⊕ 44262,0

488216

61216

81 ==⋅ L →

54098,361

216 = q di G

3606,06122

6111

2 ==⋅ G ⊕ 0360,030511

6111

51 ==⋅ F ⊕ 3606,0

6122

6111

2 ==⋅ L → 1803,06111 = t di F

Le dimensioni dell’economia tali per cui il prodotto netto è esattamente 2 q di G e 0,1 t di F saranno

dunque:

1,18 q di G ⊕ 0,04 t di F ⊕ 0,44 di L → 3,54 q di G

0,36 q di G ⊕ 0,04 t di F ⊕ 0,36 di L → 0,18 t di F

Verifichiamo che il prodotto netto corrisponda proprio alle sussistenze per un lavoratore:

Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 1,18 + 0,36 = 1,54 q di G;

il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 0,04 + 0,04 = 0,08 t di F.


��

��

�

18,054,3

−−−− ��

��

�

08,054,1

= ��

��

�

1,02

19

Esercizio 7:




costruite una economia il cui prodotto netto è esattamente pari alle sussistenze per un lavoratore,

cioè a 2 q di G e 0,2 t di F.

Svolgimento:


Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione = Prodotto Netto.

Avendo come dati i coefficienti tecnici unitari, le quantità di merci impiegate come mezzi di

produzione dipenderanno esclusivamente dalle quantità prodotte lorde. In particolare, se indichiamo

con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in tonnellate), allora le

quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione nell’economia saranno

rispettivamente:

yx 221 + e yx

31

601 +

si noti infatti che per produrre x q di G servono x21

q di G e x601

t di F; mentre analogamente per

produrre y t di F servono 2y q di G e y31

t di F.

Quindi, se x e y sono le quantità prodotte lorde di grano e ferro, allora:

Prodotto netto di grano = yxx 221 −−

Prodotto netto di ferro = yxy31

601 −−

Ora, noi vogliamo costruire una economia il cui prodotto netto sia esattamente 2 q di G e 0,2

t di F. Quindi, al fine di determinare le quantità lorde x e y, il sistema da risolvere è:

(1) 2221 =−− yxx

(2) 2,031

601 =−− yxy

Dalla equazione (1) otteniamo:

20

141

142

−=−−= xxx

y

così, sostituendo questa espressione nella (2) abbiamo:

51

31

121

601

141 =+−−− xxx

da cui:

155153

605115 −+=−−

x

quindi:

77778,5135780

9156013 ==⋅

⋅=x q di G

e pertanto:

44444,01135780

41 =−⋅=y t di F



88888,2135780

21 =⋅ G ⊕ 09629,0

135780

601 =⋅ F ⊕ 36111,0

135780

161 =⋅ L → 77778,5

135780 = q di G

88888,013560

2 =⋅ G ⊕ 14814,013560

31 =⋅ F ⊕ 44444,0

13560

1 =⋅ L → 44444,013560 = t di F

Le dimensioni dell’economia tali per cui il prodotto netto è esattamente 2 q di G e 0,2 t di F saranno

dunque:

2,89 q di G ⊕ 0,09 t di F ⊕ 0,36 di L → 5,78 q di G

0,89 q di G ⊕ 0,15 t di F ⊕ 0,44 di L → 0,44 t di F

Verifichiamo che il prodotto netto corrisponda proprio alle sussistenze per un lavoratore:

Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 2,89 + 0,89 = 3,78 q di G;

il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 0,09 + 0,15 = 0,24 t di F.


��

��

�

44,078,5

−−−− ��

��

�

24,078,3

= ��

��

�

2,02

21

Esercizio 8:




assumendo che le sussistenze per un lavoratore siano 2 q di G e 0,2 t di F, costruite una economia

con 100 lavoratori, il cui sovrappiù è interamente costituito di ferro.

Svolgimento:


Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione – Sussistenze = Sovrappiù.

Se indichiamo con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in

tonnellate), allora le quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione

nell’economia saranno rispettivamente:

yx 221 + e yx

31

601 +

mentre la quantità di lavoro da impiegare sarà:

yx +161

.

Ora, nel nostro caso, le produzioni lorde x e y dovranno soddisfare i seguenti requisiti: i)

devono essere impiegati complessivamente 100 lavoratori, ovvero 100161 =+ yx ; ii) la produzione

lorda di grano x deve essere esattamente pari alla somma del grano impiegato come mezzo di

produzione e del grano dato ai lavoratori come sussistenze, ovvero ��

��

� +++= yxyxx161

2221

.

Abbiamo quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:

(1) 100161 =+ yx

(2) ��

��

� +++= yxyxx161

2221

Dalla (2) si ottiene che:

yx 483 =

22

mentre per la (1) si ha:

xy161

100 −=

per cui:

xx41

40083 −= ovvero 640400

58 =⋅=x q di G

e

6040100640161

100 =−=⋅−=y t di F.



32064021 =⋅ G ⊕ 7,10640

601 =⋅ F ⊕ 40640

161 =⋅ L → 640 q di G

120602 =⋅ G ⊕ 206031 =⋅ F ⊕ 60601 =⋅ L → 60 t di F

PROD. LORDO −−−− M. di P. −−−− SUSS. = SOVRAP.

��

��

�

60

640 −−−− �

�

��

�

7,30

440 −−−− �

�

��

�

20

200 = �

�

��

�

3,9

0

23

Esercizio 9:





con 100 lavoratori, il cui sovrappiù è interamente costituito di ferro.

Svolgimento:



Se indichiamo con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in

tonnellate), allora le quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione

nell’economia saranno rispettivamente:

y2x31 + e y

51

x801 +

mentre la quantità di lavoro da impiegare sarà:

y2x81 + .

Ora, nel nostro caso, le produzioni lorde x e y dovranno soddisfare i seguenti requisiti: i)

devono essere impiegati complessivamente 100 lavoratori, ovvero 100y2x81 =+ ; ii) la produzione

lorda di grano x deve essere esattamente pari alla somma del grano impiegato come mezzo di

produzione e del grano dato ai lavoratori come sussistenze, ovvero ��

��

� +++= y2x81

2y2x31

x .

Abbiamo quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:

(1) 100y2x81 =+

(2) ��

��

� +++= y2x81

2y2x31

x

Dalla (2) si ottiene che:

y6x125 =

24

mentre per la (1) si ha:

x161

50y −=

per cui:

x166

300x125 −= ovvero 947,378300

1924

x =⋅= q di G

e

316,26684,235038

90050300

1924

161

50y =−=−=⋅⋅−= t di F.



315,126947,37831 =⋅ G ⊕ 737,4947,378

801 =⋅ F ⊕ 368,47947,378

81 =⋅ L → 378,947 q di G

632,52316,262 =⋅ G ⊕ 263,5316,2651 =⋅ F ⊕ 632,52316,262 =⋅ L → 26,316 t di F


��

��

�316,26947,378 −−−− ��

��

�10

947,178 −−−− ��

��

�10200 = ��

��

�316,6

0

25

Esercizio 10:




1/500 di G ⊕ 1/2000 t di F ⊕ 1/1000 di L → 1 m di V


con 100 lavoratori, il cui sovrappiù è interamente costituito di velluto.

Svolgimento:

Seguiamo lo stesso procedimento dell’esercizio precedente. Per definizione si ha che:


Indichiamo con x, y e z le quantità prodotte lorde, rispettivamente, di grano ferro e velluto.

Di conseguenza, dati i coefficienti tecnici, abbiamo che:

z500

1y2x

31 ++ e z

20001

y51

x801 ++

rappresentano le quantità di grano e ferro impiegate come mezzi di produzione, mentre la quantità

di lavoro da impiegare sarà:

z1000

1y2x

81 ++ .

Le equazioni che determinano le tre incognite ora saranno [la (1) ci dice che sono impiegati

100 lavoratori, mentre la (2) e la (3) ci dicono che né il grano, né il ferro entreranno nel sovrappiù]:

(1) 100z1000

1y2x

81 =++

(2) xz1000

1y2x

81

2z500

1y2x

31 =��

��

� +++++

(3) yz1000

1y2x

81

101

z2000

1y

51

x801 =��

��

� +++++

Dalla soluzione del sistema si ottiene: x = 386,8; y = 22,6 e z = 6400. Quindi:

129,2 q. G ⊕ 4,84 t. F ⊕ 48,4 L → 387,2 q. G

45,2 q. G ⊕ 4,52 t. F ⊕ 45,2 L → 22,6 t. F

12,8 q. G ⊕ 3,20 t. F ⊕ 6,4 L → 6400 m. V

26


��

�

�

��

�

�

64006,22

2,387 −−−−

��

�

�

��

�

�

056,12

2,187 −−−−

��

�

�

��

�

�

010200

= ��

�

�

��

�

�

640000

27

Teoria classica della distribuzione e del valore

Esercizio 11:




Assumendo che il salario annuo per un lavoratore sia composto da 2 q di G, 0,2 t di F, calcolate i

saggi del profitto realizzati in ciascun settore se i prezzi effettivi fossero pg = 10 � e pf = 50 �.

Svolgimento:

Cominciamo col calcolare il saggio del salario in valore (cioè in euro).

W = 2 × 10 + 0,2 × 50 = 30 �

Passiamo quindi a determinare i profitti dell’industria del grano:

Πg = 2000 × 10 – (800 × 10 + 20 × 50) – 150 × 30 = 6500 �

Mentre il valore del capitale impiegato nell’industria del grano è:

Kg = 800 × 10 + 20 × 50 = 9000 �

Quindi:

rg = 90006500

= 0,7222 = 72,22 %

Con analogo procedimento calcoliamo, rispettivamente, i profitti, il capitale ed il saggio del profitto

realizzato nell’industria del ferro:

Πf = 100 × 50 – (100 × 10 + 15 × 50) –50 × 30 = 1750 �

Kf = 100 × 10 + 15 × 50 = 1750 �

rf = 17501750

= 1 = 100 %

28

Esercizio 12:




Assumendo che il salario annuo per un lavoratore sia composto da 2 q di G, 0,1 t di F, calcolate i

saggi del profitto realizzati in ciascun settore se i prezzi effettivi fossero pg = 15 � e pf = 30 �.

Svolgimento:

Cominciamo col calcolare il saggio del salario in valore (cioè in euro).

W = 2 × 15 + 0,1 × 30 = 33 �

Passiamo quindi a determinare i profitti dell’industria del grano:

Πg = 1000 × 15 – (600 × 15 + 30 × 30) – 80 × 33 = 2460 �

Mentre il valore del capitale impiegato nell’industria del grano è:

Kg = 600 × 15 + 30 × 30 = 9900 �

Quindi:

rg = 99002460

= 0,2485 = 24,85 %

Con analogo procedimento calcoliamo, rispettivamente, i profitti, il capitale ed il saggio del profitto

realizzato nell’industria del ferro:

Πf = 200 × 30 – (200 × 15 + 20 × 30) –20 × 33 = 1740 �

Kf = 200 × 15 + 20 × 30 = 3600 �

rf = 36001740

= 0.4833 = 48.33 %

29

Esercizio 13:




Calcolate il prezzo del grano e del ferro ponendo il salario monetario pari a W = 60 � e il saggio

generale del profitto pari all’ 80 %.

Svolgimento:

Cominciamo scrivendo il sistema di equazioni che dobbiamo risolvere:

[1] (800 pg + 20 pf) (1 + 0,8) + 150 × 60 = 2000 pg

[2] (100 pg + 15 pf) (1 + 0,8) + 50 × 60 = 100 pf

ovvero:

[3] 1440 pg + 36 pf + 9000 = 2000 pg

[4] 180 pg + 27 pf + 3000 = 100 pf

che diventano:

[5] 36 pf + 9000 = 560 pg

[6] 180 pg + 3000 = 73 pf

dalla [6] otteniamo:

[8] 73

180 pg +

733000

= pf

sostituendo la [8] nella [5] abbiamo:

[9] 36 73

180 pg + 36

733000

+ 9000 = 560 pg

30

moltiplicando entrambi i membri della [9] per 73 si ha:

[10] 6.480 pg + 108.000+ 657.000 = 40.880 pg

ovvero:

[11] pg = ==−

+400.34000.765

480.6880.40000.657000.108

22,24 �

sostituendo il prezzo del grano nella [8] si ha:

[12] pf = 73

180 22,24 +

733000

= 95,93 �

31

Esercizio 14:

Considerate una economia con due merci: grano (G) e acciaio (A). Si assuma la seguente

produzione:

600 q di G ⊕ 30 t di A ⊕ 80 di L → 1000 q di G

200 q di G ⊕ 20 t di A ⊕ 20 di L → 200 t di A

Calcolate il prezzo del grano e dell’acciaio ponendo il salario monetario pari a W = 100 � e il

saggio generale del profitto pari all’ 30 %.

Svolgimento:

Cominciamo scrivendo il sistema di equazioni che dobbiamo risolvere:

[1] (600 pg + 30 pa) (1 + 0,3) + 80 × 100 = 1000 pg

[2] (200 pg + 20 pa) (1 + 0,3) + 20 × 100 = 200 pa

ovvero:

[3] 780 pg + 39 pa + 8000 = 1000 pg

[4] 260 pg + 26 pa + 2000 = 200 pa

che diventano:

[5] 39 pa + 8000 = 220 pg

[6] 260 pg + 2000 = 174 pa

dalla [6] otteniamo:

[8] 174260

pg + 1742000

= pa

sostituendo la [8] nella [5] abbiamo:

[9] 39 174260

pg + 39 1742000

+ 8000 = 220 pg

32

moltiplicando entrambi i membri della [9] per 174 si ha:

[10] 10.140 pg + 78.000+ 1.382.000 = 38.280 pg

ovvero:

[11] pg = =−

+140.10280.38

000.392.1000.78 =

140.28000.470.1

52,24 �

sostituendo il prezzo del grano nella [8] si ha:

[12] pa = 174260

52,24 + 1742000

= 78,059 + 11,494 = 89,55 �

33

Teoria del Consumatore

Esercizio 15:

Considerate una economia con due soli beni di consumo: [x] e [y].

Le preferenze di un certo individuo sono rappresentate dalla funzione di utilità: u = x2 ⋅ y.

a) Ordinate, secondo le preferenze dell’individuo, i panieri: A = (2, 6); B = (3, 3); C = (3, 4).

b) Trovate l’equazione della curva di indifferenza che passa per il paniere D = (2, 3)

c) Trovate un paniere che l’individuo giudica indifferente a D.

Svolgimento:

a) Associamo, attraverso la funzione di utilità, dei numeri ai panieri A, B e C:

u(A) = (2)2 ⋅ 6 = 4 ⋅ 6 = 24

u(B) = (3)2 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3 = 27

u(C) = (3)2 ⋅ 4 = 9 ⋅ 4 = 36

Quindi, poiché u(C) > u(B) > u(A), si ha C � B � A.

b) Attraverso la funzione di utilità sappiamo che u(D) = (2)2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12.

Di conseguenza, la curva di indifferenza che passa per D sarà formata da tutti i panieri a cui la

funzione di utilità associa il numero 12, ovvero:

12 = x2 ⋅ y

cioè:

y = 12 / x2.

c) Ponete x = 1, quindi si deve avere y = 12 / 12 = 12. Pertanto (1, 12) è un paniere

indifferente a D. [Ancora, ponete x = 3, allora y = 12 / 32 = 12 / 9 = 4 / 3. Pertanto (3, 4/3) è un altro

paniere indifferente a D.]

34

Esercizio 16:

Considerate una economia con due soli beni di consumo: abitazione e cibo.

Considerate un individuo con saggio marginale di sostituzione MRS = xy

, in cui x è la quantità di

alloggio consumata e y quella di cibo.

Determinate il paniere ottimale del consumatore ponendo: M = 60, PA = 10, PC = 5.

Svolgimento:

Sappiamo che il paniere ottimale è individuato dalle seguenti condizioni:

1) il paniere ottimale appartiene al vincolo di bilancio;

2) in corrispondenza del paniere ottimale si ha MRS = PA/PC.

Possiamo quindi scrivere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

i) 60 = 10 x* + 5 y*

ii) 5

10** =

xy

Cominciamo dalla (ii), ed eleviamo al quadrato entrambi i membri (si noti che entrambi i membri

sono positivi e quindi ciò non comporta la perdita di alcuna informazione):

4** =

xy

che implica y* = 4 x*

Ora sostituiamo questo risultato nella (i) ottenendo:

60 = 10 x* + 20 x* ovvero 60 = 30 x* cioè x* = 2 m2 di alloggio

e quindi: y* = 4 x* = 8 Kg di cibo

Pertanto, il paniere ottimale è (2, 8).

35

Esercizio 17:


Le preferenze di un certo individuo sono rappresentate dalla funzione di utilità: u = yx ⋅ .

a) Ordinate, secondo le preferenze dell’individuo, i panieri: A = (1, 25); B = (9, 9); C = (4, 16).

b) Trovate l’equazione della curva di indifferenza che passa per il paniere D = (2, 2)

c) Trovate un paniere che l’individuo giudica indifferente a D.

Svolgimento:

a) Associamo, attraverso la funzione di utilità, dei numeri ai panieri A, B e C:

u(A) = 251⋅ = 1 ⋅ 5 = 5

u(B) = 99 ⋅ = 3 ⋅ 3 = 9

u(C) = 164 ⋅ = 2 ⋅ 4 = 8

Quindi, poiché u(B) > u(C) > u(A), si ha B � C � A.

b) Attraverso la funzione di utilità sappiamo che u(D) = 22 ⋅ = 22 = 2.

Di conseguenza, la curva di indifferenza che passa per D sarà formata da tutti i panieri a cui la

funzione di utilità associa il numero 2, ovvero:

2 = yx ⋅

cioè:

4 = yx ⋅

y = 4 / x.

c) Ponete x = 1, quindi si deve avere y = 4 / 1 = 4. Pertanto il paniere E = (1, 4) è un paniere

indifferente a D. Infatti u(E) = 41⋅ = 1 ⋅ 2 = 2 = u(D).

36

Esercizio 18:


Considerate un individuo con saggio marginale di sostituzione MRS = xy

⋅⋅

2,08,0

, in cui x e y sono le

quantità consumate dei due beni.

Determinate il paniere ottimale del consumatore ponendo: M = 100, Px = 8, Py = 20.

Svolgimento:

Sappiamo che il paniere ottimale è individuato dalle seguenti condizioni:

1) il paniere ottimale appartiene al vincolo di bilancio;

2) in corrispondenza del paniere ottimale si ha MRS = Px/Py.

Possiamo quindi scrivere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

i) 100 = 8 x* + 20 y*

ii) *2,0*8,0

xy

⋅⋅

208=

Cominciamo dalla (ii):

8,02,0

208

** ⋅=

xy

che implica y* = 0,1 x*

Ora sostituiamo questo risultato nella (i) ottenendo:

100 = 8 x* + 20 ⋅0,1 ⋅ x* ovvero 100 = 10 x* cioè x* = 10

e quindi: y* = 0,1 ⋅ x* = 1

Pertanto, il paniere ottimale è (10,1).

37

Esercizio 19:


Considerate un individuo con funzione di utilità u = 0,6 log x + 0,4 log y, in cui x è la quantità di


Determinate il paniere ottimale del consumatore ponendo: M = 60, PA = 3, PC = 4.

Svolgimento:

Dobbiamo risolvere il seguente problema di massimizzazione vincolata:

��

�

=+

⋅+⋅

60 y 4 x 3 s.v.

log(y)0,4 log(x)0,6 maxy,x

Abbiamo quindi la funzione lagrangiana:

)60y4x3()ylog(4,0)xlog(6,0),y,x(L −+λ−⋅+⋅=λ

Per trovare il punto di massimo della funzione lagrangiana, abbiamo le seguenti condizioni del

primo ordine:

i) 03x1

6,0xL =λ−=

∂∂

ii) 04y1

4,0yL =λ−=

∂∂

iii) 060y4x3L =−+=λ∂

∂

Dalla (i) segue che: x36,0=λ ; mentre dalla (ii) si ha:

y44,0=λ , quindi:

y44,0

x36,0 = ovvero 4y = (0,4 / 0,6) 3 x = 2x

Utilizzando questo risultato nella (iii) abbiamo:

3x + 2x – 60 = 0 ovvero x = 60 / 5 = 12

e

y = 2x/4 = 6

Quindi: (x*, y*) = (12, 6)

38

Esercizio 20:


Considerate un individuo con funzione di utilità u = α log x + β log y, in cui x è la quantità di


Determinate il paniere ottimale del consumatore come funzione del reddito M e dei prezzi Px e Py.

Svolgimento:

Dobbiamo risolvere il seguente problema di massimizzazione vincolata:

��

�

=+

⋅β+⋅α

M y P x P s.v.

log(y) log(x) max

yx

y,x

Abbiamo quindi la funzione lagrangiana:

)MyPxP()ylog()xlog(),y,x(L yx −+λ−⋅β+⋅α=λ

Per trovare il punto di massimo della funzione lagrangiana, abbiamo le seguenti condizioni del

primo ordine:

i) 0Px1

xL

x =λ−α=∂∂

ii) 0Py1

yL

y =λ−β=∂∂

iii) 0MyPxPL

yx =−+=λ∂

∂

Dalla (i) segue che: xPx

α=λ ; mentre dalla (ii) si ha: yPy

β=λ , quindi:

yPxP yx

β=α ovvero Py y = (β / α) Px x

Utilizzando questo risultato nella (iii) abbiamo:

0MxPxP xx =−αβ+ ovvero x =

xP)(Mβ+α

α

e

y = yP)(

Mβ+α

β

39

Esercizio 21:

Data la funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q, calcolate l’elasticità della domanda al prezzo

(in valore assoluto) per P = 20.

La domanda è rigida o elastica?

Svolgimento:

Sappiamo che:

QP

dQdPPdPQdQ ⋅== 1

|| ε

il livello del prezzo P lo conosciamo ed è 20, dobbiamo determinare Q e dP/dQ.

Con i dati del nostro esempio, dP/dQ = - 2, mentre:

Q = (P – 100) / (- 2) = 40.

Quindi:

41

21

21

4020

21

|| =⋅=⋅−

=ε

Inoltre, essendo l’elasticità, in valore assoluto, inferiore ad 1, la domanda è rigida.

40

Esercizio 22:

Data la funzione di domanda inversa: P = 10 – 0,5 Q, calcolate l’elasticità della domanda al prezzo

(in valore assoluto) per P = 6.

La domanda è rigida o elastica?

Svolgimento:

Sappiamo che:

QP

dQdPPdPQdQ ⋅== 1

|| ε

il livello del prezzo P lo conosciamo ed è 5, dobbiamo determinare Q e dP/dQ.

Con i dati del nostro esempio, dP/dQ = – 0,5, mentre:

Q = (P – 10) / (– 0,5) = (– 4)/ (– 0,5) = 8.

Quindi:

23

43

286

0,5 -1

|| =⋅=⋅=ε

Inoltre, essendo l’elasticità, in valore assoluto, maggiore di 1, la domanda è elastica.

41

Esercizio 23:

Sul mercato del bene x ci sono due acquirenti, Tizio e Caio. Tizio ha funzione di domanda inversa:

P = 10 – 0,5 QT; mentre Caio: P = 15 – 0,75 QC.

Calcolate la domanda complessiva per: a) P = 5; b) P = 12.

Svolgimento:

Per cominciare conviene passare dalle funzioni di domanda inversa alle funzioni di

domanda. Quindi:

QT = (P – 10) / (– 0,5) = 20 – 2 P

e

QC = (P – 15) / (– 0,75) = 20 – 4/3 P.

(a) Se P = 5, allora:

QT = 20 – 2 × 5 = 10

e

QC = 20 – 4/3 × 5 = 13,33

di conseguenza la quantità complessivamente domanda è: Q = 10 + 13,33 = 23,33.

(b) Se P = 12, il prezzo eccede il prezzo massimo (o di riserva) che Tizio è disposto a spendere, che

è pari a 10 (infatti per P = 10 si ha QT = 0). Quindi il solo acquirente che rimane sul mercato è Caio,

la cui domanda è:

QC = 20 – 4/3 × 12 = 4

pertanto la domanda complessiva a questo prezzo è Q = 4.

42

Esercizio 24:

Sul mercato del bene x ci sono due acquirenti, Tizio e Caio. Tizio ha funzione di domanda inversa:

P = 100 – 2 QT; mentre Caio: P = 60 – 3 QC.

Calcolate la domanda complessiva per: a) P = 50; b) P = 80.

Svolgimento:

Per cominciare conviene passare dalle funzioni di domanda inversa alle funzioni di

domanda. Quindi:

QT = (P – 100) / (– 2) = 50 – 0,5 P

e

QC = (P – 60) / (– 3) = 20 – 1/3 P.

(a) Se P = 50, allora:

QT = 50 – 0,5 × 50 = 25

e

QC = 20 – 1/3 × 50 = 3,33

di conseguenza la quantità complessivamente domanda è: Q = 25 + 3,33 = 28,33.

(b) Se P = 80, il prezzo eccede il prezzo massimo (o di riserva) che Caio è disposto a spendere, che

è pari a 60 (infatti per P = 60 si ha QC = 0). Quindi il solo acquirente che rimane sul mercato è

Tizio, la cui domanda è:

QT = 50 – 0,5 × 80 = 10

pertanto la domanda complessiva a questo prezzo è Q = 10.

43

Teoria Marginalista della Produzione

Esercizio 25:

Data la funzione di produzione Cobb-Douglas: Q = m Kα Lβ,

a) dimostrate che assumendo α + β = 1 la funzione ha rendimenti costanti di scala;

b) calcolate il prodotto medio ed il prodotto marginale del lavoro e del capitale.

Inoltre, assumendo α + β = 1, dimostrate che:

c) aumentando del 30% l’impiego di entrambi i fattori i prodotti marginali non cambiano;

d) il prodotto medio del lavoro è sempre maggiore del prodotto marginale del lavoro;

e) se entrambi i fattori sono remunerati a saggi pari ai loro prodotti marginali, allora il prodotto

(netto) è appena sufficiente per pagare i salari ai lavoratori e gli interessi sul capitale.

Svolgimento:

(a) Poniamo K = K0 e L = L0, di conseguenza: Q0 = m K0α L0

β. Facciamo ora aumentare l’impiego

di capitale e lavoro di una stessa percentuale, ovvero poniamo: K1 = δK0 e L1 = δL0 con δ > 1.

Abbiamo quindi:

Q1 = m K1α L1

β = m (δK0)α (δL0)β = m δα K0α δβ L0

β = m δα+β K0α L0

β = δα+β Q0

Quindi α + β = 1 implica rendimenti costanti di scala.

(b) Per definizione il prodotto medio di un fattore è pari al rapporto tra la quantità prodotta e la

quantità impiegata di quel fattore. Quindi:

APL = 1LmKL

LmKLQ −βα

βα== cioè APL =

αα−α

��

��

�=LK

mLmK

e

APK = β−αβα

== LmKK

LmKKQ 1 cioè APK =

βββ−

��

��

�=KL

mLmK .

Il prodotto marginale di un fattore è invece l’incremento di prodotto che si ottiene

aumentando l’impiego di quel fattore di una unità, freme restando le quantità impiegate degli altri

fattori, e si calcola tramite la derivata parziale della funzione della produzione:

44

MPL = 1LmKLQ −βαβ=

∂∂

cioè MPL = α

α−α��

��

�β=βLK

mLKm

e

MPK = β−αα=∂∂

LKmKQ 1 cioè MPK =

βββ−

��

��

�α=αKL

mLKm .

(c) In una posizione iniziale in cui l’impiego di lavoro e capitale è (L0, K0), i prodotti marginali

sono:

MPL = α

��

��

�β

0

0

LK

m e MPK = β

��

��

�α=

0

0

KL

m .

Se aumentiamo del 30% l’impiego di entrambi i fattori, passiamo ad un impiego di capitale e lavoro

pari a (L1, K1) = (1,3×L0, 1,3×K0), quindi:

MPL = ααα

��

��

�β=��

�

��

�

⋅⋅

β=��

��

�β

0

0

0

0

1

1

LK

mL3,1K3,1

mLK

m

e

MPK = βββ

��

��

�α=��

�

��

�

⋅⋅α=��

�

��

�α=

0

0

0

0

1

1

KL

mK3,1L3,1

mKL

m .

Quindi, se α + β = 1 (cioè se ci sono rendimenti costanti di scala), i prodotti marginali dipendono

solo dal rapporto tra le quantità impiegate dei fattori (cioè dalla tecnica in uso) e non dalla scala.

(d) Questa dimostrazione è molto semplice:

APL = α

��

��

�

LK

m e MPL = α

��

��

�βLK

m

quindi:

MPL = β APL

e siccome α + β = 1, allora β < 1 e quindi MPL < APL .

Questo risultato implica chiaramente che il prodotto medio del lavoro deve avere un andamento

monotono decrescente, perché il prodotto marginale del lavoro è sempre inferiore ad esso.

45

(e) Se poniamo:

w = MPL = α

��

��

�βLK

m

e

r = MPK = β

��

��

�α=KL

m ,

allora:

wL + rK = α

��

��

�βLK

m L + β

��

��

�αKL

m K = ββ−α−α α+β LKmLKm 11

e poiché α + β = 1, allora:

wL + rK = βαβα α+β LKmLKm = βαβ+α LmK)( = βαLmK = Q.

Quindi il prodotto è appena sufficiente per pagare i salari e gli interessi a saggi pari ai prodotti

marginali del lavoro e del capitale.

46

Esercizio 26:

Si assumano i seguenti dati:

- prodotto marginale del lavoro: MPL = L1

- prodotto marginale del capitale: MPK = K1

- saggio del salario: w = 20

- tasso dell’interesse: r = 50 %

Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di costo: 1000C = .

Svolgimento:

La combinazione ottimale di capitale e lavoro deve soddisfare le due condizioni:

(1) rw

MPKMPL =

(2) rKwLC += .

Cominciamo dalla condizione (1), nel nostro abbiamo:

LK

LK

K1

:L

1MPKMPL === e 40

5,020

rw ==

quindi:

40LK =

da cui segue che:

1600LK = ovvero K = 1600 L.

Utilizzando questo risultato nella (2) abbiamo:

1000 = 20 L + 0,5 (1600 L)

ovvero:

1000 = 820 L e cioè L = 820

1000 = 1,22

che implica:

K = 1600 × 1,22 = 1951,22.

47

Esercizio 27:


- prodotto marginale del lavoro: MPL = 2LK

- prodotto marginale del capitale: MPK = L2



Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di costo: 540=C .

Svolgimento:


(1) rw

MPKMPL =

(2) rKwLC += .

Cominciamo dalla condizione (1), nel nostro abbiamo:

LK

LLK

MPKMPL 22

2== e 50

2,010 ==

rw

quindi:

502 =LK

da cui segue che:

K = 25 L.

Utilizzando questo risultato nella (2) abbiamo:

540 = 10 L + 0,2 (25 L)

ovvero:

540 = 15 L e cioè L = 15540

= 36

che implica:

K = 25 × 36 = 900.

48

Esercizio 28:


- funzione della produzione: LKQ ⋅=

- prodotto marginale del lavoro: MPL = LK

- prodotto marginale del capitale: MPK = KL



Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di produzione: 100Q = .

Svolgimento:


(1) rw

MPKMPL =

(2) LKQ ⋅= .

Cominciamo dalla prima, che nel nostro caso assume la forma:

4,010

KL

LK=

ovvero:

4,010

LK = da cui segue: L = 0,04 K.

Utilizziamo questo risultato nella (2):

K2,0100K04,0100KK04,0100LK100 2 =�=�⋅=�⋅=

e quindi K = 500 e L = 0,04 × 500 = 20.

49

Esercizio 29:


- funzione della produzione: Q=KL2

- prodotto marginale del lavoro: MPL = 2LK

- prodotto marginale del capitale: MPK = L2



Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di produzione: 2500=Q .

Svolgimento:


(1) rw

MPKMPL =

(2) 2K LQ ⋅= .

Cominciamo dalla prima, che nel nostro caso assume la forma:

5,0202

2 =LLK

ovvero:

20=LK

da cui segue: K = 20L .

Utilizziamo questo risultato nella (2): 332 1252025002500 LLLK =�=�⋅=

e quindi L = 5 e K = 20 × 5 = 100.

50

Concorrenza Perfetta

Esercizio 30:

Si immagini una impresa che opera in Concorrenza Perfetta nel breve periodo, con costi fissi

pari a FC = 10 e costi variabili VC = 10 Q + 0,75 Q2 (quindi: MC = 10 + 1,5 Q).

Supponendo che il prezzo di mercato della merce in questione sia P = 19, si determini:

(a) la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire;

(b) l’ammontare dei profitti (o extraprofitti) realizzati dall’impresa.

Si calcoli inoltre (c) la quantità per cui il costo medio totale è minimo, ed il minimo costo

medio totale.

Svolgimento:

(a) Sappiamo che la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire è quella per cui il ricavo

marginale, che in concorrenza perfetta è sempre pari al prezzo, eguaglia il costo marginale. Quindi,

nel nostro caso:

(1) 19 = 10 + 1,5 Q

ovvero: Q* = 6.

(b) Per determinare l’ammontare dei profitti realizzati dall’impresa dobbiamo fare la differenza tra

il ricavo totale ed il costo totale.

Il ricavo totale è:

TR = P × Q = 19 × 6 = 114

Il costo totale è invece la somma di costi fissi e variabili, ovvero:

TC = 10 + 10 Q + 0,75 Q2 = 10 + 10 × 6 + 0,75 × 36 = 97.

Quindi: TR – TC = 114 – 97 = 17.

(c) Il costo medio totale è:

ATC = Q10

+ 10 + 0,75 Q.

Nel punto di minimo del ATC esso è pari al costo marginale, quindi il punto di minimo può essere

trovato ponendo ATC = MC, ovvero:

Q10

+ 10 + 0,75 Q = 10 + 1,5 Q

51

da cui:

Q10

= 0,75 Q ovvero 2Q75,0

10 =

e quindi:

65,333,1375,0

10Q === .

Pertanto:

min ATC = 65,3

10 + 10 + 0,75 × 3,65 = 15,48

52

Esercizio 31:

Si immagini una impresa che opera in Concorrenza Perfetta nel breve periodo, con costi fissi

pari a FC = 50 e costi variabili VC = 20 Q + 0,5 Q2 (quindi: MC = 20 + Q).

Supponendo che il prezzo di mercato della merce in questione sia P = 30, si determini:

(c) la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire;

(d) l’ammontare dei profitti (o extraprofitti) realizzati dall’impresa.

Si calcoli inoltre (c) la quantità per cui il costo medio totale è minimo, ed il minimo costo

medio totale.

Svolgimento:

(a) Sappiamo che la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire è quella per cui il ricavo

marginale, che in concorrenza perfetta è sempre pari al prezzo, eguaglia il costo marginale. Quindi,

nel nostro caso:

(1) 30 = 20 + Q

ovvero: Q* = 10.

(b) Per determinare l’ammontare dei profitti realizzati dall’impresa dobbiamo fare la differenza tra

il ricavo totale ed il costo totale.

Il ricavo totale è:

TR = P × Q = 10 × 40 = 400

Il costo totale è invece la somma di costi fissi e variabili, ovvero:

TC = 50 + 20 Q + 0,5 Q2 = 50 + 20 × 10 + 0,5 × 100 = 300.

Quindi: TR – TC = 400 – 300 = 100.

(c) Il costo medio totale è:

ATC = Q

QQ 25,02050 ++=

Q50

+ 20 + 0,5 Q.

Nel punto di minimo del ATC esso è pari al costo marginale, quindi il punto di minimo può essere

trovato ponendo ATC = MC, ovvero:

Q50

+ 20 + 0,5 Q = 20 + Q

da cui:

Q50

= 0,5 Q ovvero 2

5,050

Q=

53

e quindi:

101005,0

50 ===Q .

Pertanto:

min ATC = 1050

+ 20 + 0,5 × 10 = 30

54

Monopolio

Esercizio 32:

Si consideri un caso di monopolio con i seguenti dati:

- funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q;

- funzione di costo totale: TC = 20 Q.

Si determini la quantità prodotta, il prezzo praticato dal monopolista e gli (extra-)profitti realizzati.

Svolgimento:

La quantità prodotta dal monopolista è quella per cui il costo marginale è pari al ricavo

marginale. Nel nostro caso, il costo marginale è:

MC = 20

mentre il ricavo marginale è:

MR = 100 – 4 Q (si ricordi infatti che se la funzione di domanda inversa è una retta, allora la

funzione del ricavo marginale è anch’essa una retta, con la stessa intercetta verticale della funzione

di domanda inversa, ma con pendenza doppia).

Di conseguenza, la quantità ottimale, cioè quella che massimizza i profitti, è tale che:

20 = 100 – 4 Q

ovvero: Q* = 80/4 = 20.

Per determinare il prezzo praticato dal monopolista basta mettere la quantità Q* nella

funzione di domanda inversa:

P* = 100 – 2 Q* = 100 – 40 = 60.

Infine, i profitti del monopolista saranno:

Π* = TR – TC = P* Q* – 20 Q* = 60 × 20 – 20 × 20 = 1200 – 400 = 800.

55

Esercizio 33:





Svolgimento:



MC = 30






30 = 90 – 4 Q

ovvero: Q* = 60/4 = 15.



P* = 90 – 2 Q* = 90 – 30 = 60.


Π* = TR – TC = P* Q* – 30 Q* = 60 × 15 – 30 × 15 = 900 – 450 = 450.

56

Esercizio 34:





Svolgimento:



MC = 30






30 = 60 – 6 Q

ovvero: Q* = 30/6 = 5.



P* = 60 – 3 Q* = 60 – 15 = 45.


Π* = TR – TC = P* Q* – 30 Q* = 45 × 5 – 30 × 5 = 225 – 150 = 75.

57

Oligopolio di Cournot

Esercizio 35:

Si consideri un caso di oligopolio di Cournot con due imprese ed i seguenti dati:

- funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q, con Q = Q1 + Q2;

- funzione di costo totale di ciascuna impresa: TC = 20 Qi , con i = 1, 2.

Si determini la quantità complessivamente prodotta ed il prezzo.

Svolgimento:

Come primo passo occorre determinare la funzione di reazione delle imprese. Cominciamo

dall’impresa 1, per l’impresa 1 il ricavo totale è:

TR1 = P × Q1 = (100 – 2 Q1 – 2 Q2) × Q1 = 100 Q1 – 2 Q12 – 2 Q2 Q1 .

Di conseguenza, il ricavo marginale dell’impresa 1 è:

MR1 = 100 – 4 Q1 – 2 Q2 .

mentre il costo marginale dell’impresa 1 è:

MC = 20.

Ponendo l’uguaglianza del ricavo marginale al costo marginale, si ha:

100 – 4 Q1 – 2 Q2 = 20

e cioè:

(1) Q1* = 80/4 – 2/4 Q2 = 20 – 0,5 Q2

che è la funzione di reazione ottima dell’impresa 1.

Analogamente, per l’impresa 2 avremo:

(2) Q2* = 20 – 0,5 Q1 .

Di conseguenza, sostituendo la (2) nella (1) abbiamo:

Q1* = 20 – 0,5 Q2 = 20 – 0,5 (20 – 0,5 Q1) = 20 – 10 + 0,25 Q1

da cui si ottiene:

Q1* = 10 / 0,75.

Essendo l’impresa 2 identica alla 1, avremo che:

Q* = Q1* + Q2* = 20 / 0,75 = 26,67.

E quindi il prezzo sarà:

P* = 100 – 2 × 26, 67 = 100 – 53,33 = 46,67.

58

Esercizio 36:

Si consideri un caso di oligopolio di Cournot con due imprese ed i seguenti dati:

- funzione di domanda inversa: P = 60 – 3 Q, con Q = Q1 + Q2;

- funzione di costo totale di ciascuna impresa: TC = 30 Qi , con i = 1, 2.

Si determini la quantità complessivamente prodotta ed il prezzo.

Svolgimento:

Come primo passo occorre determinare la funzione di reazione delle imprese. Cominciamo

dall’impresa 1, per l’impresa 1 il ricavo totale è:

TR1 = P × Q1 = (60 – 3 Q1 – 3 Q2) × Q1 = 60 Q1 – 3 Q12 – 3 Q2 Q1 .

Di conseguenza, il ricavo marginale dell’impresa 1 è:

MR1 = 60 – 6 Q1 – 3 Q2 .

mentre il costo marginale dell’impresa 1 è:

MC = 30.

Ponendo l’uguaglianza del ricavo marginale al costo marginale, si ha:

60 – 6 Q1 – 3 Q2 = 30

e cioè:

(1) Q1* = 30/6 – 3/6 Q2 = 5 – 0,5 Q2

che è la funzione di reazione ottima dell’impresa 1.

Analogamente, per l’impresa 2 avremo:

(2) Q2* = 5 – 0,5 Q1 .

Di conseguenza, sostituendo la (2) nella (1) abbiamo:

Q1* = 5 – 0,5 Q2 = 5 – 0,5 (5 – 0,5 Q1) = 5 – 2,5 + 0,25 Q1

da cui si ottiene:

Q1* = 2,5 / 0,75.

Essendo l’impresa 2 identica alla 1, avremo che:

Q* = Q1* + Q2* = 5 / 0,75 = 6,67.

E quindi il prezzo sarà:

P* = 60 – 3 × 6, 67 = 60 – 20,01 = 39,99.

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